Variational methods for some singular stochastic elliptic PDEs

Bailleul, Ismael; Eulry, Hugo; Robert, Tristan

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 33 (2024) no. 2, pp. 469-491

We use some tools from nonlinear analysis to study two examples of stochastic elliptic PDEs, involving a singular operator, that cannot be solved by the contraction principle or the Schauder fixed point theorem. Let $\xi$ stand for a spatial white noise on a closed Riemannian surface $𝒮$. We prove the existence of a solution to the equation

$$(-\Delta +a)u=f\left(u\right)+\xi u$$

with a potential $a\in L^p\left(𝒮\right)$ and $p>1$, and $f$ subject to growth conditions. Under an additional parity condition on $f$ (met for instance when $f\left(u\right)={u\left|u\right|}^{\ell }$, with $\ell$ an even integer) we further prove that this equation has infinitely many solutions, in stark contrast with all the well-posedness results that have been proved so far for such singular stochastic PDEs under a small parameter assumption. This kind of results is obtained by seeing the equation as characterizing the critical points of an energy functional based on the Anderson operator $H=\Delta +\xi$ and by resorting to variants of the mountain pass theorem. There are however some interesting equations that cannot be characterized as the critical points of an energy functional. Such is the case of the singular Choquard–Pekar equation on $𝒮={𝕋}^2$

$$(-\Delta +a)u=\left(w☆f\left(u\right)\right)g\left(u\right)+\xi u$$

One can use Ghoussoub’s machinery of self-dual functionals to prove the existence of a solution to that equation as the minimum of a self-dual strongly coercive functional under proper assumptions on the coefficients $a,w,f$ and $g$.

Nous utilisons des outils d’analyse non linéaire pour étudier deux exemples d’équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) elliptiques mettant en jeu un opérateur singulier, et qu’on ne peut résoudre à l’aide d’une méthode de point fixe classique, contraction ou Schauder. Soit $\xi$ un bruit blanc spatial défini sur une surface riemannienne $𝒮$. Nous démontrons l’existence d’une solution à l’équation

$$(-\Delta +a)u=f\left(u\right)+\xi u$$

où $a$ est un potentiel $L^p\left(𝒮\right),p>1$, et la fonction $f$ satisfait de conditions de croissance. Sous une hypothèse additionnelle de parité, satisfaite par exemple lorsque $f\left(u\right)={u\left|u\right|}^{\ell }$ avec $\ell$ un entier pair, nous démontrons que l’équation admet une infinité de solutions. Ce résultat contraste fortement avec tous les résultat d’existence d’une unique solution démontrés jusqu’à présent pour toutes les EDPS singulières, sous des hypothèses de petits paramètres. Nos résultats sont obtenus en caractérisant une solution comme point critique d’une fonctionnelle d’énergie construite à partir de l’opérateur d’Anderson $H=\Delta +\xi$, et en faisant appel à des variantes du théorème du col. Cependant un certain nombre d’équations ne peuvent pas se formuler comme caractérisations de points critiques de fonctionnelles d’énergies. C’est le cas de la version singulière de l’équation de Choquard–Pekar sur le tore $2$-dimensionnel

$$(-\Delta +a)u=\left(w☆f\left(u\right)\right)g\left(u\right)+\xi u,$$

où $☆$ désigne l’opération de convolution. On peut utiliser la machinerie des fonctionnelles auto-duales de Ghoussoub pour obtenir l’existence d’une solution à cette équation, sous la forme d’un point atteignant le minimum d’une fonctionnelle auto-duale fortement coercive sous certaines hypothèses sur les coefficients $a,w,f,g$ de l’équation.

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