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\hyphenation{Hamil-ton géné-ra-le-ment figu-re figu-res vari-an-ce rela-tion modè-le modè-les ergo-di-que ergo-di-ques}

\begin{document}
\frontmatter

\title{Introduction au chaos classique et\nobreakspace au\nobreakspace chaos quantique}

\author[\initial{F.} \lastname{Faure}]{\firstname{Frédéric} \lastname{Faure}}
\address{Institut Fourier, UMR CNRS 5582, 100 rue des Maths, BP74 38402 St Martin d'Hères}
\email{frederic.faure@ujf-grenoble.fr}

\thanks{Journées X-UPS 2014. Chaos en mécanique quantique. Éditions de l'École polytechnique, 2014}

\begin{abstract}
Depuis les travaux de Henri Poincaré (1892) et ensuite Birkhoff, Anosov (1967), Ruelle etc. il est apparu que les trajectoires issues de lois déterministes mais possédant une \og forte sensibilité aux conditions initiales\fg semblent imprévisibles et qu'il y a des propriétés aléatoires émergeantes. On parle de \og chaos déterministe en mécanique classique\fg. On présentera un modèle assez concret de dynamique chaotique que sont les \og billards dispersifs\fg. On établira les propriétés mathématiques du chaos (mélange et ergodicité) sur un modèle similaire mais plus simple appelé \og application du chat d'Arnold\fg.

La problématique du chaos quantique est d'étudier la dynamique des ondes quantiques dans un système dont la dynamique classique associée est chaotique comme décrite plus haut. Plus précisément on souhaite comprendre l'évolution des ondes mais aussi la structure et la répartition spatiale des ondes stationnaires. On posera ces questions en montrant quelques exemples numériques intrigants qui serviront à introduire les exposés suivants. Par exemple le \og théorème d'ergodicité quantique\fg (1974) établit que lorsque la dynamique classique est ergodique alors presque toutes les ondes quantiques stationnaires sont équi-réparties sur l'espace.
\end{abstract}

\maketitle
\vspace*{-\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\section*{Introduction}

La théorie de la mécanique quantique a été découverte par \hbox{Heisenberg}, Schrödinger et d'autres au début du \textsc{xx}\ieme siècle. Elle \hbox{décrit} la matière par des \emph{ondes de matière} qui évoluent selon l'\emph{équation de Schrödinger}. Ces ondes ont une signification probabiliste en physique. Auparavant, les constituants de la matière étaient décrit par les équations de la \emph{mécanique classique} (Newton 1686, Hamilton 1833) qui sont des lois déterministes pour les trajectoires des particules. Dans la partie \ref{sec:Mecanique-classique-et} nous proposons une brève introduction aux idées et au formalisme de la \emph{mécanique classique} et de la \emph{mécanique quantique}. Nous expliquerons le passage entre les descriptions classique et quantique en terme de paquet d'onde, assimilable à une particule et avec le \emph{principe de correspondance} qui se formalise avec le théorème d'Egorov. Nous présenterons des exemples simples de dynamique qui serviront dans les textes suivants de ce volume, que sont la particule libre sur le cercle, sur le tore $\mathbb{T}^{2}$, dans un billard et sur une surface à courbure négative. Dans tous ces cas, l'opérateur de Schrödinger est le laplacien. 

Dans la partie \ref{sec:Chaos-en-mecanique}, nous présentons la problématique du chaos déterministe et l'approche mathématique pour l'aborder. Depuis les travaux d'Henri Poincaré (1892) et ensuite Birkhoff, puis Anosov (1967), Ruelle, etc., il est apparu que les trajectoires issues de lois déterministes mais possédant une \emph{forte sensibilité aux conditions initiales} semblent imprévisibles et qu'il y a des propriétés aléatoires émergentes. On parle de \emph{chaos déterministe en mécanique classique}. Nous présenterons un modèle assez concret de dynamique chaotique que sont les \emph{billards dispersifs}. Nous établirons les propriétés mathématiques du chaos (mélange et ergodicité) sur un modèle similaire mais plus simple, appelé \emph{application du chat d'Arnold}.

Finalement la partie \ref{sec:Chaos-quantique} porte sur la problématique du chaos quantique, qui est d'étudier la dynamique des ondes quantiques dans un système dont la dynamique classique associée est chaotique comme décrit précédemment. Plus précisément on souhaite comprendre l'évolution des ondes mais aussi la structure et la répartition spatiale des ondes stationnaires. Nous poserons ces questions en montrant quelques exemples numériques intrigants qui serviront à introduire les textes suivants de ce volume. Par exemple le \emph{théorème d'ergodicité quantique} (1974) établit que, lorsque la dynamique classique est ergodique, presque toutes les ondes quantiques stationnaires sont équi-réparties sur l'espace. De façon conjecturale mais très utile en physique, la \emph{conjecture des matrices aléatoires} stipule que les valeurs propres de l'opérateur de Schrödinger (c'est-à-dire les niveaux d'énergie) sont disposés à petite échelle comme aléatoirement et satisfont aux mêmes statistiques que les valeurs propres d'une matrice symétrique aléatoire.

\Subsubsection*{Quelques articles de présentation du sujet}

\begin{itemize}
\item Sur les systèmes dynamiques: \cite{brin-02,katok_hasselblatt,baladi_livre_00,coudene_book_2013}.
\item Sur l'analyse semi-classique: \cite{taylor_tome2,zworski_book_2012,martinez-01,grigis_sjostrand}.
Le~texte de Clotilde Fermanian Kammerer (ce volume, \cite{clotilde_feferman_X_2014}) présente et discute en détails la quantification de Weyl et le théorème d'Egorov.
\item Sur le chaos quantique: \cite{gutzwiller} \cite{nonnenmacher_08}.
Le texte de Nalini Anantharaman (ce volume, \cite{nalini_X_2014}) présente et
discute en détail le théorème d'ergodicité quantique.
\item Des simulations numériques peuvent être observées sur \cite{fred_animations_quantiques}.
Des programmes avec explications des modèles peuvent être téléchargés.
\end{itemize}

\section{\label{sec:Mecanique-classique-et}Mécanique classique et mécanique quantique}

\subsection{Mécanique classique}

On appelle \emph{mécanique classique\index{mecanique classique@mécanique classique}} l'ensemble des lois fondamentales de la physique en général antérieures à la
mécanique quantique mais plus précisément les lois \emph{non quantiques}.
On discutera cette distinction plus précisément au paragraphe \ref{par:Signification-physique-et}.
En mécanique classique les lois fondamentales sont:
\begin{itemize}
\item les loi de Newton et de Hamilton: elles définissent les équations
du mouvement pour les éléments de matière ou particules élémentaires
soumises à différentes forces;
\item les lois de Maxwell: elles décrivent l'évolution des champs électromagnétiques
et les forces qu'ils exercent sur la matière chargée.
\end{itemize}
Ensuite, avec la physique statistique (qui contient la thermodynamique),
à partir de ces lois fondamentales, on peut décrire les \emph{milieux
continus} comme les gaz, les fluides, les matériaux, les plasmas
etc.

La théorie de la relativité d'Einstein (relativité restreinte\index{relativite restreinte@relativité restreinte}
en 1906 puis relativité générale\index{relativite generale@relativité générale} 1916)
est considérée aussi comme une théorie de la mécanique classique (car
non quantique). Elle propose un nouveau cadre théorique plus géométrique
dans l'espace-temps pour formuler les équations de mouvement de la
matière et des champs électromagnétiques.\enlargethispage{\baselineskip}%

\subsubsection{Équations de mouvement}

Notons $x(t)\in\mathbb{R}^{d}$ la \emph{position d'une
particule\index{position d'une particule}} à l'instant $t\in\mathbb{R}$
(il est habituel de considérer les dimensions d'espaces $d=1,2,3$).
La fonction $t\in\mathbb{R}\mto x(t)\in\mathbb{R}^{d}$
s'appelle la \emph{trajectoire de la particule\index{trajectoire de la particule}}.

\begin{defn}[loi de Newton 1687]\index{loi de Newton}
La
trajectoire d'une particule de masse $m>0$ et soumise à une \emph{force\index{force}}
$F(x,t)\in\mathbb{R}^{d}$ est déterminée par l'équation
différentielle ordinaire:
\begin{equation}
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F(x,t),\label{eq:Newton}
\end{equation}%
avec la donnée des conditions initiales de position $x(0)$,
et vitesse $\sfrac{dx}{dt}(0)$.
\end{defn}

\begin{rem}
D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz \cite{taylor_tome1}, il~existe
une solution unique à \eqref{eq:Newton} si $F$ est une fonction
lipschitzienne.
\end{rem}

Il est préférable de transformer l'équation du deuxième ordre en un système d'équations
du premier ordre. Cela donne les équations de Hamilton ci-dessous.

\begin{defn}
On supposera dans tout cet exposé que $F(x,t)$ est une
\emph{force potentielle\index{force potentielle}} c'est-à-dire
qu'elle peut s'écrire sous la forme particulière\footnote{Localement il est nécessaire et suffisant que $\mathrm{rot}(F)=0$.}:
\begin{equation}
F=-\Big(\frac{\partial V}{\partial x_{1}},\ldots,\frac{\partial V}{\partial x_{d}}\Big)=:-\frac{\partial V}{\partial x},\label{eq:def_V}
\end{equation}
où $V(x,t)$ est une fonction à valeurs réelles appelée \emph{énergie
potentielle\index{energie potentielle@énergie potentielle}}. Considérons l'\emph{\index{impulsion}impulsion}:
\begin{equation}
\xi:=m\frac{dx}{dt}\quad\in\mathbb{R}^{d}\label{eq:def_xi}
\end{equation}
et introduisons la fonction réelle suivante, appelée \emph{hamiltonien\index{hamiltonien}}
(ou énergie totale)
\begin{equation}
H(x,\xi,t):=\frac{1}{2m}\left|\xi\right|^{2}+V(x,t)\quad\in\mathbb{R}\label{eq:def_H}
\end{equation}
(le premier terme $\frac{1}{2m}\left|\xi\right|^{2}=\frac{1}{2}m\left|\sfrac{dx}{dt}\right|^{2}$
s'appelle l'\emph{\index{energie cinetique@énergie cinétique}énergie cinétique}).
\end{defn}

\begin{propo}[équations de Hamilton, 1833]\index{equations de Hamilton@équations de Hamilton}\label{prop:equationsHamilton}\mbox{}\par
Les équations de \hbox{Newton} \eqref{eq:Newton} peuvent s'écrire
sous la forme\footnote{La notation vectorielle $\partial H/\partial x$ désigne le vecteur $(\partial H/\partial x_1,\dots,\partial H/\partial x_d)$, et $\partial H/\partial\xi$ le vecteur $(\partial H/\partial\xi_1,\dots,\partial H/\partial\xi_d)$.}:
\begin{equation}
\frac{dx(t)}{dt}=\frac{\partial H}{\partial\xi},\quad\frac{d\xi(t)}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x},\label{eq:Hamilton}
\end{equation}
déterminant un champ de vecteurs $\mathcal{V}:=(\sfrac{\partial H}{\partial\xi},-\sfrac{\partial H}{\partial x})$
sur l'\emph{\index{espace des phases}espace des phases} $(x,\xi)\in\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}$
(figure \ref{fig:flot-hamiltonien}).
\end{propo}

\begin{proof}
On calcule:
\begin{align*}
\frac{\partial H}{\partial\xi}&\underset{\eqref{eq:def_H}}{=}\frac{1}{m}\xi\underset{\eqref{eq:def_xi}}{=}\frac{dx}{dt},\\
-\frac{\partial H}{\partial x}&\underset{\eqref{eq:def_H}}{=}-\frac{\partial V}{\partial x}\underset{\eqref{eq:def_V}}{=}F\underset{\eqref{eq:Newton}}{=}m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\underset{\eqref{eq:def_xi}}{=}\frac{d\xi}{dt}.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{figure}[tbph]
\centering{}\input{xups14-01_figures/flot_H.pdftex_t}\protect\caption{\label{fig:flot-hamiltonien}Champ de vecteurs de Hamilton $\mathcal{V}$
et flot hamiltonien $\phi_{t}$ dans l'espace des phases.}
\end{figure}

\begin{rem}
Nous ferons un commentaire dans la remarque \ref{rem:Le-formalisme-de}
sur l'aspect antisymétrique assez particulier des équations de Hamilton~\eqref{eq:Hamilton} qui, d'une certaine façon, laisse déjà
entrevoir la mécanique quantique ondulatoire. En 1833 Hamilton a utilisé
au \hbox{départ} ces équations pour exprimer l'optique géométrique des rayons, qui n'est qu'une approximation de l'optique ondulatoire \cite{guillemin-sternberg__1990_geometric}.
Nous verrons de façon analogue que la mécanique classique est une
approximation de la mécanique quantique ondulatoire.
\end{rem}

