Nombres premiers avec contraintes digitales multiples

Martin, Bruno; Mauduit, Christian; Rivat, Joël

doi:10.24033/bsmf.2781

Martin, Bruno ¹ ; Mauduit, Christian ² ; Rivat, Joël ³

¹ Univ. Littoral Côte d’Opale, EA 2797 – LMPA – Laboratoire de Mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville, 62228 Calais, France
² Université d’Aix-Marseille et Institut Universitaire de France, Institut de Mathématiques de Marseille CNRS UMR 7373, 163 avenue de Luminy, Case 907, 13288 Marseille Cedex 9, France
³ Université d’Aix-Marseille, Institut de Mathématiques de Marseille CNRS UMR 7373, 163 avenue de Luminy, Case 907, 13288 Marseille Cedex 9, France

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 2, pp. 259-287

Résumé (VO)
Abstract

Soit $q \geq 2$ un nombre entier. Pour tout nombre entier $n \geq 1$ et $k \in {0, ..., q - 1}$ nous notons ${| n |}_{k}$ le nombre d’apparitions du chiffre $k$ dans le développement de $n$ en base $q$ . Nous étudions la distribution jointe des fonctions ${(n \mapsto | n |}_{k})_{1 \leq k < q}$ le long de la suite des nombres premiers. Nous obtenons notamment une formule asymptotique pour le cardinal de l’ensemble des nombres premiers $p$ n’excédant pas $x$ et équilibrés en base $q$ (i.e. dont les chiffres en base $q$ satisfont à la condition ${| | p |}_{i} - {| p |}_{j} | \leq 1$ pour tout $(i, j) \in {0, ..., q - 1}^{2}$ ).

Let $q \geq 2$ be an integer. For every positive integer $n$ and $k \in {0, ..., q - 1}$ we denote by ${| n |}_{k}$ the number of occurrences of the digit $k$ in the representation of $n$ in base $q$ . We study the joint distribution of the functions ${(n \mapsto | n |}_{k})_{1 \leq k < q}$ along the sequence of prime numbers. We obtain an asymptotic formula for the number of primes less than $x$ which are balanced in base $q$ (i.e. such that the digits in base $q$ satisfy the condition ${| | p |}_{i} - {| p |}_{j} | \leq 1$ for all $(i, j) \in {0, ..., q - 1}^{2}$ ).

Reçu le : 2017-09-28
Révisé le : 2018-06-20
Accepté le : 2018-09-21
Publié le : 2019-06-21

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2781

Classification : 11A63, 11J71, 11L20, 11N05
Mots-clés : nombres premiers, sommes d’exponentielles, fonctions digitales, équirépartition modulo 1
Keywords: prime numbers, exponential sums, digital functions, uniform distribution modulo $1$

Affiliations des auteurs :

Martin, Bruno ¹ ; Mauduit, Christian ² ; Rivat, Joël ³

¹ Univ. Littoral Côte d’Opale, EA 2797 – LMPA – Laboratoire de Mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville, 62228 Calais, France
² Université d’Aix-Marseille et Institut Universitaire de France, Institut de Mathématiques de Marseille CNRS UMR 7373, 163 avenue de Luminy, Case 907, 13288 Marseille Cedex 9, France
³ Université d’Aix-Marseille, Institut de Mathématiques de Marseille CNRS UMR 7373, 163 avenue de Luminy, Case 907, 13288 Marseille Cedex 9, France

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Martin, Bruno; Mauduit, Christian; Rivat, Joël. Nombres premiers avec contraintes digitales multiples. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 2, pp. 259-287. doi: 10.24033/bsmf.2781

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