On the factorised subgroups of products of cyclic and non-cyclic finite $p$-groups

McCann, Brendan

doi:10.5802/crmath.565

Article de recherche - Théorie des groupes

On the factorised subgroups of products of cyclic and non-cyclic finite

p

-groups
[Sur les sous-groupes factorisés des produits de

p

-groupes finis cycliques et non cycliques]

McCann, Brendan ¹

¹Department of Computing and Mathematics, South-East Technological University Waterford, Cork Road, Waterford, Ireland

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 362 (2024) no. G3, pp. 293-300

Abstract (VO)
Résumé

Let $p$ be an odd prime and let $G = A B$ be a finite $p$ -group that is the product of a cyclic subgroup $A$ and a non-cyclic subgroup $B$ . Suppose in addition that the nilpotency class of $B$ is less than $\frac{p}{2}$ . We denote by $℧_{i} (B)$ the subgroup of $B$ generated by the $p^{i}$ -th powers of elements of $B$ , that is $℧_{i} (B) = 〈 b^{p^{i}} ∣ b \in B 〉$ . In this article we show that, for all values of $i$ , the set $A ℧_{i} (B)$ is a subgroup of $G$ . We also present some applications of this result.

Soient $p$ un nombre premier impair et $G = A B$ un $p$ -groupe fini qui est le produit des sous-groupes $A$ et $B$ , tels que $A$ soit un sous-groupe cyclique et $B$ soit un sous-groupe non cyclique. Supposons également que la classe de nilpotence de $B$ soit inférieure à $\frac{p}{2}$ . On note $℧_{i} (B)$ le sous-groupe de $B$ engendré par les puissances $p^{i}$ des éléments de $B$ , alors $℧_{i} (B) = 〈 b^{p^{i}} ∣ b \in B 〉$ . Dans cet article nous montrons que, pour chaque valeur du nombre $i$ , l’ensemble $A ℧_{i} (B)$ est sous-groupe du groupe $G$ . Nous présentons également quelques applications de ce résultat.

Reçu le : 2023-06-22
Révisé le : 2023-09-04
Accepté le : 2023-09-05
Publié le : 2024-05-02

DOI : 10.5802/crmath.565

Classification : 20D40, 20D15
Keywords: factorised groups, products of groups, finite $p$-groups
Mots-clés : groupes factorisés, produit de groupes, $p$-groupes finis

Affiliations des auteurs :

McCann, Brendan ¹

¹ Department of Computing and Mathematics, South-East Technological University Waterford, Cork Road, Waterford, Ireland

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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TY  - JOUR
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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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McCann, Brendan. On the factorised subgroups of products of cyclic and non-cyclic finite $p$-groups. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 362 (2024) no. G3, pp. 293-300. doi: 10.5802/crmath.565

Bibliographie
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Cité par Sources :