\documentclass[XUPS,XML,SOM,Unicode,francais, NoFloatCountersInSection,ThmDefs]{cedram}
\OneNumberAllTheorems
\usepackage{xups19-03}
\setcounter{tocdepth}{2}
\let\subsection\Subsection
%\XUPScorrections

\hyphenation{sinus expli-que résul-te ration-nel ration-nel-le ration-nels appro-xi-mant appro-xi-mants mesu-re mesu-res coef-fi-cient coef-fi-cients déter-mi-nant revan-che pério-de pério-des liné-ai-re liné-ai-res défi-ni défi-nie loga-ri-thme mini-mal galoi-sien galoi-sien-ne déter-mi-ner}

\begin{document}
\frontmatter

\title{Les \texorpdfstring{$E$}{E}-fonctions et \texorpdfstring{$G$}{G}-fonctions de\nobreakspace Siegel}

\author[\initial{T.} \lastname{Rivoal}]{\firstname{Tanguy} \lastname{Rivoal}}
\address{Institut Fourier, CNRS et Université Grenoble Alpes, CS 40700, 38058 Grenoble cedex 9, France}
\email{Tanguy.Rivoal@univ-grenoble-alpes.fr}

\thanks{Journées X-UPS 2019. Périodes et transcendance. Éditions de l'École polytechnique, 2019}

\begin{abstract}
Siegel a introduit en 1929 les $E$- et $G$-fonctions, deux classes de séries entières à coefficients algébriques qui sont solutions d'équations différentielles à coefficients polynomiaux dans le but de généraliser les théorèmes classiques d'Hermite, Lindemann et Weierstrass concernant la nature arithmétique des valeurs des fonctions exponentielle et logarithme aux points algébriques, que ces deux classes généralisent respectivement.

Une première partie introduit la théorie des approximants de Padé \og explicites\fg et la combine avec des méthodes \og inexplicites\fg pour aboutir au célèbre résultat (1956) de Siegel et Shidlovskii sur la nature arithmétique des valeurs de $E$-fonctions. On indique ensuite comment Chudnovsky a complété en 1984 le programme de Siegel sur la nature diophantienne des $G$-fonctions. Une deuxième partie aborde la nature des équations différentielles satisfaites par les \hbox{$G$-fonctions} (travaux d'André, Chudnovsky et Katz) puis, par ricochet, par les $E$-fonctions. On conclut par de nouvelles applications arithmétiques que l'on en déduit et qui complètent le théorème de Siegel-Shidlovskii (travaux d'André, Beukers, Adamczewski-Rivoal).
\end{abstract}
\maketitle
\vspace*{-1.2\baselineskip}\enlargethispage{1.5\baselineskip}%
\tableofcontents
\mainmatter

\section{Introduction}

Ce survol est principalement consacré aux
\Efonctions et \Gfonctions, deux classes de séries entières à coefficients algébriques et solutions d'équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux, que Siegel a introduites en 1929. Son but était de généraliser les théorèmes classiques d'Hermite, Lindemann et Weierstrass concernant la transcendance des valeurs des fonctions exponentielle et logarithme aux points algébriques, que ces deux classes généralisent respectivement. Les \Efonctions contiennent l'exponentielle, les fonctions sinus, cosinus et de Bessel par exemple, tandis que les \Gfonctions contiennent les fonctions algébriques, les polylogarithmes et sont fortement liées aux périodes de familles de variétés algébriques définies sur~$\Qbar$.

Dans un premier temps, on montre comment obtenir les théorèmes d'Hermite, Lindemann et Weierstrass mais aussi des résultats importants sur l'indépendance linéaire des valeurs de polylogarithmes. Les méthodes sont basées sur le calcul d'approximants de Padé explicites.
Par explicite, on peut entendre que les diverses formules \og compactes\fg données par des intégrales ou des séries permettent d'obtenir des estimations asymptotiques et arithmétiques très précises dont découlent résultats d'irrationalité et d'indépendance linéaire. On explique ensuite comment Siegel et Shidlovskii ont obtenu leur célèbre résultat (1929-1959) sur la nature arithmétique des valeurs de \Efonctions au moyen de méthodes basées sur les calculs d'approximants de Padé \og inexplicites\fg, construits à l'aide du lemme de Siegel. On~montre aussi comment Chudnovsky a complété en 1984 le programme de Siegel sur la nature diophantienne des \Gfonctions. Puis, on explique comment les travaux d'André, Chudnovsky et Katz ont permis d'élucider complètement la nature des équations différentielles satisfaites par les \Gfonctions, travaux sur lesquels André s'est appuyé en 2000 pour déterminer la nature de celles satisfaites par les \Efonctions. Enfin, on conclut par les nouvelles applications arithmétiques pour les valeurs des \Efonctions et \Gfonctions qui ont récemment été déduites de ces propriétés différentielles, et par quelques problèmes ouverts.
Ce texte a été écrit à l'occasion des Journées X-UPS \emph{Pério\-des et transcendance} les 15 et 16 avril 2019 à l'École polytechnique. Il~privilégie les énoncés précis aux détails de démonstrations, qui sont d'ailleurs souvent fort compliquées et techniques dans ce domaine de l'approximation diophantienne. On trouvera donc peu de démonstrations mais plutôt des indications sur les méthodes employées et des références bibliographiques adéquates.

Je remercie très chaleureusement Yves André, Alin Bostan, Sara Checcoli, Clément Dupont, Stéphane Fischler, Javier Fresán, Claude Sabbah et Bruno Salvy pour leurs nombreuses remarques pertinentes qui ont permis d'améliorer ce texte.

\vspace*{-\baselineskip}\vskip0pt
\section{Généralités}

On note $\Qbar$ le corps des \emph{nombres algébriques} sur $\Q$, c'est-à-dire l'ensemble des racines complexes des polynômes non nuls de $\Q[X]$. On note $\mathcal{O}_{\Qbar}$ l'anneau des \emph{entiers algébriques}, c'est-à-dire l'ensemble des racines complexes des polynômes non nuls de $\Z[X]$ dont le coefficient dominant vaut~$1$. Un \emph{nombre transcendant} est par définition un nombre complexe qui n'est pas algébrique sur $\Q$. Étant donné un polynôme $P(X)=\sum_{j=0}^d p_jX^j \in \CC[X]$, sa \emph{hauteur} est $H(P):=\max_j\vert p_j\vert$. La \emph{hauteur} $H(\alpha)$ d'un nombre algébrique $\alpha$ est par définition égale à $H(Q)$ où $Q(X)\in \Z[X]$ est le polynôme minimal de $\alpha$ normalisé de telle sorte que les coefficients de $Q$ soient premiers entre eux, avec un coefficient dominant $>0$. Les autres racines de $Q$ sont les \emph{conjugués} (galoisiens) de $\alpha$.

Une \emph{extension algébrique} $\LL$ de $\Q$ est un sous-corps de
$\Qbar$ et il contient automatiquement $\Q$ comme sous-corps.
On voit facilement que toute extension algébrique a la structure d'un espace vectoriel sur $\Q$, dont la dimension est appelée le \emph{degré de l'extension} et est notée $[\LL:\Q]$. On dit que $\LL$ est un \emph{corps de nombres} quand $[\LL:\Q]$ est fini.
Tout corps de nombres $\KK$ est de la forme $\Q(\beta)$ où $\beta$ est un nombre algébrique de degré $d$ sur $\Q$, dit \emph{élément primitif} de $\KK$: tout élément de $\KK$ s'écrit de manière unique $\sum_{j=0}^{d-1} u_j \beta^j$ avec des $u_j\in \Q$.

Étant donnée une extension algébrique $\LL$ de $\Q$, on peut considérer l'ensemble des morphismes de corps (ou immersions) de $\LL$ dans
$\Qbar$ qui fixent tous les éléments de~$\Q$. Quand cet ensemble est constitué seulement d'automorphismes de $\LL$, il a évidemment la structure de groupe (pour la composition) et on l'appelle le \emph{groupe de Galois de l'extension}, noté $\Gal(\LL/\Q)$; dans ce cas on dit que l'extension $\LL$ de~$\Q$ est galoisienne. Soit $\alpha$ un élément d'une extension algébrique $\LL$ de $\QQ$. Lorsque $\sigma$ parcourt l'ensemble des immersions de $\LL$ dans $\Qbar$ fixant~$\Q$, les nombres $\sigma(\alpha)$ décrivent l’ensemble des racines du polynôme minimal de $\alpha$. On en déduit qu'une extension $\LL$ est galoisienne si et seulement si pour chaque élément $\alpha$ dans $\LL$, toutes les racines de son polynôme minimal sont aussi dans $\LL$.
Tout corps de nombres~$\KK$ est contenu dans un corps de nombres galoisien $\KK^{\Gal}$ (la clôture galoisienne de $\KK$) et on a $\card(\Gal(\KK^{\Gal}/\Q))\geq [\KK: \Q]$ avec égalité si $\KK$ est lui-même galoisien.

Soit $\LL$ un sous-corps de $\CC$, typiquement un corps de nombres ou~$\Qbar$. Des nombres $\alpha_1, \ldots, \alpha_s\in \CC$ sont dits (homogènement) algébriquement indépendants sur $\LL$ lorsqu'il n'existe aucun polynôme (homogène) $P\in \LL[X_1, \ldots, X_s]$ non identiquement nul tel que l'on ait $P(\alpha_1, \ldots, \alpha_s)=0$.
Sinon, les nombres $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ sont dits (homo\-gè\-nement) algé\-bri\-quement dépendants sur $\LL$.
Le degré de transcendance (homogène) du corps $\LL(\alpha_1, \ldots, \alpha_s)$ est le plus grand entier~$t$ tel que, quitte à les réordonner, les nombres $\alpha_1, \ldots, \alpha_t$ sont (homo\-gè\-nement) algébriquement indépendants sur $\LL$ mais pour chaque \hbox{$j\in \{t+1, \ldots, s\}$}, les nombres $\alpha_1, \ldots, \alpha_t, \alpha_j$ sont (homogènement) algébriquement dépendants sur $\LL$. On note $\degtr_{\LL}\LL(\alpha_1, \ldots, \alpha_s)$ le degré de transcendance et $\degtrhom_{\LL}\LL(\alpha_1, \ldots, \alpha_s)$ le degré de transcendance homogène.\enlargethispage{\baselineskip}%

Ces définitions sur l'(in)dépendance algébrique se transposent \emph{mutatis mutandis} aux fonctions. Il suffit de considérer cette fois-ci $\LL$ comme un sous-corps de $\CC(z)$ (typiquement $\Qbar(z)$ ou $\CC(z)$) et de remplacer $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ par des fonctions $f_1(z), \ldots, f_s(z)$. On s'intéressera aussi aux solutions d'équations différentielles linéaires de la forme $\sum_{j=0}^n p_j(z)y^{(j)}(z)=0$, où $p_j(z)\in \LL$ et $p_n\neq 0$. L'entier $n\ge 1$ est l'\emph{ordre de l'équation}. Étant donnée une fonction $f$ définie sur un \hbox{domaine} de $\CC$ et solution d'une telle équation, on dira que l'équation est minimale pour $f$ s'il n'existe aucune équation différentielle linéaire homogène d'ordre $<n$ dont $f$ soit la~solution. On dira également que~$n$ est l'ordre différentiel de $f$.


\vspace*{-.2\baselineskip}\vskip0pt
\section{Fonctions hypergéométriques}

Beaucoup d'exemples dans la suite s'expriment avec les \hbox{séries} (ou~fonctions) hypergéométriques qui sont étudiées en détail dans \hbox{\cite{handbook, slater}}. Elles sont définies de la manière suivante. Étant donnés des entiers $p,q$ et des paramètres $a_1, \ldots, a_p \in \CC$, $b_1, \ldots, b_q \in \CC\setminus \Z_{\le 0}$, on~pose\vspace*{-5pt}
\begin{equation}\label{eq:pFq}
{}_pF_{q}
\biggl[
\begin{matrix}
a_1, \ldots, a_p
\\
b_1, \ldots, b_q
\end{matrix}
\,; z \biggr]:= \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\cdots (a_p)_n}{(1)_n(b_1)_n\cdots (b_q)_n} z^n
\end{equation}
où $(a)_0:=1$ et $(a)_n:=a(a+1)\cdots (a+n-1)$ si $n\ge 1$ (de sorte que $(1)_n=n!$). Elle satisfait à l'équation différentielle hypergéométrique\vspace*{-3pt}
$$
L_{p,q}y(z)=0$$
où\vspace*{-5pt}
$$
L_{p,q}:=\theta\prod_{j=1}^q(\theta+b_j-1) -z\prod_{j=1}^p(\theta+a_j) \in \CC[z][\sfrac{d}{dz}], \qquad \theta:=z\frac{d}{dz}.
$$
Dans le produit de deux opérateurs différentiels,
il faut faire attention aux règles de non-commutation
$$
\frac{d}{dz}\cdot P = P\cdot \frac{d}{dz} + P' \quad \textup{et} \quad \theta\cdot P = P\cdot\theta + zP'
$$
pour $P\in \CC(z)$.

Si $p\le q$, la série ${}_pF_{q}$ représente une fonction entière sur $\CC$. Si~$p=q+1$, la série converge dans le disque $\vert z\vert<1$ et, grâce à l'équation différentielle, elle peut être prolongée analytiquement dans $\CC \setminus D$, où~$D$ est une coupure de 1 vers $\infty$. Si $p\ge q+2$, la série diverge pour tout $z\in \CC\setminus \{0\}$, mais comme c'est une série asymptotique au sens de Poincaré, elle peut être
\og sommée\fg (dans chaque secteur angulaire ouvert pointé en $0$ ne contenant pas $[0,+\infty[$) en une fonction analytique satisfaisant à l'équation différentielle $Ly(z)=0$.

Voici quelques exemples classiques. La fonction
$$
{}_1F_{1}
\biggl[
\begin{matrix}
1
\\
1
\end{matrix}
\,; z \biggr] = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} = \exp(z)
$$
est entière sur $\CC$ et satisfait à l'équation hypergéométrique $$\theta(\theta-z)y(z)=0.$$ Cette équation d'ordre 2 n'est bien sûr pas minimale pour $\exp$ qui satisfait déjà à $(\theta-z)y(z)=0$, c'est-à-dire $zy'(z)=zy(z)$.

La fonction
$$
{}_2F_{1}
\biggl[
\begin{matrix}
1, 1
\\
2
\end{matrix}
\,; z \biggr] = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n+1} = -\frac{1}{z}\log(1-z)
$$
satisfait à l'équation hypergéométrique $(\theta(\theta+1) -z(\theta+1)^2)y(z)=0$, soit
$$
z(z-1)y''(z)+(2-3z)y'(z)+y(z)=0
$$
qui est minimale pour $-\log(1-z)/z$. \emph{A priori}, la série ${}_2F_{1}$ converge pour $\vert z\vert <1$ mais l'expression $-\log(1-z)/z$ la prolonge en une fonction analytique multiforme sur $\CC\moins\{0,1\}$.

Enfin, on a
$$
{}_2F_{0}
\biggl[
\begin{matrix}
1, 1
\\
\cdot
\end{matrix}
\,; z \biggr] =\sum_{n=0}^\infty n! z^n \,\widehat{=}\int_0 ^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1-zx}\, dx.
$$
L'intégrale à droite
est analytique sur $\CC\setminus [0,+\infty[$, et en dérivant sous le signe intégral, on voit qu'elle
satisfait à l'équation hypergéométrique $(\theta -z(\theta+1)^2)y(z)=0$ sur ce domaine, soit\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$
z^3y''(z)+z(3z^2-1)y'(z)+zy(z)=0.
$$
Le symbole $\widehat{=}$ signifie que l'intégrale admet un développement asymptotique en $z=0$ donné par la série ${}_2F_{0}$ de gauche, qui satisfait formellement à la même équation différentielle.

Dans ce survol sur les $E$- et \Gfonctions, les séries hypergéométriques qui apparaîtront seront de la forme ${}_pF_{q}$ avec $p\le q+1$. Les séries avec $p\ge q+2$ ont également un rôle dans l'étude de ces fonctions, mais il n'en sera essentiellement pas fait mention ici.

\section{Valeurs de l'exponentielle et du logarithme}\label{sec:natdio}

Lorsque l'on rencontre un nombre réel comme somme d'une série, valeur d'une intégrale ou limite d'une suite par exemple, il est naturel de se demander s'il s'agit d'un nombre rationnel ou irrationnel, algébrique ou transcendant. C'est en tout cas la première question que se pose l'auteur quand il parcourt \cite{finch} ou \cite{lionnais} par exemple.
La réponse est souvent difficile à obtenir car il n'y a pas de méthode universelle. On expliquera dans les pages suivantes comment prouver l'irrationalité de constantes mathématiques célèbres telles que $\sqrt{2}$, $\ln(2)$, $e$, $\pi$ et $\zeta(3)$ mais il y a beaucoup d'autres nombres \og intéressants\fg dont on ne connaît pas la nature arithmétique. Parmi les nombres les plus connus dont on ne sait rien ou peu, citons par exemple\vspace*{-3pt}
\begin{gather*}
\zeta(5)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5}, \qquad \Gamma(\sfrac15)=\int_0^{+\infty} x^{-4/5}e^{-x}\,dx, \\ \ln(\sqrt {2\pi})=1+\int_0^{+\infty}\frac{\{x\}-\sfrac12}{x}\,dx
\end{gather*}
et les constantes d'Euler $\gamma$, de Catalan $G$ et de Gompertz $\delta$ définies par\vspace*{-7pt}
\begin{gather*}
\gamma=\lim_{n\to +\infty} \Big(\sum_{k=1}^n \frac 1k-\ln(n)\Big)=-\int_0^{+\infty} \ln(x)e^{-x} \,dx,\\[-3pt]
G=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)}{(2n+1)^2}, \qquad
\delta=\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1+x}\,dx.
\end{gather*}
On ne sait pas montrer non plus que les nombres $e+\pi$ et $e\pi$ sont irrationnels, bien que l'on sache qu'au moins l'un des deux est transcendant car $e$ et $\pi$ le sont. On sait que $2^{\sqrt{2}}$ et $e^\pi$ sont transcendants (Kuzmin \cite{kuzmin} et Gel'fond \cite{gelfond1} respectivement) mais on ne sait rien de $\pi^e, \pi^\pi$ ou $e^e$.

\Subsection{Un critère d'irrationalité}\label{sec:critirrat}

Tout le monde connaît les~démons\-trations de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ et $\ln(2)/\ln(3)$ basées sur la décomposition unique des entiers comme produits de nombres premiers\footnote{Si $\sqrt{2}=p/q\in \Q$ avec $p,q$ premiers entre eux, alors on a $p^2=2q^2$, qui est impossible comme on le voit en considérant les valuations $2$-adiques de $p$ et $q$. De~façon similaire, si $\ln(2)/\ln(3)=p/q\in \Q$ avec $p,q$ premiers entre eux, alors on~a $2^q=3^p$, ce qui est impossible. Notons que $\ln(2)/\ln(3)$ est en fait transcendant mais que c'est bien plus difficile à prouver; c'est une conséquence du théorème de Gel'fond-Schneider (voir la partie \ref{sec:problemes}).}. Elles ont l'avantage de la simplicité mais le défaut d'être complètement \emph{ad hoc}. En général, on cherche à s'appuyer sur la
\begin{prop}[Critère d'irrationalité]\label{critirrat}\mbox{}\hspace*{-4pt}
Étant donné un nombre~réel~$\alpha$, supposons qu'il existe deux suites d'entiers $(p_n)_n$ et $(q_n)_n$ telles que $0<\vert q_n\alpha -p_n\vert \to 0$ quand $n\to +\infty$. Alors $\alpha \notin \Q$.
\end{prop}
La preuve est immédiate: si au contraire on avait $\alpha\!=\!p/q\!\in\!\Q$, alors $0<\vert q(q_n\alpha -p_n)\vert=\vert q_np -qp_n\vert$ serait un entier $<1$ si $n$ est assez grand (relativement à $p$ et $q$), contradiction. Par exemple, comme on montre facilement par récurrence sur $n\ge 0$ qu'il existe deux suites d'entiers $(p_n)_n$ et $(q_n)_n$ telles que $(\sqrt{2}-1)^n =q_n \sqrt{2}-p_n$,\footnote{Incidemment, la suite $(p_n/q_n)_n$ est la suite des réduites de la fraction continue de $\sqrt{2}$.} l'irrationalité de~$\sqrt{2}$ découle de ce critère puisque $0<\sqrt{2}-1<1$. On peut également l'utiliser pour démontrer\footnote{Cette preuve est due à Fourier vers 1815, voir \cite{fourier}. La première démonstration de l'irrationalité de $e$ est due à Euler en 1737, qui a utilisé pour cela le développement en fraction continue de $e$. Voir la partie \ref{ssec:padeexpcont} à ce sujet.} que le nombre $e=\sum_{k=0}^{\infty} \sfrac{1}{k!} \notin \Q$: il suffit de définir les entiers $q_n=n!$ et $p_n=n!\sum_{k=0}^n \sfrac{1}{k!}$, et de remarquer que $0< q_n e - p_n=n!\sum_{k=n+1}^\infty \sfrac{1}{k!}<\spfrac{e}{n+1}$.

Plus généralement, si l'on veut démontrer l'indépendance linéaire sur $\Q$ de $s$ réels $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$, on cherche à construire $s+1$ suites d'entiers $(p_{j,n})_n$ telles que
\begin{equation}\label{eq:crit11}
0 \neq r_n:=p_{0,n}+\sum_{j=1}^s p_{j,n} \alpha_j \to 0.
\end{equation}

Sans autre hypothèse sur les $p_{j,n}$ et $r_n$, on ne peut rien déduire de mieux de \eqref{eq:crit11} que l'irrationalité d'au moins l'un des nombres $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$. Pour obtenir un résultat d'indépendance linéaire sur $\Q$, on doit
aussi contrôler la croissance des suites $p_{j,n}$ relativement à la décroissance de $r_n$: plus $r_n$ tend rapidement vers 0 et les $p_{j,n}$ tendent lentement vers l'infini, plus on obtient de nombres linéairement indé\-pen\-dants sur $\Q$. Donnons un énoncé qui illustre précisément ce fait.
\begin{prop}[Critère de Nesterenko \cite{nesterenkocritere}]\label{prop:critnes} Soient $\xi_1, \ldots, \xi_s$ des réels. On suppose qu'il existe des suites d'entiers $(\lambda_n)_{n\ge 0}$ et $(p_{j,n})_{n\ge 0}$ $(j=1, \ldots, s)$, et $u_1,u_2,v>0$ tels que
$$
\lim_{n\to +\infty} \lambda_n=+\infty, \qquad \lim_{n\to +\infty} \frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_n}=1,
$$
$$
\limsup_{n\to +\infty}\vert p_{j,n} \vert^{1/\lambda_n} \le v, \quad j=1, \ldots, s
$$
et
$$
0<u_1^{\lambda_n(1+o(1))}\le \bigg\vert \sum_{j=1}^s p_{j,n}\xi_j \bigg\vert \le u_2^{\lambda_n(1+o(1))}.
$$
Alors le rang sur $\Q$ de la famille $(\xi_1, \ldots, \xi_s)$ est au moins
\[
\frac{\ln(v)-\ln(u_1)}{\ln(v)-\ln(u_1)+\ln(u_2)}.
\]
\end{prop}
Une méthode alternative pour démontrer l'indépendance linéaire sur $\Q$ de $s$ réels $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$, consiste à construire $s+1$ suites d'entiers $(p_{j,n})_n$ et $(q_n)_n$ telles que, pour chaque~$j \in\{1, \ldots, s\}$,\vspace*{-3pt}\enlargethispage{1.9\baselineskip}%
$$
0 \neq r_{j,n}:= q_n \alpha_j - p_{j,n} \to 0,
$$
c'est-à-dire que l'on approche les $\alpha_j$ par des suites de rationnels ayant le même dénominateur. Là aussi, on peut énoncer un critère \cite{fischler2} permettant de montrer l'indépendance linéaire sur $\Q$ des nombres $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$. Dans les deux cas, on parle de suites d'approximations ration\-nelles simultanées de $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$.

La question est maintenant de savoir produire ces suites d'entiers pour montrer l'irrationalité d'un réel $\alpha$ donné. Une méthode classique repose sur l'existence d'une fonction\footnote{On pourrait évidemment se contenter de prendre $f(z)=\alpha z$ mais cette fonction ne permet probablement pas de développer cette approche autrement qu'en connaissant des approximations rationnelles $(r_n)_n$ de $\alpha$. Or le but est justement de construire une telle suite $(r_n)_n$.} $f(z)$ telle que $f(1)=\alpha$. Le~point important est alors de parvenir à construire des suites de fractions rationnelles $P_n(z)/Q_n(z)\in \Q(z)$ qui approchent de mieux en mieux $f(z)$ en un certain sens. En spécialisant en $z=1$, on espère alors que les nombres $P_n(1)/Q_n(1)\in \Q$ sont de bonnes approximations rationnelles de $\alpha$. Noter que la limite $\lim_n P_n(1)/Q_n(1) = \alpha$ n'implique pas forcément que $\alpha \notin \Q$, et qu'il faut vérifier davantage de choses pour appliquer le critère d'irrationalité. En pratique, la fonction $f(z)$ est souvent une série formelle dans $\Q\lcr z\rcr$ et $P_n(z)/Q_n(z)$ est une fraction rationnelle dont le développement de Taylor coïncide \og longuement\fg avec celui de $f(z)$. Cela conduit à la notion d'approximants de Padé qui est l'objet de la partie suivante.

\subsection{Approximants de Padé}\label{ssec:pade}

Les approximants de Padé sont une généralisation aux séries formelles de la notion de fractions continues pour les nombres réels. On~se donne une série formelle $F(z)\in \LL\lcr z\rcr$, où
$\LL$ est un sous-corps de $\CC$, typiquement un corps de nombres, $\Qbar$ ou~$\CC$. Voir \cite{brezinski} pour une référence sur l'approximation de Padé.

\begin{defiprop} Soient $p$ et $q$ deux entiers positifs.
\begin{enumerate}
\item
Il existe deux polynômes $P(z)\in \LL[z]$ et $Q(z)\in \LL[z] \setminus\{0\}$, de~degrés respectifs \emph{au plus} $p$ et $q$ et tels que\vspace*{-3pt}
$$
R(z):= Q(z)F(z)-P(z) \in \LL\lcr z\rcr
$$
ait une valuation (ou ordre d'annulation) \emph{au moins} $p+q+1$ en $z=0$.
\item
La fraction rationnelle $P/Q$ (sous forme réduite) est unique et, par définition, il s'agit de l'approximant de Padé de $F$ noté $[p/q]_F$.
\end{enumerate}
\end{defiprop}
Dans la suite, on écrira $f(z)=\mathcal{O}((z-\rho)^{n})$ pour signifier que la valuation en $z=\rho$ d'une série formelle $f(z)\in \CC\lcr z-\rho\rcr$ est au moins~$n$.

Le point (i) découle de l'algèbre linéaire. En effet, cela revient à résoudre un système linéaire dont les $q+1$ inconnues sont les coefficients de Taylor de $Q$, et les $q$ équations linéaires sont données par l'annulation des $q$ coefficients de Taylor de $R$ dont les indices sont dans $\{p+1, \ldots, p+q\}$. Il existe donc au moins un polynôme $Q\neq 0$, et on a alors nécessairement $P=[QF]_{\le p}$, la troncature de $QF$ au $p$-ième coefficient de Taylor.

Concernant l'unicité en (ii), soient $P/Q$ et $A/B$ deux approximants de Padé $[p/q]_F$. Alors $R:=QF-P$ et $S:=BF-A$ ont chacun un ordre $\ge p+q+1$ en $z=0$, et cette propriété est encore vraie pour $QS-BR$. Mais
$QS-BR=BP-QA$ est un polynôme de degré $\le p+q$; il est donc identiquement nul.

On dispose la suite double $([p/q]_F)_{p,q\ge 0}$ dans un tableau doublement infini \og vers la droite et vers le bas\fg, que l'on appelle la \emph{table de Padé de $F$}. Pour cette raison, on dit que $[n/n]_F$ est un approximant de Padé diagonal de $F$. Dans ce cas, on voit que les séries de Taylor de $F(z)$ et $P(z)/Q(z)$ (avec $P$ et $Q$ de degré au plus $n$) coïncident jusqu'à l'ordre $2n$ lorsque $Q(0)\neq 0$\footnote{ce que l'on peut supposer sans perte de généralité puisque si $Q(0)=0$ alors $P(0)=0$ également}). Ceci est à rapprocher de la propriété \og numérique\fg suivante \cite[p.\,9, Th.\,9]{kintchine}: soit $(p_n/q_n)_{n\ge0}$ la suite des réduites successives de la fraction continue régulière d'un nombre irrationnel $\alpha$; alors $\vert \alpha-p_n/q_n\vert < 1/q_n^2$.\enlargethispage{\baselineskip}%

La notion d'approximant de Padé se généralise de diverses façons. On peut demander par exemple un ordre d'annulation $<p+q+1$, auquel cas l'existence de $P$ et $Q\neq 0$ est toujours assurée, mais pas l'unicité de la fraction rationnelle $P/Q$; on parle alors d'approximant de type Padé. Deux autres généralisations usuelles concernent l'approximation simultanée de plusieurs séries. On se donne $F_1(z), \ldots, F_r(z) \in \LL\lcr z\rcr$.

\subsubsection*{Approximants de Padé (simultanés) de type~I}
Étant donnés des entiers $p\ge 0$ et $r\ge 2$
il existe des polynômes $P_1(z),\ldots, P_r(z)\in \LL[z]$, non tous nuls, tels que $\deg(P_j)\leq p$ et\vspace*{-3pt}
$$
\sum_{j=1}^r P_j(z)F_j(z) \in \LL\lcr z\rcr
$$
ait un ordre d'annulation au moins $r(n+1)-1$ en $z=0$. On parle aussi d'approximants d'Hermite-Padé.

\subsubsection*{Approximants de Padé (simultanés) de type~II}
Étant donnés des entiers positifs $p$ et $q$ tels que $p\geq (r-1)q$,
il existe des polynômes $P_1(z),\ldots, P_r(z), Q(z)\in \LL[z]$, $Q\neq 0$, tels que $\deg(P_j)\leq p$, $\deg(Q)\leq r \cdot q$ et chaque série\vspace*{-3pt}\enlargethispage{1.5\baselineskip}
\begin{equation*}
Q(z)F_j(z)-P_j(z) \in \LL\lcr z\rcr, \quad 1\leq j\leq r.
%\label{typeII}
\end{equation*}
ait un ordre au moins $p+q+1$ en $z=0$. Les fractions rationnelles $P_j/Q$ sont les approximants de Padé de type~II de $(F_j(z))_{j=1,\ldots,r}$ de paramètres $(p,q)$.

On notera l'analogie évidente avec les deux types d'approximations simultanées des nombres réels mis en avant à la fin de la partie \ref{sec:critirrat}. On peut bien sûr aussi définir des approximants de type Padé de type~I (ou II), et ils apparaîtront d'ailleurs dans la suite.

Des cas particuliers d'approximants de Padé avaient été considérés par Euler, Lambert et Gauss entre autres, dans un formalisme différent basé sur les développements en fraction continues des fonctions exponentielle et hypergéométrique. La preuve de Lambert de l'irrationalité de $\pi$ utilise aussi de manière cachée des approximants de Padé de la fonction exponentielle, voir la partie \ref{ssec:padeexpcont}. Hermite a utilisé les approximants de type~II de l'exponentielle pour démontrer la transcendance du nombre~$e$ en 1873. La notion a ensuite été formalisée et étudiée en détails dans la thèse de Padé \cite{pade, padeoeuvre}, qui était un étudiant d'Hermite.

\subsection{Valeurs de l'exponentielle}\label{eq:valeursexp}

On sait calculer explicitement toute la table de Padé de la fonction exponentielle. Indiquons ici seulement comment obtenir la diagonale. Notons\vspace*{-5pt}
\begin{equation}\label{eq:polylegendre}
P_n(x):=\frac{1}{n!}(x^n(1-x)^n)^{(n)}=\sum_{k=0}^n (-1)^{k}\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}x^k \in \Z[x]
\end{equation}
le $n$-ième polynôme de Legendre sur $[0,1]$.
Par récurrence sur $k\ge 0$, on vérifie que\vspace*{-5pt}\begin{equation}\label{eq:int1}
\int_0^1 x^k e^{zx} \,dx= \frac{q_k(z)e^z+(-1)^{k+1}k!}{z^{k+1}},
\end{equation}
où $q_k(z)\in \Z[z]$ est un polynôme (explicitable) de degré $k$.
\begin{prop} \label{prop:padeexp}
Pour tout entier $n\ge 0$, posons
\begin{align*}
A_n(z)&=\sum_{k=0}^n k!\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}z^{n-k}, \\ B_n(z)&=\sum_{k=0}^n k!\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}q_k(z)z^{n-k}.
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item\label{prop:padeexpi}
On a $[n/n]_{\exp}=A_n/B_n$ et \begin{equation}\label{eq:resteexp2}
R_n(z):=B_n(z)e^z-A_n(z)= (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{n!}\int_0^1 x^n(1-x)^n e^{zx} \,dx.
\end{equation}
\item\label{prop:padeexpii}
Pour tout $z\in \CC$, on a\vspace*{-3pt}
\begin{equation}\label{eq:resteexp}
\vert R_n(z)\vert \le \max(1,e^{\Re(z)})\frac{\vert z\vert^{2n+1}}{4^n n!}
\end{equation}
et si de plus $z\in \RR^*$, alors $R_n(z)\neq 0$.
\end{enumerate}
\end{prop}
On vérifie ce résultat en calculant de deux manières différentes l'intégrale $I_n(z):=z^{n+1}\int_0^1 P_n(x) e^{zx}dx$. En intégrant $n$ fois par parties, on voit que $I_n(z)$ est égale au membre de droite de \eqref{eq:resteexp2}. En~utilisant la forme \og développée\fg de $P_n(x)$ dans \eqref{eq:polylegendre} et en utilisant ensuite~\eqref{eq:int1}, on voit cette fois-ci que $I_n(z)$ est égale au membre de gauche de~\eqref{eq:resteexp2}, ce qui prouve \eqref{prop:padeexpi}. La majoration \eqref{eq:resteexp} de $R_n(z)$ résulte de ce que $\vert x^n(1-x)^n \vert\le 4^{-n}$ pour $x\in [0,1]$, et la non-nullité lorsque $z\in \RR^*$ résulte de la stricte positivité de l'intégrande sur $]0,1[$.

Nous allons maintenant déduire de la proposition \ref{prop:padeexp} le

\begin{theo}\mbox{} \label{theo:expirr}
\begin{enumerate}
\item
Pour tout nombre rationnel $r\neq 0$, on a $\exp(r)\not \in \Q$ (Lambert 1761).

