Motives of rigid analytic tubes and nearby motivic sheaves

Ayoub, Joseph; Ivorra, Florian; Sebag, Julien

doi:10.24033/asens.2347

Motives of rigid analytic tubes and nearby motivic sheaves
[Motifs des tubes analytiques rigides et faisceaux cycles proches motiviques]

Ayoub, Joseph ; Ivorra, Florian ; Sebag, Julien

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 50 (2017) no. 6, pp. 1335-1382

Abstract (VO)
Résumé

Let $k$ be a field of characteristic zero, $R = k 〚 t 〛$ the ring of formal power series and $K = k ((t))$ its fraction field. Let $X$ be a finite type $R$ -scheme with smooth generic fiber. Let $𝒳$ be the $t$ -adic completion of $X$ and $𝒳_{η}$ the generic fiber of $𝒳$ . Let $Z \subset X_{σ}$ be a locally closed subset of the special fiber of $X$ . In this article, we establish a relation between the rigid motive of $] Z [$ (the tube of $Z$ in $𝒳_{η}$ ) and the restriction to $Z$ of the nearby motivic sheaf associated with the $R$ -scheme $X$ . Our main result, Theorem 7.1, can be interpreted as a motivic analog of a theorem of Berkovich.

As an application, given a rational point $x \in X_{σ}$ , we obtain an equality, in a suitable Grothendieck ring of motives, between the motivic Milnor fiber of Denef-Loeser at $x$ and the class of the rigid motive of the analytic Milnor fiber of Nicaise-Sebag at $x$ .

Soient $k$ un corps de caractéristique nulle, $R = k 〚 t 〛$ l'anneau des séries formelles sur $k$ et $K = k ((t))$ son corps des fractions. Soit $X$ un $R$ -schéma de type fini génériquement lisse. Soient $𝒳$ la complétion $t$ -adique de $X$ et $𝒳_{η}$ sa fibre générique. Soit $Z \subset X_{σ}$ un sous-ensemble localement fermé de $X$ . Dans cet article, nous lions le motif rigide du tube $] Z [$ de $Z$ dans $𝒳_{η}$ à la restriction à $Z$ du faisceau cycles proches motivique associé au $R$ -schéma $X$ . Le théorème 7.1, qui est notre résultat principal, peut être interprété comme un analogue motivique d'un théorème de Berkovich.

Comme application, étant donné un point rationnel $x \in X_{σ}$ , nous obtenons une égalité dans un anneau de Grothendieck de motifs adéquat entre la fibre de Milnor motivique de Denef-Loeser en $x$ et la classe du motif rigide de la fibre de Milnor analytique de Nicaise-Sebag en $x$ .

Publié le : 2017-07-21

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2347

Classification : 14B20, 14C15, 14F42, 14G22, 32S30
Keywords: Motivic sheaves, nearby motivic sheaves, rigid motives, tubes, analytic Milnor fiber, motivic Milnor fiber
Mots-clés : Faisceaux motiviques, faisceaux cycles proches motiviques, motifs rigides, tubes, fibre de Milnor motivique, fibre de Milnor analytique

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Ayoub, Joseph; Ivorra, Florian; Sebag, Julien. Motives of rigid analytic tubes and nearby motivic sheaves. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 50 (2017) no. 6, pp. 1335-1382. doi: 10.24033/asens.2347

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