Minorations simultanées de formes linéaires de logarithmes de nombres algébriques

Gaudron, Éric

doi:10.24033/bsmf.2658

Gaudron, Éric

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 142 (2014) no. 1, pp. 1-62

Résumé (VO)
Abstract

Soit $p$ un nombre premier ou $p = \infty$ et $k$ un corps de nombres plongé dans $𝐂_{p}$ . Soit $n \in 𝐍 ∖ {0}$ et $u_{1}, ..., u_{n} \in 𝐂_{p}$ tels que $e^{u_{j}} \in k$ pour tout $j \in {1, ..., n}$ . Soit $(β_{i, j})$ , $1 \leq i \leq t$ , $1 \leq j \leq n$ , une matrice $t \times n$ à coefficients dans $k$ . Soit $(β_{1, 0}, ..., β_{t, 0}) \in k^{t}$ . Posons $Λ_{i} : = β_{i, 0} + \sum_{j = 1}^{n} β_{i, j} u_{j} \in 𝐂_{p}$ pour tout $i \in {1, ..., t}$ . Nous obtenons des minorations de $max {| Λ_{i} |_{p}; 1 \leq i \leq t}$ explicites en tous les paramètres, lorsque ce maximum n'est pas nul. Ces minorations englobent de nombreux résultats antérieurs. La démonstration repose sur la méthode de Baker-Philippon-Waldschmidt, la réduction d'Hirata-Kohno, le procédé de changement de variables de Chudnovsky, repensés avec les outils modernes de la théorie des pentes adéliques (méthode de la section auxiliaire). Au passage, nous montrons comment étendre le lemme de Siegel absolu de Zhang au cadre des fibrés adéliques hermitiens et nous établissons un nouveau lemme de Siegel approché.

This work falls within the theory of linear forms in logarithms over a commutative linear algebraic group defined over a number field. We give lower bounds for simultaneous linear forms in logarithms of algebraic numbers, treating both the archimedean and $p$ -adic cases. The proof includes Baker's method, Hirata's reduction, Chudnovsky's process of variable change. The novelty is that we integrate into the proof the modern tools of adelic slope theory (auxiliary section method), using a new small values Siegel's lemma.

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2658

Classification : 11J86, 11J61, 14G40
Mots-clés : Formes linéaires de logarithmes, approximation simultanée, méthode de Baker, réduction d'Hirata-Kohno, changement de variables de Chudnovsky, méthode de la section auxiliaire, fibré adélique hermitien, lemme de Siegel absolu, lemme de Siegel approché.
Keywords: Linear forms in logarithms, simultaneous approximations, Baker's method, Hirata's reduction, Chudnovsky's process of variable change, adelic slope, Hermitian vector bundle, auxiliary section method, absolute Siegel's lemma, small values Siegel's lemma.

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Gaudron, Éric. Minorations simultanées de formes linéaires de logarithmes de nombres algébriques. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 142 (2014) no. 1, pp. 1-62. doi: 10.24033/bsmf.2658

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