\item
Pour tout nombre rationnel $r>0$, avec $r\neq 1$, on a $\ln(r)\not \in \Q$.

\item
On a $\pi\notin \Q$ (Lambert 1761) et $\pi^2 \notin \Q$ (Legendre 1795).
\end{enumerate}
\end{theo}
Pour (i), on note $r=p/q\in \Q^*$, de sorte que $b_n:=q^nB_n(r)$ et $a_n:=q^n A_n(r)$ sont des entiers. On peut donc appliquer le critère d'irrationalité puisque, quand $n\to +\infty$,
$$
0<\vert b_n e^r -a_n\vert =\vert q^nR_n(r)\vert \le \max(1,e^{r})\, \frac{\vert q\vert^n \vert r\vert^{2n+1}}{4^n n!} \to 0.
$$
Pour (ii), on utilise $e^{\ln(r)}=r$ et on applique (i). Pour (iii), on remar\-que que, pour tout entier $n\ge 0$,\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
R_n(i \pi)+R_n(-i\pi) &= 2\, \frac{\pi^{2n+1}}{n!}\int_0^1 x^n(1-x)^n \sin(\pi x) \,dx\neq 0
\\
&=-\big(B_n(i\pi)+B_n(-i\pi) +A_n(i\pi)+A_n(-i\pi)\big)
\end{align*}
et c'est donc un polynôme $C_n(X)\in \Z[X]$
de degré $\le n/2$, que l'on évalue en $\pi^2$. Si l'on suppose que $\pi^2 =p/q\in \Q$, on déduit que
$(q^{2n}C_n(\pi^2))_n$ est une suite d'entiers non nuls qui tend vers $0$, contradiction. L'irrationalité de $\pi^2$, et donc celle de $\pi$, en découle. Cette démonstration est essentiellement celle de Niven \cite{nivenpi}.

Padé a basé sa thèse sur une étude détaillée de la table (de Padé) de la fonction exponentielle entre autres, mais les formules précédentes étaient connues d'Hermite dans une plus grande généralité encore~\cite{hermite}. Il avait en effet calculé les approximants de type~I et de type~II des fonctions $\exp(\alpha_1 z), \ldots, \exp(\alpha_s z)$ pour toute famille de nombres complexes non nuls $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ deux à deux distincts. En~introduisant le polynôme
$\big(x^n\prod_{k=1}^s(x-\alpha_k)^n\big)^{(n)}$ (qui généralise le polynôme de Legendre $P_n(x)$)
on détermine explicitement
$s+1$ polynômes $A(z)$ et $B_{j}(z)$ ($j=1, \ldots, s$) de $\CC[z]$, de degré au plus $sn$, tels que\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{multline}\label{eq:hermiteII}
R_j(z):=A(z)e^{\alpha_j z} - B_{j}(z)
\\= z^{(s+1)n+1}e^{\alpha_j z}\int_0^{\alpha_j} x^n \prod_{k=1}^s(x-\alpha_k)^n e^{-zx}\,dx = \mathcal{O}(z^{(s+1)n+1}).
\end{multline}
pour tout $j\in\{1, \ldots, s\}$ et tout $z\in \CC$. Ces polynômes sont donc des approximants de Padé de type~II de la famille $\exp(\alpha_1 z), \ldots, \exp(\alpha_s z)$. Il existe également des formules pour des approximants de Padé de type~I: on peut donner des expressions explicites de polynômes $Q_1(z), \ldots, Q_s(z)\in \CC[z]$ de degré au plus $n$ tels que\vspace*{-8pt}
\begin{multline}\label{eq:hermiteI}
\mathcal{R}(z):=\sum_{j=1}^s Q_j(z) e^{\alpha_j z}
\\[-3pt]
= z^{s(n+1)-1}\hspace*{-.8cm}\int\limits_{\substack{x_1\ge 0, \ldots, x_{s-1}\ge 0\\x_1+\cdots +x_s=1}} \prod_{k=1}^s \left(x_k^n \,e^{\alpha_k x_k z}\right) dx_1\cdots dx_{s-1} = \mathcal{O}(z^{s(n+1)-1}).
\end{multline}
En exploitant les formules \eqref{eq:hermiteII} avec $\alpha_j=j-1$, Hermite a ainsi pu obtenir en 1873 son célèbre théorème. On peut également le démontrer avec les formules \eqref{eq:hermiteI}.
\begin{theo}[Hermite \cite{hermite}]\label{theo:hermite} $e\notin \Qbar$.
\end{theo}
Nous ne rentrons pas dans les détails de la preuve. Le point délicat par rapport au théorème \ref{theo:expirr} est de parvenir à montrer la non-nullité de quantités de la forme $\sum_{j=1}^s c_j R_j(1)$, où les $c_j \in \Z$. Cette importante difficulté levée, on obtient par une approche similaire les théorèmes suivants.
\begin{theo}[Hermite-Lindemann]\label{theo:hermitelind}
Pour tout $\alpha \in \Qbar^*$, $e^\alpha \notin \Qbar$.

Étant donnée n'importe quelle détermination du logarithme, pour tout $\alpha \in \Qbar\setminus\{0,1\}$, $\log(\alpha) \notin \Qbar$. En particulier, $\pi \notin \Qbar$ (Lindemann 1882 \cite{lindemann}).
\end{theo}

\begin{theo}[Lindemann-Weierstrass]\mbox{} \label{theo:lindweie}
\begin{enumerate}
\item
Soient $\alpha_1, \ldots, \alpha_k \in \Qbar$ supposés linéairement indépendants sur~$\Q$. Alors $e^{\alpha_1}, \ldots, e^{\alpha_k}$
sont algébriquement indépendants sur $\Q$.

De manière équivalente:

\item
Soient $\beta_1, \ldots, \beta_\ell \in \Qbar$ supposés deux à deux distincts. Alors $e^{\beta_1}, \ldots, e^{\beta_\ell}$
sont linéairement indépendants sur $\Qbar$.
\end{enumerate}
\end{theo}
En particulier, pour tout $\alpha \in \Qbar^*$, les nombres $\cos(\alpha)$ et $\sin(\alpha)$ sont transcendants. L'équivalence des deux énoncés est basée sur l'équation fonctionnelle $e^{x+y}=e^x e^y$. On démontre d'ailleurs (ii) en premier avec les approximants de Padé de type~I de la famille $\exp(\beta_1 z), \ldots, \exp(\beta_\ell z)$.

Pour les démonstrations de ces théorèmes, voir \cite[p.\,17, \S 10]{siegellivre} et \cite[p.\,20, \S 12]{siegellivre} respectivement. Lorsque $\alpha$ est algébrique réel dans le théorème \ref{theo:hermitelind}, les approximants de Padé de type~I avec $\alpha_j=(j-1)\alpha$ sont plus appropriés que ceux de type~II car $\mathcal{R}(1)>0$ par positivité de l'intégrande et on conclut plus rapidement que dans le cas général (voir \cite[pp.\,63--68]{Shidlovskii}).

\subsection{Fractions continues liées à l'exponentielle}\label{ssec:padeexpcont}

On rappelle que tout nombre irrationnel $\alpha$ admet une unique représentation sous forme de fraction continue infinie (dite \emph{régulière})
$$
\alpha=a_0+\frac{1}{\displaystyle a_1+\frac{1}{\displaystyle a_2+\frac{1}{a_3+\cdots}}}:=[a_0;a_1,a_2, a_3, \ldots]
$$
où $a_0=\lfloor \alpha\rfloor\in \Z$ et $a_n\in \NN^*$ pour tout $n\ge 1$. On définit les réduites de $\alpha$ comme étant les rationnels ($n\ge 1$)
$$
\frac{p_n}{q_n}:=a_0+\frac{1}{\displaystyle a_1+\frac{1}{\displaystyle a_2+\cdots + \frac1{ \displaystyle a_{n-2}+\frac1{a_{n-1}}}}}=[a_0;a_1,a_2, \ldots, a_{n-1}],
$$
de sorte que $\alpha=\lim_n \sfrac{p_n}{q_n}$. Les entiers $p_n$ et $q_n$ satisfont aux récurrences $p_{n+1}=a_{n}p_n+p_{n-1}$, $q_{n+1}=a_{n}q_n+q_{n-1}$, avec $(p_{-1}, q_{-1})=(0,1)$ et $(p_0,q_0)=(1,0)$ par convention. Voir \cite{descombes, kintchine}.
On sait calculer n'importe quel quotient partiel $a_n$ pourvu que l'on connaisse, par exemple, suffisamment de chiffres dans le développement décimal de~$\alpha$. Mais en général, on ne connaît pas explicitement \emph{a priori} la suite $(a_n)_{n\ge 0}$ d'un nombre réel donné (autre qu'un nombre quadratique irrationnel). Ainsi, on ne la connaît pas pour les nombres $\sqrt[3]{2}$, $\pi$, $\gamma$, $G$, $\ln(2)$ par exemple. Toutefois, on la connaît pour quelques nombres liés à l'exponentielle. Ainsi
\begin{equation}\label{eq:fraconte}
e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1, \ldots, \underbrace{1,2n,1}, \ldots],
\end{equation}
et, pour $k\in \NN$ et $k\ge 2$,
\begin{align}
&e^{1/k}=[1;k-1,1,1,3k-1,1,1, \ldots, \underbrace{(2n+1)k-1,1,1}, \ldots],\notag
\\
\label{eq:tancont}
&\tan(1/k)\\
&\quad\;=[0;k-1,1,3k-2,1,5k-2,\ldots, \underbrace{1,(2n+1)k-2}, \ldots].\notag
\end{align}

\subsubsection*{La fraction continue régulière de $e$}
Euler a donné la première démons\-tration de \eqref{eq:fraconte} en utilisant l'équation différentielle de Ricatti \cite{euler}. Il est remarquable que
ce développement en fraction continue du nombre $e$ soit intimement lié aux approximants de Padé de l'exponentielle. Suivant \cite{cohn}, introduisons les intégrales suivantes, qui sont des variations de $R_n(1)$ dans la proposition \ref{prop:padeexp}: pour tout $n\ge 0$, posons
\begin{align*}
A_n&:=\frac{1}{n!}\int_0^1 t^n(t-1)^n e^{t}dt, \\
B_n&:=\frac{1}{n!}\int_0^1 t^{n+1}(t-1)^n e^{t}dt, \\
C_n&:=\frac{1}{n!}\int_0^1 t^n(t-1)^{n+1} e^{t}dt.
\end{align*}
(Noter que $A_n=R_n(1)$.)
On a $A_0=e-1$, $B_0=1$, $C_0=2-e$ et pour tout $n\ge 0$
$$C_{n}=B_n-A_n, \quad A_{n+1}=-B_{n}-C_n,
\quad B_{n+1}=-2(n+1)A_{n+1}+C_n.
$$
On en déduit l'existence de deux suites d'entiers $(P_n)_{n\ge 0}$ et $(Q_n)_{n\ge 0}$ telles que
\begin{align*}
A_n=Q_{3n}e-P_{3n}, \quad B_n=P_{3n+1}-Q_{3n+1}e, \quad C_n=P_{3n+2}-Q_{3n+2}e,
\end{align*}
pour lesquelles on vérifie par récurrence que pour tout entier $m\ge 0$, on a
$$
\frac{P_{m+2}}{Q_{m+2}}=[e_0;e_1, \ldots, e_m],
$$
où $(e_m)_{m\ge 0}$ est définie par $e_0=2$ et pour $n\ge 1$, $e_{3n-2}=1$, $e_{3n-1}=2n$, $e_{3n}=1$. Comme
$
\lim_{n} P_n/Q_n =e,
$
cela prouve que
$e=[e_0;e_1, \ldots, e_m, \ldots]$ et on trouve \eqref{eq:fraconte}.

\subsubsection*{Une fraction continue irrégulière de $\tan(x)$}
Lambert \cite{lambert} a donné en 1761 la première démonstration de l'irrationalité de $\pi$ au moyen d'une fraction continue irrégulière pour la fonction tangente, différente de~\eqref{eq:tancont}:
\begin{equation}\label{eq:tanlambert}
\tan(x)= \frac{x}{\displaystyle 1-\frac{x^2}{\displaystyle 3-\frac{x^2}{\displaystyle 5-\frac{x^2}{7-\cdots}}}},
\end{equation}
qui converge pour tout $x\in \CC\setminus (\Z +\sfrac{\pi}{2})$.
Contrairement à une fraction continue régulière, il n'est pas toujours vrai qu'une fraction continue infinie irrégulière $$a_0+\frac{b_1}{\displaystyle a_1+\frac{b_2}{\displaystyle a_2+\frac{b_3}{a_3+\cdots}}}=a_0+\prfrac{b_1}{a_1}+\prfrac{b_2}{a_2}+\prfrac{b_3}{a_3}+\cdots,$$ avec des $a_j$ et $b_j$ entiers, représente un nombre irrationnel. Par exemple, $\prfrac{2\,}{1}+\prfrac{2\,}{1}+\prfrac{2\,}{1}+\cdots =1$, où le motif $2/1$ se répète indéfiniment. Lambert a néanmoins démontré le critère suivant.
\begin{prop}[Critère d'irrationalité de Lambert] \label{prop:lambert} Soient $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ deux suites d'entiers tels que $1\le \vert b_n\vert < \vert a_n \vert $ pour tout $n\ge 1$. On suppose que la fraction continue irrégulière
$$\lambda:=\prfrac{b_1}{a_1}+\prfrac{b_2}{a_2}+\prfrac{b_3}{a_3}+\cdots
$$
est convergente et que pour tout $n$ assez grand,
la fraction continue (convergente) $$\lambda_n:=
\prfrac{b_n}{a_n}+\prfrac{b_{n+1}}{a_{n+1}}+\prfrac{b_{n+2}}{a_{n+2}}+\cdots
$$ satisfait à $0<\vert \lambda_n\vert <1$. Alors $\lambda\notin \Q$.
\end{prop}
En supposant $\pi=p/q\in \Q$, Lambert a montré (après quelques manipulations) que l'on peut appliquer son critère à la fraction continue \eqref{eq:tanlambert} évaluée en $x=\pi/4$, et cette fraction est donc un nombre irrationnel. Or comme elle vaut en fait $\tan(\pi/4)=1$, cette contradiction montre que $\pi\notin \Q$. Legendre \cite{legendre} a remarqué que l'on obtient une contradiction similaire en supposant $\pi^2\in \Q$. En effet, comme $\tan(\pi)=0$, on déduit de \eqref{eq:tanlambert} évaluée en $x=\pi$ que
$$
\prfrac{\pi^2}{5}-\prfrac{\pi^2}{7}-\prfrac{\pi^2}{9}-\cdots =3.
$$
Il s'avère que les numérateurs et dénominateurs des réduites de la fraction continue \eqref{eq:tanlambert} sont des approximants de Padé (quasi) diagonaux de la fonction tangente. Ils peuvent d'ailleurs être explicitement décrits avec des variantes des polynômes de Padé pour l'exponentielle donnés à la proposition \ref{theo:expirr}.
Notons qu'en posant $x=i r\in i\Q$, $r\neq 0$, dans \eqref{eq:tanlambert}, Lambert a également déduit de son critère l'irrationalité de $\tanh(r)$ dont découle celle de $\exp(r)$.

\subsection{Valeurs du logarithme}

On utilise de nouveau les polynômes de Legendre $P_n(z)$ définis en \eqref{eq:polylegendre}.
Posons $B_n(z)\!\!:=\!z^nP_n(1/z)\!\!\in\!\Z[z]$~et
$$
A_n(z):=z^n \int_0^1 \frac{P_n(1/z)-P_n(t)}{1/z-t} dt \in \Q[z].
$$
Un dénominateur commun des coefficients de $A_n(z)$ est $d_n:=\textup{ppcm}\{1,2, \ldots, n\}$, quantité qui vaut asymptotiquement $e^{n+o(n)}$ (par le théorème des nombres premiers) et est bornée par $3^n$ pour tout $n\ge 0$.
Pour tout $z\in \CC$ tel que $\vert z\vert <1$, on a
$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n} = z\int_0^1 \frac{dx}{1-zx}= -\log(1-z)
$$
et l'intégrale fournit le prolongement analytique de la série entière à $\CC \setminus [1,+\infty[$. Notons que ce prolongement coïncide avec la branche de $-\log(1-z)$ pour laquelle $-\pi<\arg(1-z)<\pi$.
\begin{prop}\label{prop:padelog} Pour tout $n\ge 0$, la fraction rationnelle
$A_n(z)/B_n(z)$ est l'approximant de Padé $[n/n]$ de $-\log(1-z)$. De plus, pour tout $z\in \CC \setminus [1,+\infty[$, on a
\begin{equation}\label{eq:intlog}
R_n(z):=B_n(z)\log(1-z)-A_n(z)=z^{2n+1}\int_0^1 \frac{x^n(1-x)^n}{(1-zx)^{n+1}}\,dx.
\end{equation}
\end{prop}
On vérifie que $R_n(z)=z^n\int_0^1 P_n(x)/(1-zx) dx$ et en intégrant $n$ fois par parties cette intégrale on obtient \eqref{eq:intlog}, dont la proposition découle.

Pour $x\in \RR$ tel que $0<\vert x\vert<1$, posons
$
V(x):= (1-\sqrt{1-x})^2/\vert x\vert.
$
On déduit alors de la proposition \ref{prop:padelog} un résultat d'Alladi et Robinson \cite{alladi}:
\begin{theo} \label{theo:logirr}
Soit $(a,b)\!\in\!\Z^2$ tel que $0\!<\!\vert a/b\vert \!<\!1$ et $V(a/b)\vert a \vert e\!<\!1$.
Alors
$\log(1-a/b)\notin \Q$.
\end{theo}

En effet, les nombres $q_n:=d_nb^nB_n(a/b)$ et $p_n:=d_nb^nA_n(a/b)$ sont des entiers et l'intégrale à droite de \eqref{eq:intlog} montre que
$$
\lim_{n\to +\infty} \left\vert b^n d_n R_n(a/b)\right\vert^{1/n} = V(a/b)\vert a \vert e.
$$
Le critère d'irrationalité appliqué à $$d_nb^nR_n(a/b)=q_n\log(1-a/b)-p_n\neq 0$$ permet donc de conclure.
Ce résultat est plus faible que le point~\eqref{prop:padeexpii} de la proposition \ref{prop:padeexp} (qui vaut pour tout logarithme de nombre rationnel) mais on peut surtout déduire des approximants de Padé de $\log(1-z)$ une mesure d'irrationalité beaucoup plus fine que celle que l'on pourrait éventuellement déduire des approximants de Padé de l'exponentielle. Voir la partie \ref{ssec:mesure}.

Pour tout entier $s\ge 1$, on connaît également les approximants de Padé \og diagonaux\fg de type~I et II pour la famille de fonctions $(\log(1-z)^k)_{1\le k \le s}$ mais il semble que l'on ne sache en déduire la transcendance de $\log(\alpha)$ pour aucun nombre algébrique $\alpha$.

Nous concluons cette partie avec la remarque suivante: les preuves de l'irrationalité de $\pi$ présentées dans les parties \ref{eq:valeursexp} et \ref{ssec:padeexpcont} sont indirectes et, en particulier, on n'utilise pas le critère d'irrationalité pour y parvenir. Ce n'est que relativement récemment qu'Hata \cite{hatapi} a réussi à construire explicitement des suites d'entiers $(p_n)_n$ et $(q_n)_n$ telles que $0<\vert q_n \pi-p_n\vert \to 0$, en utilisant des approximants de Padé simultanés de $\log(1-\alpha z)$ et $\log(1-\beta z)$ pour des bons choix de $\alpha$ et~$\beta$. Voir également Beukers \cite{beukerspi} pour une construction différente.

\subsection{Valeurs des polylogarithmes}\label{ssec:polylog}

La série entière de $-\log(1-z)$ s'inscrit (pour $s=1$) dans la famille des polylogarithmes
\begin{equation} \label{eq:defpolylogint}
\Li_s(z):=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^s}=\frac{1}{(s-1)!}\int_0^1 \frac{\log(1/x)^{s-1}}{1-zx}dx
\end{equation}
où $s\ge 1$ est entier. La série converge pour tout $z\in \CC$ tel que $\vert z\vert \le 1$, sauf si $s=1$ où il faut aussi exclure $z=1$. L'intégrale permet de prolonger analytiquement la série à $\CC\setminus [1,+\infty[$.

On ne connaît explicitement la suite des approximants de Padé diagonaux d'aucune des séries $\Li_s(z)$ avec $s\ge 2$. En revanche, on~ sait calculer des approximants de Padé de type~I et de type~II de la famille $(\Li_k(z))_{1\le k \le s}$ pour chaque $s\ge 1$ donné \cite{firiliouville}.
Par exemple, pour $s=2$, des approximants de type~I et type~II sont donnés par la
\begin{prop} \label{padepolylog12}
Pour tout entier $n \ge 0$ et tout $z\in \CC$, $\vert z\vert <1$, on a
\begin{multline}\label{eq:pade1li2li1}
\sum_{k=1}^\infty \frac{(k-2n-1)_{2n+1}}{(k)_{n+1}^2}\,z^{k+n}\\
= A_n(z)\Li_2(z)+B_n(z)\Li_1(z)+C_n(z)= \mathcal{O}(z^{3n+2}),
\end{multline}
où les polynômes $A_{n}, B_{n}, C_{n} \in \Q[z]$ sont de degré $\le n$, tandis que
\begin{equation}\label{eq:pade2li2li1}
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{(k-n)_n^2}{(k)_{2n+1}}\,z^{k+2n} \!=\! Q_{2n}(z)\Li_1(z) \!-\! P_{1,2n}(z)\!=\! \mathcal{O}(z^{3n+1})
\\[15pt]
-\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{\partial}{\partial k}\Bigl(\frac{(k-n)_n^2}{(k)_{2n+1}}\Bigr) z^{k+2n} = Q_{2n}(z)\Li_2(z) - P_{2,2n}(z)\\[-5pt]
\hspace*{7.4cm}= \mathcal{O}(z^{3n+1})
\end{cases}
\end{equation}
où les polynômes $Q_{2n}, P_{1,2n}, P_{2,2n} \in \Q[z]$ sont de degré $\le 2n$.
\end{prop}
Une fois que l'on a deviné les identités \eqref{eq:pade1li2li1} et \eqref{eq:pade2li2li1}, elles sont faciles à démontrer.
Par exemple, notons $S(z)$ la série à gauche de \eqref{eq:pade1li2li1}. On voit que le numérateur de la fraction rationnelle (de la variable $k$)
$$
r_n(k):=\frac{(k-2n-1)_{2n+1}}{(k)_{n+1}^2}=\frac{(k-1)(k-2)\cdots (k-2n-1)}{k^2(k+1)^2\cdots (k+n)^2}
$$
s'annule pour $k=1, 2, \ldots, 2n+1$, ce qui prouve que $S(z)=\mathcal{O}(z^{3n+2})$. Par ailleurs, en utilisant la décomposition en éléments simples (sans partie polynomiale)
$$
r_n(k)=\sum_{s=1}^2\sum_{j=0}^n \frac{c_{s,j,n}}{(k+j)^s}, \quad c_{s,j,n} \in \Q,
$$
on obtient $S(z)=A_n(z)\Li_2(z)+B_n(z)\Li_1(z)+C_n(z)$ avec des polynômes
\begin{gather*}
A_n(z):= \sum_{j=0}^n c_{2,j,n} z^{n-j}, \qquad B_n(z):= \sum_{j=0}^n c_{1,j,n} z^{n-j}, \\
C_n(z):=-\sum_{s=1}^2\sum_{j=0}^n \sum_{k=1}^j \frac{c_{s,j,n}}{k^s}\,z^{n+k-j},
\end{gather*}
grâce à l'identité triviale
$$
\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{(k+j)^s} = z^{-j}\Li_s(z)-z^{-j}\sum_{k=1}^j \frac{z^k}{k^s}.
$$

Des formules similaires à celles de la proposition \ref{padepolylog12} donnent des approximants de Padé de type~I et de type~II de la famille $(\Li_k(z))_{1\le k \le s}$. Elles permettent de prouver le résultat suivant
\begin{theo} \label{theo:indeppolylog}
Pour tout entier $s\ge 1$ et tout entier $q\in \Z$ satisfaisant à $\vert q\vert > e^{s^2}$, les nombres $1, \Li_1(1/q), \ldots, \Li_s(1/q)$ sont linéairement indépendants sur $\Q$.
\end{theo}
Voir \cite{hatapolylog, nikishin} pour des énoncés plus précis et plus généraux, où~$1/q$ est remplacé par des rationnels $a/b\neq 0$ avec $b$ (beaucoup) plus grand que $a$.
Les fonctions polylogarithmes sont très importantes dans l'étude des valeurs de la fonction zêta de Riemann $\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \sfrac1{n^s}$ puisque pour $s\ge 2$
$$
\Li_s(1) = \zeta(s), \qquad \Li_s(-1) = (2^{1-s}-1)\zeta(s).
$$
On sait que pour tout entier $n\ge 1$, $\zeta(2n)\in \Q\pi^{2n}$ qui est donc transcendant sur $\Q$. En revanche, on connaît peu de choses sur la nature arithmétique des nombres $\zeta(2n+1)$, dont on pense qu'ils sont tous transcendants sur $\Q$, et même algébriquement indépendants entre eux et de $\pi$. Le théorème \ref{theo:indeppolylog} ne permet pas d'atteindre ces valeurs car on ne peut pas prendre $a/b=\pm 1$. Il ne permet d'ailleurs même pas d'atteindre $a/b=1/2$: on ne connaît toujours pas la nature arithmétique des nombres\footnote{On sait que 1, $\pi$ et $\ln(2)$ sont linéairement indépendants sur $\Q$ (Baker \cite{bakerlivre}, Hata \cite{hatapi}) mais on ne sait pas si c'est vrai de 1, $\pi^2$ et $\ln(2)^2$.}
$$
\Li_2(\sfrac{1}{2})\!=\!\frac{1}{12}\pi^2-\frac{1}{2}\ln(2)^2, \;\;
\Li_3(\sfrac{1}{2})\!=\!\frac{1}{6}\ln(2)^3-\frac{1}{12}\pi^2\ln(2)+\frac78\zeta(3).
$$
Voir \cite{lewin} pour la démonstration de ces identités.

Néanmoins, les célèbres démonstrations par Apéry \cite{apery1, apery2} de l'irra\-tionalité de $\zeta(2)=\pi^2/6$ et $\zeta(3)$ s'inscrivent dans le cadre de l'appro\-xi\-mation de Padé des polylogarithmes, en généralisant la notion à l'approximation \og multipoints\fg. Voir \cite{fischlerbourbaki} pour un survol des nombreuses démonstrations du
\begin{theo}[Apéry] $\zeta(2)\notin \Q$ et $\zeta(3)\notin \Q$.
\end{theo}
Bien sûr, l'irrationalité de $\zeta(2)$ n'est rien d'autre que celle de $\pi^2$ qui était bien connue; l'intérêt de la méthode d'Apéry est de ne pas nécessiter de savoir que $\zeta(2)=\pi^2/6$. Considérons les deux problèmes suivants (posés par Beukers dans \cite{beukerspade}): déterminer des polynômes $P_n, Q_n, T_n$ de $\Q[z]$ de degré au plus $n$ tels que
$$
\begin{cases}
R_n(z):=P_n(z) \Li_2(z) + Q_n(z)\Li_1(z) + T_n(z) = \mathcal{O}(z^{2n+1})
\\
P_n(z)\log(z)+Q_n(z)= \mathcal{O}((1-z)^{n+1})
\end{cases}
$$
et des polynômes $A_n, B_n, C_n, D_n$ de $\Q[z]$ de degré au plus $n$
tels que
$$
\begin{cases}
A_n(z) \Li_2(z) + B_n(z)\Li_1(z) + C_n(z) = \mathcal{O}(z^{2n+1})
\\
S_n(z):=2A_n(z)\Li_3(z)+ B_n(z)\Li_2(z) + D_n(z)= \mathcal{O}(z^{2n+1})
\\
A_n(z)\log(z)+B_n(z)= \mathcal{O}(1-z).
\end{cases}
$$
On montre que chacun de ces problèmes admet une unique solution (à une constante multiplicative près) et plus précisément que l'on a
$$
R_n(z)=n!\sum_{k=1}^\infty \frac{(k-n)_n}{(k)_{n+1}^2}\,z^{k+n}, \quad P_n(z)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}z^{n-k}
$$
et
$$
S_n(z)\!=\!-\sum_{k=1}^\infty \frac{\partial}{\partial k}\Bigl(\frac{(k-n)_n^2}{(k)_{n+1}^2}\Bigr) z^{k+n}, \ \ A_n(z)\!=\!\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^k\binom{n+k}{k}^2z^{n-k}.
$$
Les deux conditions en $z=1$ nous assurent que $R_n(1)=P_n(1)\zeta(2)+T_n(1)$ et $S_n(1)=2A_n(1)\zeta(3)+D_n(1)$. On démontre que $R_n(1)=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{5n+o(n)}$, $S_n(1)=(\sqrt{2}-1)^{4n+o(n)}$, $P_n(1)\in \Z$, $d_n^2 T_n(1) \in \Z$, $A_n(1)\in \Z$ et $d_n^3 D_n(1) \in \Z$. L'irrationalité de $\zeta(2)$ et de $\zeta(3)$ découle alors du critère d'irrationalité.\footnote{L'estimation asymptotique pour $R_n(1)$ est assez facile à obtenir mais celle pour $S_n(1)$ ne l'est pas \cite{nesterenkozeta3}. On commence par établir une expression de $S_n(1)$ comme intégrale complexe à laquelle on applique ensuite \emph{la méthode du col}. Cette méthode, inventée par Riemann, permet de donner un équivalent asymptotique lorsque $n\to +\infty$ d'une suite d'intégrales de la forme $\int_L g(z)f(z)^n dz$ où $f$ et $g$ sont des fonctions complexes convenables et $L$ un chemin dans $\CC$.}

Sur le modèle précédent, on peut construire des problèmes d'appro\-xi\-mations de Padé \og multipoints\fg de polylogarithmes plus généraux qui génèrent par spécialisation des suites d'approximations simultanées de $1, \zeta(3)$, $\zeta(5),\dots,\zeta(2s+1)$ ($s\ge 1$ entier fixé). On n'écrit pas ces problèmes dont les séries solutions \og expliquent\fg les suites d'approximations qui apparaissent dans la démonstration originelle du point (i) ci-dessous (voir \cite{firiliouville}). Ces séries ont été généralisées dans diverses directions pour démontrer les points (ii) et (iii) ci-dessous mais leur interprétation en termes d'approximants de Padé n'est pas connue.
\begin{theo}\mbox{} \label{theo:zeta}
\begin{enumerate}
\item
Le rang sur $\Q$ de la famille $(1, \zeta(3)$, $\zeta(5),\dots,\zeta(2s+1))$ est $\ge \frac{1+o(1)}{\log(2e)}\log(s)$ lorsque
$s\to +\infty$ \cite{ballrivoal, rivoalzeta}.

\item
Il existe au moins un irrationnel parmi $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ (Zudilin \cite{zudilinzeta11}).

\item
Il y a au moins $2^{\frac{\ln(s)}{\ln\ln(s)}(1+o(1))}$ nombres irrationnels dans $\{\zeta(3), \zeta(5), \ldots, \zeta(2s+1)\}$ lorsque $s\to +\infty$ (Fischler, Sprang et Zudilin \cite{fsz, fsz2}).
\end{enumerate}
\end{theo}
Notons que le point (i) utilise le critère d'indépendance linéaire de Nesterenko \cite{nesterenkocritere}, qui est énoncé à la proposition \ref{prop:critnes} dans la partie~\ref{sec:critirrat}.

\subsection{Mesures d'irrationalité}\label{ssec:mesure}

Une fois connue l'irrationalité d'un nombre réel $\alpha$, on s'intéresse à quantifier cette irrationalité. On sait que pour $(p,q)\in \Z \times \NN$, $q\neq 0$, on a $\vert \alpha-\sfrac pq\vert\neq 0$. On appelle mesure d'irrationalité de $\alpha$ toute fonction explicite $f(\alpha,q)$ telle que
$$
\vert \alpha-\sfrac pq\vert > f(\alpha,q)
$$
pour tout $q$ suffisamment grand et tout $p\in \Z$.

Étant donné un nombre irrationnel $\alpha$, un théorème de Dirichlet \cite[p.\,13]{Shidlovskii} assure l'existence d'une infinité de fractions rationnelles~$p/q$ telles que
\begin{equation}\label{eq:dirichletmes}
\Bigl\vert \alpha-\frac pq \Bigr\vert < \frac{1}{q^2}.
\end{equation}
La preuve de ce résultat est très simple mais n'est pas constructive car basée sur le \emph{Schubfachprinzip} de Dirichlet (le principe des tiroirs ou encore \emph{pigeonhole principle}): une application d'un ensemble fini de cardinal $n$ sur un ensemble fini de cardinal $<n$ ne peut pas être injective. La théorie des fractions continues montre toutefois que les réduites de $\alpha$ conviennent \cite[p.\,9, Th.\,9]{kintchine}. Par ailleurs un argument simple de théorie de la mesure assure que pour Lebesgue-presque tout réel $\alpha$, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $Q(\alpha,\varepsilon)>0$ tel que pour tout entier $q\ge Q(\alpha,\varepsilon)$ et tout $p\in \Z$, on ait
\begin{equation}\label{eq:meseps}
\Bigl\vert \alpha-\frac pq \Bigr\vert > \frac{1}{q^{2+\varepsilon}}.
\end{equation}
On ne peut donc génériquement pas remplacer l'exposant $2$ dans \eqref{eq:dirichletmes} par une valeur plus grande. De plus, Liouville a montré que pour tout nombre réel $\alpha$ algébrique de degré $d\ge 2$ sur $\Q$, il existe une constante explicite $c(\alpha)>0$ telle que pour tout $(p,q)\in \Z\times \NN$, $q\ge1$, on ait
\begin{equation}\label{eq:mesliouville}
\Bigl\vert \alpha-\frac pq \Bigr\vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}.
\end{equation}
La démonstration de \eqref{eq:mesliouville} est basée sur l'inégalité des accroissement finis appliquée au polynôme minimal $P(X)\in \Z[X]$ de $\alpha$, qui est de degré $d$: cette inégalité permet en effet de minorer $\vert \alpha-\sfrac{p}{q}\vert $ à l'aide de $\vert P(\alpha)-P(\sfrac pq)\vert=\vert P(\sfrac pq)\vert =\sfrac{u}{q^d}\ge \sfrac{1}{q^d}$, l'entier $u$ étant non nul puisqu'aucun rationnel n'est racine de $P$; voir \cite[p.\,15]{descombes} pour les détails.
Le théorème de Roth \cite{roth} améliore l'exposant dans la mesure~\eqref{eq:mesliouville} de manière optimale et indépendante du degré de $\alpha$: pour tout réel algébrique irrationnel $\alpha$, la mesure \eqref{eq:meseps} a lieu, avec le défaut que la constante $Q(\alpha,\varepsilon)$ n'est pas connue, sauf pour les nombres quadratiques par \eqref{eq:mesliouville}. La démonstration du théorème de Roth est particulièrement compliquée.

