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\begin{document}
\frontmatter

\title[Autour du problème de Kakeya]
{Autour du problème de Kakeya}

\author[\initial{H.} \lastname{Pajot}]{\firstname{Hervé} \lastname{Pajot}}
\address{Université Grenoble Alpes, CNRS UMR 5582, 100 rue des mathématiques, 38610 Gières, France}
\email{herve.pajot@univ-grenoble-alpes.fr}
\urladdr{https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pajot/}

\dedicatory{À la mémoire de Jean-Pierre Kahane (1926-2017)\vspace*{\baselineskip}}

\thanks{Journées X-UPS 2017. Une invitation à la théorie géométrique de la mesure. Éditions de l'École polytechnique, 2017}

\begin{abstract}
En 1917, Kakeya posait le problème suivant: Quelle est l'aire minimale nécessaire pour retourner de 180 degrés une aiguille de longueur~1 ? La réponse donnée par Besicovitch est qu'on peut retour\-ner l'aiguille avec une aire aussi petite que l'on veut! Ceci est dû au fait qu'il existe des ensembles du plan, appelés ensembles de Besicovitch, qui contiennent une droite dans chaque direction mais qui sont de mesure de Lebesgue nulle. Le but de ce texte est, d'une part, de présenter une construction d'un ensemble de \hbox{Besicovitch} à~partir de l'ensemble de Cantor 4-coins qui est l'exemple type d'ensemble purement non rectifiable au sens de la théorie géométrique de la mesure et, d'autre part, de démontrer qu'un ensemble de \hbox{Besicovitch} est de dimension de Hausdorff $2$. Nous expliquerons enfin ce qui se passe en dimensions supérieures (travaux de Bourgain, Tao,...) ainsi que le lien entre le problème de Kakeya et les équations aux dérivées partielles (inégalités de Strichartz pour l'équation des ondes) d'une part et l'analyse harmonique (le problème de restriction pour la transformée de Fourier) d'autre part. Le cas du problème de Kakeya dans les corps finis (plus simple à énoncer) sera aussi discuté en détails. En particulier, on en donnera une solution assez élémentaire due à Dvir.
\end{abstract}
\maketitle
\vspace*{-.2\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\vspace*{-2.5\baselineskip}\vskip0pt\enlargethispage{1.5\baselineskip}%
\section{Introduction}\label{sec:1}
Les principaux héros de notre histoire sont Kakeya et Besicovitch.\par\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics[height=2.5cm]{kakeya.jpg}&&\includegraphics[height=2.5cm]{besicovitch.jpg}
\\
\smaller Soichi Kakeya (1886-1947)&&\smaller Abram Besicovitch (1891-1970)
\end{tabular}
\end{center}

En 1917, Kakeya \cite{kakeya} posait le problème suivant:

\smallskip
\emph{Quelle est l'aire minimale nécessaire pour retourner
une aiguille
de longueur $1$ de $180$ degrés?}

\smallskip
Ici, \og retourner\fg signifie ramener l'aiguille (qui est modélisée par un segment unité) à sa position initiale, mais
avec le dessus en dessous. Par exemple, nous pouvons lui faire subir une
rotation autour de son milieu, ceci nous coûtera $\sfrac{\pi}{4}$.
Nous pouvons nous convaincre assez vite qu'il est possible de faire un peu
mieux. Par exemple, un triangle équilatéral de hauteur $1$ donne la meilleure solution si on se restreint aux convexes. Voir la figure \ref{fig:kakeya1} pour une esquisse du \og trajet\fg(en pointillé)
suivi par l'aiguille dans ce cas. On trouvera dans \cite{besicovitch3} une présentation
du problème de Kakeya par Besicovitch lui-même.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]

\draw [black, fill=gray!20] (0,0) -- (4,0) -- (2,3.5) -- cycle ;

\draw [dashed](3.45,0) arc (0:61.5:3.35);

\draw [dashed](0.54,0) arc (180:118:3.35);

\draw [dashed](0.3,0.5) arc (-120:-60:3.35);

\draw [<->] (-1,0) -- (-1,3.5) ;

\draw (-1,1.75) node[left]{$h=1$};

\draw (0,0) node[below left]{$A$};
\draw (4,0) node[below right]{$B$};
\draw (2,3.5) node[above]{$C$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{La solution dans le cas d'un triangle équilatéral $ABC$ de hauteur $1$}
\label{fig:kakeya1}
\end{figure}

Au moment où Kakeya posait sa question, Besicovitch, qui était professeur à l'Université de Perm en Russie (Oural), travaillait
sur des problèmes d'analyse réelle liés à l'intégrale de Riemann. Un des problèmes qu'il considérait est le suivant:

\smallskip
\emph{Si $f:\R^{2} \to \R$
est une fonction Riemann intégrable, existe-t-il un système de
coordonnées $(x,y)$ (c'est-à-dire d'axes) tel que
$\int f(x,y) dx$ existe (au sens de Riemann) pour tout $y \in \R$
et la fonction $y \mto \int f(x,y) dx$ est elle-même
intégrable au sens de Riemann?}

\smallskip
Besicovitch publia la réponse à ce problème dans une revue de Perm. Mais son article \cite{besicovitch1} ne fut pas diffusé hors de Russie, qui était alors le théâtre d'une
terrible guerre civile
à la suite de la révolution bolchévique. En particulier, Perm fut prise et reprise plusieurs fois par l'armée blanche (restée fidèle au Tsar) puis l'armée rouge.
\hbox{Besicovitch}
s'installa en Angleterre en 1924. Peu de temps après, il~apprit l'existence du problème de Kakeya et s'aperçut
qu'une légè\-re modification de sa construction de 1919
permettait de résoudre ce problème. Son article en russe fut remanié et publié dans une
\hbox{revue} allemande en 1928 (voir \cite{besicovitch2}). Besicovitch s'est ensuite beaucoup intéressé à la théorie géométrique de la
mesure, en particulier aux ensembles dont la projection est
de mesure nulle dans presque toutes les directions. En~1964, il
réalise que ses travaux dans ce dernier domai\-ne permettent de donner une autre solution à son problème de 1919. Nous présenterons plus bas la construction proposée dans \cite{besicovitch4}.

Mais quel est le point commun entre le problème de Kakeya et celui de Besicovitch? Leurs solutions viennent du fait suivant:

\smallskip
\emph{Il existe des ensembles (compacts) du plan contenant un segment unité dans chaque direction, mais d'aire nulle.}

\smallskip
Dans la suite, nous appellerons \emph{ensemble de Besicovitch} un sous-ensemble du plan (ou plus généralement de $\R^{n}$) qui possède un segment unité dans chaque direction et \emph{ensemble de Kakeya} un ensemble de Besicovitch de mesure de Lebesgue nulle. Attention, notre terminologie n'est pas forcément la même que celle utilisée par d'autres \hbox{auteurs}.
Dans la section \ref{sec:2}, nous donnons une construction \og classique\fg d'un ensemble de Kakeya via les arbres de Perron et nous présentons des solutions aux problèmes de Kakeya et Besicovitch.
Grosso modo, on peut retourner l'aiguille avec une aire aussi petite que l'on veut en le faisant dans un voisinage assez petit d'un ensemble de Kakeya, et la réponse à la question de
Besicovitch est \og non\fg en considérant comme contre-exemple la fonction indicatrice d'une version modifiée d'un ensemble de Kakeya. Signalons sur ces points le livre récent
\cite{Borrelli} qui en donne une introduction plus accessible que ces notes pour des étudiants.

Dans la section \ref{sec:3}, on définit les mesures et la dimension de Hausdorff. On étudie plus particulièrement le cas des ensembles auto-similaires, comme l'ensemble triadique de Cantor.
La section \ref{sec:4} est consacrée à la construction de Besicovitch de 1964, qui repose sur l'ensemble de Cantor $4$-coins. Celui-ci est un ensemble auto-similaire du plan, de dimension $1$,
qui a la particularité d'avoir des projections de mesure de Lebesgue nulle dans presque toutes les directions. Une introduction plus complète (issue d'un cours de master 2)
à la théorie géométrique
de la mesure est donnée dans le livre \cite{pajotruss}, dans lequel on trouvera aussi une discussion des inégalités isodiamétriques et isopérimétriques ainsi que de la fonctionnelle de Mumford-Shah (voir les textes d'Emmanuel Russ \cite{Russ} et d'Antoine Lemenant \cite{Lemenant} dans ce volume).

Mais notre histoire ne s'arrête pas là! Il est naturel de voir s'il est possible
de construire
des ensembles de Kakeya \og petits\fg. Nous verrons dans la section 5 que tout ensemble de Besicovitch du plan est de dimension de Hausdorff $2$. Le problème est: qu'en est-il en dimensions supérieures?
La conjecture dite de Kakeya stipule que tout ensemble de Besicovitch dans $\R^{n}$ (c'est-à-dire possédant un segment unité dans chaque direction) est de dimension de Hausdorff $n$. Ce~problème est
encore très largement ouvert. Nous ferons le lien avec la \emph{fonction maximale}, qui est un outil classique d'analyse harmonique et nous discuterons du cas simplifié mais instructif de la conjecture
de Kakeya sur les corps finis. Pour des étudiants, nous conseillons sur ces points le petit livre \cite{Iosevich} qui est abordable avec peu de connaissances.

Enfin, dans la dernière section, nous expliquons le lien entre le \hbox{problème} de Kakeya et des problèmes importants (et toujours ouverts) d'analyse harmonique. Ceci explique que, cent ans après
avoir été énoncé, le problème de Kakeya reste toujours d'actualité. Kakeya en serait le premier étonné.

Je remercie les organisateurs de ces journées
de me donner l'opportunité de parler de ce beau problème. J'ai préféré citer des livres ou des survols dans lesquels le lecteur trouvera la référence exacte
de l'article mentionné. Comme il est de coutume en analyse, la constante~$C$ peut changer d'une ligne sur l'autre, mais toujours s'appeler $C$. Dans ces notes, $\mathcal{L}^{n}$ désigne la mesure de Lebesgue de $\R^{n}$.

\section{La solution du problème de Kakeya}\label{sec:2}

Le résultat principal de cette section donne la solution du problème de Kakeya. Une solution du problème de Besicovitch est présentée à la fin de la section.

\skpt
\begin{theoreme}
Pour tout $\varepsilon >0$, il existe un ensemble (compact) du plan $E_{\varepsilon} \subset \R^{2}$ avec $\mathcal{L}^{2}(E_{\varepsilon}) \leq \varepsilon$ tel qu'un segment unité peut être
envoyé (par une composition de transformations élémentaires du plan) vers sa position
initiale en échangeant les extrémités tout en restant dans $E_{\varepsilon}$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
On esquisse une preuve via les \emph{arbres de Perron}. On utilisera l'observation élémentaire suivante qui est laissée en exercice.

\begin{exo}\label{exo:1}
Soient $D_{1}$ et $D_{2}$ deux droites parallèles dans le plan complexe. Montrer que pour tout $\varepsilon >0$, il existe un ensemble $F_{\varepsilon} \subset \C$ avec $\mathcal{L}^{2}(F_{\varepsilon})
\leq \varepsilon$ tel que
tout segment unité contenu dans $D_{1}$ peut être envoyé par une composition de translations et de rotations vers un segment unité de $D_{2}$ sans quitter $F_{\varepsilon}$.
\end{exo}

\begin{figure}\label{perron}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{perron}
\caption{Construction d'un ensemble de Besicovitch via les arbres de Perron}\label{fig:kakeya2}
\end{center}
\end{figure}

\subsubsection*{Étape 1} Soient $T_{1}$ et $T_{2}$ deux triangles adjacents dont la base de longueur $b$ est contenue dans une même droite $D$ et dont la hauteur est la même, égale à $h=1$
(voir le haut de la figure \ref{fig:kakeya2} et surtout la figure \ref{fig:kakeya3}).
Supposons que l'on translate $T_{1}$ vers $T_{2}$ par un vecteur de norme $2(1- \alpha)b$ suivant la direction de la base (où $\alpha \in{}]1/2,1[$).
On~obtient alors $S$ qui est constitué d'un triangle central $T$ et de deux petits triangles $C_{1}$ et $C_{2}$ qui forment des \og cornes\fg de chaque côté de $T$.
Par un calcul élémentaire, on a
$$\mathcal{L}^{2}(S)= \mathcal{L}^{2}(T) (\alpha^{2}+2(1- \alpha)^{2}).$$

\begin{figure}[htb]
\begin{center}\smaller
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\draw (-1,0) -- (10,0);

\draw (0,0) -- (2.25,0) -- (3,4.5) -- cycle ;

\draw (4.5,0) -- (2.25,0) -- (3,4.5) -- cycle ;

\draw [<->] [dashed] (5.5,0) -- (5.5,4.5);
\draw (5.5, 2.25) node[right]{$h$};
\draw (1.5, 2.25) node[left]{$T_{1}\,$};
\draw (3.75, 2.25) node[right]{$T_{2}$};

\draw (1.1,0) node[below]{$b$};
\draw (3.35,0) node[below]{$b$};

\draw [black, fill=gray!20] (6,0) -- (9.2,0) -- (8.2, 3.3) -- cycle ;
\draw [black, fill=gray!80] (7.3,2) -- (8.2,3.3) -- (7.9, 4.5) -- cycle ;
\draw [black, fill=gray!80] (8.6,2) -- (8.2,3.3) -- (9, 4.5) -- cycle ;
\draw (6.9,0) -- (7.3,2);
\draw (8.3,0) -- (8.6,2);
\draw [<->](7,-0.2) --(8.3, -0.2);
\draw (7.65,-0.1) node[below]{$2(1- \alpha) b$};

\draw (7.45,3.25) node[left]{$C_{1}$};
\draw (8.8,3.25) node[right]{$C_{2}$};
\draw (8.8,1) node[right]{$\,T$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{À gauche, les triangles adjacents $T_{1}$ et $T_{2}$ de l'étape 1. À droite, l'ensemble $S$ constitué du triangle central~$T$ et des cornes $C_{1}$ et $C_{2}$}
\label{fig:kakeya3}
\end{figure}
On note $T'_{1}$ et $T'_{2}$ les copies de $T_{1}$ et $T_{2}$ respectivement, de sorte que $S= T'_{1}\cup T'_{2}$.
Supposons que l'aiguille soit sur un côté de $T'_{1}$ qui n'est pas la base (comme sur la figure \ref{fig:kakeya4}). Si $\varepsilon >0$, on peut trouver
un ensemble $F_{\varepsilon}$ avec $\mathcal{L}^{2}(F_{\varepsilon})=0$ (comme dans l'exercice \ref{exo:1})
tel que l'on puisse faire subir à l'aiguille une rotation de $\pi/3$ en restant dans $S \cup F_{\varepsilon}$. En effet, on commence par faire tourner l'aiguille dans $T'_{1}$
pour la ramener sur le côté qui est parallèle à un côté de $T'_{2}$. On utilise alors $F_{\varepsilon}$ pour translater l'aiguille dans $T'_{2}$ et on peut conclure par une rotation dans $T'_{2}$.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\smaller
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]

\draw (6.8, 1.25) node[left]{Départ\;};
\draw (8.75, 1.25) node[right]{\ Arrivée};
\draw (7.9,4.5) node[above]{$T'_{2}$};
\draw (9,4.5) node[above]{$T'_{1}$};
\draw (6,0) -- (8.3,0) -- (9, 4.5) -- cycle ;

\draw (6.9,0) -- (9.2,0) -- (7.9, 4.5) -- cycle ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Rotation de l'aiguille de $\pi/3$ dans $S \cup F_{\varepsilon}$. }
\label{fig:kakeya4}
\end{figure}

\subsubsection*{Étape 2} Soit $T$ un triangle dont la base $B$ (ainsi, $B$ est un segment) est contenue dans une droite $D$. On note $a$ le sommet opposé à la base.
Divisons la base $B$ en $2^{k}$ segments disjoints (sauf en leurs extrémités) de même longueur: $B= \bigcup_{j=1}^{2^{k}} [a_{j},b_{j}]$, où pour tout $j \in \{ 1,\dots,2^{k}\}$, $|a_{j}-b_{j}| =
\diam(B)/2^{k}$ et pour tout $j \in \{ 2,\dots,2^{k}\}$, $b_{j-1}=a_{j}$. On joint les $a_{k}$, $b_{k}$ à $a$ pour faire en sorte d'obtenir $2^{k}$ triangles notés $T_{1},\dots,T_{2^{k}}$ avec
$T= \bigcup_{j=1}^{2^{k}}$ et pour tous $i \neq j \in \{ 1,\dots,2^{k}\}$, \hbox{$\mathcal{L}^{2}(T_{i} \cap T_{j})=0$}. Si~$k$ est assez grand et si $\alpha$ (celui de l'étape 1) est assez proche de~$1$,
on peut appliquer l'étape $1$ et translater
les triangles $T_{i}$ de sorte que l'ensemble $S$ obtenu soit de mesure aussi petite que l'on veut. Le calcul se fait comme décrit dans la figure \ref{fig:kakeya2}. Ainsi, on commence par
appliquer l'étape 1
à des paires de triangles adjacents. Puis, on fait se chevaucher deux par deux les figures obtenues. Le~calcul de l'aire se fait comme dans l'étape 1 en ne tenant compte que des chevauchements
des triangles centraux (les $T$ de l'étape 1) et non des cornes. En itérant cette construction, on obtient que l'ensemble~$S$ obtenu satisfait à
$$\mathcal{L}^{2}(S) \leq \biggl(\alpha^{2k} +2(1 -\alpha)^{2} \sum_{i=0}^{n-1}\alpha^{2i}\biggr)\mathcal{L}^{2}(T)\leq (\alpha^{2k} +2(1 -\alpha)) \mathcal{L}^{2}(T).$$
Ce qui permet de conclure. De plus, si le triangle $T$ est contenu dans un ouvert $O$, on peut faire
les transformations précédentes de sorte que $S$ reste dans $O$.

