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\hyphenation{repré-sen-ta-tion dimen-sion numé-ri-que espa-ce depuis selon notions}

\begin{document}
\frontmatter

\title[Variations sur un théorème de Stone-Von Neumann]{Variations sur un\nobreakspace théorème\nobreakspace de\nobreakspace Stone-Von\nobreakspace Neumann}
\author[\initial{F.} \lastname{Nier}]{\firstname{Francis} \lastname{Nier}}
\address{LAGA, UMR-CNRS 9345, Université de Paris~13, av.~J.B.~Clément, 93430 Villetaneuse, France}
\email{nier@math.univ-paris13.fr}
\urladdr{https://www.math.univ-paris13.fr/~nier/}

\thanks{Journées X-UPS 2018. Heisenberg et son groupe. Éditions de l'École polytechnique, 2018}

\begin{abstract}
Ce texte sur le théorème de Stone-Von Neumann qui, historiquement, a été motivé par la synthèse des deux actes fondateurs de la mécanique quantique, par Heisenberg d'une part et par Schrödinger d'autre part. Nous donnons une démonstration complète du théorème et nous présentons ensuite la quantification des transformations linéaires symplectiques. Outre son aspect fondamental pour la mécanique quantique, le théorème de Stone-Von Neumann a eu de nombreuses conséquences dans le développement des mathématiques du \textsc{xx}\ieme siècle et ce jusqu'à aujourd'hui. Nous appuyant sur des éléments de la démonstration du théorème, nous évoquerons notamment ses incidences dans le domaine de l'analyse.
\end{abstract}
\maketitle
\tableofcontents
\mainmatter

\section{Introduction}
\label{sec:intro}

Les débuts de la mécanique quantique ont été marqués par deux
approches, la mécanique ondulatoire concrétisée par l'équation de
Schrödinger (1926, \cite{Sch})
et la mécanique des matrices de Heisenberg (1925, \cite{BJH}).
Le théorème de Stone-Von\,Neumann, qui est arri\-vé plus tard
(1930-1931), avec les deux textes de M.\,Stone \cite{Sto} et
J.\,Von\,Neumann \cite{VN}, répondait à une question
posée par H.\,Weyl
et
fait la synthèse entre ces deux points de vue.
Soyons un peu plus précis avant de commencer. La formule (5) de l'article \cite{BJH} n'est rien d'autre~que\footnote{En physique $h\simeq 6,626070040\times
10^{-34} \mathrm{J.s}$ et donc
$\hbar=\sfrac{h}{2\pi}\simeq 1,0545718\times 10^{-34}\mathrm{J.s}$ sont des
constantes universelles, intouchables. Les
mathématiciens ont pris depuis l'habitude d'appeler $h$, voire
même $\hbar$, un petit
paramètre qui apparaît aux mêmes endroits que la constante de
Planck. En fait, dans les modélisations dites semi-classiques, c'est le rapport de la
constante de Planck à d'autres quantités typiques du problème en
$\mathrm{J.s}$ qui apparaît comme un petit paramètre (sans
dimension au sens des physiciens). Pour ne pas
entretenir cette confusion et aussi pour ne pas
suggérer une limitation stricte au cadre
de la mécanique quantique, nous
noterons $\varepsilon$ un tel paramètre dans la suite.
}
$$
pq-qp=\frac{h}{2\pi i}\,1=-i\hbar\, 1,\quad
\hbar=\frac{h}{2\pi}
$$
Le caractère non commutatif et le calcul \og matriciel\fg sont clairement
identifiés dans ce texte, ainsi que la nécessité de travailler avec
des espaces de dimension infinie. 

Il est clair que $q$ et $p$ ne peuvent pas être des matrices de
dimension finie, car la trace de $pq-qp$ est nulle en dimension finie, ou aussi l'identité
$e^{\Psfrac{i}{\hbar}tp}qe^{-\Psfrac{i}{\hbar}tp}=q+t1$ donnerait une infinité de valeurs
propres pour $q$. Notons aussi que cela dit que $q$ et par symé\-trie~$p$ ne peuvent pas être des opérateurs bornés.

Par ailleurs l'équation de Schrödinger et plus généralement le
principe de correspondance de la mécanique quantique dit qu'il faut
décri\-re un état par une fonction d'onde
\[
\rz\ni q\mto
\psi(q)\in \cz, \quad\psi\in L^{2}(\rz,dq;\cz),
\]
remplacer
$q$ par l'opérateur de multiplication par $q$ et $p$ par
l'opérateur de dérivation $\Psfrac{\hbar}{i}\partial_{q}$. Notons que
l'exponentielle $e^{\Psfrac{i}{\hbar}sq}$, $s\in\rz$, est la multiplication par cette même fonction
$(U_{s}\psi)(q)=e^{\Psfrac{i}{\hbar}sq}\psi(q)$ et que $
V_{t}=e^{-\Psfrac{i}{\hbar}tp}=e^{-t\partial_{q}}$, $t\in\rz$, n'est rien d'autre que $(V_{t}\psi)(q)=\psi(q-t)$. Ces deux opérations sont des
transformations unitaires qui satisfont à
$$
U_{s}V_{t}=e^{\Psfrac{i}{\hbar}st}V_{t}U_{s}
$$
Il est donc naturel de considérer un groupe de transformations unitaires
$e^{\Psfrac{i}{\hbar}r} V_{t}U_{s}$ simplement notées $(t,s,r)\in \rz^{3}$ avec la loi
de composition
\begin{equation}
\label{eq:heis1}
(t_{1},\, s_{1},\,r_{1})\cdot(t_{2},\,s_{2},\,r_{2})=(t_{1}+t_{2},\,s_{1}+s_{2},\,
r+s_{1}t_{2}),
\end{equation}
qui a une formulation un peu plus symétrique si on écrit
$r=r'+\sfrac{ts}{2}$:
\begin{equation}
\label{eq:heis2}
(t_{1},\,s_{1},\,r_{1}')\circ(t_{2},\,s_{2},\,r_{2}')= \Bigl(s_{1}+s_{2},\,t_{1}+t_{2},\,r_{1}'+r_{2}'+
\frac{s_{1}t_{2}-s_{2}t_{1}}{2}\Bigr).
\end{equation}
Notons que ce groupe a une représentation linéaire, non unitaire,
simplement à l'aide de matrices $3\times 3$ unipotentes (voir le texte de
Pierre~Pansu dans ce volume)
$$\arraycolsep3.5pt
\begin{pmatrix}
1&s_{1}&r_{1}\\
0&1&t_{1}\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&s_{2}&r_{2}\\
0&1&t_{2}\\
0&0&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&s_{1}+s_{2}&r_{1}+r_{2}+s_{1}t_{2}\\
0&1&t_{1}+t_{2}\\
0&0&1
\end{pmatrix}.
$$
Il n'y a donc pas unicité de la représentation linéaire. Ce que dit le
théorème de Stone-Von\,Neumann, c'est qu'il y a unicité d'une
représentation unitaire irréductible du groupe de Heisenberg à
transformation unitaire près, c'est-à-dire isomorphisme d'espaces de
Hilbert.
Ainsi, partant de la formulation matricielle de Heisenberg de la
mécanique quantique, la correspondance
\begin{align*}
q&\mto q\times\quad\text{(opérateur de multiplication par $q$)}\\
\tag*{et}
p&\mto\Psfrac{\hbar}{i}\partial_{q}\quad\text{($\Psfrac{\hbar}{i}\cdot{}$opérateur de dérivation relativement à $q$)}
\end{align*}
qui conduit à l'équation de Schrödinger
est la seule envisageable, à~transformation unitaire près.

Ce résultat fondamental
pour les débuts de la mécanique
quantique a initié une série
de travaux importants dans différentes directions. Nous en donnons
une courte liste qui montre les directions variées, avec des
développements encore actuels.

La première a été l'étude des représentations unitaires de groupes plus
généraux en lien étroit avec les développements de la physique
quantique. Sous l'impulsion d'H.\,Weyl, elle s'est développée
avec comme principaux acteurs
E.\,Wigner, G.\,Mackey qui a introduit la notion de
représentation induite unitaire pour des groupes de Lie localement compacts, Harish-Chandra qui a développé l'analyse
harmonique sur les groupes réductifs et Kirillov qui a introduit la
méthode des orbites pour les groupes de Lie nilpotents sur laquelle
nous reviendrons. L'équation de Dirac peut s'obtenir par exemple en
étudiant les représentations
irréductibles du groupe de Lorentz pour la
relativité restreinte, l'opérateur de Dirac avec un spectre positif et
négatif conduisant à la notion d'anti-particule. Plus généralement la
théorie moderne des particules
repose de façon essentielle sur la théorie des
groupes et leurs représentations unitaires.

La quantification du champ électromagnétique et la physique
statistique quantique ont conduit à la notion d'espace de Fock
(voir le texte d'Olivier Schiffmann \cite{Schiffmann} dans ce volume). Via le point de vue intégrale
fonctionnelle (ou intégrale de Feynman-Kac), cela a des liens avec
les processus stochastiques.

L'écriture symétrique \eqref{eq:heis2} que nous privilégions dans ce
texte fait apparaître la forme symplectique\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}%
\[\arraycolsep3.5pt
s_{1}t_{2}-t_{1}s_{2}=(t_{1},s_{1})
\begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
t_{2}\\s_{2}
\end{pmatrix},
\]
qui est une forme bilinéaire anti-symétrique non dégénérée.
Indépendamment de considérations physiques,
le groupe symplectique $\Sp_{d}(\rz)$ ou des sous-groupes
discrets de $\Sp_{d}(\zz)$
et leur action sur le
demi-espace des matrices symétriques complexes à partie imaginaire positive, par $Z\mto (aZ+b)(cZ+d)^{-1}$, qui
généralise l'action de $\Sp_{1}(\rz)=\SL_{2}(\rz)$ sur le demi-plan de Poincaré,
ont été étudiés par C.\,Siegel, motivé par la théorie
analytique des nombres, et généralisant dans \cite{Sie}
la notion de forme modulaire. Les fonctions thêta, liées à cette théorie,
peuvent d'ailleurs être introduites à partir de
représentations unitaires
de sous-groupes discrets du groupe de Heisenberg en
considérant $s,t\in \frac{1}{n}\zz$ par exemple (voir
\cite{Mum}).
C'est à la suite de ses travaux sur les fonctions thêta, inspiré par
les travaux de C.\,Siegel mentionnés précédemment
d'une part et ceux
d'I.\,Segal et D.\,Shale sur la théorie quantique des champs, qu'A.\,Weil a introduit le groupe
métaplectique, revêtement à deux feuillets du groupe symplectique, que
nous expliquons au paragraphe~\ref{sec:tcan}.

Il y aurait beaucoup d'autres domaines mathématiques à évoquer qui ont
été influencés ou initiés
par les développements de la mécanique quantique, comme
les $C^{*}$-algèbres, les algèbres de Von\,Neumann et la géométrie non
commutative d'A.\,Connes, pour lesquels le théorème de
Stone-Von\,Neumann est moins central ou trop spécifique.

Il serait illusoire de vouloir en couvrir tous les aspects dans le
cadre d'une présentation aussi brève.
Dans un premier temps nous donnons une démonstration complète du
théorème de Stone-Von\,Neumann suivie
d'une présentation du groupe métaplectique et de l'indice de Maslov,
adaptée du livre de G.\,Lion et M.\,Vergne \cite{LiVe}.
Ensuite le parti pris de ce texte est de se concentrer sur les
prolongements dans le domaine de l'analyse et plus particulièrement
l'analyse des équations aux dérivées partielles (abrégé en EDPs).
Nous montrerons comment les réflexions mathématiques sur la mécanique
quantique et les phénomènes de propagation d'onde
ont abouti au tournant des années 1970 à un renversement
complet de point de vue:
la mécanique ondulatoire, incluant la mécanique quantique, est
devenue un cas
particulier de la géométrie d'EDPs générales.
Pour faire le lien avec le théorème de Stone-Von\,Neumann il
suffit de dire que sa démonstration, dans un langage moderne,
contient tous les éléments pour comprendre la version affine de cette
géométrie.

\section{Pré-requis}
\label{sec:prerequis}

\subsection{Espaces symplectiques}
\label{sec:espsymp}
La notion d'espace symplectique (mot introduit par H.\,Weyl
sur la racine grecque \textsigma\textupsilon\textmu\textpi\textlambda\textepsilon\textkappa\texttau\textiota\textkappa\textomikron\textsigma\ qui
veut dire... complexe, \cf exemple~\ref{ex:Cd}
ci-dessous). En fait elle était déjà
bien connue des mathématiciens et des physiciens depuis la formulation
hamiltonienne de la mécanique classique. Il est d'ailleurs intéressant
de noter que, dans leur article~\cite{BJH}, Born, Jordan et Heisenberg,
qui ont le souci de faire le lien avec la mécanique classique, étudient
l'invariance de leur théorie par les transformations canoniques,
\ie qui préservent la structure symplectique.


On appelle \emph{espace symplectique} un espace vectoriel réel $V$ de
dimen\-sion finie muni d'une
forme bilinéaire antisymétrique non~dégé\-né\-rée $\sigma$.
\begin{exempl}
\label{ex:Rd}
On peut considérer $V=\rz^{2d}$ muni de la base canonique
et de la forme symplectique donnée dans cette base par la matrice
\[
\Sigma_{d}=\begin{pmatrix}
0&-\Id_{d}\\
\Id_{d}&0
\end{pmatrix}.
\]
\end{exempl}

\begin{exempl}
\label{ex:XX}
Si $X$ est un espace vectoriel de dimension $d$ et $X^{*}$ son dual,
on fixe une base $\cB=(e_{1},\ldots,e_{d})$ et on note
$x=x_{1}e_{1}+\cdots+x_{d}e_{d}$. La base duale étant donnée par
$\cB^*=(e_{1}^{*},\ldots, e_{d}^{*})$ et en notant
$\xi=\xi_{1}e_{1}^{*}+\cdots+\xi_{d}e_{d}^{*}$ un élément de
$X^{*}$, auquel cas
$dx_{i}=e_{i}^{*}$ et $d\xi_{i}=e_{i}$,
on voit que sur $V=X\oplus X^{*}$ la forme bilinéaire\vspace*{-3pt}
$$
d\xi\wedge dx=\sum_{j=1}^{d}d\xi_{j}\wedge dx_{j},\quad
\ell\wedge\ell'=\ell\otimes\ell' -\ell'\otimes \ell,
$$
est une forme symplectique, indépendante du choix de la base~$\cB$ dans~$X$, dont la matrice dans la base $(e_{1},\ldots,e_{d},e_{1}^{*},\ldots,e_{d}^{*})$ de
$V$ est encore $
\begin{smallpmatrix}
0&-\Id_{d}\\ \Id_{d}&0
\end{smallpmatrix}
$.
\end{exempl}

\begin{exempl}
\label{ex:Cd}
Enfin si $V$ est un espace vectoriel complexe de dimension $d$ muni
d'un produit scalaire hermitien, $(z_{1},z_{2})\mto \langle
z_{1},z_{2}\rangle$ (anti-linéaire à gauche pour fixer les choses),
alors $\Real\langle z_{1},z_{2}\rangle$ définit un produit scalaire
euclidien sur~$V_{\rz}$, \ie $V$ vu comme espace réel de
dimension $2d$, et $\Imag\langle z_{1},z_{2}\rangle$ est une forme symplectique sur~$V_{\rz}$.
\end{exempl}

Un sous-espace $W\subset V$ est dit
\begin{itemize}
\item isotrope si $W\!\subset\!W^{\perp_{\sigma}}$,
\ie
\[
\sigma(x,y)=0 \quad\text{pour~tout~}(x,y)\!\in\!W^{2}\,;
\]

\item involutif (ou co-isotrope) si $W\supset W^{\perp_{\sigma}}$;
\item lagrangien si $W= W^{\perp_{\sigma}}$.
\end{itemize}
Comme la forme bilinéaire est non~dégénérée, on a
\[
\dim W^{\perp_{\sigma}}=\dim V-\dim W
\]
et un espace isotrope
(\resp involutif, lagrangien) est de dimension inférieure ou
égale (\resp supérieure ou égale, égale) à $\dim V/2$.
En~complétant la base, tout sous-espace isotrope (en particulier~$\rz
x$, $x\in V\setminus\left\{0\right\}$) est inclus dans un sous-espace
lagrangien. Les sous-espaces lagrangiens sont donc les sous-espaces
isotropes maximaux pour l'inclusion et de plus cela entraîne que l'espace symplectique $V$ est forcément de
dimension paire. Pour $W$ lagrangien, on note
$W'$ un sous-espace
isotrope maximal
parmi les sous-espaces tels que $W\cap W'=\left\{0\right\}$. Notons
qu'il existe $x\not\in W$ et que $\rz x$ est isotrope et satisfait à
$W\cap \rz x=\left\{0\right\}$, ce qui assure l'existence d'un
$W'$. Mais alors $W'^{\perp \sigma}+W^{\perp
\sigma}\!=\!\{0\}^{\perp \sigma}\!=\!V$ et $V=W\oplus W'$,
$\dim W'=\dim V/2$ et $W'$ est lagrangien.
Ainsi, tout espace lagrangien $W$ admet un supplémentaire lagrangien qui
s'identifie au dual $W^{*}$ via~$\sigma$. L'exemple~\ref{ex:XX} ci-dessus, voire
le premier exemple~\ref{ex:Rd} si on spécifie bien la base, sont donc
les uniques modèles d'espaces vectoriels symplectiques de dimension finie.

\subsection{Représentations unitaires de groupes}
\label{sec:repgroupe}

Une représentation unitaire du groupe $G$ dans un espace de Hilbert~$\cH_{\varrho}$ est un morphisme de groupe $\varrho$ de $ G$ dans
$\mathcal{U}(\cH_{\varrho})$, le groupe des opérateurs unitaires sur
$\cH_{\varrho}$. Si $G$ est un groupe topologique, nous
supposerons également que la représentation est
fortement continue, à savoir pour tout $x\in \cH_{\varrho}$,
$g\mto \varrho(g)x$ est continue.\enlargethispage{\baselineskip}%

On dit qu'une représentation (unitaire) est irréductible s'il n'existe
pas de sous-espace de Hilbert $F$ différent de
$\left\{0\right\}$
ou $\cH_{\varrho}$ globalement invariant par
$\varrho(G)$. Puisque
${\cal H_{\varrho}}=F \oplus F^{\perp}$, et puisque la
projection ortho\-gonale $P_{F}$ sur $F$ est un opérateur auto-adjoint borné,
cela \hbox{revient} à dire qu'il n'existe pas de projection orthogonale
propre (\ie différente de $0$ ou $\Id_{\cH_{\varrho}}$)
commutant avec tous les éléments de $\varrho(G)$. Le~théorème spectral nous
dit alors que la représentation est irréductible si et seulement si les seuls
opérateurs auto-adjoints bornés commutant avec tous les éléments de
$\varrho(G)$ sont de la forme $\lambda\Id_{\cH_{\varrho}}$. De plus
pour $A\in \cL(H_{\varrho})$, la commutation $[A,\varrho(g)]=0$
entraîne$[\varrho(g^{-1}),A^{*}]=0$, et donc si $A$ commute avec tous
les éléments de $\varrho(G)$ il en est de même de $A^{*}$,
$\psfrac{A+A^{*}}{2}$ et $\psfrac{A-A^{*}}{2i}$. Nous arrivons à la
conclusion que~$\varrho$ est irréductible si et seulement si une des conditions
suivantes est satisfaite:\vspace*{-3pt}\enlargethispage{1.5\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Les seuls sous-espaces hilbertiens de $\cH_{\varrho}$
globalement invariants par $\varrho(G)$ sont
$\left\{0\right\}$ et~$\cH_{\varrho}$.
\item Les seules projections orthogonales qui commutent avec $\varrho(G)$
sont $0$ et $\Id_{\cH_{\varrho}}$.
\item Les seuls opérateurs bornés qui commutent avec $\varrho(G)$ sont les
$\lambda \Id_{\cH_{\varrho}}$, $\lambda\in\cz$.
\end{itemize}
On notera en particulier que si $G$ est un groupe abélien, ses
représentations irréductibles sont forcément de dimension
1, et qu'il s'agit de caractères de $G$.

Nous nous
placerons dans le cas où $G$ est un groupe localement compact
unimodulaire. Rappelons que, sur un groupe localement compact, une
mesure borélienne quasi-régulière invariante à gauche
(c'est-à-dire $\mu(gE)=\mu(E)$ pour tout borélien $E$ et tout $g\in G$) existe et est définie à une
constante multiplicative près. Dire que le groupe est unimodulaire
revient à dire que cette mesure est également invariante à droite,
$\mu(Eg)=\mu(E)$ pour tout borélien $E$ et tout $g\in G$. C'est le
cas, évidemment pour les groupes abéliens, pour le groupe de
Heisenberg (voir plus loin) et plus généralement pour les groupes de
Lie nilpotents connexes. À partir de là on peut \hbox{associer} à une représentation unitaire $\varrho$ une algèbre
d'opérateurs bornés $\cA_{\varrho}=\left\{\varrho(\Phi)\sep \Phi\in L^{1}(G,d\mu;\cz)\right\}$
avec\vspace*{-3pt}
$$
\varrho(\Phi)=\int_{G}\Phi(g)\varrho(g)\,d\mu(g)
$$
et on note que $\varrho(\Phi)\varrho(\Psi)=\varrho(\Phi*\Psi)$, où\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}%
\[
\Phi*\Psi(g)=\int_{G}\Phi(g\gamma^{-1})\Psi(\gamma) \,d\mu(\gamma)
\]
est le produit de convolution sur $G$ et $\varrho(\bar\varPhi)=\varrho(\varPhi)^{*}$.

\subsubsection*{Représentation induite}
Si $H$ est un sous-groupe fermé de $G$, $G$ localement compact unimodulaire, alors la topologie quotient sur
$G/H=\left\{gH\sep g\in G\right\}$ définit une tribu
borélienne et la mesure image par $g\mto gH$ définit une mesure
$\mu_{G/H}$ borélienne sur $G/H$ invariante par l'action à gauche de $G$ sur
$G/H$.
Si $\varrho$ est une représentation unitaire fortement
continue de $H$
dans $\cV_{\varrho}$, on appelle \emph{représentation induite de $G$ par
$\varrho$} la représentation $\varrho':G\to
\Ind_{H}^{G}\varrho$ donnée par\vspace*{-3pt}
\begin{multline*}
\Ind_{H}^{G}\varrho=\Biggl\{\varphi:G\rightarrow \cV_{\varrho}~\text{mesurable},\\[-8pt]
\begin{array}[c]{l}
\forall h\in H,
\varphi(gh^{-1})=\varrho(h)\varphi(g)~\mu_{G}\text{-p.p.~en~} g,\\
\|\varphi(\cbbullet)\|_{\cV_{\varrho}}\in L^{2}(G/H,\mu_{G/H})\\{}
[\varrho'(g)\varphi](x)=\varphi(g^{-1}x), \quad\forall g,x\in G.
\end{array}
\Biggr\}
\end{multline*}
Une fois que les choses sont claires, on note plus directement $\varrho'=\Ind_{H}^{G}\varrho$.