Ces résultats expliquent pourquoi l'on cherche des mesures d'irrationalité de la forme $f(\alpha,q)=c(\alpha)/q^ {s(\alpha)}$ où $c(\alpha)>0$ et $s(\alpha)\ge 2$ dépendent uniquement de $\alpha$; on dit que $s(\alpha)$ est un exposant d'irra\-tionalité de $\alpha$.
Il peut être difficile, voire impossible, d'obtenir une telle mesure et on doit parfois se contenter de mesures de la forme $e^{-q}$, $q^{-\log(q)}$ ou autre. Par exemple, Koksma et Popken \cite{koksma} ont montré que pour tout $\varepsilon>0$, il existe $Q(\varepsilon)>0$ tel que pour tous entiers $p\in \Z$ et $q\ge Q(\varepsilon)$, on ait
\begin{equation} \label{eq:kokpop}
\Bigl\vert e^\pi - \frac{p}{q}\Bigr\vert > \frac 1{q^{(4+\varepsilon)\sfrac{\ln(q)}{\ln\ln(q)}}}.
\end{equation}
La meilleure mesure maintenant connue de $e^\pi$ est de la forme $q^{-c\ln\ln(q)}$, voir \cite{waldschmidtepi}.
Il existe par ailleurs des nombres irrationnels $\alpha$ pour lesquels il est effectivement impossible de trouver $s\ge 2$ tel que $\vert \alpha-\sfrac{p}{q}\vert>\sfrac{1}{q^s}$ pour tous entiers $p\in \Z$ et $q$ assez grand; ces nombres sont dits de Liouville et sont nécessairement transcendants (comme le montre la mesure de Liouville \eqref{eq:mesliouville} d'un nombre algébrique). Ils forment un ensemble de mesure de Lebesgue nulle. L'exemple le plus connu d'un nombre de Liouville est $\lambda:=\sum_{n=0}^\infty 10^{-n!}$ qui satisfait à
$$
0<\Bigl \vert \lambda - \frac{p_n}{q_n} \Bigr\vert \le \frac{2}{q_n^{n+1}}
$$
avec $q_n:=10^{n!}$ et $p_n:=\sum_{k=0}^n 10^{n!-k!}$.
La mesure \eqref{eq:kokpop} ne permet pas d'exclure la possibilité que $e^\pi$ soit un nombre de Liouville.

En général, on obtient une mesure d'irrationalité d'un irrationnel~$\alpha$ lorsque l'on sait construire deux suites d'entiers $(p_n)_n$ et $(q_n)_n$ telles que
$0\neq r_n:=q_n\alpha-p_n\to 0$ et lorsque l'on contrôle finement la croissance de $q_n$ et la décroissance de $r_n$.
Il existe de nombreux énoncés liant \og qualité\fg de ces approximations et mesure d'irrationalité. Voici un tel énoncé, qui ne couvre pas toutes les situations possibles.
\begin{prop}\label{prop:mesirrat} Soit $\xi \in \RR\setminus \Q$. On suppose qu'il existe deux suites d'entiers $(p_n)_n$ et $(q_n)_n$ et des réels $\rho, \delta>0$ tels que
\begin{itemize}
\item
soit
\begin{equation}\label{eq:condalladi1}
\limsup_{n\to +\infty}\vert q_n\vert^{1/n} \le \rho, \quad \limsup_{n\to +\infty}\vert q_n\xi-p_n\vert^{1/n} \le \delta, \quad \frac{p_n}{q_n}\neq \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}},
\end{equation}
\item
soit
\begin{equation}\label{eq:condalladi2}
\limsup_{n\to +\infty}\vert q_n\vert^{1/n} \le \rho, \quad \lim_{n\to +\infty}\vert q_n\xi-p_n\vert^{1/n} = \delta.
\end{equation}
\end{itemize}
Alors pour tout $\varepsilon>0$, il existe $Q(\varepsilon)> 0$ tel que pour tout entier $q\ge Q(\varepsilon)$ et tout $p\in \Z$, on ait
$$
\Bigl\vert \xi-\frac{p}{q} \Bigr\vert > \frac{1}{q^{\mu+\varepsilon}}
$$
où $\mu:=1-\ln(\rho)/\ln(\delta)$.
\end{prop}
Voir \cite{alladi} pour une preuve de la version avec \eqref{eq:condalladi1}; celle sous l'hypo\-thèse \eqref{eq:condalladi2} en est une simple adaptation.
La démonstration de ce type d'énoncés suit essentiellement le schéma suivant. Si $a/b\in \Q$ est distinct de tous les $p_n/q_n$, grâce à l'inégalité triangulaire, on écrit
$$
\Bigl\vert \alpha-\frac{a}{b} \Bigr\vert \ge \Bigl\vert \frac{p_n}{q_n}-\frac{a}{b} \Bigr\vert - \frac{\vert r_n\vert}{\vert q_n\vert} \ge \frac{1}{\vert b q_n\vert} - \frac{\vert r_n\vert}{\vert q_n\vert} \ge \frac{1}{2\vert b q_n\vert},
$$
où la dernière inégalité a lieu pour tout $n$ tel que $\vert 2 b r_n\vert \le 1$. Il existe une infinité de tels $n$ puisque $r_n\to0$ et on choisit par exemple le plus petit $n=n(b)$ satisfaisant à cette condition. On obtient donc
\begin{equation}\label{eq:mes1}
\Bigl\vert \alpha-\frac{a}{b} \Bigr\vert \ge \frac{1}{2\vert b q_{n(b)}\vert }.
\end{equation}
Si par ailleurs $a/b=p_m/q_m$ pour un certain $m$, on a simplement\vspace*{-3pt}
\begin{equation}\label{eq:mes2}
\Bigl\vert \alpha-\frac{p_m}{q_m} \Bigr\vert = \frac{\vert r_m\vert}{\vert q_m\vert}\ge \frac{1}{\vert q_m\vert g(q_m)} >0,
\end{equation}
où $g$ est une fonction telle que $g(q_m)>0$ et $\vert r_m\vert\ge 1/g(q_m)$ pour tout $m$. La conjonction de \eqref{eq:mes1} et \eqref{eq:mes2} fournit alors une mesure d'irra\-tionalité de $\alpha$. À titre d'exercice, on pourra mettre directement en oeuvre cette méthode pour déterminer une mesure d'irrationalité du nombre $\alpha_0:=\sum_{k=0}^\infty 2^{-3^k}$ avec $q_n:=2^{3^n}$ et $p_n:=\sum_{k=0}^{n}2^{3^n-3^k}$, ainsi que du nombre de Liouville $\lambda$ défini plus haut.\footnote{On trouve qu'il existe des constantes explicitables $c, d>0$ telles que pour tous entiers $p\in \Z$ et $q$ assez grand, on ait $\vert \alpha_0-p/q\vert>c/q^{3}$ et $\vert \lambda-p/q\vert>1/q^{d\cdot\Lambda(\ln(q))}$, où $\Lambda(x)\sim \sfrac{\ln(x)}{\ln\ln (x)}$ quand $x\to +\infty$ est la fonction réciproque de la fonction $\Gamma(x)$ pour $x\ge2$. Ces mesures ne découlent pas de la proposition~\ref{prop:mesirrat} dont les hypothèses ne sont pas satisfaites par ces diverses suites $(p_n)_n$ et $(q_n)_n$.}

Bien souvent, les approximations rationnelles construites avec des approximants de Padé explicites tels que ceux mentionnés auparavant permettent d'obtenir de bonnes mesures. Ainsi, on peut dédui\-re des propositions \ref{prop:padelog} et \ref{prop:mesirrat} des mesures d'irrationalité de certaines valeurs du logarithme. Posons
$
U(x):= (1+\sqrt{1-x})^2/\vert x\vert
$
et $V(x):= (1-\sqrt{1-x})^2/\vert x\vert$.
Alladi et Robinson \cite{alladi} ont ainsi montré que, pour tout rationnel $a/b$ tel que $0<\vert a/b\vert <1$ et $V(a/b)\vert a \vert e<1$, on a la propriété suivante: pour tout $\varepsilon>0$, il existe un entier (explicitable) $Q(a,b,\varepsilon)>0$ tel que pour tout entier $q\ge Q(a,b,\varepsilon)$ et tout $p\in \Z$, on ait\vspace*{-3pt}
\begin{gather}\label{eq:mesirrlog}
\Bigl\vert \ln\big(1-\sfrac ab\big)-\frac pq \Bigr\vert > \frac{1}{q^{\mu(a,b)+\varepsilon}},\\
\tag*{où}
\mu(a,b):=1+\frac{\ln\big(U(a/b)\vert a \vert\big)+1}{\ln\big(U(a/b)/\vert a \vert\big)-1}.
\end{gather}
Noter que pour $a$ fixé, $\mu(a,b)\to 2$ quand $b\to \pm \infty$.
Par exemple, $\mu(1,2)\approx 4,6221$ est un exposant pour $\ln(2)$. Il n'a été significativement amélioré que deux fois, par Rukhadze \cite{rukhadze} en 1985 puis Marcovecchio \cite{marcovecchio2} en 2009. Ce dernier a montré que pour tout entier $q$ assez grand et tout $p\in \Z$, on a\vspace*{-5pt}
$$
\Bigl\vert \ln(2)-\frac pq \Bigr\vert > \frac{1}{q^{3,5746}}.
$$
Par ailleurs, 2 est le seul entier $k\ge 2$ pour lequel la mesure \eqref{eq:mesirrlog} s'applique à $\ln(k)$.
De l'étude des approximants de Padé simultanés de plusieurs exponentielles, Mahler \cite{mahler} a déduit en 1953 sa célèbre mesure: pour tout $(p,q) \in \Z\times \NN$, $q\ge 2$, on a\vspace*{-3pt}
$$
\Bigl\vert \pi -\frac pq \Bigr\vert > \frac{1}{q^{42}}.
$$
Cette mesure a été améliorée (pour $q$ assez grand) par de nombreux auteurs et la meilleure valeur connue d'un exposant d'irrationalité de $\pi$ est due à Salikhov \cite{salikhov1} avec 7,6063. Il a aussi obtenu \cite{salikhov2} le meilleur exposant 5,125 connu de $\ln(3)$. Les meilleurs exposants d'irrationalité connus de $\zeta(2)$ et $\zeta(3)$ sont 5,0955 et 5,5139, par \hbox{Zudilin} \cite{zudilinzeta2} et Rhin-Viola \cite{rhinviolazeta3} respectivement. On conjecture que ces nombres ont tous 2 comme meilleur exposant d'irrationalité. Toutes ces mesures ont été obtenues en analysant très finement des approximants explicites de type Padé des polylogarithmes ou de fonctions proches.

On peut également déduire de la proposition \ref{prop:padeexp} et d'une estimation fine de $B_n(1)$ (mais on est hors du cadre de la proposition~\ref{prop:mesirrat}) qu'il existe une constante $c_0>0$ telle que pour tous entiers $(p,q)\in \Z\times \NN$, $q$ assez grand, on ait\vspace*{-3pt}\enlargethispage{-2\baselineskip}
\begin{equation}\label{eq:mesirrexp}
\Bigl\vert e-\frac{p}{q} \Bigr\vert > c_0\,\frac{\log\log(q)}{q^{2}\log(q)}.
\end{equation}
Cette mesure, due à Davis \cite{davis}, découle aussi de l'étude fine des rédui\-tes de la fraction continue de $e$ donnée par \eqref{eq:fraconte}.
Elle est optimale en un sens très fort. En effet, on peut prendre n'importe quelle constante $c_0<\sfrac{1}{2}$ tandis que si l'on choisit $c_0>\sfrac{1}{2}$, alors l'inégalité \eqref{eq:mesirrexp} est fausse pour une infinité d'entiers $p\in \Z$ et une infinité d'entiers $q\in \NN^*$. On connaît des mesures de qualité similaire pour les nombres de la forme $e^a$ avec $a=\pm 2/t$, $t\in \NN$, quoique légèrement moins précises sur le seuil de basculement des constantes analogues à~$c_0$.

Quand des nombres $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ sont linéairement indépendants sur~$\Q$, on peut également \og mesurer\fg ce fait. Par exemple, Hata \cite{hatapi} a montré que pour tous entiers $p,q,r$ suffisamment grands, on a
$$
\vert p+q\pi+ r\ln(2)\vert > H^{-7,0161}, \quad H:=\max(\vert p\vert,\vert q\vert, \vert r\vert).
$$
Lorsque $\alpha_s=\xi^s$ pour un nombre $\xi$ que l'on sait transcendant, on~parle alors de mesure de transcendance. Les formules d'Hermite pour les appro\-xi\-mants de Padé simultanés d'exponentielles permettent de donner une mesure de transcendance des nombres $\exp(\alpha)$ et $\log(\alpha)$ ($\alpha\in \Qbar$) lorsque ces nombres sont transcendants. Voir \cite{mahler2, reyssat, Shidlovskii} par exemple.\enlargethispage{2\baselineskip}%

On présentera d'autres mesures d'irrationalité dans la partie \ref{ssec:mesureEG}, qui généralisent à certaines valeurs de $E$- et \Gfonctions les mesu\-res~\eqref{eq:mesirrexp} et~\eqref{eq:mesirrlog} respectivement. La suite de ce survol est consacrée à l'étude de ces fonctions.

\vspace*{-2\baselineskip}\mbox{}
\section{\texorpdfstring{$E$- et $G$-fonctions}{EG}, résultats diophantiens classiques} \label{sec:Efnclassique}

Si l'on veut généraliser les résultats de transcendance d'Hermite, Lindemann et Weierstrass à d'autres fonctions que l'exponentielle ou le logarithme, on se heurte rapidement à deux obstacles:

\begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\item
L'absence de formules explicites pour les approximants de Padé, sauf cas assez particuliers souvent obtenus comme spécialisations de fonctions hypergéométriques. De telles formules permettent en général d'obtenir au moins des résultats d'indépendance linéaire sur $\Q$ de valeurs de ces fonctions.

\item
L'absence d'une équation fonctionnelle telle que $e^{x+y}=e^x e^y$, qui est cruciale pour passer de résultats d'irrationalité/indépendance linéaire sur $\Q$ ou $\Qbar$ à des résultats d'indépendance algébrique sur $\Q$.
\end{enumerate}

Siegel \cite{siegel} a introduit en 1929 deux classes de séries entières, les \Efonctions et les \Gfonctions, qui permettent de lever ces deux obstacles dans une certaine mesure et que nous allons maintenant étudier. L'article \cite{siegel} a été commenté et traduit de l'allemand vers l'anglais dans \cite{siegeltraduit}. Parmi les nombres mentionnés au début de la partie \ref{sec:natdio}, disons d'ores et déjà que l'on pense que la constante d'\hbox{Euler}~$\gamma$, $\Gamma(1/5)$, $\ln(\pi)$, $\delta$, $e+\pi$, $e\pi$, $e^e$ et $\pi^e$ ne sont des valeurs en un point algébrique ni d'une \Efonction ni d'une \Gfonction. Il est donc malheureusement probable qu'aucun des théorèmes diophantiens cités ici sur ces fonctions ne s'applique à ces nombres individuellement. En revanche, ils permettent déjà de donner un énoncé conditionnel non trivial concernant $\gamma$ et $\delta$ et, suffisamment raffinés, ils pourraient potentiellement s'appliquer un jour à $\zeta(5), G$ et $\Gamma(1/5)^5$, qui sont des valeurs en un point algébrique de \Gfonctions.

\subsection{Définition et propriétés des \texorpdfstring{\protect\Efonctions}{E}} \label{ssec:Efn}

La classe des \Efonctions a été définie par Siegel dans \cite[Chap.\,I, \S 2]{siegel}.

\begin{defi}[Siegel] \label{def:efunc}
Une \Efonction est une série entière $F(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \Psfrac{a_n}{n!} z^n\in \Qbar\lcr z\rcr$ telle que
\begin{enumerate}
\item
$F(z)$ est solution d'une équation différentielle linéaire non nulle à coefficients dans $\Qb(z)$.

\item
Pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N(\varepsilon)$ tel que pour tout $n\ge N(\varepsilon)$ et pour tout $\sigma \in \Gal(\Qbar/\Q)$, on ait $\vert \sigma(a_n)\vert \le n!^\varepsilon$.

\item
Il existe une suite d'entiers $(D_n)_{n\ge 0}$ telle que $D_na_m\in \mathcal{O}_{\Qbar}$ pour tout~$0\le m\le n$ et pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N(\varepsilon)$ tel que pour tout $n\ge N(\varepsilon)$, $1\le \vert D_n \vert \leq n!^\varepsilon$.
\end{enumerate}
\end{defi}
Juste après la définition, Siegel écrit \og \emph{Eine Funktion $y$, deren Potenz\-reihe diese drei Eigenschaften hat, m\"oge kurz eine $E$\nobreakdash-Funk\-tion genannt werden. Offenbar ist die Exponentialfunktion eine $E$\nobreakdash-Funk\-tion}\fg, c'est-à-dire \og Une fonction $y$ dont le développement en série entière a ces trois propriétés sera appelée une \Efonction. La fonction exponentielle est évidemment une \Efonction\fg\footnote{La signification de la lettre $E$ est donc claire.}.

Au fil du temps, l'étude des \Efonctions s'est concentrée sur une classe plus restreinte.
\begin{defi} \label{def:efuncalt}
Une \Efonction \emph{au sens strict} est une série entière $F(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \Psfrac{a_n}{n!} z^n\in \Qbar\lcr z\rcr$ telle que
\begin{enumerate}
\item
$F(z)$ est solution d'une équation différentielle linéaire non nulle à coefficients dans $\Qb(z)$.

\item
Il existe une constante $C>0$ telle que pour tout $\sigma \in \Gal(\Qbar/\Q)$ et tout $n\ge 0$, on ait $\vert \sigma(a_n)\vert \le C^{n+1}$.

\item
Il existe une suite d'entiers $(D_n)_{n\ge 0}$ et une constante $D>0$ telles que pour tous entiers $m,n\ge 0$ tels que $0\le m\le n$, on ait $D_na_m\in \mathcal{O}_{\Qbar}$ et $1\le \vert D_n \vert \leq D^{n+1}$.
\end{enumerate}
\end{defi}
Tous les exemples connus de \Efonctions sont des \Efonctions au sens strict. Il est en fait conjecturé que toute \Efonction au sens originel de Siegel est \emph{de facto} une \Efonction au sens strict, et la distinction est donc probablement illusoire. Voir \cite[p.\,715]{andre1} et \cite[p.\,407]{Shidlovskii} pour quelques réflexions à ce sujet.

\emph{Dans toute la suite, une \og \Efonction\fg ou une \og \Efonction au sens large\fg désigneront toute série satisfaisant à la définition~\ref{def:efunc}. Une~\og \Efonction au sens strict\fg ou \og \Efonction stricte\fg dési\-gneront une série satisfaisant à la définition \ref{def:efuncalt}. On prendra garde que \og \Efonction\fg tend à signifier \og \Efonction stricte\fg dans la littérature récente tandis que Shidlovskii \cite[p.\,407]{Shidlovskii} appelle \og $E^*$\nobreakdash-fonction\fg une \Efonction stricte.}

Faisons maintenant quelques commentaires sur ces définitions qui sont compliquées de prime abord. La condition (i) équivaut à dire que la suite $(a_n/n!)_{n\ge 0}$ (et donc aussi $(a_n)_{n\ge 0}$) satisfait à une récurrence linéaire d'ordre fini à coefficients dans $\Qbar[n]$. Il en découle que les $a_n$ vivent dans un certain corps de nombres galoisien $\KK$, et donc qu'il suffit au point (ii) de considérer les automorphismes de $\Gal(\KK/\Q)$, qui sont en nombre fini.

De plus, pour chaque $\sigma \in \Gal(\KK/\Q)$, la série\vspace*{-3pt}
$$F_\sigma(z):=\sum_{n=0}^\infty \sigma(a_n)z^n/n!$$ est une \Efonction. En effet, les points (ii) et (iii) sont trivialement satisfaites. Pour (i), notons $\sum_{j=0}^n P_j(z)(\sfrac{d}{dz})^j\in \KK[z][\sfrac{d}{dz}]$ un opérateur dont $F$ est solution; alors $F_\sigma(z)$ est solution de l'opérateur $\sum_{j=0}^n \sigma(P_j)(z)(\sfrac{d}{dz})^j \in \KK[z][\sfrac{d}{dz}]$, où l'on fait agir $\sigma$ sur les coefficients des $P_j$.

Donnons quelques exemples de \Efonctions: les polynômes de $\Qbar[z]$, la fonction de Bessel\vspace*{-3pt}
\begin{gather*}
J_0(z):=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(z/2)^{2n}}{n!^2}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\binom{2n}{n}}{4^n}\frac{z^{2n}}{(2n)!},\\
\sin(z), \quad \cos(z), \quad \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\bigg(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{n+k}{n}\bigg) z^n
=e^{3z}J_0\big(2i\sqrt{2}\,z\big),\\
\int_0^z \frac{\sin(x)}{x}dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n)!(2n+1)^2}, \\
h(z):=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \Big(1+\frac12+\cdots +\frac{1}{n}\Big)z^n.
\end{gather*}
Pour la fonction $h(z)$, le dénominateur des $n+1$ premières sommes harmoniques est $d_n:=\textup{ppcm}\{1,2,\ldots n\}\le 3^n$ et elle satisfait à
\begin{equation} \label{eq:eqdiffharm}
zh'''(z) + 2(1 - z)h''(z) + (z - 3)h'(z) + h(z) = 0.
\end{equation}
En revanche, les fonctions algébriques sur $\Qbar(z)$ non polynomiales,
$\log(1-z)$, $\tan(z)$, $J_0(\sqrt{z})$ et $(1-z)^s$ ($s\in \Qbar\setminus \NN$) ne sont pas des \Efonctions.

Comme on le voit, tous les exemples non polynomiaux sont dans $\Q\lcr z\rcr$ et une \Efonction quelconque ne diffère pas fondamentalement de ce cas. En effet, pour toute \Efonction $F(z)\in \KK\lcr z\rcr$ avec $\KK$ un corps de nombres galoisien de degré $d$ sur $\Q$, il existe $\beta \in \KK$ et des \Efonctions $F_0(z), \ldots, F_{d-1}(z)\in \Q\lcr z\rcr$ tels que, pour tout $z\in \CC$,
\begin{equation}\label{eq:sc1}
F(z)=\sum_{j=0}^{d-1} \beta^j F_j(z).
\end{equation}
En effet, soient $\beta$ un élément primitif de $\KK$ et
$\mathcal G:=\Gal(\KK/\Q)$, qui est d'ordre $d$. Il existe $d$ suites de rationnels $(u_{j,n})_n$ telles que
\begin{equation}\label{eq:sc2}
\forall n\ge 0, \; \forall \sigma \in \mathcal G, \quad \sigma(a_n)=\sum_{j=0}^{d-1} \sigma(\beta)^j u_{j,n}.
\end{equation}
On a donc \eqref{eq:sc1} avec $F_j(z):=\sum_{n=0}^\infty u_{j,n} z^n/n!$ et il nous faut encore vérifier que les $F_j$ sont des \Efonctions. On remarque que l'on peut inverser \eqref{eq:sc2} et exprimer les $u_{j,n}$ en fonction des $\sigma(a_n)$. En effet, le déterminant du système est le Vandermonde $\det\bigl((\sigma(\beta)^j)_{0\le j \le d-1, \sigma \in \mathcal G}\bigr)$ qui est non nul car les $\sigma(\beta)$ sont deux à deux distincts. Il existe donc~$d$ éléments de $\KK$ non tous nuls $v_\sigma$ ($\sigma \in \mathcal G$)
tels que, pour tout $n\ge0$, on ait
$
u_{j,n}=\sum_{\sigma \in \mathcal G} v_\sigma \, \sigma(a_n).
$
Pour conclure, on utilise alors les deux faits suivants: $\sum_{n=0}^\infty v_\sigma\,\sigma(a_n) z^n/n!$ est une \Efonction et une somme finie de \Efonctions est une \Efonction. (Si l'on veut, on peut partout supposer que les \Efonctions sont strictes dans ce qui précède.)

Revenons maintenant au cas où $F(z)\in \Q\lcr z\rcr$: elle satisfait à une équation différentielle linéaire à coefficients dans $\Q(z)$, (ii) dans la définition~\ref{def:efunc} se réduit uniquement à \og $\vert a_n\vert \le n!^{\varepsilon}$ pour tout $\varepsilon>0$ et tout $n\ge N(\varepsilon)$\fg et (iii) signifie en particulier que $D_n a_m \in \Z$ pour $0\le m\le n$.

La classe des \Efonctions (au sens strict ou large) possède de nombreuses propriétés structurelles. Tout d'abord, ce sont des fonctions entières puisque $\vert a_n/n!\vert\le 1/\sqrt{n!}$ si $n$ est assez grand. De plus, elles forment un sous-anneau de $\Qbar\lcr z\rcr$ pour les opérations usuelles d'addition et multiplication des séries formelles. Cet anneau est stable
par $\sfrac{d}{dz}$ et $\int_0^z$.
Vérifions-le pour\enlargethispage{\baselineskip}%
$$\int_0^z F(x) dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{(n+1)!}\,z^{n+1}.$$ Les propriétés (ii) et (iii) sont clairement satisfaites puisque la suite $(a_n)_{n}$ est simplement remplacée par la suite $(a_{n-1})_{n}$. De plus, si $F(z)$ satisfait à l'équation différentielle $Ly(z)=0$ pour un certain $L\in\Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}]$, on voit que $\int_0^z F(x) dx$ satisfait à $(L\circ \sfrac{d}{dz}) y(z)=0$, et~(i) est satisfaite.

Enfin, les unités (strictes ou larges) de cet anneau sont de la forme $\alpha e^{\beta z}$, où $\alpha \in \Qbar^{*}$ et $\beta\in \Qbar$ (André \cite{andre1}). En effet,
si $F(z)$ est une unité, $1/F(z)$ est une \Efonction (stricte ou large). Puisque $1/F(z)$ est entière, cela implique que $F(z)$ ne s'annule pas sur $\CC$. La condition de croissance de la suite $(a_n)_n$ nous permet d'appliquer à $F(z)$ le théorème de factorisation d'Hadamard \cite[p.\,287]{analysecomplexe} des fonctions entières d'ordre de croissance fini, et le résultat en découle.

\subsection{Fonctions hypergéométriques \texorpdfstring{${}_{p}F_q$}{Fpq}} \label{ssec:pFp}

Siegel a montré que, pour tout entier $p\ge 1$, la fonction
hypergéométrique généralisée (dite confluente)
\begin{equation*}
{}_{p}F_p \biggl[
\begin{matrix}
a_1, \ldots, a_{p}
\\
b_1, \ldots, b_p
\end{matrix}
; z
\biggr]:= \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\cdots (a_{p})_n}{(b_1)_n \cdots (b_p)_n} \frac{z^n}{n!},
\end{equation*}
est une \Efonction lorsque les paramètres $a_j$ et $b_j$ sont tous dans $\Q$. C'est plus généralement le cas de
\begin{equation}
\label{eq:Efnhyp2}
{}_{p}F_q \biggl[
\begin{matrix}
a_1, \ldots a_p
\\
b_1, \ldots, b_q
\end{matrix}
; z^r
\biggr]
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\cdots (a_{p})_n(rn)!}{(b_1)_n \cdots (b_q)_n n!} \frac{z^{rn}}{(rn)!}
\end{equation}
lorsque $1\le p\le q$, avec $r:=q+1-p$.

La difficulté est de montrer que le plus petit dénominateur commun de quantités de la forme
$
\sfrac{(a)_m}{(b)_m}$ ($0\le m \le n$)
a une croissance au plus géométrique en $n$ lorsque $a$ et $b$ sont rationnels.
La fonction exponentielle et la fonction de Bessel $J_0(z)$ sont des cas particuliers de~\eqref{eq:Efnhyp2}.
Il s'avère que la rationalité des~$a_j$ et~$b_j$ n'est pas nécessaire dans \eqref{eq:Efnhyp2}, comme le montre l'exemple suivant: pour tout \hbox{$a\!\in\! \Qbar\!\setminus\!\ZZ_{\le 0}$},
\begin{align*}
{}_{1}F_{1}\biggl[
\begin{matrix}
a+1
\\
a
\end{matrix} \,; z\biggr]&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(a+1)_n}{n!(a)_n}\,z^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{a+n}{n!a}\,z^n = \Big(1+\frac1a\Big)e^z.
\end{align*}
Galochkin \cite{galochkin2, galochkin3} a caractérisé les \Efonctions hypergéométriques de la forme \eqref{eq:Efnhyp2}.

\begin{theo}[Galochkin]\label{theo:galoch1} 
Soient $p, q\in \mathbb N$ tels que $1\le p\le q$. Soient $(a_1, \ldots, a_{p})\in \mathbb C$ et $(b_1, \ldots, b_{q})\in \mathbb C\setminus\mathbb Z_{\le 0}$ tels que $a_j\neq b_k$ pour tout $j,k$. 
La série ${}_pF_q[a_1, \ldots, a_{p};b_1, \ldots, b_{q}; z^{q-p+1}]$ est une \Efonction (au~sens large) si et seulement si les deux conditions suivantes ont lieu :
\begin{enumerate}
\item[$(i)$] Les $a_j$ et $b_j$ sont tous dans $\Qbar$; 
\item[$(ii)$] Les $a_j$ et $b_j$ qui ne sont pas rationnels (s'il y en a) peuvent être groupés en $k\le p$ paires $(a_{j_1}, b_{j_1}), \ldots, (a_{j_k}, b_{j_k})$ telles que $a_{j_\ell}-b_{j_\ell}\in \mathbb N$ pour $\ell=1,\ldots, k$.
\end{enumerate}
\end{theo}
On peut montrer que les \Efonctions ne sont pas toutes hypergéométriques de la forme de Galochkin mais Siegel a formulé le problème suivant \cite[p.\,58]{siegellivre}.

\begin{prob*}[Siegel]
Est-ce que toute \Efonction est un polynôme à coef\-fi\-cients dans $\Qbar[z]$ en des fonctions hypergéométriques de la forme ${}_pF_q[a_1, . . . , a_p; b_1, . . . , b_q; \lambda z^{q-p+1}]$, $q\ge p\ge 1$, avec des paramètres
$a_j, b_j, \lambda\in \Qbar$?
\end{prob*}

Il doit être entendu que $\lambda, p,q, q-p$ peuvent prendre différentes valeurs dans le polynôme. Une réponse positive impliquerait en particulier que toute \Efonction est une \Efonction au sens strict. La~répon\-se à ce problème est positive pour les \Efonctions au sens strict qui vérifient une équation différentielle d'ordre~$\le 2$. 
En effet Gorelov \cite{gorelov1,gorelov2} a montré que pour une telle \Efonction stricte $F(z)$, on peut trouver $a(z),b(z)\in \Qbar[z]$, $\alpha, \beta \in \Q$ et $ \lambda,\mu \in \Qbar$ tels que
\begin{equation}\label{eq:siegelprobrr}
F(z)=a(z)e^{\mu z}{}_{1}F_1[
\alpha; \beta
; \lambda z
] +b(z)e^{\mu z}{}_{1}F_1'[
\alpha;
\beta
; \lambda z
].
\end{equation}
La fonction de Bessel
$$
J_0(z)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(z/2)^{2n}}{n!^2} =
{}_{1}F_{2}\biggl[
\begin{matrix}
1
\\
1, 1
\end{matrix} \,; (iz/2)^2\biggr]
$$
est d'ordre différentiel 2 et elle bien de la forme \eqref{eq:siegelprobrr}, comme le montre une identité de Kummer \cite[p.\,509, 13.6.1]{handbook}:
$$
J_0(z)=e^{-iz} {}_{1}F_{1}\biggl[
\begin{matrix}
1/2
\\
1
\end{matrix} \,; 2iz\biggr].
$$
Voir également \cite{rivoalroques2} pour une démonstration de \eqref{eq:siegelprobrr} différente de celle de Gorelov mais  valable uniquement pour les \Efonctions strictes. André a remarqué que la \Efonction $$h(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\Bigl(1+\frac12+\cdots +\frac{1}{n} \Bigr)z^n,$$ dont l'équation minimale donnée en \eqref{eq:eqdiffharm} est d'ordre 3, vaut $$ze^z {}_2F_2[1,1;2,2,-z]$$ et est donc de la forme demandée par Siegel. Au delà de ce cas particulier intéressant, le problème de Siegel est toujours ouvert pour les \Efonctions d'ordre différentiel $\ge 3$. Voir \cite{firisiegel} pour un résultat suggérant une réponse  négative au problème de Siegel en général.

\Subsection{Le théorème de Siegel-Shidlovskii}\label{ssec:thmSS}

En définissant les \Efonctions, Siegel avait pour but d'étendre les théorèmes d'Hermite, Lindemann et Weierstrass sur l'exponentielle à une classe plus générale de fonctions, qui contienne en particulier les fonctions\footnote{On utilise les propres notations de Siegel pour les fonctions $K_{\lambda}$ et $J_{\lambda}$. Sa nota\-tion $K_{\lambda}$ n'est pas standard et il ne faut pas la confondre avec les autres fonctions de Bessel elles aussi notées $K_{\lambda}$ dans \cite[pp.\,374-376]{handbook}.}
\begin{align*}
K_{\lambda}(z):= \Gamma(\lambda+1) (z/2)^{-\lambda} J_{\lambda}(z):\!&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (z/2)^{2n}}{n!(\lambda+1)_n}\\
&={}_{1}F_{2}\biggl[
\begin{matrix}
1
\\
1, 1+\lambda
\end{matrix} \,; (iz/2)^2\biggr].
\end{align*}
Pour $\lambda\in \Q\setminus \Z_{\le -1}$, la fonction $K_{\lambda}(z)$ est une \Efonction, et c'est aussi le cas de la fonction de Bessel $J_{\lambda}(z)$ si $\lambda\ge 0$ est un entier. La~fonction $J_{\lambda}(z)$ est une solution de l'équation de Bessel
$$
y''(z)+\frac1z y'(z)+\Big(1-\frac{\lambda^2}{z^2}\Big)y(z)=0
$$
et, lorsque $2\lambda$ n'est pas un entier impair, la fonction $J_{-\lambda}(z)$ en est une autre, $\CC$-indépendante de $J_{\lambda}(z)$. Il est important de noter que~$0$ est la seule singularité finie (\ie pôle d'un coefficient) de cette équation différentielle.
\begin{theo}[Siegel \cite{siegel}] \label{th:sthm} Soit $\lambda \in \Q\setminus \Z_{\le -1}$ tel que
$2\lambda$ n'est pas un entier impair.
Alors pour tout $\alpha \in \Qbar^*$, les nombres
$K_\lambda(\alpha)$ et $K'_{\lambda}(\alpha)$ sont algébriquement indépendants sur $\Q$.
\end{theo}
Il suit que les zéros non nuls de la fonction de Bessel $J_{\lambda}$ sont transcendants. Si $2\lambda$ est un entier impair $\ge 1$, il est connu que $K_\lambda(z)$ est de la forme $a_\lambda(z)e^{iz}+b_\lambda(z)e^{-iz}$ avec $a_\lambda(z), b_\lambda(z)\in \Qbar(z)$ non tous les deux identiquement nuls et avec au plus 0 comme pôle. Pour tout $\alpha \in \Qbar^*$, la transcendance de $K_\lambda(\alpha)$ découle donc du théorème de Lindemann-Weierstrass, mais $K_\lambda(\alpha)$ et $K'_\lambda(\alpha)$ sont algébriquement dépendants sur $\Q$.

