A probabilistic ergodic decomposition result

Raugi, Albert

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 45 (2009) no. 4, pp. 932-942

Let $(X,𝔛,\mu )$ be a standard probability space. We say that a sub-σ-algebra $𝔅$ of $𝔛$ decomposes μ in an ergodic way if any regular conditional probability ${}^{𝔅}P$ with respect to $𝔅$ and μ satisfies, for μ-almost every x∈X, $\forall B\in 𝔅,{}^{𝔅}P(x,B)\in \{0,1\}$. In this case the equality $\mu (·)={\int }_X{}^{𝔅}P(x,·)\mu \left(\mathrm{d}x\right)$, gives us an integral decomposition in “$𝔅$-ergodic” components. For any sub-σ-algebra $𝔅$ of $𝔛$, we denote by $\overline{𝔅}$ the smallest sub-σ-algebra of $𝔛$ containing $𝔅$ and the collection of all sets A in $𝔛$ satisfying μ(A)=0. We say that $𝔅$ is μ-complete if $𝔅=\overline{𝔅}$. Let $\{{𝔅}_{i}i\in I\}$ be a non-empty family of sub-σ-algebras which decompose μ in an ergodic way. Suppose that, for any finite subset J of I, ${\bigcap }_{i\in J}\overline{{𝔅}_i}=\overline{{\bigcap }_{i\in J}{𝔅}_i}$; this assumption is satisfied in particular when the σ-algebras ${𝔅}_i$, i∈I, are μ-complete. Then we prove that the sub-σ-algebra ${\bigcap }_{i\in I}{𝔅}_i$ decomposes μ in an ergodic way.

Soit $(X,𝔛,\mu )$ un espace probabilisé standard. Nous disons qu'une sous-tribu $𝔅$ de $𝔛$ décompose ergodiquement μ si toute probabilité conditionnelle régulière ${}^{𝔅}P$ relativement à $𝔅$ et μ, vérifie, pour μ-presque tout x∈X, $\forall B\in 𝔅,{}^{𝔅}P(x,B)\in \{0,1\}$. Dans ce cas l'égalité $\mu (·)={\int }_X{}^{𝔅}P(x,·)\mu \left(\mathrm{d}x\right)$, nous donne une décomposition intégrale en composantes «$𝔅$-ergodiques.» Pour toute sous-tribu $𝔅$ de $𝔛$, nous notons $\overline{𝔅}$ la plus petite sous-tribu de $𝔛$ contenant $𝔅$ et tous les sous-ensembles mesurables de X de μ-mesure nulle. Nous disons que la tribu $𝔅$ est μ-complète si $𝔅=\overline{𝔅}$. Soit $\{{𝔅}_{i}i\in I\}$ une famille non vide de sous-tribus de $𝔛$ décomposant ergodiquement μ. Supposons que, pour toute partie finie J de I, ${\bigcap }_{i\in J}\overline{{𝔅}_i}=\overline{{\bigcap }_{i\in J}{𝔅}_i}$; cette hypothèse est satisfaite si les tribus ${𝔅}_i$, i∈I, sont μ-complètes. Alors la sous-tribu ${\bigcap }_{i\in I}{𝔅}_i$ décompose ergodiquement μ.

Classification : 28A50, 28D05, 60A10
Keywords: regular conditional probability, disintegration of probability, quasi-invariant measures, ergodic decomposition

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