no. 4
Mathematical analysis
On Ozaki's condition for p-valency
[Sur la condition d'Ozaki pour qu'une fonction soit p-valuée]
Présenté par : the Editorial Board
Nunokawa, Mamoru1 ; Sokół, Janusz2 ; Thomas, Derek K.3
1 University of Gunma, Hoshikuki-cho 798-8, Chuou-Ward, Chiba, 260-0808, Japan
2 University of Rzeszów, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, ul. Prof. Pigonia 1, 35-310 Rzeszów, Poland
3 Department of Mathematics, Swansea University, Singleton Park, Swansea, SA2 8PP, UK
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 356 (2018) no. 4, pp. 382-386

Let f be an analytic function in a convex domain D⊂C. A well-known theorem of Ozaki states that if f is analytic in D, and is given by f(z)=zp+∑n=p+1∞anzn for z∈D, and

Re{eiαf(p)(z)}>0,(z∈D),
for some real α, then f is at most p-valent in D. Ozaki's condition is a generalization of the well-known Noshiro–Warschawski univalence condition. The purpose of this paper is to provide some related sufficient conditions for functions analytic in the unit disk D={z∈C:|z|<1} to be p-valent in D, and to give an improvement to Ozaki's sufficient condition for p-valence when z∈D.

Soit f une fonction analytique dans un domaine D⊂C. Un théorème bien connu d'Ozaki affirme que, si f est analytique dans D, donnée par f(z)=zp+∑n=p+1∞anzn pour z∈D et

Re{eiαf(p)(z)}>0,(z∈D),
pour un réel α, alors f est au plus p-valuée dans D. La condition d'Ozaki est une généralisation d'une condition de Noshiro–Warschawski pour qu'une fonction soit univaluée, également bien connue. Notre propos ici est de fournir des conditions suffisantes pour que des fonctions analytiques dans le disque unité D={z∈C;|z|<1} soient p-valuées dans D et d'améliorer la condition suffisante d'Ozaki correspondante quand z∈D.

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DOI : 10.1016/j.crma.2018.02.007

Nunokawa, Mamoru 1 ; Sokół, Janusz 2 ; Thomas, Derek K. 3

1 University of Gunma, Hoshikuki-cho 798-8, Chuou-Ward, Chiba, 260-0808, Japan
2 University of Rzeszów, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, ul. Prof. Pigonia 1, 35-310 Rzeszów, Poland
3 Department of Mathematics, Swansea University, Singleton Park, Swansea, SA2 8PP, UK 
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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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PB  - Elsevier
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Nunokawa, Mamoru; Sokół, Janusz; Thomas, Derek K. On Ozaki's condition for p-valency. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 356 (2018) no. 4, pp. 382-386. doi: 10.1016/j.crma.2018.02.007

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