Un cas particulier est celui où $H$ est abélien et $\varrho$ est
irréductible donc scalaire, $\cV_{\varrho}=\cz$ et $\varrho(h)\in
\sz^{1}$ auquel cas la représentation induite est donnée par un
espace de fonctions de $G$ dans $\cz$ avec des propriétés de
quasi-invariance.
\Subsection{Transformée de Fourier, opérateurs de Hilbert-Schmidt}
\label{sec:fourier}
Sur $\rz^{d}$ on définit la transformée de Fourier\footnote{Il est
commode d'introduire un paramètre $\varepsilon$ pour changer facilement de
normalisation. Il suffit de se rappeler que pour la mesure de Lebesgue
usuelle $dx$, la mesure duale est $\sfrac{d\xi}{(2\pi \varepsilon)^{d}}$ et
qu'il faut mettre $1/\varepsilon$ dans les exponentielles et
$\varepsilon$ devant chaque signe de dérivation.} par
$$
\cF_{\varepsilon}\varphi(\xi)=\int_{\rz^{d}}e^{-\Psfrac{i}{\varepsilon}\xi\cdot x}\varphi(x)\,dx
$$
et la transformée de Fourier inverse est donnée par
$$
(\cF_{\varepsilon})^{-1}f
(x)=\int_{\rz^{d}}e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}x\cdot\xi}f(\xi)~\frac{d\xi}{(2\pi \varepsilon)^{d}}.
$$
Cela définit une transformation unitaire de l'espace $L^{2}(\rz^{d},dx;\cz)$ sur l'espace $L^{2}(\rz^{d},\sfrac{d\xi}{(2\pi \varepsilon)^{d}};\cz)$.
Indépendamment d'un choix de coordonnées, si
$X^{*}$ est l'espace dual de $X$ et $\xi\cdot x$ le produit de dualité de
$\xi\in X^{*}$ et $x\in X$, les mesures de Lebesgue $\lambda_{X}$ et
$\lambda_{X^{*}}$ sont normalisées de telle
sorte que le volume de deux parallélépipèdes duaux soit $1$, alors
$\cF_{\varepsilon}$ définit une application naturelle de
$L^{2}(X,\lambda_{X})$ dans $L^{2}(X^{*},\sfrac{\lambda_{X^{*}}}{(2\pi
\varepsilon)^{d}})$. 

De même la définition de l'espace de Schwartz
$$
\cS(X)=\bigl\{f\in \cC^{\infty}(X)\mid \forall \alpha,\beta\in \nz^{d},\;
x^{\alpha}\partial_{x}^{\beta}f\in L^{\infty}(X,\lambda_{X})\bigr\}
$$
et son
dual $\cS'(X)$, l'espace des distributions tempérées,
ne dépendent pas du choix d'une base. On rappelle que $\cF^{\varepsilon}$ envoie continûment $\cS(X)$ (\resp $\cS'(X)$)
dans $\cS(X^{*})$ (\resp $\cS'(X^{*})$).

Rappelons également les formules
$$
\cF_{\varepsilon}(\varepsilon D_{x})(\cF^{\varepsilon})^{-1}(\cbbullet)=\xi\times \bbullet,\quad
\cF_{\varepsilon}(x\times)(\cF^{\varepsilon})^{-1}(\cbbullet )=-\varepsilon D_{\xi} \cbbullet
$$
avec $D_{x_{j}}=\Psfrac{1}{i}\partial_{x_{j}}$, $j=1,\ldots, \dim X$,
qui viennent de la dérivation sous le signe somme de
$\varphi(x)=[(\cF_{\varepsilon})^{-1}f](x)$ pour $f=\cF^{\varepsilon}\varphi$,
ainsi que la transformée des produits de convolution en produits
pour $\varphi,\psi\in \cS(X)$ (ou plus généralement
quand les expressions ont un sens)
\begin{align*}
\cF_{\varepsilon}(\varphi*\psi)&=(\cF_{\varepsilon}\varphi)\times (\cF_{\varepsilon}\psi)\\
\cF_{\varepsilon}(\varphi\times \psi)&=(\cF_{\varepsilon}\varphi)\mathop{*}_{(2\pi\varepsilon)^{d}}(\cF_{\varepsilon}\psi)
\end{align*}

Les opérateurs de Hilbert-Schmidt sur $L^{2}(X,\lambda_{X})$ sont les
opérateurs compacts $A$ tels que $A^{*}A$ est à trace. C'est un espace
de Hilbert muni de la norme donnée par
$\|A\|_{HS}^{2}=\Tr(A^{*}A)$. De plus la relation
$$
\forall u\in L^{2}(X,\lambda_{X}),\quad
Au(x)=\int_{X}A(x,y)u(y)\,d\lambda_{X}(y)
$$
définit un isomorphisme entre l'espace des opérateurs de
Hilbert-Schmidt et l'espace \hbox{$L^{2}(X\times X, d\lambda_{X}\otimes
d\lambda_{X};\cz)$}.

Une variante de la transformée de Fourier est le cas où $X=V$ est un
espace symplectique, $\dim V=2d$,
avec mesure de Lebesgue normalisée par
$\lambda_{V}^{\varepsilon}=dx\,\sfrac{d\xi}{(2\pi \varepsilon)^{d}}$ dans une
base symplectique (une base dans laquelle
$\sigma=\sum_{j=1}^{d}\d\xi_{j}\wedge dx_{j}$).
La forme bilinéaire non dégé\-né\-rée~$\sigma$
permettant d'identifier $V$ à son dual, on notera alors
$$
\hat{\varphi}(v)=\int_{V}e^{-\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v,v')}\varphi(v')\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v').
$$
L'écriture $\hat{\varphi}(x,\xi)=[(\cF_{\varepsilon}\otimes \cF_{\varepsilon}^{-1})\varphi](\xi,x)$
assure que $\varphi\mto \hat{\varphi}$ envoie $\cS(V)$
(\resp $\cS'(V)$) dans lui-même et qu'elle est unitaire sur
$L^{2}(V,\lambda_{V}^{\varepsilon})$. Elle donne aussi
$$
\hat{\hat{\varphi}}=\varphi
$$
tandis qu'en coordonnées symplectiques
$v=(x,\xi)$, avec $\sigma(v,v')=\xi\cdot x'-x\cdot\xi'$, on a
\begin{align*}
\varepsilon D_{\xi_{j}}\hat{\varphi}&=\reallywidehat
{-x_{j}'\varphi},&
\varepsilon D_{x_{j}}\hat{\varphi}&=\reallywidehat{\xi_{j}'\varphi},\\
\tag*{ou~encore}
(\varepsilon D_{v})
\hat{\varphi}
&=
\reallywidehat{-(\Sigma_{d}v')
\varphi},& (\Sigma_{d} \varepsilon D_{v})\hat{f}
&=\reallywidehat{v'f}.
\end{align*}
Nous allons manipuler des intégrales, régulières ou au
sens des distributions, de fonctions à valeurs
opérateurs linéaires continus sur
$L^{2}(\rz^{d})$ ou envoyant continûment $\cS(\rz^{d})$ dans $\cS'(\rz^{d'})$. La~meilleure façon de comprendre ces intégrales
est de se rappeler que de tels opérateurs $A$ sont déterminés pas la famille des scalaires
\[
(\langle \psi,\, A \varphi\rangle)_{\varphi,\psi\in L^{2}\text{ ou }\cS}
\]
et de se ramener ainsi à des intégrales scalaires.

\section{Le théorème de Stone-\texorpdfstring{Von\,Neumann}{Von Neumann}}
\label{sec:stvn}

\subsection{Groupe de Heisenberg}
\label{sec:grheis}

On se donne un espace symplectique $(V,\sigma)$ sur $\rz$ de dimension
$2d$, muni de la mesure de Lebesgue
$\lambda_{V}^{\varepsilon}$
introduite précédemment.

\begin{defini}
\label{de:heis}
On appelle \emph{groupe de Heisenberg} sur $(V,\sigma)$ le groupe $\cN=V\oplus \rz e_{0}$ donné par loi de composition
$$
(v_{1}+r_{1}e_{0})\circ(v_{2}+r_{2}e_{0})=v_{1}+v_{2}+ \Bigl(r_{1}+r_{2}+\frac{\sigma(v_{1},v_{2})}{2}\Bigr)e_{0},
$$
ou avec une notation exponentielle
$$
\exp(v_{1}+r_{1}e_{0})\exp(v_{2}+r_{2}e_{0})=\exp \Bigl(v_{1}+v_{2}+ \Bigl(r_{1}+r_{2}+\frac{\sigma(v_{1},v_{2})}{2} \Bigr)e_{0} \Bigr).
$$
\end{defini}
La mesure de Lebesgue $\lambda_{V}^{\varepsilon}\otimes\lambda_{\rz}$
est une mesure de Haar sur $\cN$, ($\cN$ est
unimodulaire) et $\rz e_{0}$ est le
centre de $\cN$. 

Le groupe de Heisenberg
est un groupe de Lie dont l'algèbre de Lie n'est rien d'autre, en
posant\vspace*{-3pt}
\[
\frac{d}{dt}\exp(t(v+re_{0}))\big|_{t=0}=v+re_{0},
\]
que
${\mathfrak g}=V\oplus \rz e_{0}={\mathfrak g}_{1}\oplus {\mathfrak g}_{2}$ avec\vspace*{-3pt}
$$
\forall v_{1},v_{2}\in {\mathfrak g}_{1},\quad
[v_{1},v_{2}]=\sigma(v_{1},v_{2})e_{0}\in {\mathfrak g}_{2}.
$$
tandis que $[e_{0},v]=0$ et $[e_{0},e_{0}]=0$.
La relation précédente
vient de la différentiation en $s=0$ et $t=0$ de\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
\exp(s(v_{1}+r_{1}e_{0})) \exp(t(v_{2}&+r_{2}e_{0}))\exp(-s(v_{1}+r_{1}e_{0}))\\
&=\exp(t(v_{2}+r_{2}e_{0})
+st\sigma(v_{1},v_{2})e_{0})
\\
&=\exp(t(v_{2}+r_{2}e_{0}))\exp(st\sigma(v_{1},v_{2})e_{0}).
\end{align*}
C'est donc une algèbre de Lie nilpotente de rang $2$ et c'est
d'ailleurs l'algèbre de Lie nilpotente non abélienne la plus
élémentaire (encore plus élémentaire si on prend $\dim V=2$).

Si $\Lambda'$ est un sous-espace lagrangien de $(V,\sigma)$ alors
$H_{\Lambda'}=\Lambda'\oplus \rz e_{0}$ est un sous-groupe abélien (maximal)
de $\cN$.

La notation exponentielle que nous adopterons
par la suite indique, entre autres, que l'on peut remplacer
$\mathcal{N}=V\times\rz$ par $V\times \sz^{1}$, voire remplacer
$V$ par $V/\mathcal{L}$ ou $\mathcal{L}$ est un réseau tel que
$\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(\mathcal{L}\times \mathcal{L})\subset (2\pi\zz)$.

\subsection{Algèbre de Weyl, produit de Moyal}
\label{sec:algweyl}

On se donne une représentation unitaire continue $\varrho:\cN\to \cH_{\varrho}$ telle que
$\varrho(\exp(re_{0}))=e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}r}\Id_{\cH_{\varrho}}$ et on rappelle que\vspace*{-3pt}
$$
\cA_{\varrho}=\left\{\int_{\cN}\varPhi(v,r)\varrho(\exp(v+re_{0}))\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v)dr\Bigm|
\varPhi\!\in\!L^{1}(\cN,\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}dr;\cz)\right\}
$$
est une algèbre d'opérateurs bornés avec $\varrho(\Phi*_{\cN}\Psi)=\varrho(\varPhi)\circ\varrho(\Psi)$ et
$\varrho(\bar\varPhi)=\varrho(\varPhi)^{*}$.
Pour $f\in \cS(V)$ et $\chi\in L^{1}(\rz,dr;\cz)$ telle que
$\int_{\rz}\chi(r)\,dr=1$ on note\vspace*{-3pt}
$$
W_{\varrho}(f)=\varrho(\hat{f}\otimes (\chi e^{-\sfrac{i}{\varepsilon}.})),
$$
où $\hat{f}$ est la transformée de Fourier symplectique, paramétrée
par $\varepsilon$, introduite au paragraphe~\ref{sec:fourier}.
\begin{propo}
Pour $f\in \cS(V)$, l'opérateur
$W_{\varrho}(f)\in \cL(\cH_{\varrho})$:
$$
W_{\varrho}(f)=\int_{V}\hat{f}(v)\varrho(\exp(v))\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v)
$$
ne dépend pas du choix de $\chi$.
Pour deux fonctions $f_{1},f_{2}\!\in\!\cS(V)$, on~a
\[
W_{\varrho}(f_{1})\circ W_{\varrho}(f_{2})=W_{\varrho}(f_{1}\moyaleps f_{2}),
\]
où $f_{1}\moyaleps f_{2}$ est le produit de Moyal donné par
\begin{multline}
\label{eq:Moyal}
f_{1}\moyaleps f_{2}(v)=
\reallywidehat{
\left[e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(v'_{1},v'_{2})}\hat{f}_{1}(v'_{1})\hat{f}_{2}(v'_{2})
\right]}(v,v)\\
=e^{\Psfrac{i\varepsilon}{2}\sigma(D_{v_{1}},D_{v_{2}})}
(f_{1}\otimes f_{2})
\big|_{v_{1}=v_{2}=v}.
\end{multline}
Ce produit $\moyaleps$ sur $\mathcal{S}(V)$, est une application bilinéaire continue de $\cS(V)\times
\cS(V)$ dans $\cS(V)$, ne dépendant de la représentation
$\varrho$ que par le choix du caractère central
$\varrho(\exp(re_{0}))=e^{\sfrac{ir}{\varepsilon}}\Id_{\cH_{\varrho}}$.
\end{propo}
Ainsi $(\cS(V),\moyaleps)$ a une structure
d'algèbre, appelée algèbre de Weyl, et
$W_{\varrho}: (\cS(V),\moyaleps)\to (\cL(\cH_{\varrho}),\circ)$ est un morphisme d'algèbre avec de plus
$W_{\varrho}(\overline{f})=W_{\varrho}(f)^{*}$.

\begin{proof}
Pour l'indépendance par rapport au choix de $\chi$, on écrit
simplement
\begin{align*}
W_{\varrho}(f)&=\int_{\cN}\hat{f}(v)\chi(r)e^{-\Psfrac{i}{\varepsilon}r}\varrho(\exp(v+re_{0}))
\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v)dr\\
&=\int_{V}\hat{f}(v)\varrho(\exp(v))\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v)\underbrace{\int_{\rz}\chi(r)\,dr}_{=1}.
\end{align*}
Pour la composition on écrit
\begin{multline*}
W_{\varrho}(f_{1})W_{\varrho}(f_{2})\\
\shoveright{=\int_{V\times
V}\hat{f}_{1}(v_{1})\hat{f}_{2}(v_{2})\varrho(\exp(v_{1}))\varrho(\exp(v_{2}))~
d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v_{1})
d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v_{2})}\\
\shoveright{=\int_{V\times
V}\hat{f}_{1}(v_{1})\hat{f}_{2}(v_{2})e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(v_{1},v_{2})}\varrho(\exp(v_{1}+v_{2}))
\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v_{1})d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v_{2})}
\\
\shoveright{=\int_{V\times V\times V}
\hat{f}_{1}(v'_{1})\hat{f}_{2}(v'_{2})e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(v_{1}',v_{2}')}(2\pi\varepsilon)^{d}\delta((v'_{1}+v'_{2})-v)} \\\times\varrho(\exp(v))~
d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v'_{1})d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v'_{2})d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v).
\end{multline*}
On utilise alors $(2\pi\varepsilon)^{d}\reallywidehat{\delta(\cbbullet-v_{0})}=e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v_{0},\bbullet)}$ qui donne avec la transformée de Fourier symplectique sur $(V\oplus V,\sigma\oplus \sigma)$
$$
(2\pi\varepsilon)^{d}\reallywidehat{[\delta(v_{1}'+v_{2}'-v)]}(v_{1},v_{2})=(2\pi\varepsilon)^{d}\delta(v_{1}-v_{2})e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v,v_{1})}.
$$
Toujours dans $V\oplus V$, la formule de Parseval $\int_{V\oplus V}
\hat{F}\overline{\hat{G}}\,d\lambda_{V\oplus
V}^{\varepsilon}=\int_{V\oplus V} F\overline{G}\,d\lambda_{V\oplus
V}^{\varepsilon}$ appliquée
avec
\begin{align*}
F(v_{1}',v_{2}')&=\hat{f}_{1}(v'_{1})\hat{f}_{2}(v'_{2})e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(v_{1}',v_{2}')}\\
\tag*{et}
G(v_{1},v_{2})&=(2\pi\varepsilon)^{d}\delta(v_{1}-v_{2})e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v,v_{1})}
\end{align*}
donne
$$
W_{\varrho}(f_{1})W_{\varrho}(f_{2})=
\int_{V}\reallywidehat{(f_{1}\moyaleps f_{2})}(v)\varrho(\exp(v))\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v)
$$
avec
$$
(f_{1}\moyaleps f_{2})(v)=\reallywidehat{\left[e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(v'_{1},v'_{2})}\hat{f}_{1}(v'_{1})\hat{f}_{2}(v'_{2})\right]}(v,v),
$$
qui est la première égalité de \eqref{eq:Moyal}. La décomposition
\begin{align*}
(f_{1},f_{2})\mto (\hat{f}_{1},\hat{f}_{2})\mto \hat{f}_{1}\otimes \hat{f}_{2}&\mto\!
e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(v'_{1},v'_{2})}(\hat{f}_{1}\otimes \hat{f}_{2})\\
&\mto\!
\reallywidehat{e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(v'_{1},v'_{2})}(\hat{f}_{1}\otimes\hat{f}_{2})}
\!\mto\! f_{1}\moyaleps f_{2}
\end{align*}
montre tout de suite que $\moyaleps$ est bilinéaire
continue de $\cS(V)\times \cS(V)$ dans $\cS(V)$.

Pour la dernière égalité, il suffit de remarquer que
$$
\reallywidehat{e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(v'_{1},v'_{2})}(\hat{f}_{1}\otimes
\hat{f}_{2})}=e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(\Sigma_{d}(\varepsilon
D_{v_{1}}),\Sigma_{d}(\varepsilon D_{v_{2}}))}(f_{1}\otimes f_{2})
$$
avec ${}^{t}\Sigma_{d}\Sigma_{d}\Sigma_{d}=-{}^{t}\Sigma_{d}=\Sigma_{d}$.
\end{proof}

\begin{remark}
La dernière écriture
\[
f\moyaleps g(v)=e^{\Psfrac{i\varepsilon}{2}\sigma(D_{v_{1}},D_{v_{2}})}f\otimes
g\big|_{v_{1}=v_{2}=v},
\]
en travaillant avec $\varepsilon=1$ pour
les transformations de Fourier, assure
que la continuité du produit de Moyal~$\moyaleps:\cS(V)\times\cS(V)\to \cS(V)$
est uniforme par rapport au paramètre $\varepsilon\in{}]0,1]$. Nous
reviendrons sur ce point au paragraphe~\ref{sec:micro}.
\end{remark}
Notons de plus pour $v_{0}\in V$,
\begin{align*}
\varrho(\exp(v_{0}))\circ
W_{\varrho}(f)
&=\int_{V}\hat{f}(v)\varrho(\exp(v_{0}+v))e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(v_{0},v)}\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v)
\\
&=
\int_{V}\reallywidehat{f(\cbbullet-v_{0}/2)}(v-v_{0})\varrho(\exp(v))\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v)\\
&=
\int_{V}\reallywidehat{e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v_{0},\bbullet)}f(\cbbullet-v_{0}/2)}(v)\varrho(v)\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v).
\end{align*}
Comme
\begin{align*}
\varrho(\exp(v_{0}))&=\int_{V}(2\pi\varepsilon)^{d}\delta_{v_{0}}(v)\varrho(\exp(v))\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v)\\
\tag*{et}
\reallywidehat{(2\pi\varepsilon)\delta_{v_{0}}}&=e^{-\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(\bbullet,v_{0})}=e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v_{0},\bbullet)},
\end{align*}
il est naturel de poser
$\varrho(\exp(v_{0}))=W_{\varrho}(e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v_{0},\bbullet)})$. Par
un calcul direct, la première égalité dans~(\ref{eq:Moyal}) se
généralise en
$$
e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v_{0},\bbullet)}f(\cbbullet-v_{0}/2)=(e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v_{0},\bbullet)})\moyaleps f\in
\cS(V)\quad\text{pour}~f\in \cS(V),
$$
avec
$W_{\varrho}((e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v_{0},\bbullet)})\moyaleps f)=\varrho(\exp(v_{0}))W_{\varrho}(f)$
et la formule symétrique en passant par
l'adjoint. On voit aussi que la définition de
$W_{\varrho}(f)$ consiste à commuter $W_{\varrho}$ et le signe
d'intégration dans
$$
f=\int_{V}e^{-\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(\bbullet,v)}\hat{f}(v)\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v)=\int_{V}\hat{f}(v)e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v,\bbullet)}\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v)
$$
La conjugaison par $\exp(v_{0})$ dans $\mathcal{N}$ donne encore plus simplement
$$
\varrho(\exp(v_{0}))W_{\varrho}(f)\varrho(\exp(-v_{0}))=W_{\varrho}(f(\cbbullet-v_{0})).
$$
Les automorphismes intérieurs de $\mathcal{N}$ s'interprètent donc
dans la représentation $\varrho$ comme des translations dans l'espace
symplectique $V$.
\subsection{Représentation de Schrödinger}
\label{sec:repschro}

Si $\varrho: \cN\to \cH_{\varrho}$
est une représentation unitaire (continue)
irréductible de $\cN$, non triviale au sens où $\cH_{\varrho}\neq \cz$, alors $\varrho(\exp(re_{0}))$ commute avec
$\varrho(\cN)$ et vaut
$\varrho(\exp(re_{0}))=e^{i\alpha r}\Id_{\cH_{\rho}}$ pour un
certain $\alpha\in
\rz^{*}$ (le cas $\alpha=0$ rendrait $\varrho(\cN)$ commutatif et
donc par irréductibilité imposerait $\cH_{\varrho}=\cz$). En~changeant $e_{0}$ en $\Psfrac{1}{\alpha}e_{0}$ et de façon cohérente
$\sigma$ en $\alpha\sigma$ on pourrait se ramener au cas $\alpha=1$,
mais gardons de façon plus générale $\alpha=\sfrac{1}{\varepsilon}$ et
supposons $\varepsilon>0$.

