no. 7-8
Algebraic Geometry
About the stability of the tangent bundle restricted to a curve
[Sur la stabilité du fibré tangent restreint à une courbe]
Présenté par : Michel Raynaud
Camere, Chiara1
1 Laboratoire J.-A. Dieudonné UMR no 6621 du CNRS, Université de Nice-Sophia Antipolis, Parc Valrose, 06108 Nice, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 7-8, pp. 421-426

Let C be a smooth projective curve of genus g⩾2 over an algebraically closed field k and let L be a line bundle on C generated by its global sections. The morphism ϕL:C→P(H0(L))≃Pr is well-defined and ϕL∗TPr is the restriction to C of the tangent bundle of Pr. Sharpening a theorem by Paranjape, we show that if degL⩾2g−c(C) then ϕL∗TPr is semi-stable, specifying when it is also stable. We then prove the existence on many curves of a line bundle L of degree 2g−c(C)−1 such that ϕL∗TPr is not semi-stable. Finally, we completely characterize the (semi-)stability of ϕL∗TPr when C is hyperelliptic.

Soit L un fibré en droites engendré par ses sections globales sur une courbe projective lisse C de genre g⩾2 sur un corps k algébriquement clos. Le fibré L définit ϕL:C→P(H0(L))≃Pr et ϕL∗TPr est la restriction à la courbe C du fibré tangent de Pr. En précisant un théorème dû à Paranjape, on montre que si degL⩾2g−c(C) alors ϕL∗TPr est semi-stable, en disant quand il est aussi stable. De plus, on montre l'existence sur plusieurs courbes d'un fibré en droites L de degré 2g−c(C)−1 tel que ϕL∗TPr ne soit pas semi-stable. Enfin, on caractérise complètement la stabilité de ϕL∗TPr si C est hyperelliptique.

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DOI : 10.1016/j.crma.2008.02.006

Camere, Chiara 1

1 Laboratoire J.-A. Dieudonné UMR no 6621 du CNRS, Université de Nice-Sophia Antipolis, Parc Valrose, 06108 Nice, France 
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[1] Arbarello, E.; Cornalba, M.; Griffiths, P.; Harris, J. Geometry of Algebraic Curves, Springer-Verlag, 1985

[2] Eisenbud, D.; Lange, H.; Martens, G.; Schreyer, F.O. The Clifford dimension of a projective curve, Compositio Math., Volume 72 (1989) no. 2, pp. 173-204

[3] Paranjape, K. http://www.imsc.res.in/... (Ph.D. Thesis, available on)

[4] Schneider, O. Stabilité des fibrés ΛpEL et condition de Raynaud, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), Volume 14 (2005) no. 3, pp. 515-525

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