\subsubsection{Exemples}

Il faut savoir que pour les problèmes à un degré de liberté, $d=1$
(donc l'espace des phases est $(x,\xi)\in\mathbb{R}^{2}$
de dimension~$2$), et $H(x,\xi)$ indépendant de $t$,
alors les équations du mouvement sont solubles. En dimension plus
grande elles ne le sont pas en général, sauf exceptions comme le problème
à deux corps qui est soluble car il se ramène en fait à un problème
à un degré de liberté. Plus généralement ces problèmes solubles sont
appelés \emph{systèmes intégrables\index{systemes integrables@systèmes intégrables}} \cite{arnold-mmmc}.
L'étude du chaos à la section suivante sera au contraire consacrée
à l'étude des problèmes parmi les \og plus simples\fg qui ne
sont pas solubles.
\begin{example}[le problème à deux corps]\index{probleme a deux corps@problème à deux corps}
C'est un système intégrable d'importance historique car c'est par
lui que Newton a écrit l'équation~\eqref{eq:Newton} en 1687. À l'échelle du
système solaire, on peut considérer la Terre comme un point de masse
$m=6\cdot10^{24}\mathrm{kg}$ à la position $x\in\mathbb{R}^{3}$ soumise
à la force d'attraction gravitationnelle de la part du Soleil (situé
en $x=0$):
\[
F(x)=-C\,\frac{u}{\left|x\right|^{2}}
\]
avec $u=\sfrac{x}{\left|x\right|}$ vecteur unitaire et $C=\mathcal{G}\cdot m\cdot m_{S}$
avec la masse du Soleil $m_{S}=2\cdot10^{30}\mathrm{kg}$ et la constante
de gravitation universelle $\mathcal{G}=6,67\cdot10^{-11}\mathrm{N}.\mathrm{m}^{2}.\mathrm{kg}^{-2}$.
Cette force dérive de l'énergie potentielle
\begin{equation}
V(x)=-C\,\frac{1}{\left|x\right|}.\label{eq:V_Kepler}
\end{equation}
L'équation du mouvement obtenue est
\[
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{1}{m}F(x)=-\mathcal{G}\cdot m_{S}\,\frac{u}{\left|x\right|^{2}}.
\]
Remarquer que curieusement la masse de la Terre n'y intervient pas.
Cela signifie que par exemple une poussière (ayant une autre masse)
qui serait à la place de la Terre (même position et même vitesse)
aurait la même trajectoire autour du Soleil. Cette remarque, appelée
\emph{\index{principe d'equivalence@principe d'équivalence}principe d'équivalence},
a conduit Einstein à la théorie de la relativité où la gravitation
n'est plus une force mais découle de la géométrie de l'espace temps.

De façon analogue mais à une toute autre échelle, dans un atome d'hydrogène,
un électron de masse $m=9,31\cdot10^{-31}\mathrm{kg}$ est soumis à la
\emph{force de Coulomb} de la part du proton
\[
F(x)=-C'\,\frac{u}{\left|x\right|^{2}},\quad V(x)=-C'\,\frac{1}{\left|x\right|}
\]
avec $C'=k_{C}q\cdot q$ où $q=1,6\cdot10^{-19}\mathrm{C}$ est la charge élémentaire
de l'électron et du proton et $k_{C}=9\cdot10^{9}\mathrm{N}\mathrm{m}^{2}\mathrm{C}^{-2}$
est la constante de Coulomb.

Dans ces deux problèmes, grâce à la forme particulière de $V(x)$,
on peut résoudre exactement les équations du mouvement et obtenir
que les trajectoires de la planète (respectivement de l'électron) sont des
ellipses (ou paraboles ou hyperboles selon la condition initiale)
\cite{arnold-mmmc}.
\end{example}

\begin{example}[puits de potentiel, oscillateur harmonique]
À une dimension $d=1$ on s'intéresse à une particule près d'un minimum
local de l'énergie potentielle $V(x)$ que l'on suppose
en $x=0$ avec $V(0)=0$. Par développement de Taylor,
on écrit:
\[
V(x)=\frac{1}{2}kx^{2}+O(x^{3})
\]
avec $k=\frac{d^{2}V}{dx^{2}}(0)>0$. En ne gardant que
ce premier terme (comme première approximation) le hamiltonien s'écrit:
\begin{equation}
H(x,\xi)=\frac{1}{2m}\xi^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}\label{eq:OH}
\end{equation}
et s'appelle le modèle de l'\emph{\index{oscillateur harmonique}oscillateur
harmonique}. Les trajectoires sont des ellipses dans l'espace des
phases%
\footnote{Avec le changement de variables $X:=\sqrt{(\sfrac{k}{2})}\,x$, $Y:=\sfrac{\xi}{\sqrt{2m}}$
et posant $\omega:=\sqrt{\sfrac{k}{m}}$, $Z=X+iY$, \eqref{eq:Hamilton}
se traduit par $\sfrac{dZ}{dt}=-i\omega Z$, qui donne
le mouvement de rotation $Z(t)=Z(0)e^{-i\omega t}$.%
}, voir figure \ref{fig:OH}.
\end{example}
\begin{figure}[tbph]
\centering{}\input{xups14-01_figures/OH.pdftex_t}\protect\caption{\label{fig:OH}Une trajectoire de l'oscillateur harmonique dans l'espace
des phases. La position $x(t)$ et la vitesse $v(t)=\frac{1}{m}\xi(t)$
oscillent en quadrature.}
\end{figure}

\begin{example}[particule libre sur le cercle $S^{1}$ ou le tore $\mathbb{T}^{d}$]

La position d'une particule sur le cercle est $x\in S^{1}:=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$
(c'est-à-dire définie modulo les entiers). L'espace des phases $(x,\xi)\in S^{1}\times\mathbb{R}$
est un cylindre. On dit qu'une particule est \emph{libre}
si $V=0$, car il n'y a pas de force. Ainsi (en prenant $m=1$) on
a le hamiltonien $H(x,\xi)=\frac{1}{2}\left|\xi\right|^{2}$.
Les équations de Hamilton \eqref{eq:Hamilton} donnent
\begin{equation}
\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial\xi}=\xi,\quad\frac{d\xi}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x}=0.\label{eq:particule_libre}
\end{equation}
La solution est
\[
\xi(t)=\xi_{0}=\mathrm{cste},\quad x(t)=\xi_{0}\cdot t+x_{0}.
\]
Ainsi la particule se déplace sur le cercle $S^{1}$ à vitesse constante
$\xi_{0}$ qui dépend de la condition initiale.

Le tore $\mathbb{T}^{d}=S^{1}\times\ldots\times S^{1}=\mathbb{R}^{d}/\mathbb{Z}^{d}$
est un produit de $d$ cercles, avec des coordonnées $(x_{1},\ldots,x_{d})\in\mathbb{R}^{d}/\mathbb{Z}^{d}$.
On obtient de même le mouvement à vitesse constante $x(t)=\xi_{0}\cdot t+x_{0}$
avec $\xi_{0}\in\mathbb{R}^{d}$. Voir figure \ref{fig:tore}. En
dimension $d=1$, il est clair que si $\xi_{0}\neq0$, la trajectoire
recouvre tout le cercle $S^{1}$ de façon uniforme. En dimension $d\geq2$
on peut se demander quelle partie de l'espace $\mathbb{T}^{d}$ occupe
une trajectoire. Voici un résultat. Avant cela, on dit que $\xi_{0}\in\mathbb{R}^{d}$
est un \emph{vecteur irrationnel} si, pour $k\in\mathbb{Z}^{d}$, $\xi_{0}\cdot k=0\implique k=0$.
En dimension $d=2$, cela signifie que $\sfrac{(\xi_{0})_{1}}{(\xi_{0})_{0}}\notin\mathbb{Q}$
(pente irrationnelle). En dimension quelconque cela signifie que l'hyperplan
$\xi_{0}^{\perp}:=\{ k\in\mathbb{Z}^{d}\mid\xi_{0}\cdot k=0\} $
n'intersecte le réseau $\mathbb{Z}^{d}$ qu'en $k=0$.
\end{example}

\begin{thm}[d'équidistribution de Kronecker-Weyl, 1910]
\label{th:uniq_ergodique}\index{theoreme d'equidistribution@\hbox{théorème d'équidistribution de Kronecker-}Weyl}
Si $\xi_{0}\in\mathbb{R}^{d}$ est un vecteur irrationnel\emph{
}alors la trajectoire $x(t)=\xi_{0}\cdot t+x_{0}$ est dense
sur le tore $\mathbb{T}^{d}=\mathbb{R}^{d}/\mathbb{Z}^{d}$ et même
\emph{\index{uniquement ergodique}uniquement ergodique},
c'est-à-dire que pour toute fonction $a\in C^{0}(\mathbb{T}^{d})$
et tout point initial $x_{0}\in\mathbb{T}^{d}$,
\begin{equation}
\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}a(\xi_{0}\cdot t+x_{0})dt=\int_{\mathbb{T}^{d}}a(x)dx,\label{eq:ergodicite_tore}
\end{equation}
c'est-à-dire la moyenne temporelle de $a$ sur une trajectoire très longue
devient égale à sa moyenne spatiale.
\end{thm}

\begin{proof}
Pour $k\in\mathbb{Z}^{d}$ on considère la fonction $\varphi_{k}(x):=\exp(i2\pi k\cdot x)$
appelée \emph{\index{mode de Fourier}mode de Fourier}. D'après la
théorie de Fourier on peut décomposer la fonction $a$ en série de Fourier $a=\sum_{k}a_{k}\varphi_{k}$
avec les coefficients de Fourier $a_{k}=\int_{\mathbb{T}^{d}}\overline{\varphi_{k}(x)}a(x)dx$.
Si $k\neq0$ alors $k\cdot\xi_{0}\neq0$ et
\begin{align*}
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\varphi_{k}(\xi_{0}\cdot t+x_{0})dt & =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\exp(i2\pi k\cdot (\xi_{0}\cdot t+x_{0}))dt\\
& =e^{i2\pi k\cdot x_{0}}\frac{1}{T}\frac{1}{i2\pi k\cdot\xi_{0}}\left[\exp(i2\pi k\cdot\xi_{0}t)\right]_{0}^{T}\!\underset{T\to\infty}{\to}\!0.
\end{align*}
Par ailleurs pour le mode $k=0$, on a $\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\varphi_{0}(\xi_{0}\cdot t+x_{0})dt=1$.
Ainsi
\begin{align*}
\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}a(\xi_{0}\cdot t+x_{0})dt&=\lim_{T\to\infty}\sum_{k}a_{k}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\varphi_{k}(\xi_{0}\cdot t+x_{0})dt\\
&=a_{0}=\int_{\mathbb{T}^{d}}a(x)dx.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{figure}[tbph]
\centering{}\input{xups14-01_figures/tore.pdftex_t}\protect\caption{\label{fig:tore}Une trajectoire sur le tore $\mathbb{T}^{2}=\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}$
illustrant le théorème \ref{th:uniq_ergodique}. Les numéros
successifs représentent les points identifiés par les conditions périodiques.
Si la pente de $\xi_{0}$ est irrationnelle alors la trajectoire est
dense et même ergodique, sinon la trajectoire est périodique. Cependant
un nuage de points (ici un disque) garde sa forme en se translatant:
la dynamique n'est pas mélangeante.}
\end{figure}

Voici une application de l'unique ergodicité.

\begin{cor}[loi de Benford]\index{loi de Benford}
Soit
$k_{n}\!\in\!\{ 1,2\ldots9\} $ le premier chiffre de $u_{n}=2^{n}$
en base $10$. On a $u_{n}=\mathbf{1},\mathbf{2},\mathbf{4},\mathbf{8},\mathbf{1}6,\mathbf{3}2,\mathbf{6}4,\mathbf{1}28,\mathbf{2}56,\ldots$
donc\enlargethispage{\baselineskip}%
\[
k_{n}=1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,\ldots
\]
Alors dans cette suite $(k_{n})_{n}$, un chiffre donné
$k\in\left\{ 1,\ldots,9\right\} $ apparaît avec la \emph{probabilité}
$p_{k}=\sfrac{\log(1+\sfrac{1}{k})}{\log(10)}$,
soit $p_{1}=30\%$, $p_{2}=17\%,\ldots,\,p_{9}=4.5\%$, avec la définition
\[
p_{k}:=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\,\mathrm{card}\left\{ n\leq N\mid k_{n}=k\right\}.
\]

\end{cor}

\begin{proof}
Dans un premier temps, comme dans le théorème \ref{th:uniq_ergodique},
on montre que si $\alpha\notin\mathbb{Q}$ et $x_{0}\in\mathbb{R}$
alors la suite $x_{n}=n\alpha+x_{0}\bmod1\in[0,1[$, $n\in\mathbb{N}$,
est \emph{uniquement ergodique} c'est-à-dire que pour toute fonction $a\in C^{0}([0,1[)$,
\begin{equation}
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}a(x_{n})=\int a(x)dx.\label{eq:erg}
\end{equation}
En considérant un intervalle $I\subset\left[0,1\right]$ de longueur
$\left|I\right|$, et la \emph{fonction caractéristique} $a(x)=1$
si $x\in I$, $a(x)=0$ sinon (en fait on considère une
suite de fonctions continues qui approchent $a$), on a
\[
\sum_{n=1}^{N}a(x_{n})=\mathrm{card}\left\{ n\leq N\mid x_{n}\in I\right\}\quad\text{et} \int a(x)dx=\left|I\right|,
\]
donc \eqref{eq:erg} s'écrit simplement
\[
\mbox{proba}(I):=\frac{1}{N}\,\mathrm{card}\{ n\leq N\mid x_{n}\in I\} =|I|.
\]