Pour $\Lambda'$ sous-espace lagrangien de $V$,
le caractère central
\[
\omega:\exp(re_{0})\mto \omega(\exp(re_{0}))=e^{\sfrac{ir}{\varepsilon}}
\]
se
prolonge en un caractère (\ie une représentation unitaire de
dimension~$1$) sur le sous-groupe abélien
$H_{\Lambda'}=\Lambda'\oplus \rz
e_{0}$ par
$$
\forall \xi\in \Lambda',\; \forall r\in\rz,\quad\omega(\xi\oplus re_{0})=e^{\sfrac{ir}{\varepsilon}}.
$$
\begin{defini}
Soit $\Lambda'$ un sous-espace lagrangien de $V$. On appelle \emph{représentation
de Schrödinger} de $\cN$, associée à $\Lambda'$ et
au caractère central $\omega(\exp(re_{0}))=e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}r}$,
la représentation induite $\varrho_{S}:\cN\to \mathcal{U}(\Ind_{H_{\Lambda'}}^{\cN}\omega)$.
\end{defini}

Il convient d'expliquer l'appellation représentation de Schrödinger. Si $\Lambda$ est un sous-espace lagrangien de $(V,\sigma)$
supplémentaire à
$\Lambda'$, identifié au dual de
$\Lambda$ via $\sigma$, on sait que l'on peut trouver
une base $(e_{1},\ldots,e_{d})$ de $\Lambda$ et $(e_{1}^{*},\ldots,
e_{d}^{*})$ de $\Lambda'$, base duale, c'est-à-dire telle que
$\sigma(e_{i}^{*},e_{j})=\delta_{i,j}$. En coordonnées
$x=\sum_{i}x_{i}e_{i}$ et $\xi=\sum_{i}\xi_i e_{i}^{*}$ on identifie
donc $e_{i}^{*}=dx_{i}$, $e_{i}=d\xi_{i}$ et ainsi
$$
\sigma=d\xi\wedge dx=\sum_{i}d\xi_{i}\wedge dx_{i}.
$$
On notera que:
\begin{itemize}
\item $\cN/H_{\Lambda'}\sim \Lambda$ est muni de la mesure de
Lebesgue $dx$ invariante par l'action de $\cN$ à gauche (et à
droite car $H_{\Lambda'}$ est un sous-groupe distingué).
\item Un élément $\varphi$ de $\Ind_{H_{\Lambda'}}^{\cN}\omega$, c'est-à-dire une fonction $\varphi:\cN\to \cz$
mesurable
telle que
$$
\forall \xi'+r'e_{0}\in H_{\Lambda'},\quad\!
\varphi(g\exp(-(\xi'+r'e_{0})) )=e^{\Psfrac{ir'}{\varepsilon}}\varphi(g)\text{ p.p.~en~}g\!\in\!\cN
$$
ou encore en notant simplement
$\varphi(x,\xi,r)\!=\!\varphi(\exp(x,\xi,r))$,
$x{\in}\Lambda\!\sim\!\nobreak\rz^{d}$,
$\xi\in \Lambda'\sim\rz^{d}$,
$r\in\rz$,
\begin{multline*}
\forall (\xi',r')\in \rz^{d+1},
\quad\varphi(x,\xi-\xi', r-r'+\sfrac{\xi'{\cdot} x}{2})=e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}r'}\varphi(x,\xi,r)\\
\text{p.p.~en~} (x,\xi,r)\in \rz^{2d+1},
\end{multline*}
est caractérisée par
$$
\varphi(x,\xi,r)=\varphi(x,0,0)e^{-\Psfrac{i}{\varepsilon}(r+\sfrac{\xi\cdot x}{2})}
$$
avec $|\varphi(x,\xi,r)|=|\varphi(x,0,0)|$ pour presque tout $x\in\Lambda\sim\rz^{d}$. Ainsi
$\varphi\mto \varphi(\bbullet,0,0)$ définit une application unitaire de
$\Ind_{H_{\Lambda',\omega}}^{\cN}$ sur
$L^{2}(\Lambda,dx;\cz)\sim L^{2}(\rz^{d},dx;\cz)$.
\item Enfin l'action par $g_{0}=\exp(x_{0},\xi_{0},r_{0})\in \cN$ sur une fonction $\varphi\in
\Ind_{H_{\Lambda'}}^{\cN}\omega$ est donnée par
\begin{align*}
[\varrho_{S}(g_{0})\varphi](x,0,0)&=\varphi(x-x_{0},-\xi_{0},-r_{0}-\sfrac{\xi_{0}{\cdot} x}{2})\\
&=\varphi(x-x_{0},0,0)e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}(r_{0}+\frac{\xi_{0}\cdot x}{2}+\frac{\xi_{0}\cdot(x-x_{0})}{2})}\\
&=\varphi(x-x_{0},0,0)e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}r_{0}}e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\xi_{0}\cdot(x-x_{0}/2)}.
\end{align*}
Et on trouve
\begin{gather*}
\varrho_{S}(g_{0})\varphi=e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}(r+\sfrac{\xi_{0}\cdot x_{0}}{2})}U_{x_{0}}V_{\xi_{0}}\varphi\\
\tag*{avec}
U_{x_{0}}\varphi(x)=e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\xi_{0}\cdot x}\varphi(x),\quad
V_{\xi_{0}}\varphi=\varphi(\cbbullet-x_{0})=
e^{-\Psfrac{i}{\varepsilon}x_{0}\cdot(\Psfrac{\varepsilon}{i}\partial_{x})}\varphi.
\end{gather*}
C'est donc la généralisation $d$-dimensionnelle du cas présenté dans
l'introduction (avec $\varepsilon=\hbar$, $x=q$, $\xi=p$)
plus précisément
sous la forme \eqref{eq:heis2} qui correspond à la définition~\ref{de:heis}.
\end{itemize}

\medskip
Avec ce que nous venons de discuter, il est intéressant d'exprimer
dans les coordonnées $x\in \Lambda\sim \rz^{d}$ et $\xi\in
\Lambda'$, $\mathrm{Ind}_{H_{\Lambda'}}^{\cN}\omega=L^{2}(\rz^{d},dx)$ les éléments de l'algèbre de Weyl,
$W_{\varrho_{S}}(f)$, $f\in \cS(\Lambda\oplus \Lambda'=V)$. Nous écrivons maintenant $\varphi(x)=\varphi(x,0,0)$, $x\in
\Lambda\sim\rz^{d}$ et pour $v'=(x',\xi')\in V$ (\ie $r=0$)
$$
[\varrho_{S}(\exp(v'))\varphi](x)=e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\xi'\cdot(x-x'/2)}\varphi(x-x')
$$
Travaillons d'abord avec $\varphi\in \cS(\rz^{d})$, pour
calculer
\begin{align*}
[\varrho_{S}(\exp(v')&)\varphi](x)
=
\int_{\rz^{d}}e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\xi'\cdot(x-x'/2)}\delta(y-x+x')\varphi(y)\,dy
\\
&=\int_{\rz^{d}}\left[\int_{\rz^{d}}e^{\sfrac{i\xi\cdot(x-y)}{\varepsilon}}e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}(\xi'\cdot\psfrac{x+y}{2}-x'\cdot\xi)}~\frac{d\xi}{(2\pi\varepsilon)^{d}}\right]\varphi(y)\,dy
\end{align*}
Pour $f\in \cS(V)$, nous en déduisons
$$
[W_{\varrho_{S}}(f)\varphi](x)=
\int_{V}\hat{f}(v')[\varrho_{S}(v')\varphi](x)\,d\lambda_{V}(v')
=
\int_{\rz^{d}}
A_{f}(x,y)\varphi(y)\,dy
$$
avec
\begin{align*}
A_{f}&(x,y)\\
&=
\int_{V}\hat{f}(v')
\left[\int_{\rz^{d}}e^{\sfrac{i\xi\cdot(x-y)}{\varepsilon}}e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}(\xi'\cdot\psfrac{x+y}{2}-x'\cdot\xi)}~\frac{d\xi}{(2\pi\varepsilon)^{d}}\right]\
\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v')
\\
&=\int_{\rz^{d}}
e^{\sfrac{i\xi\cdot(x-y)}{\varepsilon}}
\left[
\int_{V}e^{-\Psfrac{i}{\varepsilon}(\psfrac{x+y}{2}\cdot\xi'-\xi\cdot x')}\hat{f}(v')\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v')\right]
~\frac{d\xi}{(2\pi\varepsilon)^{d}},
\end{align*}
où l'on reconnaît dans le dernier crochet
\[
\hat{\!\hat{f}}(\psfrac{x+y}{2},\xi)=f(\psfrac{x+y}{2},\xi).
\]


On obtient donc pour $f\in \cS(V)$
\begin{align}
\label{eq:noyauWf}
[W_{\varrho_{S}}(f)\varphi](x)&=\int_{\rz^{d}}A_{f}(x,y)\varphi(y)\,dy\\
\text{avec} \qquad
\label{eq:Af}
A_{f}(x,y)&=\int_{\rz^{d}}e^{\sfrac{i\xi\cdot(x-y)}{\varepsilon}}f(\psfrac{x+y}{2},\xi)~\frac{d\xi}{(2\pi\varepsilon)^{d}}\\
&=
[(\Id\otimes\cF_{\varepsilon}^{-1})f](\psfrac{x+y}{2},x-y)\notag\\
\label{eq:invAf}
\text{et}\qquad
f(x,\xi)&=\int_{\rz^{d}}e^{-\sfrac{i \xi.s}{\varepsilon}}A_{f}(x+\sfrac{s}{2},x-\sfrac{s}{2})\,ds,
\end{align}
et comme $A_{f}{\in} \cS(\rz^{2d})$ pour $f{\in} \cS(V)$ avec
$W_{\varrho_{S}}(f){\in} \cL(L^{2}(\rz^{d},dx))$, la~première
égalité à un sens pour $\varphi\in L^{2}(\rz^{d},dx)$ par
densité.

L'application $f\mto W_{\varrho}(f)$ est appelée \emph{quantification de
Weyl}, et $f$ est appelé \emph{symbole de Weyl} de l'opérateur
$W_{\varrho_{S}}(f)$.
\subsection{Énoncé et démonstration du théorème}
\label{sec:enonStVN}

\newtheorem*{thmsvn}{Théorème de Stone-Von\,Neumann}
\begin{thmsvn}
Toute représentation unitaire irréductible non triviale $\varrho:\cN\to \mathcal{U}(\cH_{\varrho})$ du groupe de Heisenberg
$\cN$ telle que $\varrho(\exp(re_{0}))=e^{\sfrac{ir}{\varepsilon}}\Id_{\cH_{\varrho}}$
est unitairement équivalente à une représentation de
Schrödinger $\varrho_{S}=\mathrm{Ind}_{H_{\Lambda'}}^{\cN}\omega$
avec $\omega(\exp(\xi+re_{0}))=e^{\sfrac{ir}{\varepsilon}}\in\cz$ pour
$\xi\in \Lambda'$.
\end{thmsvn}

Le premier résultat concerne
l'irréductibilité de la représentation de Schrödinger.
\begin{propo}
La représentation de Schrödinger $\varrho_{S}$ associée~au~sous-espace lagrangien~$\Lambda'$ et au caractère central $\omega(\exp(re_{0}))=e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}r}$, est irréductible.
\end{propo}
\begin{proof}
La relation~(\ref{eq:Af}) nous donne
$$
\int_{\rz^{2d}}|A_{f}(x,y)|^{2}\,dx\,dy=\int_{V}|f(v)|^{2}\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v),
$$
de telle sorte que $f\mto W_{\varrho_{S}}(f)$ initialement défini
pour $f\in \cS(V)$, se prolonge en fait comme un opérateur
continu de $L^{2}(V,d\lambda_{V}^{\varepsilon})$ dans l'espace des
opérateurs de Hilbert-Schmidt
$\cL^{2}(L^{2}(\Lambda\sim\rz^{d},dx))$. L'inversion~(\ref{eq:invAf}) nous dit que cette application est unitaire
de $L^{2}(V,d\lambda_{V}^{\varepsilon})$ sur $\cL^{2}(L^{2}(\Lambda,dx))$.

Si $B\in \cL(L^{2}(\Lambda,dx))$ commute avec tous les
$\varrho_{S}(g)$, $g\in \cN$, alors il commute avec tous les
$W_{\varrho_{S}}(f)$, $f\in L^{2}(V,d\lambda_{V}^{\varepsilon})$,
\ie avec tous les opérateurs de Hilbert-Schmidt. Ainsi $B$ commute
avec tous les opérateurs de rang $1$ dans $L^{2}(\Lambda,dx)$, $\varphi \mto
\langle \psi_{1},\, \varphi\rangle \psi_{2}$,
$\psi_{1},\psi_{2}\in L^{2}(\Lambda,dx)$, ce qui implique $B=\lambda\Id_{L^{2}(\Lambda,dx)}$.
\end{proof}
On fixe maintenant $\psi\in \cS(\Lambda\sim\rz^{d})$
telle que
$\|\psi\|_{L^{2}}=1$. Le projecteur orthogonal
$P=|\psi\rangle\langle
\psi|$ a la forme~(\ref{eq:noyauWf}) avec
$A_{f}(x,y)=\psi(x)\overline{\psi(y)}\in \cS(\rz^{2d})$
et donc $P=|\psi\rangle\langle
\psi|=W_{\varrho_{S}}(f)$ avec $f\in \cS(V)$, $f\neq 0$.
Les relations\vspace*{-3pt}
$$
P^{2}=P,\quad P^{*}=P,\quad
PW_{\varrho_{S}}(g)P=\underbrace{\langle\psi,\,
W_{\varrho_{S}}(g)\psi\rangle}_{{}=\alpha_{\psi}(g)}~P,\vspace*{-3pt}
$$
avec $g=\exp(v+re_{0})\in \cN$, $v\in V$,
se traduisent par
\begin{equation}
\label{eq:pptef}
f\moyaleps f=f,\quad \overline{f}=f,\quad
f\moyaleps(e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v,\bbullet)}e^{\sfrac{ir}{\varepsilon}})\moyaleps f=\alpha_{\psi}(g)f.
\end{equation}

\skpt
\begin{proof}[Démonstration du théorème de Stone-Von\,Neumann]
Soit $\varrho$ une représentation irréductible de $\cN$ telle que
$\varrho(\exp(re_{0}))=e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}r}\Id_{\cH_{\varrho}}$ et soit $f$ la fonction de $S(V)$ introduite
précédemment. Les relations~(\ref{eq:pptef}) donnent
\begin{gather*}
W_{\varrho}(f)\circ W_{\varrho}(f)=W_{\varrho}(f),\quad
W_{\varrho}(f)^{*}=W_{\varrho}(f),\\
W_{\varrho}(f)\varrho(g)W_{\varrho}(f)=\alpha_{\psi}(g)W_{\varrho}(f).
\end{gather*}
En particulier $W_{\varrho}(f)$ est une projection orthogonale. La démonstration se fait maintenant en deux étapes.

\begin{enumerate}
\item\label{enum:pfVN1}
L'ensemble $E=\left\{\varrho(\exp(v))W_{\varrho}(f)\varphi\sep \varphi\in \cH_{\varrho},\, v\in V\right\}$ est dense dans $\cH_{\varrho}$. Pour vérifier cela, on prend $\varphi,
\varphi'\in \cH_{\varrho}$ et on calcule
\begin{align*}
\langle \varphi',\,
W_{\varrho}(\exp(v_{1}))&W_{\varrho}(f)W_{\varrho}(\exp(-v_{1}))\varphi\rangle=\langle
\varphi',\, W_{\varrho}(f(\cbbullet-v_{1}))\varphi\rangle\\
&=\int_{V}\reallywidehat{f(\cbbullet-v_{1})}(v)
\langle
\varphi',\,\varrho(\exp(v))\varphi\rangle\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v)\\
&=
\int_{V}\left[\hat{f}(v)\langle
\varphi',\,\varrho(\exp(v))\varphi\rangle\right]
e^{-\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v,v_{1})}\,d\lambda_{V}^{\varepsilon}(v),
\end{align*}
où le dernier membre est la transformée de Fourier, évaluée en $-v_{1}$, de la fonction
$v\mto \hat{f}(v)\langle \varphi',\,
\varrho(\exp(v))\varphi\rangle\in
L^{2}(V,d\lambda_{V}^{\varepsilon})$.
Ainsi, si $\varphi'\in E^{\perp}$, cette fonction doit être
nulle. Mais comme $\hat{f}\neq 0$, il existe $v_{0}\in V$ tel que
$$
\forall \varphi\in \cH_{\varrho},\quad \langle\varphi',\, \varrho(\exp(v_{0}))\varphi\rangle=0,
$$
et comme $\varrho(\exp(v_{0}))\cH_{\varrho}=\cH_{\varrho}$, cela entraîne $\varphi'=0$.

\item\label{enum:pfVN2}
Pour $\varphi'_{1}=W_{\varrho}(f)\varphi_{1}$,
$\varphi'_{2}=W_{\varrho}(f)\varphi_{2}$,
$\varphi_{1},\varphi_{2}\in \cH_{\varrho}$, et $v_{1},v_{2}\in V$ on a
$$
\langle \varrho(\exp(v_{1}))\varphi'_{1},
\varrho(\exp(v_{2}))\varphi'_{2}\rangle
=
\alpha_{\psi}(\exp(-v_{1})\exp(v_{2}))\langle \varphi'_{1},\,
\varphi'_{2}\rangle.
$$
En effet le membre de gauche s'écrit
\begin{align*}
\langle \varrho(\exp(v_{1}))W_{\varrho}(f)\varphi_{1},\,
&\varrho(\exp(v_{2})W_{\varrho}(f)\varphi_{2})\rangle\\
&=
\langle \varphi_{1},\, W_{\varrho}(f)\varrho(-v_{1})\varrho(v_{2})
W_{\varrho}(f)\varphi_{2}\rangle\\
&=
\langle \varphi_{1},\,
W_{\varrho}(f\moyaleps(e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(v,\bbullet)}e^{i\sfrac{r}{\varepsilon}})\moyaleps
f)\varphi_{2}\rangle,
\\
&=
\langle \varphi_{1},\, \alpha_{\psi}(g)W_{\varrho}(f)\varphi_{2}\rangle
\\
&=\alpha_{\psi}(g)\langle W_{\varrho}(f)\varphi_{1},\,
W_{\varrho}(f)\varphi_{2}\rangle=\alpha_{\psi}(g)\langle \varphi'_{1},\,
\varphi'_{2}\rangle,
\end{align*}
où l'on a posé $g=\exp(v+re_{0})=\exp(-v_{1})\exp(v_{2})$.

\item
Conclusion: On prend $\varphi'=W_{\varrho}(f)\varphi\in
\text{Im}~W_{\varrho}(f)$ non nul. On sait qu'il en existe un d'après
\eqref{enum:pfVN1} et on peut le normaliser par $\|\varphi'\|=1$. Alors l'identité
du \eqref{enum:pfVN2} nous dit
\begin{align*}
\langle \varrho(\exp(v_{1}))\varphi',\,
\varrho(\exp(v_{2}))\varphi'\rangle&=\alpha_{\psi}(\exp(-v_{1})\exp(v_{2}))\\
&=\langle\varrho_{S}(\exp(v_{1}))\psi,\, \varrho_{S}(\exp(v_{2}))\psi\rangle.
\end{align*}
Et l'application linéaire $\Phi$ de
\begin{align*}
F_{\varrho_{S},\psi}&=\Vect(\varrho_{S}(\exp(v))\psi, v\in V)\\
&=\biggl\{\sum_{i\in I,
I~\text{fini}}\alpha_{i}\varrho_{S}(\exp(v_{i}))\psi\biggr\}\subset
\mathcal{H}_{\varrho_{S}}
\end{align*}
dans
$F_{\varrho,\varphi'}=\Vect(\varrho(\exp(v))\varphi',\, v\in
V)\subset \mathcal{H}_{\varrho}$ définie par
$$
\Phi \biggl[\sum_{i\in I,
I~\text{fini}}\alpha_{i}\varrho_{S}(\exp(v_{i}))\psi \biggr]
=
\sum_{i\in I,
I~\text{fini}}\alpha_{i}\varrho(\exp(v_{i}))\varphi'
$$
est une isométrie. Comme $\varrho_{S}$ est irréductible,
$F_{\varrho_{S},\psi}$ est dense dans $\mathcal{H}_{\varrho_{S}}$
(sinon $\overline{F_{\varrho_{S},\psi}}$ serait un sous-espace de
Hilbert propre invariant par $\varrho_{S}(\mathcal{N})$). L'application $\Phi$ se
prolonge en une isométrie de $\mathcal{H}_{\varrho_{S}}$ dans
$\mathcal{H}_{\varrho}$ et
$\Phi(\mathcal{H}_{\varrho_{S}})=\overline{F_{\varrho,\varphi'}}$ est
un sous-espace de Hilbert invariant par $\varrho(\mathcal{H})$.
Comme la représentation $\varrho$ est supposée irréductible on doit
avoir $\overline{F_{\varrho,\varphi'}}=\mathcal{H}_{\varrho}$ et
$\Phi$ est une transformation unitaire de $\mathcal{H}_{\varrho_{S}}$
sur $\mathcal{H}_{\varrho}$.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\pagebreak[2]
\begin{remark}
La démonstration ci-dessous dit aussi deux choses:
\begin{enumerate}
\item
Sous
l'hypothèse d'irréductibilité de $\varrho$, $W_{\varrho}(f)$ est
de rang $1$ et le vecteur $\varphi'$ est défini à un facteur de
module~$1$ près.

\item
Si on supprime l'hypothèse d'irréductibilité de $\varrho$, tout en
gardant la densité de l'étape~(1), alors on a $\varrho=\varrho_{S}\otimes \Id_{\mathcal{H}_{1}}$, où
$\mathcal{H}_{1}=\mathrm{Im}~W_{\varrho}(f)$ (remplacer $\{\varphi'\}$ par une base
hilbertienne $(\varphi'_{j})_{j\in J}$ de $\mathrm{Im}~W_{\varrho}(f)$). Plus
généralement sans hypothèse de densité,
on prend $\mathcal{H}_{1}=\oplus_{k\in
K}^{\perp}\mathrm{Im}~W_{\varrho}(f_{k})$, pour une famille
$(f_{k})_{k\in K}$ qui assure l'orthogonalité.
\end{enumerate}
\end{remark}

\section{Quantification des symplectomorphismes linéaires}
\label{sec:tcan}

Une représentation irréductible $\varrho:\mathcal{N}\to
\mathcal{H}_{\varrho}$ associée au caractère central
$\omega(\exp(re_{0}))=e^{\sfrac{ir}{\varepsilon}}$
est unitairement
équivalente à la représentation de Schrödinger
$\varrho_{S}=\mathrm{Ind}_{H_{\Lambda'}}^{\mathcal{N}}\omega$ avec
$\mathcal{H}_{\varrho_{S}}=L^{2}(\Lambda,dx)$, quand~$\Lambda$ et $\Lambda'$ sont deux sous-espaces lagrangiens
supplémentaires. Même si nous allons d'abord regarder ce qui se
passe pour une paire $(\Lambda,\Lambda')$ fixée, la suite montrera
qu'il est utile de faire bouger la paire $(\Lambda,\Lambda')$.

\Subsection{Le groupe symplectique et sa représentation projective}
\label{sec:auto}
À partir de\vspace*{-4pt}\enlargethispage{.5\baselineskip}%
$$
\exp(v_{1}+v_{2})\exp(-v_{1})\exp(-v_{2})=\exp\Bigl(\frac{\sigma(v_{1},v_{2})}{2}e_{0} \Bigr),
$$
on voit qu'un automorphisme de $\mathcal{N}$ de la forme $L\times
\Id$ avec $L$ linéaire sur $V$ doit vérifier\vspace*{-3pt}
$$
\forall v_{1},v_{2}\in V,\quad
\sigma(Lv_{1},Lv_{2})=\sigma(v_{1},v_{2}).
$$
Comme la forme symplectique $\sigma$ détermine un volume orienté
$\Psfrac{(-1)^{d}}{d!}\sigma^{\wedge d}=(dx_{1}\wedge d\xi_{1})\wedge\ldots\wedge
(dx_{d}\wedge d\xi_{d})$ préservé par $L$, on a $\det(L)=1$.
\begin{defini}
On note $\Sp(V,\sigma)$, ou $\Sp_{d}(\rz)$ si $V\sim \rz^{2d}$ et $\sigma=\Sigma_{d}$,
le~groupe des applications linéaires qui préserve $\sigma$.
\end{defini}
Si $V=\rz^{2d}$ et avec $\sigma$ donnée par $\Sigma_{d}$, une
application linéaire symplectique a la forme par blocs $d\times d$\vspace*{-2pt}
$$\arraycolsep3.5pt
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix},\quad{}^{t}ad-{}^{t}bc=\Id_{d},\quad
{}^{t}bd={}^{t}db,\quad {}^{t}ac={}^{t}ca.
$$
En particulier si $d=1$, $\Sp_{1}(\rz)=\SL_{2}(\rz)$.

