[Hessien de la forme hermitienne naturelle sur des espaces de twisteurs]
We compute the hessian of the natural Hermitian form successively on the Calabi family of a hyperkähler manifold , on the twistor space of a -dimensional anti-self-dual Riemannian manifold and on the twistor space of a quaternionic Kähler manifold . We show a strong convexity property of the component of cycle space of the Calabi family of a hyperkähler manifold, that contains twistor lines. We also prove convexity properties of the -cycle space of the twistor space of a -dimensional anti-self-dual Einstein manifold of non-positive scalar curvature and of the -cycle space of the twistor space of a quaternionic Kähler manifold of non-positive scalar curvature. We check that no non-Kähler strong Kähler with torsion () manifold occurs as such a twistor space.
Nous calculons le hessien de la forme hermitienne naturelle successivement sur la famille de Calabi d’une variété hyperkählérienne , sur l’espace des twisteurs d’une variété riemannienne de dimension anti-auto duale et sur l’espace des twisteurs d’une variété quaternionique kähler . Nous montrons une propriété de convexité de la composante de l’espace des cycles de la famille de Calabi d’une variété hyperkählérienne, qui contient les droites twistorielles. Nous montrons aussi des propriétés de convexité de l’espace des -cycles de l’espace des twisteurs d’une variété d’Einstein de dimension anti-auto duale à courbure scalaire négative et de l’espace des -cycles de l’espace des twisteurs d’une variété quaternionique kähler à courbure scalaire négative. Nous vérifions aussi qu’aucune variété fortement kählerienne avec torsion () non kählérienne n’est obtenue par les constructions précédentes.
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
Keywords: twistor space, 4-dimensional Riemannian manifold, quaternionic Kähler manifold, hyperkähler manifold, strong KT manifolds, Kobayashi Hyperbolicity
Deschamps, Guillaume 1 ; Le Du, Noël 2 ; Mourougane, Christophe 2
@article{BSMF_2017__145_1_1_0,
author = {Deschamps, Guillaume and Le Du, No\"el and Mourougane, Christophe},
title = {Hessian of the natural {Hermitian} form on twistor spaces},
journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
pages = {1--27},
year = {2017},
publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
volume = {145},
number = {1},
doi = {10.24033/bsmf.2729},
language = {en},
url = {https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2729/}
}
TY - JOUR AU - Deschamps, Guillaume AU - Le Du, Noël AU - Mourougane, Christophe TI - Hessian of the natural Hermitian form on twistor spaces JO - Bulletin de la Société Mathématique de France PY - 2017 SP - 1 EP - 27 VL - 145 IS - 1 PB - Société mathématique de France UR - https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2729/ DO - 10.24033/bsmf.2729 LA - en ID - BSMF_2017__145_1_1_0 ER -
%0 Journal Article %A Deschamps, Guillaume %A Le Du, Noël %A Mourougane, Christophe %T Hessian of the natural Hermitian form on twistor spaces %J Bulletin de la Société Mathématique de France %D 2017 %P 1-27 %V 145 %N 1 %I Société mathématique de France %U https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2729/ %R 10.24033/bsmf.2729 %G en %F BSMF_2017__145_1_1_0
Deschamps, Guillaume; Le Du, Noël; Mourougane, Christophe. Hessian of the natural Hermitian form on twistor spaces. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 145 (2017) no. 1, pp. 1-27. doi: 10.24033/bsmf.2729
Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, Volume 362 (1978), pp. 425-461 | MR
Convexité de l’espace des cycles, Bull. Soc. Math. France, Volume 106 (1978), pp. 373-397 | Numdam | MR | Zbl | DOI
Variétés kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle, J. Differential Geom., Volume 18 (1983), pp. 755-782 http://projecteuclid.org/... | MR | Zbl
Remarques sur les groupes d’holonomie des variétés riemanniennes, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, Volume 262 (1966), p. A1316-A1318 | MR
Einstein manifolds, Ergebn. Math. Grenzg., 10, Springer, 1987, 510 pages | MR
Twistor spaces and nonhyperbolicity of certain symplectic Kähler manifolds, Complex analysis (Wuppertal, 1991) (Aspects Math., E17), Vieweg, 1991, pp. 64-69 | MR
An application of twistor theory to the nonhyperbolicity of certain compact symplectic Kähler manifolds, J. reine angew. Math., Volume 425 (1992), pp. 1-7 | DOI | MR
Introduction to differential geometry of twistor spaces, Geometric theory of singular phenomena in partial differential equations (Cortona, 1995) (Sympos. Math., XXXVIII), Cambridge Univ. Press, 1998, pp. 91-160 | MR
The Levi problem on complex spaces with singularities, Math. Ann., Volume 248 (1980), pp. 47-72 | DOI | MR
Families of strong KT structures in six dimensions, Comment. Math. Helv., Volume 79 (2004), pp. 317-340 | MR | Zbl | DOI
A survey on strong KT structures, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie (N.S.), Volume 52(100) (2009), pp. 99-116 | MR | Zbl
Closedness of the Douady spaces of compact Kähler spaces, Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 14 (1978/79), pp. 1-52 | MR
Kählerian twistor spaces, Proc. London Math. Soc., Volume 43 (1981), pp. 133-150 | MR | Zbl | DOI
Hyper-Kähler metrics and supersymmetry, Comm. Math. Phys., Volume 108 (1987), pp. 535-589 http://projecteuclid.org/... | MR
Compact hyperkähler manifolds, Calabi-Yau manifolds and related geometries (Nordfjordeid, 2001) (Universitext), Springer, 2003, pp. 161-225 | MR
Kobayashi pseudometric on hyperkahler manifolds (preprint arXiv:1308.5667 ) | MR | Zbl
Non-Hermitian Yang-Mills connections, Selecta Math. (N.S.), Volume 4 (1998), pp. 279-320 | DOI | MR
Intégration sur un ensemble analytique complexe, Bull. Soc. Math. France, Volume 85 (1957), pp. 239-262 | MR | Zbl | Numdam | DOI
Compactness of the Chow scheme: applications to automorphisms and deformations of Kähler manifolds, Fonctions de plusieurs variables complexes, III (Sém. François Norguet, 1975–1977) (Lecture Notes in Math.), Volume 670, Springer, 1978, pp. 140-186 | MR
Quaternionic Kähler manifolds, Invent. math., Volume 67 (1982), pp. 143-171 | MR
Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature, J. Differential Geom., Volume 20 (1984), pp. 479-495 http://projecteuclid.org/... | MR
Rational curves and special metrics on twistor spaces, Geom. Topol., Volume 18 (2014), pp. 897-909 | DOI | MR
Ergodic complex structures on hyperkähler manifolds, Acta Math., Volume 215 (2015), pp. 161-182 | MR | Zbl | DOI
On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I, Comm. Pure Appl. Math., Volume 31 (1978), pp. 339-411 | DOI | MR
Cité par Sources :