\subsubsection*{Étape 3} On peut alors construire un ensemble de Kakeya. Tout d'abord, il suffit de construire un ensemble $F$ du plan de mesure de
Lebesgue nulle et qui contient une droite dans toutes les directions $\theta \in [0, \pi/3]$. En effet, l'ensemble cherché est alors obtenu en utilisant des rotations de $F$.

Soit $S_{1}$ un triangle équilatéral de base un segment unité contenu dans une droite $D$ et soit $O_{1}$ un ouvert contenant $S_{1}$ satisfaisant à $\mathcal{L}^{2}(\overline{O_{1}})\leq 2 \mathcal{L}^{2}(S_{1})$.
En appliquant l'étape 1, on construit un ensemble (fermé)~$S_{2}$ qui est une union (non disjointe) de triangles de hauteur $1$ (et de base dans $D$) et tel que $\mathcal{L}^{2}(S_{2}) \leq 1/2^{2}$.
On peut de plus considérer un ouvert $O_{2}$ contenant $S_{2}$ et $S_{1}$ avec $\mathcal{L}^{2}(\overline{O_{2}})\leq 2 \mathcal{L}^{2}(S_{2})$.

Comme $S_{2}$ est formé de triangles de hauteur $1$, on peut utiliser la procédure décrite à l'étape 1, et construire un ensemble fermé $S_{3}$ formé de triangles de hauteur
$1$ (de base dans $D$) avec $\mathcal{L}^{2}(S_{3}) \leq 1/2^{3}$. On peut aussi considérer un ouvert $O_{3}$ contenant $S_{3}$ avec $\mathcal{L}^{2}(\overline{O_{3}})\leq 2 \mathcal{L}^{2}(S_{3})$.

On construit par récurrence une suite $(S_{j})$ d'ensembles formés de triangles de hauteur $1$ et de base contenue dans $D$ ainsi qu'une famille d'ouverts $(O_{j})$ avec
$S_{j} \subset O_{j} \subset O_{j-1}$ et $\mathcal{L}^{2}(\overline{O_{j}})\leq 2 \mathcal{L}^{2}(S_{j})\leq 2\cdot\nobreak2^{-j}=2^{-j+1}$.

Alors, l'ensemble $F= \bigcap_{j=1}^{+ \infty} \overline{O_{j}}$ convient. En effet, on a \hbox{$\mathcal{L}^{2}(F)\!=\!0$} puisque pour tout $j$, $\mathcal{L}^{2}(\overline{O_{j}})\leq 2^{-j+1}$. De plus, $S_{1}$ possède
un \hbox{segment} unité dans chaque direction $\theta \in[0, \pi/3]$. Il en est de même par construction pour les $S_{j}$, donc pour les $O_{j}$. Un petit argument de compacité permet de montrer qu'il
en est de même pour $F$.

\subsubsection*{Étape 4} Résolvons le problème de Kakeya! Soit $\varepsilon >0$. On va construire par l'étape 3 un ensemble $E_{0}$ avec $\mathcal{L}^{2}(E_{0}) \leq \varepsilon /3$ et dans lequel
on peut faire subir à l'aiguille une rotation d'angle $\theta \in [0, \pi/3]$. Comme pour l'étape 3, on pourra conclure en utilisant des rotations de $E_{0}$. On part d'un triangle équilatéral
$T$ de hauteur $1$ (dans lequel il est possible de faire subir à l'aiguille une rotation de $\pi$). Par l'étape~3, on peut construire des triangles $T_{j}$ ($j=1,\dots,2^{k}$) tels que,
si on note $E= \bigcup_{j=1}^{2^{k}} T_{j}$, on ait $\mathcal{L}^{2}(E)\leq \varepsilon/6$ et, pour tout $j=1,\dots,2^{k}$, un côté de~$T_{j}$ est parallèle à un côté de $T_{j+1}$. Donc, par
l'exercice \ref{exo:1}, on peut construire un ensemble $E_{0}$ à partir de l'ensemble~$E$ en ajoutant pour tout $j$ un ensemble $E_{j}$ qui permet de translater un segment
de~$T_{j}$ vers un segment de $T_{j+1}$ avec $\mathcal{L}^{2}(E_{j}) \leq \sfrac{\varepsilon}{6\cdot2^{k}}$. On a donc
\[
\mathcal{L}^{2}(E_{0}) \leq \frac\varepsilon6+
\frac{(2^{k}-1)\varepsilon}{6\cdot2^{k}} < \frac\varepsilon3.
\]
Pour faire tourner l'aiguille dans $E_{0}$ de $\pi/3$, on applique de façon itérative la méthode décrite dans l'étape 1.
Notre problème de Kakeya est résolu!
\end{proof}

\begin{remarque}
À cause de l'utilisation de translations, le diamètre des ensembles $E_{\varepsilon}$ dans lesquels nous retournons notre aiguille est très grand. De façon assez surprenante, Cunningham
(voir \cite{cunningham}) a démontré que l'on pouvait retourner l'aiguille dans des ensembles $E_{\varepsilon}$ avec $\mathcal{L}^{2}(E_{\varepsilon}) < \varepsilon$ mais qu'en plus, ces ensembles peuvent
être choisis simplement connexes et contenus dans un cercle de rayon $1$!
\end{remarque}

Nous expliquons maintenant une solution au problème de Besicovitch.
Soit $E \subset \R^{2}$ un ensemble (compact) de Kakeya. On se donne un système de coordonnées $(x,y)$ de $\R^{2}$. Par définition d'un ensemble de Kakeya, il existe un
segment unité $I_{x}$ (respectivement $I_{y}$)
parallèle à l'axe des $x$ (respectivement parallèle à l'axe des $y$) contenu dans $E$. Quitte à translater $E$, on peut supposer que la coordonnée~$b$ en $x$ de $I_{y}$ et la coordonnée
$a$ en $y$ de $I_{x}$ sont des nombres irrationnels. On définit $E_{0}$ comme l'ensemble des $(x,y) \in E$ avec $x \in \Q$ ou $y \in \Q$. Soit $f= \chi_{E_{0}}$ la fonction caractéristique de $E_{0}$. Comme~$E_{0}$ et son complémentaire sont denses dans $I_{x}$ et $I_{y}$, les applications $f_{b}: x \mto f(x,b)$ (c'est-à-dire la restriction de $f$ à la direction de~$I_{x}$) et $f_{a}: y \mto
f(a,y)$ (c'est-à-dire la restriction de $f$ à la direction de~$I_{y}$) ne sont pas Riemann-intégrables. Comme $E$ est compact, l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est contenu dans
$E_{0}$ qui est de mesure de Lebesgue nulle. Donc, par le critère de Lebesgue pour l'intégrabilité de Riemann, $f$ est Riemann-intégrable sur $\R^{2}$.

\section{Mesures et dimension de Hausdorff}\label{sec:3}

Les notions de mesures et de dimension de Hausdorff peuvent être définies dans les espaces métriques séparables.
Nous nous contenterons ici de nous placer dans le cas de $\R^{n}$ muni de la distance euclidienne.
\begin{definition}
Soit $A\!\subset\!\R^{n}$ et soit $s\!>\!0$. La \emph{$s$-mesure de Hausdorff} de~$A$ est donnée par\vspace*{-.5\baselineskip}\enlargethispage{.5\baselineskip}%
\begin{gather*}
\mathcal{H}^{s}(A)= \lim_{\delta \to 0} \mathcal{H}_{\delta}^{s}(A)\\
\tag*{où}
\mathcal{H}_{\delta}^{s}(A)= \inf \Bigl \{ \textstyle\sum_{i} \alpha(s) (\diam F_{i}/2)^{s}\sep A \subset \bigcup_{i} F_{i},\; \diam(F_{i}) \leq \delta \Bigr \}.
\end{gather*}
\end{definition}
Rappelons que $\alpha(s)= \pi^{s/2}/\Gamma(s/2+1)$, où $\Gamma$ est la classique
fonction Gamma qui intervient dans le calcul de la mesure de Lebesgue de la boule unité de $\R^{n}$. Cette normalisation sera justifiée plus tard.

La mesure $\mathcal{H}^{s}$ est une mesure de Borel régulière mais n'est pas en général une mesure de Radon (sauf si $s=n$),
car elle n'est pas localement finie (voir \cite{m}, chapitre 1). Cependant,
si~$A$ est un ensem\-ble $\mathcal{H}^{s}$-mesurable avec
$\mathcal{H}^{s}(A) < + \infty$, alors la restriction de~$\mathcal{H}^{s}$ à~$A$ est une mesure de Radon. Ceci découle de résultats
généraux de théorie de la mesure
(voir \cite{m}, théorème 1.9
et corollaire 1.11). Ici, la notion de mesure n'est pas l'usuelle mais correspond à la notion de mesure extérieure. Une application positive $\mu$
sur l'ensemble des sous-ensembles
$\mathcal{P}(\R^{n})$ de $\R^{n}$ est une \emph{mesure extérieure} si $\mu(\emptyset)=0$ et $\mu \left(
\bigcup_{i} A_{i}
\right)\leq \sum_{i} \mu(A_{i})$. Il n'y a pas a priori de tribu associée. Cepen\-dant, le lien se fait de la façon suivante. On dit que $A \subset \R^{n}$ est $\mu$-mesurable si pour tout
$E \subset \R^{n}$, $\mu(E)= \mu(A \cap E) + \mu(E \setminus A)$. Alors, les ensembles $\mu$-mesurables forment une tribu (voir \cite{m}, chapitre 1).
\begin{exemple}
Si $s=0$,
$\mathcal{H}^{0}$ est la mesure de comptage. Elle n'a donc un intérêt que pour les ensembles finis (voire dénombrables).
\end{exemple}

\begin{exemple}
Si $s=1$ et si $\Gamma$ est une courbe de Jordan (c'est-à-dire une courbe simple) de $\R^{n}$, alors $\mathcal{H}^{1}(\Gamma)$ est la longueur (au sens usuel) de $\Gamma$.
\end{exemple}

\begin{exemple}
Si $s=n$, alors $\mathcal{H}^{n}=\mathcal{L}^{n}$ (ceci explique la normalisation précédente). Cette égalité vient de l'inégalité isodiamétrique.
Celle-ci affirme que si $A$ est un sous-ensemble quelconque de $\R^{n}$ et si $B(x,R)$ est une boule de $\R^{n}$ avec $\diam A= \diam B(x,R)$ alors
$\mathcal{L}^{n}(A) \leq \mathcal{L}^{n}(B(x,R))$. Ainsi, à diamètre fixé, c'est la boule qui a la plus grande mesure. Voir le texte d'Emmanuel Russ dans ce volume.
\end{exemple}

La mesure $\mathcal{H}^{s}$ est donc $s$-dimensionnelle au sens où elle se comporte bien sur les ensembles de dimension $s$ (et encore, pas tous). Ceci justifie
l'introduction de la notion de dimension de Hausdorff que nous allons maintenant définir. On commence par un résultat technique.

\begin{proposition}
Pour $0 \leq s < t <\infty$ et $A \subset \R^{n}$, on a:
\begin{enumeratei}
\item
si $\mathcal{H}^{s}(A) < \infty$, alors $\mathcal{H}^{t}(A)=0$;
\item
si $\mathcal{H}^{t}(A)>0$, alors $\mathcal{H}^{s}(A)= \infty$.
\end{enumeratei}
\end{proposition}

\begin{proof}
Il est clair que (i) implique (ii) mais nous avons préféré énoncer aussi (ii) dans la mesure où nous en aurons besoin pour l'équivalence des diverses définitions
de la dimension de Hausdorff. Soit $A \subset \R^{n}$ avec $\mathcal{H}^{s}(A) < \infty$.
Pour démontrer (i), on se donne un $\delta >0$ et on considère un recouvrement $(E_{i})$ de $A$ avec $\diam (E_{i}) \leq \delta$ pour tout $i$ et
$\sum_{i} \alpha(s) (\diam (E_{i})/2) ^{s} \leq \mathcal{H}_{\delta}^{s}(A)+1$. On a alors
\begin{align*}
H_{\delta}^{t}(A) &\leq \sum_{i} \alpha(t) (\diam (E_{i})/2) ^{t}\\
& \leq \frac{\alpha(t)}{\alpha(s)}\,\delta^{t-s} \sum_{i} \alpha(s) (\diam (E_{i})/2) ^{s}\\
& \leq 
\frac{\alpha(t)}{\alpha(s)}\,\delta^{t-s} (\mathcal{H}_{\delta}^{s}(A)+1).
\end{align*}
En faisant tendre $\delta$ vers $0$, on obtient alors $\mathcal{H}^{t}(A)=0$.
\end{proof}

\begin{definition}
Soit $A \subset \R^{n}$. La \emph{dimension de Hausdorff} de $A \subset \R^{n}$, notée $\Hdim(A)$, est définie par\par\noindent
\begin{minipage}[m]{.5\textwidth}
\begin{align*}
\Hdim(A) & = \sup \{ t \sep \mathcal{H}^{t}(A) >0 \}\\
& = \sup \{ s \sep \mathcal{H}^{s}(A) = \infty \}\\
& = \inf \{ s \sep \mathcal{H}^{s}(A) < \infty \}\\
& = \inf \{ t \sep \mathcal{H}^{t}(A) = 0 \}.
\end{align*}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[m]{.4\textwidth}
\begin{center}
\smaller\smaller
\begin{tikzpicture}[scale=0.25]

\draw [->] (0,0) -- (9,0);
\draw (0,0) node[left]{$0$};

\draw (5,0) node[below]{$\Hdim(A)$};

\draw (9,0) node[right]{$s$};

\draw (0,5) -- (5,5);

\draw (0,5) node[left]{$\infty$};
\draw [->] (0,0) -- (0,7);
\draw (0,8.5) node[below]{$\mathcal{H}^{s}(A)$};

\draw[dashed] (5,0) -- (5,5);
\end{tikzpicture}\par\larger
Graphe de $s \mto \mathcal{H}^{s}(A)$.
\end{center}
\end{minipage}
\end{definition}

Si $\Hdim(A)=s$, alors $\mathcal{H}^{s}(A)$ est soit nulle, finie ou infinie. Par définition, si $A \subset \R^{n}$, on a $\Hdim(A) \leq n$.

\begin{exo}\label{exolipschitz}
Soit $f: \R^{n} \to \R^{m}$ une application $K$-lipschitzienne et soit $A \subset \R^{n}$. Comparer $\mathcal{H}^{s}(A)$ et $\mathcal{H}^{s}(f(A))$, puis $\Hdim(A)$ et $\Hdim(f(A))$.
\end{exo}

Il n'est pas facile en général de calculer la dimension de Hausdorff. Nous allons maintenant exhiber une large classe d'ensembles pour lesquels la dimension de Hausdorff
est donnée par une formule explicite. L'idée est de généraliser la construction des fractales classiques
comme l'ensemble triadique de
Cantor dont nous discutons maintenant le cas.

\begin{exemple}[L'ensemble triadique de Cantor, voir la figure \ref{triadique}]
Pour tout $j \in \N$, on considère les sous-ensembles de $\R$
suivants:
$$I_{j} =
\bigcup_{\substack{k=0\\ k \text{ pair}}}^{3^{j} -1}
\left[ \frac{k}{3^{j}},
\frac{k+1}{3^{j}}
\right].$$
On pose $E_{1} = \bigcap_{j \in \N} I_{j}$. Alors, $\Hdim
(E_{1}) = \sfrac{\log 2}{\log 3}$. On peut se convaincre intuitivement de ce résultat. Écrivons $I_{j}= \bigcup_{k} I_{j}^{k}$, où les $I_{j}^{k}$ sont les
$2^{j}$ intervalles de longueur $3^{-j}$ qui ont été donnés ci-dessus. Si $\delta >0$, pour estimer $\mathcal{H}_{\delta}^{s}(E_{1})$, il est naturel de considérer
le recouvrement de $E_{1}$ par les $I_{j}^{k}$ avec
$3^{-j} \leq \delta$. On a alors $\sum_{k} \alpha(s) (\diam I_{j}^{k}/2)^{s}= \alpha(s)2^{-s} 2^{j}3^{-js}$. Pour que $2^{j}3^{-js}$ converge non trivialement, il faut que $s =
\sfrac{\log 2}{\log 3}$. Le problème est que nous n'avons considéré que des recouvrements particuliers.
Le même argument heuristique peut aussi s'appliquer pour les autres exemples.
\end{exemple}

\begin{figure}[htb]
\begin{center}\smaller
\begin{tikzpicture}[scale=.7]
\draw [thick] (0,0) -- (9,0);
\draw [thick] (0,2) -- (3,2);
\draw [dashed] (0,0) -- (0,2);
\draw [dashed] (3,0) -- (3,2);
\draw [thick] (6,2) -- (9,2) node[right]{$I_{1}$};
\draw [dashed] (6,0)-- (6,2);
\draw [dashed] (9,0)-- (9,2);