Pour $L\in \Sp(V,\sigma)$, l'application $\exp(v+re_{0})\to
\varrho(\exp(Lv+re_{0}))\in \mathcal{L}(\mathcal{H}_{\varrho})$ donne une nouvelle représentation
irréductible de $\mathcal{N}$. Le théorème de Stone-Von\,Neumann nous
dit alors qu'il existe une $U_{L}\in \mathcal{U}(\mathcal{H}_{\varrho})$ telle
que
$$
\forall v\in V, \quad \varrho(\exp(Lv))=U_{L}\varrho(\exp(v))U_{L}^{-1}.
$$
De plus si $U'_{L}$ et $U_{L}$ sont deux telles transformations
unitaires, on doit avoir
$$
\forall g\in \mathcal{N},\quad U_{L}^{-1}U_{L}'\varrho(g)=\varrho(g)U_{L}^{-1}U_{L}'
$$
et comme $\varrho$ est irréductible
$
U_{L}^{-1}U'_{L}=\lambda\Id_{\mathcal{H}_{\varrho}}$ avec
$|\lambda|=1$. Ainsi une quantification de la transformation
symplectique $L$, \ie une transformation unitaire sur
$\mathcal{H}_{\varrho}$ associée à $L$, est définie de façon unique
à un facteur de module $1$ près.

Nous savons déjà quantifier les translations en
conjuguant par $\varrho(\exp(v_{0}))$. La quantification des
transformations affines symplectiques, se traduit alors sur l'algèbre
de Weyl tout simplement (utiliser $\sigma(Lv,v')=\sigma(v,L^{-1}v')$
dans $\hat{f}(v)$) par
$$
U_{L}\varrho(\exp(v_{0}))W_{\varrho}(f)\varrho(\exp(-v_{0}))U_{L}^{-1}=W_{\varrho}[f(L^{-1}\cbbullet-v_{0})].
$$
Concentrons nous sur les transformations linéaires. Si $U_{L_{1}}$,
$U_{L_{2}}$, $U_{L_{1}L_{2}}$ sont des transformations unitaires
associées aux transformations symplectiques $L_{1}$, $L_{2}$,
$L_{1}L_{2}$. Avec la relation
\begin{align*}
\forall v\in V, \quad
U_{L_{1}L_{2}}\varrho(\exp(v))U_{L_{1}L_{2}}^{-1}&=
\varrho(\exp(L_{1}L_{2}g))\\
&=U_{L_{1}}\varrho(\exp(L_{2}v))U_{L_{1}}^{-1}\\
&=U_{L_{2}}U_{L_{1}}\varrho(\exp(v))U_{L_{2}}U_{L_{1}}^{-1}
\end{align*}
et encore une fois l'irréductibilité de $\varrho$,
on obtient
$$
U_{L_{1}}U_{L_{2}}\simeq U_{L_{1}L_{2}},
$$
l'équivalence $U \simeq U'$ dans
$\mathcal{U}(\mathcal{H}_{\varrho})$ signifiant qu'il existe $\lambda\in
\mathcal{S}^{1}$ tel que $U'=\lambda U$. On parle de \emph{représentation
projective}.
\subsection{Opérateurs Fourier intégraux}
\label{sec:exlinquant}
On prend $V=\rz^{2d}$ et on travaille avec les coordonnées $x\in
\Lambda=\rz^{d}$ et $\xi\in \Lambda'=\rz^{d}$, ainsi que la
représentation de Schrödinger associée à $\Lambda,\Lambda'$ et
$\omega(\exp(re_{0}))=e^{\sfrac{ir}{\varepsilon}}$.

On rappelle que pour $v_{0}=(x_{0},\xi_{0})\in V$, on a
\[
\varrho_{S}(\exp(tv_{0}))u(x)=e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}
t\xi_{0}\cdot(x-tx_{0}/2)}u(x-tx_{0})
\]
et donc
$$
-i\varepsilon\partial_{t}\varrho_{S}(\exp(tv_{0}))\big|_{t=0}=
\xi_{0}\cdot x-x_{0}\cdot\varepsilon D_{x}=\sigma(v_{0},(x,\varepsilon D_{x})).
$$
Ainsi, la version différentielle de la relation
\[
\varrho_{S}(\exp(Lv_{0}))=U_{L}\varrho_{S}(\exp(v))U_{L}^{-1}
\]
est
$$
\sigma(Lv_{0}, U_{L}^{-1}(x,\varepsilon D_{x})U_{L})=\sigma(v_{0},
(x,\varepsilon D_{x}))
=\sigma(Lv_{0}, L(x,\varepsilon D_{x}))
$$
et donc il suffit de calculer les opérateurs différentiels
$U_{L}^{-1}(x\times) U_{L}$ et $U_{L}^{-1}(\varepsilon D_{x})U_{L}$ pour
déterminer la transformation symplectique $L$.

On se donne une forme quadratique sur $\Lambda\times \Lambda$
$$
\varphi(x,y)=\frac{1}{2}\,{}^{t}x Ax +{}^{t}xBy +\frac{1}{2}\,{}^{t}yCy,
$$
avec $\partial_{x}\partial_{y}\varphi=B$ inversible
$$
{}^{t}A=A,\quad {}^{t}C=C\quad\text{et}~B\in \mathrm{GL}_{d}(\rz).
$$
On pose alors
$$
[I_{\varphi}u](x)=\frac{|{\det}(B)|^{1/2}}{(2\pi\varepsilon)^{d/2}}\int_{\rz^{d}}e^{\sfrac{i\varphi(x,y)}{\varepsilon}}u(y)\,dy
$$
C'est une transformation unitaire dans $L^{2}(\rz^{d},dx)$ (attention
ici on garde la mesure $dx=(2\pi\varepsilon)^{d}\Psfrac{dx}{(2\pi\varepsilon)^{d}}$ même pour la transformée de Fourier)
comme composée des quatre transformations unitaires,
$I_{\varphi}=I_{4}\circ I_{3}\circ I_{2}\circ I_{1}$,
\begin{multline*}
u\Mto{I_{1}}u_{1}(y)= e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}{}^{t}yCy}u(y)
\Mto{I_{2}} u_{2}(y)=\frac{u_{1}(B^{-1}y)}{|\det B|^{1/2}}\\
\Mto{I_{3}} u_{3}=(2\pi\varepsilon)^{d/2}\mathcal{F}_{\varepsilon}^{-1}u_{2}
\Mto{I_{4}}
[I_{\varphi}u](x)=e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}{}^{t}xAx}u_{3}(x).
\end{multline*}
Avec $I_{1}^{-1}(y\times)I_{1}$ et $I_{1}^{-1}(\varepsilon D_{y})I_{1}$ donnés par
\begin{align*}
e^{-\Psfrac{i}{2\varepsilon}{}^{t}yCy}
(y\times)
e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}{}^{t}yCy}&=y\\
\tag*{et}
e^{-\Psfrac{i}{\varepsilon}{}^{t}yCy}(\varepsilon
D_{y})e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}{}^{t}yCy}&=(\varepsilon D_{y})+Cy,
\end{align*}
on obtient la
transformation symplectique
$$
\begin{pmatrix}
y_{1}\\\eta_{1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y\\\eta +Cy
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\Id_{d}&0\\
C &\Id_{d}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y\\
\eta
\end{pmatrix}.
$$
De même $I_{4}$ est associée à la transformation symplectique
$
\begin{smallpmatrix}
\Id_{d}&0\\
A&\Id_{d}
\end{smallpmatrix}.
$\\
Avec
$$
I_{2}^{-1}(y\times)I_{2}=(By\times)\quad\text{et}\quad
I_{2}^{-1}(\varepsilon D_{y})I_{2}=
{}^{t}B^{-1}(\varepsilon D_{y}),
$$
la transformation unitaire $I_{2}$ est associé à la transformation
symplectique de matrice $
\begin{smallpmatrix}
B&0\\0&{}^{t}B^{-1}
\end{smallpmatrix}
$.

Enfin $I_{3}=(2\pi\varepsilon)^{d/2}\mathcal{F}_{\varepsilon}^{-1}$ est la transformée de
Fourier inverse au facteur près:
$$
\mathcal{F}_{\varepsilon}(x\times)\mathcal{F}_{\varepsilon}^{-1}=-\varepsilon
D_{y}\quad\text{et}\quad
\mathcal{F}_{\varepsilon}(\varepsilon D_{x})\mathcal{F}_{\varepsilon}^{-1}=y
$$
est associée à la transformation symplectique de matrice $
\begin{smallpmatrix}
0&-\Id_{d}\\
\Id_{d}&0
\end{smallpmatrix}=\Sigma_{d}.
$
Ainsi $I_{\varphi}$ est bien associée à une transformation
symplectique $\kappa_{\varphi}$ qui est donnée par
\begin{equation}
\label{eq:transfcan}
(y,-\partial_{y}\varphi)\Mto{\kappa_{\varphi}}
(x,\partial_{x}\varphi).
\end{equation}
En effet avec $\partial_{x}\varphi= Ax+By$ et
$-\partial_{y}\varphi=-{}^{t}Bx-Cy$, il suffit de calculer
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\Id_{d}&0\\
A&\Id_{d}
\end{pmatrix}
\Sigma_{d}
\begin{pmatrix}
B&0\\
0&{}^{t}B^{-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\Id_{d}&0\\
C&\Id_{c}
\end{pmatrix}
&\begin{pmatrix}
y\\-{}^{t}Bx-Cy
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\Id_{d}&0\\
A&\Id_{d}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&-\Id_{d}\\
\Id_{d}&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
By\\-x
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
x\\Ax+By
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Comme $B$ est inversible la relation~\eqref{eq:transfcan} définit
parfaitement la transformation symplectique~$\kappa_{\varphi}$.
Mais on observe aussi que l'image par $\kappa_{\varphi}$
du plan lagrangien $\Lambda'=\bigl\{
(0,{}^{t}Bx)\sep x\in\rz^{d}
\bigr\}$
$$
\kappa_{\varphi}(\Lambda')= \bigl\{
(x,Ax)\sep x\in \rz^{d}
\bigr\}
$$
est transverse à $\Lambda'$, \ie $V=\Lambda'\oplus
\kappa_{\varphi}(\Lambda')$, et de même $\kappa_{\varphi}^{-1}(\Lambda')= \bigl\{
(y,-Cy)\sep y\in \rz^{d}
\bigr\}$ est transverse à $\Lambda'$.

L'ensemble des opérateurs $I_{\varphi}$ ne contient pas l'identité et
quand on travaille
avec des groupes de Lie, il s'agit en premier lieu
de comprendre un voisinage de l'identité. On résout cela en composant
à droite par la transformée de Fourier, en fait
$(2\pi\varepsilon)^{-d/2}\cF_{\varepsilon}$ pour l'unitarité sans
changer la mesure de Lebesgue.
\begin{defini}
\label{de:fourint}
Pour une phase quadratique $\varphi(x,\eta)=\frac{1}{2}{}^{t}x Ax
+{}^{t}xB\eta+\frac{1}{2}{}^{t}\eta C\eta$, avec $\det B\neq~0$,
l'opérateur $(2\pi\varepsilon)^{-d/2}I_{\varphi}\circ \mathcal{F}_{\varepsilon}$ donné par
\begin{multline*}
(2\pi\varepsilon)^{-d/2}[I_{\varphi}\circ \mathcal{F}_{\varepsilon}u](x)\\
=|{\det}(\partial_{x\eta}\varphi)|^{1/2}\int_{\rz^{2d}}e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}(\varphi(x,\eta)-\eta\cdot y)}u(y)\frac{d\eta}{(2\pi\varepsilon)^{d}}dy
\end{multline*}
est appelé \emph{opérateur intégral de Fourier de phase $\varphi$}.
\end{defini}
Comme la transformée de Fourier est associée à la transformation
symplectique de matrice $-\Sigma_{d}$, l'opérateur unitaire
$I_{\varphi}\circ \mathcal{F}_{\varepsilon}$ est associé à la
transformation
$$
({}^{t}Bx+C\eta,\eta)=(\partial_{\eta}\varphi,\eta)
\Mto{\tilde{\kappa}_{\varphi}} (x,\partial_{x}\varphi)=(x,Ax+B\eta)
$$
qui envoie le plan lagrangien $\Lambda=\bigl\{({}^{t}Bx,0)\sep
x\in\rz^{d}\bigr\}$ sur $\tilde{\kappa}_{\varphi}\Lambda=\bigl\{(x,Ax)\sep x\in
\rz^{d}\bigr\}$ transverse à~$\Lambda'$, tandis que
$\tilde{\kappa}_{\varphi}^{-1}$ envoie $\Lambda'=\bigl\{(0,B\eta)\sep \eta\in\rz^{d}\bigr\}$ sur
$\bigl\{(C\eta,\eta)\sep \eta\in\rz^{d}\bigr\}$, transverse à
$\Lambda$. 

Les
transformations symplectiques $\tilde{\kappa}_{\varphi}$ pour
$\|A\|+\|B-\Id_{\rz^{d}}\|+\|C\|$ petit décrivent un voisinage de
l'identité dans $\Sp_{d}(\rz)$: en effet, une transformation
symplectique proche de l'identité envoie $\Lambda$ sur un plan
lagrangien transverse à $\Lambda'$ et son inverse envoie $\Lambda'$
sur un plan lagrangien transverse à $\Lambda$. Un plan transverse à
$\Lambda'$ se projette bijectivement sur $\Lambda$ et il est de la forme
$\{(x,Ax)\sep x\in \rz^{d}\}$ avec~$A$ symétrique (écrire $d(Ax)\wedge
dx=\sum_{ij}A_{ij}dx_{i}\wedge dx_{j}=0$) proche de $0$. Cette para\-mé\-trisation de
$\tilde{\kappa}_{\varphi}(\Lambda)$ détermine $A$. De même $C$ est donné par
le paramétrage de l'image inverse de $\Lambda'$. Enfin ${}^{t}B$ est
un automorphisme de $\Lambda$ proche de l'identité.

L'ensemble des transformations symplectiques
$\tilde{\kappa}_{\varphi}$ caractérisées par $V=\tilde{\kappa}_{\varphi}(\Lambda)\oplus\Lambda'$ est un ouvert dense de $\Sp(V)$.

Notons enfin que pour $A=C=0$ et $B=\Id$, $(2\pi\varepsilon)^{-d/2}I_{\varphi}\circ
\mathcal{F}_{\varepsilon}=\mathcal{F}_{\varepsilon}^{-1}\circ
\mathcal{F}_{\varepsilon}=\Id_{L^{2}(\Lambda)}$. On résume:
\begin{enumeratea}
\item
Le groupe symplectique $\Sp_{d}(\rz)$ est connexe et engendré
par les matrices $
\begin{smallpmatrix}
\Id_{d}&A\\0&\Id_{d}
\end{smallpmatrix}
$, $A$ symétrique, $
\begin{smallpmatrix}
B&0\\0&{}^{t}B^{-1}
\end{smallpmatrix}
$, $B$ inversible, et $\Sigma_{d}$.
\item
Si $\Mp_{d}(\rz)$ est un groupe de Lie connexe, de
transformations unitaires $U$, telles que
$U\varrho_{S}(\exp(v))U^{-1}=\varrho_{S}(\exp(Lv))$, avec $L\in
\Sp_{d}(\rz)$, alors il contient l'ensemble des opérateurs Fourier
intégraux, $(2\pi\varepsilon)^{-d/2}I_{\varphi}\circ \mathcal{F}_{\varepsilon}$ avec
$\|A\|+\|B-\Id_{d}\|+\|C\|$ proche de~$0$.
\end{enumeratea}

\begin{defini}
\label{de:} On appelle \emph{groupe métaplectique sur $\rz$}, le groupe
$\Mp_{d}(\rz)$, engendré par l'ensemble des opérateurs Fourier
intégraux, $(2\pi\varepsilon)^{-d/2}I_{\varphi}\circ \mathcal{F}_{\varepsilon}$ avec
$\|A\|+\|B-\Id_{d}\|+\|C\|$ petit.
\end{defini}
C'est la définition suivie par J.\,Leray dans \cite{LerS} alors qu'A.\,Weil
dans \cite{Wei} ou V.I.\,Arnold dans \cite{Arn} y arrivent par des
arguments plus algébriques et topologiques.

Ce qui suit va expliquer que le groupe métaplectique est un revêtement
à deux feuillets de $\Sp_{d}(\rz)$ et qu'en fait il contient tous les
opérateurs de Fourier intégraux $\pm (2\pi\varepsilon)^{-d/2}I_{\varphi}\circ
\mathcal{F}_{\varepsilon}$ avec
$\|A\|+\|B-\nobreak\Id_{d}\|+\|C\|$ petit.

\subsection{L'oscillateur harmonique}
\label{sec:oscharm}

Sur $\rz$,
l'opérateur
\[
O=\frac{-\varepsilon^{2}\partial_{x}^{2}+x^{2}}{2}=a_{\varepsilon}^{*}a_{\varepsilon}+\frac{\varepsilon}{2}
\]
avec
\[
a_{\varepsilon}=\psfrac{\varepsilon\partial_{x}+x}{\sqrt{2}},\quad 
a_{\varepsilon}^{*}=\psfrac{-\varepsilon\partial_{x}+x}{\sqrt{2}},
\]
est
auto-adjoint dans $L^{2}(\rz,dx)$ avec le domaine
$$
D(O)=\left\{u\in
L^{2}(\rz,dx)\Bigm| \partial_{x}^{2}u,\, x\partial_{x}u,
x^{2}u\in L^{2}(\rz,dx)\right\}.
$$
En utilisant
$[a_{\varepsilon},a_{\varepsilon}^{*}]=\varepsilon\Id_{L^{2}}$, sa résolution spectrale est donnée par la base des
fonctions de Hermite:
\begin{gather*}
\varphi_{0}(x)=\frac{e^{-\sfrac{x^{2}}{2\varepsilon}}}{(\pi\varepsilon)^{1/4}},\qquad
\varphi_{n}=\frac{1}{(\varepsilon^{n} n!)^{1/2}}(a_{\varepsilon}^{*})^{n}\varphi_{0},\\
\varphi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}P_{n}(\frac{x}{\sqrt{\varepsilon/2}})\frac{e^{-\sfrac{x^{2}}{2\varepsilon}}}{(\pi\varepsilon)^{1/4}}\qquad O\varphi_{n}=\varepsilon n \varphi_{n},
\end{gather*}
les fonctions $P_{n}$ étant les polynômes de Hermite 
\[
P_{0}=1,\quad P_{n+1}=(-\partial_{x}+x)P_{n}.
\]

La solution de l'équation de Schrödinger
$-i\varepsilon \partial_{t}u=Ou$, $u(0)=\sum_{n\in\nz}\alpha_{n}\varphi_{n}$ est donnée
par
$$
e^{\Psfrac{it}{\varepsilon}O}\biggl(\sum_{n\in\nz}\alpha_{n}\varphi_{n}\biggr)
=e^{it/2}\sum_{n\in\nz}e^{itn}\alpha_{n}\varphi_{n}.
$$
Elle est définie continûment par rapport à $t\in \left\{z\in\cz\sep
\Imag z\geq 0\right\}$ et holomorphe dans $\left\{z\in \cz\sep \Imag
z>0\right\}$.

Des cas particuliers intéressants viennent de
\[
\mathcal{F}_{\varepsilon}(-\varepsilon\partial_{x}+x)\mathcal{F}_{\varepsilon}^{-1}=i(-\varepsilon\partial_{\xi}+\xi),
\]
avec $(2\pi \varepsilon)^{-1/2}\mathcal{F}_{\varepsilon}\varphi_{0}=\varphi_{0}$ qui donne
\[
[(2\pi \varepsilon)^{-1/2}\mathcal{F}_{\varepsilon}]^{\pm 1}\varphi_{n}=(\pm i)^{n}\varphi_{n},
\]
tandis que $\varphi_{n}(x)$ a la parité de $n$:
\begin{gather*}
e^{\Psfrac{i\pi}{2\varepsilon}O}u=e^{\Psfrac{i\pi}{4}}[(2\pi)^{-1/2}\mathcal{F}_{\varepsilon}]u,\quad
e^{\Psfrac{i\pi}{\varepsilon}O}u(x)=i u(-x),\\
e^{\Psfrac{i3\pi}{2\varepsilon}O}u=e^{\Psfrac{3i\pi}{4}}[(2\pi)^{-1/2}\mathcal{F}_{\varepsilon}]^{-1}u.
\end{gather*}
La différentiation de
\[
X(t)=e^{-\Psfrac{it}{\varepsilon}O}(x\times)e^{\Psfrac{it}{\varepsilon}O}\quad\text{et}\quad D(t)=e^{-\Psfrac{it}{\varepsilon}O}(\varepsilon D_{x})e^{\Psfrac{it}{\varepsilon}O}
\]
donne
\begin{align*}
X'(t)&\!=\!
e^{-\Psfrac{it}{\varepsilon}O}\Psfrac{1}{i\varepsilon}[O,x]e^{\Psfrac{it}{\varepsilon}O}
\!=\!e^{-\Psfrac{it}{\varepsilon}O}(-\varepsilon
D_{x})e^{\Psfrac{it}{\varepsilon}O}
\!=\!-D(t)\\
D'(t)&\!=\!e^{-\Psfrac{it}{\varepsilon}O}\Psfrac{1}{i\varepsilon}[O,\varepsilon
D_{x}]e^{\Psfrac{it}{\varepsilon}O}
\!=\!e^{-\Psfrac{it}{\varepsilon}O}(x\times)e^{\Psfrac{it}{\varepsilon}O}
\!=\!X(t)
\end{align*}
dont la solution est
$$
X(t)=\cos(t)x-\sin(t)(\varepsilon D_{x}), \quad
D(t)=\sin(t)x+\cos(t)(\varepsilon D_{x}).
$$
Ainsi $e^{\Psfrac{it}{\varepsilon}O}$ est une quantification de la transformation
symplectique $
\begin{smallpmatrix}
\cos(t)&-\sin(t)\\
\sin(t)&\cos(t)
\end{smallpmatrix}
$
qui est la rotation $R_{t}$ d'angle $t$ dans le plan $\rz_{x}\times
\rz_{\xi}$.
On note en particulier que la condition de transversalité
$\rz^{2}=\rz_{\xi} \oplus R_{t}(\rz_{x})$ n'est satisfaite
que pour $t\not\in \pm\sfrac{\pi}{2}+2\pi\zz$.

On peut écrire $e^{\Psfrac{it}{\varepsilon}O}$ sous la forme d'un
opérateur intégral de Fourier en écrivant
$$
\begin{pmatrix}
\cos(t)&-\sin(t)\\
\sin(t)&\cos(t)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
bx+c\eta\\\eta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x\\
ax+b\eta
\end{pmatrix},
$$
ce qui donne $b=\sfrac{1}{\cos(t)}$, $a=c=\tan t$. Ainsi, pour
$t\not\in \sfrac{\pi}{2}+2\pi\zz$, $e^{\Psfrac{it}{\varepsilon}O}$
s'écrit $\lambda_{t}^{-1}(2\pi\varepsilon)^{-1/2} I_{\varphi}\mathcal{F}_{\varepsilon}$ avec
\begin{align*}
I_{\varphi}u(x)&=\frac{1}{(|\cos(t)|2\pi\varepsilon)^{1/2}}
\int_{\rz}e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sfrac{(\sin(t)x^{2}+2xy+\sin(t)y^{2})}{2
\cos(t)}}u(y)\,dy,\\ |\lambda(t)|&=1.
\end{align*}
Pour déterminer $\lambda(t)$, il suffit de comparer les valeurs en $x=0$ de
\begin{align*}
e^{\Psfrac{it}{\varepsilon}O}\varphi_{0}&=e^{\Psfrac{it}{2}}\varphi_{0}\\
\tag*{et}
\lambda(t)^{-1}I_{\varphi}[(2\pi\varepsilon&)^{-1/2}\mathcal{F}_{\varepsilon}]\varphi_{0}=\lambda(t)I_{\varphi}\varphi_{0}=\lambda(t)^{-1}\frac{1}{(2\pi\varepsilon|\cos(t)|)^{1/2}}\\
&\times\int_{\rz}e^{\sfrac{i(\sin(t)x^{2}+2xy+\sin(t)y^{2})}{2\varepsilon
\cos(t)}}e^{-\sfrac{y^{2}}{2\varepsilon}}~\frac{dy}{(\pi\varepsilon)^{1/4}}.
\end{align*}
On obtient
\begin{align*}
\lambda(t)&=\frac{e^{\sfrac{it}{2}}}{|\cos(t)|^{1/2}}\int_{\rz}e^{-\Psfrac{y^{2}}{2\varepsilon}(1-i\tan(t)}~\frac{dy}{(2\pi\varepsilon)^{1/2}}\\
&=
\frac{e^{\sfrac{it}{2}}}{\sqrt{|\cos(t)|(1-i\tan(t))}}
\end{align*}
en prenant la détermination principale de la racine carrée sur 
\hbox{$\cz\setminus\rz_{-}$}. Le dénominateur étant $2\pi$-périodique on
voit $\lambda(t+2\pi)=-\lambda(t)$.
Outre les singularités en $t=\pm \sfrac{\pi}{2}+2k\pi$, il y a un
changement de signe de $\lambda(t)$ à chaque tour.

