Durant la seconde moitié du dix-neuvième siècle, Leopold Kronecker a donné un cours sur la théorie des équations algébriques, qui constitue ses leçons d'algèbre. Dans ces Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Gleichungen, il demande à l'algèbre d'être rendue « autant que possible indépendant[e] de toutes les fictions sur les racines des équations ». Nous allons montrer comment Kronecker, dans le contexte de la théorie des caractéristiques – une généralisation du théorème de Sturm –, aborde le concept de continuité et comment, dans sa pratique, la notion même de racine est interrogée.
For the better part of the second half of the nineteenth century, Leopold Kronecker gave a course on the theory of algebraic equations, which represents his Algebra lectures. In this Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Gleichungen, he asked Algebra to be “as far as possible independent from all the fictions about the roots of equations”. We will show how Kronecker, in the context of the theory of characteristics—a generalization of Sturm's theorem—, dealt with the concept of continuity and how, in his practice, the very notion of root is questioned.
Mots-clés : Kronecker, Sturm, Gauss, Équation, Théorème fondamental de l'algèbre, histoire de l'algèbre, théorie des caractéristiques, continuité, racines.
Keywords: Kronecker, Sturm, Gauss, Equation, Fondamental theorem of algebra, history of algebra, theory of characteristics, continuity, roots.
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Vergnerie, Cédric. L'algèbre sans les « fictions des racines »: Kronecker et la théorie des caractéristiques dans les Vorlesungen über die algebraischen Gleichungen. Revue d'histoire des mathématiques, Tome 25 (2019) no. 1, pp. 1-107. doi: 10.24033/rhm.223
Le théorème fondamental de l'algèbre et la construction des corps algébriques, Archives internationales d'histoire des sciences, Volume 13 (1960), pp. 211-222 | Zbl
Festschrift zur Gedächtnisfeier für Karl Weierstrass, 1815-1965 (Behnke, Heinrich; Kopfermann, Klaus, eds.), Westdeutscher Verlag, Köln/Opladen, 1966 | MR | Zbl | DOI
The Development of Mathematics, McGraw-Hill, New York, London, 1940 | MR | Zbl
Die Mathematik und ihre Dozenten an der Berliner Universität, 1810-1920: Stationen auf dem Wege eines mathematischen Zentrums von Weltgeltung, Akademie, Berlin, 1973 | MR | Zbl
Kronecker, Leopold, Dictionary of Scientific Biography, vol. 7 (Gillispie, Charles, ed.), Scribner, New York (1981), pp. 505-509
Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik: erste Lieferung, vol. 1 , Caspar Widtmann, Prague, 1810 | MR | JFM
Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, das zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege, Gottlieb Haase, Prague, 1817 | JFM
Sur le concept de nombre en mathématique: Cours inédit de Leopold Kronecker à Berlin (1891), Revue d'histoire des mathématiques, Volume 7 (2001), pp. 207-275 | MR | Zbl | Numdam
Kronecker et le concept de nombre : traduction et présentation, La Gazette des mathématiciens (1999), pp. 49-70 | MR | Zbl
Les constructions des nombres réels dans le mouvement d'arithmétisation de l'analyse, Ellipses, Paris, 2002
La controverse de 1874 entre Camille Jordan et Leopold Kronecker, Revue d'histoire des mathématiques, Volume 13 (2007), pp. 187-257 | MR | Zbl | Numdam
Self-portraits with Évariste Galois (and the shadow of Camille Jordan), Revue d'histoire des mathématiques, Volume 17 (2011), pp. 273-371 | MR | Zbl | Numdam
Galois Got his Gun (2011) (prépublication) | HAL | Zbl | Numdam
On the identities of algebra in the 19th century, Oberwolfach Reports, Volume 7-1 (2010), pp. 604-612
Cours d'analyse de l'École royale polytechnique: 1ère partie : Analyse algébrique, Imprimerie royale, Paris, 1821 | MR
Die Sätze von Fourier und Sturm zur Theorie der algebraischen Gleichungen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Volume 13 (1835), pp. 119-144 | Zbl | MR
Une histoire de l'imaginaire mathématique : vers le théorème fondamental de l'algèbre et sa démonstration par Laplace en 1795, Hermann, Paris, 2011 | Zbl
Une histoire de l'invention mathématique : les démonstrations du théorème fondamental de l'algèbre dans le cadre de l'analyse réelle et de l'analyse complexe de Gauss à Liouville, Hermann, Paris, 2013 | Zbl
Éléments d'analyse de Karl Weierstrass, Archive for History of Exact Sciences, Volume 10 (1973), pp. 41-174 | MR | Zbl | DOI
