Sur les équations de Lane–Emden avec opérateurs non linéaires

Birindelli, Isabeau; Demengel, Françoise

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 9, pp. 725-730

Dans cette Note on considère les solutions non négatives de l'équation non linéaire

$${ℳ}_{\lambda ,\Lambda }^{+}\left(D^{2}u\right)+{\left|\mathrm{x}\right|}^{\alpha }{u}^p=0,$$

dans ${ℝ}^N$, et ${ℳ}_{\lambda ,\Lambda }^{+}\left({\mathrm{D}}^2\mathrm{u}\right)$ est l'opérateur de Pucci

$${ℳ}_{\lambda ,\Lambda }^{+}\left(\mathrm{M}\right)=\lambda \sum _{e_i<0}{e}_i+\Lambda \sum _{e_i>0}{e}_i,$$

où les e_i sont les valeurs propres de M et Λ⩾λ>0. On montre que si u vérifie une hypothèse de décroissance à l'infini

$$\underset{\left|\mathrm{x}\right|\to +\infty }{\lim }{\left|\mathrm{x}\right|}^{\beta -1}\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=0$$

avec (β−1)(p−1)>2+α, alors u est radiale. Dans un deuxième temps on montre que si $\mathrm{p}<\frac{\mathrm{N}+2\alpha +2}{\mathrm{N}-2}$, toute solution radiale de (1), u(x)=g(r), telle que g″ ne change de signe qu'une seule fois, est nulle.

In this Note we consider nonnegative solutions for the nonlinear equation

$${ℳ}_{\lambda ,\Lambda }^{+}\left(D^{2}u\right)+{\left|\mathrm{x}\right|}^{\alpha }{u}^p=0$$

in ${ℝ}^N$, where ${ℳ}_{\lambda ,\Lambda }^{+}\left({\mathrm{D}}^2\mathrm{u}\right)$ is the so called Pucci operator

$${ℳ}_{\lambda ,\Lambda }^{+}\left(\mathrm{M}\right)=\lambda \sum _{e_i<0}{e}_i+\Lambda \sum _{e_i>0}{e}_i,$$

and the e_i are the eigenvalues of M et Λ⩾λ>0. We prove that if u satisfies the decreasing estimate

$$\underset{\left|\mathrm{x}\right|\to +\infty }{\lim }{\left|\mathrm{x}\right|}^{\beta -1}\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=0$$

for some β satisfying (β−1)(p−1)>2+α then u is radial. In a second time we prove that if $\mathrm{p}<\frac{\mathrm{N}+2\alpha +2}{\mathrm{N}-2}$ and u is a nonnegative radial solution of (1), u(x)=g(r), such that g″ changes sign at most once, then u is zero.

[1] Caffarelli, L.A.; Gidas, B.; Spruck, J. Asymptotic symmetry and local behavior of semilinear elliptic equations with critical Sobolev growth, Comm. Pure Appl. Math., Volume 42 (1989), pp. 271-297

[2] Chen, W.; Li, C. Classification of solutions of some nonlinear elliptic equations, Duke Math. J., Volume 63 (1991), pp. 615-622

[3] Cutrı́, A.; Leoni, F. On the Liouville property for fully nonlinear equations, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 17 (2000), pp. 219-245

[4] Gidas, B.; Spruck, J. Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations, Comm. Pure Appl. Math., Volume 35 (1981), pp. 525-598