Cela entraîne que $\Mp_{1}(\rz)$ contient $\pm \Id_{L^{2}}$ et
tous les éléments $\pm (2\pi\varepsilon)^{-1/2}I_{\varphi}\mathcal{F}_{\varepsilon}$.
En dimension $d$, il suffit de prendre
\[
\mathcal{O}_{1}=\psfrac{-\partial_{x_{1}}^{2}+x_{1}^{2}}{2}
\]
pour voir que $\Mp_{d}(\rz)$ contient $\pm\Id_{L^{2}}$, donc
tous les $\pm (2\pi\varepsilon)^{-d/2}I_{\varphi}\mathcal{F}_{\varepsilon}$.

Si on cherche à simplifier au maximum la représentation projective,
l'exemple de l'oscillateur harmonique montre que l'on ne peut pas s'affranchir de
l'indétermination du signe:
$$
U_{L_{1}}U_{L_{2}}=\pm U_{L_{1}L_{2}}.
$$
\subsection{Indice de Maslov et groupe métaplectique}
\label{sec:meta}
Cette partie sera moins détaillée que ce qui précède.
Nous renvoyons notamment
à \cite{LiVe} pour plus de détails.

L'indice de Maslov permet de clarifier la situation
précédente. On~a vu dans l'exemple de l'oscillateur harmonique en dimension $1$
deux aspects: 1) une singularité apparaît quand l'image du plan
lagrangien $\Lambda=\rz_{x}$ n'est plus transverse à $\Lambda'=\rz_{\xi}$ et dans ce cas
la transformation unitaire est
$e^{i(2n+1)\sfrac{\pi}{4}}[(2\pi\varepsilon)^{-d/2}\mathcal{F}_{\varepsilon}]^{(-1)^{n-1}}$; 2) la
transformation unitaire change de signe après un tour.

Partant d'un voisinage de l'identité dans $\Mp_{1}(\rz)$, on arrive à un voisinage de
la singularité avec
$t=\sfrac{\pi}{2}$ mais en composant avec
$e^{-i\sfrac{\pi}{4}}[(2\pi\varepsilon)^{-d/2}\mathcal{F}_{\varepsilon}]^{-1}$, on peut se ramener au
voisinage de l'identité. Le changement de signe après un tour
s'expliquant par
$(e^{-i\sfrac{\pi}{4}}[(2\pi\varepsilon)^{-d/2}\mathcal{F}_{\varepsilon}]^{-1})^{4}=-\Id_{L^{2}}$. Il
s'agit de mieux comprendre le passage de la singularité.

Ceci étant, travailler en coordonnées $(x,\xi)$ fixées est un peu
artificiel, même si c'est plus commode dans une première
présentation. Si on prend un autre plan lagrangien
$\Lambda'_{1}$ transverse à
$\Lambda$ avec l'angle
$\reallywidehat{\Lambda,\Lambda'_{1}}=\theta_{1}$
(en dimension 1), la singularité dans la représentation de
Schrödinger associée à $\Lambda_{1}'$ pour la quantification de la
rotation $R(t)$ inchangée, apparaîtrait au temps $t=\theta_{1}\neq\sfrac{\pi}{2}$.
Pour deux plans lagrangiens, $\Lambda_{1}',\Lambda_{2}'$, le choix
de $\Lambda$ peut-être quelconque tant qu'il est transverse aux deux
plans $\Lambda_{1}',\Lambda_{2}'$. Il n'est donc pas nécessaire de
préciser $\Lambda$
et pour cela il est plus commode de travailler
avec les représentations induites.
\begin{defini}
Pour un plan lagrangien $\Lambda'$ et un caractère central
$\omega(re_{0})=e^{\sfrac{ir}{\varepsilon}}$, étendu à $H_{\Lambda'}=\Lambda'\times
\rz$, $\varrho_{\Lambda'}$
désigne la représentation de Schrödinger
$\varrho_{\Lambda'}=\mathrm{Ind}_{H_{\lambda}}^{\mathcal{N}}\omega:\mathcal{N}\to
\mathcal{U}(\mathcal{H}_{\varrho_{\Lambda'}})$, où on rappelle
\begin{multline*}
\mathcal{H}_{\varrho_{\Lambda'}}=\Bigl\{
u\in L^{2}(\mathcal{N})\Bigm|
\forall (\xi,r)\in \Lambda'\times\rz,\\
u(g\exp(\xi+re_{0}))=e^{-\sfrac{ir}{\varepsilon}}u(g),
\text{ p.p.~dans}~\mathcal{N}
\Bigr\}.
\end{multline*}
Pour deux plans lagrangiens $\Lambda'_{1},\Lambda'_{2}$ on note
$$
\forall u\in \mathcal{H}_{\Lambda'_{1}},\quad
\mathcal{F}_{\Lambda_{2}',\Lambda'_{1}}u(g)=\int_{\Lambda'_{2}/(\Lambda'_{1}\cap
\Lambda'_{2})}u(g\exp(\xi'))\,d\lambda_{1,2}^{\varepsilon}(\xi'),
$$
la mesure de Lebesgue $\lambda_{1,2}^{\varepsilon}$ étant normalisée
pour que $\|\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}\|=1$.
\end{defini}
\begin{propo}
\label{pr:entrelac}
Pour deux plans lagrangiens $\Lambda'_{1}$, $\Lambda_{2}'$ la
transformation $\mathcal{F}_{\Lambda'_{1},\Lambda'_{2}}$ est unitaire
de $\mathcal{H}_{\varrho_{\Lambda'_{1}}}$ dans
$\mathcal{H}_{\varrho_{\Lambda'_{2}}}$ avec $\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}^{-1}=\mathcal{F}_{\Lambda'_{1},\Lambda'_{2}}$ et entrelace les deux
représentations de Schrödinger:
$$
\forall g\in \mathcal{N},\quad \mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}\varrho_{\Lambda'_{1}}(g)=\varrho_{\Lambda'_{2}}(g)\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}.
$$
\end{propo}
\begin{proof}
On note $\Lambda'_{1,2}=\Lambda'_{1}\cap\Lambda'_{2}$ et on prend un
supplémentaire $\tilde{\Lambda}_{j}$, $j=1,2$, de $\Lambda'_{12}$ dans
$\Lambda'_{j}=\tilde{\Lambda}_{j}\oplus\Lambda'_{1,2}$, avec la notation correspondante
$\xi_{j}=\tilde{\xi}_{j}\oplus \hat{\xi}_{j}$ d'un élément de
$\Lambda'_{j}$. L'espace $\tilde{\Lambda}_{j}$ est isotrope et
$\tilde{\Lambda}_{j}\cap \Lambda'_{3-j}=\left\{0\right\}$. Il existe
donc $\Lambda_{3-j}$ lagrangien tel que $\tilde{\Lambda}_{j}\subset
\Lambda_{3-j}$ et $V=\Lambda_{3-j}\oplus \Lambda'_{3-j}$. Pour $x\in
\Lambda_{j}$, on notera $x_{j}=\tilde{x}_{j}\oplus \hat{x}_{j}$ dans la
décomposition $\Lambda_{j}=\tilde{\Lambda}_{3-j}\oplus
\hat{\Lambda}_{j}$, où $\hat{\Lambda}_{j}$ est un supplémentaire
de $\tilde{\Lambda}_{3-j}$ dans $\Lambda_{j}$.
Pour une fonction $u\in \mathcal{H}_{\varrho_{\Lambda'_{1}}}$, \ie telle
que
\begin{align*}
u\Bigl(\exp\Bigl(x_{1},\xi_{1}+\xi'_{1},r+r'+\frac{\sigma}{2}(x_{1}&,\xi'_{1})\Bigr)\Bigr)\\
&=u(\exp(x_{1},\xi_{1},r)\circ\exp(\xi'_{1},r'))\\
&=e^{-\sfrac{ir'}{\varepsilon}}u(\exp(x_{1},\xi_{1},r))
\end{align*}
pour $x_{1}\in \Lambda_{1}, \xi_{1}\in \Lambda'_{1}$, on peut
écrire
\begin{align*}
u(\exp(x_{1},\xi_{1},r))&=u(\exp(x_{1},0,0))
e^{\psfrac{-i(2r+\sigma(\xi_{1},x_{1}))}{2\varepsilon}}\\
&=\tilde{u}(x_{1})e^{\psfrac{-i(2r+\sigma(\xi_{1},x_{1}))}{2\varepsilon}}
\end{align*}
en posant $\tilde{u}(x_{1})=u(\exp(x_{1},0,0))$.

En identifiant $\Lambda_{2}'/(\Lambda'_{1,2})$ avec
$\tilde{\Lambda}_{2}\subset \Lambda_{1}$ et, pour
\[
g_{1}=\exp(x_{1}+\xi_{1}+r_{1}e_{0}),\quad
x_{1}=\underbrace{\tilde{x}_{1}}_{\in
\tilde{\Lambda}_{2}}+\underbrace{\hat{x}_{1}}_{\in
\hat{\Lambda_{1}}}\quad\text{et}\quad\xi_{1}=\underbrace{\tilde{\xi}_{1}}_{\in
\tilde{\Lambda}_{1}}+\underbrace{\hat{\xi}_{1}}_{\in
\Lambda'_{1,2}},
\]
on calcule
\begin{multline*}
\forall \xi'\in \tilde{\Lambda}_{2}\subset \Lambda_{1},\\
\exp(g_{1})\exp(\xi')=\exp\Bigl((x_{1}+\xi')+\xi_{1}+ \Bigl(r_{1}+\frac{\sigma(\xi_{1},\xi')}{2} \Bigr)e_{0} \Bigr)
\end{multline*}
et
\begin{multline}
\label{eq:intF12}
\mathcal{F}_{\Lambda'_{2}\Lambda'_{1}}u(\exp(g_{1}))\\
=
\int_{\tilde{\Lambda}_{2}}\tilde{u}(x_{1}+\xi')
e^{-\sfrac{ir_{1}}{\varepsilon}}e^{-\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(\xi_{1},x_{1}+2\xi')}\,d\lambda_{1,2}^{\varepsilon}(\xi')
\\
=
\int_{\tilde{\Lambda}_{2}}\hspace*{-1mm}
\tilde{u}(\tilde{x}_{1}+\xi',\hat{x}_{1})e^{-\sfrac{ir}{\varepsilon}}
e^{i\psfrac{\sigma(\xi_{1},\tilde{x}_{1})-\sigma(\xi_{1},\hat{x}_{1})}{2\varepsilon}}e^{\Psfrac{i}{\varepsilon}\sigma(\xi_{1},\tilde{x}_{1}+\xi')}\,d\lambda_{1,2}^{\varepsilon}(\xi')
\\
=
e^{-\sfrac{ir}{\varepsilon}}
e^{i\psfrac{\sigma(\tilde{\xi}_{1},\tilde{x}_{1})-\sigma(\xi_{1},\hat{x}_{1})}{2\varepsilon}}
\int_{\tilde{\Lambda}_{2}}\tilde{u}(\xi',\hat{x}_{1})e^{-i\sfrac{\sigma(\tilde{\xi}_{1},\xi')}{\varepsilon}}d\lambda_{1,2}^{\varepsilon}(\xi'),
\end{multline}
où la dernière égalité provient du fait que $\hat{\xi}_{1}, \tilde{x}_{1}+\xi'\in \Lambda_{2}$.
Dans la dernière égalité, $\tilde{\Lambda}_{1}\times
\tilde{\Lambda}_{2}:(\tilde{\xi}_{1},\xi')\mto
\sigma(\tilde{\xi}_{1},\xi')$ est une forme bilinéaire non dégénérée
et donc l'intégrale correspond à une transformée de Fourier partielle
dans la variable $\tilde{x}_{1}$.

Vérifions que $\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}u$ appartient à
$\mathcal{H}_{\varrho_{\Lambda'_{2}}}$. On décompose $\xi_{2}\in \Lambda'_{2}$
en
\[
\xi_{2}=\underbrace{\tilde{\xi}_{2}}_{\in
\tilde{\Lambda}_{2}\subset
\Lambda_{1}}+\underbrace{\hat{\xi}_{2}}_{\Lambda'_{1,2}}
\]
et on écrit
\begin{align*}
\exp(g_{1})\exp(\xi_{2})&=\exp \Bigl(x_{1}+\xi_{1}+\xi_{2}+\Bigl(r+\frac{\sigma(x_{1}+\xi_{1},\xi_{2})}{2} \Bigr)e_{0} \Bigr)\\
&=\exp(\tilde{x}'_{1}+\hat{x}'_{1}+\tilde{\xi}'_{1}+\hat{\xi}'_{1}+r'e_{0})
\end{align*}
avec
\begin{gather*}
\tilde{x}'_{1}=\tilde{x}_{1}+\tilde{\xi}_{2},\quad
\hat{x}'_{1}=\hat{x}_{1},\quad
\tilde{\xi}'_{1}=\tilde{\xi}_{1},\quad
\hat{\xi}'_{1}=\hat{\xi}_{1}+\hat{\xi}_{2},\\
r'=r+\frac{\sigma(\hat{x}_{1}+\tilde{\xi}_{1},\xi_{2})}{2}.
\end{gather*}
Comme $\tilde{\xi}_{1}$ et $\hat{x}_{1}$ ne sont pas changés, il en
est de même pour l'intégrale dans \eqref{eq:intF12} dans l'expression
de $\mathcal{F}_{\Lambda'_{2}\Lambda'_{1}}u(g_{1}\exp(\xi_{2}))$.
Il suffit donc de vérifier
$$
\sigma(\tilde{\xi}_{1},\tilde{x}_{1})-\sigma(\xi_{1},\hat{x}_{1})-
\sigma(\tilde{\xi}'_{1},\tilde{x}'_{1})+\sigma(\xi'_{1},\hat{x}'_{1})+\sigma(\hat{x}_{1}+\tilde{\xi}_{1},\xi_{2})=0.
$$
D'une part
$$
\sigma(\tilde{\xi}_{1},\tilde{x}_{1})-\sigma(\tilde{\xi}'_{1},\tilde{x}_{1}')=-\sigma(\tilde{\xi}_{1},
\tilde{\xi}_{2}),
$$
d'autre part
$$
\sigma(\xi'_{1},\hat{x}'_{1})-\sigma(\xi_{1},\hat{x}_{1})
=\sigma(\xi_{2},\hat{x}_{1})
$$
et enfin
$$
\sigma(\hat{x}_{1}+\tilde{\xi}_{1},\xi_{2})
=\sigma(\hat{x}_{1},\xi_{2})+\sigma(\tilde{\xi}_{1},\tilde{\xi}_{2}).
$$
En choisissant
\[
\tilde{\xi}_{2}=-\tilde{x}_{1},\quad
\hat{{\xi}_{2}}=-\hat{\xi}_{1}\quad\text{et}\quad
r_{2}=-r'=-r-\sfrac{\sigma(\hat{x}_{1}+\tilde{\xi}_{1},\xi_{2})}{2},
\]
on voit que $\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}u$ est
représentée par la fonction
$$
\tilde{u}_{2}(\tilde{\xi}_{1},\hat{x}_{1})=
e^{-\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(\tilde{\xi}_{1},\hat{x}_{1})}
\int_{\tilde{\Lambda}_{2}}\tilde{u}(\xi',\hat{x}_{1})e^{-\sfrac{i\sigma(\tilde{\xi}_{1},\xi')}{\varepsilon}}\,d\lambda_{1,2}^{\varepsilon}(\xi'),
$$
avec
\begin{multline*}
u_{2}(\exp(x_{1}+\xi_{1}+re_{0}))\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}u
(\exp(x_{1}+\xi_{1}+re_{0}))\\
=e^{-i\sfrac{r}{\varepsilon}+i\psfrac{\sigma(\tilde{\xi}_{1},\tilde{x}_{1})-\sigma(\hat{\xi}_{1},\hat{x}_{1})}{2\varepsilon}}
\tilde{u}_{2}(\tilde{\xi}_{1},\hat{x}_{1})
\end{multline*}
Avec
$\exp(g_{1})\exp(\tilde{\xi}')=\exp(x_{1}+\xi_{1}+\tilde{\xi}'+(r+\sfrac{\sigma(x_{1},\tilde{\xi}')}{2}))$,
et
$$
\mathcal{F}_{\Lambda'_{1},\Lambda'_{2}}u_{2}(g_{1})
=
\int_{\tilde{\Lambda}_{1}}u_{2}(g_{1}\exp(\tilde{\xi}'))\,d\lambda_{12}^{\varepsilon}(\tilde{\xi}')
$$
on aboutit à
\begin{multline*}
[\mathcal{F}_{\Lambda'_{1},\Lambda'_{2}}\circ\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}u](g_{1})\\
=e^{-\sfrac{ir}{\varepsilon}}e^{-\psfrac{i\sigma(\tilde{\xi}_{1},x_{1})+\sigma(\hat{\xi}_{1},\hat{x}_{1})}{2\varepsilon}}
c\tilde{u}(x_{1},\hat{x}_{1})\stackrel{\sigma(\hat{\xi}_{1},\tilde{x}_{1})=0}{=}c
u(g_{1})
\end{multline*}
où $c>0$ est forcément égal à $1$ par unitarité des transformées de
Fourier partielles $\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}$ en
coordonnée $\tilde{x}_{1}$ et
$\mathcal{F}_{\Lambda'_{1},\Lambda'_{2}}$ en coordonnée~$\tilde{x}_{2}$.
Ainsi $\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}$ est bien une
transformation unitaire de $\mathcal{H}_{\varrho_{\Lambda'_{1}}}$ dans
$\mathcal{H}_{\varrho_{\Lambda'_{2}}}$.

L'entrelacement devient maintenant très simple avec
\begin{align*}
\varrho_{\Lambda'_{2}}(g)[\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}u](g_{1})&=[\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}u](g^{-1}g_{1})
=[\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}u(g ^{-1}\cbbullet)](g_{1})\\
&=
[\mathcal{F}_{\Lambda'_{2},\Lambda'_{1}}\varrho_{\Lambda'_{1}}(g)u](g_{1}).\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

Le problème n'apparaît pas après un unique changement de
représentation de Schrödinger, passant dans un sens ou dans l'autre de
$\varrho_{\Lambda'_{1}}$ à $\varrho_{\Lambda'_{2}}$,
comme nous l'avons observé en dimension~$1$, mais quand on enchaîne
$3$ transformations. C'est donc lié à une façon de coder
la position
relative de $3$ plans lagrangiens $\Lambda'_{1},\Lambda'_{2}$ et
$\Lambda'_{3}$. De plus un tel codage doit être invariant par
transformation symplectique. La~définition suivante est due à M.\,Kashiwara
et peut être trouvée accompagnée de diverses propriétés dans
\cite{LiVe} et \cite{KaSc}.
\begin{defini}
À trois plans lagrangiens $\Lambda'_{1}$, $\Lambda'_{2}$ et
$\Lambda'_{3}$ de l'espace symplectique $(V,\sigma)$, on associe
le signe $\tau(\Lambda'_{1},\Lambda'_{2},\Lambda'_{3}):=p-q\in\zz$ de la forme quadratique de signature $(p,q)$:
$$
Q(x_{1}\oplus x_{2}\oplus x_{3})=\sigma(x_{1},x_{2})+\sigma(x_{2},x_{3})+\sigma(x_{3},x_{1})
$$
définie sur
$\Lambda'_{1}\times \Lambda'_{2}\times \Lambda'_{3}$.
\end{defini}
À partir de là on montre (nous ne le ferons pas ici):
\begin{propo}
\label{pr:kashv}
Pour trois plans lagrangiens $\Lambda'_{1}$, $\Lambda'_{2}$,
$\Lambda'_{1}$ de $V$ on a
$$
\mathcal{F}_{\Lambda'_{1},\Lambda'_{3}}\mathcal{F}_{\Lambda'_{3},\Lambda'_{2}}\mathcal{F}_{\Lambda'_{2}\,\Lambda'_{1}}=e^{-\Psfrac{i\pi}{4}\tau(\Lambda'_{1},\Lambda'_{2},\Lambda'_{3})}.
$$
\end{propo}
Ensuite (et cela vient d'une propriété de cocycle de $\tau$ pour 4
plans lagrangiens) on construit le groupe $\tilde{G}_{\Lambda'_{0}}=\Sp(V)\times \zz$
associé à un plan lagrangien $\Lambda'_{0}$ avec pour loi de
composition
$$
(L_{1},n_{1})\circ(L_{2},n_{2})=(L_{1}L_{2},
n_{1}+n_{2}+\tau(\Lambda'_{0}, L_{1}(\Lambda'_{0}),L_{1}L_{2}(\Lambda'_{0}))).
$$
Ce groupe a une structure de groupe de Lie et admet une représentation
unitaire $\varrho$ dans $\mathcal{H}_{\Lambda'_{0}}$ telle que pour tout
$(v,r)\in V\times \rz $, on~ait
\[
\varrho(L,n)\varrho_{\Lambda'_{0}}(\exp(v+r_{0}))\varrho(L,n)^{-1}=\varrho_{\Lambda'_{0}}(\exp(Lv+re_{0}))
\]
et $\varrho(\Id_{V},n)\in e^{\sfrac{i\pi\zz}{4}}$, pour tout $n\in\nz$.

Si on note $\tilde{\mathcal{L}}=\left\{(\Lambda',n)\sep
\Lambda'\subset V~\text{lagrangien}, n\in\zz\right\}$, le groupe
$\tilde{G}_{\Lambda'_{0}}$ agit sur $\tilde{\mathcal{L}}$ par
$$
(L,n)\cdot(\Lambda',m)=(L(\Lambda'), n+m+\tau(\Lambda_{0}', L(\Lambda_{0})),L(\Lambda'))
$$
et la quantité définie sur $\tilde{\mathcal{L}}\times
\tilde{\mathcal{L}}$ par
$$
m_{\Lambda'_{0}}((\Lambda'_{1},m_{1}), (\Lambda'_{2},m_{2}))=m_{1}-m_{2}+\tau(\Lambda'_{0},\Lambda'_{1},\Lambda'_{2})
$$
est invariante par l'action de $\tilde{G}_{\Lambda'_{0}}$. C'est ce
que l'on appelle \emph{l'indice de Maslov} (ou de Keller-Maslov dans certains
textes).