\draw (0,0) node{$\bullet$} node [below left]{$(0,0)$};
\draw (3,0) node{$\bullet$} node [below ]{$(1/3,0)$};
\draw (6,0) node{$\bullet$} node [below ]{$(2/3,0)$};
\draw (9,0) node{$\bullet$} node [below right]{$(1,0)$};

\draw [thick] (0,4) -- (1,4);
\draw [thick] (2,4) -- (3,4);
\draw [thick] (6,4) -- (7,4);
\draw [thick] (8,4) -- (9,4) node[right]{$I_{2}$};

\draw[dashed] (0,2) -- (0,4);
\draw[dashed] (1,2) -- (1,4);
\draw[dashed] (2,2) -- (2,4);
\draw[dashed] (3,2) -- (3,4);

\draw[dashed] (6,2) -- (6,4);
\draw[dashed] (7,2) -- (7,4);
\draw[dashed] (8,2) -- (8,4);
\draw[dashed] (9,2) -- (9,4);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Les trois premières étapes de la construction de l'ensemble triadique de Cantor}
\label{triadique}
\end{figure}
\vspace*{2mm}
Nous allons maintenant définir les ensembles (compacts) auto-similaires. Comme l'ensemble triadique de Cantor, ils sont obtenus par itération de transformations
géométriques simples (des similitudes).

\begin{proposition}
Soit $S_{1},\dots,S_{N}$ des similitudes sur $\R^{n}$ respectivement de rapport $\tau_{1},\dots,\tau_{N}$. Il existe un unique compact $K$ invariant pour le système
$(S_{1},\dots,S_{N})$, c'est-à-dire $K= \bigcup_{i=1}^{N} S_{i}(K)$. Un tel $K$ sera dit auto-similaire.
\end{proposition}

L'idée de la preuve est la suivante. Soit $\mathcal{F}$ l'ensemble des compacts non vides de $\R^{n}$ que l'on munit de la distance de Hausdorff:
$$\delta(K_{1},K_{2}) = \max \{d(x,K_{1}), d(y,K_{2})\sep x \in K_{2},\; y \in K_{1} \}.$$
Alors, $\mathcal{F}$ est un espace complet. Comme l'application
\[
E \mto \sum_{i=1}^{N} S_{i}(E)
\]
est une contraction dans $(\mathcal{F}, \delta)$,
on peut conclure par un théorème de point fixe.

Afin de pouvoir estimer la dimension de Hausdorff du compact invariant $K$, il faut s'assurer que les parties $S_{i}(K)$ sont bien séparées. On dira
que le système $(S_{1},\dots, S_{N})$
satisfait à l'\emph{open set condition} s'il existe un ouvert non vide $O$ dans $\R^{n}$ tel que $\bigcup_{i=1}^{N} S_{i}(O) \subset O$ et $S_{i}(O) \cap S_{j}(O)= \emptyset$ dès
que $i \neq j$.

\begin{theoreme}
Soit $S_{1},\dots,S_{N}$ un système de similitude de rapport respectif $\tau_{1},\dots,\tau_{N}$ et qui satisfait à l'open set condition. On note~$K$ l'unique compact invariant de ce système. Alors,
si~$Q$ est l'unique solution positive de l'équation $\sum_{i=1}^{N}\tau_{i}^{Q}=1$, on a $0 <\mathcal{H}^{Q}(K)\leq\infty$. De plus, $K$ est Ahlfors-régulier de dimension $Q$. En particulier,
la dimension de Hausdorff de $K$ est $Q$.
\end{theoreme}

On rappelle qu'un ensemble $E \subset \R^{n}$ est \emph{Ahlfors-régulier\index{Ahlfors-régularité} de dimension $Q$} s'il existe une constante $C_{AR}>0$ telle que, pour tout $x \in E$,
tout $R\in{}]0, \diam E[$, on a
$$C^{-1}_{AR} R^{Q} \leq \mathcal{H}^{Q}(E \cap B(x,R)) \leq C_{AR} R^{Q}.$$
Voir \cite{F} pour une démonstration du théorème. Nous décrivons maintenant certains ensembles auto-similaires du plan complexe. Ils sont tous munis de la distance euclidienne induite.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}\smaller
\begin{tikzpicture}[scale=0.15]

\draw [thick] (0,0) node[below left]{$(0,0)$} -- (16,0) node[below right]{$(1,0)$} -- (16,16) node[above right]{$(1,1)$} -- (0,16) node[above left]{$(0,1)$} -- cycle ;

\draw [black, fill=gray!20] (0,0) -- (4,0) -- (4,4) -- (0,4) -- cycle ;

\draw [black, fill=gray!20] (12,0) -- (16,0) -- (16,4) -- (12,4) -- cycle ;

\draw [black, fill=gray!20] (12,12) -- (16,12) -- (16,16) -- (12,16) -- cycle ;

\draw [black, fill=gray!20] (0,12) -- (4,12) -- (4,16) -- (0,16) -- cycle ;

\draw [dashed] (0,0) -- (1,0) -- (1,1) -- (0,1) -- cycle ;

\draw [dashed] (3,0) -- (4,0) -- (4,1) -- (3,1) -- cycle ;

\draw [dashed] (3,3) -- (4,3) -- (4,4) -- (3,4) -- cycle ;

\draw [dashed] (0,3) -- (1,3) -- (1,4) -- (0,4) -- cycle ;

\draw [dashed] (12,0) -- (13,0) -- (13,1) -- (12,1) -- cycle ;

\draw [dashed] (15,0) -- (16,0) -- (16,1) -- (15,1) -- cycle ;

\draw [dashed] (16,4) -- (15,4) -- (15,3) -- (16,3) -- cycle ;

\draw [dashed] (12,4) -- (12,3) -- (13,3) -- (13,4) -- cycle ;

\draw [dashed] (12,12) -- (13,12) -- (13,13) -- (12,13) -- cycle ;

\draw [dashed] (16,12) -- (16,13) -- (15,13) -- (15,12) -- cycle ;

\draw [dashed] (16,16) -- (15,16) -- (15,15) -- (16,15) -- cycle ;

\draw [dashed] (12,16) -- (12,15) -- (13,15) -- (13,16) -- cycle ;

\draw [dashed] (4,16) -- (3,16) -- (3,15) -- (4,15) -- cycle ;

\draw [dashed] (0,16) -- (0,15) -- (1,15) -- (1,16) -- cycle ;

\draw [dashed] (0,12) -- (1,12) -- (1,13) -- (0,13) -- cycle ;

\draw [dashed] (4,12) -- (4,13) -- (3,13) -- (3,12) -- cycle ;

\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Les trois premières étapes de la construction du Cantor 4-coins}
\label{4coins}
\end{figure}

\begin{exemple}[L'ensemble de Cantor $4$-coins, voir la figure \ref{4coins}]
Soit $F_{0} = [0,1]^{2}$ le carré unité dans $\C$. Découpons
$F_{0}$ en 16 carrés égaux de longueur de côté
$\sfrac{1}{4}$. L'ensemble $F_{1}$ est l'union des
$4$ carrés situés dans les coins de $F_{0}$. Puis, on découpe
chacun de ces 4 carrés en 16 carrés identiques et l'ensemble $F_{2}$
est l'union des 16 carrés qui sont situés dans les coins des
$4$ carrés de $F_{1}$. En itérant cette construction, on construit une
suite de sous-ensembles $(F_{j})_{j \in \N}$ de $\C$, chacun des
$F_{j}$ étant formé de $4^{j}$ carrés de longueur de côté $4^{-j}$
qui sont situés dans les coins des carrés de $F_{j-1}$. Soit $E_{2}
= \bigcap_{j \in \N} F_{j}$. Alors, $\Hdim (E_{2}) = 1$.
\end{exemple}

\vspace*{2mm}
\begin{exemple} [La courbe de Von Koch\index{Courbe de Von Koch}, voir la figure \ref{vonkoch}]
Soit $J_{0} = [0,1]$ l'intervalle unité situé sur la droite réelle
de $\C$. On divise $J_{0}$ en trois segments identiques et on substitue au
segment du milieu deux segments formant avec lui un triangle équilatéral.
On note $J_{1}$ la ligne polygonale ainsi obtenue, puis on applique
la même substitution à chaque segment de $J_{1}$. On obtient une
nouvelle ligne polygonale $J_{2}$ formé de $4^{2}$ segments
de longueur $3^{-2}$. En itérant, on obtient une suite de lignes
polygonales $(J_{j})_{j \in \N}$ qui converge (pour la distance de Hausdorff) vers
une courbe de $\C$ que l'on note $E_{3}$. Notons que la longueur de
$E_{3}$ est infinie. En fait, $\Hdim (E_{3}) =
\sfrac{\log 4}{\log 3}$.
\end{exemple}

\begin{figure}[htb]
\center
\includegraphics[width=10cm]{courbevonkoch}
\caption{Construction de la courbe de Von Koch}
\label{vonkoch}
\end{figure}

\begin{exemple}[Le tapis et le tamis de Sierpinski, voir figure \ref{tamistapis}]
Comme pour l'ensemble de Cantor $4$-coins, on commence par considérer le carré unité $T_{0}=[0,1]^{2}$ de $\C$. On le subdivise ensuite en $9$ carrés de longueur
de côté $1/3$ et on obtient $T_{1}$ en enlevant la carré du milieu. Puis, on partage chacun des $8$ carrés de $T_{1}$ en $9$ carrés de longueur de côté $1/9$ et
on enlève
les $8$ carrés du milieu pour obtenir~$T_{2}$. En itérant cette construction, on obtient $T_{j}$ qui est la réunion de $8^{j}$ carrés de longueur de côté $(1/3)^{j}$. Le \emph{tapis de
Sierpinski} est alors défini par $T= \bigcap_{j \in \N} T_{j}$. On a $\Hdim(T)= \log(8)/\log(3)$. Le \emph{tamis de Sierpinski} s'obtient de façon similaire en commençant par considérer
un triangle équilatéral $T_{0}$ de longueur de côté $1$. On le subdivise en $4$ triangles équilatéraux de longueur de côté $1/2$ et on obtient $T_{1}$ en enlevant le triangle du milieu.
Le tamis de Sierpinski $T$ est obtenu en itérant cette construction. On a $\Hdim(T)= \log(3)/\log(2)$.
\end{exemple}

\begin{figure}[htb]
\center
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics[width=3cm]{tapisSierpinski}&\hspace*{1cm}&\includegraphics[width=3cm]{Triangle_de_Sierpinski}\\
\smaller Tapis de Sierpinski&&\smaller Tamis de Sierpinski
\end{tabular}
\caption{\label{tamistapis}}
\end{figure}

Le lecteur pourra appliquer le théorème précédent
pour vérifier que la dimension de Hausdorff des exemples ci-dessus est bien celle donnée.

\section{Construction d'un ensemble de Kakeya à partir de l'ensemble de Cantor 4-coins}\label{sec:4}

On commence par quelques notions de théorie de la rectifiabilité en se limitant au cas du plan complexe. Soit $E \subset \C$. On dit que~$E$ est \emph{$1$\nobreakdash-rectifiable} (ou tout simplement \emph{rectifiable})
s'il existe une famille (dénom\-brable) d'applications lipschitziennes $f_{j}:\R \to \C$ et un ensemble $E_{0} \subset \C$ avec $\mathcal{H}^{1}(E_{0})=0$ tels que $E \subset E_{0} \cup \left(
\bigcup_{i}f_{i}(\R)\right)$. En d'autres termes, $E$ peut être recouvert par une union de courbes (localement) rectfiables à un ensemble de $1$-mesure de Hausdorff nulle près. D'un autre côté, un
ensemble $F \subset \C$ est purement non $1$\nobreakdash-rectifiable (ou tout simplement purement non rectifiable) si, pour tout ensemble rectifiable $E \subset \C$, on a $\mathcal{H}^{1}(F \cap E)=0$ ou, de façon équivalente, $\mathcal{H}^{1}(F \cap \Gamma)=0$ pour toute courbe rectifiable $\Gamma$ de $\C$. La notion de rectifiabilité joue un rôle important dans des problèmes variationnels comme
la segmentation d'images (voir le texte d'Antoine Lemenant).

\begin{remarque}
Dans le cas général des espaces euclidiens, si $d \in \N$ avec $0<d<n$, on peut parler d'ensembles $d$-rectifiables $E \subset \R^{n}$ en considérant des applications lipschitziennes
$f_{i}: \R^{d} \to \R^{n}$ et en remplaçant $\mathcal{H}^{1}$ par $\mathcal{H}^{d}$. Cependant, dans des cadres non euclidiens comme celui du groupe de Heisenberg par exemple, il n'existe
pas vraiment de
théorie de la rectifiabilité.
\end{remarque}

\begin{exo}
Soit $E \subset \C$ avec $\mathcal{H}^{1}(E) < + \infty$. Démontrer qu'il existe un ensemble rectifiable $E_{\rect} \subset \C$ et un ensemble purement non rectifiable $E_{\unrect} \subset \C$ tels
que $E= E_{\rect} \cup E_{\unrect}$, et que cette décomposition est unique à un ensemble de $1$-mesure de Hausdorff nulle près.
\end{exo}

\begin{remarque}
Les fonctions lipschitziennes ont beaucoup de propriétés intéressantes. Ainsi, si $A$ est un sous-ensemble de $\R^{n}$ et si $f: A \to \R^{m}$ est lipschitzienne, on peut
prolonger $f$ en une application lipschitzienne sur $\R^{n}$ tout entier en gardant la même constante de Lipschitz (théorème de Kirzsbraun). Il en résulte une définition équivalente
de la rectifiabilité. L'ensemble $E$ est rectifiable s'il existe une famille (dénombrable) d'ensembles $A_{i} \subset \C$ et
d'applications lipschitziennes $f_{i}:A_{i} \to \C$ ainsi qu'un ensemble $E_{0} \subset \C$ avec $\mathcal{H}^{1}(E_{0})=0$ tels que $E = E_{0} \cup \left(
\bigcup_{i}f_{i}(A_{i})\right)$. Une autre propriété est que toute fonction lipschitzienne $f: \R^{n} \to \R^{m}$ est presque partout différentiable (théorème de Rademacher).
Voir \cite{m} chapitre 7 pour ces résultats.
\end{remarque}

Il existe diverses caractérisations des ensembles rectifiables/pure\-ment non rectifiables. Par exemple, nous allons en donner une en termes de la taille des projections. Si $\theta \in [0,\pi]$,
on note $P_{\theta}$ la projection orthogonale dans $\C$ sur la direction $\theta$ (c'est-à-dire la direction qui fait un angle $\theta$ avec l'horizontal).

\begin{theoreme}\label{rectifiabilite}
Soit $E\!\subset\!\C$ un ensemble $\mathcal{H}^{1}$-mesurable satisfaisant à~\hbox{$\mathcal{H}^{1}(E)\!<\!\infty$}.
\begin{itemize}
\item[(i)] $E$ est rectifiable si et seulement si pour tout sous-ensemble $\mathcal{H}^{1}$\nobreakdash-mesurable $F$ de $E$ avec $\mathcal{H}^{1}(F)>0$, $\mathcal{H}^{1}(P_{\theta}(F))>0$
pour presque tout $\theta \in [0,\pi]$.
\item[(ii)] $E$ est purement non rectifiable si et seulement $\mathcal{H}^{1}(P_{\theta}(E))=0$ pour presque tout $\theta \in [0,\pi]$.
\end{itemize}
\end{theoreme}

\begin{remarque}
Une autre caractérisation de la rectifiabilité est l'existence presque partout d'une tangente en un sens approprié. On peut le voir comme une conséquence du théorème de Rademacher
rencontré dans la remarque précédente.
\end{remarque}

Si $E \subset \C$, on définit la \emph{longueur de Favard} de $E$ par\vspace*{-3pt}\enlargethispage{.5\baselineskip}
\[
\Fav(E) =\frac{1}{\pi} \int_{}^{} |P_{\theta}(E)| d \theta,
\]
où $|P_{\theta}(E)|$ est la mesure de Lebesgue de $P_{\theta}(E)$.
La condition (ii) précédente implique que $E$ est purement non rectifiable si et seulement si $\Fav(E)=0$. Mais existe-t-il de tels ensembles?
Le but de ce qui suit est de démontrer que l'ensemble de Cantor $4$-coins rencontré à la section précédente est un tel ensemble.

