On Guerra's broken replica-symmetry bound

Talagrand, Michel

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 7, pp. 477-480

Consider a random Hamiltonian $H_N\left(\overrightarrow{\sigma }\right)$ for $\overrightarrow{\sigma }\in {\Sigma }_N={\{0,1\}}^{\mathbb{N}}.$ We assume that the family $\left({\mathrm{H}}_N\left(\overrightarrow{\sigma }\right)\right)$ is jointly Gaussian centered and that for ${\overrightarrow{\sigma }}^1,{\overrightarrow{\sigma }}^2\in {\Sigma }_N,$ $N^{-1}{\mathrm{EH}}_N\left({\overrightarrow{\sigma }}^1\right){\mathrm{H}}_N\left({\overrightarrow{\sigma }}^2\right)$ =ξ(N⁻¹∑_i⩽Nσ¹_iσ²_i) for a certain function ξ on $ℝ$. F. Guerra proved the remarkable fact that the free energy of the system with Hamiltonian $H_N\left(\overrightarrow{\sigma }\right)+\mathrm{h}{\sum }_{\mathrm{i}⩽\mathrm{N}}{\sigma }_i$ is bounded below by the free energy of the Parisi solution provided that ξ is convex on $ℝ$. We prove that this fact remains (asymptotically) true when the function ξ is only assumed to be convex on ${ℝ}^{+}$. This covers in particular the case of the p-spin interaction model for any p.

Considérons un hamiltonian aléatoire $H_N\left(\overrightarrow{\sigma }\right)$ où $\overrightarrow{\sigma }\in {\Sigma }_N={\{0,1\}}^{\mathbb{N}}.$ Nous supposons la famille $\left({\mathrm{H}}_N\left(\overrightarrow{\sigma }\right)\right)$ gaussienne centrée et que pour tous ${\overrightarrow{\sigma }}^1,{\overrightarrow{\sigma }}^2\in {\Sigma }_N,$ on ait $N^{-1}{\mathrm{EH}}_N\left({\overrightarrow{\sigma }}^1\right){\mathrm{H}}_N\left({\overrightarrow{\sigma }}^2\right)=\xi \left({\mathrm{N}}^{-1}{\sum }_{\mathrm{i}⩽\mathrm{N}}{\sigma }_i^1{\sigma }_i^2\right)$ pour une certaine fonction ξ sur $ℝ$. F. Guerra a prouvé récemment le fait remarquable que l'énergie libre du système d'hamiltonien $H_N\left(\overrightarrow{\sigma }\right)+\mathrm{h}{\sum }_{\mathrm{i}⩽\mathrm{N}}{\sigma }_i$ est bornée inferieurement par l'énergie libre de la solution de Parisi lorsque ξ est convexe sur $ℝ$. Nous montrons que ceci reste asymptotiquement vrai si l'on suppose seulement que la fonction ξ est convexe sur ${ℝ}^{+}$. Ce résultat s'applique en particulier au cas du modèle d'interaction à p-spin pour tout p.

[1] Aizenman, M.; Sims, R.; Starr, S. (An extended variational principle for the SK spin-glass model) | arXiv

[2] Guerra, F. Replica broken bounds in the mean field spin glass model, Comm. Math. Phys., Volume 233 (2003), pp. 1-12

[3] Talagrand, M. Spin Glasses, A Challenge to Mathematicians, Springer-Verlag, 2003

[4] Talagrand, M. The generalized Parisi formula, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 337 (2003), pp. 111-114