En travaillant un peu plus sur l'orientation des plans lagrangiens (si~on revient sur l'exemple de dimension $1$, nous n'avons pas
distingué les angles $\sfrac{\pi}{2}$ et $\sfrac{3\pi}{2}$), on montre
que $\varrho(\tilde{G}_{\Lambda'_{0}})$ a $4$ composantes connexes
avec des règles de multiplications par $e^{i\sfrac{\pi}{4}}$, ou de
décalage dans les $n\in\nz$\, qui assurent que la composante de
$\Id_{\mathcal{H}_{\Lambda'_{0}}}$
est le groupe métaplectique revêtement à $2$ feuillets de
$\Sp(V,\sigma)$.
Si on ne veut pas suivre tous ces indices,
la règle la plus simple du groupe métaplectique est donc
$$
U_{L}\circ U_{L'}=\pm U_{LL'},
$$
mais déterminer le $+$ ou $-$ nécessite de suivre les racines huitième
de l'unité $e^{\sfrac{i\pi}{4}n}$, $n\in\zz$.

\section{La révolution microlocale}
\label{sec:prol}

La preuve que nous avons donnée du théorème de Stone-von~Neumann
conduit très vite à la quantification des transformations symplectiques
affines et nous aurions pu même éviter les discussions sur l'indice de
Maslov, données par souci de complétude. Elle contient également le
produit de Moyal dont l'étude asymptotique donne des outils de
localisation par partition de l'unité dans l'espace des phases
$V=\rz^{2d}_{x,\xi}$. On est donc dans la même situation que celle de la
construction du calcul différentiel sur les variétés, reposant sur une
bonne compréhension des structures linéaires et des procédés de
localisation. Avant de préciser ces choses et pour suivre un fil historique, nous rappelons le principe
d'incertitude et présentons les approximations BKW pour la mécanique ondulatoire. Le
titre de ce paragraphe, qui peut intriguer, fait référence à un
basculement conceptuel parfaitement daté: Il s'agit du congrès
international des mathématiciens à Nice en 1970 avec
\begin{itemize}
\item
l'exposé de M.\,Sato \cite{Sat}~sur
l'approche algébrique des singularités analytiques dans le cadre
complexe et ses petits
dessins pour illustrer sa compréhension de ce qu'on appelle maintenant
le \emph{front d'onde};
\item le programme résumé par L.\,Hörmander dans \cite{HorN}
pour développer la géométrie
$\mathcal{C}^{\infty}$ des équations aux
dérivées partielles.
\end{itemize}
Mais laissons la parole à l'un des principaux acteurs de ce changement
de point de vue, L.\,Hörmander, dans son article fondateur sur la
théorie des Fourier intégraux publié la même année \cite{HorF}:

\og \emph{The
purpose of the present paper is not to extend the more or less formal
methods used in geometrical optics but to extract from them a precise
operator theory which can be applied to the theory of partial
differential equations}.\fg\footnote{Trad: Le but du présent article n'est
pas de développer les méthodes plus ou moins formelles de l'optique
géométrique mais d'en extraire une théorie précise des opérateurs qui
peut être appliquée à la théorie des équations aux dérivées partielles.}

Comme nous le verrons à la fin, ces idées issues
de la mécanique quantique
une fois bien généralisées, sont revenues récemment pour traiter
finement des problèmes de \emph{mécanique classique}.

\subsection{Principe d'incertitude}
\label{sec:inc}
On a donc vu que le principe de correspondance de la mécanique
quantique est finalement un théorème mathématique. Il en est de même
et de façon encore plus élémentaire pour le principe d'incertitude,
autre aspect parfois mis en avant dans la présentation de la mécanique
quantique. Prenons une fonction $\psi\in \mathcal{S}(\rz^{d}_{q})$
telle que $\|\psi\|_{L^{2}}=1$ et
notons
\begin{align*}
\langle q\rangle_{\psi}&=\langle \psi,\, q\psi\rangle=\int_{\rz^{d}}q|\psi(q)|^{2}\,dq\\
\langle p\rangle_{\psi}&=\langle\psi,\, p\psi\rangle=\langle
\psi,\, \varepsilon
D_{q}\psi\rangle=\int_{\rz^{d}}p|\mathcal{F}_{\varepsilon}(\psi)|^{2}(p)\sfrac{dp}{(2\pi\varepsilon)^{d}},
\end{align*}
les valeurs moyennes de la position (\resp de moment) pour la mesure de
probabilité de densité $|\psi|^{2}(q)$
(\resp $(2\pi\varepsilon)^{-d}|\mathcal{F}_{\varepsilon}\psi|^{2}(p)$). Avec
\[
\tilde{p}=p-\langle p\rangle_{\psi}\Id_{L^{2}}\quad\text{et}\quad\tilde{q}=q-\langle q\rangle_{\psi}\Id_{L^{2}},
\]
on voit que
\[
\|\tilde{q}\psi\|_{L^{2}}=\left(\int_{\rz^{d}}|q-\langle
q\rangle_{\psi}|^{2}|\psi|(q)^{2}\,dq\right)^{1/2}
\]
s'interprète comme
l'écart type $\Delta_{\psi} q$ et il en est de même pour
$\Delta_{\psi}p=\|\tilde{p}\psi\|_{L^{2}}$.
En utilisant
$$
i\left[\tilde{p},\tilde{q}\right]=\varepsilon[\partial_{q},q]=\varepsilon\Id_{L^{2}},
$$
l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne
$$
2\Delta_{\psi}p\, \Delta_{\psi}q\geq\left|
\langle\tilde{p}\psi, \tilde{q}\psi\rangle-\langle
\tilde{q}\psi,\, \tilde{p}\psi\rangle\right|
=\left|\langle \psi,i\,[\tilde{p},\tilde{q}]\psi\rangle\right|=\varepsilon.
$$
Ainsi les concentrations simultanées
d'une fonction $\psi$ en un point et de sa
transformée de Fourier sont limitées par le principe d'incertitude.

Ce n'est pas uniquement de la mécanique quantique. Cela peut se
comprendre graphiquement: pour identifier précisément une période
d'une fonction oscillante, il faut une plage contenant suffisamment d'oscillations.

C'est aussi accessible à l'oreille: un signal
sonore avec les variables de temps $t$ (en seconde) et de fréquence
$\tau$ (en Herz${}=s^{-1}$), le paramètre étant tout
simplement $\varepsilon=\sfrac{1}{2\pi}$.
Une variation d'un demi-ton correspondant à la multiplication par
$2^{1/12}$, partant d'une fréquence $\tau$ on a
$\Delta\tau=(2^{1/12}-1)\tau$ et le principe d'incertitude nous dit
$\Delta t\geq \spfrac{1}{4\pi\times (2^{1/2}-1)\tau}\simeq
\sfrac{1}{0,747\tau}$ est le temps minimal pour distinguer ces
variations de fréquence.
Ainsi plus on est dans les notes graves (basses
fréquences) plus il nous faut du temps pour identifier des variations
d'un demi-ton. La fréquence la plus basse sur un piano (la touche la
plus à gauche qui correspond à un LA $4$ octaves en dessous du
LA-$440$Hz) est $27,5$Hz et on trouve alors $\Delta t\geq 1/20$s, laps
de temps pas très éloigné de ce que peut atteindre un pianiste assez
agile, tandis que pour le LA-$440$Hz on trouve $\Delta t\geq 1/330
s$.

Si on veut faire le lien avec les aspects spatiaux, le fait que les
sons aigus soient plus directifs que les sons graves est encore un
effet du principe d'incertitude. Avec une vitesse du son de
$340$ms$^{-1}$, une fréquence de $20\,$Hz (limite basse audible)
correspond à une longueur d'onde de $17$m tandis qu'une fréquence de
$20\,000\,$Hz (limite haute audible) correspond à une longueur d'onde de
$17$mm. 

Revenons à des aspects mathématiques: En dimension $1$, les valeurs propres de l'oscillateur harmonique
$O=
\psfrac{p^{2}+q^{2}}{2}=\psfrac{-\varepsilon^{2}\partial_{q}^{2}+q^{2}}{2}$
valent $\varepsilon(n+1/2)$, $n\in \nz$, et
$O-\sfrac{\varepsilon}{2}\geq 0$. Classiquement la fonction
$p^{2}+q^{2}-\sfrac{\varepsilon}{2}$ prend des valeurs négatives dans
l'espace des phases $\rz_{q}\times \rz_{p}$ mais cela correspond au
disque dans lequel
$\Delta_{q}\times \Delta_{p}\leq \sfrac{\varepsilon}{2}$, qui ne
permet pas de placer une fonction.

Cette interprétation géométrique dans
l'espace des phases du principe d'incertitude, est un point important
de l'analyse harmonique: (1) d'une part cela donne des inégalités; (2)
d'autre part cela indique les limitations à des découpages
géométriques de l'espace des phases.
C.\,Fefferman a poussé très loin ce point de vue géométrique et nous
renvoyons à son texte programmatique \cite{Fef}.

\subsection{AM-FM}
\label{sec:amfm}
L'approximation BKW (ou WKB pour les anglo-saxons), dont l'acronyme
rappelle
les trois auteurs indépendants Brillouin \cite{Bri},
Kramers \cite{Kra} et Wentzel \cite{Wen}
(1926), consiste à chercher
une solution approchée de l'équation de Schrödinger
$$
i\varepsilon\partial_{t}\psi^{\varepsilon}=[-\varepsilon^{2}\Delta_{q}
+V(q)]\psi,\quad \psi^{\varepsilon}(t=0)=\psi_{0}^{\varepsilon},
$$
sous la forme
$$
\psi_\mathrm{app}^{\varepsilon}(t)=e^{\sfrac{iS(t,q)}{\varepsilon}}a(t,q,\varepsilon),\quad a(t,q,\varepsilon)=\sum_{n=0}^{N}\varepsilon^{k}a_{k}(t,q)+\mathcal{O}(\varepsilon^{N+1}).
$$
En mettant cette approximation dans l'équation de Schrödinger on
obtient
$$
i\varepsilon\partial_{t}a-(\partial_{t}S)a=-\varepsilon^{2}\Delta_{q}a
-2i\varepsilon \partial_{q}S\cdot\partial_{q}a -i\varepsilon
(\Delta_{q}S)a
+(|\partial_{q}S|^{2}+V(q))a
$$
et en
identifiant les termes selon les puissances de $\varepsilon$, on obtient
d'abord, à l'ordre $0$, l'équation de Hamilton-Jacobi
$$
-\partial_{t}S-|\partial_{q}S|^{2}-V(q)=0,\quad S(0,q)=S_{0}(q)
$$
qui fait le lien avec la mécanique classique, $S(t,q)$ s'interprétant
comme une action (\cite{AbMa}, \cite{Arn}, \cite{GuSt}).

Une fois $S(t,q)$ connue, les termes d'ordre $>0$ donnent la suite
d'\emph{équations de transport}
$$
\begin{cases}
\partial_{t}a_{k}=-2\partial_{q}S\cdot\partial_{q}a_{k}-\Delta_{q}^{2}S
a_{k}+i\Delta_{q}a_{k-1}\\
a_{k}(t=0,q)=a_{k,0}(q)
\end{cases}
$$
que l'on résout par la méthode des caractéristiques avec
$a_{-1}=0$.

L'application de cette méthode à l'équation des ondes et aux équations
de l'électromagnétisme est apparemment intervenue plus tard
(le~livre \cite{Bor} de M.\,Born date de 1933). Dans le cas
de l'équation des ondes, le flot hamiltonien sous-jacent est le flot
géodésique. L'approximation BKW est parfois appelée approximation de
l'optique géométrique et fait donc le lien entre description
ondulatoire et géométrie des rayons lumineux
(vaste débat depuis Snell, Descartes, Fermat et Huygens). Expérimentalement du
point de vue physique ou numérique, on sait que ces approximations (bien faites) donnent des résultats très pertinentes à partir de
$\varepsilon\leq \sfrac{1}{3}$, \ie $3$~longueurs d'onde par unité
de longueur caractéristique.

Arrêtons-nous un instant sur le sens de cette approximation BKW.
Une
fonction d'onde $\psi^{\varepsilon}(x)$ (avec $x=(t,q)$ ou $x=q$ en
régime stationnaire) étant définie à une constante de module $1$
près, son appro\-xi\-mation autour d'un point $x_{0}$ est donnée par
$$
\tilde{\psi}^{\varepsilon}(x)=e^{\sfrac{iS(x_{0})}{\varepsilon}}\left[
e^{\sfrac{i(S(x)-S(x_{0})}{\varepsilon}}a(x,\varepsilon)\right].
$$
Pour $x$ proche de $x_{0}$ on a donc une amplitude $a(x)$ proche de
$a(x_{0})$ et une fréquence
$\sfrac{(S(x)-S(x_{0})}{\varepsilon}$ proche de
$\sfrac{k_{0}\cdot(x-x_{0})}{\varepsilon}
=
\sfrac{dS(x_{0})\cdot(x-x_{0})}{\varepsilon}$. Cela signifie que
l'approximation BKW consiste essentiellement à reprendre l'analyse en
ondes planes $a_{0}e^{\sfrac{ik_{0}\cdot(x-x_{0})}{\varepsilon}}$
en modulant
l'amplitude (bouton AM sur un poste de radio) et la fréquence (bouton
FM) par rapport à la position $x$, \og modulation\fg signifiant des
variations lentes par rapport à l'échelle~$\varepsilon$.

On peut décrire cela dans l'espace des phases $(x,\xi)\in \rz^{2d}$:
un signal de type BKW et porté géométriquement par
$$
\Lambda_{S}=\bigl\{(x,\xi)\in \rz^{2d}\sep \xi=\partial_{x}S(x) \bigr\}
$$
qui, en supposant $S\in \mathcal{C}^{2}(\rz^{d}_{x})$, décrit une variété
lagrangienne, à~savoir celle définie par les équations
$$
d(dS\wedge dx)=\sum_{i,j}\partial^{2}_{x_{i},x_{j}}S(x)dx_{i}\wedge dx_{j}=0,
$$
qui se projette bien sur l'ensemble $\rz^{d}_{x}$ par
$(x,\partial_{x}S(x))\mto x$.

On est ainsi appelé à travailler
dans l'espace des phases et considérer la géométrie de cet espace. Si $x=t$ est une variable temporelle, se placer dans
l'espace temps-fréquences, n'est pas une nouveauté: depuis des temps
immémoriaux les musiciens évoluent dans cet espace et une partition de
musique (l'écriture occidentale de la musique remon\-tant à
Guido d'Arezzo 993-1033)
code cet espace avec comme abscisse le temps et comme ordonnée la fréquence (en échelle logarithmique).

Pour une application assez récente de cette idée, on peut penser aux
ondelettes qui après des travaux précurseurs de A.\,Haar, D.\,Gabor on
été développées de façon plus systématique par J.\,Morlet, A.\,Grossmann,
Y.\,Meyer et I.\,Daubechies dans les années 1980 avant d'envahir les
outils de traitement du signal et de codage de l'information (format
JPEG 2000 par exemple).
La discrétisation d'une fonction aux variations rapides
conduit à une grande complexité, mais la localisation
position-fréquence dans l'espace des phases peut réduire ce coût
numérique avec une géométrie plus facilement codable
dans l'espace des phases. Les bases d'ondelettes sont des méthodes
numériques astucieuses pour discrétiser l'espace des phases.

Dernier point: le paramétrage d'une variété lagrangienne sous la forme
\[
\bigl\{(x,\partial_{x}S(x))\sep x\in \rz^{d} \bigr\}
\]
dans l'espace
des phases $\rz_{x}^{d}\times\rz_{\xi}^{d}$ est possible quand cette
variété lagrangienne se projette bien sur $\rz^{d}_{x}$ (c'est même
une équivalence localement par le théorème des fonctions
implicites). Or il peut arriver que la variété lagrangienne ait des
directions tangentes à $\rz^{d}_{\xi}$ en certains points. C'est ce
qu'on appelle le \emph{phénomène des caustiques}, qui crée mathématiquement
une impossibilité à résoudre globalement les équations
de Hamilton-Jacobi, et qui en pratique s'observe dans la concentration
des rayons lumineux après réflexion sur un miroir concave ou traversée
d'une lentille convergente (\og caustique\fg faisant référence au point
brûlant et aux activités militaires d'Archimède selon la légende). Dans l'espace des phases, ce peut être une fausse singularité dans
le sens où il suffit de changer le plan lagrangien $\rz^{d}_{\xi}$. C'est en étudiant
le prolongement au delà des caustiques des approximations BKW que
Maslov a introduit l'indice qui porte son nom, une première étude
topologique ayant été développée par V.\,Arnold \cite{ArnM}.\enlargethispage{1.5\baselineskip}%

\subsection{Analyse microlocale et semi-classique}
\label{sec:micro}
Les principes de l'analyse microlocale et semi-classique peuvent
se résumer ainsi: la géométrie des équations aux dérivées
partielles se comprend dans l'espace des phases, $\rz_{x}^{d}\times
\rz_{\xi}^{d}$ si l'EDP est posée dans~$\rz_{x}^{d}$ ou plus généralement
l'espace cotangent $T^{*}M$ si l'EDP est posée sur la variété~$M$.
Par exemple si on prend un opérateur différentiel
$P(x,\varepsilon D_{x})=\sum_{|\alpha|\leq m}a_{\alpha}(x)(\varepsilon
D_{x})^{\alpha}$, avec toujours $D_{j}=-i\partial_{x_{j}}$, on
peut chercher une approximation BKW des solutions en résol\-vant d'abord l'équation de Hamilton-Jacobi
$P(x,\partial_{x}S)=0$ puis les équations de transport en partant d'une
hypersurface. Autre idée sous-jacente: tout ce que l'on sait faire sur
des opérateurs différentiels à coefficients constants par analyse de
Fourier se transpose à des opérateurs à coefficients variables par
modulation des fréquences et des amplitudes.

Les deux variantes
\begin{itemize}
\item
microlocale: étude des singularités d'une fonction ou distribution à la fois en position et fréquence,
\item
et semi-classique: comportement asymptotique en présence d'un petit
paramètre $\varepsilon$,
\end{itemize}
sont extrêmement liées:
l'étude des singularités ou de la régularité de solution d'une
EDP consiste à regarder ce qui se passe quand la variable de fréquence
$\xi$ tend vers $\infty$, et il suffit alors de prendre comme
paramètre $\varepsilon=\sfrac{1}{|\xi|}$ pour faire le lien avec le semi-classique. En théorie de la diffusion on s'intéresse à $x\to \infty$ et
$\varepsilon=\sfrac{1}{|x|}$ (\cf \cite{DeGe}, \cite[Chap.\,XIV\,\&\,XXX]{HorB}).

Pour suivre la présentation de ce texte nous resterons dans le cadre
semi-classique $\varepsilon\to 0$.

L'analyse microlocale repose sur deux piliers: (1) le calcul
pseudo-différentiel qui permet des localisations dans l'espace des
phases et qui apparaît dans la démonstration du théorème de
Stone-Von\,Neumann; (2) les opérateurs de Fourier intégraux associés à
des transformations symplectiques qui permet des déformations
géométriques dans l'espace des phases et dont la version linéaire a
été présentée dans le paragraphe sur l'indice de Maslov.
Ainsi l'exposé mathématique fait ici donne la version linéarisée qui
est à l'analyse microlocale et semi-classique ce que sont les
partitions de l'unité et l'algèbre
linéaire à la géométrie différentielle.

Le calcul pseudo-différentiel associe à un symbole, c'est-à-dire une
fonction $f(x,\xi;\varepsilon)$ sur l'espace des phases
$\rz^{d}_{x}\times\rz^{d}_{\xi}$ (plus
généralement $T^*M$), éventuellement paramétrée par
$\varepsilon>0$, un opérateur sur $L^{2}(\rz^{d}_{x})$ (plus
généralement $L^2(M)$). Nous avons rencontré la quantification de
Weyl dans~\eqref{eq:noyauWf} et \eqref{eq:Af} donnée par
\begin{multline*}
f^{\Weyl}(x,\varepsilon D_{x})u(x)=W_{\varrho_{S}}(f)u(x)\\
=\int_{\rz^{2d}}e^{\sfrac{i \xi\cdot(x-y)}{\varepsilon}}f(\psfrac{x+y}{2},\xi)u(y)~\frac{d\xi}{(2\pi\varepsilon)^{d}}dy,
\end{multline*}
pour laquelle la composition se traduit pas le produit de Moyal
$$
f_{1}\moyaleps f_{2}=e^{\Psfrac{i\varepsilon}{2}\sigma(D_{v_{1}},D_{v_{2}})}f_{1}\otimes f_{2}\big|_{v_{1}=v_{2}=v}
$$
qui agit bilinéairement continûment de $S(\rz^{2d})\times S(\rz^{2d})$
dans $S(\rz^{2d})$. Si on utilise la transformée de Fourier
symplectique pour $\varepsilon=1$,
$\hat{f}^{\varepsilon=1}(x,\xi)=[(\mathcal{F}_{1}\otimes
\mathcal{F}_{1}^{-1})f](\xi,x)$ on voit que la continuité
\begin{multline*}
(f_{1},f_{2})\mto f_{1}\otimes f_{2}\mto
\reallywidehat{f_{1}\otimes f_{2}}^{\varepsilon=1}\mto
e^{\Psfrac{i\varepsilon}{2}\sigma(\hat{v}_{1},\hat{v}_{2})}\hat{f}_{1}^{\varepsilon=1}(\hat{v}_{1})\hat{f}_{2}^{\varepsilon=1}(\hat{v}_{2})\\
\mto
e^{\Psfrac{i\varepsilon}{2}\sigma(D_{v_{1}},D_{v_{2}})}f_{1}\otimes
f_{2}
\mto f_{1}\moyaleps f_{2}
\end{multline*}
est uniforme par rapport au paramètre $\varepsilon\in (0,1)$.
De plus le développement de Taylor avec reste intégral de
l'exponentielle
\[
e^{is}=\sum_{k=0}^{N}\frac{(is)^{k}}{k!}
+\int_{0}^{1}\frac{(1-t)^{N}}{N!}\,
e^{its}\,dt\, (is)^{N+1}
\]
utilisé avec
$s=\Psfrac{\varepsilon}{2}\sigma(\hat{v}_{1},\hat{v}_{2})$ et
l'uniformité par rapport à $t\in [0,1]$ conduit à
$$
f_{1}\moyaleps f_{2}
=\sum_{k=0}^{N}\frac{\varepsilon^{k}}{k!}\Bigl(\frac{i}{2}\sigma(D_{v_{1}},D_{v_{2}}) \Bigr)^{k}f_{1}\otimes
f_{2}\big|_{v_{1}=v_{2}=v}+\varepsilon^{N+1}R_{N}(f_{1},f_{2},\varepsilon),
$$
tous les termes, y compris $R_{N}(f_{1},f_{2},\varepsilon)$,
étant
uniformément continus par rapport à $\varepsilon\in (0,1)$, bilinéaires
continus de $S(\rz^{2d})\times S(\rz^{2d})$ dans $S(\rz^{2d})$.
On a donc un développement asymptotique en puissance de~$\varepsilon$
du produit de Moyal qui donne
\begin{itemize}
\item à l'ordre $0$:
$$
f_{1}\moyaleps f_{2}=f_{1}f_{2}~\text{mod\,}\varepsilon
$$
\item à l'ordre $1$:
$$
f_{1}\moyaleps f_{2}=f_{1}f_{2}+\frac{\varepsilon}{2i}\left\{f_{1},f_{2}\right\}~\text{mod\,}\varepsilon^{2}
$$
où
$\left\{f_{1},f_{2}\right\}=\partial_{\xi}f_{1}\cdot\partial_{x}f_{2}-\partial_{x}f_{1}\cdot\partial_{\xi}f_{2}$
désigne le crochet de Poisson, faisant encore un lien avec la
mécanique classique, le terme d'ordre $0$ du commutateur
$\Psfrac{i}{\varepsilon}\bigl[f_{1}^{\Weyl},\,
f_{2}^{\Weyl} \bigr]$ est $(\left\{f_{1},f_{2}\right\})^{\Weyl}\bmod\varepsilon$.
\end{itemize}
On peut étendre la classe de symboles $f(x,\xi)$ pour lesquels la
formule de composition est encore valable
avec estimation des restes dans les
développements asymptotiques. Par exemple on peut considérer les
fonctions $\mathcal{C}^{\infty}$ avec toutes les dérivées bornées,
muni des semi-normes
\[
p_{n}(f)=\sup_{\substack{v\in\rz^{2d}\\ |\alpha|\leq
n}}|\partial_{v}^{\alpha}f(v)|,
\]
le reste
$R_{N}(f_{1},f_{2},\varepsilon)$ satisfaisant à
\begin{multline*}
\forall n\in\nz,\, \exists m_{N,n}\in \nz,\,\exists C_{N,n}>0,\,
\forall \varepsilon\in (0,1), \\
p_{n}(R_{N}(f_{1},f_{2},\varepsilon))\leq C_{N,n}p_{m_{N,n}}(f_{1})p_{m_{N,n}}(f_{2}).
\end{multline*}
Pour une telle estimation et compte tenu de la remarque sur
l'uniformité par rapport à $\varepsilon t$ dans le reste intégral,
il suffit de comprendre la
continuité bilinéaire de
\[
e^{\Psfrac{i\varepsilon}{2}\sigma(D_{v_{1},D_{v_{2}}})}(f_{1}\otimes
f_{2})\big|_{v_{1}=v_{2}=v}=\reallywidehat{e^{\Psfrac{i}{2\varepsilon}\sigma(\hat{v}_{1},\hat{v}_{2})}\hat{f}_{1}\otimes
\hat{f}_{2}}\big|_{v_{1}=v_{2}=v},
\]
uniformément par rapport à
$\varepsilon\in (0,1)$ dans
$\mathcal{C}^{\infty}_{b}(\rz^{2d})$. Cette dernière propriété
s'obtient, après décomposition $f=\sum_{j\in\nz}f\chi(\cbbullet-v_{j})$ où
\hbox{$\sum_{j\in\nz}\chi(\cbbullet-v_{j})\equiv 1$} est une partition de l'unité
$\chi\in \mathcal{C}^{\infty}_{0}(\rz^{2d})$,
par des arguments de phase non stationnaire dans les intégrales oscillantes obtenues en explicitant
le dernier membre, cela afin de contrôler les semi-normes de
$(f_{1}\chi(\cbbullet-v_{i}))\moyaleps
(f_{2}\chi(\cbbullet-v_{j}))$ par $(1+|v_{i}-v_{j}|)^{-N}$ avec $N\in\nz$
arbitraire.