Soit $C$ l'ensemble de Cantor $4$-coins. On a alors $C=\bigcup_{j=1}^{4} \bigl(\frac{1}{4} C + e_{i}\bigr)$, où $e_{1}=(0,0)$, $e_{1}=(3/4,0)$, $e_{3}=(0,3/4)$, et $e_{4}=(3/4,3/4)$.
On peut aussi écrire $C= \bigcup_{i=1}^{4}C_{i}$, où, pour tout $i=1,2,3,4$, on pose $C_{i}= \frac{1}{4} C+e_{i}$.
\begin{theoreme}
Pour presque tout $\theta$, $\mathcal{L}^{1}(P_{\theta}(C))=0$ (ou encore $\Fav(C)=0$).
\end{theoreme}
Ainsi, d'après le théorème \ref{rectifiabilite}, l'ensemble de Cantor $4$-coins est purement non rectifiable.

\begin{remarque}
Il est possible de démontrer qu'il existe un nombre dénombrable de directions $\theta$ pour lesquelles $\mathcal{L}^{1}(P_{\theta}(C))>0$. En fait, l'ensemble des directions $\theta$ telles
que $\mathcal{L}^{1}(P_{\theta}(C))=0$ est dénombrable (infini) et dense dans $[0,\pi]$. Voir \cite{mprojection}.
\end{remarque}
\begin{proof}
On suit une preuve due à Peres-Solomyak (voir \cite{Peres}). On commence par noter que\vspace*{-3pt}
$$P_{\theta}(C)= \bigcup_{i=1}^{4} \Bigl(
\frac{1}{4} P_{\theta}(C)+ P_{\theta} (e_{i})
\Bigr) \subset \R.$$
On est donc amené à étudier des ensembles auto-similaires sur la droite réelle tels qu'il existe $m \geq 2$ et des $d_{1},\dots,d_{m}$ (avec $d_{i} \neq d_{j}$ si $i \neq j$)
de sorte que l'on ait $K= \bigcup_{i=1}^{m} K_{i}$, où, pour tout $i=1,\dots,m$, on pose $K_{i}= \frac{1}{m} K+d_{i}$. On utilise dans la suite ces notations.

\begin{lemme}\label{peres1}\mbox{}
\begin{enumeratei}
\item
Si $i \neq j$, $\mathcal{L}^{1}(K_{i} \cap K_{j})=0$;
\item
Il existe $i \neq j$ tels que $K_{i} \cap K_{j}\neq \emptyset$.
\end{enumeratei}
\end{lemme}
L'idée intuitive pour démontrer (i) est la suivante. Les $K_{i}$ sont obtenus par translation et dilatation de rapport $1/m$ à partir de $K$. Donc, $\mathcal{L}^{1}(K_{i})= \frac{1}{m}
\mathcal{L}^{1}(K)$ pour tout $i=1,\dots,m$. Comme $K= \bigcup_{i=1}^{m} K_{i}$, il~faut que, si $i \neq j$, on ait $\mathcal{L}^{1}(K_{i} \cap K_{j})=0$. Pour rendre la preuve plus rigoureuse, on note
que si on fixe $1 \leq i < j \leq m$, on a
\begin{align*}
\mathcal{L}^{1}(K) = \mathcal{L}^{1} \Bigl(\bigcup_{k=1}^{m} K_{k} \Bigr)& \leq \mathcal{L}^{1}(K_{i} \cup K_{j}) + \sum_{k \neq i,j} \mathcal{L}^{1}(K_{k}) \\
&=\sum_{k=1}^{m} \mathcal{L}^{1}(K_{k}) - \mathcal{L}^{1}(K_{i} \cap K_{j}).
\end{align*}
Or, comme $\mathcal{L}^{1}(K_{i})= \frac{1}{m}
\mathcal{L}^{1}(K)$ pour tout $i=1,\dots,m$, il vient
\[
\mathcal{L}^{1}(K) \leq \mathcal{L}^{1}(K)- \mathcal{L}^{1}(K_{i} \cap K_{j}),
\]
ce qui n'est possible que si $ \mathcal{L}^{1}(K_{i} \cap K_{j})=0$.

Pour (ii), on raisonne évidemment par l'absurde et on va utiliser la point (i). Supposons que, pour tout $i\neq j$, on ait $K_{i} \cap K_{j}= \emptyset$. Comme les $K_{i}$ sont compacts, il existe $\varepsilon_{0}>0$
tel que
pour tout $i \neq j$, $d(K_{i},K_{j})> \varepsilon_{0}$. Si $F \subset \R$ et si $\varepsilon >0$, on définit le $\varepsilon$-voisinage $V_{\varepsilon}(F)$ de $F$ par
$$V_{\varepsilon}(F) = \{ x \in \R\;;\;d(x,F) < \varepsilon \}.$$
Par choix de $\varepsilon_{0}$, on a que $V_{\varepsilon_{0}}(K_{i}) \cap V_{\varepsilon_{0}}(K_{j}) = \emptyset$ si $i \neq j$. Il s'ensuit que
$$ \mathcal{L}^{1}(V_{\varepsilon_{0}}(K))= \mathcal{L}^{1} \left(
\bigcup_{k=1}^{m}V_{\varepsilon_{0}} (K_{k})
\right) = \sum_{k=1}^{m} \mathcal{L}^{1}(V_{\varepsilon_{0}}(K_{k})).$$
Or on a clairement que
$$ \mathcal{L}^{1}(V_{\varepsilon_{0}}(K_{k}))= \mathcal{L}^{1}(V_{\varepsilon_{0}}(m^{-1}K)) =\frac{1}{m} \mathcal{L}^{1}(V_{m \varepsilon_{0}}(K)).$$
Les deux égalités précédentes donnent $\mathcal{L}^{1}(V_{\varepsilon_{0}}(K)) = \mathcal{L}^{1}(V_{m\varepsilon_{0}}(K))$. Ceci est impossible puisque $V_{\varepsilon_{0}} (K)$ est un ouvert strictement
inclus dans l'ouvert $V_{m \varepsilon_{0}}(K)$.
\end{proof}

Avant d'énoncer le prochain lemme, nous avons besoin de quelques définitions et notations. On pose $I= \{1,\dots,m \}$ puis pour $k \in \N^{*}$,
\[
I_{k}= \{ p=(i_{1},\dots,i_{k})\sep \forall j \in \{1,\dots,k \}, i_{j} \in I\}.
\]
On peut alors écrire que, pour des $d_{p} \in \R$ bien choisis et pour tout $k \in \N^{*}$, on a
$K= \bigcup_{p \in I_{k}} K_{p}$ avec $K_{p}= \frac{1}{m^{k}}K+d_{p}$. Soit $\varepsilon >0$. On dit que $K_{p}$ et $K_{q}$ sont \emph{proches à $\varepsilon$ près} si
\begin{enumeratei}
\item
$p$, $q \in I_{k}$ pour un certain $k$ et $p \neq q$,

\item
$K_{q}= K_{p}+x$ pour un $x \in \R$ avec $|x| \leq \varepsilon \diam(K)$.
\end{enumeratei}

Notons que si $p$, $q \in I_{k}$, $K_{p}$ peut toujours être obtenu à partir de $K_{q}$ par translation. La dernière condition demande que cette translation soit petite. Notons aussi que, d'après
le lemme \ref{peres1}, si $p$, $q \in I_{k}$ avec $p\neq q$, on a $\mathcal{L}^{1}(K_{p} \cap K_{q})=0$.

\begin{lemme}\label{peres2}
Supposons que pour tout $\varepsilon >0$, il existe $k$ et $p$, $q \in I_{k}$ avec $p\neq q$ tels que $K_{p}$ et $K_{q}$ sont proches à $\varepsilon$.
Alors on a $\mathcal{L}^{1}(K)=0$.
\end{lemme}
Avant de donner la preuve de ce lemme, signalons que nous aurons besoin du résultat suivant.

\begin{exo}\label{exoperes} Soit $F \subset \R$ un compact avec $\mathcal{L}^{1}(F)>0$. Montrer que pour tout $\delta >0$, il existe un intervalle $J$ tel que
\[
\mathcal{L}^{1}(F \cap J)
\geq (1- \delta) \mathcal{L}^{1}(J).
\]
(Attention, ce résultat est un cas particulier du théorème de différentiation de Lebesgue qui est énoncé plus loin mais que l'on ne doit pas utiliser! Voir théorème \ref{differentiation}).
\end{exo}

\begin{proof}
Raisonnons par l'absurde et supposons que l'on ait \hbox{$\mathcal{L}^{1}(K)\!>\!0$}. Alors, d'après l'exercice précédent, il existe un intervalle $J \subset \R$ de sorte que (par exemple)
\[
\mathcal{L}^{1}(J \cap K)\geq 0,9 \mathcal{L}^{1}(K).
\]
On choisit $\varepsilon = \sfrac{\mathcal{L}^{1}(J)}{2 \diam (K)}$. Par hypothèse, il existe $k \in \N$ et des $p$, $q \in I_{k}$
(avec $p \neq q$) tels que $K_{p}$ et $K_{q}$ sont proches à $\varepsilon$ près. Si~on pose
\[
J_{p}= d_{p}+ \frac{1}{m^{k}} J\quad\text{et}\quad J_{q}= d_{q}+ \frac{1}{m^{k}} J,
\]
alors
\[
J_{p}=J_{q}+(d_{p}-d_{q})\quad\text{et}\quad |d_{p}-d_{q}| \leq \varepsilon m^{-k} \diam(K) = \frac{1}{2} \mathcal{L}^{1}(J_{p}).
\]
Par les propriétés de $\mathcal{L}^{1}$ on a de plus
\[
\mathcal{L}^{1}(J_{p} \cap K_{p}) \geq 0,9 \mathcal{L}^{1}(J_{p})\quad\text{et}\quad \mathcal{L}^{1}(J_{q} \cap K_{q}) \geq 0,9 \mathcal{L}^{1}(J_{q}).
\]
Puisque $90\%$ de $J_{q}$ est dans $K_{q}$ et $50\%$ de
$J_{q}$ est dans $J_{p}$, il y a au moins $40\%$ de $J_{p}$ dans $K_{q}$. Mais, comme $90\%$ de $J_{p}$ est dans $K_{p}$, il y a au moins $30\%$ de $J_{p}$ dans $K_{p} \cap K_{q}$. Or
$\mathcal{L}^{1}(K_{p} \cap K_{Q})=0$ et nous avons une contradiction.
\end{proof}

Nous pouvons maintenant démontrer le théorème. On pose $C^{\theta}=P_{\theta}(C) \subset \R$ et on utilise les notations $C_{i}^{\theta}$ et $C_{p}^{\theta}$ de la même façon que pour l'ensemble $K$
des lemmes précédents. On fixe $\varepsilon >0$ et on pose
$$V_{\varepsilon} = \{\theta \in [0, \pi[\sep \exists k, p, q,\; p \neq q \in I_{k},\; C_{p}^{\theta} \hbox{ et } C_{q}^{\theta} \hbox{ proches à $\varepsilon$-près} \}.$$

D'après le lemme \ref{peres2}, il suffit de montrer que pour tout $\varepsilon >0$, $\mathcal{L}^{1} [0, \pi[{}\setminus V_{\varepsilon})=0$. En effet, on a alors
$$ \mathcal{L}^{1} ([0,\pi[{}\setminus \bigcap_{\varepsilon >0} V_{\varepsilon})= \mathcal{L}^{1} ([0,\pi[{}\setminus \bigcap_{j \in \N^{*}} V_{1/j})= 0.$$
Pour démontrer que $\mathcal{L}^{1} ([0, \pi[{}\setminus V_{\varepsilon})=0$, l'idée est de démontrer que pour tout intervalle de $[0,\pi]$, il existe un pourcentage fixe de sa longueur
(dépendant de $\varepsilon$
mais pas de la longueur de l'intervalle) qui est contenu dans $V_{\varepsilon}$. On peut alors conclure d'après l'exercice \ref{exoperes}.

Considérons $\varepsilon >0$ et $\theta \in [0,\pi[$. Par le lemme \ref{peres1}, il existe $i \neq j$ tels que $C_{i}^{\theta} \cap C_{j}^{\theta} \neq \emptyset$, c'est-à-dire qu'il existe $x \in C_{i}$ et
$y \in C_{j}$ avec $P_{\theta}(x)=P_{\theta}(y)$. Soit $k \in \N^{*}$. Alors, il existe $p \in I_{k}$ et $q \in I_{k}$ avec $P_{\theta}(x) \in C_{p}^{\theta}$ et $P_{\theta}(y) \in C_{q}^{\theta}$. Considérons
maintenant
$\theta_{0} \in [0, \pi[$ tel que $P_{\theta_{0}}(C_{p}) = P_{\theta_{0}}(C_{q}) $. Un tel $\theta_{0}$ existe toujours par des arguments classiques de géométrie du plan. Alors, $C_{p}^{\theta_{0}}$ et
$C_{q}^{\theta_{0}}$ sont confondues. De nouveau, par des arguments de géométrie élémentaire, il vient que, si $C>0$ est une constante assez petite, alors pour des angles
$\phi$ tels que $|\phi- \theta_{0}| \leq C \varepsilon 4^{-k}$, $C_{p}^{\phi}$ et $C_{q}^{\phi}$ sont $\varepsilon$-proches. Par conséquent, il existe une constante $C'>0$ telle que $[\theta -C'4^{-k}, \theta +C'4^{-k}]
\cap V_{\varepsilon}$
contient un intervalle
de longueur $ C \varepsilon 4^{-k}$. Comme $k$ est quelconque, on obtient que $\mathcal{L}^{1}([0,\pi[{}\cap V_{\varepsilon})=0$ d'après la remarque initiale, et la preuve est complète.

\begin{remarque}
Nous présentons rapidement une autre propriété de l'ensemble de Cantor $4$-coins.
On dit que $E \subset \C$ est \emph{effaçable pour les fonctions holomorphes bornées} (ou tout simplement \emph{effaçable}) si, pour tout ouvert $U$ contenant $E$, toute fonction
holomorphe bornée \hbox{$f: U \setminus E \to \C$} admet
une extension holomorphe dans $U$ tout \hbox{entier}. D'après un théorème de Riemann, tout singleton est effaçable. L'idée est qu'un ensemble \og petit\fg est effaçable, alors qu'un ensemble \og grand\fg
ne l'est pas. Ceci se traduit en termes de mesures et dimension de Hausdorff par la
\begin{proposition}\label{Effacabilite}
Soit $E \subset \C$.
\begin{enumeratei}
\item
Si $\mathcal{H}^{1}(E)=0$ alors $E$ est effaçable.
\item
Si $\Hdim(E)>1$, alors $E$ n'est pas effaçable.
\end{enumeratei}
\end{proposition}
Cependant, on ne peut pas caractériser l'effaçabilité seulement par la taille des ensembles. Ainsi, le Cantor $4$-coins $C$ est effaçable mais $\mathcal{H}^{1}(C) >0$ (on peut le montrer
directement par des arguments d'analyse complexe). Le fait que $C$ soit purement non rectifiable est important car cette propriété caractérise en fait l'effaçabilité pour les ensembles
de $1$-mesure de Hausdorff finie par un théorème (difficile) de Guy David.
Nous renvoyons à \cite{Pa} pour plus de détails.
\end{remarque}
Nous allons maintenant pouvoir démontrer le résultat suivant.

\begin{theoreme}\label{Besicovitch1964}
Il existe un ensemble du plan de mesure de Lebesgue nulle et qui contient une
droite dans toutes les directions.
\end{theoreme}

La démonstration repose sur un principe de dualité du à
Besicovitch dans son article de 1964. Nous en présentons une variante décrite par Falconer dans
\cite{F}.

À tout couple $(a,b) \in \R^{2}$, nous associons la droite $L(a,b)$
d'équation $y=a+bx$. Si $E \subset \R^{2}$, nous notons $L(E) =
\bigcup_{(a,b) \in E} L(a,b)$. Pour tout $c \in \R$, $L_{c}$ désigne la
droite d'équation $x=c$. Alors, $L(a,b) \cap L_{c} =
(c,a+bc)=(c,\langle(a,b),(1,c)\rangle)$, où $\langle\cdot\,,\cdot\rangle$ désigne le produit scalaire usuel
dans $\R^{2}$. D'où, si $E \subset \R^{2}$,
\[
L(E) \cap L_{c} =
\{(c,\langle (1,c)\cdot(a,b)\rangle)\sep (a,b) \in E \}
\]
et donc $L(E) \cap L_{c}$ est
similaire à $P_{\theta}(E)$ avec un rapport de
$(1+c^{2})^{\sfrac{1}{2}}$, où $c= \tan \theta$. Ceci implique que
\begin{equation} \label{projectionkakeya}
\mathcal{L}^{1}(L(E) \cap L_{c}) =0 \Longleftrightarrow
\mathcal{L}^{1}(P_{\theta}(E)) =0.
\end{equation}
De \eqref{projectionkakeya}
et du théorème de
Fubini, nous déduisons le
\begin{lemme}\label{{lem}1}
Soit $E \subset \R^{2}$ avec $\mathcal H^{1}(E) < + \infty$. Alors, $L(E)$ est
$\mathcal{L}^{2}$\nobreakdash-mesurable. De plus, si $\Fav(E) =0$,
$\mathcal{L}^{2}(L(E))=0$.
\end{lemme}
Notons que, si $E \subset \R^{2}$ et
si $b \in P_{\pi/2}(E)$, alors $L(E)$ contient une droite de
coefficient directeur $b$. Cette remarque élémentaire est très
importante, car elle implique que si $P_{\pi/2}(E)= \R$, alors $L(E)$
contient une droite dans toute direction.
Nous pouvons maintenant démontrer le théorème \ref{Besicovitch1964}. Soit $E$ une
copie de l'ensemble de Cantor $4$-coins obtenue à partir de l'original en faisant une rotation
et une translation de sorte que $P_{\pi/2}(E)$
contient le segment $[-1,1]$. D'après la remarque précédente, nous en déduisons que $L(E)$ contient, pour tout
$\lambda \in [-1,1]$,
une droite dont le coefficient directeur est $\lambda$. De~plus, d'après le lemme \ref{{lem}1}, on a
$\mathcal{L}^{2}(L(E))=0$ puisque $\Fav(E)=0$. En~prenant l'union de $L(E)$ et de son image par la
rotation d'angle $\pi/2$ (et de centre l'origine), nous obtenons ce
que nous voulons.