Dans un deuxième temps, on considère la suite \hbox{$u_{n}=2^{n}=2\times u_{n-1}$}
avec $u_{0}=1$. Par définition de $k_{n}$, on a $k_{n}10^{r}\leq u_{n}<(k_{n}+1)10^{r}$
avec $r\in\mathbb{N}$. Soit $x_{n}:=\sfrac{\log u_{n}}{\log10}\bmod1$.
Alors $x_{n+1}=x_{n}+\alpha\bmod1$ avec\footnote{En effet si $\sfrac{\log2}{\log10}=\sfrac{p}{q}\in\mathbb{Q}$ alors
$2^{q}=10^{p}=2^{p}5^{p}$ ce qui implique $p=q=0$, donc impossible.}
\[
\alpha=\frac{\log2}{\log10}\notin\mathbb{Q}\quad\text{et}\quad \frac{\log(k_{n})}{\log10}\leq x_{n}<\frac{\log(k_{n}+1)}{\log10},
\]
soit $x_{n}\in I_{k_{n}}:=\big[\frac{\log(k_{n})}{\log10},\frac{\log(k_{n}+1)}{\log10}\big[$.
Comme la suite $x_{n}$ est ergodique on déduit que
\[
p_{k}=\mbox{proba}(I_{k})=\left|I_{k}\right|=\left|\frac{\log(k+1)}{\log10}-\frac{\log(k)}{\log10}\right|=\frac{\log(1+\sfrac{1}{k})}{\log(10)}.\qedhere
\]
\end{proof}

\begin{example}[particule libre sur une surface, géodésiques]\index{flot geodesique@flot géodésique}\label{exa:Particule-libre}
Si $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}^{3}$
est une surface lisse, une particule de position $x(t)\in\mathcal{S}$
est dite libre de se déplacer sur la surface si la force qu'elle subit
est normale à sa surface (cette force est telle qu'elle impose à la
particule de rester sur la surface). Cela s'écrit donc:
\begin{equation}
P_{x}\,\frac{dv}{dt}=0\label{eq:geodesique}
\end{equation}
avec la vitesse $v=\sfrac{dx}{dt}\in\mathbb{R}^{3}$ et $P_{x}:\mathbb{R}^{3}\to T_{x}\mathcal{S}$
le projecteur ortho\-go\-nal sur le plan tangent à la surface au point
$x$. Voir figure~\ref{fig:geodesique}(a).
\begin{figure}[tbph]
\centering{}\input{xups14-01_figures/geod.pdftex_t}\includegraphics[scale=0.12]{vase1}\protect\caption{\label{fig:geodesique}(a) Géodésique sur une surface $\mathcal{S}$:
le vecteur vitesse $v(t)=\sfrac{dx}{dt}$ est solution de
$P_{x}\sfrac{dv}{dt}=0$ où $P_{x}$ est le projecteur orthogonal sur
le plan tangent $T_{x}\mathcal{S}$ au point $x$. (b) En pratique
une géodésique est obtenue en collant un ruban de scotch \og de façon
la plus plate possible\fg, ici sur un vase ayant de la courbure
de Gauss positive et négative.}
\end{figure}
En terme géométriques
on note $\sfrac{Dv}{dt}=0$, et $D:=Pd$ s'appelle la \emph{dérivée
covariante\index{derivee covariante@dérivée covariante}} ou \emph{connexion de Levi-Civita\index{connexion de Levi-Civita}}.
L'absence de force tangentielle fait que la particule va \og le plus droit
possible\fg en restant sur la surface. Par définition, on dit
que sa trajectoire est une \emph{\index{geodesique@géodésique}géodésique}%
\footnote{Essayer de se convaincre et de démontrer que si l'on colle sans pli
un ruban de scotch (étroit) sur une surface alors il suit une géodésique.%
}. Par exemple sur la sphère $S^{2}\subset\mathbb{R}^{3}$ les géodésiques
sont les grands cercles. Sur une surface plate (ou dans l'espace euclidien
\noun{$\mathbb{R}^{d}$}), les géodésiques sont des droites. On peut
montrer \cite{taylor_tome1,taylor_tome2} que
\begin{itemize}
\item \cite[p.\,52]{taylor_tome1} L'équation \eqref{eq:geodesique} a une
unique solution $x(t)\in\mathcal{S}$ qui de plus est solution
des équations de Hamilton \eqref{eq:Hamilton} avec le hamiltonien
$H(x,\xi)=\frac{1}{2}\left\Vert \xi\right\Vert _{T^{*}\mathcal{S}}^{2}$
d'une particule libre, qui fait apparaître la norme du vecteur cotangent
$\xi\in T_{x}^{*}\mathcal{S}$. Comme cette formulation est intrinsèque
et géométrique (c'est-à-dire invariante par changement de coordonnées) elle
s'adapte au cas des variétés riemanniennes, pour lesquelles chaque
espace (co-)tangent est muni d'un produit scalaire. L'espace des phases
est ici le fibré cotangent $T^{*}\mathcal{S}$, qui est une variété
de dimension $2\dim\mathcal{S}=4$.
\item \cite[p.\,47]{taylor_tome1}
Si $A=x(0)$ et $B=x(t)$
sont deux points de la même géodésique, alors parmi tous les chemins
paramétrés \hbox{$\gamma:t\!\mto\! x(t)$} qui joignent $A$
et $B$ au temps $t$, la géodésique est un extremum local pour la
\emph{fonctionnelle énergie} $\mathcal{E}(\gamma):=\int_{0}^{t}\frac{1}{2}\left\Vert \frac{dx}{dt}\right\Vert ^{2}dt$
et pour la \emph{fonctionnelle longueur} $l(\gamma):=\int_{0}^{t}\left\Vert \frac{dx}{dt}\right\Vert dt$
(noter que $l(\gamma)$ est indépendant du paramétrage).
\end{itemize}
\end{example}

\Subsubsection{Flot hamiltonien et crochets de Poisson}

Nous précisons quelques aspects de la dynamique hamiltonienne qui
seront utiles plus tard. Pour simplifier l'exposé, nous supposerons que
pour toutes conditions initiales données $(x(0),\xi(0))\in\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}$
la solution $(x(t),\xi(t))\in\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}$
de \eqref{eq:Hamilton} existe et est unique pour tout $t\in\mathbb{R}$
(le~théorème de Cauchy-Lipschitz garantit cela localement en temps
si $V$ est lipschitzienne).

\begin{defn}
Avec les notations précédentes le \emph{flot hamiltonien} est la
famille d'applications pour $t\in\mathbb{R}$:
\begin{equation}
\phi_{t}:\bigg\{\begin{array}{cl}
\mathbb{R}^{2d} & \dpl\to\mathbb{R}^{2d}\\
(x(0),\xi(0)) & \dpl\mto(x(t),\xi(t))
\end{array}\label{eq:def_flot}
\end{equation}
(c'est un groupe à un paramètre). Voir figure \ref{fig:flot-hamiltonien}.
\end{defn}

\begin{thm}[de Liouville]\label{thm:Liouville}
Le flot hamiltonien $\phi_{t}$ préserve
le volume $dx\,d\xi$ dans l'espace des phases $\mathbb{R}^{2d}$.
\end{thm}

\begin{proof}
Autrement dit, il faut montrer que le champ de vecteur $\mathcal{V}=(\frac{\partial H}{\partial\xi},-\frac{\partial H}{\partial x})$
défini en \eqref{eq:Hamilton} est de divergence nulle:
\[
\mathrm{div}(\mathcal{V})=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial H}{\partial\xi}\Big)+\frac{\partial}{\partial\xi}\Big(-\frac{\partial H}{\partial x}\Big)\underset{\eqref{eq:Hamilton}}{=}0.\qedhere
\]
\end{proof}

\begin{propo}[conservation de l'énergie]
Si la fonction $H$
est indépendante de $t$ (c'est-à-dire $H$ est seulement fonction de $(x,\xi)$)
alors la valeur $E=H(x(t),\xi(t))$
appelée \emph{énergie\index{energie@énergie}} est constante le long d'une
trajectoire.
\end{propo}

\begin{proof}
On écrit:
\[
\frac{dH(x(t),\xi(t))}{dt}=\Big(\frac{\partial H}{\partial x}\Big)\frac{dx}{dt}{+}\Big(\frac{\partial H}{\partial\xi}\Big)\frac{d\xi}{dt}\underset{\eqref{eq:Hamilton}}{=}\Big(-\frac{d\xi}{dt}\Big)\frac{dx}{dt}+\Big(\frac{dx}{dt}\Big)\frac{d\xi}{dt}=0.
\]
\end{proof}

Au lieu de considérer l'évolution d'un point $(x(t),\xi(t))$
sur l'espace des phases, nous verrons qu'il est naturel et instructif
de considérer plus généralement l'évolution d'un nuage de points ou
d'une distribution lisse de points, que l'on modélise par une distribution
de probabilité $f(x,\xi)dx\,d\xi$ sur l'espace des phases,
où $f$ est une fonction lisse appelée densité de probabilité. L'hypothèse
que $f$ est lisse revient à s'intéresser à presque tous les points,
c'est-à-dire sauf à un sous-ensemble de mesure nulle.

\begin{defn}
L'\emph{\index{operateur de Liouville@opérateur de Liouville}opérateur de Liouville} exprime
l'évolution d'une distribution de probabilité sur l'espace des phases
au temps $t\in\mathbb{R}$:
\begin{equation}
\mathcal{L}_{t}:\bigg\{\begin{array}{rl}
C^{\infty}(\mathbb{R}^{2d}) & \dpl\to C^{\infty}(\mathbb{R}^{2d})\\
f & \dpl\mto\mathcal{L}_{t}f:=f\circ\phi_{-t}.
\end{array}\label{eq:op_Liouville}
\end{equation}
\end{defn}

Remarquons qu'en utilisant le théorème de Liouville \ref{thm:Liouville},
la probabilité totale est conservée:
\[
\int(\mathcal{L}_{t}f)dx\,d\xi=\int(f\circ\phi_{-t})dx\,d\xi=\int fdx\,d\xi.
\]

\begin{propo}
Pour toute fonction $f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{2d})$,
l'évolution infinitésimale est donnée par
\begin{equation}
\frac{d(\mathcal{L}_{t}f)}{dt}=\left\{ H,f\right\}, \label{eq:df/dt}
\end{equation}
où
\begin{equation}
\left\{ H,f\right\} :=\frac{\partial H}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial\xi}-\frac{\partial H}{\partial\xi}\frac{\partial f}{\partial x},\label{eq:crochet_poisson}
\end{equation}
s'appelle le \emph{crochet de Poisson\index{crochet de Poisson}}
des fonctions $H,f$.
\end{propo}

\begin{proof}
On calcule:
\begin{align*}
\frac{d(\mathcal{L}_{t}f)}{dt} & \underset{\eqref{eq:op_Liouville})}{=}\frac{d(f\circ\phi_{-t})}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{d(\phi_{-t})_{x}}{dt}+\frac{\partial f}{\partial\xi}\frac{d(\phi_{-t})_{\xi}}{dt}\\
& \underset{\eqref{eq:def_flot})}{=}\frac{\partial f}{\partial x}\Big(-\frac{dx}{dt}\Big)+\frac{\partial f}{\partial\xi}\Big(-\frac{d\xi}{dt}\Big)\\
& \underset{\eqref{eq:Hamilton}}{=}\frac{\partial f}{\partial x}\Big(-\frac{\partial H}{\partial\xi}\Big)+\frac{\partial f}{\partial\xi}\Big(-\Big(-\frac{\partial H}{\partial x}\Big)\Big)=\left\{ H,f\right\}.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\begin{rem}
\label{rem:Le-formalisme-de}Le formalisme de la mécanique classique
hamiltonienne qui vient d'être esquissé possède une formulation en
géométrie différentielle très intéressante et très utile appelée \emph{\index{geometrie symplectique@géométrie symplectique}géométrie
symplectique}. Nous renvoyons à \cite{arnold-mmmc} \cite[Sec1.14]{taylor_tome1}
pour une introduction proche de la physique et \cite{da_silva_01,mac_duff_98,guillemin-sternberg_1990_symplectic,guillemin-sternberg__1990_geometric}
pour plus d'approfondissements. Le point de départ de cette approche
est que les équations de Hamilton \eqref{eq:Hamilton} sur $\mathbb{R}^{2d}$
peuvent s'exprimer de façon géométrique, c'est-à-dire indépendamment du système
de coordonnées, de la façon suivante. On introduit la $2$-forme $\omega:=\sum_{j=1}^{d}dx^{j}\wedge d\xi^{j}$
sur $\mathbb{R}^{2d}$ appelée \emph{\index{forme symplectique}forme
symplectique}. Alors le champ de vecteur de \hbox{Hamilton} $\mathcal{V}$
est déterminé par l'équation
\begin{equation}
\omega(\mathcal{V},\cbbullet)=dH,\label{eq:Hamimton_geom}
\end{equation}
où $dH$ est la différentielle de la fonction $H(x,\xi)$.
\begin{proof}
En coordonnées on note
\[
\mathcal{V}=\sum_{j=1}^{d}\mathcal{V}_{x,j}\,\frac{\partial}{\partial x^{j}}+\mathcal{V}_{\xi,j}\,\frac{\partial}{\partial\xi^{j}}.
\]
Alors d'une part
\[
\omega(\mathcal{V},\cbbullet)=\sum_{j}\mathcal{V}_{x,j}d\xi^{j}-\mathcal{V}_{\xi,j}dx^{j}
\]
et d'autre part
\[
dH=\sum_{j}\frac{\partial H}{\partial\xi^{j}}\,d\xi^{j}+\frac{\partial H}{\partial x^{j}}\,dx^{j}.
\]
L'identité \eqref{eq:Hamimton_geom}) donne bien $\mathcal{V}_{x,j}=\sfrac{\partial H}{\partial\xi^{j}}$
et $-\mathcal{V}_{\xi,j}=\sfrac{\partial H}{\partial x^{j}}$ qui sont
les équations de Hamilton \eqref{eq:Hamilton}.
\end{proof}

