no. 4
Groupes de Kac-Moody déployés sur un corps local II. Masures ordonnées
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 144 (2016) no. 4, pp. 613-692

Pour un groupe de Kac-Moody déployé (au sens de J. Tits) sur un corps réellement valué quelconque, on construit une masure affine ordonnée sur laquelle ce groupe agit. Cette construction généralise celle déjà effectuée par S. Gaussent et l'auteur quand le corps résiduel contient le corps des complexes et celle de F. Bruhat et J. Tits quand le groupe est réductif. On montre que cette masure vérifie bien toutes les propriétés des masures affines ordonnées comme définies précédemment par l'auteur. On utilise le groupe de Kac-Moody maximal au sens d'O. Mathieu et on montre quelques résultats pour celui-ci sur un corps quelconque; en particulier on prouve, dans certains cas, un résultat de simplicité pour ce groupe maximal.

For a split Kac-Moody group (in J. Tits' definition) over a field endowed with a real valuation, we build a masure on which the group acts. This construction generalizes the one already done by S. Gaussent and the author when the residue field contains the complex field and the one by F. Bruhat and J. Tits when the group is reductive. We prove that this masure has all the properties of the “masures affines ordonnées” defined previously by the author. We use the maximal Kac-Moody group as defined by O. Mathieu and we prove a few new results about it over any field; in particular we prove, in some cases, a simplicity result for this group.

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DOI : 10.24033/bsmf.2724
Classification : 20G44, 20G25, 20E42, 51E24, 20E32, 17B67
Mots-clés : Groupe de Kac-Moody, corps local, algèbre enveloppante, immeuble, masure, groupe simple.
Keywords: Kac-Moody group, local field, enveloping algebra, building, masure, simple group. 
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TY  - JOUR
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Rousseau, Guy. Groupes de Kac-Moody déployés  sur un corps local II. Masures ordonnées. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 144 (2016) no. 4, pp. 613-692. doi: 10.24033/bsmf.2724

Abramenko, Peter; Brown, Kenneth S. Buildings, Graduate Texts in Math., 248, Springer, New York, 2008, 747 pages (ISBN: 978-0-387-78834-0) | MR | Zbl | DOI

Bardy, Nicole Systèmes de racines infinis, Mém. Soc. Math. Fr., Volume 65 (1996) (ISSN: 0249-633X) | MR | Zbl | Numdam

Bardy-Panse, Nicole; Gaussent, Stéphane; Rousseau, Guy Iwahori-Hecke algebras for Kac-Moody groups over local fields (à paraître dans Pacific J. Math ) | MR

Bourbaki, Nicolas Groupes et algèbres de Lie, Hermann, 1960 | MR

Bourbaki, Nicolas Topologie générale, Hermann, 1965 | MR

Bruhat, F.; Tits, Jacques Groupes réductifs sur un corps local I. Données radicielles valuées, Publ. Math. IHÉS, Volume 41 (1972), pp. 5-251 (ISSN: 0073-8301) | MR | Zbl | Numdam | DOI

Bruhat, F.; Tits, Jacques Groupes réductifs sur un corps local II. Schémas en groupes, existence d'une donnée radicielle valuée, Publ. Math. IHÉS, Volume 60 (1984), pp. 5-184 (ISSN: 0073-8301) | Numdam | Zbl | MR

Caprace, Pierre-Emmanuel; Rémy, Bertrand Simplicity and superrigidity of twin building lattices, Invent. math., Volume 176 (2009), pp. 169-221 (ISSN: 0020-9910) | MR | Zbl | DOI

Carbone, Lisa; Ershov, Mikhail; Ritter, Gordon Abstract simplicity of complete Kac-Moody groups over finite fields, J. Pure Appl. Algebra, Volume 212 (2008), pp. 2147-2162 (ISSN: 0022-4049) | MR | Zbl | DOI

Carbone, Lisa; Garland, Howard Existence of lattices in Kac-Moody groups over finite fields, Commun. Contemp. Math., Volume 5 (2003), pp. 813-867 (ISSN: 0219-1997) | MR | Zbl | DOI

Charignon, Cyril Immeubles affines et groupes de Kac-Moody, masures bordées, Ph. D. Thesis , Université de Nancy, Éditions universitaires européennes (2010) ( http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/49/79/61/PDF/these.pdf )

Charignon, Cyril Compactifications polygonales d'un immeuble affine (preprint arXiv:0903.0502 )

Charignon, Cyril Structures immobilières pour un groupe de Kac-Moody sur un corps local (preprint arXiv:0912.0442 )

Demazure, Michel; Gabriel, Pierre Groupes algébriques, 1, Masson-North Holland, 1970

Garland, Howard The arithmetic theory of loop algebras, J. Algebra, Volume 53 (1978), pp. 480-551 (ISSN: 0021-8693) | MR | Zbl | DOI

Garland, Howard A Cartan decomposition for p-adic loop groups, Math. Ann., Volume 302 (1995), pp. 151-175 (ISSN: 0025-5831) | MR | Zbl | DOI

Gaussent, Stéphane; Rousseau, Guy Kac-Moody groups, hovels and Littelmann paths, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 58 (2008), pp. 2605-2657 (ISSN: 0373-0956) | Numdam | MR | Zbl | DOI

