Valeurs propres relatives à un cône convexe : caractérisation et résultats de cardinalité

Seeger, Alberto; Torki, Mounir

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 6, pp. 467-470

Étant donné une matrice A de taille n×n et un cône convexe fermé $\mathrm{K}\subset {ℝ}^n$, on désigne par σ(A,K) l'ensemble des K-valeurs propres de A. Par définition, $\lambda \in ℝ$ est une K-valeur propre de A si le système de complémentarité linéaire

$$\mathrm{x}\in \mathrm{K},\mathrm{Ax}-\lambda \mathrm{x}\in {\mathrm{K}}^{+},\langle \mathrm{x},\mathrm{Ax}-\lambda \mathrm{x}\rangle =0$$

admet une solution $\mathrm{x}\in {ℝ}^n$ non nulle. Nous étudions un certain nombre de propriétés relatives à la fonction multivoque $\sigma (·,\mathrm{K})$, mettant en lumière quelques différences structurelles entre le cas polyédral et le cas non-polyédral.

Let A be an n×n real matrix, and $\mathrm{K}\subset {ℝ}^n$ be a closed convex cone. The spectrum of A relative to K, denoted by σ(A,K), is the set of all $\lambda \in ℝ$ for which the linear complementarity problem

$$\mathrm{x}\in \mathrm{K},\mathrm{Ax}-\lambda \mathrm{x}\in {\mathrm{K}}^{+},\langle \mathrm{x},\mathrm{Ax}-\lambda \mathrm{x}\rangle =0$$

admits a nonzero solution $\mathrm{x}\in {ℝ}^n$. The aim of this Note is to study the main properties of the set-valued mapping $\sigma (·,\mathrm{K})$, and discuss some structural differences existing between the polyhedral case (i.e., K is finitely generated) and the non-polyhedral case.

[1] Lavilledieu, P.; Seeger, A. Existence de valeurs propres pour les systèmes multivoques : résultats anciens et nouveaux, Ann. Sci. Math. Québec, Volume 25 (2001), pp. 29-52

[2] Quittner, P. Spectral analysis of variational inequalities, Comm. Math. Univ. Carolinae, Volume 27 (1986), pp. 605-629

[3] Seeger, A. Eigenvalue analysis of equilibrium processes defined by linear complementarity conditions, Linear Algebra Appl., Volume 292 (1999), pp. 1-14