Avec ce type de calcul que l'on peut généraliser à des algèbres de
fonctions plus riches (par exemple contenant les polynômes en $\xi$
pour inclure les opérateurs différentiels), on voit
\begin{itemize}
\item que pour deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ ne dépendant pas de
$\varepsilon$ et de support disjoints
$f_{1}\moyaleps
f_{2}=\mathcal{O}(\varepsilon^{\infty})$;
\item qu'un symbole $f\!=\!f_{0}+\varepsilon f_{1}(\varepsilon)$
tel que
$f_{0}$ ne s'annule pas (et~$f_{1}(\varepsilon)$ uniformément borné dans
$\mathcal{C}^{\infty}_{b}(\rz^{2d})$),
admet pour $\varepsilon$ assez petit
un inverse approché
à droite (inverser l'ordre pour avoir un inverse à gauche)
à tout ordre en écrivant
$f\moyal \frac{1}{f}(v,\varepsilon)=1-\varepsilon r(v,\varepsilon)$,
\[
\sum_{k=0}^{N}\varepsilon^{k} \underbrace{r(\varepsilon)\moyaleps\cdots
\moyaleps r(\varepsilon)}_{k~\text{fois}}
\]
fournissant un inverse approché à
droite (et à gauche) à
l'ordre $N+1$ de $(1-\varepsilon r(\varepsilon))$ pour
$\moyaleps$.
\end{itemize}

Ces choses sont à la base de la microlocalisation, c'est-à-dire la
loca\-lisation de l'analyse dans l'espace des phases et de l'inversion
microlocale des opérateurs elliptiques (dans un cadre plus général que
l'exemple semi-classique présenté ici). Le calcul symbolique (en terme
de produit de Moyal) est complété par le théorème de
Calderón-Vaillancourt qui dit ici
$$\|f^{\Weyl}(x,\varepsilon D_{x})\|_{\mathcal{L}(L^{2}(\rz^{d}))}\leq
C_{d}p_{N_{d}}(f)$$ avec $C_{d}$ et $N_{d}$ déterminés par la dimension
$d$. Ce théorème repose sur le lemme de
Cotlar-Klapp-Stein
\begin{multline*}
\max\biggl(
\sup_{i\in\nz}\sum_{j\in\nz}\|A_{i}^{*}A_{j}\|_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}^{1/2},
\sup_{j\in\nz}\sum_{i\in \nz}\|A_{i}^{*}A_{j}\|_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}^{1/2}
\biggr)\leq M\\
\implique \biggl\|\sum_{j\in \nz}A_{i} \biggr\|_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}\leq M,
\end{multline*}
après une décomposition
\[
f^{\Weyl}=
\sum_{j\in\nz}[f\chi(\psfrac{v-\sqrt{\varepsilon}\,v_{j}}{
\sqrt{\varepsilon}})]^{\Weyl}
\]
à l'aide d'une partition de l'unité
\[
\sum_{j\in\nz}\chi(\cbbullet-\sqrt{\varepsilon}\,v_{j})\equiv 1,\quad
\chi\in \mathcal{C}^{\infty}_{0}(\rz^{2d}).
\]
Là encore ce résultat se
généralise pour des algèbres de symboles plus riches, les opérateurs
bornés dans $L^{2}(\rz^{d})$ correspondant, en simplifiant, à la
sous-classe des symboles bornés.

Les déformations géométriques sont faites à l'aide d'opérateurs
inté\-graux de Fourier de la forme
$$
[J(a,\varphi)u](x)=\int_{\rz^{2d}}e^{i\psfrac{\varphi(x,\eta)-y\cdot\eta}{\varepsilon}}a(x,\eta)u(y)~\frac{d\eta}{(2\pi\varepsilon)^{d}}\,dy
$$
avec $\varphi$ réelle, $\partial^{2}_{x,\eta}\varphi$ inversible sur le support de
$a$. On vérifie alors
\begin{multline*}
J(a,\varphi) f^{\Weyl}J(a,\varphi)^{*}\\
=\Bigl[(f\circ
  \kappa_{\varphi}^{-1})(x,\xi)\times\frac{|a|^{2}(x,\eta(x,\xi))}{|{\det[\partial_{x,\eta}\varphi(x,\eta(x,\xi))]}|}+\varepsilon R(a,f,\varepsilon)\Bigr]^{\Weyl},
\end{multline*}
$R(a,f,\varepsilon)$ étant borné uniformément
par rapport à
$\varepsilon\in (0,1)$,
dans la classe de symboles de~$f$ sous
les bonnes hypothèses. L'application $\kappa_{\varphi}:
(\partial_{\eta}\varphi,\eta)\mto (x,\partial_{x}\varphi)$ est une
transformation symplectique, qui est linéaire quand $\varphi$ est
quadratique en $(x,\xi)$. Dans ce dernier cas avec $a=1$, la
formule est exacte comme nous l'avons vu à l'aide du théorème de
Stone-Von Neumann au paragraphe~\ref{sec:auto}. Le facteur
$\sfrac{|a|^{2}}{|{\det \partial^{2}_{x,\eta}\varphi}|}$ fait intervenir
$\eta(x,\xi)=\partial_{x}\varphi(x,\bbullet)^{-1}(\xi)$ bien défini sous les bonnes
hypothèses qui peuvent être plus ou moins techniques. Mais
microlocalement la situation o\`u $\varphi$ est quadratique et
$a\equiv 1$ permet de comprendre pas mal de choses.

Ce cas des transformations
symplectiques linéaires joue un rôle
d'ailleurs dans l'étude des classes générales de symboles introduites par
Hörmander dans \cite[Chap.\,XVIII]{HorB} (voir aussi
\cite{BoLe}, \cite{Lern}) après des travaux précurseurs de Beals
\cite{Bea},
Beals-Fefferman \cite{BeFe}, Unterberger \cite{Unt} et Voros \cite{Vor}.

Des transformations symplectiques particulières sont associées aux
changements de variables en $x=\psi^{-1}(y)$, pour lesquels on prend la
phase $\varphi(x,\xi)=\psi(x)\cdot\xi$ et la transformation symplectique
\[
\kappa_{\varphi}: (\psi(x),\xi)\mto
(x,{}^{t}[D\psi_{x}]\xi),
\]
qui est la traduction du changement de
variable dans l'espace cotangent. Cela assure que le calcul
semi-classique (pseudo-différentiel local en $x$ autorisant $\xi\to
\infty$) a un sens sur une variété différentielle, la géométrie se
comprenant dans l'espace cotangent $T^{*}M$.
Avec la localisation par le calcul
pseudo-différentiel et des opérateurs Fourier intégraux pour faire des
transformations géométriques,
on ramène l'étude d'EDP générales
à des modèles algébriques ou géométriques
simples et on peut classifier leurs propriétés mathématiques.
Quelques exemples:
\begin{itemize}
\item un opérateur elliptique est un opérateur dont le symbole
principal (le premier terme dans un développement asymptotique en
puissance de $\varepsilon$ ou de $\sfrac{1}{|\xi|}$)
est inversible dans sa classe. Exemples:
\begin{itemize}
\item
le laplacien $-\Delta$ de symbole $|\xi|^{2}$,
\item
l'opérateur $\partial_{\bar z}=\frac{1}{2}(\partial_{x}+i\partial_{y})$ de symbole $\psfrac{\xi+i\eta}{2}$,
\item
plus généralement un opérateur
$P(x,\xi)=\sum_{|\alpha|\leq m}a_{\alpha}(x)\xi^{\alpha}$ avec les
$a_{\alpha}\in \mathcal{C}^{\infty}_{b}$ et $|P(x,\xi)|\geq \frac{1}{C}
|\xi|^{m}$ pour $|\xi|\geq C$.
\end{itemize}
\item Un opérateur de type principal réel est un opérateur de symbole
principal réel $P(x,\xi)$,
dont la différentielle ne s'annule pas le long de la
variété caractéristique $P^{-1}(\left\{0\right\})$. Dans ce cas il
y a le phénomène de propagation des singularités dans la variété
caractéristique, le long du flot hamiltonien associé à $P$, \ie le
long des solutions des équations de Hamilton
\[
\dot{x}=\partial_{\xi}P(x,\xi),\quad
\dot{\xi}=-\partial_{x}P(x,\xi).
\]
Dans un cadre non semi-classique et l'asymptotique $\xi\to \infty$,
le symbole principal est homogène en $\xi$ et quand on parle de
différentielle de $P(x,\xi)$ qui ne s'annule pas, cela veut dire la
différentielle restreinte à la sphère unité en $\xi$, $\left\{(x,\xi)\sep
|\xi|=1\right\}$. L'exemple le plus simple étant
le champ de vecteur $\Psfrac{1}{i}\partial_{x_{1}}$ de symbole
$\xi_{1}$ (c'est le modèle simple) et l'autre exemple classique
est celui de l'équation des ondes
\[
\partial_{x_{0}}^{2}-\Delta_{x'},\quad x'=(x_{1},\ldots,x_{n})
\]
de
symbole $-\xi_{0}^{2}+|\xi'|^{2}$.
\item Les opérateurs à caractéristique double sont des opérateurs dont
la différentielle s'annule avec une hessienne transverse non
dégénérée, et pour lesquels travailler avec le symbole principal ne
suffit pas.
\end{itemize}
Ce résumé ainsi fait de l'analyse microlocale visait à montrer le lien avec le théorème de
Stone-Von\,Neumann, à rappeler à la fois l'inspiration issue de la
mécanique ondulatoire et l'optique géométrique, et finalement le tournant qui a
été pris en 1970.
D'autres approches ont été envisagées et développées, notamment sur le
calcul pseudo-différentiel.
Historiquement le calcul pseudo-différentiel a
d'abord été introduit pour inverser des opérateurs elliptiques, en
construisant une algèbre de fractions
à partir des opérateurs
différentiels \cite{KoNi},
\cite{BoUn}, et
résoudre des problèmes avec conditions aux limites \cite{ChPi}.
L'action des opérateurs Fourier intégraux sur les opérateurs
pseudo-différentiels a été observée par Y.\,Egorov dans \cite{Ego}
mais l'approche moderne \hbox{démarre} avec \cite{HorF}.
\subsection{Groupes nilpotents et hypoellipticité}
\label{sec:nilpo}
L'ellipticité d'un opérateur
$P(x,D_{x})=\sum_{i,j=d}\partial_{x_{i}}A_{ij}(x)\partial_{x_{j}}$ avec $A\geq
c\Id_{d}$ assure qu'une solution $u$ de $P(x,D_{x})u=f$ a deux crans de régularité
de plus que le second membre $f$ (pour le laplacien écrire
$|\xi|^{2}\mathcal{F}_{1}u=\mathcal{F}_{1}f$). Une question qui se
pose est de savoir ce qu'il en reste si $A$ n'est plus définie
positive quelque part. Par exemple si on considère
$$
\partial_{x_{1}}^{2}u+(x_{1}\partial_{x_{2}})^{2}u=f,
$$
une transformée de Fourier dans la variable $x_{2}$ donne
$$
\frac{-\partial_{x_{1}}^{2}+\xi_{2}^{2}x_{1}^{2}}{2}\,\tilde{u}=-\frac{\tilde{f}}{2}
$$
où l'on reconnaît l'oscillateur harmonique en $x_{1}$ pour lequel
la résolution spectrale en terme de fonctions de Hermite donne
$$
\Bigl\|\frac{-\partial_{x_{1}}^{2}+\xi_{2}^{2}x_{1}^{2}}{2}\tilde{u}\Bigr\|_{L^{2}}\geq \frac{|\xi_{2}|}{2}\,\|\tilde{f}\|_{L^{2}}.
$$
Cette dernière inégalité dit que, bien que le champ de vecteur $x_{1}\partial_{x_{2}}$
s'annule quand $x_{1}=0$, on gagne au moins un ordre de régularité
(et~non plus deux) dans la direction $x_{2}$. 

Dans un théorème célèbre \cite{HorC}
Hörmander montre qu'une somme de carré de
champ de vecteurs (opérateurs de dérivation d'ordre $1$)
$\sum_{j=1}X_{j}^{2}$ satisfait à des propriétés similaires
(hypoellipticité, estimations sous-elliptiques) si en tout point
$x$, il existe un $r_{x}\in\nz$ tel que l'ensemble des commutateurs
itérés
\[
X_{(i_{1},\ldots,i_{k})}=[X_{i_{1}},[X_{i_{2}},\ldots[X_{i_{k-1}},X_{i_{k}}]\ldots]],\quad k\leq r_{x},
\]
engendre tout
l'espace tangent.
Dans l'exemple,
\[
X_{1}=\partial_{x_{1}},\quad X_{2}=x_{1}\partial_{x_{2}}\quad\text{et}\quad[X_{1},X_{2}]=\partial_{x_{2}}.
\]
À partir de développements de Taylor sur les lieux d'annulation
des
champs de vecteurs
\[
X_{j}=\sum_{k=1}^{d}a_{j,k}(x)\partial_{x_{k}},
\]
Rotschild et Stein ont montré dans \cite{RoSt}
que le modèle algébrique associé à la
condition de Hörmander était celui des algèbres de Lie nilpotentes:
\[
\mathfrak{g}=\oplus_{i=0}^{r}\mathfrak{g}_{i}\quad\text{avec}\quad [\mathfrak{g}_{j},\mathfrak{g}_{j}]=\mathfrak{g}_{j+1}\text{ et }\mathfrak{g}_{r+1}=0.
\]
Pour une algèbre de Lie nilpotente, on
identifie l'algèbre de Lie $\mathfrak{g}$
et le groupe de Lie connexe $G$ associé par
l'application exponentielle, $\exp: X\mto g=\exp(X)$.
Le groupe de Heisenberg est le cas le plus simple d'une algèbre de Lie
nilpotente non abélienne. Les représentations unitaires irréductibles
des algèbres de Lie
nilpotentes sont l'objet de la théorie de Kirillov (voir
\cite{Kir}, \cite{Puk}), où la méthode des orbites
coadjointes permet de
généraliser la représentation de Schrödinger.
En fait on peut définir une action $\kappa$ de $G$ sur le dual
$\mathfrak{g}^{*}$ de $\mathfrak{g}$ par
$$
\forall X,Y\in \mathfrak{g},\quad
[\kappa(\exp X)\cdot\ell](Y)=\ell(\text{Ad}_{\exp(-X)}Y),
$$
qui au niveau différentiel donne
$$
(\text{ad}_{X}^{*}\ell) (Y)=-\ell([X,Y]).
$$
On note $\mathcal{O}^{\ell}$ l'orbite de $\ell\in \mathfrak{g}^{*}$
par l'action de $G$.
La forme bilinéaire anti-symétrique
$B^{\ell}(X,Y)=\ell([X,Y])$ sur $\mathfrak{g}$ a une version
duale sur l'espace tangent en $\ell$ à $\mathcal{O}^{\ell}$:
$$
\sigma_{\ell}(\ad_{X}^{*}\ell,\,\ad_{Y}^{*}\ell)=B^{\ell}(X,Y)
$$
où $\ad_{X}^{*}\ell$ et $\ad_{Y}^{*}\ell$ sont des vecteurs
tangents à
$\mathcal{O}_{\ell}$ au point $\ell$.
Cela définit une forme symplectique sur $T\mathcal{O}^{\ell}$,
invariante par l'action de~$G$, qui confère à l'orbite $\mathcal{O}_{\ell}$ une structure de
variété symplectique. La~représentation irréductible associé à
$\ell\in \mathfrak{g}^{*}$ est alors une variante de la représentation
de Schrödinger.

S'appuyant sur la méthode des orbites de Kirillov, et entre autres
motivés par la conjecture de Rockland~\cite{Roc},
B.\,Helffer et J.\,Nourrigat ont donné dans
\cite{HeNo} des critères
extrêmement précis pour l'hypoellipticité (dite maximale) de
polynômes (sans limitation de degré) de champs de vecteurs. Leur méthode qui repose sur la
méthode des orbi\-tes de Kirillov et des arguments de théorie spectrale,
implémente une récurrence sur le rang de nilpotence $r$ qui via le
passage par les représentations irréductibles, peut s'interpréter en
coordonnées en écrivant $X_{i}=X_{i}(x_{1},\ldots, x_{d})$
comme une double récurrence sur le rang $r$ et le nombre de variables
$d$. La démarche contient également deux choses utiles pour
d'autres applications:
\begin{itemize}
\item des estimations précises et algébriques en terme de différents
jeux de paramètres.
\item un algorithme pour vérifier dans des situations purement
algébriques, les critères d'hypoellipticité maximale.
\end{itemize}
D'autres approches ont été développées sur ces problèmes: Hörmander
dans \cite[Chap.\,27]{HorB} suit une voie plus géométrique; Malliavin a
introduit le calcul qui porte son nom pour donner une version
probabiliste du théorème des sommes de carrés; plus récemment
C.\,Villani a repris des méthodes un peu plus pédestres, non optimales
mais plus souples, en vue d'applications à des problèmes non
linéaires.
\subsection{Complexification}
\label{sec:compl}
Il y a plusieurs raisons pour lesquelles il est nécessaire de faire de
l'analyse microlocale dans le domaine complexe:
\begin{itemize}
\item Comme on le sait, si la géométrie complexe est un peu moins
intuitive au premier abord, l'algèbre est plus simple ou plus
naturelle qu'en restant sur le réel.
\item Les opérateurs différentiels même réels et même les plus simples
ne sont pas tous à symbole réels. Par exemple l'équation de la chaleur
$\partial_{t}u=\Delta_{x} u$, $u(t=0)=u_{0}$, fait intervenir
l'opérateur différentiel $\partial_{t}-\Delta_{x}$ de symbole
$i\tau+|\xi|^{2}$.
\item Pour l'instant, et c'est ce qui est mis en avant dans la théorie
des représentations, nous avons parlé d'opérateurs unitaires, de
groupes unitaires $U(t)=e^{itA}$ avec $t\in\rz$ et $A$
auto-adjoint. Mais beaucoup de problèmes d'évolution font intervenir
des semi-groupes de contractions $S(t)=e^{-tL}=e^{it(iL)}$ pour
$t\geq 0$ et $iL$ non auto-adjoint, à l'instar de l'équation de la
chaleur $u(t)=e^{t\Delta}u_{0}=e^{it(i\Delta)}u_{0}$.
\item Si les méthodes WKB avec phase réelle décrivent bien les
phénomènes oscillatoires, on peut être tenté d'utiliser des phases
complexes pour décrire précisément des phénomènes de décroissance
expo\-nentielle.
De tels phénomènes sont très présents en physique ou en
mathé\-matiques. On peut penser à la décroissance exponentielle pour des
semi-groupes, intervenant dans des problèmes de retour à l'équilibre,
ou dans l'étude de la stabilité linéaire de solutions particulières d'équations aux
dérivées partielles non linéaires à partir de l'étude de l'EDP
linéarisé. Il y a
les exposants de Lyapunov dans les systèmes dynamiques. En
physique, on peut penser aux oscillations amorties, aux
ondes amorties, à
l'effet de peau de l'électromagnétisme, à l'effet tunnel de la
mécanique quantique, à l'étude des résonances quantiques et plus
généralement à l'étude des états métastables (états qui ont une
évolution lente par rapport à des échelles de temps \og microscopique\fg et
qui suivent une loi de décroissance exponentielle sur une échelle de
temps \og macroscopique\fg).
\item Rappelons aussi que les phénomènes de diffraction en optique
font intervenir la fonction d'Airy pour laquelle les développements
asymptotiques, se comprennent bien par la méthode du col de
l'analyse complexe.
\end{itemize}

Une autre motivation historique du passage dans le complexe vient
aussi du théorème de Cauchy-Kowalevski
qui permet de résoudre des EDPs éventuellement non linéaires
en étendant la méthode de résolution des
équations différentielles à l'aide de séries entières, et dont une
version précisée a été
donnée dans le cas linéaire par J.\,Leray dans \cite{Ler}.
Ce point de
vue qui se place d'emblée dans le domaine complexe, met sur un pied
d'égalité l'opérateur des ondes $\partial_{x_{0}}^{2}-\Delta_{x'}$
et le laplacien $-(\partial_{x_{0}}^{2}+\Delta_{x'})$ alors que l'on
sait que les phénomènes observés sont très différents: propagation
avec l'équation des ondes, décroissance loin de la source pour
l'équation de Poisson.
Cela a été pointé par Hadamard au début du
\textsc{xx}\ieme siècle qui a mis en avant la notion de stabilité des solutions
d'équations aux dérivées partielles, celle-ci interdisant la
croissance exponentielle des modes de Fourier. Plus précisément dans
l'exemple de l'équation des ondes dans $\rz^{1+d}$
avec donnée initiale en $x_{0}=0$
on passe en Fourier en $x'=(x_{1},\ldots,x_{d})$ et on voit que la solution s'écrit
$$
\mathcal{F}'_{1}u(x_{0},\xi')=A(\xi')e^{ix_{0}|\xi'|}+B(\xi')e^{-ix_{0}|\xi'|}.
$$
Résoudre l'équation de Poisson avec donnée en $x_{0}=0$ conduit donc
(on passe de l'équation des ondes à l'équation de Poisson en
multipliant $x_{0}$ par $i$):
$$
\mathcal{F}'_{1}u(x_{0},\xi')=A(\xi')e^{-x_{0}|\xi'|}+B(\xi')e^{x_{0}|\xi'|}.
$$
La condition de stabilité de Hadamard dit que cela a un sens avec
$A\equiv 0$ pour $x_{0}<0$ et $B\equiv 0$ pour $x_{0}>0$.
Donc, là encore, on voit qu'une analyse pertinente doit prendre en
compte des phénomènes de comportement, ici de croissance, exponentiel.

