Solution formelle Gevrey d’équations linéaires à singularité non régulière

Pongérard, Patrice; Wong-Yim-Chéong, Teddy

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 33 (2024) no. 4, pp. 897-913

Cet article concerne des équations aux dérivées partielles linéaires singulières à coefficients holomorphes au voisinage de l’origine de ${ℂ}_t\times {ℂ}_x^n$. La singularité au point $t=0$ provient d’opérateurs de la forme ${\left(t^a{D}_t\right)}^l$ où $a$ est un entier $\ge 2$, $l\in \mathbb{N}$. Les racines du polynôme caractéristique étant supposées non nulles, on établit l’existence et l’unicité d’une solution formelle Gevrey en $t$. L’indice de Gevrey dépend de $a$, de l’ordre des dérivées en $x$ et de l’écriture des coefficients par rapport à $t$. Le problème est mis sous la forme $(I-T)u=v$ et on montre que l’opérateur $T$ est un endomorphisme de norme $<1$ dans un espace de Banach défini par une série majorante convenable.

This article concerns singular linear partial differential equations with holomorphic coefficients in a neighborhood of the origin of ${ℂ}_t\times {ℂ}_x^n$. The point $t=0$ is singular by operators of the form ${\left(t^a{D}_t\right)}^l$ where $a$ is an integer $\ge 2$, $l\in \mathbb{N}$. We only assume that the characteristic polynomial admits non-zero roots ; then we establish existence and uniqueness of a formal power series solution that is Gevrey in $t$. The Gevrey index depends on $a$, on the order of the derivatives in $x$ and on the writing of the coefficients with respect to $t$. The problem is turned into the form $(I-T)u=v$ and we show that operator $T$ is an endomorphism of norm $<1$ in a Banach space defined by a suitable majorant series.

Classification : 35C10, 35A01, 35A02, 35A20, 35A21
Mots-clés : Singular PDEs with holomorphic coefficients, Gevrey order of formal power series solution, majorant series

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