Cette formulation faisant intervenir la géométrie symplectique peut
paraître surprenante. Elle laisse en fait soupçonner que la mécanique
quantique ondulatoire est \og cachée\fg derrière la mécanique
classique. Nous verrons dans la section suivante avec le théorème
d'Egorov que la mécanique classique s'obtient à partir de la mécanique
quantique ondulatoire à la limite des petites longueurs d'ondes
$(\hbar\to0)$. Par ailleurs il y a une formulation
géométrique de cette limite dans le cadre de la \emph{quantification
géométrique} \cite{woodhouse2} qui montre explicitement que
la forme symplectique $\omega$ classique provient directement de
la forme symplectique canonique sur le projectif $\mathbb{P}(\mathcal{H})$
de l'espace de Hilbert quantique $\mathcal{H}$.
\end{rem}

\subsection{Mécanique quantique}\label{subsec:mecaq}

\subsubsection{Équation de Schrödinger}

Il est apparu dès le \textsc{xix}\ieme siècle que de nombreux phénomènes de la
physique ne trouvaient pas d'explications avec la mécanique classique.
De nouvelles idées apparaissent progressivement (\emph{loi du corps
noir} par Planck 1900, \emph{effet photo électrique} par
Einstein 1905) et en 1925 Schrödinger propose une \emph{théorie ondulatoire}
pour des \emph{ondes de matière}, que l'on appelle la \emph{mécanique
quantique}\index{mecanique quantique@mécanique quantique}. Dans cette théorie, une particule élémentaire est modélisée
par une \emph{\index{fonction d'onde}fonction d'onde} $\psi_{t}(x)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{3})$
qui est une fonction à valeur complexes sur l'espace des $x\in\mathbb{R}^{3}$
qui évolue en temps $t\in\mathbb{R}$ selon l'\emph{équation de
Schrödinger\index{equation de Schrodinger@équation de Schrödinger}}.

\begin{defn}
L'équation de Schrödinger est l'analogue de l'équation de Newton (ou
de Hamilton) en mécanique classique et s'écrit:
\begin{equation}
i\hbar\frac{\partial\psi_{t}}{\partial t}=\mathrm{Op}_{\hbar}(H)\psi_{t}\label{eq:equ_shrodinger}
\end{equation}
avec $\hbar=1,05\cdot10^{-34}\mathrm{J}.\mathrm{s}.$ appelée \emph{constante
de Planck\index{constante de Planck}}%
\footnote{Attention, en physique on pose $h=2\pi\hbar$ alors que dans les ouvrages
de mathématiques il est habituel de noter $h$ cette même constante
$\hbar$.%
} et $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$ est un opérateur linéaire%
\footnote{Dans les ouvrages de physique il est habituel de noter $\hat{H}=\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$.%
} appelé \emph{opérateur hamiltonien\index{operateur hamiltonien@opérateur hamiltonien}}
défini par
\begin{equation}
\mathrm{Op}_{\hbar}(H):=\frac{1}{2m}\left|\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi)\right|^{2}+V(x),\label{eq:Op(H)}
\end{equation}
avec
\begin{equation}\label{eq:OpHxi}
\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi)=-i\hbar\Big(\frac{\partial}{\partial x_{1}},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{d}}\Big)=:-i\hbar\,\frac{\partial}{\partial x},
\end{equation}
qui s'appelle l'\emph{\index{operateur impulsion@opérateur impulsion}opérateur impulsion}
et $V(x)$ qui est l'opérateur de multiplication $\psi(x)\mto V(x)\psi(x)$.
\end{defn}

Dans \eqref{eq:Op(H)}, on a utilisé la notation de \emph{produit scalaire
d'opérateurs vectoriels}:
\[
\left|\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi)\right|^{2}:=\sum_{j=1}^{d}(\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi))_{j}^{2}=(-i\hbar)^{2}\Big(\sum_{i=1}^{d}\frac{\partial^{2}.}{\partial x_{i}^{2}}\Big)=-\hbar^{2}\Delta.
\]
Ainsi $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)\psi$ est la fonction:
\begin{equation}\label{eq:OpH}
(\mathrm{Op}_{\hbar}(H)\psi)(x)\!=\!\frac{1}{2m}(-\hbar^{2}\Delta\psi)(x)+V(x)\psi(x),\ \ \Delta\psi\!:=\!\sum_{i=1}^{d}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x_{i}^{2}}.
\end{equation}

Noter que $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$ se déduit du hamiltonien
classique $H$ défini par l'équation~\eqref{eq:def_H} en substituant la variable impulsion
$\xi$ par l'opérateur impulsion $\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi)$.
Cela s'appelle le \emph{\index{principe de correspondance}principe
de correspondance} que l'on discutera par la suite.
\begin{rem}
L'\emph{\index{espace de Hilbert}espace de Hilbert} $\mathcal{H}=L^{2}(\mathbb{R}^{d})$
est muni du produit scalaire $L^{2}$ défini pour $\psi,\varphi\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{d})$
par:
\[
\left\langle \psi|\varphi\right\rangle _{L^{2}}:=\int_{\mathbb{R}^{d}}\overline{\psi(x)}\varphi(x)dx
\]
donnant la norme (carré)
\[
\left\Vert \psi\right\Vert _{L^{2}}^{2}:=\left\langle \psi|\psi\right\rangle =\int_{\mathbb{R}^{d}}\left|\psi(x)\right|^{2}dx.
\]
Pour la suite, il sera important de remarquer que (pour certaines
fonctions $V$) sur cet espace fonctionnel $L^{2}(\mathbb{R}^{3})$,
l'opérateur $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$ est essentiellement
auto-adjoint \cite{reed-simon4,hislop_95} et que l'équation de Schrödinger
\eqref{eq:equ_shrodinger} admet une solution que l'on peut écrire%
\footnote{En effet en dérivant \eqref{eq:def_U(t)} par rapport à $t$, on retrouve
\eqref{eq:equ_shrodinger}.%
}:
\begin{equation}
\psi_{t}=U(t)\psi_{0},\qquad U(t)=\exp\Big(-\frac{i}{\hbar}t\mathrm{Op}_{\hbar}(H)\Big).\label{eq:def_U(t)}
\end{equation}
où plus précisément $U(t)$, $t\in\mathbb{R}$, est un
groupe d'opérateurs unitaires sur $L^{2}(\mathbb{R}^{3})$
qui est la solution unique de:
\[
U(0)=\mathrm{Id},\quad\frac{dU}{dt}=\Big(-\frac{i}{\hbar}\mathrm{Op}_{\hbar}(H)\Big)U.
\]

Présenté ainsi, le principe de correspondance parait être un \og jeu
d'écriture\fg et on ne comprends pas quel rapport il peut y avoir
entre la mécanique classique et la mécanique quantique à part ce \og jeu
d'écriture\fg. Pour justifier plus cela, nous montrerons plus
loin avec la quantification de Weyl et le théorème d'Egorov que les
ondes quantiques régies par l'équation de Schrödinger se déplacent
approximativement comme des particules régies par les équations de
Hamilton classiques. Cette approximation est d'autant plus vala\-ble
que l'on observe les ondes à grande échelle (par rapport aux échelles
atomiques où $\hbar\simeq1$). En physique, la petite valeur de $\hbar$
à l'échelle humaine explique qu'il ait fallu attendre le \textsc{xx}\ieme siècle
pour découvrir les effets subtils de la mécanique quantique qui se
manifestent à l'échelle des atomes. En mathématique cette correspondance
classique-quantique s'appelle l'\emph{analyse semi-classique\index{analyse semi-classique}}
ou \emph{analyse micro-locale\index{analyse micro-locale}} \cite[chap.\,7]{zworski_book_2012,taylor_tome2}.
Voir la page web \cite{fred_animations_quantiques} pour des animations
commentées d'ondes quantiques.
\end{rem}

\subsubsection{\label{par:Signification-physique-et}Signification physique et probabiliste
de la fonction d'onde $\psi(x)$ \cite{bransden}}

 En physique, la fonction d'onde $\psi(x)$
a une signification probabiliste: si une même expérience est répétée
un grand nombre de fois et produit une particule toujours dans le
même état décrit par la fonction $\psi(x)$ alors cela
signifie que la probabilité de détecter expérimentalement la particule
dans le domaine $U\subset\mathbb{R}^{3}$ de l'espace est:
\begin{equation}
P(U)=\frac{1}{\left\Vert \psi\right\Vert _{L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}\int_{U}\left|\psi(x)\right|^{2}dx,\qquad\label{eq:P(U)}
\end{equation}
avec la constante de normalisation $\left\Vert \psi\right\Vert _{L^{2}(\mathbb{R}^{3})}:=(\int_{\mathbb{R}^{3}}\left|\psi(x)\right|^{2}dx)^{1/2}$.
Autrement dit la densité de probabilité est $\frac{1}{\left\Vert \psi\right\Vert _{L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}\left|\psi(x)\right|^{2}dx$.
Noter que grâce au préfacteur $\sfrac{1}{\left\Vert \psi\right\Vert _{L^{2}(\mathbb{R}^{3})}}$,
et comme attendu, la probabilité sur tout l'espace est $P(\mathbb{R}^{3})=1$.
Notons aussi que le résultat $P(U)$ est inchangé si on
modifie $\psi\to\lambda\psi$ avec $\lambda\in\mathbb{C}\moins\left\{ 0\right\} $.
Cette invariance est aussi vraie pour l'équation d'évolution \eqref{eq:equ_shrodinger}
qui est linéaire. Donc il est plus pratique de supposer que les fonctions
d'ondes sont normalisées, c'est-à-dire $\left\Vert \psi\right\Vert _{L^{2}}^{2}=\left\langle \psi|\psi\right\rangle =1$,
ce que l'on fera dans la suite.

Ce résultat étonnant \eqref{eq:P(U)} (appelé \emph{principe de
la mesure\index{principe de la mesure}}) montre que pour une unique
expérience, la théorie quantique ne prédit rien. Elle ne peut prédire
que des moyennes sur des grands nombres. En~physique, on parle de
\emph{hasard quantique intrinsèque}. Par exemple, la position
moyenne de la particule $\left\langle x\right\rangle \in\mathbb{R}^{3}$
est donnée par
\begin{equation}
\left\langle x\right\rangle :=\int x\left|\psi(x)\right|^{2}dx=\left\langle \psi|x\psi\right\rangle. \label{eq:x_moyen}
\end{equation}
Dans ce principe de la mesure il est aussi postulé qu'après une mesure
où la particule a été détectée dans un domaine $U\subset\mathbb{R}^{3}$,
alors la nouvelle fonction d'onde est supportée sur $U$. Cela s'appelle
le \emph{collapse de la fonction d'onde\index{collapse de la fonction d'onde}}
ou \emph{réduction du paquet d'onde\index{reduction du paquet d'onde@réduction du paquet d'onde}}.

La relation \eqref{eq:x_moyen} est en fait plus générale. Par exemple,
pour une mesure de l'énergie, la \emph{valeur moyenne\index{valeur moyenne}}
prédite est donnée par
\[
\left\langle H\right\rangle =\left\langle \psi|\mathrm{Op}_{\hbar}(H)\psi\right\rangle
\]
et il est postulé en physique que cela est valable pour toutes les
\emph{observables\index{observables}} de la forme $\mathrm{Op}_{\hbar}(a)$
(voir \eqref{eq:def_Op_a}). Ce postulat de la mesure est en accord
remarquable avec toutes les expériences de physique menées jusqu'à ce
jour.

\subsubsection{L'expérience des doubles fentes de Young}

Voir figure \ref{fig:fentes_young}. Il~s'agit d'une des expériences les
plus intrigantes de mécanique quantique mettant en valeur la \emph{dualité
onde-corpuscule\index{dualité onde-corpuscule}}, très simple en principe
mais suscitant des questions d'interprétation qui n'ont pas vraiment
de réponse. En rapport avec cette expérience qu'il commente dans son
chapitre 1, Richard Feynman \cite{feynman-mq} (physicien notoire
dans l'élaboration de la mécanique quantique) a écrit \og Personne
ne comprends la mécanique quantique\fg.

\begin{figure}[tbph]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{phys_quant_exp}\\[5pt]
\includegraphics[angle=90,width=0.7\textwidth]{eynman_2__IOP_Publishing_and_Deutsche_Physikalische_Gesellschaft_txdam35662_9dd4e4}
\caption{\label{fig:fentes_young}Expérience faite en 2012 \cite{double_slit_2013},
interférences et détection de l'onde quantique d'un électron après
le passage dans une double fente. Après un petit nombre de détections
les résultats semblent aléatoires, mais après un grand nombre d'expériences
identiques on observe la densité de probabilité $\left|\psi(x)\right|^{2}$
prédite par la théorie quantique. Voir la video des impacts sur la \protect\href{http://iopscience.iop.org/1367-2630/15/3/033018/article}{page web du journal}.}
\end{center}
\end{figure}

\subsubsection{Équation de Schrödinger stationnaire}

Comme l'opérateur hamiltonien $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$ défini par \eqref{eq:OpH} est linéaire, il est naturel, dans le cas où il est indépendant du
temps $t$, de considérer ses vecteurs propres. Pour cela on met en
{\oe}uvre la \emph{théorie spectrale des opérateurs}, et il faut préciser
un espace fonctionnel \cite{davies_07}, \cite{davies_book_96}, \cite{reed-simon1}, \cite{hislop_95}, \cite{gustafson_book_00}.
Dans le cas présent il est naturel de considérer l'espace de Hilbert
$L^{2}(\mathbb{R}^{3})$ dans lequel $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$
est auto-adjoint (moyennant des hypothèses sur le potentiel $V$).
Supposons que $\psi_{0}\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})$ soit
vecteur propre de $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$ avec la valeur
propre~$E$:
\begin{equation}
\mathrm{Op}_{\hbar}(H)\psi_{0}=E\psi_{0},\quad E\in\mathbb{R}.\label{eq:equ_valeur_propres}
\end{equation}
On appelle $E$ l'\emph{\index{energie@énergie}énergie} de l'état $\psi_{0}$.
Il est facile de résoudre l'équation d'évolution \eqref{eq:equ_shrodinger}
partant de l'état $\psi_{0}(x)$ et cela donne
\begin{equation}
\psi_{t}(x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{0}(x).\label{eq:etat_staionnaire}
\end{equation}
Ainsi la densité de probabilité associée $\left|\psi_{t}(x)\right|^{2}=\left|\psi_{0}(x)\right|^{2}$
ne dépend pas du temps, on dit que $\psi_{t}(x)$ est une
\emph{onde stationnaire}.

