Hyperbolic polynomials and spectral order

Borcea, Julius; Shapiro, Boris

doi:10.1016/j.crma.2003.10.007

Mathematical Analysis

Hyperbolic polynomials and spectral order
[Polynômes hyperboliques et ordre spectral]

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Borcea, Julius ¹ ; Shapiro, Boris ¹

¹ Department of Mathematics, Stockholm University, 106 91 Stockholm, Sweden

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 11, pp. 693-698

Abstract (VO)
Résumé

The spectral order on $ℝ$ induces a partial ordering on the manifold $ℋ_{n}$ of monic hyperbolic polynomials of degree n. We show that the semigroup $\tilde{𝒮}$ generated by differential operators of the form $(1 - λ \frac{d}{d x}) e^{λ d / d x}$ , $λ \in ℝ$ , acts on the poset $ℋ_{n}$ in an order-preserving fashion. We also show that polynomials in $ℋ_{n}$ are global minima of their respective $\tilde{𝒮}$ -orbits and we conjecture that a similar result holds even for complex polynomials. Finally, we show that only those pencils of polynomials in $ℋ_{n}$ which are of logarithmic derivative type satisfy a certain local minimum property for the spectral order.

L'ordre spectral sur $ℝ$ induit un ordre partiel sur la variété $ℋ_{n}$ des polynômes hyperboliques de degré n dont le coefficient dominant est égal à un. On montre que cet ordre est préservé par l'action sur $ℋ_{n}$ du semigroupe $\tilde{𝒮}$ engendré par les opérateurs différentiels du type $(1 - λ \frac{d}{d x}) e^{λ d / d x}$ , $λ \in ℝ .$ On démontre aussi que tout polynôme de $ℋ_{n}$ est le minimum global de son $\tilde{𝒮}$ -orbite et on propose une conjecture selon laquelle un résultat similaire serait valable dans le cas des polynômes à coefficients complexes. On montre enfin que de tous les faisceaux de polynômes dans $ℋ_{n}$ , seulement ceux qui sont associés aux dérivées logarithmiques satisfont une certaine propriété de minimum local pour l'ordre spectral.

Reçu le : 2003-03-11
Accepté le : 2003-10-07
Publié le : 2003-11-07

DOI : 10.1016/j.crma.2003.10.007

Affiliations des auteurs :

Borcea, Julius ¹ ; Shapiro, Boris ¹

¹ Department of Mathematics, Stockholm University, 106 91 Stockholm, Sweden

@article{CRMATH_2003__337_11_693_0,
     author = {Borcea, Julius and Shapiro, Boris},
     title = {Hyperbolic polynomials and spectral order},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {693--698},
     year = {2003},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {337},
     number = {11},
     doi = {10.1016/j.crma.2003.10.007},
     language = {en},
     url = {https://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.10.007/}
}

TY  - JOUR
AU  - Borcea, Julius
AU  - Shapiro, Boris
TI  - Hyperbolic polynomials and spectral order
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2003
SP  - 693
EP  - 698
VL  - 337
IS  - 11
PB  - Elsevier
UR  - https://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.10.007/
DO  - 10.1016/j.crma.2003.10.007
LA  - en
ID  - CRMATH_2003__337_11_693_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Borcea, Julius
%A Shapiro, Boris
%T Hyperbolic polynomials and spectral order
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2003
%P 693-698
%V 337
%N 11
%I Elsevier
%U https://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.10.007/
%R 10.1016/j.crma.2003.10.007
%G en
%F CRMATH_2003__337_11_693_0

Borcea, Julius; Shapiro, Boris. Hyperbolic polynomials and spectral order. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 11, pp. 693-698. doi: 10.1016/j.crma.2003.10.007

Bibliographie
Cité par

[1] Gårding, L. An inequality for hyperbolic polynomials, J. Math. Mech., Volume 8 (1959), pp. 957-965

[2] Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G. Inequalities, Cambridge University Press, 1988

[3] Marshall, A.W.; Olkin, I. Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications, Math. Sci. Engrg., 143, Academic Press, New York, 1979

[4] Obreschkoff, N. Verteilung und Berechnung der Nullstellen reeller Polynome, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1963

[5] Sherman, S. On a theorem of Hardy, Littlewood, Pólya, and Blackwell, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, Volume 37 (1951), pp. 826-831

Cité par Sources :