Platitude du module universel pour ${\mathrm{GL}}_3$ en caractéristique non banale

Bellaïche, Joël; Otwinowska, Ania

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 4, pp. 507-525

Soient $F$ un corps $p$-adique, $G={\mathrm{GL}}_3\left(F\right)$. Pour $\chi$ un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique de $G$ sur un anneau commutatif $k$, on introduit à la suite de Serre une représentation lisse $M_{\chi }$ de $G$ sur $k$ qui gouverne la théorie des représentations non ramifiées de $G$ sur $k$. Nous prouvons que $M_{\chi }$ est plat sur $k$ et que si $p$ est inversible dans $k$, alors pour tout sous-groupe compact ouvert suffisament petit $U$ de $G$, le module $M_{\chi }^U$ est libre de rang fini sur $k$. Ceci était conjecturé par Lazarus. Comme corollaire, nous obtenons que si $k$ est un corps de caractéristique différente de $p$, $M_{\chi }$ a même semi-simplification que la série principale non ramifiée de caractère $\chi$, dont la structure est décrite par les travaux de Vignéras.

Let $F$ be a $p$-adic field, $G={\mathrm{GL}}_3\left(F\right)$, and $\chi$ a character of the spherical Hecke algebra over a commutative ring $k$. We introduce, following Serre, a smooth representation of $G$ over $k$ which is central for the theory of unramified representation of $G$ over $k$. We prove that $M_{\chi }$ is flat over $k$ for arbitrary $k$, and that if $p$ is invertible in $k$, that $M_{\chi }^U$ is free of finite rank over $k$ for $U$ small compact open subgroup of $G$. This was conjectured by Lazarus. As a corollary, we obtain that if $k$ is a field of characteristic different of $p$, $M_{\chi }$ has the same semi-simplification that the unramified principal serie with character $\chi$, whose structure is known thanks to Vignéras.

Classification : 20C12, 20C20
Mots-clés : platitude, module universel, représentations modulaires, représentations non ramifiées, immeubles
Keywords: flatness, universal module, modular representation, unramified representation, buildings

[1] J. Bellaïche - « Congruences endoscopiques et représentations galoisiennes », Thèse, Université Paris Sud, 2002, disponible sur http://www.math.u-psud.fr/theses-orsay/2002/2395.html.

[2] N. Bourbaki - Éléments de mathématique : groupes et algèbres de Lie, Hermann, Paris, 1972. | Zbl

[3] C. Breuil - « Sur quelques représentations modulaires et $p$-adiques de ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$ I », Prépublication, disponible sur http://www.math.u-psud.fr/~breuil/liste-prepub.html, 2001.

[4] F. Bruhat & J. Tits - « Groupes réductifs sur un corps local », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 41 (1972), p. 5-251. | Zbl | MR | Numdam

[5] L. Clozel - « On Ribet’s Level-raising theorem for $U\left(3\right)$ », Amer. J. Math. 122 (2000), p. 1265-1287. | Zbl | MR

[6] M. Green - « Koszul cohomology and geometry », Lectures on Riemann surfaces (Trieste, 1987), World Sci. Publishing, 1987, p. 177-200. | Zbl | MR

[7] S. Kato - « On eigenspaces of the Hecke algebra with respect to a good maximal compact subgroup of a $p$-adic reductive group », Math. Ann. 257 (1981), p. 1-7. | Zbl | MR

[8] X. Lazarus - « Module universel en caractéristique $\ell >0$ associé à un caractère de l’algèbre de Hecke de $\mathrm{GL}\left(n\right)$ sur un corps $p$-adique, avec $\ell \ne p$ », J. Algebra 213 (1999), no. 2, p. 662-686. | Zbl | MR

[9] -, « Module universel non ramifié pour un groupe réductif $p$-adique », Thèse, Université d'Orsay, 2000, non publiée.

[10] J.-P. Serre - « Cours au Collège de France (1987-1988) », photocopies de notes manuscrites anonymes ; résumé dans les Œuvres complètes de Serre, vol.3.

[11] -, « Two letters on quaternion and modular forms », Israel J. Math. 95 (1996), p. 281-299. | MR

[12] T. Steger - « Local Fields and Buildings », Harmonic Functions on Trees and buildings (New York, 1995) (A. Koranyi, éd.), Contemporary Mathematics, vol. 206, Amer. Math. Soc., 1997, p. 79-107. | Zbl | MR

[13] L. Vaseršteĭn & A. Suslin - « Serre’s problem on projective modules over polynomial rings, and algebraic $K$-theory », Funk. Anal. i Priložen. 8 (1974), no. 2, p. 65-66, en russe. | Zbl | MR

[14] M.-F. Vignéras - Représentations $\ell$-modulaire d’un groupe réductif $p$-adique avec $\ell \ne p$, Progress in Math., vol. 137, Birkhäuser, 1996. | Zbl