Terminons par un problème ouvert. Soit $C_{n}$ la $n$-ième génération de l'ensemble de Cantor $4$-coins, c'est-à-dire $C_{n}$ est formé de $4^{n}$ carrés de longueur de côté $4^{-n}$
qui sont contenus dans les coins des $4^{n-1}$ carrés de $C_{n-1}$ et $C_{0}=[0,1]^{2}$. Comme $C= \bigcap_{n} C_{n}$ et que $\Fav(C)=0$, on~a $\lim_{n \to + \infty} \Fav(C_{n})=0$.
La question est: quelle est la vitesse de convergence?

\begin{conjecture}
Il existe des constantes $c$, $C>0$ telles que, pour tout $n \in \N^{*}$,
$$c/n \leq \Fav(E_{n}) \leq C/n.$$
\end{conjecture}
Seule l'estimation de gauche est connue. L'autre estimation est largement ouverte. Voir \cite{mfourier} (chapitre 10) ou \cite{mprojection} pour une discussion plus détaillée de ce problème.

\section{Le problème actuel de Kakeya}\label{sec:5}

Voyons maintenant ce qui se passe dans $\R^{n}$.

\begin{definition}\index{Ensemble de Besicovitch}
Soit $k$ un entier avec $k<n$.
Un ensemble $E \subset \R^{n}$ est un $(n,k)$-ensemble de
Kakeya s'il est de $n$-mesure de Lebesgue nulle, et s'il contient
un translaté de tout sous-espace (vectoriel) de dimension $k$ de
$\R^{n}$.
\end{definition}
D'après le théorème \ref{Besicovitch1964}, il existe des $(2,1)$-ensembles
de Kakeya. En prenant le produit cartésien d'un tel ensemble et
de $\R^{n-2}$, nous pouvons montrer qu'il existe des $(n,1)$-ensembles
de~Kakeya. Nous ne pouvons pas espérer
avoir des $(n,k)$-ensembles de~\hbox{Kakeya} pour $k$ trop grand. Par exemple, des résultats de Falconer et Marstrand (voir~\cite{F}) montrent que de tels ensembles n'existent
pas pour $k >n/2$. Donc, les ensembles vraiment intéressants sont les $(n,1)$\nobreakdash-ensembles de \hbox{Besicovitch} (c'est-à-dire les sous-ensembles de~$\R^{n}$ qui contiennent une droite dans chaque direction).
Nous nous restrein\-drons dans la suite à ces ensembles que nous nommerons comme précédemment \emph{ensembles de Besicovitch} (ou \emph{de Kakeya} s'ils sont de mesure nulle).
Ce~que l'on appelle maintenant le problème de Kakeya est de résoudre la conjecture suivante.

\begin{conjecture}
Tout ensemble de Besicovitch dans $\R^{n}$ est de dimension de Hausdorff égale à $n$.
\end{conjecture}
Évidemment, la conjecture n'a d'intérêt que pour les ensembles de Kakeya. Comme les autres sont de mesure de Lebesgue non nulle, ils sont de dimension $n$.
Le but de ce qui suit est de discuter cette conjecture, qui n'est résolue qu'en dimension $2$.
\subsection{Le cas de la dimension 2}
Davies a montré le résultat suivant qui termine l'histoire en dimension $2$. Nous suivrons la preuve donnée dans \cite{F}.
\begin{theoreme}
Si $F$ est un ensemble du plan qui contient une droite dans chaque direction,
alors sa dimension de Hausdorff est $2$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Soit $F
\subset \R^{2}$ un ensemble contenant une droite dans chaque
direction. On utilise les mêmes notations que dans le paragraphe précédent sur le principe de dualité de Besicovitch. Posons $E = \{ (a,b)\sep L(a,b) \subset F \}$ (et ainsi $L(E)
\subset F$). Puisque $F$ contient une droite dans chaque direction,
$P_{\pi/2}(E)$ est l'axe des ordonnées tout entier. Donc,
$\mathcal{H}^{1}(E)=
+ \infty$, puisque $\mathcal{H}^{1}(P_{\pi/2}(E)) \leq
\mathcal{H}^{1}(E)$ (voir l'exercice \ref{exolipschitz}). Ainsi, la dimension de Hausdorff de $E$ est au moins égale à $1$. Par le théorème 6.8(a) de \cite{F}, il s'ensuit que
$\Hdim(P_{\theta}(E))=1$ pour presque tout $\theta$. D'où,
par le principe de dualité décrit plus haut, $\Hdim(L(E) \cap L_{c}) =1$
pour presque tout $c\in \R$. Ainsi, presque toutes les tranches horizontales
sont de dimension $1$, il en résulte (voir le théorème 5.8 de
\cite{F} qui est une version du théorème de Fubini) que $\Hdim(L(E))=2$ (penser à un produit
cartésien).
Comme $L(E) \subset F$, nous en
déduisons $\Hdim (F)=2$.
\end{proof}
Nous allons donner une autre preuve de ce résultat en utilisant la fonction maximale de Kakeya dans le prochain paragraphe.

\subsection{Lien avec la fonction maximale et le cas de la dimension supérieure}

Nous commençons par donner le principe général des fonctions maximales.

Soit $\tau$ une famille d'ensembles dans $\R^{n}$. On suppose que pour tout $T \in \tau$, il existe une mesure de probabilité $\mu_{T}$ sur $T$. On associe à $\tau$ une fonction maximale par
$M_{\tau}f(x) =\sup_{x \in T \in \tau} \int_{T} |f(x)| d \mu_{T}(x)$ pour une fonction $f$ \og lisse\fg. On donne maintenant des exemples classiques qui exhibent des comportements différents.
\begin{exemple} On se place ici dans le cas général d'un espace métrique (séparable) $(X,d)$ muni d'une mesure (extérieure) $\mu$ qui est doublante, c'est-à-dire qu'il existe une constante
$C_{DV} \geq 1$ telle que pour tout $x \in X$, tout $R>0$, $\mu(B(x,2R)) \leq C_{DV} \mu(B(x,R))$. Un tel espace $X$ est un espace de type homogène au sens de Coifman-Weiss et est le cadre général
pour faire de l'analyse harmonique (sans théorie des représentations). Voir le premier chapitre de \cite{Stein93}. L'exemple de référence est l'espace euclidien $\R^{n}$
muni de sa mesure de Lebesgue.

On considère le cas où la famille $\tau$ est la famille $\mathcal B$ des boules $B(x,R)$ pour $x \in X$ et $R>0$; alors pour toute boule $B\in\mathcal B$, on choisit $\mu_{B} = \frac{1}{\mu(B)}\, \mu_{|B}$,
où $\mu_{|B}$ est la restriction de la mesure $\mu$ sur la boule~$B$. Notons que, comme $\mu$ est doublante, on a $\mu(B) \neq 0$ pour toute boule~$B$ de $X$ et la définition
précédente a bien un sens.

Ainsi, pour une fonction localement intégrable $f:X \to \R$, on~défi\-nit la fonction maximale (de Hardy-Littlewood) de $f$ par
$$M f(x)= \sup_{r >0} \mint_{B(x,r)} |f| d \mu=
\sup_{r >0} \frac{1}{\mu(B(x,r))} \int_{B(x,r)} |f| d \mu.$$
et la fonction maximale restreinte
de $f$ (à l'échelle $R >0$) par
$$M_{R} f(x)= \sup_{0< r < R} \mint_{B(x,r)} |f| d \mu=
\sup_{0 <r < R} \frac{1}{\mu(B(x,r))} \int_{B(x,r)} |f| d \mu.$$
On a le théorème fondamental suivant.

\begin{theoreme}
Soit $(X,d,\mu)$ un espace métrique mesuré doublant et soit $R>0$. La fonction maximale $M_{R}$ envoie faiblement $L^{1}(X, \mu)$ dans $L^{1}(X,\mu)$ et
$L^{p}(X,\mu)$ dans $L^{p}(X,\mu)$ ($1<p< + \infty$) au sens suivant:
il existe des constantes positives $C_{1}$ et $C_{p}$ ne dépendant que de $p$ et de la constante de doublement de $\mu$ (mais pas de $R$!) de sorte que
\begin{itemize}
\item[(i)] Continuité $L^{1}$-$L^{1}$ faible:
$$\mu \left(\{M_{R} f > t \} \right) \leq \frac{C_{1}}{t} \int_{X} |f| d \mu,
\quad \forall f \in L^{1}(X,\mu), \ \forall t >0.$$
\item[(ii)] Continuité $L^{p}$:
$$ \int_{X} |Mf|^{p} d \mu \leq C_{p} \int_{X}|f|^{p} d \mu, \quad
\forall f \in L^{p}(X,\mu).$$
\end{itemize}
Puisque $C_{1}$ et $C_{p}$ ne dépendent pas de $R$, on a les mêmes conclusions pour l'opérateur maximal $M$.
\end{theoreme}

La preuve repose sur le lemme de recouvrement suivant.

\begin{lemme}
Soit $(X,d)$ un espace métrique (séparable) et soit $\mathcal{F}$ une famille de boules de $X$. On suppose que
$\sup_{B \in \mathcal{F}} \diam (B) < + \infty$. Alors, il existe une sous-famille au plus dénombrable $\mathcal{G}$ de $\mathcal{F}$ telle que les boules de $\mathcal{G}$ sont
deux à deux disjointes et $\bigcup_{B \in \mathcal{F}} B= \bigcup_{B \in \mathcal{G}} 5B$, où $5B=B(x,5R)$ si $B=B(x,R)$ (et $5B$ est ouverte (respectivement fermée) si $B$ est ouverte
(respectivement fermée)).
\end{lemme}
Une application classique de la continuité de la fonction maximale est le théorème de différentiation de Lebesgue que nous énonçons maintenant.

\begin{theoreme} \label{differentiation}
Soit $f$ une fonction positive localement intégrable sur un espace métrique (localement compact) $(X,d)$ muni d'une mesure doublante $\mu$. Alors, pour $\mu$-presque tout $x \in X$,
$$\limsup_{r \to 0} \frac{1}{\mu(B(x,R))} \int_{B(x,R)} |f(x)-f(y)| d \mu(y)=0.$$
\end{theoreme}
L'hypothèse de compacité locale assure que les fonctions continues dans $X$ sont denses dans $L^{1}(\mu)$. Pour des preuves des théorèmes précédents, voir \cite{Hmetric} dans lequel
le lecteur trouvera une jolie introduction à l'analyse dans les espaces métriques.
\end{exemple}

\begin{exemple}
On se place dans $\R^{2}$. On considère le cas où $\tau=\mathcal{R}$ est un ensemble de rectangles centrés à l'origine. Si $R \in \mathcal{R}$, on pose
\[
M_{\mathcal{R}} f(x)= \sup_{R \in \mathcal{R}} \frac{1}{\mathcal{L}^{2}(R)} \left|
\int_{R} f(x-y) dy
\right|.
\]
Si $\mathcal{R}$ est l'ensemble de tous les rectangles avec orientation quelconque, $ M_{\mathcal{R}}$ n'est pas borné sur $L^{p}(\R^{2})$ pour tout $1<p< + \infty$. On construit des contre-exemples
à l'aide des ensembles de Kakeya (voir \cite{Stein93}, section 2.2 du chapitre 3). Si $\mathcal{R}$ est l'ensemble des rectangles avec côtés parallèles aux axes,
$ M_{\mathcal{R}}$ est borné sur $L^{p}(\R^{2})$ pour tout $1<p< + \infty$ (voir \cite{Stein93}, section 2.3 du chapitre 3).
\end{exemple}

On considère maintenant la fonction maximale de Kakeya (dont la définition n'est pas due à Kakeya!). Pour $\delta >0$, $v \in S^{n-1}$ (la sphère unité de $\R^{n}$), et $a \in \R^{n}$, on pose
$$T_{v}^{\delta}(a)= \{x \in \R^{n}\sep |\langle x-a,v\rangle| \leq 1/2, \Vert (x-a)^{\perp}\Vert \leq \delta \}$$
où $x^{\perp}= x - \langle x, v \rangle v$. Si $f \in L_{\loc}^{1}(\R^{n})$, on définit la fonction maximale de Kakeya $f_{\delta}^{*}: S^{n-1} \to \R$ par
$$f_{\delta}^{*}(v) = \sup_{a \in \R^{n}} \frac{1}{|T_{v}^{\delta}(a)|} \int_{T_{v}^{\delta}(a)} |f(x)| dx.$$
Ici, et dans la suite, pour alléger les notations, on note $|E|$ la mesure de Lebesgue d'un ensemble $E$, quelle que soit la dimension.
Un des buts est de démontrer que, pour tout $\varepsilon >0$, il existe $C_{\varepsilon} >0$ tel que
\begin{equation}\label{kakeya1}
\Vert f_{\delta}^{*}\Vert_{L^{p}(S^{n-1})} \leq C_{\varepsilon} \delta^{-\varepsilon} \Vert f|_{p}.
\end{equation}
pour un certain $p>0$. Cependant, l'exemple de la fonction $f= \chi_{B(0,1)}$ (fonction caractéristique de la boule unité de $\R^{n}$) montre que l'estimation \eqref{kakeya1} ne peut pas être satisfaite
pour $p <n$. On est alors amené à la conjecture de la fonction maximale de Kakeya. Beaucoup d'idées dans ce paragraphe sont dues à Bourgain \cite{Bourgainkakeya}. Nous suivons la présentation
de \cite{Wolff}.

\begin{conjecture}
Pour tout $\varepsilon >0$, il existe $C_{\varepsilon} >0$ tel que
\begin{equation}\label{kakeya2}
\Vert f_{\delta}^{*}\Vert_{L^{n}(S^{n-1})} \leq C_{\varepsilon} \delta^{-\varepsilon} \Vert f\Vert_{n}.
\end{equation}
\end{conjecture}

Le lien avec la conjecture de Kakeya est donné par le résultat suivant.

\begin{theoreme}
Si on a \eqref{kakeya1} pour un $p< \infty$, alors les ensembles de Besicovitch de $\R^{n}$ sont de dimension $n$.
\end{theoreme}
Ainsi, la conjecture de la fonction maximale de Kakeya implique la conjecture de Kakeya.

