Duality and the Martin compactification

Taylor, John C.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 3, pp. 95-130

Let $\mathscr{H}$ be a Bauer sheaf that admits a Green function. Then there exists a diffusion process corresponding to the sheaf whose resolvent possesses a Hunt-Kunita-Watanabe dual resolvent that comes from a diffusion process. If $\mathscr{H}$ is a Brelot sheaf which possesses an adjoint sheaf ${\mathscr{H}}^{*}$ the dual process corresponds to ${\mathscr{H}}^{*}$.

The Martin compactification defined by a Brelot sheaf $\mathscr{H}$ that admits a Green function coincides with a Kunita-Watanabe compactification defined by the dual resolvent.

Soit $\mathscr{H}$ un faisceau de Bauer qui admet une fonction de Green. Il existe alors une diffusion correspondante à $\mathscr{H}$ dont la résolvante possède une résolvante duale (Hun-Kunita-Watanabe) qui est aussi définie par une diffusion. Soit $\mathscr{H}$ un faisceau de Brelot avec un faisceau adjoint ${\mathscr{H}}^{*}$. On a alors que le processus dual correspond à ${\mathscr{H}}^{*}$.

Le compactifié de Martin défini par un faisceau de Brelot qui admet une fonction de Green coïncide avec un des compactifiés de Kunita-Watanabe, définis par la résolvante duale.

[1] H. Bauer, Harmonische Raüme und ihre Potentialtheorie, Lectures 22, Springer-Verlag, Berlin 1966. | Zbl

[2] R. Cairoli, Produits de semi-groupes de transition et produits de processus, Publ. Inst. Stat. Univ. Paris 15 (1966). | Zbl | MR

[3] G. Choquet, Le problème des moments, Séminaire de l'Initiation à l'Analyse (Choquet) Institut Henri Poincaré 1ère année 1962. | Numdam

[4] C. Constantinescu, A topology on the cone of non-negative superharmonic functions, Rev. Roum. Math. Pures et Appl. X (1965), 1331-1348. | Zbl | MR

[5] C. Constantinescu, Kernels and nuclei on harmonic spaces, Rev. Roum. Math. Pures et Appl. XIII (1968), 35-37. | Zbl | MR

[6] W. Hansen, Konstruktion von Halbgruppen und Markoffschen Prozessen, Inventiones Math. 3 (1967), 179-214. | Zbl | MR

[7] R.M. Herve, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier 12 (1962), 415-571. | Zbl | MR | Numdam

[8] H. Kunita, and T. Watanabe, Markov processes and Martin Boundaries, Part I, Illinois J. Math. 9 (1965), 485-526. | Zbl | MR

[9] P.A. Meyer, Probabilités et potentiel, Hermann et Cie, Paris 1966. | Zbl | MR

[10] P.A. Meyer, Processus de Markov, Lecture Notes 26, Springer-Verlag, Berlin 1967. | Zbl | MR

[11] P.A. Meyer, Représentation intégrale des fonctions excessives, résultats de Mokobodzki, Séminaire de Probabilités V (Université de Strasbourg), Springer-Verlag, Berlin 1971. | Numdam | MR | EuDML

[12] M. Sieveking, Integral darstellung superharmonischer Funktionen mit anwendung auf parabolische differentialgleichungen, Seminar uber potential theorie, Springer-Verlag, Berlin 1968. | MR

[13] M. Sieveking, On the existence of a dual in axiomatic potential theory (unpublished manuscript).

[14] J.C. Taylor, The Martin boundaries of equivalent sheaves, Ann. Inst. Fourier XX (1970), 433-456. | Zbl | Numdam | MR | EuDML

[15] J.C. Taylor, Balayage de fonctions excessives, Séminaire de Théorie du Potentiel (Brelot, Choquet, Deny). Institut Henri Poincaré 14ème année (1970-1971). | Zbl | Numdam | EuDML

[16] J.C. Taylor, Strict potentials and Hunt processes, Inventiones math. 16 (1972), 249-559. | Zbl | MR | EuDML