Type theory and coefficient systems on the building

Broussous, Paul; Schneider, Peter

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 145 (2017) no. 1, pp. 97-159

Let F be a non-archimedean local field and G be the group GL(N,F) for some integer N≥2. Let π be a smooth complex representation of G lying in the Bernstein block ℬ(π) of some simple type in the sense of Bushnell and Kutzko [10]. Refining the approach of the second author and U. Stuhler in [18], we canonically attach to π a subset Xπ of the Bruhat-Tits building X of G, as well as a G-equivariant coefficient system 𝒞[π] on Xπ. Roughly speaking the coefficient system is obtained by taking isotypic components of π according to some representations constructed from the Bushnell and Kutzko type of π. We conjecture that when π has central character, the augmented chain complex associate to 𝒞[π] is a projective resolution of π in the category ℬ(π). Moreover we reduce this conjecture to a technical lemma of representation theoretic nature. We prove this lemma when π is an irreducible discrete series of G. Following closely [19], we then attach to any irreducible discrete series π of G an explicit pseudo-coefficient fπ and obtain a Lefschetz type formula for the value of the Harish-Chandra character of π at a regular elliptic element. In contrast to that of [19], this formula allows explicit character value computations.

Soient F un corps local non archimédien et G le groupe GL(N,F), pour un entier N≥2. Soit π une représentation lisse complexe de G appartenant au bloc de Bernstein ℬ(π) d’un type simple au sens de Bushnell et Kutzko [10]. En affinant l’approche que proposent le second auteur et U. Stuhler dans [18], nous attachons canoniquement à π un sous-ensemble Xπ de l’immeuble de Bruhat-Tits X de G, ainsi qu’un système de coefficients G-équivariant 𝒞[π] sur Xπ. Grossièrement parlant, le système de coefficients est construit en prenant des composantes isotypiques de π selon des représentations construites à partir du type de Bushnell et Kutzko de π. Nous conjecturons que lorsque π possède un caractère central, le complexe de chaînes augmenté associé à 𝒞[π] est une résolution de π dans la catégorie ℬ(π). De plus nous réduisons cette conjecture à un lemme technique en théorie des représentations. Nous démontrons ce lemme lorsque π est une représentation irréductible de la série discrète de G. Ensuite, suivant de près [19], nous attachons à toute représentation irréductible π de la série discrète de G un pseudo-coefficient explicite fπ et obtenons une formule de type Lefschetz pour la valeur du caractère de Harish-Chandra de π en un élément elliptique régulier. Contrairement à celle obtenue dans [19], notre formule permet des calculs explicites.

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