Multifractal analysis of the divergence of Fourier series

Bayart, Frédéric; Heurteaux, Yanick

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Serie 4, Volume 45 (2012) no. 6, pp. 927-946.

A famous theorem of Carleson says that, given any function $f\in L^p\left(𝕋\right)$, $p\in (1,+\infty )$, its Fourier series $\left(S_{n}f\left(x\right)\right)$ converges for almost every $x\in 𝕋$. Beside this property, the series may diverge at some point, without exceeding $O\left(n^{1/p}\right)$. We define the divergence index at $x$ as the infimum of the positive real numbers $\beta$ such that $S_{n}f\left(x\right)=O\left(n^{\beta }\right)$ and we are interested in the size of the exceptional sets $E_{\beta }$, namely the sets of $x\in 𝕋$ with divergence index equal to $\beta$. We show that quasi-all functions in $L^p\left(𝕋\right)$ have a multifractal behavior with respect to this definition. Precisely, for quasi-all functions in $L^p\left(𝕋\right)$, for all $\beta \in [0,1/p]$, $E_{\beta }$ has Hausdorff dimension equal to $1-\beta p$. We also investigate the same problem in $𝒞\left(𝕋\right)$, replacing polynomial divergence by logarithmic divergence. In this context, the results that we get on the size of the exceptional sets are rather surprising.

Un célèbre théorème de Carleson nous dit que si une fonction $f$ est de puissance $p$-ième intégrable ($p>1$), sa série de Fourier converge presque partout. D’un autre côté, il peut y avoir des points de divergence. Pour un tel point donné $x$, on peut introduire l’indice de divergence comme étant le plus petit exposant $\beta$ tel que $S_{n}f\left(x\right)=O\left(n^{\beta }\right)$. On sait que cet indice est au plus égal à $1/p$ et on s’intéresse à la dimension des ensembles exceptionnels de points $E_{\beta }$ d’indice de divergence donné $\beta$. Nous montrons que quasi-toute fonction de $L^p$ (au sens de Baire) a un comportement multifractal. De façon précise, quasi-sûrement dans $L^p$, pour tout $\beta$, la dimension de Hausdorff de $E_{\beta }$ vaut $1-\beta p$. Nous nous intéressons aussi aux fonctions continues pour lesquelles la croissance de $S_{n}f\left(x\right)$ est contrôlée par le logarithme de $n$. Là encore un indice de divergence (logarithmique) peut être introduit et nous obtenons des résultats surprenants sur la taille des ensembles exceptionnels.

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