Transformée de Radon semi-globale

Benchoufi, Mehdi

Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 139 (2011) no. 2, pp. 145-161.

In this article, we mean to study the kernel, the image and a possible inversion formula for the real Radon transform in linearly concave domains. We recall that, in ${ℝ}^2$, we know how to reconstruct a function from its Radon transform when the latest is known all along every lines of the space. Our purpose will be somehow to establish a semi-global analogue of this result. In this way, we will see that, modulo a kernel we will precise, consisting of jumps of holomorphic functions, each of which is defined upon a “ wedge ” and submitted to an estimation in $𝒪\left(\frac{1}{{\left|z\right|}^2}\right)$ when $\left|z\right|$ tends to infinity, an inversion formula is reachable as soon as the Radon transform is known in the neighbourhood of a line.

Dans cet article, nous nous proposons d’étudier le noyau, l’image et une éventuelle formule d’inversion de la transformation de Radon réelle dans les domaines linéairement concaves. Nous rappelons que, dans ${ℝ}^2$, on sait reconstruire une fonction à partir de sa transformation de Radon lorsque celle-ci est connue le long de toutes les droites de l’espace. Notre propos sera, en quelque sorte, d’établir une version semi-globale de ce résultat. Nous verrons ainsi que, modulo un noyau que nous préciserons, constitué de sauts de fonctions holomorphes, chacune définie sur un « wedge » et vérifiant dans leurs domaines respectifs une majoration en $𝒪\left(\frac{1}{{\left|z\right|}^2}\right)$ lorsque $\left|z\right|$ tend vers l’infini, une formule d’inversion est accessible dès lors que la transformation de Radon n’est connue qu’au voisinage d’une droite.

[1] J. Boman - « Holmgren's uniqueness theorem and support theorems for real analytic Radon transforms », in Geometric analysis (Philadelphia, PA, 1991), Contemp. Math., vol. 140, Amer. Math. Soc., 1992, p. 23-30. | MR | Zbl

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[11] A. Martineau - « Equations différentielles d'ordre infini », Bull. Soc. Math. France 95 (1967), p. 109-154. | Numdam | MR | Zbl

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