Theory of Bessel potentials. II

Adams, Robert; Aronszajn, Nachman; Smith, K. T.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 17 (1967) no. 2, pp. 1-135

Dans cette partie de la théorie des potentiels besseliens on considère les restrictions de potentiels de la classe $P^a(R^n)$ aux domaines ouverts $D\subset R^n$. On cherche à caractériser de manière intrinsèque la classe $P^a\left(D\right)$ ainsi obtenue.

On attaque ce problème en définissant de manière directe (§ 2) une classe ${\check{P}}^a\left(D\right)\subset P^a\left(D\right)$ qui, pour des domaines assez réguliers, est égale à $P^a\left(D\right)$.

L’égalité $P^a\left(D\right)=P^a\left(D\right)$ est équivalente à l’existence d’un opérateur-extension $E:{\check{P}}^a\left(D\right)\to P^a(R^n)$, linéaire et continu, tel que $Eu$ soit une extension de $u$. Si un tel opérateur $E$ transforme continûment ${\check{P}}^a\left(D\right)$ dans $P^a(R^n)$ pour tous les $\alpha$ dans un intervalle $\mathbf{I}\subset [0,\infty )$, on parle d’une extension simultanée rel. $\mathbf{I}$ ; un domaine $D$ pour lequel une telle extension simultanée existe, appartient à la classe $\mathbf{E}\left(\mathbf{I}\right)$. On donne, dans les paragraphes 7, 10, 11, des théorèmes déterminant des classes très générales de domaines appartenant à $\mathbf{E}\left(\right[0,\infty \left)\right)$.

En particulier, on obtient que tous les domaines bornés, localement lipschitziens, et tous les polyhèdres $n$-dimensionnels géométriques dont la frontière forme une variété $(n-1)$-dimensionnelle, appartiennent à $\mathbf{E}\left(\right[0,\infty \left)\right)$. Pour les domaines convexes, non-bornés, on obtient des conditions géométriques simples, nécessaires et suffisantes pour qu’ils appartiennent à $\mathbf{E}\left(\right[0,\infty \left)\right)$ (§ 12).

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