Block decomposition of the category of $\ell $-modular smooth representations of $\mathrm {GL}_{n}(\mathrm {F})$ and its inner forms

Sécherre, Vincent; Stevens, Shaun

doi:10.24033/asens.2293

Block decomposition of the category of

ℓ

-modular smooth representations of

{GL}_{n} (F)

and its inner forms
[Décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses

ℓ

-modulaires de GL(N,F) et de ses formes intérieures]

Sécherre, Vincent ; Stevens, Shaun

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 3, pp. 669-709

Abstract (VO)
Résumé

Let $F$ be a nonarchimedean locally compact field of residue characteristic $p$ , let $D$ be a finite dimensional central division $F$ -algebra and let $R$ be an algebraically closed field of characteristic different from $p$ . To any irreducible smooth representation of $G = {GL}_{m} (D)$ , $m 1$ with coefficients in $R$ , we can attach a uniquely determined inertial class of supercuspidal pairs of $G$ . This provides us with a partition of the set of all isomorphism classes of irreducible representations of $G$ . We write $ℛ (G)$ for the category of all smooth representations of $G$ with coefficients in $R$ . To any inertial class $Ω$ of supercuspidal pairs of $G$ , we can attach the subcategory $ℛ (Ω)$ made of smooth representations all of whose irreducible subquotients are in the subset determined by this inertial class. We prove that the category $ℛ (G)$ decomposes into the product of the $ℛ (Ω)$ 's, where $Ω$ ranges over all possible inertial class of supercuspidal pairs of $G$ , and that each summand $ℛ (Ω)$ is indecomposable.

Soit $F$ un corps commutatif localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle $p$ , soit $D$ une $F$ -algèbre à division centrale de dimension finie et soit $R$ un corps algébriquement clos de caractéristique différente de $p$ . A toute représentation lisse irréductible du groupe $G = {GL}_{m} (D)$ , $m 1$ à coefficients dans $R$ correspond une classe d'inertie de paires supercuspidales de $G$ . Ceci définit une partition de l'ensemble des classes d'isomorphisme de représentations irréductibles de $G$ . Notons $ℛ (G)$ la catégorie des représentations lisses de $G$ à coefficients dans $R$ et, pour toute classe d'inertie $Ω$ de paires supercuspidales de $G$ , notons $ℛ (Ω)$ la sous-catégorie formée des représentations lisses dont tous les sous-quotients irréductibles appartiennent au sous-ensemble déterminé par cette classe d'inertie. Nous prouvons que $ℛ (G)$ est le produit des $ℛ (Ω)$ , où $Ω$ décrit les classes d'inertie de paires supercuspidales de $G$ , et que chaque facteur $ℛ (Ω)$ est indécomposable.

Publié le : 2016-07-21

Zbl

DOI : 10.24033/asens.2293

Classification : 22E50.
Keywords: Modular representations of $p$-adic reductive groups, semisimple types, Inertial classes, supercuspidal support, blocks.
Mots-clés : Représentations modulaires des groupes réductifs $p$-adiques, types semi-simples, classes inertielles, support supercuspidal, blocs.

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Sécherre, Vincent; Stevens, Shaun. Block decomposition of the category of $\ell $-modular smooth representations of $\mathrm {GL}_{n}(\mathrm {F})$ and its inner forms. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 3, pp. 669-709. doi: 10.24033/asens.2293

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