Deux remarques sur les séries et les polynômes de Dirichlet

Deutsch, Christian

Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 3, pp. 165-169

Cette note contient deux résultats :

- d’une part, une majoration de l’abscisse d’absolue convergence du développement en série de Dirichlet de l’inverse de la somme d’une série de Dirichlet donnée.

- d’autre part, le fait que tout polynôme de Dirichlet non constant

$$1+\sum _{2\le k\le N}{a}_k{\lambda }_k^{-s}\text{où}\text{les}{a}_k\text{sont}\text{des}\text{entiers}\text{relatifs}$$

et les ${\lambda }_k$ sont des nombres réels $>1$ s’annule dans tout demi-plan Réel $s>-\epsilon$ où $\epsilon >0$.

L’un et l’autre de ces résultats sont conséquences d’une proposition que l’on démontre en utilisant des théorèmes classiques de la théorie des fonctions p.p. analytiques.

This note contains two results :

- First, an upper bound for the abscissa of absolute convergence of the Dirichlet series expansion of $1/f\left(s\right)$ where $f\left(s\right)$ is the sum of a given Dirichlet series.

- Secondly, we prove that any non-constant Dirichlet polynomial

$$1+\sum _{2\le k\le N}{a}_k{\lambda }_k^{-s}$$

(where $\lambda >1$ and $a_k$ is an integer for all $k=2,...,N$) has a zero in any half-plane Real $s>-\epsilon$ where $\epsilon >0$.

Both of these theorems are consequences of a result which we prove by using classical therorems on analytic almost periodic functions.

[1]A.S. Besicovitch, Almost periodic functions (Dover Publications, inc). Chapter III, Analytic Almost Periodic Functions.

[2]C. Corduneanu, Almost periodic functions (Interscience Publisher). Chapter III, Analytic Periodic Functions.

[3]E. Hewitt, J.H. Williamson, Note on absolutely convergent Dirichlet series, Proc. Am. Math. Society, (1957) N° 8. | Zbl | MR