Manin–Mumford topologique fort

Richard, Rodolphe

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 33 (2024) no. 2, pp. 419-446

Cet article fait suite à [15]. Ce dernier décrivait l’adhérence topologique d’une famille d’orbites galoisiennes de points de torsion dans une variété abélienne complexe, donnée sur un corps de type fini. Là où [15] concluait que l’adhérence est une union finie de composantes de sous-groupes de Lie réels, nous montrons que ces composantes sont des translatées de sous-variétés abéliennes. Les arguments utilisés ici, outre les conclusions de [15], utilisent les modules de Tate et se basent sur les théorèmes de Faltings concernant la conjecture de Tate.

Nous donnons aussi des conséquences concernant certains problèmes de dynamique homogène.

In this sequel to [15], we characterise the topological closure of a family of Galois orbits of torsion points of a complex abelian variety, with a model over a field of finite type. Where [15] proved this closure is a finite union of components of real Lie subgroups, we prove here that these components are translates of abelian subvarieties. On top of the conclusions of [15], our arguments work with Tate modules and are based on Faltings’s theorems on Tate conjecture.

We also state some consequences concerning some problems in homogeneous dynamics.

[1] Baldi, Gregorio; Richard, Rodolphe; Ullmo, Emmanuel Manin-Mumford in arithmetic pencils (2021) | arXiv

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[16] Richard, Rodolphe; Ullmo, Emmanuel Equidistribution de sous-variétés spéciales et o-minimalité : André–Oort géométrique (2021) (with an appendix with Jiaming Chen) | arXiv

[17] Richard, Rodolphe; Yafaev, Andrei Inner Galois Equidistribution in $S$-Hecke orbits (2017) | arXiv

[18] Richard, Rodolphe; Yafaev, Andrei Topological and equidistributional refinement of the André–Pink–Zannier conjecture at finitely many places, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 357 (2019) no. 3, pp. 231-235 | Numdam | Zbl | DOI | MR

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[20] Richard, Rodolphe; Yafaev, Andrei; Zamojski, Thomas Homogeneous Dynamics and Unlikely Intersections (2018) | arXiv

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