Résidus de puissances et formes quadratiques

Bernardi, Dominique

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 4, pp. 7-17

Pour tout entier $q$ et certains entiers $n$, les nombres premiers $p$ - congrus à 1 modulo $n$ - tels que $q$ soit le résidu d’une puissance $n$-ième modulo $p$ sont caractérisés par le fait que certains systèmes de $\varphi \left(n\right)/2$ formes quadratiques à coefficients entiers en $\varphi \left(n\right)$ variables représentent le $\varphi \left(n\right)/2$-uplet $(p,0,0...,0)$. La démonstration de ce résultat est accompagnée d’une méthode explicite de construction de ces systèmes.

For any integer $q$ and some integers $n$, one can characterize the prime numbers $p$ – congruent to 1 modulo $n$ – such that $q$ is an $n$-th power residue modulo $p$ by the fact that some systems of $\varphi \left(n\right)/2$ quadratic forms of $\varphi \left(n\right)$ variables with integral coefficients represent the $\varphi \left(n\right)/2$-uple $(p,0,...,0)$. The proof of this result is accompanied by an explicit method of computation of such systems.

[1] D. Bernardi, Résidus de puissances, Thèse de 3e cycle, Publications mathématiques d'Orsay, n° 158 (1979). | Zbl | MR

[2] A. Cunningham et T. Gosset, On 4-tic and 3-bic residuacity tables, Messenger of Math., 50 (1920), 1-30. | JFM

[3] M. Hall, The theory of Groups, Macmillan, 1959. | Zbl | MR

[4] J. M. Masley, Solutions of small class number problems for Cyclotomic fields, Compositio Math., 33 (1976), 179-186. | Zbl | MR | Numdam

[5] J. M. Masley et H. L. Montgomery, Cyclotomic fields with unique factorisation, J. reine angew. Math., 286-287 (1976), 248-256. | Zbl | MR

[6] W. Narkiewicz, Elementary and analytic theory of numbers, Warszawa, 1974. | Zbl | MR

[7] P. Satgé, Décomposition des nombres premiers dans des extensions non abéliennes, Annales de l'Institut Fourier, 27 (1977), 1-8. | Zbl | MR | Numdam