\begin{proof}
Soit $E$ un ensemble de Besicovitch. On se donne un recouvrement de $E$ par des boules $B_{j}=B(x_{j},r_{j})$ avec $j \in \N$. Le~but est de montrer que la somme $\sum_{j} r_{j}^{d}$ n'est pas nulle pour $d<n$.
On peut sans perte de généralité supposer que, pour tout $j$, on a $r_{j} \leq 1/100$ par exemple. On pose
$$ J_{k} = \{j\sep 2^{-k} \leq r_{j} < 2^{-(k-1)} \}$$
puis $G_{k}= \bigcup_{j \in J_{k}} B_{j}$ (c'est-à-dire $G_{k}$ est une réunion de boules de rayon comparable).
Si on se donne $v \in S^{n-1}$, $E$ contient un segment unité $I_{v}$ de direction $v$ (par définition d'un ensemble de Besicovitch). On pose
$$S_{k} = \Bigl\{v \in S^{n-1}\sep \bigl|I_{v} \cap\bigl(\textstyle\bigcup_{j \in J_{k}} B_{j}\bigr)\bigr| \geq \sfrac{1}{100k^{2}}\Bigr\}.$$
Si $v \in S^{n-1}$, il existe $k$ tel que $v \in S_{k}$ et donc $\bigcup_{k} S_{k} =S^{n-1}$. En effet, $\sum_{k} \frac{1}{100k^{2}} <1$ et $\sum_{k} |I_{v} \cap (\bigcup_{j \in J_{k}} B_{j})|
\geq |I_{v}|=1$. On~pose maintenant $f= \chi_{F_{k}}$, où $F_{k} = \bigcup_{j \in J_{k}} B(x_{j},10 r_{j})$. Si $G'_{k}$ est un translaté de $F_{k}$ par un vecteur de norme $\leq 2^{-k}$,
on a $G'_{k} \subset F_{k}$. Soit~$I'_{v}$ la translation correspondante de $I_{v}$, c'est-à-dire $I'_{v} \cap G'_{k}$ est une translation de $I_{v} \cap G_{k}$. On a alors
$|I'_{v} \cap F_{k}| \geq |I_{v} \cap G_{k}|$
et donc $|T_{v}^{2^{-k}}(a_{v} \cap F_{k}| \geq \frac{1}{100k^{2}} |T_{v}^{2^{-k}}(a_{v})|$, où $a_{v}$ est le milieu de $I_{v}$. Il s'ensuit que si on note $\sigma$ la mesure de surface
sur $S^{n-1}$, on a
\begin{equation}\label{kakeya2b}
f_{2^{-k}}^{*}(v) \geq \frac{1}{|T_{v}^{2^{-k}}(a_{v})|} \int_{T_{v}^{2^{-k}}(a_{v})} \chi_{F_{k}} \geq \frac{1}{100 k^{2}}
\end{equation}
puis
\begin{equation}\label{kakeya3}
\Vert f_{2^{-k}}^{*}\Vert_{p}\geq \left(
\int_{S_{k}} (f_{2^{-k}}^{*})^{p} dx
\right)^{1/p}\geq \frac{1}{100k^{2}}\,\sigma(S_{k})^{1/p}.
\end{equation}
Mais, par \eqref{kakeya1}, on a
\begin{equation}\label{kakeya4}
\Vert f_{2^{-k}}^{*}\Vert_{p} \leq C_{\varepsilon} 2^{k \varepsilon} \Vert f\Vert_{p} \leq C_{n} C_{\varepsilon} 2^{k\varepsilon} \left(
|J_{k}|2^{-(k-1)n}
\right)^{1/p}.
\end{equation}
Donc, par \eqref{kakeya3}, on obtient
\begin{equation}
\sigma(S_{k}) \leq C_{n}\, C_{\varepsilon}^{p}\, 2^{kp-(k-1)n} k^{2p} |J_{k}| \leq
C(\varepsilon,p,n) 2^{-k(n-2p\varepsilon)} |J_{k}|.
\end{equation}
Fixons $d <n$ et choisissons $\varepsilon >0$ avec $d< n-2p \varepsilon$. Il vient alors
\begin{align*}
\sum_{j} r_{j}^{n-2p\varepsilon}&\geq \sum_{k} 2^{-k(n-2p\varepsilon)} |J_{k}|\\
&\geq C(\varepsilon, p, n) \sum_{k} \sigma(S_{k}) \geq C(\varepsilon, p, n) \sigma(S^{n-1}) =C >0,
\end{align*}
où $C$ ne dépend pas du recouvrement choisi. On peut alors conclure.
\end{proof}

Dans le cas $n=2$, on a une solution de la conjecture de la fonction maximale de Kakeya (et donc de la conjecture de Kakeya) puisque l'on a le

\begin{theoreme}
Il existe $C>0$ tel que pour tout $f \in L^{1}_{\loc}(\R^{2})$,
$$\Vert f_{\delta}^{*}\Vert_{2} \leq C \log(1/\delta) ^{1/2} \Vert f\Vert_{2}.$$
\end{theoreme}

\begin{proof}
Il existe plusieurs preuves de ce résultat. L'une, due à Cordoba, est plutôt de nature géométrique. Nous présentons celle, plus analytique, due à Bourgain. Voir \cite{Wolff} chapitre 10
pour une discussion plus détaillée.
On peut supposer sans perte de généralité que~$f$ est positive. On pose
\[
\rho_{\delta}^{v}(x)= \frac{1}{2 \delta} \chi_{T_{v}^{\delta}(0)}(x)
\]
et donc
\[
f_{\delta}^{*}(v)= \sup_{a \in \R^{2}} (\rho_{\delta}^{v}*f)(a).
\]
Soit $\phi: \R \to \R$ une fonction positive dans la classe de Schwartz telle que $\widehat{\phi}$ est à support compact
et $\phi(x) \geq 1$ si $|x| \leq 1$. Des rappels sur la classe de Schwartz et la transformée de Fourier sont donnés au début du paragraphe 6.
On définit $\psi: \R^{2} \to \R$ par $\psi(x)= \phi(x_{1}) \delta^{-1} \phi(\delta^{-1}x_{2})$, si $x=(x_{1},x_{2})$. On note $(e_{1},e_{2})$ la base
canonique de $\R^{2}$. On peut alors remarquer que
\begin{enumeratea}
\item
$\psi \geq \rho_{\delta}^{e_{1}}$ et donc $f_{\delta}^{*}(e_{1}) \leq \sup_{a } (\psi *f)(a)$,
\item
$f_{\delta}^{*}(v) \leq \sup_{a} (\psi_{v}*f) (a)$, où $\psi_{v}= \psi \circ P_{v}$ avec $P_{v}$ une rotation appropriée.
\end{enumeratea}
Il s'ensuit par les propriétés usuelles de la transformée de Fourier:
$$f_{\delta}^{*}(v) \leq \Vert \psi_{v} * f\Vert_{\infty} \leq \Vert \widehat{\psi_{v}} \widehat{f}\Vert_{1} = \int |\widehat{\psi_{v}}(\xi)|\cdot |\widehat{f}|\,d \xi.$$

Or, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a
\begin{multline*}
\int |\widehat{\psi_{v}}(\xi)| |\widehat{f}(\xi)| d \xi\\
\leq
\biggl(\int |\widehat{\psi_{v}}(\xi)| |\widehat{f}(\xi)|^{2} (1+\Vert \xi\Vert) d \xi \biggr)^{1/2} \biggl(\int \frac{|\widehat{\psi_{v}}(\xi)|}{1+\Vert \xi\Vert }\,d \xi \biggr)^{1/2}.
\end{multline*}
Comme $\widehat{\psi_{v}} = \widehat{\psi} \circ P_{v}$ et $\widehat{\psi}= \widehat{\phi}(x_{1}) \widehat{\phi}(\delta x_{2})$, il vient que $|\widehat{\psi}_{v}| \leq C$ et $\widehat{\psi}$
est à support dans un rectangle $R$ de taille de l'ordre $1 \times 1/\delta$.

Il s'ensuit
$$\int \frac{|\widehat{\psi_{v}}(\xi)|}{1+\Vert \xi\Vert }\,d \xi \leq C \int_{R} \frac{d \xi}{1+\Vert \xi\Vert } \leq C \int_{1}^{1/\delta} ds/s = C \log(1/\delta).$$
Puis, par les inégalités précédentes, il vient
\begin{align*}
\Vert f_{\delta}^{*}\Vert_{2}^{2} & \leq C \log(1/\delta) \left(
|\widehat{\psi_{v}} (\xi)| |\widehat{f}(\xi)|^{2} (1+\Vert \xi\Vert) d \xi
\right)^{1/2}\\
& \leq C \log(1/\delta) \int_{\R^{2}} |\widehat{f}(\xi)|^{2} (1+ \Vert \xi\Vert) \left(\int_{S^{1}} |\widehat{\psi_{v}}(\xi)| dv \right)d \xi \\
&\leq C \log(1/\delta) \int_{\R^{2}} |\widehat{f}(\xi)|^{2} d \xi\\
& = C \log(1/\delta) \Vert f\Vert_{2}^{2}.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

La troisième inégalité vient du fait que, si on fixe $\xi$, l'ensemble des $v \in S^{n-1}$ avec $\widehat{\psi_{v}}(\xi)\neq 0$ est de mesure contrôlée par $1/(1+ \Vert \xi\Vert)$.

\subsection{Un modèle plus simple: le cas des corps finis}

On commence par quelques rappels sur les corps finis. Si $\prem$ est un entier premier, on note $\F_{\prem}= \Z /\prem \Z$ qui est un corps à $\prem$ éléments. Si $\K$ est un corps
fini à $\qrem$ éléments, la caractéristique de $\K$ est un nombre premier $\prem$ et donc $\F_{\prem}$ est (à isomorphisme près) un sous-corps de $\K$. De plus, $\K$ est
un espace vectoriel sur $\F_{\prem}$. Sa dimension est alors $n$ si et seulement si $\card(\K)=\qrem=\prem^{n}$. Enfin, les éléments de $\K$ sont les racines du polynôme $X^{\qrem}-X \in \F_{\prem}[X]$,
c'est-à-dire $X^{\qrem}-X= \Pi_{a \in \K} (X-a)$.

Notons aussi que si $\K$ et $\K'$ sont deux corps finis avec le même nombre d'éléments, ils ont la même caractéristique $\prem$ et il existe un isomorphisme $\phi: \K \to \K'$
avec $\phi(x)=x$ pour tout $x \in \F_{\prem}$.
Le résultat suivant donne tous les corps finis.

\begin{theoreme}
Pour tout nombre premier $\prem$ et tout entier $n \geq 1$, il~existe un unique (à isomorphisme près) corps à $\prem^{n}$ éléments.
\end{theoreme}
L'unicité vient de la remarque avant l'énoncé du théorème. L'existence vient du fait que pour tout entier $n \geq 1$, il existe un polynôme~$P$ de degré $n$ irréductible dans $\F_{\prem}[X]$.
Le corps cherché est alors $\F_{\prem}[X]/P$. Notre présentation suit \cite{liret} où on pourra trouver des démonstrations des faits énoncés et des applications à la cryptographie
des corps finis.

Soit $\F_{\prem}$ le corps (unique à isomorphisme près) à $\prem$ éléments et soit~$\F_{\prem}^{n}$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur $\F_{\prem}$. On aurait pu considérer le cas d'un corps
fini général mais cela n'ajoute rien à la discussion.
On dit qu'un sous-ensemble $E$ de $\F_{\prem}^{n}$ est un ensemble de Besicovitch
s'il contient une droite dans chaque direction,
c'est-à-dire pour tout
$v \in \F_{\prem}^{n} \setminus \{ 0\}$, il existe $a \in \F_{\prem}^{n}$ tel que $a+tv \in E$ pour tout $t \in \F_{\prem}$.

On va s'intéresser dans ce paragraphe au problème suivant.
\begin{conjecture}\label{kakeyafini}
Soit $E\!\subset\!\F_{\prem}^{n}$ un ensemble de Besicovitch. Alors $E$ est de cardinal $\geq c_n \card(\F_\prem)^n$, où $c_n > 0$ ne dépend que de $n$.
\end{conjecture}
Ainsi, un ensemble de Besicovitch de $\F_{\prem}^{n}$ devrait contenir une grande proportion de points de $\F_{\prem}^{n}$.
Nous allons à la fin de ce paragraphe en donner une preuve due à Dvir. Avant cela, nous énonçons une version plus faible qui permettra de faire le lien avec la version euclidienne. Nous suivons
ici la présentation de \cite{Wolff}.

\begin{proposition}
Avec les mêmes notations que ci-dessus, on a $\card(E) \geq C(n)^{-1} \prem^{\sfrac{(n+2)}{2}}$, où $C(n)$ est une constante ne dépendant que~de~$n$.
\end{proposition}
\begin{proof}
On considère le cas $n=2$ et on commence par montrer un résultat plus général qui nous servira dans le cas $n\geq 3$. Ainsi, on va montrer que
si $E$ contient au moins $\prem/2$ points sur $m$ droites~$D_{j}$ dont les
directions sont toutes
différentes, alors
\begin{equation}\label{kakeyacorps}
\card(E) \geq C m\prem.
\end{equation}
Notre proposition dans le cas $n=2$ provient de \eqref{kakeyacorps} en prenant $m=\prem+1$. Notons $\chi_{A}$ la fonction indicatrice d'un ensemble~$A$ de~$\F_{\prem}$ et rappelons que,
si $A$, $B$ sont des sous-ensembles de~$\F_{\prem}$, on~a 
$\chi_{A}(x) \chi_{B}(x)=1$ si et seulement $x \in A \cap B$. Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz nous avons
\begin{align*}
\biggl(
\sum_{j=1}^{m} \card(E \cap D_{j})\biggr)^{2} &= \biggl(\sum_{x \in E} \biggl(\sum_{j=1}^{m} \chi_{D_{j}}(x) \biggr) \biggr)^{2}\\
&\leq (\card E) \biggl(\sum_{x \in E} \biggl(\sum_{j=1}^{m} \chi_{D_{j}}(x)\biggr)^{2}\biggr).
\end{align*}
Or
$$\sum_{x \in E} \biggl(\sum_{j=1}^{m} \chi_{D_{j}}(x)\biggr)^{2}\!\!=\! \sum_{x \in E} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}\chi_{D_{j}}(x) \chi_{D_{j}}(x)\!\leq\! \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}\!\card(D_{i} \cap D_{j}).$$
Nous déduisons des deux inégalités précédentes
$$ \sum_{j=1}^{m} \card(E \cap D_{j}) \leq \card(E)^{1/2} \biggl(
\sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{m} \card(D_{j} \cap D_{k})
\biggr)^{1/2}.$$
On
en déduit, puisque $m \leq \prem+1$,
\begin{align*}
\frac{1}{2} \prem m \leq \sum_{j=1}^{m} \card(E \cap D_{j})&\leq \card(E)^{1/2} \biggl(
\sum_{j,k} \card(D_{j} \cap D_{k})
\biggr)^{1/2}\\
& = \card(E)^{1/2} \left(
m(m+\prem-1)
\right)^{1/2}\\
& \leq \sqrt{2 }(\card(E)^{1/2} (m\prem)^{1/2}).
\end{align*}
La dernière égalité vient du fait que deux droites $D_{j}$ et $D_{k}$ s'intersectent en un unique point et donc
\begin{align*}
\sum_{j,k} \card(D_{j} \cap D_{k}) &=\sum_{j=1}^{m} \card(D_{j} \cap D_{j}) + \sum_{j=1}^{m} \sum_{k\neq j} \card(D_{j} \cap D_{k})\\
&=m\prem+m(m-1)=m(m+\prem-1).
\end{align*}
On peut alors facilement conclure.

On suppose maintenant que $n \geq 3$. On se donne un nombre positif~$\mu$ et on dit qu'une droite $D_{k}$ est une droite de haute multiplicité si pour au moins $\prem/2$ points $x$
sur les $\prem$ points de $D_{k}$,
l'ensemble
$\{j\sep x \in D_{j} \}$ est de cardinal $\geq \mu+1$. On distingue alors deux cas.

\begin{enumeratei}
\item
Il n'existe pas de droite de haute multiplicité. On considère l'ensemble~$F$ des points $x$ de $E$ qui appartiennent à moins de $\mu$ droites~$D_{j}$. Alors, $F$ intersecte chaque $D_{j}$
en au moins $\prem/2$ points (sinon, par passage au complémentaire, il existerait une droite de haute multiplicité). Il s'ensuit
$$\card(E) \geq \card(F) \geq \mu^{-1} \sum_{j} \card(F \cap D_{j}) \geq C^{-1} \mu^{-1} \prem \prem^{n-1}.$$
La dernière inégalité vient du fait qu'il y a $\frac{\prem^{n}-1}{\prem-1} \approx \prem^{n-1}$ droites $D_{j}$ contenues dans $E$.
\item
Il existe une droite de haute multiplicité $D_{k}$. L'idée est de se ramener en dimension $2$ (et donc au premier cas)
en considérant l'ensemble~$(P_{i})$ des plans qui contiennent $D_{k}$. Il y a au moins $(\mu \prem)/2$ droites $D_{j}$, $j \neq k$, qui intersectent $D_{k}$.
Chacune
d'elle est contenue dans un unique $P_{i}$ et contient $\prem-1$ points de $P_{i}$
non contenus dans~$D_{k}$. Soit $\mathcal{L}_{i}$ l'ensemble des droites qui sont contenues dans un~$P_{i}$ donné. Alors, par
\eqref{kakeyacorps}, $\card(E \cap P_{i} \cap(\F_{\prem}^{n} \setminus D_{k})) \geq C\prem \card(\mathcal{L}_{i})$. Les ensembles $P_{i} \cap(\F_{\prem}^{n} \setminus D_{k})$ sont disjoints et donc, en sommant
en~$i$, on~obtient
$$\card(E) \geq C\prem \sum_{i} \card(\mathcal{L}_{i}) \geq C\, \frac{\prem^{2} \mu}{2}.$$
\end{enumeratei}
On peut conclure dans les deux cas que $\card(E) \geq C \prem^{\sfrac{(n+1)}{2}}$ en prenant $\mu$ de l'ordre de $\prem^{\sfrac{(n-2)}{2}}$.
\end{proof}

Le point est que ce type d'argument peut être utilisé dans le cas euclidien si on remplace le cardinal par la mesure de Lebesgue et les droites par les \og tubes de Kakeya\fg. Ainsi, Bourgain
\cite{Bourgainkakeya} a montré que
si $(T_{e_{j}}^{\delta})_{j=1}^{M}$ sont des tubes avec des directions qui sont $\delta$-séparées et si $E \subset \R^{n}$
est un ensemble avec $\mathcal{L}^{n}(E \cap T_{e_{j}}^{\delta}) \geq \lambda
\mathcal{L}^{n} (T_{e_{j}}^{\delta})$
pour un $\lambda \geq 0$, alors
$$ \mathcal{L}^{n}(E) \geq C \delta^{\sfrac{(n-1)}{2}} \lambda^{\sfrac{(n+1)}{2}} \sqrt{M}.$$
Il en déduit qu'il existe $\varepsilon(n)>0$ (donné par récurrence)
tel que la dimension de Hausdorff d'un ensemble de Besicovitch $E$ dans $\R^{n}$ est au moins $\frac{n+1}{2}+ \varepsilon(n)$. Cette borne est une des meilleures connues en toute dimension.
C'est cette
approche de Bourgain qui a amené Wolff à considérer le cas des corps finis qui est à la fois techniquement plus simple mais pas très éloigné du cas euclidien. Voir \cite{Wolff}
(en particulier, le chapitre 11) pour une discussion plus détaillée.