Une fois ces considérations faites, passer dans le complexe (1)
\hbox{requiert} de travailler avec des coefficients analytiques (au moins
partiellement) et donc de ne pas se contenter de développements
asymptotiques, par exemple dans le calcul pseudo-différentiel, mais de
préciser une méthode de sommation des séries; (2) interdit les
découpages à l'aide de fonctions $\mathcal{C}^{\infty}$ à support
compact.\enlargethispage{\baselineskip}%

L'outil d'analyse repose sur les transformations dites de
Fourier-Bros-Iagolnitzer  ou FBI, nommées d'après les physiciens J.\,Bros et D.\,Iagolnitzer, et les espaces de Sjöstrand, dont la théorie complète a été posée dans \cite{Sjo} en lien avec d'autres travaux de
L.\,Boutet~de~Monvel (\cite{BdMK}, \cite{BdMG}, \cite{BdMS}).

Dans l'esprit de cet exposé, nous resterons dans un cadre de
transformations symplectiques linéaires dans $\cz^{2d}$ qui permet
déjà d'avoir un aperçu de la géométrie mise en jeu. Démarrer ainsi
est d'ailleurs le point de vue pris dans un cours assez récent de
Hitrik-Sjöstrand~\cite{HiSj}.

Tout d'abord on munit $\rz^{2d}$ et $\cz^{2d}\supset\rz^{2d}$ de
la forme symplectique\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
d\xi\wedge dx&=\sum_{j=1}^{d}d\xi_{j}\wedge dx_{j}\\[-5pt]
&=\sum_{j=1}^{d}d\xi_{j}^{R}\wedge dx_{j}^{R}-d\xi_{j}^{I}\wedge
dx_{j}^{I}
+i\sum_{j=1}^{d}d\xi_{j}^{R}\wedge dx_{j}^{I}+d\xi_{j}^{I}\wedge
dx_{j}^{R}\\[-2pt]
&=\sigma^{R}+i\sigma^{I},
\end{align*}
avec $x=x^{R}+ix^{I}$ et $\xi=\xi^{R}+i\xi^{I}$. On remarque que
$\sigma^{R}$ et $\sigma^{I}$ sont deux formes symplectiques réelles
sur $\cz^{2d}$, que $\rz^{2d}$ est un sous-espace symplectique pour
$\sigma^{R}$ et lagrangien pour $\sigma^{I}$ (on dit
$R$-symplectique et $I$-lagrangien).

Une transformation $\cz$-linéaire symplectique préserve la forme
canonique et donc envoie les sous-espaces réels $R$-symplectiques et
$I$\nobreakdash-lagrangiens sur des sous-espaces ayant les mêmes propriétés.

\subsubsection*{Les trois phases}
Les outils d'analyse mettent en jeu trois
phases intimement liées.

On considère une forme quadratique
$$
\varphi(x,y)=\frac{1}{2}{}^{t}xAx +{}^{t}xBy+\frac{1}{2}{}^{t}yCy
$$
avec $A$ et $C$ symétriques, telle que $\det(\partial_x\partial_y\varphi)=\det(B)\neq
0$ et $\Imag C$ est définie positive.

On pose alors
$$
\forall x\in \cz^{d},\quad \Phi(x)=\max_{y\in\rz^{d}}\Real\left[i\varphi(x,y)\right]=\max_{y\in\rz^{d}}(-\Imag\varphi(x,y)).
$$
Pour $x\in\cz^{d}$, la fonction $y\mto -\Imag\varphi(x,y)$ a un unique point
critique $y(x)$ dans $\rz^{d}$ que l'on note $y(x)$. Deux propriétés
importantes de cette phase $\Phi(x)$ sont
\begin{itemize}
\item
pour $x\in\cz^{d}$ et $y\in\rz^{d}$,
\begin{align*}
-\Imag\varphi(x,y)&=\Phi(x)-\frac{1}{2}\left[{}^{t}(y-y(x))C(y-y(x))\right]\\
&\leq\Phi(x)-\Cte |y-y(x)|^{2}\;,
\end{align*}

\item $\Phi$ est \emph{strictement pluri-sousharmonique}. Le
caractère pluri-sousharmonique, qui signifie que la forme quadratique de matrice $(\partial_{\bar x,x}^{2}\Phi)$ est $\geq 0$, vient du fait qu'elle est définie comme un sup (max) de fonctions pluri-harmoniques de~$x$. Le caractère strict (\ie que la forme quadratique de matrice $(\partial^{2}_{\bar x,x}\Phi)$ est définie positive) vient du fait que
$$
\Lambda_{\Phi}=\left\{(x,\tfrac{2}{i}\partial_{x}\Phi(x))\sep x\in\cz^{d}\right\}
$$
est l'image de $\rz^{2d}$
par la transformation canonique complexe de
\[
\kappa_{\varphi}:(y,-\partial_{y}\varphi)\mto
(x,\partial_{x}\varphi),
\]
et $\Lambda_{\Phi}$ est donc
$R$-symplectique.
\end{itemize}

Enfin, écrire
$\Phi(x)=\psi(x,\overline{x})$, alors que
$E=\bigl\{(x,\overline{x})\sep x\in\cz^{d}\bigr\}$ est totalement réel
(c'est-à-dire que $\cz^{d}=E\oplus iE$), définit
$\psi(x,y)$ de façon unique comme forme quadratique holomorphe des
deux variables $x, y\in \cz^{d}$. Tout simplement dans ce cas
quadratique
$$
\Phi(x)=\frac{1}{2}\,{}^{t}x\Phi''_{xx}x
+{}^{t}\bar{x}\Phi''_{\bar{x},x}x
+\frac{1}{2}\,{}^{t }\bar{x}\Phi''_{\bar{x},\bar{x}}\bar{x}
$$
donne
$$
\psi(x,y)=\frac{1}{2}\,{}^{t}x\Phi''_{xx}x
+{}^{t}y\Phi''_{\bar{x},x}x
+\frac{1}{2}\,{}^{t }y\Phi''_{\bar{x},\bar{x}}y.
$$
Et cette fonction $\psi$ satisfait à l'inégalité
$$
2\Real\psi(x,\bar{y})-\Phi(x)-\Phi(y)=-{}^{t}\overline{(y-x)}\Phi''_{\bar{x}x}(y-x)\leq
-\Cte |y-x|^{2}.
$$

\begin{exemple*}
Avec
$\varphi(x,y)=i\Psfrac{(x-y)}{2}-i\sfrac{x^{2}}{4}$, on a
$\Phi(x)=\sfrac{|x|^{2}}{4}$ et $\psi(x,y)=\sfrac{{}^{t}xy}{4}$.
\end{exemple*}


\subsubsection*{Transformation FBI}
À une phase $\varphi$ comme ci-dessus on
associe la transformation, dite FBI,
$$
T_{\varphi}u(x)=C_{\varphi}\varepsilon^{-\sfrac{3d}{4}}\int_{\rz^{d}}e^{\sfrac{i\varphi(x,y)}{\varepsilon}}u(y)\,dy.
$$
Pour $C_{\varphi}>0$ bien choisie et déterminée par $\varphi$,
$T_{\varphi}$ est une transformation unitaire de $L^{2}(\rz^{d},dy)$
dans l'espace des fonctions entières $H_{\Phi}=L^{2}(\cz^{d},
e^{-\sfrac{2\Phi(x)}{\varepsilon}}L(dx))\cap \text{Hol}(\cz^{d})$,
$L(dx)$ désignant la mesure de Lebesgue sur $\cz^{d}$.
L'espace $H_{\Phi}$ est un sous-espace fermé de l'espace de Hilbert $L^{2}(\cz^{d},
e^{-\sfrac{2\Phi(x)}{\varepsilon}}L(dx))$ et la projection orthogonale
sur $H_{\Phi}$ s'écrit
$$
\Pi_{\Phi}v(x)=\frac{2^{d}\det(\psi''_{xy})}{(\pi\varepsilon)^{d}}\int_{\cz^{d}}e^{\sfrac{2\psi(x,\bar{y})}{\varepsilon}}v(y)e^{-\sfrac{2\Phi(y)}{\varepsilon}}~L(dy).
$$
Les inégalités satisfaites par $\Phi$ et $\psi$ assurent la convergence
de ces intégrales (au moins pour des $u$ et $v$ pris dans des ensembles
denses).

Pour un opérateur pseudo-différentiel $a^{\Weyl}(y,\varepsilon D_{y})$
avec $a\in \mathcal{C}^{\infty}_{b}(\rz^{2d})$, on peut par ailleurs
vérifier
\begin{multline*}
T_{\varphi}\circ a^{\Weyl}(y,\varepsilon D_{y})\circ T_{\varphi}^{*}\\
=\Pi_{\Phi}\left[(a\circ\kappa_{\varphi}^{-1})(x,\frac{2}{i}\partial_{x}\Phi(x))\times\right]\Pi_{\Phi}+\mathcal{O}_{\mathcal{L}(H_{\Phi})}(\varepsilon).
\end{multline*}
Les fonctions $u\in L^{2}(\rz^{d},dy)$ deviennent des
fonctions holomorphes $v=T_{\varphi}u$
telles que
\[
|v(x)|\leq
C_{v}\varepsilon^{-N_{d}}e^{\sfrac{\Phi(x)}{\varepsilon}}\leq
C_{v,\delta}e^{\psfrac{\Phi(x)+\delta}{\varepsilon}}
\]
pour tout
$\delta>0$ quand $\varepsilon\to 0$, et l'analyse
microlocale devient de l'analyse locale sur l'espace $R$-symplectique
$I$-lagrangien $\Lambda_{\Phi}\subset \cz^{2d}$
paramétré par $x\in
\cz^{d}\sim\rz^{2d}$. Si l'on pense que c'est le comportement exponentiel par
rapport au poids $e^{\sfrac{\Phi(x)}{\varepsilon}}$ de $T_{\varphi}u_{\varepsilon}$
qui caractérise le
comportement microlocal de $u_{\varepsilon}$ quand $\varepsilon\to 0$, on dira que $x$ n'est pas dans le
microsupport analytique de $u$ si il existe
$C,\delta_{0}>0$ tel que
$|T_{\varphi}u|(x)\leq
Ce^{\psfrac{\Phi(x)-\delta_{0}}{\varepsilon}}$.


Comme dans l'exemple, on prend
$\varphi(x,y)=\Psfrac{i(x-y)^{2}}{2}-i\sfrac{x^{2}}{4}$,
$\Psi(x)=\sfrac{|x|^{2}}{4}$ et $\psi(x,y)=\sfrac{{}^{t}xy}{4}$ avec
$$
T_{\varphi}u(x)=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}\varepsilon^{3d/4}}\,
e^{\sfrac{x^{2}}{4\varepsilon}}\int_{\rz^{d}}e^{-\sfrac{(x-y)^{2}}{2\varepsilon}}u(y)\,dy
$$
qui est une normalisation possible de la transformée de Bargmann.

Si on prend
\[
u_{\varepsilon}(y)=(\pi\varepsilon)^{-d/4}e^{i\sfrac{\xi_{0}\cdot(y-x_{0}/2)}{\varepsilon}}e^{-\sfrac{(y-x_{0})^{2}}{2\varepsilon}},\quad
x_{0},\xi_{0}\in \rz^{d},
\]
un calcul simple montre que
\[
T_{\varphi}u_{\varepsilon}(x)=
\frac{e^{\sfrac{2x\cdot\overline{z_{0}}-|z_{0}|^{2}}{4\varepsilon}}}
{(2\pi\varepsilon)^{d/2}}\quad\text{avec }z_{0}=x_{0}-i\xi_{0}=\kappa_{\varphi}(x_{0},\xi_{0})
\]
et
$$
|T_{\varphi}u_{\varepsilon}|=\frac{e^{-\sfrac{|x-z_{0}|^{2}+|x|^{2}}{4\varepsilon}}}{(2\pi\varepsilon)^{d/2}}=\alpha(x,\varepsilon)
e^{\sfrac{\Phi(x)}{\varepsilon}},
$$
avec $\alpha(x,\varepsilon)=\sfrac{1}{(2\pi\varepsilon)^{d}}$ si $x=z_{0}$
tandis que $\alpha(x,\varepsilon)=O(
e^{-\sfrac{\delta_{x}}{\varepsilon}})$ avec $\delta_{x}>0$ si $x\neq
z_{0}$.
Ainsi le microsupport analytique de $u_{\varepsilon}$ est
$z_{0}=x_{0}-i\xi_{0}$, qui améliore les estimations données
par la théorie~$\mathcal{C}^{\infty}$.

Pour l'instant les transformations FBI permettent tout juste de
traduire l'analyse microlocale réelle sur $\rz^{2d}_{x,\xi}$ en une
analyse sur des fonctions holomorphes satisfaisant des inégalités.
Mais revenons au problème de départ: étant donnée une équation
$$
P(y,\varepsilon D_{y})u_{\varepsilon}=f_{\varepsilon}
$$
avec $\rz^{2d}\ni (y,\eta)\mto P(y,\eta)$ analytique réelle, comment tirer profit
de cette propriété du symbole $p$ pour déduire des propriétés de
$u_{\varepsilon}$ à partir de celles de $f_{\varepsilon}$?
Travaillons avec une fonction $P\in \text{Hol}(\Omega_{M})$, où $\Omega_M$ désigne l'ouvert
\[
\Omega_{M}=\bigl\{(y,\eta)\in \cz^{2d}\sep
|\text{Im}(y,\eta)|< M\bigr\}
\]
qui est bornée sur $\Omega_{M'}$ pour tout $M'<M$. Les inégalités de Cauchy
disent que pour $M'<M$, il existe $C>0$ telle que
$$
\forall \alpha,\beta\in \nz^{d},\;\forall (y,\eta)\in \Omega_{M'},\quad
|\partial_{y}^{\alpha}\partial_{\eta}^\beta P(y,\eta)|\leq (C(|\alpha|+|\beta|))^{|\alpha|+|\beta|}.
$$
La composition classique (moins symétrique que le produit de Moyal)
des opérateurs pseudo-différentiels s'écrit
formellement au niveau des symboles
$$
P\mathbin{\tilde{\moyaleps}} Q\sim \sum_{\alpha\in \nz^{d}}\frac{(i\varepsilon)^{|\alpha|}}{\alpha!}\,D_{\xi}^{\alpha}P(x,\xi)D_{x}^{\alpha}Q(x,\xi)
$$
où la série est a priori divergente. Ce problème est résolu, ainsi
que le fait d'avoir des approximations avec des erreurs
$\mathcal{O}(e^{-\sfrac{c}{\varepsilon}})$ avec $c>\nobreak0$, par la méthode
de sommation des astronomes (\cf \cite{Poi}, \cite{Ram}). En version
simplifiée, il s'agit d'un exercice assez simple pour un étudiant de
prépa, qui pourra comparer les différentes notions s'il a les
idées claires sur la convergence et divergence des
séries:
si pour
tout ordre $N\in\nz$
$$
A(\varepsilon)=\sum_{k=0}^{N-1}a_{k}\varepsilon^{k}+\varepsilon^{N}R_{N}(\varepsilon)~\text{avec}~|a_{k}|\leq
(Ck)^{k}\quad |R_{N}(\varepsilon)|\leq (CN)^{N},
$$
alors on a
$$
\biggl|A(\varepsilon)-\sum_{k\leq
(Ce\varepsilon)^{-1}}a_{k}\varepsilon^{k} \biggr|=
O(e^{-\sfrac{1}{Ce \varepsilon}}).
$$
Combinons maintenant ce calcul pseudo-différentiel analytique avec les
transformations FBI. Sous les hypothèses précédentes sur $P$, et~si l'on transpose ce que nous savons sur l'action des transformations
symplectiques sur les opérateurs pseudo-différentiels à la version complexe,
l'équation $P(y,\varepsilon D_{y})u_{\varepsilon}=f_{\varepsilon}$
devient
$$
\tilde{P}(x,\varepsilon D_{x},\varepsilon)(T_{\varphi}u_{\varepsilon})=(T_{\varphi}f_{\varepsilon}),
$$
avec
$\tilde{P}(x,\xi,\varepsilon)=p\circ\kappa_{\varphi}^{-1}(x,\xi)+O(\varepsilon)$.
Maintenant toutes les quantités, $T_{\varphi}u_{\varepsilon}$,
$T_{\varphi}f_{\varepsilon}$ et $\tilde{P}$ sont holomorphes par
rapport à $(x,\xi)$ voisin d'un $(x_{0},\xi_{0})\in
\Lambda_{\Phi}$. L'action d'un opérateur pseudo-différentiel sur
l'espace~$H_{\Phi}$ s'étudie à l'aide de la méthode du col. De plus une fois
que tout est traduit dans le monde complexe, on peut envisager toutes
les techniques de déformation de contour: si on pense que
l'appartenance $v\in H_{\Phi}$ se traduit par $v$ holomorphe et
$|v(x)|\leq C_{\delta}e^{\psfrac{\Phi(x)+\delta}{\varepsilon}}$ pour
tout $\delta$, que l'analyse avec ces poids exponentiels se localise
sur
\[
\Lambda_{\Phi}=\bigl\{(x,\tfrac{2}{i}\partial_{x}\Phi(x))\mid
x\in\cz^{d}\bigr\},
\]
on peut envisager de déformer le contour
lagrangien $\Lambda_{\Phi}$ (microlocalement et ce sans changer la
fonction $\varphi$ intervenant dans $T_{\varphi}$) en un contour
$\Lambda_{\Phi'}$ pourvu que $\Phi'$ reste strictement
pluri-sousharmonique.

Voilà résumées (très rapidement) les idées de l'analyse microlocale
analytique.

Ceci m'amène à un autre exemple, qui sollicite tout cet échafaudage d'idées microlocales et d'analyse complexe, et qui
pourtant vient de la mécanique classique, fournissant encore une
illustration du transfert des idées initiales de la mécanique
quantique vers une approche générale des EDPs.

Considérons une particule classique évoluant dans un potentiel $V(q)$
mais subissant une force de friction bruitée.
C'est la description de
Langevin du mouvement brownien et l'évolution est donnée par
$$
\begin{cases}
dq=\dfrac{p}{m}\,dt\\
dp=\nabla V(q)\,dt -\gamma_{0}p\,dt +\dfrac{\sqrt{2}m\gamma_{0}}{\beta}\,dW_{t}
\end{cases}
$$
où $\beta=\sfrac{1}{k_{B}T}$, $k_{B}$ est la constante de
Boltzmann, $T$ la température, $\gamma_{0}$ le coefficient de friction
et $m$ la masse de la particule.
Alors l'espérance\enlargethispage{\baselineskip}%
\[
\mathbb{E}\bigl(u_{0}(q(t),p(t))|q(0)=q,p(0)=p \bigr)=u(q,p,t)
\]
résout
l'équation aux dérivées partielles
$$
\partial_{t}u+\frac{p}{m}\cdot\partial_{q}u-\partial_{q}V(q)\cdot\partial_{p}u-\gamma_{0}\partial_{p}\cdot\Bigl(\frac{m}{\beta}\,\partial_{p}+p \Bigr)u=0.
$$
En posant $v=e^{-\Psfrac{\beta}{2}(\sfrac{p^{2}}{2m}+V(q))}u$, et en se
plaçant dans les bons régimes asymptotiques (correspondant
essentiellement au régime de basse température) on aboutit à un
générateur du semi-groupe d'évolution de la forme
$$
p\cdot(\varepsilon\partial_{q})-\partial_{q}V\cdot(\varepsilon\partial_{p})+\frac{-\varepsilon^{2}\Delta_{p}+p^{2}}{2}
$$
avec pour symbole semi-classique
$$
i(p\cdot\xi_{q }-\partial_{q}V(q)\cdot\xi_{p})+\frac{\xi_{p}^{2}+p^{2}}{2},
$$
à valeurs complexes sur $\rz^{4d}_{q,p,\xi_{q},\xi_{p}}$ et analytique réel si $V$ est analytique réelle.
Pour étudier finement des phénomènes de métastabilités, ou~de
thermalisation dans un profil de potentiel~$V$,
avec ces équations,
Hérau-Hitrik-Sjöstrand ont obtenu dans \cite{HHS} avec les outils de l'analyse
microlocale analytique, des expressions extrêmement précises sur des
quantités mesurables à l'échelle macroscopique.
Arrêtons-nous un peu sur ce que cela
signifie. On part d'un problème physique obser\-vé en dimension $d=2$ ou
$3$, $q\in \rz^{d}$. En suivant Langevin,
on le \hbox{décrit} dans l'espace des phases
position-quantité de mouvement (ou~vitesse), $(q,p)\in\rz^{2d}$.
On aboutit un opérateur différentiel
dont le symbole dépend
des variables $(q,p,\xi_{q},\xi_{p})\in \rz^{4d}$. Et enfin il faut
faire des déformations de contour dans $\cz^{4d}\sim \rz^{8d}$.
Imaginer Robert Brown penché sur son microscope observant pour la première
fois le mouvement brownien en 1827 ($d=2$) et quelques deux siècles
plus tard des mathématiciens faire de la géométrie dans
$\cz^{8}=\rz^{16}$ (en fait Hérau-Hitrik-Sjöstrand ont travaillé en dimension quelconque)
pour faire des calculs précis sur des problèmes
intimement liés, ne manque pas de poésie.

Les esprits chagrins diront \og Cette sophistication géométrique
est-elle bien nécessaire~?\fg. Répondons
honnêtement \og pas toujours\fg~et, suivant les problèmes étudiés ou la
structure d'équations aux dérivées partielles particulières, des
méthodes plus directes sont parfois plus efficaces. Des problèmes
d'équations aux dérivées partielles
mettent en jeu d'autres structures
mathématiques plus adaptées, s'appuyant plus sur des méthodes
variationnelles, des propriétés algébriques,
des arguments d'analyse fonctionnelle ou
d'analyse harmonique, des descriptions
de solutions particulières explicites.

Indiscutablement,
cette approche de la géométrie des EDPs
qui depuis cinquante
ans n'a cessé de montrer son efficacité,
fait maintenant partie de la
palette des mathématiciens.
Soumises à de nouvelles problématiques, ces
techniques continuent de s'enrichir et de s'affiner. Par ailleurs au
delà de l'interaction naturelle des EDPs soit avec la modélisation
soit avec d'autres branches des mathématiques, les notions de
microlocalisation, de quantification (associer à une algèbre
de fonctions une algèbre
d'opérateurs, plus généralement associer par une procédure naturelle
une algèbre non commutative à une algèbre commutative, ou encore dans
l'esprit semi-classique suivre une
famille de structures géométriques ou algébriques en fonction d'un ou
plusieurs paramètres),
de géométrie symplectique
associée à des objets mathématiques variés, ont largement débordé les
motifs initiaux de la mécanique quantique et de l'optique géométrique.\enlargethispage{\baselineskip}

\subsection*{Avertissement}
La bibliographie ci-dessous est forcément
incomplète. Les références citées ont été privilégiées
avec les critères
suivants:
\begin{enumeratea}
\item
celles qui pouvaient avoir un intérêt historique pour repérer
la chronologie,
\item
celles qui étaient assez facilement accessibles ou
constituaient des
ouvrages de références si possible rédigés en français,
\item
celles qui étaient plus particulièrement liées d'une façon ou
d'une autre au coeur de l'exposé, à savoir le théorème de
Stone-von~Neumann et la quantification de la géométrie symplectique affine.
\end{enumeratea}

\backmatter
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups18-02}
\end{document}