Siegel a indiqué une intéressante conséquence de son théorème. Il~est en effet connu que
$$
i\, \frac{J_{\lambda-1}(2ix)}{J_{\lambda}(2ix)}
= \frac{\lambda}{x}+\prfrac{1}{(\lambda+1)/x}+\prfrac{1}{(\lambda+2)/x}+\prfrac{1}{(\lambda+3)/x}+\cdots
$$
et que $$J'_\lambda(z)=\frac{\lambda}{z}\,J_\lambda(z)+ J_{\lambda+1}(z).$$ En appliquant le théorème de Siegel avec $\lambda=0$ et $z=2i$, la transcendance du quotient $iJ_0(2i)/J'_0(2i)=iJ_0(2i)/J_1(2i)$ assure celle de la fraction continue régulière $[1;2,3,4,5,\ldots]$.

La méthode utilisée par Siegel en 1929 était très novatrice et nous n'en donnerons qu'un aperçu. Il l'a développée davantage encore dans son livre \cite{siegellivre} en 1949 et elle a culminé avec l'apport fondamental de Shidlovskii \cite{Shidlovskiiarticle} en 1959, qui a levé un important problème technique (\ie la condition de \emph{normalité de Siegel}) lui permettant de compléter le programme de Siegel pour les \Efonctions.

Le contexte est le suivant. On se donne un
vecteur colonne $Y(z)={}^t(F_1(z),\ldots, F_n(z))$ de \Efonctions solution d'un système différentiel
$Y'(z)=A(z)Y(z)$ où $A(z)\in M_{n\times n}(\overline{\Q}(z))$. Ici, $Y'(z)={}^t(F_1'(z),\ldots, F_n'(z))$. En particulier, si l'on se donne une \Efonction $F(z)$ solution d'une équation différentielle $Ly(z)=0$ d'ordre $\mu\ge 1$ où $L\in \Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}]$, le vecteur $Y(z)={}^t(F(z), F'(z),\ldots, F^{(\mu-1)}(z))$ est solution
du système différentiel
$Y'(z)=\mathcal{L}(z)Y(z)$ où $\mathcal{L}(z)\in M_{\mu\times \mu}(\overline{\Q}(z))$ est la matrice compagnon de $L$.

\begin{theo}[Siegel-Shidlovskii]\label{eq:thmss}
Soit $Y(z)={}^t(F_1(z),\ldots, F_n(z))$ un vecteur de \Efonctions de $\Qbar\lcr z\rcr$ solution d'un système différentiel
$Y'(z)=A(z)Y(z)$ avec $A(z)\in M_{n\times n}(\Qbar(z))$.~Soit $T(z)$ un dénominateur commun des coefficients de $A(z)$, de degré minimal.

Alors, pour tout $ \alpha \in \Qbar$ tel que $\alpha T(\alpha)\neq 0$,
$$
\degtr_{\Qb(z)}\Qb(z)\big(F_1(z), \ldots, F_n(z)\big)=\degtr_{\Qb}\Qb\big(F_1(\alpha), \ldots, F_n(\alpha)\big).
$$
\end{theo}
Ce théorème est bien une généralisation de celui de Lindemann-Weierstrass. En effet, donnons-nous
des nombres algébriques $\alpha_1,\allowbreak \ldots, \alpha_n$ linéairement indépendants sur $\Q$. On sait alors que
\[
\degtr_{\Qb(z)}\Qb(z)(e^{\alpha_1 z}, \ldots, e^{\alpha_n z})=n.
\]
De plus,
$$
\frac{d}{dz}\begin{pmatrix}
e^{\alpha_1 z}
\\
e^{\alpha_2 z}
\\
\vdots
\\
e^{\alpha_n z}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\alpha_1 &0 &\cdots& 0
\\
0 &\alpha_2 &\cdots &0
\\
\vdots &\vdots& \ddots &\vdots
\\
0 & 0 & \cdots &\alpha_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
e^{\alpha_1 z}
\\
e^{\alpha_2 z}
\\
\vdots
\\
e^{\alpha_n z}
\end{pmatrix}, \qquad T(z)=1.
$$
En prenant $\alpha=1$ dans le théorème \ref{eq:thmss}, on a donc $$\degtr_{\Qb}\Qb(e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \ldots, e^{\alpha_n})=n.$$ Cet exemple montre au passage que le degré de transcendance peut être maximal. Ce n'est pas le seul exemple car le théorème~\ref{eq:thmss} contient également le théorème \ref{th:sthm}, obtenu avec le vecteur $Y(z)={}^t(K_\lambda(z), K'_\lambda(z))$ et le système différentiel
$$\arraycolsep3.5pt
\begin{pmatrix}
K'_\lambda(z)
\\
K''_\lambda(z)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 1
\\
\Psfrac{\lambda^2}{z^2}-1 &-\sfrac{1}{z}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
K_\lambda(z)
\\
K'_\lambda(z)
\end{pmatrix},
$$
avec $T(z)=z$ si $\lambda=0$ et $T(z)=z^2$ sinon.
En effet, Siegel a montré \cite{siegel} que ces fonctions sont algébriquement indépendantes sur $\Qbar(z)$ lorsque $\lambda$ satisfait aux hypothèses du théorème~\ref{th:sthm}.

Le degré de transcendance peut ne pas être maximal dans le théorème \ref{eq:thmss} comme on le voit immédiatement avec le vecteur de \Efonctions ${}^t(\cos(z),\sin(z))$ puisque $\cos(z)^2+\sin(z)^2=1$. Voici un autre exemple beaucoup moins évident. Considérons la série hypergéométrique
$$
f(z):= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!^2}{n!^2(6n)!}\,z^{n}
={}_{1}F_4 \biggl[
\begin{matrix}
1/2
\\
1/6, 1/3, 2/3, 5/6
\end{matrix}
; z
\biggr],
$$
qui est solution de l'opérateur différentiel hypergéométrique
\begin{multline*}
L:=5832 z^4 \Big(\frac{d}{dz}\Big)^5+46656 z^3 \Big(\frac{d}{dz}\Big)^4\\+83754 z^2 \Big(\frac{d}{dz}\Big)^3
+27540 z\Big(\frac{d}{dz}\Big)^2 +(180-2 z) \frac{d}{dz}-1.
\end{multline*}
La série $f(z)$ n'est pas une \Efonction mais $F(z):=f(z^4)$ en est une car elle est de la forme \eqref{eq:Efnhyp2}. Le vecteur ${}^t(F,F',F'', F''', F'''')$ est donc solution d'un système différentiel à coefficients dans $\Qbar(z)$ que l'on déduit de $L$. Par des arguments de théorie de Galois différentielle, Beukers a explicité dans \cite[pp.\,16-17]{beukersarizona} une forme quadratique $Q(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) \neq 0$ à coefficients dans $\Qbar(z)$ telle que $Q(F,F',F'', F''', F'''')=0$ identiquement. Ces considérations procurent un exemple non trivial pour lequel le degré de transcendance n'est pas maximal dans le théorème \ref{eq:thmss}. Voir également \cite{firinouveau} pour un exemple similaire lié à la \Efonction
$$
{}_{1}F_2 \biggl[
\begin{matrix}
1/2
\\
1/3, 2/3
\end{matrix}
; z^2
\biggr].
$$

Citons une intéressante conséquence du théorème de Siegel-Shid\-lov\-skii, qui est implicite dans les cinq dernières lignes de l'article de Mahler \cite{mahlergammadelta} et qui a été généralisée par l'auteur dans \cite{rivoalgammadelta}. Rappelons que $\gamma$ est la constante d'Euler et $$\delta:=\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1+x}\,dx$$ la constante de Gompertz.
\begin{theo} \label{theo:gammadelta}
Au moins l'un des deux nombres $\gamma$ ou $\delta$ est transcendant sur $\Q$.
\end{theo}
La démonstration est basée sur les faits suivants. Considérons les fonctions
$$
\mathcal{E}(z):=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{z^n}{n!n}
\quad \textup{et} \quad \mathcal{G}(z):=\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{x+z}\,dx,
$$
définies sur $\CC$ et $\CC\setminus\, ]-\infty,0]$ respectivement.
On définit $\log(z)=\ln\vert z\vert+i\arg(z)$ avec $-\pi<\arg(z)< \pi$. On vérifie alors que, pour tout $z\in \CC\setminus\, ]-\infty,0]$, on a
$
\mathcal{E}(z)= -\gamma -\log(z) - e^{-z}\mathcal{G}(z)
$ (voir \cite[Prop.\,1]{rivoalgammadelta}).
En particulier, en $z=1$, on a
\begin{equation}\label{eq:gammadeltaE}
\mathcal{E}(1)= -\gamma - \frac{\delta}e.
\end{equation}
Or les \Efonctions $\mathcal{E}(z)$ et $\exp(-z)$ sont algébriquement indépendantes sur $\Qbar(z)$ et
$$
\begin{pmatrix}
1
\\
e^{-z}
\\
\mathcal{E}(z)
\end{pmatrix}^{\!\!\prime} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0
\\
0& -1 & 0
\\
-\sfrac{1}{z} & \sfrac{1}{z} & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1
\\
e^{-z}
\\
\mathcal{E}(z)
\end{pmatrix}.
$$
Le théorème \ref{eq:thmss} implique donc que, pour tout $\alpha \in \Qbar^*$, on a
\begin{align*}
2
=\degtr_{\Qb(z)}\Qb(z)
\big(1, e^{-z}, \mathcal{E}(z)\big)&=\degtr_{\Qb}\Qb\big(1, e^{-\alpha}, \mathcal{E}(\alpha)\big)\\
&=\degtr_{\Qb}\Qb\big(e^{-\alpha}, \mathcal{E}
(\alpha)\big).
\end{align*}
En particulier, les nombres $e^{-1}$ et $\mathcal{E}(1)$ sont algébriquement indépendants sur $\Qbar$. L'équation \eqref{eq:gammadeltaE} force donc au moins l'un des nombres~$\gamma$ ou~$\delta$ a être transcendant. En effet, dans le cas contraire, \eqref{eq:gammadeltaE} serait une relation polynomiale sur $\Qbar$ entre $e^{-1}$ et $\mathcal{E}(1)$.

On sait aussi montrer le fait (plus faible) qu'au moins un des deux nombres $\gamma$ et $\delta$ est irrationnel en utilisant des approximants de Padé \emph{explicites} de type~I des fonctions $1, \mathcal{E}(z)$ et $e^{-z}$, voir \cite{rivoalgammadelta}. Ces approximants sont construits à l'aide de généralisation des polynômes de Legendre et leurs bonnes propriétés permettent d'obtenir la mesure suivante: pour tout $\varepsilon>0$, il existe $Q(\varepsilon)>0$ (explicitable) tel que pour tous entiers $p,r\in \Z$ et $q\ge Q(\varepsilon)$, on ait
$$
\Bigl \vert \gamma- \frac{p}q \Bigr\vert+ \Bigl\vert \delta-\frac rq \Bigr\vert > \frac{1}{q^{3+\varepsilon}}.
$$
Si par exemple $\delta=a/b$ était un rationnel, en posant $p=p'b$, $q=q'b$ et $r=q'a$ avec $p',q'$ des entiers \og quelconques\fg, on obtiendrait une mesure d'irrationalité du type $\vert \gamma - \sfrac{p'}{q'}\vert > \sfrac 1{q'^{3+\varepsilon}}$, et une mesure similaire pour $\delta$ si $\gamma$ était un rationnel.

Nous indiquons maintenant les étapes de la démonstration du théorème \ref{eq:thmss} de Siegel-Shidlovskii lorsque chaque $F_j(z)\in \Q\lcr z\rcr$ et $\alpha \in\Q$. On suit la trame proposée par Baker \cite[Chap.\,11]{bakerlivre}.
Contrairement au cas de plusieurs exponentielles, on ne connaît pas explicitement les approximants de Padé de type~I ou de type~II pour la famille $(F_k(z))_{k=1, \ldots, n}$, pas même pour les fonctions de Bessel. Siegel et Shidlovskii ont utilisé à la place des approximants de type Padé (de type~I) inexplicites obtenus à l'aide du

\begin{lemm}[Lemme de Siegel] Soient $N$ et $M$ deux entiers tels que $1\le M<N$. Soit $B:=(b_{j,k})_{1\le j\le M, 1\le k\le N}\neq 0$ une matrice à coefficients dans $\Z$. Alors
le système linéaire homogène $BX=0$, où $X \in \Z^{N}$, admet une solution non nulle ${}^t(x_1,\ldots, x_N) \in \Z^N$ telle que
$$
\max_{j=1,\ldots, N}\vert x_j\vert \le \big(N \mathcal{B}\big)^{\spfrac{M}{N-M}},
$$
où $\mathcal{B} = \max_{j,k}\vert b_{j,k}\vert$.
\end{lemm}
La preuve du lemme est astucieuse et s'obtient en appliquant le principe des tiroirs de Dirichlet. La solution ${}^t(x_1,\ldots, x_N)$ n'est pas explicitement connue.

On se donne maintenant un vecteur $Y(z)={}^t(F_1(z),\ldots, F_n(z))$ de \Efonctions solution d'un système différentiel $Y'(z)=A(z)Y(z)$ où $A(z)\in M_{n\times n}(\Q(z))$. On suppose de plus que les $F_j(z)$ sont linéairement indépendantes sur $\Q(z)$. Fixons également $\varepsilon \in \,]0,1[$.
\begin{prop}[Approximants de type Padé de type~I de \Efonctions]\label{prop:approxss}
Il existe une constante $c_1>0$ telle que pour tout entier $r\ge c_1$, il existe des $P_{j,r}(z)\in \Z[z]$, $j=1, \ldots, n$, non tous nuls, de degré au plus $r$ tels que\vspace*{-3pt}
$$
R(z):=\sum_{j=1}^n P_{j,r}(z)F_j(z) = \sum_{m=M}^\infty \rho_{m,r} z^m = \mathcal{O}(z^M),
$$
avec $M:=n(r+1)-1-[\varepsilon r]$, $\vert \rho_{m,r}\vert \le r!/m!^{1-\varepsilon}$ et $H(P_{j,r})\le r!^{1+\varepsilon}$ pour chaque $j$.

La constante $c_1$ dépend des $F_j$ et de $\varepsilon$.
\end{prop}
La démonstration de cette proposition se ramène à la résolution d'un système linéaire homogène avec strictement plus d'inconnues que d'équations à l'aide du lemme de Siegel. Le système différentiel n'est pas utilisé à ce stade. Une difficulté primordiale se présente: on ne sait pas montrer que $R(\alpha)\neq 0$ en tout point algébrique $\alpha$ tel que $\alpha T(\alpha)\neq 0$. Tout le travail va être de construire une fonction très similaire à $R(z)$ et qui ne s'annule pas en un tel $\alpha$.

L'entier $r$ est dorénavant implicitement supposé $\ge c_1$. L'étape suivante consiste alors à construire d'autres approximants de type Padé\vspace*{-3pt}
$$
R_k(z):=\sum_{j=1}^n P_{k,j,r}(z)F_j(z) = \sum_{m=M_k}^\infty \rho_{k,m,r} z^m = \mathcal{O}(z^{M_k})
$$
qui conservent des propriétés très proches de celles de $R(z)$ et des $P_{j,r}(z)$ données à la proposition \ref{prop:approxss}: $M_k\ge M-k+1$ et $\deg(P_{k,j,r})\le r+(k-1)u$, où $u=\max(\deg(T), \deg(TA))$.

On pose $R_1(z)=T(z)R'(z)$: le système différentiel $Y'(z)=A(z)Y(z)$ permet alors de remplacer les dérivées des fonctions $F_j(z)$ par des combinaisons linéaires de la forme $\sum_{j=1}^n Q_{j,r}(z)F_j(z)$ avec des $Q_{j,r}(z)\in T(z)^{-1}\Q[z]$ et donc $R_1(z)=\sum_{j=1}^n P_{1,j,r}(z)F_j(z)$ avec $P_{1,j,r}(z)\in \Q[z]$. On définit $R_{k+1}(z)$ comme $T(z)R_k'(z)$ et on construit les polynômes $P_{k+1,j,r}(z)$ par le même procédé.

\subsubsection*{Aparté} 
On distingue ici l'intérêt d'introduire les matrices $A_k(z)\in M_{n\times n}(\Q(z))$ telles que $Y^{(k)}(z)=A_k(z)Y(z)$, qui permettent également de construire les $R_k(z)$. Elles satisfont à la relation de récurrence $A_{k+1}(z)=A_k'(z) + A_k(z)A(z)$, $A_1(z)=A(z)$, où la dérivée matricielle se fait coefficient par coefficient. Il est facile de voir par récurrence que $T^k(z)A_k(z)\in M_{n\times n}(\Q[z])$. Ces matrices apparaîtront surtout dans l'étude des \Gfonctions.

L'apport crucial de Shidlovskii à la théorie des \Efonctions est le résultat suivant, dont la démonstration est peu évidente.
\begin{lemm}[Lemme de Shidlovskii]
Le déterminant de la matrice $(P_{k,j,r}(z))_{1\le k,j\le n}$ n'est pas identiquement nul.
\end{lemm}

On démontre ensuite un lemme similaire où l'on substitue un nombre algébrique à $z$. On continue pour cela à utiliser les fonctions $R_k(z)$ mais pour des valeurs de $k$ éventuellement~$>n$.
\begin{lemm} Soit $\alpha \in \Qbar$ tel que $\alpha T(\alpha)\neq 0$. Il existe une constante $c_2\ge 0$ et $n$ entiers distincts $1\le k_1, \ldots, k_n\le \varepsilon r +c_2$ tels que le déterminant de la matrice $(P_{k_m,j,r}(z))_{1\le m,j\le n}$ ne s'annule pas en \hbox{$z\!=\!\alpha$}.

La constante $c_2$ dépend des $F_j$, $\varepsilon$, $\alpha$ mais pas de $r$.
\end{lemm}

À partir de ce lemme, on peut alors démontrer la proposition suivante.
\enlargethispage{\baselineskip}%

\begin{prop} \label{prop:fat} Soit $\alpha \in \Q$ tel que $\alpha T(\alpha)\neq 0$. Il existe une constante $c_3>0$ telle que pour tout entier $r\ge c_3$, il existe des entiers $q_{k,j,r}$ $(1\le k,j\le n)$ tels que $\det\big((q_{k,j,r})_{1\le k,j\le n}\big)\neq 0$ et\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{equation}\label{eq:fat}
\biggl\vert \sum_{j=1}^n q_{k,j,r}F_j(\alpha) \biggr\vert \le \frac{1}{r!^{n-1-16\varepsilon n}}, \quad \vert q_{k,j,r}\vert \le r!^{1+16\varepsilon}
\end{equation}
pour tout $k=1,\ldots, n$. La constante $c_3$ dépend des $F_j, \varepsilon, \alpha$.
\end{prop}
Remarquons maintenant qu'au moins un des nombres $F_j(\alpha)$ n'est pas nul car $\alpha$ n'est pas une singularité du système $Y'(z)=A(z)Y(z)$. Il découle ainsi de la proposition précédente qu'il existe au moins un entier $k\in \{1,\ldots,n\}$ tel que $\sum_{j=1}^n q_{k,j,r}F_j(\alpha)\neq 0$. Grâce aux majorations \eqref{eq:fat} et en choisissant $\varepsilon$ suffisamment petit, on obtient alors le

\begin{theo} \label{theo:Eindlin}
Soit\vspace*{-3pt}
\[
Y(z)={}^t(F_1(z),\ldots, F_n(z))
\]
un vecteur de \Efonctions de $\Q\lcr z\rcr$ solution d'un système différentiel
$Y'(z)=A(z)Y(z)$ avec $A(z)\in M_{n\times n}(\Q(z))$. Supposons que les fonctions $F_1(z),\ldots, F_n(z)$ soient linéairement indépendantes sur $\Q(z)$.

Alors pour tout $\alpha \in \Q$ tel que $\alpha T(\alpha)\neq 0$, les nombres
\[
F_1(\alpha),\ldots, F_n(\alpha)
\]
sont linéairement indépendants sur $\Q$.
\end{theo}
Pour donner une idée du passage de la proposition \ref{prop:fat} au théorème \ref{theo:Eindlin}, indiquons que la proposition \ref{prop:critnes} dans la partie \ref{sec:critirrat} s'appliquerait avec $\lambda(r)=\ln(r!)$ si l'on avait un minorant de la forme $1/r!^{n-1-c\varepsilon n}$ à gauche de \eqref{eq:fat}. Tout le travail consiste à obtenir la même conclusion que celle de la proposition \ref{prop:critnes} en l'absence d'une telle minoration.

Dans le cas général où les $F_j(z)$ sont dans $\Qbar\lcr z\rcr$ et $\alpha \in \Qbar$, l'analogue exact du théorème \ref{theo:Eindlin} ne découle pas de la construction de Siegel-Shidlovskii, qui donne seulement l'énoncé suivant\footnote{L'énoncé optimal (\ie où le rang vaut $n$ exactement) a été obtenu en 2006 par Beukers \cite{beukersannals} pour les \Efonctions au sens strict, et par André \cite{andreens} en 2014 pour les \Efonctions au sens large. L'analogue de la proposition~\ref{prop:fat} correspond au cas où $\alpha \in \Qbar$, $q_{k,j,r}\in \mathcal{O}_{\Qbar}$ et
$\vert q_{k,j}\vert$ est remplacé par $\max \vert \sigma(q_{k,j,r})\vert$ où le maximum porte sur tous les $\sigma \in \Gal(\Qbar/\Q)$.} une fois démontré l'analogue sur $\Qbar$ de la proposition~\ref{prop:fat}.
\begin{theo} \label{theo:Eindlinalt} Soit $\KK=\Q(\beta)$ un corps de nombres.
Soit $Y(z)={}^t(F_1(z),\ldots, F_n(z))$ un vecteur de \Efonctions de $\KK\lcr z\rcr$ solution d'un système différentiel
$Y'(z)=A(z)Y(z)$ avec $A(z)\in M_{n\times n}(\KK(z))$. Supposons que les fonctions $F_1(z),\ldots, F_n(z)$ soient linéairement indépendantes sur $\KK(z)$.

Alors pour tout $\alpha \in \KK$ tel que $\alpha T(\alpha)\neq 0$, le rang sur $\KK$ de la famille $(F_1(\alpha),\ldots, F_n(\alpha))$ est $\ge n/[\KK: \Q]$. Si de plus $\beta\notin\RR$, alors ce rang est $\ge 2n/[\KK: \Q]$.
\end{theo}
Voir \cite[p.\,115, Lem.\,17]{Shidlovskii}.
Ce dernier énoncé suffit toutefois pour démontrer ce que l'on veut grâce à \emph{l'astuce de Siegel} qui permet de contourner l'absence d'une équation fonctionnelle telle que $e^{x+y}=e^x e^y$: comme les \Efonctions forment un sous-anneau de $\Qbar\lcr z\rcr$, une relation polynomiale sur $\Qbar(z)$ entre des \Efonctions $F_1(z), \ldots, F_n(z)$ n'est rien d'autre qu'une relation linéaire sur $\Qbar(z)$ entre les diverses \Efonctions que l'on obtient en faisant des produits des $F_j(z)$. Après un travail assez technique, on ramène alors la démonstration du théorème~\ref{eq:thmss} à une application du théorème~\ref{theo:Eindlinalt}. De plus, cette astuce permet de prendre en compte les relations homogènes entres valeurs de \Efonctions. On obtient donc finalement le
\begin{theo}[Siegel-Shidlovskii, version homogène]\label{eq:thmssh} Soit $Y(z)={}^t(F_1(z),\ldots, F_n(z))$ un vecteur de \Efonctions de $\Qbar\lcr z\rcr$ solution d'un système différentiel
$Y'(z)=A(z)Y(z)$ avec $A(z)\in M_{n\times n}(\Qbar(z))$. Soit $T(z)$ un dénominateur commun des coefficients de $A(z)$, de degré minimal.

Alors pour tout $ \alpha \in \Qbar$ tel que $\alpha T(\alpha)\neq 0$,
\begin{multline*}
\degtrhom_{\Qb(z)}\Qb(z)\big(F_1(z), \ldots, F_n(z)\big)\\
=\degtrhom_{\Qb}\Qb\big(F_1(\alpha), \ldots, F_n(\alpha)\big).
\end{multline*}
\end{theo}
Notons que le théorème \ref{eq:thmss} en découle puisque l'on peut choisir la \Efonction $F_1(z)=1$. L'ensemble des polynômes homogènes à coefficients dans $\Qbar(z)$ en $F_1(z), F_2(z), \ldots, F_n(z)$ coïncide alors avec l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\Qbar(z)$ en $F_2(z), \ldots, F_n(z)$, et cela vaut aussi en remplaçant $z$ par un nombre algébrique $\alpha$.

À la suite des travaux de Shidlovskii, de nombreux auteurs (de~l'école russe principalement) ont cherché à déterminer des classes spéciales de \Efonctions algébriquement indépendantes, principalement hypergéométriques. Par exemple, Shidlovskii \cite{bakerlivre, Shidlovskii2} a montré le résultat suivant. Soient un entier $k\ge1$, la \Efonction $\Phi_k(z)=\sum_{n=0}^\infty z^{kn}/n!^k$ et $\alpha\in \Qbar$, $\alpha\neq 0$; alors pour tout entier $r\ge 1$, les $r(r+1)/2$ nombres $\Phi_k^{(\ell)}(\alpha)$, $1\le \ell\le k$, $1\le k\le r$, sont algébriquement indépendants sur $\Q$.

On reviendra dans la partie \ref{ssec:Efnfinal} sur les travaux récents qui ont permis d'améliorer les résultats présentés dans cette partie.

\subsection{Définition et propriétés des \texorpdfstring{\protect\Gfonctions}{G}} \label{ssec:Gfn}

Nous nous tournons maintenant vers la deuxième classe de séries entières que Siegel a introduite en 1929 dans \cite[Chap.\,VII]{siegel} et qui imitent les propriétés de $\log(1-z)$.

\begin{defi}[Siegel] \label{def:gfunc}
Une \Gfonction est une série entière $F(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n\in \Qbar\lcr z\rcr$ telle que
\begin{enumerate}
\item
$F(z)$ est solution d'une équation différentielle linéaire non nulle à coefficients dans $\Qb(z)$.

\item
Il existe une constante $C>0$ telle que pour tout $\sigma \in \Gal(\Qbar/\Q)$ et tout $n\ge 0$, on ait $\vert \sigma(a_n)\vert \le C^{n+1}$.

\item
Il existe une suite d'entiers $(D_n)_{n\ge 0}$ et une constante $D>0$ telles que pour tous entiers $m,n\ge 0$ tels que $0\le m\le n$, on ait $D_na_m\in \mathcal{O}_{\Qbar}$ et $1\le \vert D_n \vert \leq D^{n+1}$.
\end{enumerate}
\end{defi}
Siegel écrit \og \emph{Solche Funktionen m\"ogen $G$-Funktionen genannt werden; zu ihnen geh\"ort trivialerweise die geometrische Reihe}\fg, c'est-à-dire \og De telles fonctions seront appelées \Gfonctions; la série géométrique en est un exemple trivial.\fg\footnote{Cette phrase explique la lettre $G$.}

Notons que Siegel commence par introduire les séries de la forme $F(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n\in \Qbar\lcr z\rcr$ satisfaisant à une équation différentielle sur $\Qbar(z)$ et telle que $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n/n! \in \Qbar\lcr z\rcr$ est une \Efonction au sens large. Mais il précise immédiatement qu'il ne considérera en fait que des séries satisfaisant à la définition \ref{def:gfunc} plus stricte et qu'il les appellera des \Gfonctions. De ce fait, la littérature consacrée aux \Gfonctions ne concerne essentiellement que les séries satisfaisant à la définition \ref{def:gfunc}.\footnote{On ne sait pas pourquoi Siegel n'a pas considéré les \Gfonctions au sens large. Notons par ailleurs qu'étant donnée une série $f(z)=\sum_{n=0}^\infty u_n z^n \in \CC\lcr z\rcr$, la condition \og $\vert u_n \vert \le n!^{\varepsilon}$ pour tout $\varepsilon>0$ et tout $n\ge N(\varepsilon)$\fg n'implique pas que $f(z)$ soit holomorphe en $z=0$ (prendre $u_n=n!^{1/\sqrt{\ln(n)}}$ pour $n\ge 2$ par exemple). Toutefois, si $f(z)$ satisfait en plus à une équation différentielle linéaire sur $\CC(z)$, elle est alors \emph{de facto} holomorphe en 0 par un théorème de Perron \cite{perron}, et on a donc même une borne de la forme $\vert u_n \vert \le C^{n+1}$. La distinction éventuelle entre strict et large ne concerne donc que la condition (iii) sur les dénominateurs, aussi bien pour les $G$- que pour les \Efonctions. Voir~la discussion dans \cite[p.\,715]{andre1}.}

\emph{Dans toute la suite, une \og \Gfonction\fg ou une \og \Gfonction stricte\fg désigneront toute série satisfaisant à la définition \ref{def:gfunc}. Une \og \Gfonction au sens large\fg désignera une série $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ telle que $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n/n!$ est une \Efonction au sens large.}

Commençons par des remarques similaires à celles faites pour les \Efonctions.
La condition (i) signifie que la suite $(a_n)_{n\ge 0}$ satisfait à une récurrence linéaire d'ordre fini à coefficients dans $\Qbar[n]$. Il en découle que les $a_n$ vivent dans un certain corps de nombres galoi\-sien $\KK$, et donc qu'il suffit au point (ii) de considérer les éléments de $\Gal(\KK/\Q)$, qui sont en nombre fini. De plus, pour chaque $\sigma \in \Gal(\KK/\Q)$, la série $F_\sigma(z):=\sum_{n=0}^\infty \sigma(a_n)z^n$ est une \Gfonction, pour les mêmes raisons que la propriété
correspondante sur les \Efonctions.\enlargethispage{1.5\baselineskip}%

Parmi les exemples les plus simples de \Gfonctions, citons les poly\-nômes de $\Qbar[z]$ et plus généralement les fonctions algébriques sur $\Qbar(z)$ et holomorphes en $z=0$,\footnote{Cela découle du théorème d'Eisenstein \cite{eisenstein} qui, étant donnée une fonction algébrique $y(z)$ sur
$\Qbar(z)$ et holomorphe en $0$, assure l'existence d'un entier $c\neq 0$ tel que $cy(cz)\in \mathcal{O}_{\Qbar}\lcr z\rcr$. L'existence d'une équation différentielle linéaire à coefficients dans $\Qbar(z)$ satisfaite par $y(z)$ est quant à elle un résultat du folklore, voir par exemple \cite{comtetalgebrique}.} dont par exemple\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
\frac{1}{(1-\xi z)^{s}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(s)_n}{n!}(\xi z)^n \qquad (s\in \Q, \xi\in \Qbar) \;\; (*), \\[-3pt]
\sum_{n=0}^\infty \frac{\binom{2n}{n}}{n+1}\,z^k=\frac{2}{1+\sqrt{1-4z}}\;\; (*),\\[-3pt]
\sum_{n=0}^\infty \binom{4n}{2n}z^n=\frac{\sqrt{1+\sqrt{1-16z}}}{\sqrt{2-32z}}\;\; (*),
\end{align*}
\begin{gather*}
\sum_{n=0}^\infty \bigg(\sum_{j=0}^n \binom{n}{k}
\binom{n+k}{k}\bigg)z^{n}=\frac1{\sqrt{1-6z+z^2}},\\[-3pt]
\sum_{n=0}^\infty \binom{3n}{2n}z^n= \frac{2\cos\big(\frac13\arcsin(\frac32\sqrt{3z})\big)}{\sqrt{4-27z}}\;\; (*), \\[-3pt]
\sum_{n=0}^\infty \frac{(30n)!n!}{(15n)!(10n)!(6n)!}\,z^n \;\; (*)
\end{gather*}
qui est de degré 483840 sur $\Qbar(z)$ (voir \cite{rodriguezvillegas}).
Les \Gfonctions ne sont évidemment pas toutes algébriques. Parmi les \Gfonctions transcendantes sur $\Qbar(z)$, on trouve
$$
\arctan(z)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{2n+1} \;\; (*), \quad \sum_{n=1}^\infty\frac{z^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}} = 2\arcsin(\sfrac z2)^2\;\; (*)
$$
$$
\log(1-z)^s, \qquad \Li_s(z):=\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n^s}\;\; (*), \quad \sum_{n_1>\cdots>n_k\ge 1} \frac{z^{n_1}}{n_1^{s_1}n_2^{s_2}\cdots n_k^{s_k}}
$$
où $s,s_1,\ldots, s_k\in \NN$,
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{(6n)!}{n!^{6}}
\bigg(\frac{z\sqrt{1-2z}}{\sqrt{3-\sqrt{4-5z}}}\bigg)^n, \qquad
\sum_{n=0}^\infty \bigg(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2
\binom{n+k}{n}^2\bigg)z^{n}.
$$
(Le symbole $(*)$ après une série signifie qu'elle est de nature hypergéométrique, voir plus bas). La dernière série est la série génératrice des nombres d'Apéry $u_n:=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2
\binom{n+k}{n}^2$ pour $\zeta(3)$. Montrons que c'est une \Gfonction. On remarque tout d'abord que, pour tout $n\ge 0$,
$
1\le u_n \le (n+1)64^n
$
(puisque $\binom{a}{b}\le 2^a$ pour des entiers $0\le b \le a$), ce qui assure que (ii) est satisfaite. (iii) l'est aussi trivialement puisque les $u_n$ sont des entiers. Moins trivial est le fait que la série est solution~de
\begin{multline*}
z^2(z^2-34z+1)y'''(z)+z(6z^2 -153z +3)y''(z)\\
+(7z^2 -112z +1-112)y'(z)+(z-5)y(z)=0,
\end{multline*}
ce qui montre que (i) est satisfaite. Cette équation différentielle est la traduction du fait que la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ satisfait à la récurrence linéaire
$$
n^3 u_n -(34n^3-51n^2+27n-5)u_{n-1} + (n-1)^3 u_{n-2}=0, \;\; u_0 =1, \;u_1=5,
$$
dont l'histoire de la découverte est racontée dans \cite{vdp}. L'algorithme de Zeilberger \cite[p.\,101]{AegalB} permet maintenant de déterminer automatiquement la récurrence linéaire satisfaite par une telle somme binomiale, et donc
l'équation différentielle linéaire satisfaite par sa série génératrice.