Problèmes de l'histoire de l'analyse mathématique au xixe siècle : Cas de Karl Weierstrass et de Richard Dedekind, Historia Mathematica, Volume 3-1 (1976), pp. 5-19 | MR | Zbl | DOI
On the Kronecker Nachlass, Historia Mathematica, Volume 5-4 (1978), pp. 419-426 | MR | DOI
An Appreciation of Kronecker, The Mathematical Intelligencer, Volume 9-1 (1987), pp. 28-35 | MR | Zbl | DOI
Kronecker's place in history, History and philosophy of modern mathematics (Aspray, William; Kitcher, Philip, eds.), University of Minnesota Press, Minneapolis (1988), pp. 139-144 | MR | Zbl
Kronecker on the Foundations of Mathematics, From Dedekind to Gödel: Essays on the Development of the Foundations of Mathematics (Hintikka, Jaakko, ed.), Kluwer, Dordrecht (1995), pp. 45-52 | MR
Essays In Constructive Mathematics, Springer, New York, 2005 | MR | Zbl
Algèbre supérieure, Meline, Cans, Bruxelles, 1838
Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Wilhelm Koebner, Breslau, 1884 | MR | Zbl
Gedächtnisrede auf Leopold Kronecker, Gesammelte Abhandlungen, vol. III , Springer, Berlin (1893/1968), pp. 707-724
Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (thèse, Helmstedt), Werke, vol. III , Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Göttingen (1799/1866), pp. 1-30
, Werke, vol. III , Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Göttingen, 1849/1866, pp. 71-85
Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre : théorie des équations et calcul intégral, Archive for History of Exact Sciences, Volume 42 (1991), pp. 91-136 | MR | Zbl | DOI
Charles Hermite's stroll through the Galois fields, Revue d'histoire des mathématiques, Volume 17-2 (2011), pp. 211-270 | MR | Zbl | Numdam
Un arithméticien contre l'arithmétisation : les principes de Charles Hermite, Justifier en mathématiques (Flament, Dominique; Nabonnand, Philippe, eds.), MSH, Paris (2011), pp. 129-165 | Zbl
A Book in Search of a Discipline (1801–1860), The Shaping of Arithmetic after Carl-Friedrich Gauss's Disquisitiones arithmeticae (Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert; Schwermer, Joachim, eds.), Springer, Berlin (2007), pp. 2-65 | MR | DOI
Several Disciplines and a Book (1860–1901), The Shaping of Arithmetic after Carl-Friedrich Gauss's Disquisitiones arithmeticae (Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert; Schwermer, Joachim, eds.), Springer, Berlin (2007), pp. 66-103 | MR | DOI
Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940 (Grattan-Guinness, Ivor, ed.), Elsevier Science, Amsterdam, 2005 | MR | Zbl
Theorie der algebraischen Funktionen einer Variablen und ihre Anwendung auf algebraische Kurven und Abelsche Integrale, Teubner, Leipzig, 1902 | JFM
, Jean D'Alembert, savant et philosophe : portrait à plusieurs voix (Émery, Monique; Monzani, Pierre, eds.), Édition des archives contemporaines, Paris, 1989, pp. 351-360
Cours d'analyse de l'École polytechnique, vol. 1 , Gauthier-Villars et fils, Paris, 1893 | JFM
Correspondance (Aumonier, Nicolas; Marie-Christine, Challiol; Halimi, Michèle; de Launay, Marc; Marcuzzi, Max; Séroussi, Valérie, eds.), Gallimard, Paris, 1991
Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, 24, Springer, Berlin, 1926 | JFM
Leopold Kronecker, Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, Volume 33 (1925), pp. 210-228 | JFM
Algebraische Gleichungen, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen, 1881 (Manuscrit, Cod. Ms. A. Kneser B2)
Grundlagen der Differentialgeometrie, Teubner, Leipzig, 1913 | JFM
Antrittsrede bei der Aufnahme in die Akademie der Wissenschaften am 4. Juli 1861, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1861), pp. 637-642 ( Werke, vol. V, 387–393)
Über Systeme von Functionen mehrer Variabeln. Erste Abhandlung, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1869), pp. 159-193 ( Werke, vol. I, 177–212) | JFM
Über Systeme von Functionen mehrer Variabeln. Zweite Abhandlung, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1869), pp. 688-698 ( Werke, vol. I, 215–226) | JFM
Cours du semestre d'hiver 1872–1873, Theorie der Algebraischen Gleichungen, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1873 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/51549 )
Über die Charakteristik von Funktionen-Systemen, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1878), pp. 95-121 ( Werke, vol. II, 71–82) | JFM
Über Sturm'sche Functionen, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1878), pp. 95-121 ( Werke, vol. II, 39–70) | JFM