On va maintenant résoudre la conjecture de Kakeya dans le cas des corps finis en présentant la solution donnée par Dvir \cite{Dvir}. Malheureusement, cette solution n'a donné (pour le moment)
aucune conséquence
pour le cas euclidien.
On commence par le résultat classique suivant.

\begin{theoreme}\label{factorisation}
Soit $\K$ un corps et soit $d \geq 1$ un entier. Si $P \in \K[X]$ est un polynôme non nul de degré au plus $d$, alors l'ensemble des zéros de $P$, c'est-à-dire
$ \{x \in \K\sep P(x) = 0 \}$, est de cardinal au
plus~$d$.
Réciproquement, si on se donne un ensemble $E \subset \K$ de cardinal au plus~$d$, il existe un polynôme non nul $P \in \K[x]$ de degré au plus $d$ qui s'annule sur $E$.
\end{theoreme}

Ce résultat dit que pour contrôler la taille d'un ensemble $E$ sur un corps $\K$, il suffit de contrôler le degré d'un polynôme qui s'annule sur~$E$. C'est cette idée très simple
qui va nous servir.

\begin{lemme}
Soit $E \subset \F_{\prem}$ un ensemble de cardinal $< \binom{n+d}{n}$ pour un certain $d >0$. Alors, il existe un polynôme non nul $P \in \F_{\prem}[x_{1},\dots,x_{n}]$ de $n$ variables, de degré $\leq d$ qui
s'annule sur $E$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Soit $V$ l'espace vectoriel des polynômes $P$ dans $\F_{\prem}[x_1,\ldots,x_n]$ de degré $\leq d$. Alors, $V$ est de dimension $\binom{n+d}{n}$. Or~l'espace vectoriel $\F_{\prem}^{E}$ des fonctions
$f: E \to \F_{\prem}$ est de cardinal $\prem^{\card(E)}$ et est donc de dimension $\card(E) < \binom{n+d}{d}$ en tant qu'espace vectoriel sur $\F_{\prem}$. Il s'ensuit que l'application
$P \mto (P(x))_{x \in E}$ de $V$
dans $\F_{\prem}^{E}$ n'est pas injective, ce qui permet de conclure.
\end{proof}

\begin{proposition}
Soit $P \in \F_{\prem}[x_1,\ldots,x_n]$ un polynôme de degré au plus $\card(F)-1$ qui s'annule sur un ensemble de Besicovitch $E$. Alors, $P$ est le polynôme nul.
\end{proposition}
\begin{proof}
On raisonne par l'absurde et on suppose que $P$ n'est pas nul. On peut alors écrire $P$ sous la forme $ P = \sum_{i=0}^{d} P_{i}$, où $0 \leq d \leq \card(\F_{\prem})-1$ est le degré de $P$ et
$P_{i}$ est la $i$-ième composante homogène de $P$. En particulier, $P_{d}$ n'est pas nul. Notons aussi que comme $P$ s'annule sur $E$, $d$ lui-même ne peut pas être nul.
Soit $v \in \F_{\prem}^{n} \setminus\nobreak \{0\}$ une direction donnée. Comme $E$ est un ensemble de Besicovitch,
$E$~contient une droite $D_{v}= \{ x + tv: t \in \F_{\prem} \}$ pour un $x = x_{v} \in \F_{\prem}^n$. Donc $P(x_{v}+tv) = 0$ pour
tout $t \in \F_{\prem}$. Le membre de gauche est un polynôme en $t$ de degré au plus $\card(\F_{\prem})-1$, et donc est nul d'après le théorème \ref{factorisation}.
En particulier, le coefficient en $t^d$ de ce polynôme,
qui est $P_{d}(v)$, s'annule pour tout $v$. Donc $P_{d}$ est nul sur~$\F_{\prem}^{n}$. Ce qui donne la contradiction souhaitée.
\end{proof}

On déduit du lemme et de la proposition le résultat suivant qui donne une solution au problème de Kakeya pour les corps finis.
\begin{corollaire}
Tout ensemble de Besicovitch $E$ dans $\F_{\prem}^{n}$ est de cardinal $\geq \binom{\card(\F_{\prem})+n-1}{n}$.
\end{corollaire}
Comme $\binom{\card(\F_{\prem})+n-1}{n} = \frac{1}{n!} \card(\F_{\prem})^{n} + O_n(\card(\F_{\prem})^{n-1})$, on peut conclure que l'on a la conjecture \ref{kakeyafini} avec $c(n)=1/n!$.

\section{Quelques liens avec l'analyse harmonique}\label{sec:6}

Une des premières applications des ensembles de Kakeya est à due à Fefferman \cite{Feffermankakeya}. Avant d'énoncer son résultat, on donne quelques définitions venant de l'analyse de Fourier.
La classe de Schwartz $\mathcal{S}(\R^{n})$ est l'espace des fonctions $f: \R^{n} \to \C$ de classe $C^{\infty}$ telles que pour tous multi-indices $\alpha$ et $\beta$, la fonction
$x \mto x^{\alpha} D^{\beta} f$
est bornée (rappelons que l'on note $D^{\beta} f=\partial^{\beta_1}/\partial x_1^{\beta_1}\cdots\partial^{\beta_n}/\partial x_n^{\beta_n}f$). Par exemple, les fonctions $C^{\infty}$ à support compact ou la fonction $f(x)=e^{-\Vert x\Vert ^{2}}$ sont dans $\mathcal{S}(\R^{n})$. Pour $f \in \mathcal{S}(\R^{n})$, on définit
sa transformée de Fourier par
\begin{equation}\label{transfourier}
\widehat{f}(\xi) = \int_{\R^{n}} e^{-2i \pi \langle x, \xi \rangle }f(x) dx.
\end{equation}
C'est aussi une fonction dans $\mathcal{S}(\R^{n})$ en les variables $\xi$. On a alors la formule de Fourier inverse:
\begin{equation}\label{fourierinverse}
f(x) = \int_{\R^{n}} e^{2i \pi \langle x, \xi \rangle }\widehat{f}(\xi) d\xi.
\end{equation}
On peut étendre la notion de transformée de Fourier à toute fonction $f$ dans $L^2(\R^n)$, et le théorème de Plancherel énonce que cette transformation est une isométrie de l'espace de Hilbert $L^2(\R^n)$ sur lui-même. Nous aurons aussi besoin de la notion de multiplicateur. Si $m \in L^{\infty}(\R^{n})$, on définit un opérateur borné $T_m:L^{2}(\R^{})\to L^{2}(\R^{})$, $f\mto T_mf$, en donnant la valeur de $\wh{T_mf}$, qui détermine $T_mf$ d'après la formule de Plancherel:
\begin{equation} \label{multiplicateur}
\widehat{T_{m}f}(\xi)= m(\xi) \widehat{f}(\xi).
\end{equation}
Par le théorème de Plancherel, on~a
$$\Vert T_{m}f\Vert_{2} \leq \Vert m\Vert_{\infty} \Vert f\Vert_{2}.$$
En fait, la norme d'opérateur de $T_m$ sur $L^{2}(\R^{n})$ est $\Vert m\Vert_{\infty}$. On dit que~$m$ est le \emph{multiplicateur de $T_{m}$}. On dit aussi qu'un opérateur $T$ borné sur $L^{2}(\R^{n})$
est \emph{un multiplicateur} si $T=T_{m}$ pour un certain $m\in L^\infty(\R^n)$. Si de plus $T$ peut être prolongé en un opérateur borné sur $L^{p}(\R^{n})$, on dit que $T$ est un multiplicateur $L^{p}$.

\begin{exemple}\label{exemplehilbert}
La transformée de Hilbert est formellement définie sur~$\R$ par
$$Hf(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{f(y)}{x-y}\,dy.$$
On voit clairement qu'il y a un problème d'intégration sur la diagonale. Si $f$ est de classe $C^{1}$ à support compact, on peut définir $Hf$ au sens de la \emph{valeur principale}:
$$Hf(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{|x-y|> \varepsilon} \frac{f(y)}{x-y}\,dy.$$
Il est possible d'étendre la définition de $H$ aux fonctions $f \in L^{2}(\R^{n})$ en utilisant le multiplicateur $m(\xi)= -i\,\mathrm{sign}(\xi)$. Par un théorème de M.\,Riesz,
$H$ est un multiplicateur $L^{p}$. La
transformée de Hilbert est l'exemple le plus simple d'\emph{opérateur d'intégrales singulières}. Voir \cite{Duo}, chapitre 3.
\end{exemple}

Si on suppose que $f$ n'est pas aussi régulière, on a toujours \eqref{fourierinverse} mais au sens des distributions. Pour les applications, il est préférable d'avoir des versions
plus quantitatives. Pour cela, on considère la famille d'opérateurs suivants (pour tout $R>0$):
\begin{equation}
S_{R}f(x)= \int_{\Vert \xi\Vert \leq R} e^{2i\pi \langle x, \xi \rangle} \widehat{f}(\xi) d \xi
\end{equation}
et la question est la convergence (pour $R\to\infty$) des $S_{R}f$ vers $f$ en norme $L^{p}(\R^{n})$ par exemple. Par le théorème de Banach-Steinhaus, il suffit de montrer que les opérateurs $S_{R}$ sont bornés
sur $L^{p}(\R^{n})$
uniformément en $R$. Par changement de variables, on peut montrer qu'il
suffit de considérer le cas de $S_{1}$. La question est donc l'existence d'une constante $C >0$ telle que, pour tout
$f \in L^{p}(\R^{n})$, on ait $\Vert S_{1}f\Vert_{L^{p}(\R^{n})} \leq C \Vert f\Vert_{L^{p}(\R^{n})}$. Comme $\widehat{S_{1}f} = \chi_{B(0,1)} \widehat{f}$, ce \hbox{problème} est connu sous le nom de \og problème du
multiplicateur de la sphère\fg. L'opérateur $S_{1}$ joue le rôle de la transformée de Hilbert (voir l'exemple \ref{exemplehilbert}) dans $\R^{n}$ et est utile pour
traiter des problèmes sur les séries de Fourier de
plusieurs variables et des problèmes de comportement au bord des fonctions analytiques en analyse complexe (dans $\C^{n}$).
Si $p=2$, la formule Plancherel donne une solution positive. Si $n=1$, un résultat classique de Riesz donne que $S_{1}$ est borné sur tout $L^{p}(\R)$ avec $1 < p <+ \infty$.
Ceci vient du fait que la transformée de Hilbert est un opérateur borné sur $L^{p}$ (voir l'exemple \ref{exemplehilbert}).
Cependant, Fefferman \cite{Feffermankakeya}
a montré que ce sont les seuls cas positifs.
\begin{theoreme}
Si $n>1$ et si $p \neq 2$, $S_{1}$ n'est pas borné sur $L^{p}(\R^{n})$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Nous suivons la preuve donnée dans \cite{Feffermankakeya} qui est un article court et très agréable à lire. Tout d'abord, il suffit de considérer le cas $n=2$ (problème
du multiplicateur du disque).
En effet, d'après un théorème de Leeuw, la continuité sur $L^{p}$ de $S_{1}$ dans $\R^{n}$ entraîne la même continuité dans $\R^{n-1}$. D'autre part, par dualité, il suffit de considérer
le cas $p>2$. La preuve repose sur deux lemmes. Le premier est dû
à Yves Meyer, le second utilise une construction analogue à celle d'un ensemble de Kakeya comme esquissée au paragraphe \ref{sec:2}. On~fixe dans la suite $p>2$.

\begin{lemme}\label{fefferman1}
On suppose qu'il existe $C >0$ tel que $\Vert S_{1}f\Vert_{p} \leq C\Vert f\Vert_{p}$. Soit $(v_{j})$ une suite de vecteurs unitaires de $\R^{2}$ et, pour tout $j \in \N$, soit $H_{j}$ le demi-plan $\{x \in \R^{2}\sep \langle x, v_{j} \rangle \geq 0 \}$. On définit une suite d'opérateurs $(T_{j})$ par la relation $\widehat{T_{j}f}(\xi) = \chi_{H_{j}}(\xi) \widehat{f}(\xi)$. Alors, il existe une constante
$C>0$ telle pour toute suite
$(f_{j})$ de fonctions, on a
$$\biggl\Vert \biggl(\sum_{j} |T_{j} f_{j}|^{2} \biggr)^{1/2} \biggr\Vert_{p}\leq C \biggl\Vert \biggl(\sum_{j} |f_{j}|^{2} \biggr)^{1/2} \biggr\Vert_{p}.$$
\end{lemme}

Pour utiliser la continuité de $S_{1}$, l'idée de la preuve est d'approximer $H_{j}$ par des disques $D(rv_{j},r)$ et donc $T_{j}$ par des opérateurs $T_{j}^{r}$ avec
$ \widehat{T_{j}^{r}f}(\xi) = \chi_{D(rv_{j},r)}(\xi) \widehat{f}(\xi)$. En fait, si $f$ est $C^{\infty}$ à support compact dans $\R^{2}$, on a
$T_{j}f(x) = \lim_{r \to + \infty} T_{j}^{r}f(x)$ pour $x \in \R^{2}$.
Par le lemme de Fatou, on peut en déduire qu'il suffit de démontrer qu'il existe une constante $C>0$ indépendante de $r$ telle que
$$ \biggl\Vert \biggl(\sum_{j} |T_{j}^{r} f_{j}|^{2} \biggr)^{1/2} \biggr\Vert_{p}\leq C \biggl\Vert \biggl(\sum_{j} |f_{j}|^{2} \biggr)^{1/2} \biggr\Vert_{p}.$$
En utilisant des dilatations de $\R^{2}$, il suffit de considérer le cas $r=1$. Dans ce cas, $T_{j}^{1}f(x)= e^{i \langle x, v_{j} \rangle } S_{1}(e^{-i\langle y,v_{j}\rangle } f(y))$ et donc il suffit
de contrôler la quantité
$$B= \biggl\Vert \biggl(\sum_{j} |S_{1}(e^{i \langle x, v{j} \rangle} f_{j}(y))|^{2} \biggr)^{1/2} \biggr\Vert_{p}.$$
En utilisant la continuité de $S_{1}$ et des résultats sur les fonctions de Rademacher (voir plus loin), il vient
\begin{equation} \label{Khitchine}
\biggl\Vert \biggl(\sum_{j} |S_{1} f_{j}|^{2} \biggr)^{1/2} \biggr\Vert_{p}\leq C \biggl\Vert \biggl(\sum_{j} |f_{j}|^{2} \biggr)^{1/2} \biggr\Vert_{p}.
\end{equation}

On peut alors conclure puisqu'on en déduit que $B$ est dominé par
$$ C \biggl\Vert \biggl(\sum_{j} |e^{i\langle y, v_{j}\rangle} f_{j}(y)|^{2} \biggr)^{1/2} \biggr\Vert_{p} =C \biggl\Vert \biggl(\sum_{j} |f_{j}|^{2} \biggr)^{1/2} \biggr\Vert_{p}.$$

Soit $R$ un rectangle dans $\R^{2}$. On note $v_{R}$ le vecteur donnant la direction du plus grand côté (que l'on note $a_{R}$) de $R$. On note $\tilde{R}$ la réunion des deux rectangles obtenus par
translation de $R$ de longueur~$a_{R}$ dans les directions $v_{R}$ et $-v_{R}$ respectivement. Voir la figu\-re~\ref{fig:fefferman1}.
\begin{figure}[htb]
\centering\smaller\vspace*{-\baselineskip}%
\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
\draw [black, fill=gray!20] (3.5, 7) -- (6.5, 10) -- (3, 13.5) -- (0, 10.5) --cycle ;

\draw [black, fill=gray!20] (10.5, 0) -- (13.5, 3) -- (10, 6.5) -- (7, 3.5) --cycle ;

\draw [thick] (7, 3.5) -- (10, 6.5) -- (6.5, 10) -- (3.5, 7) --cycle ;

\draw [->] (6,2.5) -- (2.5,6);
\draw (4.9,3.6) node [below left] {$\vec{v}_{R}$};

\draw (12,4.5) node [above right] {$\tilde{R}$};

\draw (8,8.5) node [above right] {$R$};

\draw (4.5,12) node [above right] {$\tilde{R}$};

\end{tikzpicture}
\caption{Le rectangle $R$ (en blanc) et les deux rectangles qui forment $\tilde{R}$ (en gris)}
\label{fig:fefferman1}
\end{figure}

\begin{lemme}\label{fefferman2}
Soit $\eta>0$. Il existe un ensemble $E \subset \R^{2}$ et une famille de rectangles deux à deux disjoints $(R_{j})$ tels que
\begin{itemize}
\item[(i)] Pour tout $j$, au moins un dixième de l'aire de $\tilde{R}_{j}$ est dans $E$;
\item[(ii)]$\mathcal{L}^{2}(E) \leq \eta \sum_{j} \mathcal{L}^{2}(R_{j})$.
\end{itemize}
\end{lemme}

La construction de $E$ suit une stratégie analogue à celle d'un ensemble de Kakeya. L'étape initiale (qui remplace l'étape\,1 de la \hbox{figure~\ref{fig:kakeya2}}) est la suivante. Soit $T$ un
triangle de sommets $ABC$ et de hauteur $h$. Soit $h'>h$. On prolonge $AC$ et $BC$ pour obtenir des points~$A'$ et $B'$ respectivement de hauteur $h'$. Soit $D$ le milieu de $[A,B]$. On considère
alors les triangles $T'$ de sommets $ADA'$ et $T''$ de sommets $BDB'$.