Dans le cas d'un électron gravitant autour d'un proton (atome d'hydrogène),
on peut calculer les valeurs propres de $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$,
qui sont négatives et prennent des valeurs discrètes \cite{bransden}:
\[
E_{n}=-\mathcal{R}\frac{1}{n^{2}},\quad n\in\mathbb{N}^{*},
\]
avec la constante de Rydberg $\mathcal{R}=\frac{1}{2}\alpha^{2}mc^{2}$
et la constante de structure fine $\alpha=\sfrac{k_{c}e^{2}}{\hbar c}$.
Historiquement ce spectre discret a permis d'expliquer les raies de
fluorescence des atomes, observées dès 1752 par T.\,Melvill. Voir figure
\ref{fig:Balmer}.

\begin{figure}[tbph]
\centering{}\includegraphics[scale=0.2]{raie_balmer}\protect\caption{\label{fig:Balmer}On éclaire un gaz d'hydrogène avec un laser pour
lui fournir de l'énergie. Les électrons des atomes ré-émettent l'énergie
$h\nu$ sous forme lumineuse (appelée fluorescence) après une transition
entre des niveaux $E_{n}\to E_{m}$, avec $E_{m}<E_{n}$.
Par exemple les raies de Balmer (1885) ont des longueurs d'ondes $\lambda_{n}$
dans le visible données par $h\nu_{n}=\sfrac{2\pi\hbar}{\lambda_{n}}=E_{n}-E_{2}$,
$n\geq3$.}
\end{figure}

\subsubsection*{Modèle très simple} 

C'est celui à une dimension $d=1$ d'une particule libre dans l'intervalle
$x\in\left[0,L\right]$. On a\vspace*{-3pt}
\[
H(x,\xi)=\frac{1}{2m}\xi^{2},\quad
\mathrm{Op}(H)=-\frac{1}{2m}\hbar^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}
\]
et \eqref{eq:equ_valeur_propres} s'écrit\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\[
\psi''(x)+\frac{2mE}{\hbar^{2}}\psi(x)=0
\]
avec les conditions $\psi(0)\!=\!\psi(L)\!=\!0$. Les
ondes stationnaires sont donc $\psi_{n}(x)=\sin(n\pi\sfrac{x}{L})$,
$n\geq1$ et les niveaux d'énergie sont $E_{n}=\frac{1}{2m}(\sfrac{n\pi\hbar}{L})^{2}$.

\subsubsection{Explication du principe de correspondance sur un modèle simple}

Avant d'introduire la quantification de Weyl, considérons la fonction
de Hamilton classique linéaire suivante\footnote{Attention ce modèle ne correspond pas directement à un modèle de physique.
Il peut cependant être considéré (par linéarisation) comme le comportement
local d'une fonction $H(x,\xi)$ quelconque.}\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
H(x,\xi)=v\cdot\xi+w\cdot(-x),\label{eq:H_lineaire}
\end{equation}
où $\mathcal{V}=(v,w)\in\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}=\mathbb{R}^{2d}$ est un vecteur (constant) fixé. Les équations de Hamilton \eqref{eq:Hamilton} donnent alors\vspace*{-3pt}
\[
\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial\xi}=v,\quad\frac{d\xi}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x}=w
\]
qui signifient que le point $(x(t),\xi(t))$
se déplace à vitesse constante $\mathcal{V}=(v,w)$ sur
l'espace des phases. Voir figure \ref{fig:modele_simple}.

\begin{figure}[tbph]
\centering{}\input{xups14-01_figures/simple_model.pdftex_t}\protect\caption{\label{fig:modele_simple}Champ de vecteurs de Hamilton $\mathcal{V}=(v,w)$
du modèle simple \eqref{eq:H_lineaire}). On montre qu'avec l'équation
de Schrödinger, une onde (respectivement sa transformée de Fourier) se déplace aussi à la
vitesse $v$ en $x$ (respectivement $w$ en $\xi$).}
\end{figure}
Au niveau de la mécanique quantique, avec le principe de correspondance
on obtient l'opérateur:\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\mathrm{Op}_{\hbar}(H)=v\cdot\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi)+w\cdot(-x),\label{eq:op_lineaire}
\end{equation}
où $\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi)$ est défini par \eqref{eq:OpHxi}, et l'équation de Schrödinger \eqref{eq:equ_shrodinger} peut se résoudre
pour donner explicitement pour toute fonction \hbox{$\psi_{0}\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{d})$}%
\footnote{En effet
$$
i\hbar\frac{d\psi_{t}}{dt}=-w(x-vt)\psi_{t}(x)+i\hbar(-v)e^{iw(xt-\frac{1}{2}vt^{2})/\hbar}(\partial_{x}\psi_{0})=\mathrm{Op}_{\hbar}(H)\psi_{t}
$$
car\vspace*{-3pt}
$
\dpl\partial_{x}\psi_{t}=i\frac{wt}{\hbar}\psi_{t}+e^{iw(xt-\frac{1}{2}vt^{2})/\hbar}\partial_{x}\psi_{0}
$.}:\vspace*{-3pt}
\begin{align}
\psi_{t}(x) & =(e^{-it\mathrm{Op}_{\hbar}(H)/\hbar}\psi_{0})(x)=e^{iw(xt-\frac{1}{2}vt^{2})/\hbar}\psi_{0}(x-vt).\label{eq:expression_psi_t_translation}
\end{align}
Ainsi la fonction $|\psi_{t}|(x)\!=\!|\psi_{0}(x-vt)|$
se déplace à la vitesse $v$ \hbox{selon~$x$}, comme en mécanique classique.
Voir figure \ref{fig:modele_simple}. Ensuite, pour comprendre l'effet
de $w$, considérons la \emph{$\hbar$-transformée de Fourier\index{transformee de Fourier@transformée de Fourier}}\footnote{Inversement, 
$\dpl
\psi_{t}(x)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi\hbar})^{d}}\int_{\mathbb{R}^{d}}e^{i\xi x/\hbar}(\mathcal{F}_{\hbar}\psi_{t})(\xi)d\xi
$.} de~$\psi_{t}$:
\[
(\mathcal{F}_{\hbar}\psi_{t})(\xi):=\frac{1}{(\sqrt{2\pi\hbar})^{d}}\int_{\mathbb{R}^{d}}e^{-i\xi x/\hbar}\psi_{t}(x)dx.
\]
L'équation \eqref{eq:expression_psi_t_translation} donne:
\begin{equation}
(\mathcal{F}_{\hbar}\psi_{t})(\xi)=e^{-iv(\xi t-\frac{1}{2}wt^{2})/\hbar}(\mathcal{F}_{\hbar}\psi_{0})(\xi-wt)\label{eq:deplacement_xi}
\end{equation}
qui montre que la fonction $\left|\mathcal{F}_{\hbar}\psi_{t}\right|(\xi)=\left|(\mathcal{F}_{\hbar}\psi_{0})(\xi-wt)\right|$
se déplace à la vitesse $w$ selon $\xi$. Voir figure \ref{fig:modele_simple}.

Ce petit modèle justifie à posteriori le principe de correspondance
car avec le hamiltonien \eqref{eq:H_lineaire}, l'onde se déplace
comme une particule avec la vitesse $\mathcal{V}=(v,w)$
sur l'espace des phases (en fait \hbox{vitesse~$v$} en~$x$ et vitesse $w$
en $\xi$ après transformée de Fourier). De plus il montre la
signification de l'impulsion $\xi$: elle intervient dans l'expression
$e^{-i\xi x/\hbar}=e^{-i\omega_{x}x}$ et on peut donc dire que $\omega_{x}=\frac{1}{\hbar}\xi$
est une fréquence spatiale%
\footnote{en langage de la géométrie différentielle, l'impulsion $\xi$ est
un vecteur cotangent.}. Pour un hamiltonien quelconque $H(x,\xi)$, le champ
de vecteur $\mathcal{V}$ n'est pas uniforme mais l'idée du calcul
semi-classique est de montrer qu'à la limite $\hbar\to0$,
on peut considérer que $\mathcal{V}$ est \emph{localement constant} dans l'espace des phases $(x,\xi)$ (on dit \emph{micro-localement});
on se ramène à ce modèle simple où le principe de correspondance est
valide. Dans le calcul semi-classique, on calcule les corrections
à cette approximation sous la forme d'un développement en $\hbar$.

\subsubsection{Paquet d'onde gaussien et principe d'incertitude}

Les équations \eqref{eq:expression_psi_t_translation} et \eqref{eq:deplacement_xi}
montrent dans un modèle simple que les ondes se déplacent comme une
particule. Cependant une particule classique est localisée en espace
$x$ et en vitesse (c'est-à-dire que sa vitesse a une valeur précise) alors que
l'onde $\psi_{t}(x)$ décrite ci-dessus est arbitraire
et peut être \og très délocalisée\fg. Un paquet d'onde gaussien
est une forme d'onde la plus localisée possible en $x$ et en $\xi$.
Soit $(x_{0},\xi_{0})\in\mathbb{R}^{2d}$ point de l'espace
des phases et $\sigma>0$. On considère le \emph{\index{paquet d'onde gaussien}paquet d'onde gaussien}\enlargethispage{1.5\baselineskip}%
\begin{equation}
\psi_{x_{0},\xi_{0}}(x):=ae^{i\xi_{0}\cdot x/\hbar}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}\left|x-x_{0}\right|^{2}}\label{eq:paquet_onde}
\end{equation}
avec $a:=\sfrac{1}{(2\pi)^{d/2}(\pi\sigma^{2})^{d/4}}$
de sorte que $\left\Vert \psi_{x_{0},\xi_{0}}\right\Vert _{L^{2}}=1$.
On a $\left|\psi_{x_{0},\xi_{0}}\right|^{2}(x)\!:=\!a^{2}e^{-\frac{1}{\sigma^{2}}\left|x-x_{0}\right|^{2}}$
qui est une gaussienne de largeur $\Delta x=\nobreak\sigma$ et centrée en
$x_{0}$. Sa transformée de Fourier est%
\footnote{Pour le calcul on utilise l'intégrale gaussienne $\int_{\mathbb{R}^{d}}e^{-\left|y\right|^{2}}dy=\pi^{d/2}$.}%
\begin{align*}
(\mathcal{F}_{\hbar}\varphi_{x_{0},\xi_{0}})(\xi)&=a\hbar^{-d/2}e^{-ix_{0}\cdot\xi/\hbar}e^{-\sfrac{\left|\xi-\xi_{0}\right|^{2}}{(\sqrt{2}/\sigma)^{2}}}\\[-3pt]
&=a\sigma^{d}\frac{1}{\hbar^{d/2}}e^{-ix_{0}\cdot(\xi-\xi_{0})/\hbar}e^{-\sfrac{\left|\xi-\xi_{0}\right|^{2}}{2(\sfrac{\hbar}{\sigma})^{2}}},
\end{align*}
donnant $\left|\mathcal{F}_{\hbar}\varphi_{x_{0},\xi_{0}}\right|^{2}(\xi)=a^{2}\sigma^{2d}\hbar^{-d}e^{-\sfrac{\left|\xi-\xi_{0}\right|^{2}}{(\hbar/\sigma)^{2}}}$
qui est une gaussienne de largeur $\Delta\xi=\hbar/\sigma$ et centrée
en $\xi_{0}$. On observe que le produit des largeurs est%
\footnote{Il est plus naturel d'écrire $\Delta x\cdot\Delta(\xi/\hbar)=1$
puisque $\omega=\xi/\hbar$ est la fréquence spatiale.%
}
\begin{equation}
\Delta x\cdot\Delta\xi=\hbar\label{eq:pcp_incertitude}
\end{equation}
indépendant de $\sigma$.