Gaussent, Stéphane; Rousseau, Guy Spherical Hecke algebras for Kac-Moody groups over local fields, Ann. of Math., Volume 180 (2014), pp. 1051-1087 (ISSN: 0003-486X) | MR | Zbl | DOI

Hée, Jean-Yves Système de racines sur un anneau commutatif totalement ordonné, Geom. Dedicata, Volume 37 (1991), pp. 65-102 (ISSN: 0046-5755) | MR | Zbl | DOI

Huah, Chu On the GE2 of graded rings, J. Algebra, Volume 90 (1984), pp. 208-216 (ISSN: 0021-8693) | MR | Zbl | DOI

Kac, Victor G. Infinite-dimensional Lie algebras, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990, 400 pages (ISBN: 0-521-37215-1; 0-521-46693-8) | MR | Zbl | DOI

Kac, Victor G.; Peterson, D. H. Defining relations of certain infinite-dimensional groups, Astérisque, Volume numéro hors-série (1985), pp. 165-208 (ISSN: 0303-1179) | MR | Zbl | Numdam

Kumar, Shrawan Kac-Moody groups, their flag varieties and representation theory, Progress in Math., 204, Birkhäuser, 2002, 606 pages (ISBN: 0-8176-4227-7) | MR | Zbl | DOI

Marquis, Timothée Abstract simplicity of locally compact Kac-Moody groups, Compos. Math., Volume 150 (2014), pp. 713-728 (ISSN: 0010-437X) | MR | Zbl | DOI

Mathieu, Olivier Construction du groupe de Kac-Moody et applications, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 306 (1988), pp. 227-230 (ISSN: 0249-6291) | MR | Zbl

Mathieu, Olivier Formules de caractères pour les algèbres de Kac-Moody générales, Astérisque, Volume 159-160 (1988) (ISSN: 0303-1179) | MR | Numdam | Zbl

Mathieu, Olivier Construction d'un groupe de Kac-Moody et applications, Compositio Math., Volume 69 (1989), pp. 37-60 (ISSN: 0010-437X) | Numdam | MR | Zbl

Mathieu, Olivier On some modular representations of affine Kac-Moody algebras at the critical level, Compositio Math., Volume 102 (1996), pp. 305-312 (ISSN: 0010-437X) | Numdam | MR | Zbl

Mitzman, David Integral bases for affine Lie algebras and their universal enveloping algebras, Contemporary Mathematics, 40, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1985, 159 pages (ISBN: 0-8218-5043-1) | MR | Zbl | DOI

Moody, Robert A simplicity theorem for Chevalley groups defined by generalized Cartan matrices (1982) (preprint)

Moody, Robert; Teo, K. L. Tits' systems with crystallographic Weyl groups, J. Algebra, Volume 21 (1972), pp. 178-190 (ISSN: 0021-8693) | MR | Zbl | DOI

Rémy, Bertrand Groupes de Kac-Moody déployés et presque déployés, Astérisque, Volume 277 (2002) (ISSN: 0303-1179) | MR | Numdam | Zbl

Rémy, Bertrand; Ronan, Mark Topological groups of Kac-Moody type, right-angled twinnings and their lattices, Comment. Math. Helv., Volume 81 (2006), pp. 191-219 (ISSN: 0010-2571) | MR | Zbl | DOI

Rousseau, Guy Groupes de Kac-Moody déployés sur un corps local, immeubles microaffines, Compos. Math., Volume 142 (2006), pp. 501-528 (ISSN: 0010-437X) | MR | Zbl | DOI

Rousseau, Guy, Géométries à courbure négative ou nulle, groupes discrets et rigidités (Sémin. Congr.), Volume 18, Soc. Math. France, Paris, 2009, pp. 77-116 | MR | Zbl

Rousseau, Guy Masures affines, Pure Appl. Math. Q., Volume 7 (2011), pp. 859-921 (ISSN: 1558-8599) | MR | Zbl | DOI

Steinberg, Robert, Colloq. Théorie des Groupes Algébriques (Bruxelles, 1962), Librairie Universitaire, Louvain; Gauthier-Villars, Paris, 1962, pp. 113-127 | MR | Zbl

Steinberg, Robert Lectures on Chevalley groups, Yale University, New Haven, Conn., 1968, 277 pages | MR | Zbl

Tits, Jacques, Buildings and the geometry of diagrams (Como, 1984) (Lecture Notes in Math.), Volume 1181, Springer, Berlin, 1986, pp. 159-190 | MR | Zbl | DOI

Tits, Jacques Uniqueness and presentation of Kac-Moody groups over fields, J. Algebra, Volume 105 (1987), pp. 542-573 (ISSN: 0021-8693) | MR | Zbl | DOI

Tits, Jacques Groupes associés aux algèbres de Kac-Moody, Séminaire Bourbaki, vol. 1988/1989, exposé no 700, Astérisque, Volume 177-178 (1989), pp. 7-31 (ISSN: 0303-1179) | MR | Zbl | Numdam

Tits, Jacques, Groups, combinatorics & geometry (Durham, 1990) (London Math. Soc. Lecture Note Ser.), Volume 165, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992, pp. 249-286 | MR | Zbl | DOI

Tits, Jacques Algèbres de Kac-Moody et groupes associés I, Résumés des cours au Collège de France, 1973–2000 (Documents math.), Volume 12, Soc. Math. France (2013), pp. 47-57 | MR

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