La transformation de Fourier pour les $𝒟$-modules

Daia, Liviu

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 6, pp. 1891-1944

Sur ${ℂ}^n$ vu comme variété algébrique, soient $ℱ$ la transformation de Fourier pour les $𝒟$-modules, ${ℱ}^{+}$ la transformation de Fourier faisceautique de Brylinsky-Malgrange-Verdier, et $𝒮ol$ le foncteur “solutions”. On prouve alors que pour tout $𝒟$-module 1-spécialisable à l’infini $ℳ$, on a un isomorphisme $𝒮ol\left(ℱℳ\right)\equiv {ℱ}^{+}𝒮ol\left(ℳ\right)$. Le résultat a été conjecturé en 1988 par B. Malgrange, qui l’a prouvé pour $ℳ$ module de type fini sur l’algèbre de Weyl.

Let $ℱ$ be the Fourier transform for $𝒟$-Modules over ${ℂ}^n$, let ${ℱ}^{+}$ be the Fourier transform for sheaves defined by Brylinsky-Malgrange-Verdier, and let $𝒮ol$ be the “solutions” functor. We prove that for any $𝒟$-Module $ℳ$ 1-specialisable at infinity, there is an isomorphism $𝒮ol\left(ℱℳ\right)\equiv {ℱ}^{+}𝒮ol\left(ℳ\right)$. This result was conjectured in 1988 by B. Malgrange, who proved it for the particular case of modules of finite type over the Weyl algebra.

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