no. 3
A piecewise contractive dynamical system and Phragmén’s election method
[Système dynamique contractant par morceaux et mode du scrutin de Phragmén]
Janson, Svante1 ; Öberg, Anders1
1 Department of Mathematics, Uppsala University, PO Box 480, 751 06 Uppsala, Sweden
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 3, pp. 395-441

We prove some basic results for a dynamical system given by a piecewise linear and contractive map on the unit interval that takes two possible values at a point of discontinuity. We prove that there exists a universal limit cycle in the non-exceptional cases, and that the exceptional parameter set is very tiny in terms of gauge functions. The exceptional two-dimensional parameter is shown to have Hausdorff-dimension one. We also study the invariant sets and the limit sets; these are sometimes different and there are several cases to consider. In addition, we prove the existence of a unique invariant measure. We apply some of our results for the dynamical system, involving a study of rational and irrational rotation numbers, to a combinatorial problem involving an election method suggested by Phragmén, and we show that the proportion of elected seats for each party converges to a limit, which is a rational number except for a very small exceptional set of parameters.

Nous étudions quelques propriétés de base d’un système dynamique défini par une transformation de l’intervalle [0,1] linéaire par morceaux, contractante et à deux valeurs possibles en un point de discontinuité. Nous montrons l’existence d’un cycle limite universel à l’exception d’un ensemble de valeurs des paramètres très petit en terme de fonction de jauge. Pour le paramètre bidimensionnel, l’ensemble exceptionnel est de dimension de Hausdorff 1. Nous étudions également le ensemble invariants et le ensemble limite pour le système dynamique. Ces ensembles peuvent être différents et plusieurs cas sont à considérer. L’existence d’une unique mesure invariante est établie.

Les résultats sur le nombre de rotation (rationnel ou irrationnel) du système dynamique sont appliqués à un problème combinatoire lié à un mode de scrutin électoral proposé par Phragmén. Nous montrons que la proportion des sièges d’élus de chaque parti converge vers une limite qui, est un nombre rationnel sauf pour un très petit ensemble de valeurs exceptionnelles des paramètres.

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DOI : 10.24033/bsmf.2787
Classification : 37E05, 91B12, 28A78
Keywords: piecewise contractive dynamical system, Phragméns election method
Mots-clés : système dynamique contractant par morceau, mode de scrutin de Phragmén

Janson, Svante 1 ; Öberg, Anders 1

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