$𝒟$-modules arithmétiques associés aux isocristaux surconvergents. Cas lisse

Caro, Daniel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 4, pp. 453-543

Soient $𝒱$ un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques, $𝒫$ un $𝒱$-schéma formel séparé et lisse, $P$ sa fibre spéciale, $X$ un sous-schéma fermé de $P$, $T$ un diviseur de $P$ tel que $T_X=T\cap X$ soit un diviseur de $X$ et ${𝒟}_{𝒫}^{†}{\left(\phantom{}{}^{†}T\right)}_{\mathbb{Q}}$ le complété faible du faisceau des opérateurs différentiels sur $𝒫$ à singularités surconvergentes le long de $T$ tensorisé par $\mathbb{Q}$. Nous construisons un foncteur pleinement fidèle, noté ${\mathrm{sp}}_{X\hookrightarrow 𝒫,T,+}$, de la catégorie des isocristaux sur $X\setminus T_X$ surconvergents le long de $T_X$ dans celle des ${𝒟}_{𝒫}^{†}{\left(\phantom{}{}^{†}T\right)}_{\mathbb{Q}}$-modules cohérents à support dans $X$. Puis, nous prouvons la commutation de ${\mathrm{sp}}_{X\hookrightarrow 𝒫,T,+}$ aux images inverses (extraordinaires) et aux foncteurs duaux. Ces propriétés sont compatibles à Frobenius.

Let $𝒱$ be a mixed characteristic complete discrete valuation ring, $𝒫$ a separated smooth formal scheme over $𝒱$, $P$ its special fiber, $X$ a smooth closed subscheme of $P$, $T$ a divisor in $P$ such that $T_X=T\cap X$ is a divisor in $X$ and ${𝒟}_{𝒫}^{†}{\left(\phantom{}{}^{†}T\right)}_{\mathbb{Q}}$ the tensorized with $\mathbb{Q}$ weak completion of the sheaf of differential operators on $𝒫$ with overconvergent singularities along $T$. We construct a fully faithful functor denoted by ${\mathrm{sp}}_{X\hookrightarrow 𝒫,T,+}$ from the category of isocrystal on $X\setminus T_X$ overconvergent along $T_X$ into the category of coherent ${𝒟}_{𝒫}^{†}{\left(\phantom{}{}^{†}T\right)}_{\mathbb{Q}}$-modules with support in $X$. Next, we prove the commutation of ${\mathrm{sp}}_{X\hookrightarrow 𝒫,T,+}$ with (extraordinary) inverse images and dual functors. These properties are compatible with Frobenius.

Classification : 14F10, 14F30
Mots-clés : $\mathcal {D} $-modules arithmétiques, Frobenius, foncteur dual, image directe
Keywords: arithmetical $\mathcal {D} $-modules, Frobenius, dual functor, direct image

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