Sur la torsion de Frobenius de la catégorie des modules instables

Nguyen, The Cuong

doi:10.24033/bsmf.2775

Nguyen, The Cuong ^1,²

¹ Department of Mathematics, Vietnam National University, 334 Nguyen Trai Street, Hanoi, Vietnam
² Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications - UMR7539 du CNRS, LIAFV 99 Avenue Jean-Baptiste Clément 93430 Villetaneuse France

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 1, pp. 49-90

Résumé (VO)
Abstract

Un des phénomènes marquants dans la catégorie $𝒫_{d}$ des foncteurs polynomiaux stricts est l’injectivité des morphismes induits par la torsion de Frobenius entre groupes d’extensions des foncteurs. Dans [4], l’auteur démontre que le foncteur de Hai, allant de la catégorie $𝒫_{d}$ vers la catégorie des modules instable $𝒰$ , est pleinement fidèle. Cela fait de la catégorie $𝒫_{d}$ une sous-catégorie pleine de la catégorie $𝒰$ . La torsion de Frobenius s’étend à toute la catégorie $𝒰$ , mais n’y est pas aussi bien comprise. Cet article étudie la torsion de Frobenius, soit dans ce cas le foncteur double $Φ$ , et ses effets sur les groupes d’extension des modules instables. On donne des calculs explicites de nombreux groupes d’extensions des modules instables, et permet de confirmer, dans de nombreux cas, l’injectivité des morphismes entre des groupes d’extensions induits par la torsion de Frobenius dans la catégorie $𝒰$ . Ces résultats sont obtenus en étudiant la résolution injective minimale du module instable libre $F (1)$ .

The Frobenius twist of strict polynomial functors induces natural morphisms between Ext-groups, which are injective according to Friedlander and Suslin [10]. This fact plays an important role in homological computations of strict polynomial functors. In algebraic topology, the category $𝒫_{d}$ of homogeneous strict polynomial functors of degree $d$ is connected to the category $𝒰$ of unstable modules over the Steenrod algebra via Hai’s functor [11], which is proved to be fully faithful in [4]. The Frobenius twist is extended to the category $𝒰$ , under the form of the double functor $Φ$ , but remains mysterious there. This article aims to study the Frobenius twist $Φ$ and its effects on Ext-groups of unstable modules. We compute explicitly many Ext-groups in $𝒰$ and show that in these cases, the morphisms induced by the Frobenius twist are injective. These results are obtained by constructing the minimal injective resolution of the free unstable module $F (1)$ .

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2775

Classification : 55S10, 18A40
Mots-clés : Algèbre de Steenrod, foncteurs polynomiaux stricts, modules instables, torsion de Frobenius
Keywords: Steenrod algebra, strict polynomial functors, unstable modules, Frobenius twist

Affiliations des auteurs :

Nguyen, The Cuong ^{1, 2}

¹ Department of Mathematics, Vietnam National University, 334 Nguyen Trai Street, Hanoi, Vietnam
² Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications - UMR7539 du CNRS, LIAFV 99 Avenue Jean-Baptiste Clément 93430 Villetaneuse France

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Nguyen, The Cuong. Sur la torsion de Frobenius de la catégorie des modules instables. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 1, pp. 49-90. doi: 10.24033/bsmf.2775

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