Interprétation physique: ainsi diminuer $\Delta x$ augmente $\Delta\xi$
et réci\-proquement. Rappelons que dans le cas d'une particule libre
\eqref{eq:particule_libre} on a $\xi=mv=m\frac{dx}{dt}$ qui est
la vitesse. L'équation \eqref{eq:pcp_incertitude} donne $\Delta x\cdot\Delta v=\hbar/m$
qui s'appelle le \emph{\index{principe d'incertitude}principe d'incertitude}.
Par exemple pour un électron, $m=9\cdot10^{-31}\mathrm{kg}$ donc $\hbar/m=10^{2}\mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}$
est assez important et les effets ondulatoires sont perceptibles à
l'échelle humaine sauf que la \emph{décohérence} perturbe cela
(pour la Lune $m=7\cdot10^{22}\mathrm{kg}$ donnant $\hbar/m=10^{-56} \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$,
qui est imperceptible). Voir aussi remar\-que \ref{sub:Principe-d'incertitude-et}.

Interprétation mathématique: le principe d'incertitude montre que
dans l'espace des phases, $\Delta x\cdot\Delta\xi=\hbar$ est comme une
surface élémentaire appelée \emph{\index{quantum d'action}quantum
d'action}. On peut considérer les variables $(x,\xi)$
de l'espace des phases comme \emph{indépendantes} sur des échelles
de surface $S\gg\hbar$. C'est cette idée qui est formulée et exploitée
rigou\-reusement dans les théorèmes de l'analyse semi-classique comme
les théorèmes de composition et commutateur d'observables \eqref{eq:composition_OPD}
et~\eqref{eq:commutateur}.

\subsubsection{Quantification de Weyl, voir le texte de Clotilde Fermanian Kammerer (ce volume)}
Pour
une fonction $a(x,\xi)\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2d})$ quelconque, que l'on appelle \emph{\index{symbole}symbole}\footnote{$\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2d})\subset C^{\infty}(\mathbb{R}^{2d})$
désigne l'\emph{espace de Schwartz\index{espace de Schwartz}}
formé par les fonctions lisses qui décroissent très vite (et de même
pour leurs dérivées). Il n'a pas une grande importance pour
la compréhension de cet exposé.}, sur l'espace des phases, on associe un opérateur $\mathrm{Op}_{\hbar}(a):\mathcal{S}(\mathbb{R}^{d})\to\mathcal{S}(\mathbb{R}^{d})$
appelé \emph{opérateur pseudo-différentiel\index{operateur pseudo-differentiel@opérateur pseudo-différentiel}}%
\footnote{En physique les opérateurs $\mathrm{Op}_{\hbar}(a)$ sont
appelés \emph{observables}. Par exem\-ple, la~position
$\mathrm{Op}_{\hbar}(x)$, l'impulsion $\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi)$,
l'énergie $\mathrm{Op}_{\hbar}(H(x,\xi))$ sont des obser\-vables.} obtenu par la \emph{règle de quantification de Weyl} suivante \cite[lemme 4.10]{zworski_book_2012} \cite{taylor_tome2}:
\begin{equation}
\mathrm{Op}_{\hbar}(a):=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^{2d}}\int(\mathcal{F}a)(\omega_{x},\omega_{\xi})e^{i(\omega_{x}x+\omega_{\xi}\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi))}d\omega_{x}d\omega_{\xi},\label{eq:def_Op_a}
\end{equation}
où $\mathcal{F}a$ est la transformée de Fourier de $a$:\begin{equation}\label{eq:TF}
(\mathcal{F}a)(\omega_{x},\omega_{\xi})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^{2d}}\int a(z,\xi)e^{-i(\omega_{x}z+\omega_{\xi}\xi)}dzd\xi,
\end{equation}
de sorte que, par transformation de Fourier inverse,
\[
a(x,\xi)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^{2d}}\int(\mathcal{F}a)(\omega_{x},\omega_{\xi})e^{i(\omega_{x}x+\omega_{\xi}\xi)}d\omega_{x}d\omega_{\xi},
\]
et où \eqref{eq:def_Op_a} fait apparaître des opérateurs que l'on
a vus dans \eqref{eq:expression_psi_t_translation}:
\begin{align}
(e^{i(\omega_{x}x+\omega_{\xi}\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi))}\psi)(x) & =e^{i\omega_{x}x+\frac{1}{2}\hbar\omega_{\xi}\omega_{x}}\psi(x+\hbar\omega_{\xi}).\label{eq:expression_Heisenberg_Weyl}
\end{align}
On peut en déduire une expression équivalente et plus habituelle pour
la quantification de Weyl%
\footnote{On utilise la transformée de Fourier \eqref{eq:TF},
on fait le changement de variable $\omega_{\xi}\mto y=x+\hbar\omega_{\xi}$
et $\int_{\mathbb{R}^{d}}d\omega_{x}e^{i\omega_{x}(\frac{1}{2}(x+y)-z)}=(2\pi)^{d}\delta(\frac{1}{2}(x+y)-z)$,
\begin{align*}
(\mathrm{Op}&_{\hbar}(a)\psi)(x) \\[-5pt]
& \underset{\eqref{eq:def_Op_a}}{=}\frac{1}{(2\pi)^{2d}}\int\Big(\int a(z,\xi)e^{-i(\omega_{x}z+\omega_{\xi}\xi)}dzd\xi\Big)(e^{i(\omega_{x}x+\omega_{\xi}\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi))}\psi)(x)d\omega_{x}d\omega_{\xi}\\
& \underset{\eqref{eq:expression_Heisenberg_Weyl}}{=}\frac{1}{(2\pi)^{2d}}\int\Big(\int a(z,\xi)e^{-i(\omega_{x}z+\omega_{\xi}\xi)}dzd\xi\Big)e^{i\omega_{x}x+\frac{1}{2}\hbar\omega_{\xi}\omega_{x}}\psi(x+\hbar\omega_{\xi})d\omega_{x}d\omega_{\xi}\\
& =\frac{\hbar^{-d}}{(2\pi)^{d}}\int\Big(\int a(\frac{1}{2}(x+y),\xi)e^{-i((y-x)\xi/\hbar)}d\xi\Big)\psi(y)dy
\end{align*}
%
}
\[
(\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\psi)(x)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{d}}\int a\Big(\frac{x+y}{2},\xi\Big)e^{i\xi\cdot(x-y)/\hbar}\psi(y)dyd\xi.
\]

\begin{rem}
Vérifions que la règle de quantification \eqref{eq:def_Op_a} donne
bien \eqref{eq:Op(H)}: en effet pour une fonction $V(x)$
(fonction de $x$ seulement) on vérifie que $\mathrm{Op}_{\hbar}(V(x))\!=\!V(x)$,
opérateur multiplication par $V$ (on~a $(\mathcal{F}V)(\omega_{x},\omega_{\xi})=(\mathcal{F}V(\omega_{x}))\cdot\delta(\omega_{\xi})$, d'où
$\mathrm{Op}_{\hbar}(V(x))=V(x)$).
De même $\mathrm{Op}_{\hbar}(V(\xi))=V(\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi))$
donc $\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi^{2})=(\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi))^{2}=-\hbar^{2}\Delta$.
On déduit \eqref{eq:equ_shrodinger}. A partir de \eqref{eq:def_Op_a})
on vérifie aussi que $\mathrm{Op}_{\hbar}(\overline{a})=(\mathrm{Op}_{\hbar}(a))^{*}$
(adjoint).
\end{rem}
Voici trois propriétés générales de la procédure de quantification
qui seront utiles dans la suite.

\begin{propo}[\cite{zworski_book_2012}]\mbox{}
\begin{itemize}
\item \emph{Composition d'opérateurs et produit de symboles:}
Pour tout $a,b\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2d})$ on a pour
$\hbar\ll1$ (le reste est en norme opérateur)
\begin{equation}
\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\circ\mathrm{Op}_{\hbar}(a)=\mathrm{Op}_{\hbar}(a\cdot b)+O(\hbar).\label{eq:composition_OPD}
\end{equation}

\item \emph{Commutateurs d'opérateurs et crochets de Poisson de symboles~\eqref{eq:crochet_poisson}:}
\begin{equation}
\left[(-\frac{i}{\hbar})\mathrm{Op}_{\hbar}(a),(-\frac{i}{\hbar})\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\right]=(-\frac{i}{\hbar})\mathrm{Op}_{\hbar}(\left\{ a,b\right\} )\:(1+O(\hbar)).\label{eq:commut_OPD}
\end{equation}

\item \emph{Trace d'opérateurs:}
\begin{equation}
\Tr (\mathrm{Op}_{\hbar}(a))=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{d}}\int_{\mathbb{R}^{2d}}a(x,\xi)dx\,d\xi.\label{eq:Trace_OPD}
\end{equation}

\end{itemize}
\end{propo}

Comme exemple très simple mais important de \eqref{eq:commut_OPD},
on calcule que $x(-i\hbar\frac{d}{dx})\psi-(-i\hbar\frac{d}{dx})(x\psi)=i\hbar\psi$
et par ailleurs $\left\{ x,\xi\right\} =1$. Cela s'écrit: $\left[(-\frac{i}{\hbar})\mathrm{Op}_{\hbar}(x),(-\frac{i}{\hbar})\mathrm{Op}_{\hbar}(\xi)\right]=(-\frac{i}{\hbar})\mathrm{Op}_{\hbar}(\left\{ x,\xi\right\} )$.

\subsubsection{Théorème d'Egorov, voir le texte de Clotilde Fermanian Kammerer (ce volume)}
Nous
allons voir maintenant avec le \emph{théorème d'Egorov\index{theoreme d'Egorov@théorème d'Egorov}},
l'intérêt de la quantification de Weyl: à la \emph{limite
semi-classique\index{limite semi-classique}} $\hbar\to0$,
pour un hamiltonien $H(x,\xi)$ assez général et pour un
intervalle de temps $t$ borné, les ondes quantiques régies par l'équation
de Schrödinger se déplacent approximativement comme des particules
régies par les équations de Hamilton classiques. Cette approximation
est d'autant plus valable que $\hbar\ll1$, c'est-à-dire que $\omega_{x}=\xi/\hbar\gg1$. En physique, la petite valeur
de $\hbar$ à l'échelle humaine explique qu'il ait fallu attendre
le \textsc{xx}\ieme siècle pour découvrir les effets subtils de la mécanique
quantique car se manifestant à l'échelle des atomes.

Afin de motiver le résultat d'Egorov qui va suivre, considérons en
mécanique classique une fonction $a(x,\xi)$ sur l'espace
des phases, considérée comme \emph{observable}. On note $\mathcal{M}_{a}:f(x,\xi)\mto a(x,\xi)f(x,\xi)$
l'opérateur de multiplication associé. Utilisant l'opérateur d'évolution
de Liouville \eqref{eq:op_Liouville} défini par $\mathcal{L}_{t}f=f\circ\phi_{-t}$,
on a la relation simple suivante%
\footnote{Pour $f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{2d})$,
\[
(\mathcal{L}_{t}\circ\mathcal{M}_{a}\circ\mathcal{L}_{-t}f)(x)=\mathcal{L}_{t}(a(x)f(\phi_{t}(x)))=a(\phi_{-t}(x))f(x)=(\mathcal{M}_{a\circ\phi_{-t}}f)(x).
\]
%
}:
\begin{equation}
\mathcal{L}_{t}\circ\mathcal{M}_{a}\circ\mathcal{L}_{-t}=\mathcal{M}_{\mathcal{L}_{t}a}.\label{eq:egorov_classique}
\end{equation}

On comprend \eqref{eq:egorov_classique} comme une \emph{équation d'évolution classique des observables}. Rappelons que l'équation d'évolution infinitésimale corres\-pon\-dante \eqref{eq:df/dt} est $\sfrac{d(\mathcal{L}_{t}a)}{dt}=\{ H,a\}$.

