Multiplicités modulaires raffinées

Breuil, Christophe; Mézard, Ariane

doi:10.24033/bsmf.2661

Breuil, Christophe ; Mézard, Ariane

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 142 (2014) no. 1, pp. 127-175

Résumé (VO)
Abstract

Soit $\bar{ρ} : Gal (\bar{ℚ_{p}} / ℚ_{p}) \to {GL}_{2} (\bar{𝔽_{p}})$ continue suffisamment générique. En utilisant la conjecture sur les multiplicités modulaires de [6] démontrée dans [16], on montre qu'il existe une bijection naturelle entre l'ensemble des composantes irréductibles de la fibre spéciale d'un anneau de déformations potentiellement semi-stables de $\bar{ρ}$ (à poids de Hodge-Tate et type galoisien fixés) et l'ensemble des poids de Serre de $\bar{ρ}$ distincts qui apparaissent dans la réduction modulo $p$ du type de Bushnell-Kutzko pour ${GL}_{2} (ℤ_{p})$ correspondant. Cette bijection préserve de plus les multiplicités respectives (de la composante irréductible dans son schéma ambiant, et du poids de Serre associé dans les constituants de la réduction modulo $p$ ). On conjecture que cela reste vrai en remplaçant $Gal (\bar{ℚ_{p}} / ℚ_{p})$ par $Gal (\bar{ℚ_{p}} / F)$ et ${GL}_{2} (ℤ_{p})$ par ${GL}_{2} (𝒪_{F})$ pour $F$ extension finie non ramifiée de $ℚ_{p}$ , et on donne une famille d'exemples non triviaux d'anneaux de déformations où c'est bien le cas.

Let $\bar{ρ} : Gal (\bar{ℚ_{p}} / ℚ_{p}) \to {GL}_{2} (\bar{𝔽_{p}})$ be continuous and sufficiently generic. Using the conjecture on modular multiplicities of [6] proved in [16], we show that there is a natural bijection between the set of irreducible components of the special fiber of a potentially semistable deformation ring of $\bar{ρ}$ (with fixed Hodge-Tate weights and Galois type) and the set of distinct Serre weights of $\bar{ρ}$ which appear in the reduction mod $p$ of the corresponding Bushnell-Kutzko type for ${GL}_{2} (ℤ_{p})$ . This bijection preserves respective multiplicities (of the irreducible component in its ambient scheme and of the associated Serre weight in the constituants of the reduction mod $p$ ). We conjecture that this remains true when replacing $Gal (\bar{ℚ_{p}} / ℚ_{p})$ by $Gal (\bar{ℚ_{p}} / F)$ and ${GL}_{2} (ℤ_{p})$ by ${GL}_{2} (𝒪_{F})$ for $F$ a finite unramified extension of $ℚ_{p}$ , and we give a family of non trivial examples of deformation rings when this holds.

Publié le : 2014-07-21

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DOI : 10.24033/bsmf.2661

Classification : 11F80, 11F85, 11S23
Mots-clés : Multiplicités modulaires, anneaux de déformations
Keywords: Modular multiplicities, bijection

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Breuil, Christophe; Mézard, Ariane. Multiplicités modulaires raffinées. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 142 (2014) no. 1, pp. 127-175. doi: 10.24033/bsmf.2661

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