Quasiment tous ces exemples sont des \Gfonctions dans $\Q\lcr z\rcr$. De~nou\-veau, une \Gfonction quelconque ne diffère pas fondamentalement de ce cas. En effet, pour toute \Gfonction $F(z)\in \KK\lcr z\rcr$ avec~$\KK$ un corps de nombres galoisien de degré $d$ sur $\Q$, il existe $\beta \in \KK$, $r>0$, et des \Gfonctions $F_0(z), \ldots, F_{d-1}(z)\in \Q\lcr z\rcr$ tels que, pour tout $z\in \CC$, $\vert z\vert <r$, on ait\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{equation*}
%\label{eq:sc3}
F(z)=\sum_{j=0}^{d-1} \beta^j F_j(z).
\end{equation*}
Les mêmes causes produisant les mêmes effets, la démonstration est la même que pour les \Efonctions (au sens large) avec ici $F_j(z)=\sum_{n=0}^\infty u_{j,n}z^n$ et $\beta$ un élément primitif de $\KK$; le seul point auquel il faut faire attention est que $r$ est le plus petit des rayons de convergence de $F$ et des $F_j$, et qu'il peut être strictement inférieur à celui de $F$.\enlargethispage{.5\baselineskip}

Revenons maintenant au cas de $F(z)\in \Q\lcr z\rcr$: elle satisfait alors à une équation différentielle linéaire à coefficients dans $\Q(z)$, (ii) dans la définition \ref{def:gfunc} se réduit uniquement à $\vert a_n\vert \le C^{n+1}$ et (iii) signifie en particulier que $D_n a_m \in \Z$ pour $0\le m\le n$. Une série $F(z)$ dans $\Z\lcr z\rcr$ est donc une \Gfonction dès lors qu'elle satisfait à une équation différentielle linéaire à coefficients dans $\Q(z)$ et qu'elle est holomorphe en $z=0$. En effet, (iii) est automatiquement satisfaite et (ii) découle de $\limsup_n\vert a_n\vert^{1/n} = 1/R$ où $R>0$ est le rayon de convergence de $F$, qui est nécessairement fini sauf si $F$ est un polynôme (qui est aussi une \Gfonction). Ce type de séries se rencontre fréquemment dans des problèmes combinatoires, par exemple pour l'énumération de chemins à pas bornés prescrits et confinés dans des parties de $\Z^2$; voir \cite{bostanhdr} et \cite{ bostan}, où sont utilisées des heuristiques basées sur des conjectures classiques sur les \Gfonctions.

Parmi les nombres obtenus comme valeurs de \Gfonctions (en~un point algébrique), on a donc les nombres algébriques, les puissances entières
de logarithmes de nombres algébriques, les $\zeta(s)$ pour tout entier $s\ge 2$ et plus généralement les valeurs zêta \hbox{multiples} $\zeta(s_1, s_2,\ldots, s_k)$ pour des entiers $s_1\ge 2, s_2, \ldots, s_k \ge 1$. Il~y~a également des nombres que l'on obtient à l'aide des fonctions Gamma $\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t} dt$ (pour $\Re(s)>0$) et Bêta $B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt$ (pour $\Re(x), \Re(y)>0$), qui peuvent être prolongées à des domaines plus grands grâce à l'équation fonctionnelle $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$. On sait que $B(x,y)=\sfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ et que si $x,y$ sont des rationnels de $]0,1[$, $B(x,y)$ est une valeur de \Gfonction, comme le montre l'identité hypergéométrique (voir \cite{firiCMH})\vspace*{-3pt}
\begin{equation}\label{eq:betag}
B(x,y)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(y-n)_n}{n!(n+x)}
\end{equation}
que l'on déduit trivialement de la définition intégrale de Bêta ci-dessus. En utilisant l'équation fonctionnelle de Gamma dans \eqref{eq:betag}, on montre alors que $B(x,y)$ est une valeur de \Gfonction pour tous ration\-nels $x$ et $y$ en lesquels elle est définie.
Il est conjecturé que si $s\in \Q$, $\Gamma(s)$ n'est une valeur de \Gfonction que si $s\in \NN$, $s\neq 0$. En~revanche, on sait que
si $s=a/b\in \Q$ avec $a,b\ge 1$, alors $\Gamma(a/b)^b$ est une valeur de \Gfonction. En~particulier, $\pi=B(1/2,1/2)=\Gamma(1/2)^2$ est une valeur de \Gfonction, mais on peut aussi le déduire de $\pi/4=\arctan(1)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n/(2n+1)$ ou du fait que c'est un logarithme d'un nombre algébrique. Notons que $1/\pi$ est aussi une valeur de
\Gfonction, comme le montre l'identité de Ramanujan \eqref{eq:ramanujan} dans la partie \ref{sec:problemes}.

La classe des \Gfonctions possède de nombreuses propriétés structurelles. Ces séries ont un rayon de convergence non nul, fini sauf si elles sont polynomiales; l'équation différentielle permet de les prolonger analytiquement au plan complexe muni d'un nombre fini de coupures adéquates.
Si $F(z)$ est une \Gfonction et $\alpha(z)$ est algébrique sur $\Qbar(z)$, holomorphe en $0$ et nulle en $z=0$, alors $F(\alpha(z))$ est une \Gfonction.
L'intersection des \Efonctions et des \Gfonctions est réduite à $\Qbar[z]$, ce qui au passage donne beaucoup d'exemples de séries qui ne sont pas des \Gfonctions. Une conséquence du théorème \ref{theo:ack} énoncé dans la partie \ref{ssec:ACK} est que les fonctions $(1-z)^s$ avec $s\in \Qbar\setminus \Q$ ne sont pas des \Gfonctions.

Les \Gfonctions forment un sous-anneau de $\Qbar\lcr z\rcr$ pour les opérations usuelles d'addition et multiplication des séries formelles. Cet anneau est stable
par $\sfrac{d}{dz}$ et $\int_0^z$.
Vérifions-le pour $\int_0^z F(x) dx = \sum_{n=0}^\infty \Psfrac{a_n}{(n+1)}z^{n+1}$. Le point (i) est satisfait de la même façon que pour les \Efonctions. De plus, pour tout $\sigma \in \Gal(\Qbar/\Q)$, on~a $\sigma(a_n/(n+1))=\sigma(a_n)/(n+1)$ et (ii) en découle. Enfin, pour (iii), en notant $D_n\ge 1$ le plus petit dénominateur commun des $a_m$, $0\le m\le n$, et $d_n=\textup{ppcm}\{1,2,\ldots,n\}$, on voit que $D_nd_{n+1}$ est un dénominateur commun des $a_m/(m+1)$, $0\le m\le n$, et $0<D_n d_{n+1} \le D^{n+1}3^{n+1}$.

Les unités de cet anneau sont les fonctions algébriques sur $\Qbar(z)$, holomorphes en $z=0$ et qui ne s'annulent pas en $z=0$. Ce résultat, aussi dû à André \cite[p.\,123, Scholie]{andrelivre}, est beaucoup plus compliqué à démontrer que son pendant pour les \Efonctions. Il utilise en particulier un intéressant résultat de Harris-Sibuya \cite{harrissibuya}: si $y(z)$ et $1/y(z)$ satisfont à des équations différentielles linéaires non nulles à coefficients dans $\CC(z)$, alors $y'(z)/y(z)$ est une fonction algébrique sur $\CC(z)$, où $\CC$ peut en fait être remplacé par n'importe quel corps de caractéristique $0$.

Enfin, notons que les \Gfonctions sont stables par produit de \hbox{Hadamard}, c'est-à-dire que si $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n $ et $\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ sont des \Gfonctions, alors
$\sum_{n=0}^\infty a_nb_n z^n$ en est une aussi.\footnote{Pour les \Efonctions, cette propriété est fausse. On la corrige ainsi: si $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n/n! $ et $\sum_{n=0}^\infty b_n z^n/n!$ sont des \Efonctions, alors
$\sum_{n=0}^\infty a_nb_n z^{2n}/n!^2$ en est une aussi.}

\subsection{Fonctions hypergéométriques \texorpdfstring{${}_{p+1}F_p$}{Fpp}}\label{ssec:p+1Fp}

Plusieurs des exem\-ples donnés plus haut s'obtiennent par spécialisation de la fonction
hypergéométrique généralisée
\begin{equation}\label{eq:Gfnhyp}
{}_{p+1}F_p \biggl[
\begin{matrix}
a_1, \ldots, a_{p+1}
\\
b_1, \ldots, b_p
\end{matrix}
; z
\biggr]:= \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\cdots (a_{p+1})_n}{n!(b_1)_n \cdots (b_p)_n} z^n,
\end{equation}
qui est une \Gfonction lorsque les paramètres $a_j$ et $b_j$ sont tous dans~$\Q$.
Comme dans le cas des \Efonctions, il s'avère que la rationa\-li\-té des $a_j$ et $b_j$ n'est pas nécessaire, comme le montre l'exemple suivant: pour tout $a\in \Qbar\setminus\ZZ_{\le 0}$,
\begin{align*}
{}_{2}F_{1}\biggl[
\begin{matrix}
a+1, 1
\\
a
\end{matrix} \,; z\biggr]&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(a+1)_n}{(a)_n}\,z^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{a+n}{a}\,z^n = \frac{a(1-z)+z}{a(1-z)^2}.
\end{align*}
La démonstration de Galochkin se transpose immédiatement et on a la caractérisation suivante des \Gfonctions hypergéométriques.
Considérons $(a_1, \ldots, a_{p+1})\in \CC$ et $(b_1, \ldots, b_{p})\in \CC\setminus\Z_{\le 0}$ tels que $a_j\neq\nobreak b_k$ pour tout $j,k$. La série hypergéométrique \eqref{eq:Gfnhyp} de para\-mè\-tres $(a_1, \ldots, a_{p+1})$ et $(b_1, \ldots, b_{p})$ est une \Gfonction (au sens large) si et seulement si les deux conditions suivantes ont lieu:
\begin{enumerate}
\item
Les $a_j$ et $b_j$ sont tous dans $\Qbar$;
\item
Les $a_j$ et $b_j$ qui ne sont pas rationnels (s'il y en a) peuvent être groupés en $k\le p$ paires $(a_{j_1}, b_{j_1}), \ldots, (a_{j_k}, b_{j_k})$ telles que $a_{j_\ell}-b_{j_\ell}\in \NN$ pour $\ell=1,\ldots, k$.
\end{enumerate}
En particulier, la série hypergéométrique
$$
{}_{2}F_{1}\biggl[
\begin{matrix}
\sqrt{2}, 1
\\
\sqrt{2}+1
\end{matrix} \,; z\biggr]=\sum_{n=0}^\infty \frac{\sqrt{2}}{n+\sqrt{2}}\,z^n
$$
n'est pas une \Gfonction (voir aussi \cite[p.\,18]{lepetitm2r}).
Une démonstration de cette caractérisation, différente de celle de Galochkin, a été donnée dans \cite{rivoalgalochkin}. Elle est basée sur le théorème \ref{theo:ack} énoncé dans la partie~\ref{ssec:ACK}, mais elle ne vaut que pour les \Gfonctions au sens strict.

Beukers et Heckman \cite{beukersheckman} ont donné un critère pour décider si une fonction hypergéométrique ${}_{p+1}F_p$ à paramètres rationnels est algébrique sur $\Qbar(z)$. Notons $(a_1, \ldots, a_{p+1})\in \Q$ and $(b_1, \ldots, b_{p}, b_{p+1})\in \Q\setminus\Z_{\le 0}$ ses paramètres, où $b_{p+1}:=1$. On suppose que $a_i-b_j\notin \Z$ pour tous $i,j=1, \ldots, p+1$. On dit que les deux suites $(a_j)_{j=1, \ldots, p+1}$ et $(b_j)_{j=1, \ldots, p+1}$ sont entrelacées mod $1$ si les points des ensembles $\{e^{2i\pi a_j}, j=1, \ldots,p+1\}$ et $\{e^{2i\pi b_j}, j=1, \ldots,p+1\}$ apparaissent en alternance sur le cercle unité.
\begin{theo}[Beukers-Heckman]\label{prop:BH} Soit $N\in \NN$ le dénominateur commun des $a_j$ et $b_j$.
La série hypergéométrique $${}_{p+1}F_p[a_1,\ldots, a_{p+1};b_1,\ldots, b_p;z]$$ est algébrique sur $\Qbar(z)$ si et seulement si pour tout entier $n \in \{1,\ldots, N-1\}$ premier à $N$, les suites $(n a_j)_{j=1,\ldots, p+1}$ et $(n b_j)_{j=1,\ldots, p+1}$ sont entrelacées mod $1$.
\end{theo}
Par exemple, l'une des \Gfonctions citées plus haut
\begin{multline}\label{eq:beukersalg}
\sum_{n=0}^\infty \frac{(30n)!n!}{(15n)!(10n)!(6n)!}\,z^n\\[-5pt]
=
{}_{8}F_{7}
\biggl[
\begin{matrix}
\frac{1}{30}, \frac{7}{30}, \frac{11}{30},\frac{13}{30},\frac{17}{30},\frac{19}{30},\frac{23}{30},\frac{29}{30},
\\
\frac{1}{5},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},
\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{4}{5}
\end{matrix} \,; 2^{14} 3^9 5^5 z\biggr]
\end{multline}
satisfait à ce critère et est donc bien algébrique sur $\Qbar(z)$. Faisons une petite digression ici, en lien avec la forme spéciale des coefficients de Taylor de \eqref{eq:beukersalg}. Soient $\boldsymbol{e}=(e_j)_{j=1,\ldots, k}$ et $\boldsymbol{f}=(f_j)_{j=1,\ldots, \ell}$ (avec~$k,\ell\ge\nobreak 1$) deux suites finies d'entiers $>0$ telles que $\sum_{j=1}^k e_j = \sum_{j=1}^\ell f_j$. Alors il existe $C\in \Q^*$ tel que
\begin{equation} \label{eq:Fef}
F_{\boldsymbol{e}, \boldsymbol{g},C}(z):=\sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{j=1}^k (e_j n)!}{\prod_{j=1}^\ell (f_j n)!}\,(Cz)^n
\end{equation}
est une fonction hypergéométrique de la forme \eqref{eq:Gfnhyp} à paramètres rationnels (donc, en particulier, est une \Gfonction). La réciproque est fausse: on ne peut par exemple pas écrire\enlargethispage{\baselineskip}%
$$
{}_{2}F_{1}\biggl[
\begin{matrix}
1/2, 1
\\
1/3
\end{matrix} \,; z\biggr] = \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)_n}{(1/3)_n}\,z^n
$$
sous la forme \eqref{eq:Fef}. Voir \cite[\S 7, Prop.\,2]{delaygue} pour l'énoncé d'une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres rationnels de la \hbox{série} hypergéométrique \eqref{eq:Gfnhyp} pour qu'elle puisse se mettre sous la forme~\eqref{eq:Fef}. Rappelons ici le classique
\begin{theo}[Landau \cite{landau}] Soient $\boldsymbol{e}\!=\!(e_j)_{j=1,\ldots, k}$ et $\boldsymbol{f}\!=\!(f_j)_{j=1,\ldots, \ell}$ (avec $k,\ell\ge 1$) deux suites finies d'entiers $>0$ telles que $\sum_{j=1}^k e_j = \sum_{j=1}^\ell f_j$. Les deux assertions suivantes sont équivalentes:
\begin{enumerate}
\item
pour tout entier $n\ge 0$,
$$
\frac{\prod_{j=1}^k (e_j n)!}{\prod_{j=1}^\ell (f_j n)!} \in \NN.
$$

\item
La fonction $1$-périodique
$
\Lambda_{\boldsymbol{e}, \boldsymbol{f}}(x):=\sum_{j=1}^k [e_j x] - \sum_{j=1}^\ell [f_j x]
$
est $\ge 0$ sur l'intervalle $[0,1]$.
\end{enumerate}
\end{theo}
Chaque fonction $\Lambda_{\boldsymbol{e}, \boldsymbol{f}}$ est constante par morceaux et on sait déterminer un ensemble fini de points où elle peut \emph{a priori} \og sauter\fg. Il~suffit alors de l'évaluer en un nombre fini de points bien choisis pour savoir si (ii) est satisfaite ou pas. Le théorème de Landau donne donc un moyen algorithmique pour déterminer si (i) est satisfaite ou pas. Par exemple, il permet de montrer que la série \eqref{eq:beukersalg} est à coefficients de Taylor entiers.

Dans le cas plus général d'une série hypergéométrique ${}_{p+1}F_p(z)$ à paramètres rationnels de la forme \eqref{eq:Gfnhyp}, Christol \cite{christol} a donné un critère analogue à celui de Landau permettant de décider s'il existe une constante $C\in \Q^*$ telle que ${}_{p+1}F_p(Cz)\in \Z\lcr z\rcr$. Ce critère est plus compliqué à écrire car, sur chaque exemple, il fait intervenir des conditions de positivité de plusieurs fonctions constantes par morceaux (similaires à $\Lambda_{\boldsymbol{e}, \boldsymbol{f}}$), construites à l'aide des paramètres de la série. Voir également \cite[Th.\,4]{delayguerivoalroques} pour l'expression de la plus petite constante $C>0$ lorsqu'elle existe.

Concluons par les remarques suivantes. On peut montrer que les \Gfonctions ne sont pas toutes hypergéométriques de la forme de Galochkin. Il n'existe pas de conjecture équivalente au problème de Siegel qui indiquerait comment les \Gfonctions peuvent s'exprimer à l'aide des fonctions hypergéométriques ${}_{p+1}F_p$. On peut montrer que les \Gfonctions d'ordre différentiel $1$ sont exactement les fonctions algébriques de la forme
$
c\prod_{j=1}^s (\alpha_j-z)^{e_j}
$
où $c\in \Qbar$, et où chaque $\alpha_j\in \Qbar$ et $e_j\in \Q$; ce n'est pas un résultat évident, voir la partie \ref{ssec:ACK}. Par ailleurs,
Dwork \cite[p.\,784]{dwork} avait conjecturé que les \Gfonctions d'ordre différentiel~$2$ étaient soit des fonctions algébriques sur $\Qbar(z)$ soit exprimables (en un sens algébrique précis) à l'aide des fonctions hypergéométriques ${}_2F_1$ de Gauss; cette conjecture a été infirmée par
Krammer \cite{krammer}.\footnote{Plus précisément, la conjecture de Dwork portait sur les solutions des équations différentielles d'ordre~$2$ sur $\Qbar(z)$ dites \emph{globalement nilpotentes}, notion que l'on ne définira pas ici (voir \cite[p.\,98]{dworklivre}). Or une autre conjecture affirme que les opérateurs de $\Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}]$ globalement nilpotents sont exactement les \emph{$G$-opérateurs}, qui sont des opérateurs différentiels liés aux \Gfonctions. Voir la partie~\ref{ssec:ACK}.}

\Subsection{Les théorèmes de Siegel, Galochkin et Chudnovsky} \label{ssec:thmGC}

Comme pour les \Efonctions, Siegel a introduit les \Gfonctions dans un but diophantien. Il n'a donné aucune démonstration mais seulement indiqué qu'en suivant la méthode qu'il avait employée pour les fonctions de Bessel, il avait obtenu le\enlargethispage{\baselineskip}%

\begin{theo} [Siegel]\label{theo:siegelgfn} Soit $y(z)$ algébrique sur $\Qbar(z)$ et holomorphe en $z=0$. Considérons la \Gfonction $F(z)=\int_0^z y(x)dx$. Soit $\alpha\in \Qbar$ de degré $d$ et de hauteur $H$.

Pour tout $\varepsilon>0$, il existe une constante $C_{F,d, \varepsilon}>0$ telle que si
\begin{equation}\label{eq:seigelcondg}
0<\vert \alpha \vert <C_{F,d,\varepsilon} \exp\big(-\ln(H)^{\sfrac12+\varepsilon}\big),
\end{equation}
alors le nombre $F(\alpha)$ n'est pas algébrique sur $\Q$ de degré $\le d$.
\end{theo}
Siegel n'a pas explicité la constante $C_{F,d,\varepsilon}$.
Cet énoncé peut être un peu difficile à comprendre.
Lorsque $\alpha=1/q \in \Q$, avec $q\in \NN^*$, on a $H= q$ et \eqref{eq:seigelcondg} devient $e^{\ln(q)-\ln(q)^{1/2+\varepsilon}}>1/C_{F,1,\varepsilon}$. Cette condition revient essentiellement à dire que si $q>C(F)$ pour une certaine constante $C(F)>0$, alors $F(1/q)\notin \Q$. Le théorème \ref{theo:siegelgfn} s'applique par exemple à $y(z)=\spfrac{1}{1-z}$ et donne l'irrationalité de \hbox{$\log(1-1/q)$} pour tout entier $q$ tel que $\vert q\vert $ soit assez grand. Ce résultat est qualitativement comparable au théorème \ref{theo:logirr} mais il est moins précis puisque $C(F)$ n'est pas connue.

Le théorème \ref{theo:siegelgfn} est aussi un pas vers un énoncé diophantien sur les \emph{périodes géométriques} définies sur $\Qbar$. Ces nombres complexes, repré\-sen\-tés par des intégrales multiples, sont une vaste généralisation en géométrie algébrique de l'expression intégrale du nombre $\pi$ donnée par $2i\pi=\int_\mathscr{C}dz/z$, où $\mathscr{C}$ est un cercle de centre $0$, de rayon $>0$ arbitraire et orienté dans le sens direct. On peut réaliser $\pi$ comme \hbox{valeur} de \Gfonction de nombreuses
façons comme on l'a vu plus haut. Le~théorème de Siegel s'appliquerait donc en principe à $\pi$ si l'on parvenait à trouver une \Gfonction $F$ et un nombre $\alpha $ satisfaisant aux hypothèses et tels que $F(\alpha)=\pi$. Il est aussi potentiellement applicable aux périodes de fonctions elliptiques. Soient $g_2$ et $g_3\in \Qbar$ non tous les deux nuls, et considérons la \Gfonction
\begin{equation*}\label{eq:fnabel}
F(z):=\int_0^z \frac{dx}{\sqrt{4-g_2x^4-g_3x^6}}
\end{equation*}
pour $z\in \CC$ de module suffisamment petit. (On définit la fonction $\sqrt{}$ sur $\CC\setminus ]-\infty,0]$ de telle sorte que $\sqrt{t}>0$ est la racine carrée usuelle pour $t>0$.) Le changement de variable $x\to 1/x^2$ montre que l'on a $F(z)=-2f(1/z^2)$, où
$$
f(z):=\int_{\infty}^z \frac{dx}{\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}}
$$
est une intégrale elliptique, définie pour
$z\in \CC$ de module suffisamment grand.
Introduisons la fonction elliptique $\wp$ de Weierstrass\footnote{La nature diophantienne des valeurs des fonctions elliptiques, modulaires et associées est maintenant très bien connue avec les travaux de Schneider \cite{schneiderlivre} et Nesterenko \cite{nesterenkomodulaire} par exemple. Leurs méthodes n'utilisent toutefois pas directement les \Gfonctions, qui donnent des résultats bien plus faibles tels que le théorème \ref{theo:siegelgfn}.} d'invariants $g_2$ et $g_3$, donnée par
$$
\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{(m,n)\in\Z^2\setminus \{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z+m\omega_1+n\omega_2)^2}-\frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2}\right)
$$
où $\omega_1, \omega_2\in \CC\setminus \{0\}$ sont tels que $\Im(\omega_2/\omega_1)>0$. On voit que $\wp$ est méromorphe sur $\CC$, avec des pôles en tous les points de $\Z\omega_1+\Z\omega_2$, et qu'elle est doublement périodique de périodes $\omega_1$ et $\omega_2$.
Comme $\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3$, on a $f(\wp(x))=x$ et $\wp(f(y))=y$ (pour~$x$ et $y$ complexes dans des domaines convenables). Notons
\begin{equation*}
e_1:=\wp\big(\sfrac{\omega_1}{2}\big), \quad e_2:=\wp\big(\psfrac{\omega_1+\omega_2}{2}\big), \quad e_3:=\wp\big(\sfrac{\omega_2}{2}\big).
\end{equation*}
Alors $e_1, e_2$ et $e_3$ sont les racines de $4x^3-g_2x-g_3$ et
l'on a \cite[p.\,88]{livrecourbeselliptiques}:
$$
\omega_1=2f(e_1), \quad \omega_2=2f(e_2)-2f(e_1).
$$
Le théorème \ref{theo:siegelgfn} pourrait donc s'appliquer en principe à $\omega_1$.

Nous revenons maintenant aux \Gfonctions. Siegel n'ayant pas \hbox{publié} la preuve du théorème \ref{theo:siegelgfn}, il a été considéré qu'il s'agissait davantage d'un programme à compléter. Celui-ci l'a été relativement tardivement par rapport aux \Efonctions. Les deux premiers résultats généraux sont dus à Bombieri \cite{bombieri} et Galochkin \cite{galochkin1}. Chacun a été établi sous une hypothèse technique supplémentaire. André a démontré plus tard que les conditions techniques de Galochkin et Bombieri sont en fait équivalentes.

La condition de Bombieri concerne les rayons de convergence génériques $R_v(Y)$ des systèmes différentiels $v$-adiques $Y'(z)=A(z)Y(z)$ avec $A(z)\in M_{n\times n}(\KK(z))$ où $\KK$ est un corps de nombres et $v$ est une place non archimédienne de $\KK$. Comme le sujet nécessite une longue introduction aux équations différentielles $v$-adiques, on ne dira rien de plus que le fait que la condition de Bombieri s'écrit $\sum_{v} \ln \left(\max(1, 1/R_v(Y))\right)<+\infty$. Voir \cite[p.\,226]{dworklivre}.

La condition de Galochkin est quant à elle plus simple à énoncer \cite[p.\,227]{dworklivre}. Considérons un système différentiel $Y'(z)=A(z)Y(z)$ avec $A(z)\in M_{n\times n}(\Qb(z))$. On a déjà rencontré la suite de matrices $A_k(z)\in M_{n\times n}(\Qb(z))$ telles que $Y^{(k)}(z)=A_k(z)Y(z)$ que l'on définit récursivement par
$$
A_{k+1}(z) = A_{k}(z)A(z)+A_k'(z),\qquad A_1(z)=A(z).
$$
Soit $T(z)\in \Qbar[z]$ non nul et de degré minimal tel que $T(z)A(z)\in M_{n\times n}(\Qbar[z])$. On vérifie par récurrence que
$T(z)^kA_k(z)\in M_{n\times n}(\Qb[z])$ pour tout $k\ge 1$. Notons
$Q_k\ge 1$ le plus petit entier dénominateur commun des coefficients des matrices
$$
\frac{1}{1!}T(z)^1A_1(z), \;\; \frac{1}{2!}T(z)^2A_2(z), \ldots, \;\; \frac{1}{k!}T(z)^kA_k(z)
$$
c'est-à-dire tel que $\Psfrac{Q_k}{m!}T(z)^mA_m(z)\in M_{n\times n}(\mathcal{O}_{\Qbar}[z])$ pour tout $1\le m \le k$.

\begin{enonce*}{Condition de Galochkin}
Il existe $C>0$ telle que $Q_k \le C^{k}$ pour tout $k\ge 1$.
\end{enonce*}

Donnons quelques exemples et contre-exemples. La fonction
\[
(1-z)^{-s}\quad (s\in \Q)
\]
satisfait à l'équation différentielle $y'(z)=A(z)y(z)$ avec
\[
A(z):=\frac{s}{1-z},
\]
d'où
\[
A_k(z)=\frac{(s)_k}{(1-z)^{k}}
\]
pour tout entier $k\ge 1$. La condition de Galochkin est donc satisfaite avec $T(z):=1-z$ et $Q_k\ge 1$ le plus petit dénominateur commun de $\sfrac{(s)_1}{1!}, \sfrac{(s)_2}{2!}, \ldots, \sfrac{(s)_k}{k!}$, dont Siegel a montré qu'il croît au plus géométriquement en~$k$.

La fonction $-\log(1-z)$ est solution de l'équation différentielle (minimale) $(1-z)y''(z)-y'(z)=0$, dont le système différentiel compagnon est ${}^t(0, \spfrac{1}{1-z})=A(z)\cdot {}^t(1, -\log(1-z))$ avec
$$\arraycolsep3.5pt
A(z):=
\begin{pmatrix}
0 & \spfrac{1}{1-z}
\\
0 & 0
\end{pmatrix}.
$$
On vérifie par récurrence sur $k\ge 1$ que
$$\arraycolsep3.5pt
\frac{1}{k!}(1-z)^kA_k(z)=\begin{pmatrix}
0 & \sfrac 1k
\\
0 &0
\end{pmatrix}
$$
et donc que la condition de Galochkin est également satisfaite ici avec $T(z):=1-z$ et $Q_k:=\textup{ppcm}\{1,2,\ldots, k\}$ pour tout $k\ge1$.

La fonction $\frac12\log(1-z)^2$ satisfait à l'équation $(1-z)^2 y'''(z)+3(1-z)y''(z)+y'(z)=0$. Lepetit a informé l'auteur que l'on peut calculer explicitement les matrices associées $A_k(z)$ à l'aide des suites $m!\sum_{\ell=1}^m \sfrac{1}{\ell}$ et $m!\sum_{\ell=1}^{m}\psfrac{m-\ell+1}{\ell}$, à partir desquelles on peut voir que la condition de Galochkin est satisfaite.

En revanche,
$y'(z)=y(z)$ ne la satisfait pas car $A_k(z)=1$ pour tout entier $k\ge 1$. Un autre contre-exemple moins évident est fournit par le vecteur $Y(z)={}^t(J_0(z), J'_0(z))$. Il est solution du système $Y'(z)=A(z)Y'(z)$ avec
$$
A(z):=
\begin{pmatrix}
0 & 1
\\
-1 &-\sfrac{1}{z}
\end{pmatrix}, \qquad T(z):=z.
$$
On vérifie par récurrence
que, pour tout entier $n\ge 1$,
\begin{align*}
A_{2n-1}(z) &= \begin{pmatrix}
0& (-1)^{n+1}
\\
(-1)^n & 0
\end{pmatrix}+ \mathcal{O}(\sfrac 1z), \\
A_{2n}(z)& = \begin{pmatrix}
(-1)^n& 0
\\
0 & (-1)^n
\end{pmatrix} + \mathcal{O}(\sfrac1z),
\end{align*}
où dans les deux cas, $\mathcal{O}(1/z)$ désigne des matrices de $M_{2\times 2}(\Q(z))$ dont les coefficients fractions rationnelles tendent vers 0 quand $z\to\nobreak \infty$. Il~suit qu'un dénominateur commun positif des coefficients polynomiaux de la matrice $\Psfrac{1}{k!}z^k A_k(z)\in M_{2\times 2}(\Q[z])$ est au moins un multiple de $k!$ et donc que la condition de Galochkin n'est pas satisfaite.

La condition de Galochkin est \emph{a priori} très forte puisque l'on s'attend davantage à ce que $Q_k$ se comporte comme $k!C^k$, comme dans le cas de l'exponentielle et de la fonction de Bessel $J_0$.
\begin{theo}[Galochkin \cite{galochkin1}]\label{theo:galochkin2} Soit $Y(z)={}^t(F_1(z),\ldots, F_n(z))$ un vecteur de \Gfonctions de $\Q\lcr z\rcr$ solution d'un système différentiel $Y'(z)=A(z)Y(z)$ avec $A(z)\in M_{n\times n}(\Q(z))$. On suppose que $F_1(z),\ldots, F_n(z)$ sont linéairement indépendantes sur $\Q(z)$ et que ce système satisfait à la condition de Galochkin.

Alors il existe une constante $c_0>0$ explicitable, qui dépend de $Y$, telle que, pour tout entier $q$ satisfaisant à $\vert q\vert > c_0$, les nombres
$$
F_1(1/q), F_2(1/q), \ldots, F_n(1/q)
$$
sont linéairement indépendants sur $\Q$.
\end{theo}
On a en fait la même conclusion en remplaçant $1/q$ par \hbox{$a/b\in \Q^*$} satis\-faisant à $\vert b\vert \ge \vert c_1 a \vert^{c_2}$ pour des constantes $c_1, c_2$ explicitables. Dans les meilleures versions maintenant connues de ce résultat (et~en~particulier, sans la condition de Galochkin), la constante $c_2$ est de l'ordre de grandeur de $n^2$; voir \cite[p.\,15, Th.\,I]{chudnovsky2} et \cite[p.\,314, Th.\,0.2]{nagata1}. Cet ordre de grandeur est le même que celui indiqué dans le théorème \ref{theo:indeppolylog} lorsque $F_1(z):=1$ et $F_j(z)= \Li_{j}(z)$ pour $j=2, \ldots, n$. Toutefois, les résultats de Hata \cite{hatapolylog} et Nikishin \cite{nikishin} sont plus précis que cela, en particulier sur la constante $c_1$. Cela illustre un fait général: on sait rarement calculer des approximants de Padé explicites d'une famille de fonctions données mais lorsqu'on y parvient, on~obtient souvent des résultats plus fins que ceux obtenus avec des approximants de type Padé inexplicites.

En 1984, Chudnovsky \cite{chudnovsky1, chudnovsky2} a réussi à lever la condition de \hbox{Galochkin} (voir la partie \ref{ssec:ACK}) et a obtenu un résultat que l'on considère comme réalisant le programme de Siegel sur les \Gfonctions.
\begin{theo}[Chudnovsky]\label{theo:chud1}
Soit $Y(z)={}^t(F_1(z), \ldots, F_n(z))$ un vecteur de \Gfonctions de $\Qbar\lcr z\rcr$ solution d'un système différentiel
$Y'(z)=A(z)Y(z)$ avec $A(z)\in M_{n\times n}(\Qbar(z))$.
Supposons que les fonctions $F_1(z)$, \ldots, $F_n(z)$ soient algébriquement indépendantes sur~$\CC(z)$.