Le théorème d'Egorov suivant montre qu'en mécanique quantique (analyse
semi-classique) on a une relation analogue mais approximative (avec
une erreur $O(\hbar)$ avec $\hbar\ll1$). L'opérateur
d'évolution classique $\mathcal{L}_{t}$ est remplacé par l'opérateur
unitaire $U(t)$ défini par \eqref{eq:def_U(t)}, et l'opérateur
$\mathcal{M}_{a}$ est remplacé par $\mathrm{Op}_{\hbar}(a)$.
Plus important à remarquer, l'espace fonctionnel classique $L^{2}(\mathbb{R}_{x,\xi}^{2n})$
classique est remplacé par l'espace quantique $L^{2}(\mathbb{R}_{x}^{n})$.

\begin{thm}[d'Egorov,
{\cite[Th.\,11.1]{zworski_book_2012}}]
Pour tout $a\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2d})$,
tout $t\in\mathbb{R}$, on a la relation
\begin{equation}
U(t)\circ\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\circ U(-t)=\mathrm{Op}_{\hbar}(a_{t})\label{eq:egorov}
\end{equation}
avec $a_{t}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2d})$ sous la forme
\begin{equation}
a_{t}=\mathcal{L}_{t}a+O_{t}(\hbar).\label{eq:a_t}
\end{equation}
Au niveau infinitésimal cette relation s'écrit:
\begin{equation}
i\hbar\,\frac{d\mathrm{Op}_{\hbar}(a_{t})}{dt}=\left[\mathrm{Op}_{\hbar}(H),\mathrm{Op}_{\hbar}(a_{t})\right]=i\hbar\mathrm{Op}_{\hbar}(\left\{ H,a_{t}\right\} )+O(\hbar^{2}).\label{eq:commutateur}
\end{equation}
\end{thm}

\begin{rem}
On comprend \eqref{eq:egorov} comme une \emph{équation d'évolution
quantique des observables}. La notation $O_{t}(\hbar)$
dans \eqref{eq:a_t} signifie que les constantes peuvent dépendre
de $t$. Ici ce reste est donc négligeable à $t$ fixé et $\hbar\to0$.
On peut améliorer cela et avoir un reste négligeable pour $\left|t\right|\leq\varepsilon\log(1/\hbar)$
et $\hbar\to0$ à condition que $\varepsilon$ soit assez
petit. On appelle cette limite $t_{\max}=\varepsilon\log(1/\hbar)$
le \emph{temps d'Ehrenfest\index{temps d'Ehrenfest}}. On verra
qu'il joue un rôle important en chaos quantique.
\end{rem}

\begin{proof}[Idée de preuve du théorème d'Egorov]
La relation \eqref{eq:commutateur} se déduit de~\eqref{eq:commut_OPD}.
Ensuite \eqref{eq:egorov} se déduit par intégration. En effet se
rappelant $U(t)=\exp(-it\mathrm{Op}_{\hbar}(H)/\hbar)$
en \eqref{eq:def_U(t)} et $d(\mathcal{L}_{t}a)/dt=\left\{ H,a\right\} $
en \eqref{eq:df/dt} on obtient en dérivant \eqref{eq:egorov}) et
faisant $t=0$ que:
\begin{multline*}
\Big(-\frac{i}{\hbar}\mathrm{Op}_{\hbar}(H) \Big)\mathrm{Op}_{\hbar}(a)+\mathrm{Op}_{\hbar}(a) \Big(\frac{i}{\hbar}\mathrm{Op}_{\hbar}(H) \Big) =\mathrm{Op}_{\hbar}(\left\{ H,a\right\} +O(\hbar))\\
\Longleftrightarrow\left[\mathrm{Op}_{\hbar}(H),\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\right]=  i\hbar\mathrm{Op}_{\hbar}(\left\{ H,a\right\} )+O(\hbar^{2}).\qedhere
\end{multline*}
\end{proof}

\section{\label{sec:Chaos-en-mecanique}Chaos en mécanique classique}

Dans cette partie on revient à la mécanique classique de Hamilton
pour s'intéresser à un type de dynamique que l'on appelle \emph{fortement
chaotique} car ayant une forte \emph{sensibilité aux conditions
initiales}. Le~terme technique sera \emph{Anosov} ou \emph{uniformément hyperbolique}.

La découverte de telles dynamiques chaotiques a commencé au \textsc{xix}\ieme
siècle avec Hadamard et Poincaré, puis leur étude a progressé au \textsc{xx}\ieme
siècle avec Birkhoff, Anosov, Smale, Bowen, Ruelle etc. et fait toujours
l'objet de recherches en physique et en mathématiques.

Commençons par l'exemple simple à expliquer (mais un peu difficile
à étudier) que sont les billards dispersifs. Nous verrons ensuite
qu'en régularisant les rebonds sur les bords on obtient un modèle
mieux compris qui est le flot géodésique sur une variété à courbure
négative. Pour mettre en évidence les techniques qui permettent de démontrer
les propriétés de chaos, nous étudierons finalement l'\emph{application
du chat d'Arnold} ou \emph{cat map}, qui est un modèle jouet
particulier mais où les propriétés de chaos sont vraiment plus simples
à démontrer. L'étude des systèmes dynamiques est plus générale que
celle des dyna\-mi\-ques hamiltonienne (c'est-à-dire de la forme particulière \eqref{eq:Hamilton}). On peut ainsi parler de dynamique chaotique pour des flots engendrés par des champs de vecteurs quelconques, pour des automates cellulaires etc.

\Subsection{Billard dispersif de Sinaï et instabilité d'Anosov}\label{subsec:billard}

Le billard de Sinaï est un carré avec conditions périodiques au bord
(c'est donc un tore $\mathbb{T}^{2}$) et contenant des disques. Une
bille évolue en ligne droite à vitesse constante et rebondit parfaitement
sur le bord des disques. Voir figure \ref{fig:Billard-dispersif.-1}.
Elle a donc un comportement déterministe. Mais on observe que le comportement
est imprévisible, \emph{chaotique}. Pourquoi?

\begin{figure}[tbph]
\begin{center}
\input{xups14-01_figures/billard__10.pdftex_t}
\vspace*{.5mm}
\caption{\label{fig:Billard-dispersif.-1}(a) Premiers rebonds d'une trajectoire
dans le billard de Sinaï. (b) Une trajectoire avec de nombreux rebonds.
(c) Cette même trajectoire représentée sur $\mathbb{R}^{2}$ qui est
le recouvrement de $\mathbb{T}^{2}$ (c'est-à-dire conditions de périodicité
enlevées).}
\end{center}
\end{figure}

L'explication heuristique est que les bords du billard sont convexes,
ce qui implique une \emph{dispersion des trajectoires} après
chaque rebond (on caractérisera cela par la sensibilité aux conditions
initiales d'Anosov). Voir figure \ref{fig:Billard-dispersif.}(a).

\begin{figure}[tbph]
\centering{}\input{xups14-01_figures/billard_disp.pdftex_t}\quad\scalebox{0.5}[0.5]{\input{xups14-01_figures/billard_t200.pdftex_t}}\protect\caption{\label{fig:Billard-dispersif.}(a) Billard dispersif. (b) Nuage de
billes indé\-pendantes avec une incertitude initiale en position de
$\Delta y=10^{-4}$. Dans cet exemple, les différentes trajectoires
deviennent \emph{totalement décorrélées} après le 6\ieme rebond.}
\end{figure}

Après quelques rebonds seulement, deux trajectoires initialement
très proches peuvent avoir des évolutions très différentes (décorrélées).
Sur la figure \ref{fig:Billard-dispersif.}(b), on observe une bille
(ou nuage de billes indépendantes) avec une incertitude initiale en
position de $\Delta y=10^{-4}$. Cette incertitude croît exponentiellement
et le comportement peut différer notablement après un temps très court
(ici 6 rebonds).

La dynamique déterministe engendre donc du hasard. Cela est à l'origine
du \emph{chaos déterministe} et de la complexité dans les systèmes
dynamiques, et plus généralement de la complexité en physique et dans
la nature. Voir \cite{ruelle_book_hasard_91} \cite{ruelle_book} et les vidéos de É.\,Ghys et al. sur le chaos \cite{ghys_chaos}.

\subsubsection*{Question (très actuelle)} 

Est-il possible de faire des prédictions sur l'évolution malgré ce
hasard ? de comprendre les lois de ce hasard?

\subsubsection{Approche probabiliste}

Pour répondre à la question ci-dessus, il est nécessaire d'adopter
une approche probabiliste. Voici l'idée.\enlargethispage{\baselineskip}%
\begin{figure}[tbph]
\begin{centering}
\resizebox{1\textwidth}{!}{\includegraphics{billard_cloud.pdf}%
}
\par\end{centering}
\par\noindent
\mbox{}\hspace*{.9cm}$\scriptstyle t=0$\hspace*{1.7cm}$\scriptstyle t=1.8$\hspace*{1.7cm}$\scriptstyle t=2.4$\hspace*{1.7cm}$\scriptstyle t=5$\hspace*{.95cm}$\begin{array}{c} \scriptstyle\text{diffusion}\\[-5pt] \scriptstyle\text{dans le réseau}\end{array}$\vspace*{-3mm}

\caption{\label{fig:Billard-dispersif-nuage}Évolution d'un ensemble très localisé
de conditions initiales ($\Delta y=10^{-4}$). La distribution s'équidistribue
sur le billard. Dans le réseau, elle diffuse (le rayon croît comme
$r(t)\simeq C\cdot\sqrt{t}$).} 
\end{figure}

Sur la figure \ref{fig:Billard-dispersif-nuage}
observons $N=10^{4}$ billes indépendantes avec des conditions initiales
très proches $\Delta y=10^{-4}$. La distribution des billes peut
s'interpréter comme une distribution de probabilité d'une bille initiale.
Cette distribution converge vers l'équilibre et diffuse sur le réseau
(le billard périodisé sur le plan). Pour cette distribution, on observe
un comportement \emph{prédictible} mais \emph{irréversible}. Il
y a donc une \emph{évolution effective\index{evolution effective@
évolution effective} prédictible}\footnote{Le travail va donc porter à trouver les lois d'évolution pour cette
distribution de probabilité. C'est un sujet actuel de recherche.} pour la distribution de probabilité. On introduit la notion d'\emph{entropie\index{entropie}} pour caractériser cette perte d'information sur la position de la particule au cours du temps.

\enlargethispage{-\baselineskip}%
\pagebreak[2]
\begin{rem}\label{rem:}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Plus généralement, un \emph{billard dispersif} est un ensemble d'obstacles
lisses et convexes sur $\mathbb{T}^{d}$ placés de sorte que les trajectoires
ont uniformément un horizon fini.
\item La dynamique en ligne droite dans un billard dispersif peut être considérée comme la dynamique des trajectoires géodésiques sur une surface à courbure négative (cela signifie que les courbures principales sont opposées). Voir la figure \ref{fig:Le-flot-BD}.
\begin{figure}[tbph]
\begin{centering}
\input{xups14-01_figures/surface_courbure.pdftex_t}
\par\end{centering}

\protect\caption{\label{fig:Le-flot-BD}Le flot dans un billard dispersif est un cas
limite de flot sur une surface à courbure négative concentrée sur
la ligne de rebond.}
\end{figure}

\item En 1898, Hadamard a initié la théorie du chaos avec l'étude des géodésiques
sur les surfaces à courbure négative constante (surfaces hyperboliques).
\end{enumerate}
\end{rem}

\Subsubsection{Espace des phases et couche d'énergie}

\subsubsection*{Cas du flot géodésique sur une surface lisse}

Nous avons vu dans l'exemple \ref{exa:Particule-libre} que le flot
géodésique sur une surface $\mathcal{S}$ est un flot hamiltonien.
L'espace des phases est $(x,\xi)\in T^{*}\mathcal{S}$,
c'est-à-dire qu'en chaque point $x\in\mathcal{S}$ il faut aussi considérer
la variable impulsion $\xi\in T_{x}^{*}\mathcal{S}\equiv\mathbb{R}^{2}$.
On a $\dim T^{*}\mathcal{S}=4$. L'énergie $H(x,\xi)=\frac{1}{2}\left\Vert \xi\right\Vert _{x}^{2}$
est conservée. Par conséquent la particule évolue dans une sous-variété
(selon son énergie de départ $E>0$) qui est définie par
\[
\varSigma_{E}:=\left\{ (x,\xi)\in T^{*}\mathcal{S}\bigm| E=\frac{1}{2}\left\Vert \xi\right\Vert _{x}^{2}\right\},
\]
appelée \emph{couche d'énergie\index{couche d'energie@couche d'énergie}}. La variété $\varSigma_{E}$
est compacte si $\mathcal{S}$ est compacte et on a $\dim\varSigma_{E}=3$.

\subsubsection*{Cas d'un billard dispersif}

Le domaine est aussi noté $\mathcal{S}$. L'énergie $E=H(x,\xi)=\frac{1}{2}\left|\xi\right|^{2}$
est indépendante de $x$. On déduit que $v=\sfrac{dx}{dt}=\sfrac{\partial H}{\partial\xi}=\xi$
et $E=\frac{1}{2}\left|v\right|^{2}$, en particulier la norme de
la vitesse est conservée. Un point de la couche d'énergie $\varSigma_{E}$
est donc caractérisé par $x\in\mathcal{S}$ et la direction de la
vitesse $v$. La difficulté cepen\-dant dans un billard dispersif est
que la variété $\Sigma_{E}$ et le flot $\phi_{t}$ sur $\Sigma_{E}$
ne sont pas $C^{\infty}$ partout. Sur une sous-variété de $\Sigma_{E}$
correspondant aux \emph{rebonds rasants} ils sont seulement continus
et cela rend leur étude \hbox{mathématique} plus difficile \cite{chernov_book_chaotic_billards_06}.
(On observe en effet des singularités dans la figure \ref{fig:Billard-dispersif-nuage}
à $t=2.4$).

\subsubsection{Instabilité hyperbolique d'Anosov}

La définition suivante due à Anosov caractérise précisément la propriété
de \emph{sensibilité aux conditions initiales}. Cette définition
est très utile car elle montre une \emph{manifestation de chaos} appelée \emph{mélange} (voir
paragraphe \ref{sub:melange}) et d'autre part cette propriété
se vérifie dans certains modèles comme le flot géodésique sur une
variété compacte à courbure strictement négative ou les billards dispersifs
(à ceci près que le flot du billard n'est pas~$C^\infty$).