On se donne maintenant une suite croissante de hauteurs $(h_{j})$ défi\-nies par
$$h_{j}= \frac{\sqrt{3}}{2} \biggl(\sum_{k=0}^{j} \frac{1}{k+1}\biggr).$$
On considère un triangle équilatéral $T_{0}$ de base l'intervalle unité $[0,1]$ de l'axe réel. Sa hauteur est alors $h_{0}$. On se donne $k \in \N^{*}$ à choisir plus tard.
On applique l'étape initiale pour obtenir deux triangles $T_{1}^{1}$ et $T_{1}^{2}$ de hauteurs $h_{1}$, de bases respectives $[0,1/2]$ et $[1/2,1]$. Puis on applique l'étape initiale à chaque
$T_{1}^{1}$ et $T_{1}^{2}$ pour obtenir 4 triangles $T_{2}^{1}$, $T_{2}^{2}$, $T_{2}^{3}$ et $T_{2}^{4}$ de hauteur $h_{2}$. On itère cette construction jusqu'à obtenir $2^{k}$ triangles
$T_{k}^{1},\dots,T_{k}^{2^{k}}$ de hauteur $h_{k}$. Les bases de ces triangles sont des intervalles dyadiques $I_{k}^{j}$ (avec $j=1,\dots,2^{k}$)
de $[0,1]$ de longueur $2^{-k}$. On note $E= \bigcup_{j=1}^{2^{k}} T_{k}^{j}$. On associe
à chaque $T_{k}^{j}$ un rectangle $R(T_{k}^{j})$ de la façon décrite sur la figure \ref{fig:fefferman2}.

\begin{figure}[htb]
\center\smaller
\begin{tikzpicture}[scale=.6]\smaller
\draw [black, fill=gray!20] (1,0) -- (2.5,0) -- (0,3.1) -- cycle ;

\draw[very thick] (1,0)--(2.5,0);

\draw  (1.5,0.45) node {$I_{k}^{j}$};

\draw[->] (-3,0) -- (6,0) node[below right] {Axe $Ox$};

\draw [<->](-1.5,0) -- (-1.5,3.1);

\draw (-1.5, 1.5) node[right] {$\sim \ln(k)$};

\draw (1,0) -- (2.5,0) -- (5.2,-3.5) -- (2.2,-3.5) -- cycle;

\draw (1.5,1.1) node [above right] {$T_{k}^{j}$};

\draw [black, fill=gray!80] (2.5,0) -- (1.3,-0.9) -- (3.3,-3.5) -- (4.4, -2.5) --cycle ;

\draw (3.3, -1.3) node [above right] {$R(T_{k}^{j})$};

\end{tikzpicture}

\caption{Construction du rectangle $R(T_{k}^{j})$ (en noir) à partir du triangle $T_{k}^{j}$ (en gris).}
\label{fig:fefferman2}
\end{figure}

Un premier point (pas facile) est que $\mathcal{L}^{2}(E) \leq 17$. Or
\[
\sum_{j=1}^{2^{k}} \mathcal{L}^{2}(R(T_{k}^{j})) \sim \log(k).
\]
Donc on a (ii) si $k$ est assez grand. (i) est immédiat par construction
des rectangles $R(T_{k}^{j})$ puisque $T_{k}^{j} \subset E$ pour tout $j$. Enfin, le fait que les rectangles $R(T_{k}^{j})$ soient deux à deux disjoints vient d'arguments de
géométrie élémentaire (voir \cite{Feffermankakeya}).

Nous pouvons alors démontrer le théorème. Soit $E$ le sous-ensemble de $\R^{n}$
et soit $(R_{j})$ la famille des rectangles donnés par le lemme \ref{fefferman2}. On pose $f_{j}= \chi_{B_{j}}$ et on note $v_{j}$
la direction du plus grand côté de $R_{j}$ (comme sur la figure \ref{fig:fefferman1}). On a alors $|T_{j} f_{j}| \geq 1/2$ sur $\tilde{R}_{j}$ et donc
\begin{align*}
\int_{E} \biggl(\sum_{j}|T_{j} f_{j}(x)|^{2}\biggr) dx &= \sum_{j} \int_{E} |T_{j} f_{j}(x)|^{2} dx
 \geq 1/4 \sum_{j} \mathcal{L}^{2}(E \cap \tilde{R}_{j}) \\
& \geq 1/40 \sum_{j} \mathcal{L}^{2}(\tilde{R}_{j}) = 1/20 \sum_{j} \mathcal{L}^{2}(R_{j}).
\end{align*}
D'un autre côté, d'après le lemme \ref{fefferman2} appliqué à $\eta >0$ et aux $v_{j}$, on~a, par les inégalités de Hölder
\begin{align*}
\int_{E} (\sum_{j}|T_{j} f_{j}(x)|^{2}) dx & \leq \mathcal{L}^{2}(E)^{(p-2)/p} \Vert (\sum_{j} |T_{j} f_{j}|^{2})^{1/2} \Vert_{p}^{2}\\
& \leq C \mathcal{L}^{2}(E)^{(p-2)/p} \Vert (\sum_{j} |f_{j}|^{2})^{1/2} \Vert_{p}^{2}\\
&= C \mathcal{L}^{2}(E)^{(p-2)/p} (\sum_{j} \mathcal{L}^{2}(R_{j}))^{2/p}\\
& \leq C \eta^{(p-2)/p} \sum_{j} \mathcal{L}^{2}(R_{j}).
\end{align*}
Puisque $p>2$, si on prend $\eta$ assez petit, on obtient une contradiction entre les deux calculs précédents. (Une autre présentation de la preuve peut être trouvée dans \cite{T}.)
\end{proof}

\subsubsection*{Fonctions de Rademacher}
Donnons quelques détails sur l'inégalité \eqref{Khitchine}. Soit $(\Omega,\mathcal{B})$ un espace mesurable muni d'une mesure de probabilité $P$. Des fonctions de Rademacher (ou variables de Rademacher) $r_{1},\dots,r_{n}$ sont des variables aléatoires indépendantes sur $(\Omega,\mathcal{B},P)$ qui valent $+1$ ou $-1$ avec probabilité $1/2$. L'exemple classique est de considérer $\Omega=[0,1]$ muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue, puis de poser $r_{j}(t)= \hbox{signe}[\sin (2^{j} \pi t)]$. Soit $F_{n}$ l'espace de dimension $n$ engendré par les $r_{1},\dots,r_{n}$. On définit deux normes sur~$F_{n}$ de la façon suivante:
$$\Vert f\Vert _{1} = \int_{\Omega} |f(\omega)| dP(\omega),\qquad
\Vert f\Vert _{2} = \left(\int_{\Omega} |f(\omega)|^{2} dP(\omega)\right)^{1/2}.$$
Si on note $E$ l'espérance, on a ainsi
\[
\Vert f\Vert _{1}=E(|f|)\quad\text{et}\quad \Vert f\Vert _{2}= E(|f|^{2})^{1/2}.
\]

Le point-clé est l'inégalité de Khintchine qui s'énonce ainsi pour $f \in F_{n}$:
$$\Vert f\Vert _{1} \leq \Vert f\Vert _{2} \leq \sqrt{e}\, \Vert f\Vert _{1}.$$
L'inégalité de gauche est une conséquence triviale de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Voir \cite{Queffelec-Zuily} pour une preuve de l'autre inégalité.

Il existe une version banachique due à Jean-Pierre Kahane. Pour cela, considérons $\Omega= \{-1,+1 \}^{N}$. On note $\varepsilon_{n}$ la $n$-ième coordonnée sur cet espace et $P$ la probabilité uniforme sur $\Omega$ muni de la tribu engendrée par les $\{ \varepsilon_{n}: n \in \N\}$ qui est donc une suite de variables aléatoires indépendantes
équidistribués sur $(\Omega,P)$ prenant les valeurs $+/-1$ avec probabilité $1/2$. Alors, si on note $\Vert{\cdot}\Vert _{p}$ la norme de l'espace $L^{p}(\Omega,P)$ et si $0<p<q< \infty$,
il existe une constante positive $C_{p,q}$ telle que pour toute suite finie $x_{1},\dots,x_{N}$ dans un espace de Banach~$E$ (muni d'une norme $\Vert{\cdot}\Vert)$),
\begin{equation}
\biggl(\int \biggl\Vert \sum_{j=1}^{N} \varepsilon_{j} x_{j} \biggr\Vert ^{q} dP \biggr)^{1/q}\leq C_{p,q} \biggl(\int \biggl\Vert \sum_{j=1}^{N} \varepsilon_{j} x_{j} \biggr\Vert ^{p} dP \biggr)^{1/p}.
\end{equation}
On déduit alors de l'inégalité de Khitchine-Kahane le résultat suivant qui donne l'inégalité (\ref{Khitchine}). Voir le dernier chapitre de \cite{Kahane}.

\begin{theoreme}
Soit $T$ une application linéaire continue entre les espaces $L^{p}(X,\mu)$ et $L^{p}(Y,\nu)$ où $1\leq p< \infty$. Alors, il existe une constante positive $C_{p}$ qui ne dépend que de $p$ et de $\Vert |T\Vert |$ telle que pour toute suite finie $f_{1},\dots,f_{N}$ dans $L^{p}(X,\mu)$, on a
\begin{equation}
\biggl\Vert\biggl(\sum_{j=1}^{N} |T f_{j}|^{2} \biggr)^{1/2} \biggr\Vert_{L^{p}(Y,\nu)}\leq C_{p} \biggl\Vert\biggl(\sum_{j=1}^{N} |f_{j}|^{2} \biggr)^{1/2} \biggr\Vert_{L^{p}(X,\mu)}.
\end{equation}
\end{theoreme}

\subsection*{Quelques interactions}
On décrit maintenant de façon informelle les interactions entre la conjecture de Kakeya et d'autres problèmes bien connus (et toujours ouverts) en analyse harmonique en en EDP. En particulier,
on ne précisera pas toujours les espaces fonctionnels considérés.

\subsubsection*{Le problème de restriction}
Soit $\sigma$ la mesure de surface sur la sphère unité $S^{n-1}$ de $\R^{n}$ et soit $f$ une fonction bornée sur la sphère $S^{n-1}$. Existe-t-il une inégalité de la forme
\begin{equation}\label{restriction}
\Vert \widehat{f d \sigma)}\Vert_{p} \leq C_{p} \Vert f\Vert_{L^{p}(d \sigma)}
\end{equation}
pour tout $p > \sfrac{2n}{(n-1)}$? Dans le cas où $f=1$, le résultat est clair (calcul par les fonctions de Bessel). Ce problème est lié à l'étude de la restriction
de la transformée de Fourier
à des hypersurfaces de~$\R^{n}$.

\subsubsection*{Le problème de Bochner-Riesz}
Soit $m_{\varepsilon}$ une fonction plateau dans un $\varepsilon$-voisinage de la sphère unité $S^{n-1}$
de $\R^{n}$, c'est-à-dire $m_{\varepsilon}(\xi)= \phi (\varepsilon^{-1}(1-\Vert \xi\Vert))$, où $\phi \in C_{0}^{\infty}(\R^{n})$ à support dans $]-\sfrac{1}{2}, \sfrac{1}{2}[$. Pour
tout $\varepsilon >0$ et $p \in \left[
\frac{2n}{n+1}, \frac{2n}{n-1}\right]$,
existe-t-il $C_{\varepsilon}$ telle que l'on ait
\begin{equation}\label{Bochner-Riesz}
\Vert T_{m_{\varepsilon}}f\Vert_{p} \leq C_{\varepsilon} \delta^{\varepsilon} \Vert f\Vert_{p}~?
\end{equation}
L'exemple-type est de modifier le multiplicateur $S_{1}$ de sorte que le contre-exemple de Fefferman ne marche plus. Pour cela, on peut considérer $S_{1}^{\varepsilon}$ défini par
$$ \widehat{S_{1}^{\varepsilon} f}(\xi) = (1- \Vert \xi\Vert ^{2})^{\varepsilon} \chi_{B(0,1)} \widehat{f}(\xi).$$
Le cas $n=2$ a été résolu par Carleson et Sjölin. Le cas général est largement ouvert.

\Subsubsection*{Conjecture de régularisation locale pour l'équation des ondes}
Soit $u$ la solution avec donnée initiale $f$ de l'équation des ondes dans $\R^{n}$:
$$\frac{\partial^{2} u}{ \partial t^{2}} = \Delta u(x,t)=0, \quad u(.,0)=f, \quad \frac{\partial u}{ \partial t} \left(
.,0
\right)=0.$$
La solution est donnée par $u(x,t)= \cos(t\sqrt{- \Delta}) f(x)$. Le lien avec le multiplicateur du disque (dans le cas $n=2$) est donné par
$$ S_{1}f(x)\!=\!\int_{- \infty}^{+\infty} \frac{\sin(2 \pi t)}{\pi t} \cos (t \sqrt{- \Delta})f(x) dt\!=\! \int_{- \infty}^{+\infty} \frac{\sin(2 \pi t)}{\pi t}\, u(x,t) dt.$$
Des estimations d'énergie et de dissipation permettent de démontrer des inégalités de type Strichartz (dans le cas $n=3$ par exemple):
$$\Vert u\Vert_{L^{4}(\R^{3+1})}\leq C \Vert (\sqrt{-\Delta}) ^{1/2}f \Vert_{2}.$$
Ici,
\[
\Vert u\Vert_{L^{4}(\R^{3} \times \R)}^{4}= \int_{x \in \R^{3}} \int_{t \in \R} |u(x,t)|^{4}dx dt.
\]
Le point est que l'on a besoin de régularité pour le membre de droite et donc pour $f$. Cependant, Wolff a démontré que, si $n>1$ et $p>2$, il n'est pas possible d'avoir l'estimation suivante
pour $f$
bornée sur la boule unité de $\R^{n}$:
$$ \Vert u\Vert_{L^{p}([1,2] \times \R^{n})}\leq C \Vert f\Vert_{\infty} $$

Que se passe-t-il si on relaxe un peu la régularité de $f$? Ceci amène à la question suivante (due à Sogge).

Pour tout $\varepsilon >0$, existe-t-il une constante $C_{\varepsilon} >0$ telle que
\begin{equation}\label{Strichartz}
\Vert u\Vert_{L^{p(}(\R^{n} \times [1,2])} \leq C_{\varepsilon} \Vert f\Vert_{\varepsilon,p}~?
\end{equation}
Ici, $\Vert f\Vert_{\varepsilon,p}$ est la norme non homogène dans l'espace de Sobolev $W^{\varepsilon, p}(\R^{n})$.
Le point-clé est qu'on a la liste d'implications suivante
$$ \eqref{Strichartz} \Longrightarrow \eqref{Bochner-Riesz}\Longrightarrow \eqref{restriction} \Longrightarrow \eqref{kakeya2}$$
Donc, résoudre une des trois questions précédentes permet de résou\-dre le problème de Kakeya!
Évidemment, les ensembles de Kakeya permettent de construire des contre-exemples comme dans le théorème de Fefferman. Ainsi, un contre-exemple à la conjecture de \hbox{Kakeya} donne un contre-exemple
à la conjecture de Bochner-Riesz (d'où le sens $\eqref{Bochner-Riesz} \Longrightarrow \eqref{kakeya2}$). Cependant Bourgain a montré que, d'un autre côté, si on a de bonnes estimations
pour le problème de Kakeya (dans le cas de la fonction maximale), on a de bonnes estimations pour l'équation des ondes. Ceci vient du fait que les solutions $u$ de l'équation
des ondes peuvent être décomposées comme des
paquets d'ondes qui sont localisés dans des tubes de Kakeya.

Pour plus de détails sur cette partie et des liens avec d'autres domaines des mathématiques, voir les survols \cite{T} et \cite{laba}, ou pour des preuves voir \cite{Wolff} ou l'énorme livre \cite{Stein93}.

\backmatter
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups17-02}
\end{document}