Alors pour tout entier $d\ge 1$, il existe $C_{Y,d}>0$ telle que pour tout
$\alpha\in \Qbar$ de degré $\le d$ et de hauteur $H$ satisfaisant à
\begin{equation*}
0<\vert \alpha \vert <\exp\big(-C_{Y,d}\log\left(H\right)^{\spfrac{4n}{4n+1}}\big),
\end{equation*}
il n'existe aucune relation polynomiale non triviale sur $\Q(\alpha)$ de degré $\le d$ entre les nombres $F_1(\alpha), \ldots, F_n(\alpha)$.
\end{theo}
La constante $C_{Y,d}$ est calculable en suivant la démonstration de Chudnovsky et en utilisant des améliorations plus récentes. Voir \hbox{André} \cite[Chap.\,VI]{andrelivre} pour une démonstration qui corrige une imprécision dans celle de Chudnovsky.
Voir également \cite{nagata2} pour des énoncés diophantiens portant sur les points en lesquels une \Gfonction prend des valeurs dans un corps de nombres. Insistons sur le fait que ces résultats ne sont pas assez forts pour montrer la transcendance d'au moins l'un des nombres $F_1(\alpha), \ldots, F_n(\alpha)$. On reviendra sur ce point à la fin de la partie \ref{ssec:Gfnfinal} quand on discutera d'un autre théorème d'André.

La démonstration du théorème de Galochkin utilise des approximants inexplicites de type Padé de type~I et elle suit essentiellement celle de Shidlovskii pour les \Efonctions. Il doit introduire sa condition car les estimations ne sont pas aussi bonnes que celles obtenues à la proposition~\ref{prop:fat}. Sa méthode donne des estimations de la forme suivante.

\begin{prop} Dans les conditions du théorème \ref{theo:galochkin2} et en particulier sous la condition de Galochkin, il existe des constantes \hbox{$c_3, c_4, c_5\!>\!0$} telles que pour tout entier $r\ge c_3$, il existe des entiers~$p_{j,r}$ $(1\le j\le n)$ tels que
\begin{equation}\label{eq:fat2}
0<\bigg\vert \sum_{j=1}^n p_{j,r}F_j(1/q)\bigg\vert \le c_4^{r+1}, \quad \vert p_{j,r}\vert \le c_5^{r+1}.
\end{equation}

Les constantes $c_3, c_4$ et $c_5$ dépendent de $q$ et de $Y$.
\end{prop}
Lorsque $q$ satisfait à $\vert q\vert > c_0$, les valeurs correspondantes des constantes $c_4<1$ et $c_5>1$ impliquent alors le théorème \ref{theo:galochkin2}. De~nou\-veau, remarquons que la proposition \ref{prop:critnes} dans la partie \ref{sec:critirrat} s'appliquerait directement avec $\lambda(r)=r$ si l'on avait un minorant de la forme $c_6^{r+1}$ avec $c_6>0$ à gauche de \eqref{eq:fat2} plutôt que 0. La difficulté est donc d'obtenir la même conclusion que celle de cette proposition en l'absence d'une telle minoration.

La démonstration du théorème de Chudnovsky utilise quant à elle des approximants inexplicites de type Padé de type~II. Elle les utilise même à deux reprises: une fois pour montrer que la condition de Galochkin a lieu \emph{a priori} et une autre fois de manière classique pour démontrer le théorème \ref{theo:chud1} à proprement parler. On ne rentre pas dans les détails ici.

\section{Propriétés différentielles des \texorpdfstring{$G$- et  $E$-fonctions}{GE}} \label{sec:propdiffGE}

\subsection{Équations différentielles fuchsiennes} \label{ssec:eqfuch}

Dans cette partie, on donne quelques définitions et propriétés rela\-ti\-ves aux équations différentielles sur $\CC(z)$. \emph{Mutatis mutandis}, on~peut remplacer $\CC(z)$ par $\LL(z)$ où $\LL$ est n'importe quel sous-corps de $\CC$. Des références classiques sont \cite{livreequadiff, livreequadiff2, poole}.

Donnons-nous un opérateur différentiel normalisé
$$
L:=\sum_{j=0}^\mu Q_j(z)\Big(\frac{d}{dz}\Big)^j \in \CC(z)[\sfrac{d}{dz}], \quad Q_\mu(z)=1,
$$
auquel on associe l'équation différentielle $Ly(z)=0$. Par raccourci de langage, on parlera d'une solution de $L$ pour signifier une solution de $Ly(z)=0$.

Notons $P(z)\in \CC[z]$ un dénominateur commun de plus petit degré des $Q_j(z)$, et $R$ l'ensemble des racines de $P$. On appelle singularités finies de $L$ les éléments de $R$. On appelle points ordinaires de $L$, ou~encore points réguliers de $L$, les éléments de $\CC \setminus R$. On doit également tenir compte du point à l'infini $\infty$: il est dit singulier pour $L$ si $0$ est une singularité au sens précédent de l'opérateur $\widetilde{L}$ normalisé que l'on déduit de $L$ en changeant formellement $z$ en $\sfrac 1z$ et $\sfrac{d}{dz}$ en $-z^2\sfrac{d}{dz}$. Sinon, $\infty$ est ordinaire.

En un point ordinaire $\alpha$ (fini ou non), $L$ admet une base locale (sur~$\CC$) de solutions holomorphes en $\alpha$, c'est-à-dire développables en séries entières de la variable $z-\alpha$ ou $1/z$ avec un rayon de convergence $>0$. On dit qu'une singularité $\rho$ de~$L$ est apparente lorsque~$L$ admet une base locale de solutions dans $\CC\lcr z-\rho\rcr$ (pas supposées holomorphes, bien qu'elles le soient en fait automatiquement). Cette situation n'est pas la plus courante et la description des bases est plus compliquée aux points singuliers non apparents.
Il est impossible de faire la théorie générale ici et l'on va se contenter de le faire pour une classe restreinte mais fondamentale de singularités.

Un point singulier $\alpha$ fini de $L$ est dit singulier régulier si, en écrivant
$$
L=\sum_{j=0}^\mu \frac{A_j(z)}{P(z)}\Big(\frac{d}{dz}\Big)^j,\qquad A_\mu=P,
$$
on a
\begin{equation}\label{eq:valuation}
\textup{valuation}_{z=\alpha}(A_{j})\ge \textup{valuation}_{z=\alpha}(P)+j-\mu
\end{equation}
pour tout $j$, où la valuation est l'ordre d'annulation au point considéré. Si le point $\infty$ est singulier, il est dit singulier régulier si~$0$ est une singularité régulière de l'opérateur $\widetilde{L}$ évoqué ci-dessus: ceci est en fait équivalent à demander que
$$
\deg(A_j)\le \deg(P)+j-\mu
$$
pour tout $j$. Lorsqu'une singularité n'est pas régulière, on parle de singularité irrégulière; on n'étudiera pas ce cas dans la suite, bien qu'il intervienne dans l'étude des $E$-opérateurs à l'infini.

Nous allons maintenant décrire une $\CC$-base en $z=0$ d'un opérateur $L\in \CC(z)[\sfrac{d}{dz}]$ lorsque 0 est une singularité régulière de $L$. On cherche pour commencer des solutions formelles sous la forme $y_{\rho}(z)=z^{\rho}\sum_{n=0}^\infty u_n z^n\in z^{\rho}\CC\lcr z\rcr$, avec $u_0\neq 0$ et $\rho\in\CC$. Écrivons $A_j(z)=\sum_{k=v_j}^{d_j} a_{k,j} z^k$ avec $a_{v_j,j}\neq 0$, et posons\vspace*{-2pt}
$$\nu=\min_{j=0,\ldots,\mu}(v_j+\mu-j).$$
On a alors
\begin{align*}
\big(P(z)L\big)y_{\rho}(z) &= \sum_{n=0}^\infty u_n \sum_{j=0}^\mu A_j(z)
(z^{\rho+n})^{(j)}\\[-2pt]
&=\sum_{n=0}^\infty u_n \sum_{j=0}^\mu\sum_{k=v_j}^{d_j} (\rho+n-j+1)_{j} a_{k,j} z^{\rho+k+n-j}
\\[-2pt]
&=z^{\rho+\nu-\mu}u_0\sum_{m=0}^\infty \Pi_m(\rho)z^m,
\end{align*}
où
$$
\Pi_0(\rho):=\sum_{\substack{j \in\{1,\ldots, \mu\}\\\textup{tel que} \, v_j +\mu-j=\nu}} a_{v_j,j} (\rho-j+1)_{j} \in \CC[\rho].
$$
Le polynôme $\Pi_0(\rho)$ est par définition le polynôme indiciel de $L$ en $0$ et ses racines sont les exposants (locaux) de $L$ en 0.\footnote{On détermine plus facilement le polynôme indiciel de $L$ lorsque $L$ est donné comme un élément de $\CC(z)[z\sfrac{d}{dz}]$. Voir \cite[p.\,9]{beukersarizona}.} Une condition nécessaire pour que $Ly_{\rho}(z)=0$ est donc que $\rho$ soit un exposant de $L$ en 0. Comme 0 est une singularité régulière, la condition \eqref{eq:valuation} montre que $v_\mu=\nu$ et donc
le degré de $\Pi_0(\rho)$ est $\mu$.

Frobenius \cite{frobenius} a montré comment construire une base locale de solutions de $L$ en $0$ à partir de la connaissance des exposants en 0, que l'on note $\rho_1, \ldots, \rho_\mu$. Si ces exposants sont tous deux à deux distincts modulo $\Z$, il existe une base de solutions $z^{\rho_j}F_j(z)$ ($j=1, \ldots, \mu$) où chaque $F_j(z)$ est holomorphe en $z=0$ (et pas seulement des séries formelles de $\CC\lcr z\rcr$). Dès que deux exposants sont égaux modulo $\Z$, la situation devient beaucoup plus compliquée et la base prend la forme plus générale\vspace*{-3pt}
\begin{equation}\label{eq:frobenius}
(F_1(z), \ldots, F_{\mu}(z))\cdot z^{\Delta}
\end{equation}
où $\Delta \in M_{\mu\times \mu}(\CC)$ est triangulaire supérieure, sa diagonale se
\hbox{déduit}\footnote{Précisément, effectuons une partition de $\{\rho_1, \rho_2, \ldots, \rho_\mu\}$ avec des ensembles $E_1, E_2, \ldots E_\ell$ tels que les éléments de chaque $E_j$ sont égaux modulo $\Z$ mais, pour tous $j\neq k$, si $x\in E_j$ et $y\in E_k$ alors $x\not\equiv y$ modulo $\Z$.
Notons $e_j$ le plus petit élément de $E_j$ et $k_j=\card(E_j)$. Alors $e_j$ est valeur propre de $\Delta$ avec multiplicité~$k_j$ pour tout $j=1, \ldots, \ell$.} des exposants $\rho_j$ et chaque $F_j(z)$ est holomorphe en $z=0$. Notons $r_1, \ldots, r_\mu$ les valeurs propres de $\Delta$.

Expliquons le sens à donner à \eqref{eq:frobenius}: on écrit $\Delta=D+N$ avec $D$ diagonale et $N$ nilpotente d'indice de
nilpotence $\kappa$,\footnote{c'est-à-dire que $\kappa$ est le plus petit des entiers $k\ge 1$ tels que $N^k=0$.}) de sorte que\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
z^{\Delta}:\!&=e^{\log(z)D}e^{\log(z)N}
\\[-3pt]
&=\sum_{n=0}^\infty D^n \frac{\log(z)^n}{n!} \cdot \sum_{n=0}^{\kappa-1} N^n \frac{\log(z)^n}{n!} = A\cdot B,
\end{align*}
où $A$ est une matrice diagonale de diagonale constituée des $z^{r_j}$ et~$B$ est une matrice dont les coefficients sont dans $\CC[\log(z)]$, de~degré au plus $\kappa-1$. Les coefficients de la matrice $z^\Delta$ sont dans \hbox{$z^{r_1}\CC[\log(z)]+\cdots +z^{r_\mu}\CC[\log(z)]$} et le produit matriciel \eqref{eq:frobenius} fournit donc un vecteur dont les composantes forment la base voulue de $\mu$ solutions de la forme\vspace*{-3pt}
\begin{equation}\label{eq:solfuchs}
\sum_{j=1}^\mu \big(z^{r_1}P_{j,1}(\log(z))+\cdots +z^{r_\mu}P_{j,\mu}(\log(z)\big)F_j(z),
\end{equation}
et $\deg(P_{j,\ell})\le \kappa-1$ pour tous $j,\ell\in\{1,\ldots, \mu\}$. On adapte les calculs précédents en un point $\alpha$ singulier régulier en remplaçant $z$ par $z-\alpha$ si~$\alpha$ est fini ou par $1/z$ si $\alpha=\infty$, et en définissant des exposants en ces points également. Notons que l'on peut d'ailleurs calculer de la même façon le polynôme indiciel en un point ordinaire: on trouve qu'il vaut $\prod_{j=0}^{\mu-1}(\rho-j)$ et donc les exposants en ce point valent $0,1,\ldots, \mu-1$. On traduit souvent \eqref{eq:solfuchs} (et ses analogues en d'autres points) en disant que les solutions locales en une singularité régulière sont à croissance modérée. En effet, les solutions locales en une singularité irrégulière présentent en général des croissances exponentielles.

\begin{defiprop}\label{def:fuchsien}
Un opérateur différentiel $L\in \CC(z)[\sfrac{d}{dz}]$ est dit \emph{fuchsien} lorsque tous les points de $\CC \cup \{\infty\}$ sont soit réguliers soit singuliers réguliers pour $L$.

Dans ce cas, les exposants de $L$ satisfont à la \emph{relation de Fuchs}:
$$
\sum_{\alpha \in \CC\cup \{\infty\}} \bigg(\sum_{j=1}^\mu \rho_j(\alpha)-\frac{\mu(\mu-1)}{2}\bigg) = -\mu(\mu-1),
$$
où l'on note $\rho_1(\alpha), \ldots, \rho_\mu(\alpha)$ les exposants de $L$ au point $\alpha$.
\end{defiprop}
La somme à gauche a un nombre fini de termes non nuls puisqu'en un point ordinaire $\alpha$, on a $\sum_{j=1}^\mu \rho_j(\alpha)=\mu(\mu-1)/2$.
L'équation différentielle associée $Ly(z)=0$ est bien sûr dite fuchsienne.

Soit $L\in \CC[z][\sfrac{d}{dz}]$ avec des coefficients polynomiaux premiers entre eux. Supposons $L$ fuchsien de singularités finies $s_1, \ldots, s_k$ et considérons le système différentiel $Y'(z)=A(z)Y(z)$ compagnon de~$L$, avec $A(z)\in M_{n\times n}(\CC(z))$.
Alors il existe des matrices constantes $A_j\in M_{n\times n}(\CC)$ telles que
$$
A(z)=\sum_{j=1}^k \frac{A_j}{z-s_j}, \qquad \sum_{j=1}^k A_j=0.
$$

Considérons pour finir l'opérateur différentiel hypergéométrique
$$
L_{p,q}:=\theta\prod_{j=1}^q(\theta+b_j-1) -z\prod_{j=1}^p(\theta+a_j)\in \CC[z][\sfrac{d}{dz}], \qquad \theta:=z\frac{d}{dz}.
$$
Si $p=q+1$, $L_{q+1,q}$ est fuchsien avec des singularités régulières en $0$,~$1$ et~$\infty$: les exposants en 0 sont $(1-b_1,\ldots, 1-b_q,0)$, ceux en 1 sont $(0,1,\ldots, q-2, \sum_{j=1}^q (b_j-a_j) -1)$ et ceux à $\infty$ sont $(a_1, \ldots, a_p)$, et de plus en $z=1$, l'équation admet $q-1$ solutions locales holomorphes en $z=1$. En revanche, si $p=q$, $L_{q,q}$ n'est pas fuchsien, avec des singularités en 0 (régulier, d'exposants $1-b_1,\ldots, 1-b_q,0$) et $\infty$ (irrégulier).

\subsection{Structure des \texorpdfstring{$G$}{G}-opérateurs} \label{ssec:ACK}

Comme indiqué à la fin de la partie \ref{ssec:thmGC}, Chudnovsky a montré dans \cite{chudnovsky2,chudnovsky1} que la condition de Galochkin a lieu \emph{a priori}. Précisons son énoncé.

\begin{theo}[Chudnovsky] \label{theo:chud2}
Soit $Y(z)={}^t(F_1(z), \ldots, F_n(z))$ un vecteur de \Gfonctions de $\Qbar\lcr z\rcr$ solution d'un système différentiel
$Y'(z)=A(z)Y(z)$ avec $A(z)\in M_{n\times n}(\Qbar(z))$.
Supposons que les fonctions $F_1(z)$, \ldots, $F_n(z)$ soient linéairement indépendantes sur~$\Qbar(z)$.
Alors la condition de Galochkin est satisfaite par ce système différentiel.
\end{theo}
André \cite[p.\,76]{andrelivre}, suivant Dèbes \cite{debes}, a appelé \emph{$G$-opérateur} tout système différentiel
$Y'(z)=A(z)Y(z)$ avec $A(z)\in M_{n\times n}(\Qbar(z))$ qui satisfait à la condition de Galochkin. Par extension, on dit qu'un opérateur $L\in \Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}]$ est un $G$-opérateur lorsque son système différentiel compagnon est un $G$-opérateur.

On utilise souvent la version suivante du théorème \ref{theo:chud2}.\enlargethispage{2\baselineskip}%

\begin{theo}[Chudnovsky, version alternative] \label{theo:chud3}
Soit $F(z)$ une \Gfonction. Soit $L\in \Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}]\setminus \{0\}$ tel que $LF(z)=0$ et d'ordre minimal pour $F$.

Alors $L$ est un $G$-opérateur.
\end{theo}
Ce théorème découle du théorème \ref{theo:chud2}. En effet, notons $n$ l'ordre de l'opérateur $L$: le système compagnon $Y'(z)=\mathcal{L}(z)Y(z)$ avec $\mathcal{L}(z)\in M_{n\times n}(\Qbar(z))$ a pour solution le vecteur ${}^t(F(z), F'(z),\ldots, F^{(n-1)}(z))$ qui est composé de \Gfonctions linéairement indépendantes sur $\Qbar(z)$ par minimalité de $L$. La preuve du théorème \ref{theo:chud2} est trop complexe pour être même seulement esquissée ici; voir également \cite{beukersarizona, lepetitm2r}. \hbox{Disons} simplement qu'elle utilise les approximants inexplicites de type Padé de type~II des fonctions $F_1(z), \ldots, F_n(z)$ dans un contexte où l'on ne s'attend pas du tout à les utiliser.
On montre ensuite les faits suivants:

\begin{enumerate}
\item
Un $G$-opérateur est fuchsien.

\item
L'opérateur minimal $L$ (non nul) d'une \Gfonction donnée est donc fuchsien. De plus, en tout point algébrique $\alpha$ ordinaire pour $L$, celui-ci admet une $\CC$-base de solutions composée de \Gfonctions de la variable $z-\alpha$.
\end{enumerate}

Cet opérateur minimal $L$ possède davantage de propriétés, que nous allons maintenant expliquer. Rappelons que Bombieri \cite{bombieri} a utilisé une autre condition sur les \Gfonctions, portant sur leurs rayons de convergence $v$-adiques génériques.

\begin{theo}[André \cite{andrelivre, dworklivre}]\label{theo:andreGB} Les conditions de Galochkin et de Bombieri sont équivalentes.
\end{theo}
Il s'avère que la condition de Bombieri implique les hypothèses d'un théorème de Katz \cite{katz} (voir aussi \cite[p.\,77]{andrelivre}) concernant la rationalité des exposants d'un opérateur différentiel de $\Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}]$. André a également utilisé ce théorème de Katz pour compléter le point (ii) ci-dessus sur la nature des solutions en un point singulier cette fois \cite[pp.\,109-110]{andrelivre}. On synthétise ces résultats dans le\enlargethispage{\baselineskip}%

\begin{theo}[André, Chudnovsky, Katz]\label{theo:ack}
Soient $F(z)$ une \Gfonction et $L\in \Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}]\setminus \{0\}$ tel que $LF(z)=0$ et d'ordre $\mu$ minimal pour $F$.

Alors $L$ est un $G$-opérateur. Il est fuchsien, ses exposants locaux sont dans $\Q$ et en tout point $\alpha\in \Qbar\cup\{\infty\}$, $L$ admet une $\CC$-base de solutions de la forme
\begin{equation}\label{eq:ackG}
\big(F_1(z-\alpha), \ldots, F_n(z-\alpha)\big)\cdot (z-\alpha)^\Delta
\end{equation}
où $\Delta\in M_{\mu\times \mu}(\Qbar)$ est triangulaire supérieure avec valeurs propres rationnelles, et $\Delta=0$ si $\alpha$ est ordinaire. Chaque $F_j(z)\in \Qbar\lcr z\rcr$ est une \Gfonction. Si $\alpha=\infty$, on remplace $z-\alpha$ par $1/z$ dans \eqref{eq:ackG}.
\end{theo}
Si $\alpha \in \Qbar\cup\{\infty\}$ est un point ordinaire de $L$, les $F_j(z-\alpha)$ ou $F_j(1/z)$ sont des solutions de $L$. En revanche, si $\alpha$ est un point singulier de $L$, ces fonctions ne sont en général pas des solutions de $L$ mais chacune est solution d'un opérateur différentiel de $\Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}]$ d'ordre $\le \mu^2$, voir \cite[p.\,110]{andrelivre}. Une preuve complète du théorème \ref{theo:ack} est également donnée dans \cite{lepetitm2r}.

 On a indiqué à la fin de la partie \ref{ssec:Gfn} que les \Gfonctions satisfaisant à une équation différentielle d'ordre~$1$ sont exactement les fonctions algébriques de la forme
$
c\prod_{j=1}^s (\alpha_j-z)^{e_j}
$
où $c\in \Qbar$, et où chaque $\alpha_j\in \Qbar$ et $e_j\in \Q$. Il est clair qu'une telle \Gfonction est d'ordre différentiel 1 puisqu'elle est solution de
$$
\frac{d}{dz} + \sum_{j=1}^s \frac{e_j}{\alpha_j-z} \in \Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}].
$$
La réciproque n'est en revanche pas évidente et utilise pleinement le
théorème~\ref{theo:ack}. En effet, des arguments généraux (voir \cite[Lem.\,9]{firiCMH} et \cite[p.\,148]{livreequadiff}) assurent que les solutions d'équations fuchsiennes d'ordre~$1$ sur $\Qbar(z)$ sont de la forme $c\prod_{j=1}^s (\alpha_j-z)^{e_j}$ avec des $e_j\in \Qbar$ et $c\in \CC$. Or les $e_j$ sont des exposants de l'équation différentielle, donc des rationnels ici, et $c$ est alors nécessairement dans $\Qbar$. En~parti\-cu\-lier la fonction $(1-z)^{-\sqrt{2}}=\sum_{n=0}^\infty \Psfrac{(\sqrt{2})_n}{n!}z^n$ n'est pas une \Gfonction.

\subsection{\texorpdfstring{\protect\Gfonctions}{G} et périodes géométriques}\label{ssec:periodes}

Cette partie explique sommairement le lien entre \Gfonctions et périodes géométriques. On trouvera bien plus de détails dans \hbox{\cite[Chap.\,IX]{andrelivre}}. Il est connu depuis Griffiths \cite{griffiths} que les périodes de familles de variétés algébriques sur $\CC$ dépendant d'un paramètre complexe~$z$ satisfont à une équation différentielle fuchsienne à coefficients dans $\CC(z)$, dite équation de Picard-Fuchs (ou connexion de Gauss-Manin selon les auteurs); voir \cite[p.\,238, Th.\,4.3]{griffiths}. On peut arithmétiser la situation en remplaçant $\CC$ par $\Qbar$. La fuchsianité perdure évidemment mais surtout le théorème de Katz s'applique aussi, de sorte que l'on sait en plus que les exposants sont dans $\Q$. Par ailleurs, tous les exemples explicites de périodes que l'on sait développer en série entière en $z=0$ sont des \Gfonctions, à un facteur multiplicatif près. Notons que les travaux récents de Lairez \cite{lairez} permettent de calculer efficacement l'équation de Picard-Fuchs satisfaite par une période.

Ces ressemblances avec les $G$-opérateurs ne sont pas une coïncidence puisqu'on a le\enlargethispage{\baselineskip}%

\begin{theo}[André]\label{theo:andregeom} Tout produit de facteurs d'opérateurs différentiels de Picard-Fuchs est un $G$-opérateur.
\end{theo}
Voir \cite[p.\,111]{andrelivre}.
Réciproquement, on sait en principe écrire n'importe quelle \Gfonction explicite (raisonnablement simple) comme période géométrique d'une famille adéquate de variétés sur $\Qbar$ mais c'est un travail difficile en général.\footnote{Il est souvent plus facile d'écrire une (valeur de) \Gfonction comme une \hbox{période} de Kontsevich-Zagier \cite{kontsevichzagier}. Il s'agit de nombres complexes dont les \hbox{parties} réelles et imaginaires sont des intégrales multiples convergentes de la forme $\int_D R(x_1,\ldots, x_n)dx_1\cdots dx_n$ avec $R\in \Qbar(x_1,\ldots, x_n)$ et $D$ un domaine semi-algébrique de $\RR^n$ défini par des inégalités polynomiales de la forme $a\le P(x)\le b$, où $P\in \Qbar[x_1,\ldots, x_n]$ et $a,b\in (\Qbar \cap \RR)\cup \{\,-\infty,+\infty\}$. Par exemple $\ln(2)=\int_1^2 dx/x$, $\pi=\int_{-\infty}^{+\infty} dx/(1+x^2)$ et la représentation intégrale des polylogarithmes \eqref{eq:defpolylogint} (évaluée en un point algébrique) sont de telles périodes. L'égalité des anneaux numériques de ces périodes et des périodes géométriques est démontrée dans \cite[\S 12.2]{huber}.} Par exemple, on a\vspace*{-3pt}
\begin{multline} \label{eq:bpapery}
a(t):=\sum_{n=0}^\infty \bigg(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2
\binom{n+k}{n}^2\bigg)t^{n} \\
= \frac{1}{(2i\pi)^3}
\int_D \frac{dxdydz}{1-(1-xy)z-txyz(1-x)(1-y)(1-z)},
\end{multline}
où $D$ est un domaine fermé de $\CC^3$. À partir de cette expression, Beukers et Peters~\cite{beukerspeters} ont montré que $a(t)$ est bien une période géométrique $\int_{\gamma} \omega_t$ où $\omega_t$ est l'unique (à constante multiplicative près) 2-forme différentielle holomorphe sur une surface $K3$ birationnellement équivalente à la surface algébrique projective $S_t$ d'équation affi\-ne $1-(1-XY)Z-tXYZ(1-X)(1-Y)(1-Z)=0$, et où $\gamma$ est un $2$-cycle de $H_2(S_t, \Z)$.

Ces remarques motivent la célèbre conjecture suivante, toujours ouverte, qui est la réciproque du théorème \ref{theo:andregeom}. La version ci-dessous est celle formulée par André \cite[p.\,111]{andrelivre}. La version originelle de Dwork se trouve dans \cite[p.\,2]{dworkapery}.

\begin{conj}[Bombieri-Dwork]\label{conj:bda}
Tout $G$-opérateur de $\Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}]$ est un produit de facteurs d'opérateurs différentiels de Picard-Fuchs.
\end{conj}
De manière plus imagée, la conjecture de Bombieri-Dwork est souvent énoncée ainsi:~\emph{Les \Gfonctions proviennent de la géométrie.} Elle donne \emph{a posteriori} un sens encore plus fort au choix de la lettre $G$ par Siegel. On montre par exemple que les séries hypergéométriques ${}_{2}F_1$ à paramètres $a,b,c,$ rationnels proviennent de la géométrie grâce à la représentation intégrale
\begin{multline*}
{}_{2}F_{1}\biggl[
\begin{matrix}
a, b
\\
c
\end{matrix} \,; z\biggr]=\frac{\Gamma(c)e^{i \pi (1-c)}}{4\Gamma(c)\Gamma(b-c)\sin(\pi b)\sin(\pi(c-b))}\\
{}\times\int_{\mathcal P} x^{b-1} (1-x)^{c-b-1} (1-zx)^{-a} dx
\end{multline*}
où $\mathcal P$ est le \og cycle de Pochhammer\fg \cite[pp.\,22-23]{slater}; voir \cite{beukersAhyp} pour d'autres exemples de nature hypergéométrique.
Toujours dans le sens de la conjecture \ref{conj:bda}, Bostan, Lairez et Salvy \cite{lairez2} ont donné un algo\-rithme pour écrire explicitement certaines \Gfonctions comme périodes géométriques: sans rentrer dans les détails, les coefficients de Taylor $(a_n)_{n\ge 0}$ de ces \Gfonctions doivent être entiers et s'écrire à l'aide de sommes multiples hypergéométriques, ce qui ne couvre pas le cas général. Leur travail automatise celui fait par Beukers et Peters pour $a(t)$ dans \eqref{eq:bpapery} ci-dessus, qui rentre dans ce cadre. Par exemple, on peut prendre $a_n$ égal à
$$
\sum_{k=0}^n\! \binom{n}{k}^3\!\binom{n+k}{n}^3,
\;\; \sum_{j=0}^n\sum_{i=0}^j\! \binom{n}{j}^{\!2}\! \binom{n}{i}^{\!2}\!\binom{n+j}{n}\binom{n+j-i}{n}\binom{2n-i}{n}
$$
mais pas à $\spfrac{1}{n+1}$ ou $\sum_{k=1}^n \sfrac{\binom{n}{k}^2}{k}$ (pour les séries génératrices desquelles il faut travailler autrement pour montrer qu'elles sont des périodes géométriques). Ils obtiennent ainsi l'égalité suivante entre une \Gfonction et une période géométrique:
\begin{multline*}
\sum_{n=0}^\infty \bigg(\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \binom{n}{k}^3 \bigg) z^n\\
= \frac{1}{(2i\pi)^2}\int_{\mathscr{C} \times \mathscr{C}} \frac{xy dx dy}{(xy)^2-z(1+x)^2(1+y)^2(1-xy)^2}
\end{multline*}
où $\mathscr{C}$ est le cercle de centre 0 et de rayon 1/2.

La conjecture suivante est également ouverte.
\begin{conj}[Bombieri]\label{conj:bombieri} Soit $L\in \KK(z)[\sfrac{d}{dz}]$ un $G$-opérateur, où~$\KK$ est un corps de nombres.

Alors les rayons de convergence génériques $v$-adiques $R_v(L)$ va\-lent~$1$ en toutes les places non archimédiennes $v$ de $\KK$, sauf éventuellement un nombre fini d'entre elles.
\end{conj}
Comme conséquence d'un théorème de Katz, cette conjecture est satisfaite lorsque $L$ est d'origine géométrique \cite[p.\,110]{andrelivre}, c'est-à-dire lorsque $L$ est un produit de facteurs d'opérateurs différentiels de Picard-Fuchs. La conjecture \ref{conj:bombieri} est donc une conséquence de la conjecture \ref{conj:bda}. Voir la discussion à ce sujet dans \cite{firikyushu}.

La conjecture~\ref{conj:bombieri} a une intéressante conséquence sur la nature des dénominateurs des coefficients de Taylor des \Gfonctions. Rappelons que $d_n:=\textup{ppcm}\{1,2, \ldots,n\}\le 3^n$ pour tout $n\ge 0$.

\begin{theo}[Fischler-R. \cite{firikyushu}] Soit $F(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n\in\Qbar(z)$ une \Gfonction solution d'un $G$-opérateur $L\neq 0$ d'ordre $\mu$, minimal pour~$F$, satisfaisant à la conjecture \ref{conj:bombieri}.

Alors il existe des entiers $b\ge 1,b_0\ge 0, c\ge 1$ tels que, pour tout entier $n\ge 0$,
\begin{equation} \label{eq:denom}
d_{bn+b_0}^{\mu-1}c^{n+1}a_n \in \mathcal{O}_{\Qbar}.
\end{equation}
On peut prendre $b$ comme le plus petit commun multiple des dénominateurs des exposants de $L$ en 0.
\end{theo}
Grâce aux remarques ci-dessus, cet énoncé est inconditionnel si l'opérateur $L$ provient de la géométrie. L'équation \eqref{eq:denom} est ce qu'on l'on observe sur tous les exemples, même ceux pour lesquels il est compliqué de prouver rigoureusement qu'ils proviennent bien de la géométrie.
L'exposant $\mu-1$ est optimal au sens où l'on ne peut pas à la fois l'abaisser et garder un énoncé valable pour toute \Gfonction. Il est atteint pour le polylogarithme $\Li_{\mu-1}$ par exemple. En revanche, cet exposant est parfois beaucoup trop grand, puisque par exemple on a $c^{n+1}a_n \in \mathcal{O}_{\Qbar}$ si $F(z)$ est algébrique sur $\Qbar(z)$, indépendamment de l'ordre $\mu$ du $G$-opérateur.

Pour conclure cette partie, mentionnons le fait qu'il existe une théorie géométrique des \Gfonctions et des $G$-opérateurs de plusieurs variables, et que l'analogue du théorème d'André, Chudnovsky, Katz a été démontré dans ce cadre par Di Vizio \cite{luciadivizio}.

\subsection{Structure des \texorpdfstring{$E$}{E}-opérateurs} \label{ssec:eop}

Récemment, André \cite{andre1, andre2, andresurvol, bertrandsurvol} a vu comment exploiter la structure des $G$-opérateurs pour comprendre la nature des équations différentielles linéaires sur $\Qbar[z]$ satisfaites par les \Efonctions au sens strict. Son point de départ est le suivant. Donnons-nous une
\Efonction stricte $E(z)=\sum_{n= 0}^\infty \Psfrac{a_n}{n!} z^n\in \Qbar\lcr z\rcr$, avec $\vert a_n\vert \le C^{n+1}$ pour tout $n\ge 0$, et considérons la transformée de Laplace de $E(z)$:
$$
G(z):= \int_0^{+\infty} E(x)e^{-xz} dx.
$$
Cette intégrale converge absolument pour tout $z\!\in\!\CC$ tel que $\Re(z)\!>\!C$ et sous cette condition on peut échanger les signes somme et intégral. On obtient
$$
G(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}\int_0^{+\infty} x^n e^{-zx}dx=\sum_{n= 0}^\infty \frac{a_n}{z^{n+1}},
$$
c'est-à-dire que $G(z)$ est une \Gfonction de la variable $1/z$.

