On the “prediction” problem

Olevskii, Alexander

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 4, pp. 279-282

We prove that almost every (in the Baire category sense) weight w on a circle $𝕋$ satisfies the following property: any function from ${\mathrm{L}}^2(\mathrm{w},𝕋)$ can be decomposed as a series

$$\sum _{\mathrm{n}\in {\mathbb{Z}}^{+}}\mathrm{c}\left(\mathrm{n}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{int}}$$

which converges in the norm.

We discuss this result in the context of the classical Szegö–Kolmogorov “prediction” theorem.

Au sens des catégories de Baire, presque tout poids w vérifie la propriété suivante : toute fonction appartenant à ${\mathrm{L}}^2(\mathrm{w},𝕋)$ est décomposable en série

$$\sum _{\mathrm{n}\in {\mathbb{Z}}^{+}}\mathrm{c}\left(\mathrm{n}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{int}}$$

convergente en norme. Nous discutons la relation de ce résultat avec le théorème de « prédiction » classique de Szegö–Kolmogorov.

[1] Koosis, P. Introduction to H^p Spaces, Cambridge University Press, 1980

[2] Kozma, G.; Olevskii, A. Menshov representation spectra, J. Analyse Math., Volume 84 (2001), pp. 361-393