Unitaires multiplicatifs en dimension finie et leurs sous-objets

Baaj, Saad; Blanchard, Étienne; Skandalis, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 4, pp. 1305-1344

On appelle pré-sous-groupe d’un unitaire multiplicatif $V$ agissant sur un espace hilbertien de dimension finie $\mathscr{H}$ une droite vectorielle $L$ de $\mathscr{H}$ telle que $V(L\otimes L)=L\otimes L$. Nous montrons que les pré-sous-groupes sont en nombre fini, donnons un équivalent du théorème de Lagrange et généralisons à ce cadre la construction du “bi-produit croisé”. De plus, nous établissons des bijections entre pré-sous-groupes et sous-algèbres coïdéales de l’algèbre de Hopf associée à $V$, et donc, d’après Izumi, Longo, Popa, avec les facteurs intermédiaires des inclusions de facteurs associées. Enfin, nous montrons que les pré-sous-groupes classifient les sous-objets de $(\mathscr{H},V)$.

A pre-subgroup of a multiplicative unitary $V$ on a finite dimensional Hilbert space $\mathscr{H}$ is a vector line $L$ in $\mathscr{H}$ such that $V(L\otimes L)=L\otimes L$. We show that there are finitely many pre-subgroups, give a Lagrange theorem and generalize the construction of a “bi-crossed product”. Moreover, we establish bijections between pre-subgroups and coideal subalgebras of the Hopf algebra associated with $V$, and therefore, according to Izumi, Longo, Popa, with the intermediate subfactors of the associated (depth two) inclusions. Finally, we show that the pre-subgroups classify the subobjects of $(\mathscr{H},V)$.

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