Distribution of irrational zeta values

Fischler, Stéphane

doi:10.24033/bsmf.2741

Distribution of irrational zeta values
[Répartition des valeurs irrationnelles de zêta]

Fischler, Stéphane ¹

¹ Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Univ. Paris-Sud, CNRS, Université Paris-Saclay, 91405 Orsay, France.

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 145 (2017) no. 3, pp. 381-409

Abstract (VO)
Résumé

In this paper we refine the Ball-Rivoal theorem by proving that for any odd integer $a$ sufficiently large in terms of $ε > 0$ , there exist $⌊ \frac{(1 - ε) log a}{1 + log 2} ⌋$ odd integers $s$ between 3 and $a$ , with distance at least $a^{ε}$ from one another, at which the Riemann zeta function takes $ℚ$ -linearly independent values. As a consequence, if there are very few odd integers $s$ such that $ζ (s)$ is irrational, then they are rather evenly distributed.

The proof involves series of hypergeometric type, a trick to apply the saddle point method with parameters, and the generalization to vectors of Nesterenko’s linear independence criterion.

Dans cet article on raffine le théorème de Ball-Rivoal en démontrant que pour tout entier impair $a$ suffisamment grand en fonction de $ε > 0$ , il existe $⌊ \frac{(1 - ε) log a}{1 + log 2} ⌋$ entiers impairs $s$ entre 3 et $a$ , écartés les uns des autres d’au moins $a^{ε}$ , en lesquels la fonction zêta de Riemann prend des valeurs $ℚ$ -linéairement indépendantes. En conséquence, si il y a très peu d’entiers impairs $s$ tels que $ζ (s)$ soit irrationnel, alors ils sont assez bien répartis.

La preuve utilise des séries de type hypergéométrique, une astuce pour appliquer la méthode du col en présence de paramètres, et la généralisation aux vecteurs du critère d’indépendance linéaire de Nesterenko.

Reçu le : 2014-09-25
Accepté le : 2016-12-19
Publié le : 2017-07-21

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2741

Classification : 11J72, 33C20, 11M06, 11M32
Keywords: Linear independence, irrationality, Riemann zeta function, series of hypergeometric type, saddle point method.
Mots-clés : Indépendance linéaire, irrationalité, fonction zêta de Riemann, série de type hypergéométrique, méthode du col.

Affiliations des auteurs :

Fischler, Stéphane ¹

¹ Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Univ. Paris-Sud, CNRS, Université Paris-Saclay, 91405 Orsay, France.

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Fischler, Stéphane. Distribution of irrational zeta values. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 145 (2017) no. 3, pp. 381-409. doi: 10.24033/bsmf.2741

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