Il s'avère que l'on peut déterminer une équation différentielle linéaire sur $\Qbar[z]$ pour $G(z)$ à partir de celle de $E(z)$, et réciproquement, au moyen d'une transformation des opérateurs différentiels ainsi définie: à tout $M\in \Qbar[z][\sfrac{d}{dz}]$, on associe son transformé de Fourier-Laplace $\mathcal{F}(M)\in \Qbar[z][\sfrac{d}{dz}]$ en changeant formellement
$z$ en $-\sfrac{d}{dz}$ et $\sfrac{d}{dz}$ en $z$ dans $M$. Cet automorphisme de $\Qbar[z][\sfrac{d}{dz}]$ n'est pas involutif à cause du signe moins mais il est d'ordre 4. On a la propriété suivante: supposons que $L\in \Qbar[z][\sfrac{d}{dz}]$ soit d'ordre $\mu$ et tel que $LE(z)=0$, alors
$$
\bigg(\Big(\frac{d}{dz}\Big)^\mu\circ \mathcal{F}(L) \bigg)G(z)=0.
$$
Ces considérations ont conduit André à la
\begin{defiprop}[André \cite{andre1}]
Un opérateur $L\in \Qb[z][\sfrac{d}{dz}]$ est dit être un $E$-opérateur si son transformé de Fourier-Laplace $\mathcal{F}(L)\in \Qb[z][\sfrac{d}{dz}]$ est un $G$-opérateur.

Toute \Efonction stricte est annulée par un $E$-opérateur, qui est minimal pour elle en le degré en~$z$.
\end{defiprop}
La minimalité d'un $E$-opérateur en $z$ résulte de la minimalité des $G$-opérateurs en la variable $\sfrac{d}{dz}$ et du fait que la transformée de Fourier-Laplace échange essentiellement $z$ et $\sfrac{d}{dz}$. André a également montré que si $M\in \Qbar[z][\sfrac{d}{dz}]$ est un $G$-opérateur alors $L:=\mathcal{F}(M)$ est un $E$-opérateur.
Notons qu'il est en général faux que $\mathcal{F}^2(M)=M$ (au niveau des $G$-opérateurs) ou que $\mathcal{F}^2(L)=L$ (au niveau des $E$\nobreakdash-opérateurs).

Par exemple, posons-nous la question de savoir si
$$
L=z\Big(\frac{d}{dz}\Big)^2-(6z-1)\frac{d}{dz}+(z-3)
$$
est un $E$-opérateur. En utilisant la règle de commutation $\Psfrac{d}{dz}z=z\Psfrac{d}{dz}+1$, on vérifie que
\begin{align*}
N:=\mathcal{F}(L)&=-\frac{d}{dz}\,z^2-\Big(-6\frac{d}{dz}-1\Big)z+\Big(-\frac{d}{dz}-3\Big)\\
&=(-z^2+6z-1)\frac{d}{dz} -(z-3).
\end{align*}
Or la \Gfonction $g(z):=1/\sqrt{1-6z+z^2}$ est une solution locale en~$0$ de
$Ny(z)=0$. De plus, $N$ d'ordre~1 est évidemment minimal pour~$g$. Donc $N$ est un $G$-opérateur et, par définition, $L$ est bien un $E$\nobreakdash-opérateur.
Une solution de $Ly(z)=0$ est la \Efonction (stricte)
$$
E(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\bigg(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{n+k}{n}\bigg)z^n
$$
et l'on a
$$
\int_0^{+\infty} E(x)e^{-zx} dx = \sum_{n=0}^\infty \bigg(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{n+k}{n}\bigg)\frac1{z^{n+1}}=
\frac 1z\, g(\sfrac{1}{z}).
$$
Par ailleurs,
\begin{align*}
\mathcal{F}^2(L)=\mathcal{F}(N)&=
\Big(-\big(\frac{d}{dz}\big)^2-6\frac{d}{dz}-1\Big)z -\Big(-\frac{d}{dz}-3\Big)\\
&=-z\Big(\frac{d}{dz}\Big)^2-(6z+1)\frac{d}{dz}-(z+3)
\end{align*}
est un $E$-opérateur distinct de $L$ et, de même,
\begin{align*}
\mathcal{F}^3(L)=\mathcal{F}^2(N)&=\frac{d}{dz}\,z^2-\Big(-6\frac{d}{dz}+1\Big)z-\Big(-\frac{d}{dz}+3\Big)
\\
&=(z^2+6z+1)\frac{d}{dz} +(z+3)
\end{align*}
est un $G$-opérateur distinct de $N$.

\begin{theo}[André \cite{andre1}] \label{theo:structureeop} Soit $L\in \Qbar[z][\sfrac{d}{dz}]$ un $E$-opérateur d'ordre $\mu$.
\begin{enumerate}
\item
$L$ a au plus $0$ et $\infty$ comme singularités. $0$ est toujours au plus une singularité régulière avec des exposants dans $\Q$, tandis que $\infty$ est irrégulière en général.

\item
Étant donnée une \Efonction stricte, les singularités finies non nulles d'un opérateur de $\Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}]$ minimal (pour l'ordre) pour cette fonction sont apparentes.

\item
En $z=0$, $L$ admet une $\CC$-base de solutions de la forme
\begin{equation}\label{eq:baseE0}
\big(E_1(z), \ldots, E_\mu(z)\big)\cdot z^\Delta
\end{equation}
où $\Delta\in M_{\mu\times \mu}(\Qbar)$ est triangulaire supérieure avec valeurs propres rationnelles et où chaque $E_j(z)\in \Qbar\lcr z\rcr$ est une \Efonction stricte.
\end{enumerate}
\end{theo}
Une propriété générale de la transformée de Fourier-Laplace des opérateurs \emph{fuchsiens} est qu'elle \og envoie\fg leurs singularités finies à l'infini, et leur éventuelle singularité à l'infini en $0$. Cela explique une partie du point (i) ci-dessus en considérant le $G$-opérateur~$M$ tel que $\mathcal{F}(M)=L$. Que 0 soit la seule singularité finie signifie \og visuel\-le\-ment\fg que le polynôme en $z$ devant $(\sfrac{d}{dz})^\mu$ est une puissance entière de~$z$.

Un opérateur différentiel non nul d'ordre minimal d'une \Efonction est forcément un facteur à droite d'un $E$-opérateur. Comme ce dernier n'admet que 0 comme singularité finie, (ii) en
découle.\footnote{Il existe une notion de division interne dans $\CC(z)[\sfrac{d}{dz}]$ qui permet d'en factoriser les éléments, de manière non unique. Si l'on dispose d'une factorisation $L=MN$ avec $L,M, N \in \CC(z)[\sfrac{d}{dz}]$, toute solution de $Ny(z)=0$ est alors une solution de $Ly(z)=0$. Si une solution locale de $N$ un point donné n'est pas une série formelle, elle induit alors automatiquement une singularité de $L$ en ce même point.}

Le point (iii) est beaucoup plus compliqué à démontrer. L'idée est d'employer la transformée de Laplace inverse pour envoyer des solutions à l'infini d'un $G$-opérateur $M$ sur des solutions en
$0$ du $E$-opérateur $L=\mathcal{F}(M)$:~cela revient à envoyer des \Gfonctions sur des \Efonctions, éventuellement \og tordues\fg par des fonctions puissances et des puissances entières de logarithmes, comme dans \eqref{eq:ackG} et \eqref{eq:baseE0}. Comme les ordres de $M$ et $L$ ne sont en général pas égaux (puisque $z$ et $\sfrac{d}{dz}$ sont \og échangés\fg), il n'y a pas forcément assez de \Gfonctions pour construire une base de solutions de $L$. On doit alors utiliser les \emph{microsolutions} de $M$ pour construire d'autres solutions locales de $L$ en 0. On ne développera pas davantage ce point ici, voir pour cela \cite{andre1, firiAMJ, malgrange} par exemple.

André a également décrit une base spéciale de solutions du $E$\nobreakdash-opérateur $L$ à l'infini, où la singularité est irrégulière. Cette base fait systématiquement intervenir entre autres des séries formelles $\sum_{n=0}^\infty n!a_n z^{-n}\in \Qbar\lcr 1/z\rcr$ telles que $\sum_{n=0}^\infty (a_n/n!) z^n$ soit une \Efonction stricte. Il a nommé \emph{dualité} ce phénomène. Nous ne rentrons pas dans les détails ici et donnons seulement un exemple représentatif de la situation. Nous avons considéré dans la partie \ref{ssec:thmSS} les fonctions
$$\mathcal{E}(z):=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{z^n}{n!n} \quad \textup{et} \quad
\mathcal{G}(z):=\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{x+z}\,dx.
$$
On définit $\log(z)=\ln\vert z\vert+i\arg(z)$ avec $-\pi<\arg(z)< \pi$ et, pour tout $z\in \CC\setminus\, ]-\infty,0]$, on a alors
\begin{equation} \label{eq:E0infini}
\mathcal{E}(z)= -\gamma -\log(z) - e^{-z}\mathcal{G}(z).
\end{equation}
La \Efonction $\mathcal{E}(z)$ est une solution locale en $z=0$ de l'opérateur différentiel
$$
L:=z\Big(\frac{d}{dz}\Big)^3 +(z+2)\Big(\frac{d}{dz}\Big)^2 +\frac{d}{dz}.
$$
$L$ est un $E$-opérateur car
$$
\mathcal{F}(L)=-\frac{d}{dz}\,z^3+\Big(-\frac{d}{dz}+2\Big)z^2+z = z^2(1+z)\frac{d}{dz} + z(1+z)
$$
est un $G$-opérateur car on voit directement que la condition de \hbox{Galochkin} est satisfaite par $y'(z)=-\Psfrac{1}{z}y(z)$.
On vérifie ensuite que\vspace*{-5pt}\enlargethispage{\baselineskip}%
\[
1,\quad \log(z)\quad\text{et}\quad e^{-z}\mathcal{G}(z)=\int_z^{+\infty} \frac{e^{-x}}x dx
\]
sont aussi des solutions indépendantes sur $\CC$ de $L$, dont elles forment une $\CC$-base à l'infini. On peut donc interpréter \eqref{eq:E0infini} comme l'écriture d'une solution locale $\mathcal{E}(z)$ de $L$ en $z=0$ sur une base locale à l'infini.\footnote{Comme $1$, $\log(z)$ et $\mathcal{E}(z)$ forment aussi une $\CC$-base de solutions de $L$ en $z=0$, on peut également interpréter \eqref{eq:E0infini} comme l'écriture d'une solution locale $e^{-z}\mathcal{G}(z)$ de $L$ en $z=\infty$ sur une base locale en $0$.}
De plus, on a le développement asymptotique (au sens de Poincaré) lorsque $z\to \infty$ dans le secteur angulaire $\vert \arg(z)\vert <\pi$:\vspace*{-3pt}
$$
\mathcal{G}(z) \sim \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{n!}{z^{n+1}}
$$
qui est bien de la forme annoncée ci-dessus.

Pour conclure, mentionnons le résultat de structure suivant.
\begin{theo}[R.-Roques \cite{rivoalroques2}]\mbox{}\label{theo:rivoalroques}
\begin{enumerate}
\item
Soit $L\in \Qbar[z][\sfrac{d}{dz}]$ un
$E$-opérateur d'ordre $\mu$ dont $0$ est soit un point ordinaire soit une singularité apparente. Alors $L$ admet une $\CC$-base de solutions de la forme
$
P_1(z)e^{\beta_1 z}+ \cdots +P_\ell(z)e^{\beta_\ell z}$ où $\ell\le \mu$, $\beta_j\in \Qbar^*$ et $P_j(z)\in\Qbar[z]$ pour chaque~$j$.

\item
Soit $L\in \Qbar[z][\sfrac{d}{dz}]$ un
$E$-opérateur d'ordre $\mu$ tel que l'équation différentielle $Ly(z)=0$ admet en un point $\alpha\in \Qbar^*$ une solution locale non nulle de la forme $F(z-\alpha)$ avec $F(z)\in \Qbar\lcr z\rcr$ une \Efonction stricte. Alors
$
F(z)=P_1(z)e^{\beta_1 z}+ \cdots +P_\ell(z)e^{\beta_\ell z}$ où $\ell\le \mu$, $\beta_j\in \Qbar^*$ et $P_j(z)\in\Qbar[z]$ pour chaque~$j$.
\end{enumerate}
\end{theo}

Dans (ii), si l'on remplace partout $\Qbar$ par $\Q$, on a la même conclusion en supposant seulement que $F$ est une fonction entière.

\vspace*{-\baselineskip}\vskip0pt
\section{\texorpdfstring{$E$- et $G$-fonctions}{EG}, résultats diophantiens récents} \label{sec:EGdiorecents}

\subsection{Retour sur les valeurs des \texorpdfstring{\protect\Efonctions}{E}}\label{ssec:Efnfinal}

Grâce à sa théorie des $E$-opérateurs, André \cite{andre2} a réussi à donner une nouvelle preuve du théorème de Siegel-Shidlovskii (au sens strict) en se servant \og uniquement\fg des propriétés différentielles de ces opérateurs, et princi\-pa\-lement de leur conséquence donnée par le point (ii) du théorème~\ref{theo:structureeop}. Ce n'est pas un argument ordinaire en théorie de la transcendance. André a d'ailleurs qualifié sa méthode de \og transcendance sans transcendance\fg car il n'utilise pas les constructions classiques basées sur les appproximants de type Padé explicites ou ceux, inexplicites, construits avec le lemme de Siegel.

Pour illustrer cette méthode, donnons un exemple qu'André a indiqué à l'auteur. Nous allons montrer que, pour tout $\alpha \in \Q^*$, au moins un des deux nombres $J_0(\alpha)$ ou $J'_0(\alpha)$ est irrationnel,\footnote{On montre de façon similaire que si $\alpha \in \Q^*$ est tel que $J_0(\alpha)\neq 0$, alors $J'_0(\alpha)/J_0(\alpha)\notin \Q$.} au moyen d'un argument d'\og irrationalité sans irrationalité\fg. On sait bien sûr que ces deux nombres sont transcendants mais ce n'est pas le point ici. Supposons au contraire que ces deux nombres soient rationnels. Comme $J_0(z)$ est solution du $E$-opérateur $L:=z(\sfrac{d}{dz})^2+\sfrac{d}{dz}+z$,\footnote{$\mathcal{F}(L)=(z^2-1)\sfrac{d}{dz}-z$ est minimal pour la \Gfonction $\sqrt{1-z^2}$, donc $L$ est bien un $E$-opérateur.} on a $J_0(z)=\sum_{n=0}^\infty \Psfrac{u_n}{n!}(z-\alpha)^n$ avec $u_n\in \Q$ pour tout $n\ge 0$; une propriété générale des équations différentielles linéaires à coefficients dans $\Q(z)$ assure alors que $\sum_{n=0}^\infty \Psfrac{u_n}{n!}z^n$ est une \Efonction stricte (voir \cite[Prop.\,1]{rivoalroques2}). Par le théorème \ref{theo:rivoalroques}(ii) ci-dessus, $J_0(z+\alpha)$ est donc de la forme $P_1(z)e^{\beta_1 z}+ P_2(z)e^{\beta_2 z}$ avec $P_1, P_2$ des polynômes. Or c'est impossible: l'équation $(z+\alpha)y''(z)+y'(z)+(z+\alpha)y(z)=0$ est minimale pour $J_0(z+\alpha)$ et admet une solution non holomorphe en $z=-\alpha$ (notée $Y_0(z)$ dans la littérature \cite{handbook}), tandis que l'équation minimale satisfaite par $P_1(z)e^{\beta_1 z}+ P_2(z)e^{\beta_2 z}$ (d'ordre $\le 2$) admet en n'importe quel point une base locale de solutions holomorphes en ce point, simplement donnée par $P_1(z)e^{\beta_1 z}$ et $P_2(z)e^{\beta_2 z}$. Avec un argument supplémentaire en lien avec le problème~1 dans la partie \ref{sec:problemes}, cette démonstration se généralise pour montrer que si $\alpha \in \KK^*$ où $\KK$ est un corps quadratique imaginaire, alors au moins un des deux nombres $J_0(\alpha)$ ou $J'_0(\alpha)$ n'est pas dans $\KK$.\enlargethispage{\baselineskip}%


En un certain sens, une méthode de transcendance classique est implicitement présente dans celle d'André, puisque la démonstration du théorème \ref{theo:structureeop} utilise le théorème \ref{theo:ack} sur la structure des $G$-opérateurs. Or comme on l'a dit, la démonstration de ce dernier utilise des approximants de type Padé de type~II. Cela n'enlève évidemment rien à la valeur du point de vue développé par André, qui s'est avéré fécond. Il a en effet permis d'obtenir un raffinement \emph{opti\-mal} du théorème de Siegel-Shidlovskii homogène pour les \Efonctions strictes.
Un tel raffinement a d'abord été partiellement donné par Nesterenko et Shidlovskii \cite{nesterenkoShidlovskii}.

\begin{theo}[Théorème de relèvement de Nesterenko-Shidlovskii]\label{theo:nestshid}
Soit $Y(z)={}^t(F_1(z),$ $\ldots, F_n(z))$ un vecteur de \Efonctions au sens large, solution d'un système différentiel
$Y'(z)=A(z)Y(z)$ avec $A(z)\in M_{n\times n}(\Qbar(z))$.

Alors, il existe un ensemble fini $S$ (qui dépend de $Y$) tel que, pour tout $ \alpha\in \Qb\setminus S$, la propriété suivante ait
lieu: pour tout $P\in \Qbar[X_1,\ldots, X_n]$ homogène en $X_1, \ldots, X_n$ tel que
$$
P\big(F_1(\alpha),\ldots, F_n(\alpha)\big)=0,
$$
il existe $Q\in \Qbar[Z, X_1, \ldots, X_n]$ homogène en $X_1, \ldots, X_n$ tel que
$$
Q\big(z,F_1(z),\ldots, F_n(z)\big)=0 \quad \textup{et} \quad
Q(\alpha, X_1,\ldots, X_n)=P(X_1,\ldots, X_n).
$$
\end{theo}
Ce résultat affirme qu'une éventuelle relation polynomiale homogène entre les \emph{valeurs} $F_1(\alpha),\ldots, F_n(\alpha)$ s'obtient uniquement par spécialisation d'une relation polynomiale homogène entre les \emph{fonctions} $F_1(z),\ldots, F_n(z)$: on \og relève\fg toute relation numérique en une relation fonctionnelle.
Le défaut de ce théorème réside dans l'ensemble~$S$, qui est en principe calculable sur chaque exemple mais qui reste incon\-nu en général. Beukers \cite{beukersannals} a couplé la théorie d'André et la théorie de Galois différentielle pour le spécifier.

\begin{theo}[Théorème de relèvement de Beukers]\label{theo:beukers} On se place dans les hypothèses et notations du théorème \ref{theo:nestshid}. On~suppose de plus que les \Efonctions $F_1(z), \ldots, F_n(z)$ le sont au sens strict.

Alors, la conclusion du théorème \ref{theo:nestshid} a lieu avec $$S=\{\alpha \in \Qbar: \alpha T(\alpha)=0\},$$ où $T(z)$ est un dénominateur commun des coefficients de la matrice $A(z)$, de degré minimal.
\end{theo}
Ce théorème de relèvement de Beukers est donc un raffinement opti\-mal du théorème de Siegel-Shidlovskii homogène dans le cas strict. Donnons-en deux corollaires intéressants. Le premier est énoncé dans \cite[p.\,2 \&
p.\,9]{firiX} mais sa démonstration en avait été esquissée par l'arbitre de \cite{firiCMH} dans le cas où $\KK=\Q(i)$. Sa démonstration s'étend au cas général sans difficulté.
\begin{coro}[Dichotomie diophantienne] \label{coro:arbitre} Soient $\KK$ un corps de nombres et $F(z)\in \KK\lcr z\rcr$ une \Efonction stricte.

Alors pour tout $\alpha \in \Qbar$, soit $F(\alpha)\notin \Qbar$ soit $F(\alpha)\in \KK(\alpha)$.
\end{coro}
Par exemple, une \Efonction stricte à coefficients dans $\Q$ ne prend que des valeurs rationnelles ou transcendantes aux point rationnels. Ainsi, il n'existe aucune \Efonction stricte $F(z)\in \Q\lcr z\rcr$ telle que $F(1)=\sqrt{2}$.

Le second corollaire se déduit par contraposition du théorème \ref{theo:beukers} puisqu'une relation linéaire est une relation homogène de degré $1$.
\begin{coro}[Beukers]\label{coro1} On se place dans les conditions et notations du théorème \ref{theo:beukers}. On suppose de plus que les \Efonctions strictes $F_1(z), \ldots, F_n(z)$ sont linéairement indépendantes sur $\Qbar(z)$.

Alors pour tout
$\alpha\in \Qbar$ tel que $\alpha T(\alpha)\neq 0$, les nombres\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\[
F_1(\alpha), \ldots, F_n(\alpha)
\]
sont linéairement indépendants sur $\Qbar$.
\end{coro}
Ce résultat est celui évoqué dans la note de bas de page annoncée avant le théorème~\ref{theo:Eindlinalt}, ce dernier étant le meilleur résultat d'indépendance linéaire connu auparavant (mais il porte sur les \Efonctions au sens large).

La condition $\alpha T(\alpha)\neq 0$ est optimale dans le corollaire. En effet, si~ $\alpha=0$, les nombres $
F_1(\alpha), \ldots, F_n(\alpha)
$
sont tous algébriques donc liés sur $\Qbar$. Si par ailleurs $T(\alpha)=0$, la relation\vspace*{-3pt}
$$
0=\lim_{z\to \alpha}T(z)Y'(z)= \lim_{z\to \alpha}T(z)A(z)Y(z)
$$
implique que les nombres $F_1(\alpha), \ldots, F_n(\alpha)$ sont également liés sur $\Qbar$ puisque la matrice $\lim_{z\to \alpha}T(z)A(z) \in M_{n\times n}(\Qbar)$ n'est pas identiquement nulle.

Aussi puissants soient-ils, les énoncés des théorèmes de Siegel-Shidlovskii et de Beukers ne permettent pas toujours de décider la transcendance des valeurs de \Efonctions strictes. Étant donnés \hbox{$\alpha\in \Qbar$} et~$F_1(z)$ une \Efonction, supposons en effet que nous désirions savoir si $F_1(\alpha)$ est transcendant ou pas. Il y a deux obstructions immédiates.

\begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\item
Injectons $F_1(z)$ dans un vecteur $Y(z)={}^t(F_1(z),\ldots, F_n(z))$ satisfaisant à un certain système différentiel.\enlargethispage{2\baselineskip}%
\begin{itemize}
\item
Si
$\degtr_{\Qb(z)}\Qb(z)(F_1(z), \ldots, F_n(z))=n$, le théorème \ref{eq:thmss} assure en particulier que $F_1(\alpha)\notin \Qbar$ pour tout $\alpha \in \Qb$ tel que $\alpha T(\alpha)\neq 0$.
\item
En revanche, si
$m:=\degtr_{\Qb(z)}\Qb(z)(F_1(z), \ldots, F_n(z))<n$, alors il existe $m$ nombres transcendants parmi les $n$ nombres $F_1(\alpha), F_2(\alpha), \ldots, F_n(\alpha)$ mais rien ne dit que $F_1(\alpha)$ lui-même soit transcendant.
\end{itemize}

\item
Dans la même situation que précédemment, le théorème \ref{eq:thmss} ne dit rien sur la nature des nombres $F_k(\alpha)$ ($k=1, \ldots, n$) lorsque $T(\alpha)=0$.
\end{enumerate}

Peut-on quand même déterminer la nature arithmétique de $F_1(\alpha)$?
Adamczewski et l'auteur \cite{adamczewskirivoal} ont apporté la réponse suivante à cette question.

\begin{theo}[Adamczewski-R.] \label{theo:batr} Il existe un algorithme qui réalise les tâches suivantes.

Étant donnée une \Efonction stricte $F(z)$ en entrée, il commence par déterminer si $F(z)$ est transcendante sur $\Qbar(z)$ ou pas. Si elle ne l'est pas, il affiche le polynôme $F(z)$ en sortie. Si elle l'est, il poursuit et affiche en sortie la liste finie des $\alpha\in \Qbar$ tels que $F(\alpha)\in \Qbar$, ainsi que la liste correspondante des valeurs $F(\alpha)$.
\end{theo}
Afficher un nombre algébrique $\alpha$ signifie: expliciter un polynôme $P(X)\in \Z[X]$ tel que $P(\alpha)=0$ et donner une approximation numérique de $\alpha$ permettant de le distinguer des autres racines complexes de~$P$.
Sans rentrer dans les détails, indiquons que la démonstration de ce résultat utilise la borne de Grigoriev \cite{grigoriev} ou celle de \cite{brs} sur le degré en $z$ des facteurs à droite
des opérateurs de $\Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}]$, un \og lemme de zéros\fg de Bertrand-Beukers \cite{bertrandbeukers}\footnote{Dans la situation du théorème de Siegel-Shidlovskii, si l'on se donne des polynômes $P_1, \ldots, P_n\in \CC[z]$, ce lemme produit un entier explicite $N$ tel que si l'on vérifie que l'ordre en $z=0$ de $R(z):=\sum_{j=1}^n P_j(z)F_j(z)$ est $\ge N$, alors on est assuré que $R(z)$ est identiquement nul.}, une procédure algo\-ri\-thmique de désingularisation des systèmes différentiels\footnote{Partant d'un système $Y'(z)=A(z)Y(z)$ avec $A(z)\in M_{n\times n}(\CC(z))$, cette procédure détermine un système différentiel \og équivalent\fg $Y'(z)=B(z)Y(z)$ avec $B(z)\in M_{n\times n}(\CC(z))$ dont aucun pôle des coefficients n'est une singularité apparente.} et le corollaire~\ref{coro1} de Beukers énoncé ci-dessus.

André \cite[p.\,6, Cor.\,1.7.1]{andreens} a étendu le théorème de relèvement de Beukers au cas des \Efonctions au sens large (et même dans un cadre encore plus général), obtenant ainsi un raffinement optimal du théorème de Siegel-Shidlovskii homogène.
\begin{theo}[André]\label{theo:andreSS} On se place dans les hypothèses et notations du théorème \ref{theo:nestshid}.

Alors la conclusion du théorème \ref{theo:nestshid} a lieu avec $S=\{\alpha \in \Qbar: \alpha T(\alpha)=0\}$, où $T(z)$ est un dénominateur commun des coefficients de la matrice $A(z)$, de degré minimal.
\end{theo}
Les corollaires \ref{coro:arbitre} et \ref{coro1} s'étendent donc aux \Efonctions au sens large.
La démonstration du théorème \ref{theo:andreSS} n'utilise pas la théorie des $E$-opérateurs comme l'avait fait Beukers mais des arguments très généraux relevant de la théorie de Galois différentielle.  Citons enfin l'article de Fischler et l'auteur \cite{firinouveau} qui présente un algorithme permettant de déterminer les valeurs algébriquement liées sur $\Qbar$ des valeurs (en des points algébriques) de \Efonctions algébriquement indépendantes sur $\Qbar(z)$.

\subsection{Retour sur les valeurs des \texorpdfstring{\protect\Gfonctions}{G}} \label{ssec:Gfnfinal}

On a énoncé dans la partie \ref{ssec:polylog} le
théorème~\ref{theo:indeppolylog} qui affirme que pour tout entier $q$ et tout entier $s\!\ge\!1$ tels que $\vert q\vert \!>\!e^{s^2}$, les nom\-bres $1, \Li_1(1/q), \ldots, \Li_s(1/q)$ sont linéairement indépendants sur~$\Q$. Plus généralement, étant donné un rationnel $a/b\neq 0$,
les nombres $1, \Li_1(a/b), \ldots, \Li_s(a/b)$ sont linéairement indépendants sur $\Q$ pourvu que $\vert b\vert$ soit beaucoup plus grand que $\vert a\vert$ (cette condition dépendant de $s$). En particulier, $\vert a/b\vert$ est alors beaucoup plus petit que $1$, le rayon de convergence des séries $\Li_j$.

Plus récemment, des résultats d'une nature différente ont été obtenus. Le point de vue est en quelque sorte dual du précédent: on perd l'indépendance linéaire sur $\Q$ de tous les nombres $1, \Li_1(a/b), \ldots, \Li_s(a/b)$ mais l'on gagne le fait que $a/b$ est un rationnel quelconque satisfaisant à $0<\vert a/b\vert<1$. On peut même remplacer $a/b$ par un nombre algébrique.

\begin{theo}[Marcovecchio \cite{marcovecchio1}]\label{theo:marcov}
Soit $\alpha\in \Qbar$ tel que $0<\vert \alpha\vert <1$. Lorsque $s\to +\infty$, on~a\vspace*{-3pt}
\begin{multline} \label{eq:minordimpolylog}
\dim_{\Q(\alpha)}\!\textup{Vect}_{\Q(\alpha)}\big(1, \Li_1(\alpha), \ldots, \Li_s(\alpha)\big)\\[-5pt]
\ge
\frac{1+o(1)}{[\Q(\alpha):\Q]\ln(2e)}\,\ln(s).
\end{multline}
\end{theo}
L'auteur \cite{rivoalbordeaux} avait obtenu le même énoncé mais avec l'hypothèse supplémentaire que $\alpha\in \Qbar \cap\RR$. La démonstration de ce dernier résultat utilise la série
$$
S_{n}(z)=\sum_{k=1}^\infty \frac{(k-1)(k-2)\cdots (k-rn)}{k^s(k+1)^s\cdots (k+n)^s}\,z^{k+n}
= \mathcal{O}(z^{(r+1)n+1}),
$$
où $r,s,n$ sont des entiers positifs.
En décomposant en éléments simples la fraction rationnelle $(k-rn)_{rn}/(k)_{n+1}^s$, on montre aisément qu'il existe des polynômes (explicitables) $P_{0,n}, P_{1,n}, \ldots, P_{s,n}\in \Q[z]$, de degré au plus $n$, tels que\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}%
$$
S_{n}(z) = P_{0,n}(z)+\sum_{j=1}^s P_{j,n}(z)\Li_j(z).
$$
La série $S_{n}(z)$ produit donc des approximants \emph{explicites} de type Padé de type~I pour les polylogarithmes. Grâce aux formules explicites, on sait contrôler finement, en fonction de $r$ et $s$, la croissance des $\vert P_{j,n}(\alpha)\vert$ et la décroissance de $\vert S_n(\alpha)\vert $ lorsque $n\to +\infty$. Lorsque \hbox{$\alpha \in \Q$}, le critère d'indépendance linéaire sur $\Q$ donné par la proposition \ref{prop:critnes} dans la partie \ref{sec:critirrat} permet alors de minorer le rang sur $\Q$ de la famille $(1, \Li_1(\alpha), \ldots, \Li_s(\alpha))$ en fonction de $r$ et $A$; le choix optimal $r=[s/\ln(s)^2]$ produit alors la minoration \eqref{eq:minordimpolylog}. On utilise un critère similaire dans le cas général $\alpha \in \Qbar \,\cap \RR$ (voir par exemple \cite{firiEMS}). La démonstration du théorème \ref{theo:marcov} est un raffinement de l'esquisse précédente. La principale difficulté est alors de prouver la non-nullité de $S_n(\alpha)$, ce que l'on fait en construisant plusieurs séries similaires à $S_n$ et en concluant par une méthode proche de celle de Siegel et Shidlovskii pour les \Efonctions.

Le théorème \ref{theo:marcov} a très récemment été généralisé de la façon suivante. Soient $\KK$ un corps de nombres et
$F(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k \in \KK\lcr z\rcr$ une \Gfonction dont le rayon de convergence est $R>0$. Pour tous entiers
$n\ge 1$ et $s\ge 0$, on définit les \Gfonctions\vspace*{-3pt}
\begin{equation*}
F_n^{[s]}(z):=\sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{(k+n)^s}\,z^{k+n}.
\end{equation*}
Pour tout $S\ge 0$ et tout $\alpha\in\K$ tel que $0<|\alpha|<R$, posons\vspace*{-3pt}
$$
\Phi_{\alpha,S}:=\textup{Vect}_\K \big(F_n^{[s]}(\alpha); n\ge 1, 0\le s \le S\big).
$$
Si $F$ est polynôme, alors $\Phi_{\alpha,S} \subset \KK$.
\begin{theo}[Fischler-R. \cite{firiEMS}]\label{theo:firi1}
Supposons que $F$ ne soit pas un poly\-nôme. Il existe une constante $c_1>0$ et des entiers explicitables $c_2, c_3 \ge 1$ (dépendant de $F$ uniquement) tels que pour tout $\alpha\in \K$, $0< |\alpha| <R$,\vspace*{-5pt}
\begin{equation*}
\frac{1+o(1)}{c_1[\K:\Q]} \log(S) \le \dim_{\K} (\Phi_{\alpha,S}) \le c_2 S+ c_3,
\end{equation*}
où le $o(1)$ est lorsque $S\to +\infty$.
\end{theo}
On retrouve le théorème \ref{theo:marcov} avec $F(z)=\spfrac{1}{1-z}$.
Dans \cite{firipreprint}, ce~résultat a même été généralisé en des points $\alpha\in \Qbar$ pour lesquels les séries ne convergent pas et en utilisant à la place le prolongement analytique des \Gfonctions $F_n^{[s]}(z)$ pour définir $F_n^{[s]}(\alpha)$.
Mentionnons que le théorème \ref{theo:ack} d'André, Chudnovsky et Katz sur la structure des $G$-opérateurs est crucial pour parvenir à montrer que
la série\vspace*{-3pt}
$$
T_n(z):=\sum_{k=1}^\infty \frac{(k-rn)_{rn}}{(k)_{n+1}^S}\,a_kz^{k+n}
$$
permet de construire des approximants explicites de type Padé de type~I des fonctions $F_n^{[s]}(z)$ ($1\le s\le S$) et des dérivées de $F$. La~preuve du théorème \ref{theo:firi1} suit alors la trame de celle du théorème~\ref{theo:marcov} mais elle est techniquement beaucoup plus compliquée, en particulier parce qu'elle nécessite d'appliquer la méthode du col à une représentation intégrale de $T_n(z)$ pour en estimer le comportement asymptotique quand $n\to +\infty$.

Ce théorème admet l'intéressant corollaire suivant, qui est un cas où $c_2=1$.
\begin{coro}\label{coro:2}\label{coro:firi2} Fixons $a_1, \ldots, a_{p+1}\in \Q$ et $b_1, \ldots, b_{p}\in \Q$ tels que
$a_i \not\in\Z\setminus\{1\}$ et $b_j\not\in \Z_{\le 0}$ pour tout $i,j$.

