Mesures de Radon stationnaires pour une marche aléatoire sur ${𝕋}^d\times ℝ$

Bénard, Timothée

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 1, pp. 21-100

On classifie les mesures de Radon stationnaires pour une marche aléatoire sur ${𝕋}^d\times ℝ$. Cette marche est réalisée par une action aléatoire de ${\mathrm{SL}}_d\left(\mathbb{Z}\right)$ sur la composante en ${𝕋}^d$ couplée à une translation de la coordonnée $ℝ$. Nous démontrons sous des hypothèses d’irréductibilité et de récurrence la rigidité et l’homogénéité des mesures de Radon stationnaires ergodiques.

We classify Radon stationary measures for a random walk on ${𝕋}^d\times ℝ$. This walk is realised by a random action of ${\mathrm{SL}}_d\left(\mathbb{Z}\right)$ on the ${𝕋}^d$ component, coupled with a translation on the $ℝ$ component. We show, under assumptions of irreducibility and recurrence, the rigidity and homogeneity of Radon ergodic stationary measures.

Classification : 37A50, 37C40
Mots-clés : Marches aléatoires, Mesures stationnaires, Représentations des groupes semi-simples.
Keywords: Random walks, Stationary measures, Representations of semisimple groups.

[1] Aaronson, Jon An introduction to infinite ergodic theory, Mathematical Surveys and Monographs, 50, American Mathematical Society, Providence, RI, 1997, xii+284 pages | DOI | MR | Zbl

[2] Bénard, Timothée Marches aléatoires sur des espaces homogènes de volume infini, Ph. D. Thesis, Université Paris 11 (2021)

[3] Benoist, Yves; Quint, Jean-François Mesures stationnaires et fermés invariants des espaces homogènes, Ann. of Math. (2), Volume 174 (2011) no. 2, pp. 1111-1162 | DOI | MR | Zbl

[4] Benoist, Yves; Quint, Jean-François Stationary measures and invariant subsets of homogeneous spaces (II), J. Amer. Math. Soc., Volume 26 (2013) no. 3, pp. 659-734 | DOI | MR | Zbl

[5] Benoist, Yves; Quint, Jean-François Random walks on reductive groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 62, Springer, Cham, 2016, xi+323 pages | DOI | Zbl | MR

[6] Bony, Jean-Michel Représentation intégrale sur les cônes convexes faiblement complets, Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, Volume 3 (1964), 5, 7 pages | Numdam | Zbl | MR

[7] Bourgain, Jean; Furman, Alex; Lindenstrauss, Elon; Mozes, Shahar Stationary measures and equidistribution for orbits of nonabelian semigroups on the torus, J. Amer. Math. Soc., Volume 24 (2011) no. 1, pp. 231-280 | DOI | MR | Zbl

[8] Brown, Aaron; Rodriguez Hertz, Federico Measure rigidity for random dynamics on surfaces and related skew products, J. Amer. Math. Soc., Volume 30 (2017) no. 4, pp. 1055-1132 | DOI | MR | Zbl

[9] Deny, Jacques Sur l’équation de convolution $\mu =\mu ☆\sigma$, Séminaire Brelot–Choquet–Deny. Théorie du potentiel, Volume 4 (1959-1960), 5, 11 pages

[10] Dufloux, Laurent Dimension de Hausdorff des ensembles limites, Ph. D. Thesis, Université Paris 13 (2015)

[11] Eskin, Alex; Mirzakhani, Maryam Invariant and stationnary measures for the ${SL}_2\left(ℝ\right)$-action on Moduli space, Publication mathématique de l’IHES, Volume 127 (2018), pp. 95-324 | DOI | Zbl

[12] He, Weikun; de Saxcé, Nicolas Linear random walks on the torus (2019) (https://arxiv.org/abs/1910.13421)

[13] Lawler, Gregory F.; Limic, Vlada Random walk : a modern introduction, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 123, Cambridge University Press, Cambridge, 2010, xii+364 pages | DOI | MR | Zbl

[14] Sargent, Oliver; Shapira, Uri Dynamics on the space of 2-lattices in 3-space, Geom. Funct. Anal., Volume 29 (2019) no. 3, pp. 890-948 | DOI | MR | Zbl