Cours du semestre d'hiver 1878–1879, Theorie der algebraischen Gleichungen, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1879 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/52337 )
Ueber die Discriminante algebraischer Functionen einer Variabeln, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Volume 91 (1881), pp. 301-334 ( Werke, vol. II, 193–236) | MR | JFM | DOI
Cours du semestre d'hiver 1880–1881, Theorie der Algebraischen Gleichungen, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1881 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/54535 )
Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Volume 92 (1882), pp. 1-122 ( Werke, vol. II, 237–388) | MR | JFM | DOI
Cours du semestre d'hiver 1881–1882, Höhere Zahlentheorie, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1882 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/63440 )
Cours du semestre d'hiver 1884–1885, Theorie der Algebraischen Gleichungen, Teil I, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1885 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/54352 )
Cours du semestre d'hiver 1884–1885, Theorie der Algebraischen Gleichungen, don du Dr Thiel, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1885 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/60188 )
Cours du semestre d'été 1885, Theorie der Algebraischen Gleichungen, Teil II, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1885 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/53779 )
Cours du semestre d'hiver 1885–1886, Über die Affecte der Gleichungen, welche in der Theorie der elliptischen Funktionen vorkommen, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1886 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/61293 )
Ein Fundamentalsatz der allgemeinen Arithmetik, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Volume 100 (1887), pp. 490-510 ( Werke, vol. IIIa, 209–240) | MR | JFM | DOI
Über den Zahlbegriff, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Volume 101 (1887), pp. 337-355 ( Werke, vol. IIIa, 249–274) | MR | JFM | DOI
Cours du semestre d'hiver 1886–1887, Theorie der Algebraischen Gleichungen, Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen, 1887 (Manuscrit, Signatur: 8 Cod. Ms. philos. 40 xf : 2)
Cours du semestre d'hiver 1886–1887, Theorie der Algebraischen Gleichungen, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1887 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/53647 )
Cours du semestre d'hiver 1887–1888, Zahlentheorie, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1888 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/37880 )
Cours du semestre d'hiver 1888–1889, Theorie der Algebraischen Gleichungen, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1889 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/53321 )
Cours du semestre d'hiver 1889–1890, Allgemeine Arithmetik. I. Teil. (Zahlentheorie), Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1890 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/38360 )
Cours du semestre d'hiver 1890–1891, Theorie der Algebraischen Gleichungen, Manuscrit inédit, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1891 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/53004 )
Vorlesungen über die Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale, Teubner, Leipzig, 1894 | JFM
Vorlesungen über Mathematik, vol. 1 , Teubner, Leipzig, 1901 | JFM
Vorlesungen über Mathematik, vol. 2 , Teubner, Leipzig, 1903 | JFM
Réflexions sur la résolution algébrique des équations, Nouveaux Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres, Volume 1 (1771), pp. 134-215
Beiträge zur Topologie geschlossener Kurven mit Knotenpunkten und zur Kroneckerschen Charakteristikentheorie, Mathematische Annalen, Volume 70 (1911) no. 4, pp. 563-579 | MR | JFM | DOI
Exposition du système du monde, Bachelier, Paris, 1835 | MR
Leçons d'algèbre, Bachelier, Paris, 1850
Briefwechsel mit Cantor, Dedekind, Helmholtz, Kronecker, Weierstrass und anderen (Scharlau, Winfried, ed.), DMV et Vieweg, éd. Scharlau (Winfried), Braunschweig/Wiesbaden, 1986 | MR | Zbl | DOI
Social History of Nineteenth-Century Mathematics (Mehrtens, Herbert; Bos, Henk JM; Schneider, Ivo, eds.), Birkhäuser, Boston, 1981 | Zbl | DOI
Probleme des Unendlichen: Werk und Leben Georg Cantors, Springer, Berlin, Heidelberg, 1967 | MR | Zbl | DOI
Georg Cantor: Briefe (Meschkowski, Herbert; Nilson, Winfried, eds.), Springer, Berlin, Heidelberg, 1991 | Zbl