Alors, pour tout
$\alpha\in\Qbar$ tel que $0<|\alpha|<1$, une infinité des valeurs hypergéométriques\vspace*{-3pt}
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^\infty \frac{(a_1)_k(a_2)_k\cdots (a_{p+1})_k}{(1)_k(b_1)_k\cdots (b_p)_k} \frac{\alpha ^k}{(k+1)^s},
\quad s\in \NN,
\end{equation*}
sont linéairement indépendantes sur $\Q(\alpha)$.
\end{coro}
On connaît très peu de valeurs de \Gfonctions évaluées en un point algébrique qui soient transcendantes. On connaît la transcendance des valeurs de la \Gfonction $\log(1-z)$ \emph{via} l'étude de sa \og réciproque\fg, la \Efonction $\exp(z)$, mais pas par une étude directe. La méthode de Siegel, Galochkin, Bombieri et Chudnovsky pour les \Gfonctions n'est pas assez forte pour produire une seule valeur transcendante d'une \Gfonction. Toutefois, André \cite{andrecrelle} a réussi à introduire un ingrédient supplémentaire dans cette méthode (qu'il a appelé \og uniformisation adélique simultanée\fg), ce qui lui a permis de démontrer en 1996 le
\begin{theo}[André] \label{theo:andrechud} Soit $\alpha \in \Qbar$ tel que $0<\vert \alpha \vert <1$. Les nombres
\begin{equation}\label{eq:serieandre}
{}_2F_{1}
\biggl[
\begin{matrix}
1/2, 1/2
\\
1
\end{matrix}
\,; \alpha \biggr] \quad \textup{et} \quad {}_2F_{1}
\biggl[
\begin{matrix}
-1/2, 1/2
\\
1
\end{matrix}
\,; \alpha \biggr]
\end{equation}
sont algébriquement indépendants sur $\Q$.
\end{theo}
Sur cet exemple, la mise en \oe{}uvre de l'uniformisation adélique simultanée exploite le lien profond entre ces deux séries hypergéométriques, les périodes de courbes elliptiques et les formes modulaires (voir \eqref{eq:hypermodulaire} ci-dessous). Malheureusement, aucun autre exemple d'application fondamentalement différent n'a été découvert depuis. \hbox{Notons} qu'André a aussi démontré une version $p$-adique du théorème~\ref{theo:andrechud}.

Un corollaire du théorème \ref{theo:andrechud} est l'indépendance algébrique sur~$\Q$ des nombres $\pi$ et $\Gamma(1/4)^4$, qui est aussi une conséquence d'un théorème de Chudnovsky \cite{chudnovskyGamma} sur les fonctions elliptiques démontré en 1980 par une méthode de transcendance sans rapport direct avec les \Gfonctions. À la connaissance de l'auteur, on ne connaît pas à ce jour trois nombres algébriquement indépendants sur $\Q$ qui soient des valeurs de \Gfonctions en des points algébriques. Le contraste avec le théorème de Siegel-Shidlovskii sur les valeurs de \Efonctions est frappant. On peut d'ailleurs construire des exemples simples qui montrent que l'analogue exact pour les \Gfonctions du théorème de Siegel-Shidlovskii est
faux, voir~\cite{rivoalhardyramanujan}. Des séries hypergéométriques transcendantes peuvent également prendre des valeurs algébriques en des points algébriques:\vspace*{-3pt}
\begin{gather*}
{}_2F_{1}
\biggl[
\begin{matrix}
1/3, 2/3
\\
5/6
\end{matrix}
\,; \frac{27}{32}\biggr] = \frac85, \qquad
{}_2F_{1}
\biggl[
\begin{matrix}
1/6, 1/2
\\
2/3
\end{matrix}
\,; \frac{125}{128}\biggr] = \frac43 \sqrt[6]{2},
\\
{}_2F_{1}
\biggl[
\begin{matrix}
1/12, 5/12
\\
1/2
\end{matrix}
\,; \frac{1323}{1331}\biggr] = \frac34 \sqrt[4]{11},\\
{}_2F_{1}
\biggl[
\begin{matrix}
1/12, 5/12
\\
1/2
\end{matrix}
\,; \frac{392}{253^3}(44372-1767\sqrt{3})\biggr] = \frac{2}{3}\sqrt[4]{21+20 \sqrt{3}}.
\end{gather*}
Ces évaluations sont difficilement
prévisibles \emph{a priori} puisqu'une \hbox{légère} variation des paramètres peut produire un nombre transcendant, tel que\vspace*{-3pt}
$$
{}_2F_{1}
\biggl[
\begin{matrix}
7/12, 11/12
\\
3/2
\end{matrix}
\,; \frac{1323}{1331}\biggr] = \frac{11^{7/4}\,\Gamma(1/4)^4}{336 \,\pi^2}.
$$
Ces évaluations exotiques, parmi beaucoup d'autres \cite{beukersalg, joyce}, décou\-lent essentiellement du lien entre formes modulaires et certaines séries hypergéométriques. Considérons par exemple
les séries d'Eisenstein
\begin{gather*}
E_2(q)=1-24\sum_{n=0}^\infty \frac{n q^n}{1-q^n}, \qquad E_4(q)=1+240\sum_{n=0}^\infty \frac{n^3 q^n}{1-q^n}, \\ E_6(q)=1-504\sum_{n=0}^\infty \frac{n^5 q^n}{1-q^n},
\end{gather*}
l'invariant modulaire $J(q)\!=\!1728\spfrac{E_4(q)^3}{E_4(q)^3\!-\!E_6(q)^2}$ (pour \hbox{$q\!\in\!\CC$} tel que $0<\vert q\vert<1$) et la \Gfonction\enlargethispage{-2\baselineskip}
$$
F(z):={}_2F_{1}
\biggl[
\begin{matrix}
1/12, 5/12
\\
1
\end{matrix}
\,; z\biggr]^2={}_3F_{2}
\biggl[
\begin{matrix}
1/12, 1/6, 5/6
\\
1, 1
\end{matrix}
\,; z\biggr].
$$
En notant $z(q)=1728/J(q)$ et en supposant $\vert q\vert$ assez proche de 0 pour que $\vert z(q)\vert<1$, on~a
\begin{equation}\label{eq:hypermodulaire}
\begin{gathered}
E_2(q)= \sqrt{1-z(q)} \left(F\big(z(q)\big)+6z(q)F'\big(z(q)\big)
\right), \\
E_4(q)=F\big(z(q)\big)^2, \qquad E_6(q)=\sqrt{1-z(q)}F\big(z(q)\big)^3.
\end{gathered}
\end{equation}
Les identités pour $E_4$ et $E_6$ sont démontrées dans \cite{stiller}, tandis que celle pour $E_2$ l'est dans \cite{periwe}. Les évaluations exotiques ci-dessus proviennent d'identités similaires à \eqref{eq:hypermodulaire} et de ce que $j(\tau):=J(e^{2i\pi \tau})$ est un entier algébrique pour tout nombre quadratique $\tau$ tel que $\Im(\tau)>0$ (voir \cite{schneider} pour les propriétés diophantiennes de $j$).
Il~existe également des \Gfonctions transcendantes qui prennent des valeurs algébriques sur un ensemble dense de nombres algébriques dans leur disque de convergence \cite{wolfart}.

Compte tenu de la conjecture de Bombieri-Dwork liant \Gfonctions et périodes, il est en fait probable que les relations polynomiales sur $\Qbar$ entre valeurs de \Gfonctions aux points algébriques soient décrites par \emph{la conjecture des périodes de Grothendieck}, qui est largement ouverte. Voir \cite[Chap.\,23]{andremotifs} pour la présentation de cette conjecture au moyen du groupe de Galois motivique absolu, qui étend aux périodes l’action de $\Gal(\Qbar/\Q)$ sur les nombres algébriques.

\Subsection{Mesures d'irrationalité de valeurs de \texorpdfstring{$E$}{E}- et \texorpdfstring{\protect\Gfonctions}{G}}\label{ssec:mesureEG}

Comme avec les approximants explicites, les approximants de Padé inexplicites permettent de déterminer des mesures d'irrationalité, d'indépendance linéaire ou de transcendance le cas échéant des valeurs de $E$- ou \Gfonctions. Voir par exemple \cite[Chap.\,11 à~13]{Shidlovskii} pour les \Efonctions.
Comme l'indique Shidlovskii \cite[p.\,405]{Shidlovskii}, ces mesures ont longtemps souffert d'une certaine réputation d'inef\-fec\-tivité\footnote{c'est-à-dire qu'on ne sait pas calculer toutes les constantes qui apparaissent.}) due à celle de la méthode originelle de Shidlovskii. Cette réputation n'a maintenant plus lieu d'être car cette méthode a été rendue effective à la suite de divers travaux d'André, Bertrand, Beukers, Chirskii, Chudnovsky, Osgood, Yebbou \cite{andrelivre, bertrandbeukers, bertrandchirskyyebbou, osgood} entre autres. De ce fait, toutes les constantes qui apparaissent dans les trois énoncés ci-dessous pourraient être explicitées.

Zudilin a obtenu des mesures d'irrationalité aussi bien des valeurs de \Efonctions que de \Gfonctions.
\begin{theo}[Zudilin \cite{zudilinEmes}]\label{theo:zud1} Soit $Y(z)={}^t(F_1(z), \ldots, F_n(z))$ un vecteur de \Efonctions de $\Q\lcr z\rcr$ solution du système différentiel $Y'(z)=A(z)Y(z)+B(z)$, où $A(z)$ et $B(z)\in M_{n\times n}(\Q(z))$. Supposons que
$F_1(z), \ldots,F_n(z)$ soient algébriquement indépendantes sur $\CC(z)$. Soit $a/b \in \Q^*$ qui n'est pas un pôle des matrices $A(z)$ et $B(z)$.

Alors il existe deux constantes $Q, \kappa>0$, qui dépendent de $Y$ et $a/b$, telles que pour tout entier $q\ge Q$ et tout $p\in \Z$ on ait
\begin{equation}\label{eq:zud1}
\Bigl\vert F_j(\sfrac ab) - \frac{p}{q}\Bigr\vert > \frac{1}{q^{2+\kappa\cdot (\ln\ln(q))^{-1/(n+1)}}}, \quad j=1, \ldots, n.
\end{equation}
\end{theo}

\begin{theo}[Zudilin \cite{zudilinGmes}]\label{theo:zud2} Soit
\[
Y(z)={}^t(F_1(z), \ldots, F_n(z))
\]
un vecteur de \Gfonctions de $\Q\lcr z\rcr$ solution du système différentiel $Y'(z)=A(z)Y(z)+B(z)$, où $A(z)$ et $B(z)\in M_{n\times n}(\Q(z))$. Supposons soit que $n=2$ et que $1,F_1(z), F_2(z)$ sont linéairement indépendantes sur $\CC(z)$, soit que $n\ge 3$ et
$F_1(z), \ldots,F_n(z)$ sont algébriquement indépendantes sur $\CC(z)$. Soit $\eps > 0$ et $a\in \Z$, $a\neq 0$.

Il existe deux constantes $B(\varepsilon, a, Y)\ge 0$ et $Q(\varepsilon, Y)\ge 0$ satisfaisant aux propriétés suivantes. Soit $b\in \Z$ tel que $b\ge B(\varepsilon, a, Y)$. Alors $F_j(a/b)\notin \Q$ et pour tout $p\in \Z$ et tout entier $q\ge Q(\varepsilon, Y)$, on a\vspace*{-3pt}\enlargethispage{.5\baselineskip}
\begin{equation}\label{eq:zud2}
\Bigl\vert F_j(\sfrac ab) - \frac{p}{q} \Bigr\vert > \frac{1}{q^{2+\eps}}, \quad j=1, \ldots, n.
\end{equation}
\end{theo}
Bien que superficiellement similaires, les mesures \eqref{eq:zud1} et \eqref{eq:zud2} sont très différentes. En effet, pour s'approcher de 2 dans \eqref{eq:zud2}, il~faut prendre $b$ et $q$ de plus en plus grands. En revanche, le 2 dans \eqref{eq:zud1} ne dépend essentiellement pas de $a$ et $b$ fixés, au sens où l'on s'en approche en prenant seulement $q$ de plus en plus grand. C'est une illustration de l'état très avancé de la théorie diophantienne des valeurs de \Efonctions alors que celle des valeurs de \Gfonctions est très incomplète; voir les remarques à la fin de la partie \ref{ssec:Gfnfinal}.

Il est également intéressant de mesurer l'écart entre un irrationnel~$\alpha$ donné et des nombres rationnels d'une forme spécifique. En~particulier, on utilise souvent les rationnels $b$-adiques, c'est-à-dire de la forme $n/b^m$, car une telle \og mesure d'approximation restreinte\fg donne des renseignements sur la répartition des chiffres du développement de $\alpha$ en base $b$. On dispose d'un résultat pour les \Gfonctions.

\begin{theo}[Fischler-R. \cite{firimanuscripta}] \label{theo:firi2}
Soit $F(z)\in \Q\lcr z\rcr$ une \Gfonction telle que $F(z)\not\in\Q(z)$. Soit $\eps > 0$
et $a\in \Z$, $a\neq 0$. Il existe deux constantes $B(\varepsilon, a, F)\ge 1$ et $M(\varepsilon, F)\ge 0$ satisfaisant aux propriétés suivantes.

Soit $b\in \Z$ tel que $b\ge B(\varepsilon, a, Y)$. Alors $F(a/b)\not\in\Q$ et pour tous $n\in \Z$ et $m\ge M(\varepsilon, F)$, on a\vspace*{-3pt}
$$
\Bigl\vert F(\sfrac ab) - \frac{n}{b^m} \Bigr\vert > \frac1{b^{m(1+\eps)}}.
$$
\end{theo}
Le principal défaut des théorèmes \ref{theo:zud2} et \ref{theo:firi2} est de ne pas s'appliquer à tous les rationnels $a/b$ en lesquels les nombres $F(a/b)$ et $F_j(a/b)$ sont définis. Par exemple, on ne connaît ainsi
pas de \Gfonction $F$ et de rationnel $a/b$ tels que l'un ou l'autre de ces théorèmes s'applique à $F(a/b)=\pi$.

Les démonstrations de ces trois théorèmes utilisent des approximants inexplicites de type Padé de type~II non diagonaux auxquels on applique le schéma de démonstration donné après la proposition \ref{prop:mesirrat} de la partie \ref{ssec:mesure}. La principale difficulté est d'assurer la non-nullité des approximations ainsi construites, ce qui découle d'arguments à la Siegel-Shidlovskii.
Il existe des résultats plus fins pour les fonctions $(1-z)^s$ et $\log(1-z)$, qui ont été obtenus par Bennett \cite{bennett}, Beukers \cite{beukersthese} et l'auteur \cite{rivoallogrestreint} entre autres en utilisant les approximants de Padé explicites non diagonaux de ces fonctions.

\section{Quelques problèmes}\label{sec:problemes}

En plus des conjectures classiques déjà mentionnées dans le texte, nous donnons quelques problèmes ouverts autour des $E$- et \Gfonctions. Ils ont presque tous déjà été mentionnés dans des articles parus.\enlargethispage{\baselineskip}%

\subsubsection*{Problème 1} La notion de \og quasi-\Efonctions\fg a été définie dans \cite{rivoalroques1} en affaiblissant la définition~\ref{def:efunc} des \Efonctions de la \hbox{manière} suivante: on garde (i) et (iii) mais on remplace (ii) par une condition~(ii)$'$ où l'on demande seulement que $\vert a_n \vert \le n!^{\varepsilon}$ pour tout $\varepsilon>0$ et tout $n\ge N(\varepsilon)$, et l'on oublie les autres automorphismes galoisiens. Donner un exemple de quasi-\Efonction qui ne soit pas une \Efonction. Notons qu'une quasi-\Efonction à coefficients dans un corps quadratique (galoisien) imaginaire $\KK=\Q(i\sqrt{d})$ est une \Efonction, où $d\ge 1$ entier sans facteur carré.
En effet,
donnons-nous \hbox{$F(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n/n! \in \KK\lcr z\rcr$} une quasi-\Efonction: comme $\Gal(\KK/\Q)=\{\textup{identité}, \textup{conjugaison complexe}\}$, on a $\vert \sigma(a_n)\vert = \vert a_n\vert$ pour tout $n\ge0$ et tout $\sigma \in \Gal(\KK/\Q)$, et $F$ est donc une \Efonction. En revanche,
le problème est ouvert pour les quasi-\Efonctions à coefficients dans un corps quadratique réel, tel que $\Q(\sqrt{2})$.

On définit de façon similaire les notions de \og quasi-\Efonctions au sens strict\fg, de \og quasi-\Gfonctions\fg et de \og quasi-\Gfonctions au sens large\fg, pour lesquelles le même problème se pose.

\subsubsection*{Problème 2} On reprend les notations utilisées lorsque nous avons évoqué la condition de Galochkin dans la partie \ref{ssec:Gfn}. Celle-ci demande qu'une suite d'entiers $(Q_k)_{k\ge 1}$ liée à une matrice $A(z)\in M_{n\times n}(\Qbar(z))$ satisfait à $1\le Q_k\le C ^{k}$ pour tout entier $k\ge 1$. Définissons la constante de Galochkin de $A$ (ou taille de $A$) par\vspace*{-3pt}
$$
\sigma(A):=\limsup_{k\to +\infty} \frac{1}{k} \ln(Q_k),
$$
qui est donc finie.
Le théorème \ref{theo:chud2} de Chudnovsky permet en fait de borner très explicitement $\sigma(A)$ à partir de la connaissance d'un vecteur de \Gfonctions indépendantes sur $\CC(z)$ et solution du système (voir \cite[p.\,299]{dworklivre}). Est-il quand même possible de borner directement $\sigma(A)$ si l'on ne connaît pas explicitement un tel vecteur?

\subsubsection*{Problème 3} Il est facile de créer une \Efonction transcendante prenant des valeurs algébriques données en des valeurs algébriques données: il suffit de considérer $p(z)+q(z)e^z$ où $p(z),q(z) \in \Qbar[z]$ sont bien choisis. Notons que l'exponentielle est \og purement transcendante\fg au sens où elle ne prend que des valeurs transcendantes aux points algébriques non nuls. Ce type de représentation est en fait général. Beukers \cite{beukersannals} a montré qu'étant donnés une \Efonction stricte $F(z)\in \Qbar\lcr z\rcr$ et $\alpha \in \Qbar$ tels que $F(\alpha)\in \Qbar$, la fonction $\pspfrac{F(z)-F(\alpha)}{z-\alpha}$ est encore une \Efonction. Ce fait est l'un des ingrédients de son théorème \ref{theo:beukers} de relèvement. En le combinant au corollaire \ref{coro1} dans la partie \ref{ssec:Efnfinal}, on peut en déduire la propriété suivante (voir les détails dans \cite{rivoalEnote}).
\begin{prop} Pour toute \Efonction stricte $F(z)$, il existe des poly\-nômes  $p(z), q(z)\in \Qbar[z]$ et une \Efonction stricte $f(z)$ purement transcendante tels que $F(z)=p(z)+q(z)f(z)$.
\end{prop}
Peut-on estimer le nombre de \Efonctions strictes purement transcendantes parmi toutes les \Efonctions strictes solutions des opérateur de $\Qbar[z][\sfrac{d}{dz}]$ de degré et ordre donnés?
Par ailleurs, on sait que le coefficient dominant d'un $E$-opérateur est de la forme $z^b$: peut-on déterminer la nature des \Efonctions solutions d'un $E$-opérateur pour les petites valeurs de l'entier $b\ge 0$?

\subsubsection*{Problème 4} André a esquissé dans  \cite{andre2} la théorie des $G$-opérateurs au sens large. Il a montré qu'un tel opérateur $L\in \Qbar(z)[\sfrac{d}{dz}]$ est fuchsien avec des exposants rationnels. Des arguments standard montrent qu'en tout point ordinaire, il existe une $\CC$-base locale composée de \Gfonctions au sens large. Peut-on compléter son étude aux points singuliers de fa\c{c}on à obtenir un analogue complet du théorème \ref{theo:ack} d'André, Chudnovsky et Katz ? Quelles conséquences peut-on en dédui\-re pour la théorie sous-jacente des $E$-opérateurs au sens large ainsi que pour les propriétés diophantiennes des \Efonctions  ? 

\subsubsection*{Problème 5} Curieusement, un analogue du théorème \ref{theo:firi2} n'est connu pour aucune valeur de \Efonctions aux rationnels, pas même pour le nombre $e$. Les conditions de (dé)croissance en $C^n$ ou $C^{-n}$ des suites d'approximants simultanés de type Padé de type~I ou II des \Gfonctions sont très bien adaptées pour déterminer une mesure d'approximation restreinte avec des fractions de la forme $n/b^m$. En revanche, il a été remarqué dans \cite{firimanuscripta} que les conditions de (dé)croissance en $n!$ ou $1/n!^s$ des suites d'approximants simultanés de type Padé de type~I ou II des \Efonctions ne permettent pas de déterminer une mesure d'approximation restreinte avec les fractions $n/b^m$ qui soit meilleure que celle déduite de la mesure d'irrationalité donnée par le théorème \ref{theo:zud1} de Zudilin avec $p/q=n/b^m$. Peut-on prouver au moins pour le nombre~$e$ que, pour tout $\varepsilon>0$ et tous entiers $n\in \Z$ et $m$ assez grand, on a $\vert e-\sfrac{n}{b^m} \vert \ge \sfrac{1}{b^{m(1+\varepsilon)}}$?

\subsubsection*{Problème 6} Fischler et l'auteur ont défini dans \cite{firiX} l'ensemble des $E$-valeurs, noté $\boldsymbol{E}$, comme l'ensemble de toutes les valeurs des \Efonctions au sens strict en des points algébriques. Il est facile de montrer que $\boldsymbol{E}$ est un sous-anneau dénombrable de $\CC$ et que le groupe $\boldsymbol{E}^*$ des unités de $\boldsymbol{E}$ contient les nombres $\alpha e^{\beta}$ ($\alpha\in \Qbar^*$, $\beta\in \Qbar$). L'ensemble de ces nombres est évidemment un sous-groupe multiplicatif de $\boldsymbol{E}^*$, que l'on note $\boldsymbol{e}$.
Est-ce que $\boldsymbol{e}=\boldsymbol{E}^*$? Cette question est à mettre en regard du résultat d'André qui affirme que les unités de l'anneau des \Efonctions sont exactement de la forme $\alpha e^{\beta z }$ avec $\alpha\in \Qbar^*$, $\beta\in \Qbar$. Le~théorème \ref{theo:beukers} de relèvement de Beukers pourrait être utile ici, comme le montre le résultat partiel en direction de l'égalité $\boldsymbol{e}=\boldsymbol{E}^*$ obtenu dans \cite{rivoalroques3}.

\subsubsection*{Problème 7} Les mêmes auteurs ont également défini dans \cite{firiCMH} l'ensemble des $G$-valeurs, noté $\boldsymbol{G}$, comme l'ensemble de toutes les valeurs des prolongements analytiques des \Gfonctions en des points algébriques. $\boldsymbol{G}$ est aussi un sous-anneau dénombrable de $\CC$ mais c'est beaucoup moins facile à montrer que pour
$\boldsymbol{E}$. Le groupe $\boldsymbol{G}^*$ des unités de $\boldsymbol{G}$ contient $\Qbar^*$ mais aussi les valeurs de la fonction Bêta $B(x,y)$ aux points $x,y \in \Q$ en lesquels elle est définie; on note $\boldsymbol{g}$ le sous-groupe multiplicatif de $\boldsymbol{G}^*$ engendré par ces nombres. En particulier $\pi=B(1/2,1/2)=\Gamma(1/2)^2\in \boldsymbol{g}$, comme on le voit avec cette identité de Ramanujan~\cite{alin4}:
\begin{equation}\label{eq:ramanujan}
\frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty
\frac{\binom{2n}{n}^3(42n+5)}{2^{12n+4}},
\end{equation}
où la série à droite est la somme de deux \Gfonctions hypergéométriques. Plus généralement, l'identité
$$
\Gamma(\sfrac{a}{b})^b=(a-1)! \prod_{j=1}^{b-1}B(\sfrac{a}{b},\sfrac{ja}{b})
$$
montre que $\Gamma(a/b)^b\in \boldsymbol{g}$ pour tous entiers
$a,b\ge 1$. Est-ce que \hbox{$\boldsymbol{g}=\boldsymbol{G}^*$}? Rappelons qu'André a montré que les unités de l'anneau des \Gfonctions sont exactement les fonctions algébriques sur $\Qbar(z)$ holomorphes en $z=0$. Il y a donc une importante différence entre le groupe des unités fonctionnelles et le groupe des unités numériques, qui contient des nombres transcendants.

\subsubsection*{Problème 8} Étant donnée une \Efonction stricte explicite $F(z)$ d'ordre différentiel $\ge 3$, on peut se demander si elle est de la forme demandée dans le \emph{problème de Siegel} (énoncé après le théorème~\ref{theo:galoch1} dans la
partie~\ref{ssec:pFp}) ou si elle peut en être un contre-exemple.
Une approche possible serait de \og comparer\fg $F(z)$ et les polynômes en les fonctions hypergéométriques ${}_pF_p$ au moyen de leurs développements asymptotiques à l'infini. Il a été montré dans \cite{firiX} que les coefficients de ces développements appartiennent au $\boldsymbol{G}[\gamma]$-module~$\boldsymbol{S}$ engendré par tous les nombres $\Gamma(a/b)$, $a/b\in \Q\setminus \Z_{\le 0}$. La comparaison de ces développements asymptotiques donnera donc des relations polynomiales sur $\Qbar$ entre éléments de $\boldsymbol{S}$ qui peuvent être ou ne pas être compatibles (au besoin modulo certaines conjectures diophantiennes, dont celle de Rohrlich-Lang sur les valeurs de la fonction Gamma ou celle faite dans \cite[p.\,34]{firiX}). La question se pose par exemple pour $$\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \biggl(\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{n}\biggr)\,\frac{z^n}{n!},$$ solution de
$$
z^2y'''(z) + (3z - 11z^2)y''(z) +
(1-22z -z^2)y'(z)-(3 + z)y(z) = 0.
$$

\subsubsection*{Problème 9} Un nombre de Liouville \cite{liouville} est un réel $\xi$ pour lequel on peut trouver une suite des rationnels $(p_n/q_n)_n$ et une suite de réels $(s_n)_n$ tels que $s_n\to +\infty$ et $0<\vert \xi-p_n/q_n\vert < 1/q_n^{s_n}$. Un tel nombre est transcendant. Dans les conditions du
théorème~\ref{theo:zud1}, respectivement du
théorème~\ref{theo:zud2}, la conclusion assure en particulier que les nombres $F_j(a/b)\in \boldsymbol{E}$, respectivement $F_j(a/b)\in \boldsymbol{G}$, ne sont pas de Liouville. Il~est conjecturé dans \cite{firiCMH} qu'aucun élément de $\boldsymbol{G}$ n'est de Liouville et on peut formuler la même conjecture pour les éléments de $\boldsymbol{E}$. Répon\-dre positivement à l'une ou l'autre de ces conjectures ne nécessite pas forcément de montrer au préalable qu'une valeur donnée de $\boldsymbol{E}$ ou de~$\boldsymbol{G}$ est irrationnelle car les nombres rationnels ne sont pas de Liouville non plus.

\subsubsection*{Problème 10} On a vu que la théorie des \Gfonctions permet d'étudier finement les \Efonctions strictes grâce aux propriétés spéciales des $E$\nobreakdash-opé\-rateurs construits à partir des $G$-opérateurs. Réciproquement, on peut se demander si la théorie des \Efonctions strictes peut apporter de nouvelles informations sur les \Gfonctions. Il existe déjà un lien entre $\boldsymbol{G}$ et \og valeurs\fg de \Efonctions. En effet, les propriétés des $E$-opérateurs à l'infini (que nous n'avons pas exposées, voir \cite{andre1, firiX}) permettent de montrer la

\begin{prop}[R. \cite{rivoaleuler}]\label{eq:GintE} L'ensemble $\boldsymbol{G}$ coïncide avec l'ensemble des valeurs des intégrales convergentes $\int_0^\infty F(x)dx$ où $F$ est une \Efonction stricte. De manière équivalente, $\boldsymbol{G}$ coïncide avec l'ensemble des limites finies des \Efonctions strictes dans des directions quelconques vers l'infini.
\end{prop}
L'équivalence résulte simplement du fait que $\int_0^z F(x)dx$ est une \Efonction stricte si et seulement si $F(z)$ l'est. Par exemple, $\sin(z)/z$ étant une \Efonction stricte, on a que\enlargethispage{\baselineskip}%
$$
\frac{\pi}{2}=\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}dx\in \boldsymbol{G},
$$
ce que l'on savait déjà. Mais c'est parfois moins évident, comme le montre
l'identité (voir \cite[p.\,6]{bostanhdr} et \cite{alin2})\vspace*{-3pt}
$$
\int_0^{+\infty} J_0(ix)^3 \,e^{-3x} dx = \frac{\sqrt{6}}{96\pi^3}\,\Gamma(\sfrac1{24})\,\Gamma(\sfrac{5}{24})\,\Gamma(\sfrac{7}{24})\,\Gamma(\sfrac{11}{24}).
$$
Le membre de droite est donc \emph{de facto} dans $\boldsymbol{G}$ puisque $J_0(i z)^3 e^{-3z}$ est une \Efonction stricte. Voir également \cite{broad} pour d'autres intégrales impliquant des fonctions de Bessel et dont la valeur est dans $\boldsymbol{G}$.

Est-il possible d'adapter les diverses méthodes diophantiennes d'André, Beukers, Chudnovsky, Siegel, Shidlovskii, etc, pour démon\-trer de nouveaux résultats sur les valeurs finies de \Efonctions strictes à l'infini, c'est-à-dire sur les éléments de $\boldsymbol{G}$? Rappelons que l'on connaît relativement \og peu\fg de nombres prouvés transcendants dans $\boldsymbol{G}$; parmi ceux-ci, il y a les logarithmes de nombres algébriques, $\pi=\Gamma(1/2)^2$, et aussi $\Gamma(1/3)^3$, $\Gamma(1/4)^4$, $\Gamma(1/6)^6$ et les valeurs des séries
\eqref{eq:serieandre}. On sait qu'au moins un des nombres $\Gamma(1/5)^5$ ou $\Gamma(2/5)^5$ est transcendant \cite[p.\,52,\,Th.\,3.3.5]{grinspan} mais on ne sait pas lequel.~Pour $k=3$ ou $4$, on sait que $\pi$ et $\Gamma(1/k)^k$ sont algébriquement indépendants sur $\Q$ mais on ne connaît pas trois valeurs de $\boldsymbol{G}$ qui le soient.

On pourrait même espérer déterminer la nature arithmétique des intégrales convergentes de la forme $\int_0^\infty R(x)F(x)dx$ où $F(x)$ est une \Efonction (stricte ou large) et $R(x)\in \Qbar(x)$. L'intérêt de cette généralisation est justifié par les identités\vspace*{-3pt}\enlargethispage{-2\baselineskip}
$$
\int_0^{+\infty} \frac{1-(1+x)e^{-x}}{x(1+x)}\,dx = \gamma \quad \textup{et} \quad \int_0^{+\infty} \frac{\cos(x)}{1+x^2}\,dx = \frac{\pi}{2 e}.
$$

Enfin, on conjecture que $\boldsymbol{E} \cap \boldsymbol{G}=\Qbar$, qui est analogue au fait (prouvé) que l'intersection des \Efonctions et des \Gfonctions est réduite à $\Qbar[z]$.
Cette conjecture contient plusieurs problèmes classiques encore ouverts, dont la transcendance de $e+\pi$ et de $e\pi$ puisque $e, e^{-1}\in \boldsymbol{E}$ et $\pi\in \boldsymbol{G}$. Les questions abordées dans ce problème 10 sont bien sûr très ambitieuses et le lecteur peut penser à juste titre qu'elles relèvent de la science-fiction à ce jour.\footnote{Siegel \cite[p.\,84]{siegellivre} a remarqué que l'exemple de la transcendance de $\alpha^\beta$ (pour $\alpha, \beta \in \Qbar$, $\alpha\neq 0,1$ et $\beta\notin \Q$), conjecturée par Hilbert \cite{hilbertprobleme} qui en regardait la démonstration future comme \emph{extrêmement difficile}, montre qu'il est très délicat d'estimer la difficulté d'un problème mathématique avant de l'avoir résolu. Deux preuves relativement courtes en ont été données en 1934 par Gel'fond \cite{gelfond2} et Schneider \cite{schneider} indépendamment; voir également \cite{nivenlivre, siegellivre}. Leurs méthodes étaient dans le droit fil de celle de Siegel sur les \Efonctions, qui était très novatrice à l'époque.} Tout nouveau résultat dans ces directions, même modeste, serait intéressant.

\section{Ajout sur les épreuves}

Depuis la première version de ce survol écrite en 2019, plusieurs résultats ont été démontrés qui répondent à des questions du texte ou bien améliorent certains des énoncés présentés.

\begin{itemize}
\item
Dans \cite{fischlerzeta}, Fischler a significativement amélioré le point (i) du théorème \ref{theo:zeta} en montrant que l'on peut remplacer le membre de droite par $0,21\sqrt{s/\ln(s)}$.

\item
Dans \cite{zeilbergerzudilin}, Zeilberger et Zudilin ont amélioré la majoration de l'exposant d'irrationalité de $\pi$ obtenue par Salikhov (voir la partie~\ref{ssec:mesure}). Ils ont montré que cet exposant est majoré par 7,1033.

\item
Dans \cite{fresanjossen}, Fresán et Jossen ont montré que le problème de Siegel énoncé dans la partie 5.2 admet une réponse négative en produisant une $E$-fonction explicite qui ne peut pas s'écrire comme un polynôme en des $E$-fonctions hypergéométriques de la forme demandée.

\item
Le théorème \ref{theo:rivoalroques} a été généralisé par l'auteur dans \cite{rivoalJMSJ}.

\item
L'algorithme décrit dans le théorème \ref{theo:batr} a été modifié dans l'article \cite{bostanrivoalsalvy2} afin qu'il soit plus rapide; cette nouvelle version a été implémentée sous Maple. Les méthodes de cet article ont également permis d'obtenir de nouveaux exemples d'évaluations algébriques de fonctions hypergéométriques ${}_2F_1$ en des points algébriques et qui ne semblent pas {\og provenir \fg} des formes modulaires (comme les exemples pages \pageref{theo:andrechud} et \pageref{eq:hypermodulaire}).

\item
Le problème 4 de la partie \ref{sec:problemes} a été complètement résolu par Lepetit dans \cite{lepetitLille}.
\end{itemize}
\backmatter
\nocite{rivoalroques3b}
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups19-03}
\end{document}