Sur une notion qui comprend celle de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination, Acta mathematica, Volume 6 (1884), pp. 1-166 | MR | JFM | DOI
Die vier Gauss'schen Beweise für die Zerlegung ganzer algebraischer Functionen in reelle Factoren oder zweiten Grades, Wilhelm Engelmann, Leipzig, 1876 | JFM
Vorlesungen über Algebra, Teubner, Leipzig, 1900 | JFM
Über den ersten und vierten Gauss'schen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra, Nachrichten von der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen, Volume 8 (1920), pp. 50-58 | JFM
La théorie arithmétique des grandeurs algébriques de Kronecker, Actes de la Journée en l'honneur de Christian Houzel, IHP (Paris), 23 novembre 2007 (2007) (À paraître)
Perioden, Elementarteiler, Transzendenz: Kurt Hensels Weg zu den p-adischen Zahlen, Thèse , TU Darmstadt, Darmstadt (2011) | Zbl
On arithmetization, The Shaping of Arithmetic after Carl Friedrich Gauss's Disquisitiones Arithmeticae (Goldstein, Catherine; Norbert, Schappacher; Schwermer, Joachim, eds.), Springer, Berlin (2007), pp. 343-374 | MR
From the history of the analytic proofs of the fundamental theorem of algebra, History and methodology of the natural sciences, Volume XIV (1973), pp. 167-172 | MR
Kant et les mathématiques, Vrin, Paris, 2003 | MR | Zbl
The Fundamental Theorem of Algebra, Numbers (Ebbinghaus, Heinz-Dieter et al., eds.), Springer, New York (1991), pp. 97-122
Analyse infinitésimale à l'usage des ingénieurs, vol. 1 , Gauthier-Villars, Paris, 1900
Lessons introductory to the modern higher algebra, Hodges, Figgis, and Co., Dublin, 1885
Heinrich Weber : un mathématicien à Strasbourg, 1895–1913, L'Ouvert (1997), pp. 1-18
Cours d'algèbre supérieure, Mallet-Bachelier, Paris, 1849
Deux moments dans l'histoire du théorème d'algèbre de Ch. F. Sturm, Revue d'histoire des sciences, Volume 41-2 (1988), pp. 99-132 | MR | Zbl | DOI
Corps et Modèles : essai sur l'histoire de l'algèbre réelle, Mathésis, Vrin, Paris, 1991 | Zbl
Cauchy, Sturm et les racines des équations, Revue d'histoire des sciences, Volume 45-1 (1992), pp. 51-68 | MR | Zbl | DOI
L'Œuvre algébrique de Charles François Sturm, Collected Works of Charles François Sturm (Pont, Jean-Claude, ed.), Birkhäuser, Bâle (2009), pp. 13-24 | DOI
Ueber Systeme von Functionen reeller Variabeln, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Volume 112 (1893), pp. 141-146 | MR | JFM
Analyse d'un mémoire sur la résolution des équations numériques, Bulletin de Férussac, Volume 11 (1829), pp. 419-422
Mémoire sur la résolution des équations numériques, Mémoires présenté par divers savants étrangers à l'Académie royale des sciences, Volume 6 (1835), pp. 273-318
Cours d'analyse de l'École polytechnique, vol. 2 , Gauthier-Villars, Paris, 1901
On rational derivation from equations of coexistence, that is to say, a new and extended theory elimination, The London and Edinburgh Philosophical Magazine and Journal of Science, Volume 15 (1839), pp. 428-435
On a theory of the syzygetic relations of two rational integral functions, comprising an application to the theory of Sturm's functions, and that of the greatest algebraical common measure, Philosophical transactions of the Royal Society of London (1853), pp. 407-548
Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, vol. 2 , Hermann, Paris, 1910 | JFM
Mémoire sur la résolution des équations, Histoire de l'Académie royale des sciences, avec les Mémoires de mathématique et de physique (1771), pp. 365-416
Leopold Kronecker, Mathematische Annalen, Volume 43-1 (1893), pp. 1-25 | MR | JFM | DOI
Lehrbuch der Algebra, vol. 1 , Vieweg, Braunschweig, 1895
Traité d'algèbre supérieure, Gauthier-Villars, Paris, 1898
Cours du semestre d'hiver 1880–1881, Theorie der elliptischen Functionen, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1881 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/61734 )
Cours du semestre d'hiver 1881–1882, Theorie der Abelschen Functionen. Theil 1, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1882 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/62265 )
Cours du semestre d'hiver 1881–1882, Theorie der Abelschen Functionen. Theil 2, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1882 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/62796 )
Cours du semestre d'hiver 1882–1883, Theorie der analytischen Functionen, Université de Strasbourg, Bibliothèque de mathématiques de l'IRMA, 1883 (Manuscrit, http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/39821 )
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