Pour appliquer la définition suivante au cas du flot géodésique discuté
plus haut, penser que $M=\Sigma_{E}$ est la couche d'énergie de dimension
3 et que $\boldsymbol{x}=(x,\xi)$.

\begin{defn}
Un flot $\phi_{t}$, $t\in\mathbb{R}$, engendré par un champ de vecteurs~$v$ sur une variété différentiable compacte $M$ est un \emph{flot
d'Anosov\index{Anosov}} si en tout point $\boldsymbol{x}\in M$, l'espace
tangent se décompose en
\begin{equation}
T_{\boldsymbol{x}}M=E_{0}(\boldsymbol{x})\oplus E_{u}(\boldsymbol{x})\oplus E_{s}(\boldsymbol{x})\label{eq:splitting}
\end{equation}
qui est une décomposition continue en $\boldsymbol{x}$ et invariante
par le flot, avec $E_{0}(\boldsymbol{x}):=\mathbb{R}v(\boldsymbol{x})$
(c'est-à-dire espace engendré par $v(\boldsymbol{x})$), et il existe
une métrique $\left\Vert\cbbullet\right\Vert $ sur $TM$, un coefficient
d'\emph{instabilité} $\lambda>1$, $C>0$, tels que
\begin{equation}\label{eq:instabilite}
\begin{split}
\forall w\in E_{u}(\boldsymbol{x}),\;\forall t\geq0,&\quad\left\Vert (D\phi_{t})w\right\Vert \geq C\lambda^{t}\left\Vert w\right\Vert,
\\
\forall w\in E_{s}(\boldsymbol{x}),\;\forall t\geq0,&\quad\left\Vert (D\phi_{t})w\right\Vert \leq C\lambda^{-t}\left\Vert w\right\Vert.
\end{split}
\end{equation}
\end{defn}

Autrement dit, $E_{0}$ est la direction du flot appelée \emph{direction
neutre\index{direction neutre}}, $E_{u}$ est la direction
vers des trajectoires voisines qui divergent dans le futur, appelée
\emph{direction instable}\index{direction instable}
et $E_{s}$ est la direction vers des trajectoires voisines qui convergent
dans le futur (donc divergent dans le passé), \emph{direction
stable}\index{direction stable}. Voir figure \ref{fig:flot_Anosov}.
Alors \eqref{eq:instabilite} signifie en gros qu'un petit écart
à une trajectoire de référence sera amplifié exponentiellement avec
le temps $t$ comme
\begin{equation}
\Delta\boldsymbol{x}(t)\simeq\lambda^{t}\Delta\boldsymbol{x}(0)=e^{t/\tau}\Delta\boldsymbol{x}(0)\label{eq:amplification_Delta_t}
\end{equation}
avec le temps caractéristique $\tau=1/\log\lambda>0$.

\begin{figure}[tbph]
\centering{}\input{xups14-01_figures/Anosov_flow_fig.pdftex_t}\protect\caption{\label{fig:flot_Anosov}Flot d'Anosov près d'une trajectoire quelconque.
Une distribution de points (nuage gris) est étirée dans la direction
transverse $E_{u}$, contractée dans la direction~$E_{s}$ et pas
déformée dans la direction neutre du flot~$E_{0}$.} 
\end{figure}

\begin{thm}[Anosov 1967]
\label{thm:(Anosov-1967)}
Le flot géodésique sur une
variété à courbure sectionnelle $<0$ est Anosov. (Précisément il s'agit
du flot sur la couche d'énergie $\Sigma_{E}$, $E>0$).
\end{thm}

\subsubsection{Mécanisme de l'instabilité d'Anosov pour un billard dispersif}

Il n'est pas évident à priori de relier l'image \ref{fig:Le-flot-BD}
(flot représenté en $x$) et l'image \ref{fig:flot_Anosov} (flot
représenté en $\boldsymbol{x}=(x,\xi)$). Nous allons expliquer
cette relation et donner une idée de la preuve (ou plutôt du mécanisme)
du théorème \ref{thm:(Anosov-1967)} en discutant le cas d'un billard
dispersif (bien que le flot de celui-ci ne soit pas lisse). Remarquons
que la dynamique dans un billard plan est une succession de propagations
en ligne droite et de réflexions sur des obstacles.
\begin{figure}[tbph]
\centering{}
\input{xups14-01_figures/droite.pdftex_t}\par\input{xups14-01_figures/rebond.pdftex_t}\qquad\input{xups14-01_figures/pentes.pdftex_t}\protect\caption{\label{fig:(a)-Section-de}(a) Section de Poincaré pour une propagation
et (b) pour un rebond sur une paroi de rayon $R$. Une trajectoire
voisine est repérée par la position $x$ transverse et l'angle~$i$.
(c) dynamique hyperbolique de $p'=\left[M_{R,\alpha,L}\right](p)$
sur les directions $p=i/x\in\mathbb{P}(\mathbb{R}^{2})$.}
\end{figure}
Concernant la
propagation, voir figure \ref{fig:(a)-Section-de}(a), on considère
une trajectoire de référence (c'est l'axe $z$) et on note $x$ l'axe
orthogonal, qui sert de \emph{section de Poincaré}: une trajectoire
voisine coupe cet axe à la position $x$ et avec un angle~$i$. Après
une longueur parcourue $L$ donnée, et au premier ordre en \hbox{$x,i\ll1$},
les nouvelles valeurs $(x',i')$ sont
\[\arraycolsep3.5pt
\begin{pmatrix}
x'\\
i'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & L\\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\
i
\end{pmatrix}+O((x,i)^{2}).
\]
On considère maintenant la réflexion avec un angle d'incidence $\alpha$
sur une paroi ayant un rayon de courbure $R$ au point de réflexion,
voir figure \ref{fig:(a)-Section-de}(b). Avec les même définitions
de $(x,i)$ que précédemment, au point de réflexion, au
premier ordre, on trouve que $\begin{smallpmatrix}
x'\\
i'
\end{smallpmatrix}=\begin{smallpmatrix}
1 & 0\\
A & 1
\end{smallpmatrix}\begin{smallpmatrix}
x\\
i
\end{smallpmatrix}$ avec $A:=\sfrac{2}{R\cos\alpha}$. Par composition des deux résultats,
pour une propagation de longueur $L$ suivie d'une réflexion (comme
sur la figure~\ref{fig:Billard-dispersif.}), on déduit que la matrice
de passage est le produit
\begin{equation}\arraycolsep3.5pt
M_{R,\alpha,L}:=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
A & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & L\\
0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & L\\
A & LA+1
\end{pmatrix}.\label{eq:M_R_a_L}
\end{equation}
Lors de l'évolution on a un produit de telles matrices mais avec des
paramètres $R,\alpha,L$ qui changent: on a des intervalles de variations
possibles $L_{\min}\leq L\leq L_{\max}$, $R_{\min}\leq R\leq R_{\max}$,
$\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ donc $A_{\min}=\sfrac{2}{R_{\max}}\leq A\leq A_{\max}=\infty$.
On a
\[
\det M_{R,\alpha,L}=1,\quad \Tr M_{R,\alpha,L}=2+LA\geq2+L_{\min}A_{\min}>2.
\]
\Changel%
Par conséquent\footnote{Si $M=\begin{smallpmatrix}
a & b\\
c & d
\end{smallpmatrix}$ est une matrice avec $T=\Tr (M)>2$ et $\det(M)=1$
alors ses valeurs propres sont $\lambda_{\pm}=\frac{1}{2}(T+\sqrt{T^{2}-4})$
vérifiant $0<\lambda_{-}=\lambda_{+}^{-1}<1<\lambda_{+}$.%
}, $M_{R,\alpha,L}$ a deux valeurs propres réelles $l,l^{-1}$ avec
$l>1$ appelé \emph{coefficient d'instabilité de Lyapounov\index{coefficient d'instabilité de Lyapounov}}.
On dit que $M_{R,\alpha,L}$ est une \emph{\index{matrice hyperbolique}matrice
hyperbolique}.

\Changelback

Pour un vecteur $\begin{smallpmatrix}
x\\
i
\end{smallpmatrix}\in\mathbb{R}^{2}$, notons sa pente $p=\sfrac{i}{x}\in\overline{\mathbb{R}}\equiv\mathbb{P}(\mathbb{R}^{2})$
qui représente sa direction et notons $p'=\left[M_{R,\alpha,L}\right](p)=\frac{A+(LA+1)p}{1+Lp}$
l'action de $M_{R,\alpha,L}$ sur les directions. L'observation
importante est que l'intervalle $p\in\left[0,+\infty\right]$
est envoyé sur l'intervalle $p'\in\left[A_{\min},+\infty\right]$
et
\[
\frac{d\left[M_{R,\alpha,L}\right](p)}{dp}=\frac{1}{(1+Lp)^{2}}<1,
\]
autrement dit cet intervalle est strictement contracté, voir figure
\ref{fig:(a)-Section-de}(c).

Considérons maintenant une suite de points $\boldsymbol{x}_{k}=(x_{k},y_{k},\theta_{k})\in M$, $k\in\mathbb{Z}$,
sur une même trajectoire, telle que $\boldsymbol{x}_{k+1}=\phi_{t_{k}}(\boldsymbol{x}_{k})$
soit une propagation suivit d'une réflexion comme précédemment. Alors
la direction instable $E_{u}(\boldsymbol{x}_{0})\subset T_{\boldsymbol{x}_{0}}M$
au point $\boldsymbol{x}_{0}$ est donnée par l'opération suivante. Tout
d'abord $E_{u}(\boldsymbol{x}_{0})$ est orthogonale à la direction
de propagation $E_{0}(\boldsymbol{x}_{0})$, et en confondant
$E_{u}(\boldsymbol{x}_{0})$ avec la pente $p$ dans le plan
$(x,i)$ précédent, en utilisant la trajectoire dans le
passé, on a
\begin{multline}
E_{u}(\boldsymbol{x}_{0})\\
=\lim_{N\to+\infty}(M_{R,\alpha,L})(\boldsymbol{x}_{-1})\cdot(M_{R,\alpha,L})(\boldsymbol{x}_{-2})\cdots(M_{R,\alpha,L})(\boldsymbol{x}_{-N})p_{0},\label{eq:E_u}
\end{multline}
où $p_{0}\in(0,+\infty)$ est une direction initiale quelconque.
Du fait de la contraction stricte, la convergence est exponentielle.
De même, en~utilisant les points $\boldsymbol{x}_{k}$ futurs on obtient\vspace*{-3pt}
\begin{equation}\label{eq:E_s}
E_{s}(\boldsymbol{x}_{0})\!
=\!\lim_{N\to+\infty}\!(M_{R,\alpha,L}^{-1})(\boldsymbol{x}_{1})\!\cdot\!(M_{R,\alpha,L}^{-1})(\boldsymbol{x}_{2})\cdots(M_{R,\alpha,L}^{-1})(\boldsymbol{x}_{N})p_{0}
\end{equation}
partant d'une direction initiale $p_{0}\in(-\infty,0)$
quelconque. De plus on a l'estimation\vspace*{-3pt}
\[
\lambda^{L}\geq\frac{1}{2}L_{\min}\geq1+\frac{1}{2}L_{\min}A_{\min},
\]
soit $\lambda\geq(1+\frac{1}{2}L_{\min}A_{\min})^{1/L_{\max}}>1$.

On a ainsi identifié les directions stables et instables $E_{s},E_{s}$
qui entrent dans la décomposition \eqref{eq:splitting}.

\begin{rem}\mbox{}
\begin{itemize}
\item On aperçoit la difficulté dans le cas du billard dispersif qui est
que pour $\alpha=\pi/2$ (rebond rasant), on a $A=A_{\max}=\infty$.
\item Dans le cas du flot géodésique sur une variété lisse à courbure négative,
il n'y a pas cette singularité ($A_{\max}<\infty$) et des
expressions \eqref{eq:E_u} et \eqref{eq:E_s} on peut déduire que
$\boldsymbol{x}_{0}\to E_{u,s}(\boldsymbol{x}_{0})$ sont
des fonctions Hölder continues (mais $C^{2}$ en aucun point),
tout comme la fonction de Weierstrass \cite[chap.\,11]{falconer_03_book}.
\end{itemize}
\end{rem}

\subsubsection{Principe d'incertitude quantique et instabilités\label{sub:Principe-d'incertitude-et}}

Reprenons la discussion qualitative (et physique) liée au principe
d'incertitude \eqref{eq:pcp_incertitude}. Considérons un \emph{objet
quantique} dans un billard dispersif (par exemple une boule de loto
qui rebondit dans la machine). Si~$m\simeq10\mathrm{g}.$ alors $\Delta x\cdot\Delta v=\hbar/m\simeq10^{-36}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$
est très petit. Un compromis pour minimiser chaque terme du produit
est $\Delta x\simeq10^{-18}\mathrm{m}$ et $\Delta v\simeq10^{-18}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Pour
simplifier la discussion, supposons une amplification exponentielle
des incertitudes avec le temps, comme \eqref{eq:amplification_Delta_t},
par le facteur $\Delta x(t)\simeq10^{t/\tau}\Delta x(0)$
avec un temps caractéristique $\tau\sim1\mathrm{s}$. Alors la taille
de l'incertitude quantique devient $\Delta x(t)\simeq1\mathrm{m}$
après $t\simeq1\mathrm{s}$ seulement! Cela montre que pour les phénomènes
chaotiques, le \emph{\hbox{hasard} quantique} bien que d'origine microscopique,
a une influence à notre échelle macroscopique\footnote{Cependant l'onde quantique n'apparaît pas à notre échelle, car la décohérence (processus de mesure avec l'environnement) intervient bien avant.}.

\subsection{\label{sub:melange}Un flot géodésique Anosov est mélangeant (et ergodique)}

On a vu l'instabilité des trajectoires qui s'exprime par des matrices
hyperboliques comme \eqref{eq:M_R_a_L}. Il faut aussi noter que la
couche d'énergie~$\Sigma_{E}$ est compacte. La dynamique a donc pour
effet d'\og étirer\fg et \og replier\fg les données initiales.
Cette succession de processus est le plus efficace pour mélanger les
données initiales comme le ferait un boulanger pour mélanger le beurre
dans une pâte feuilletée. Avec ce mélange, tout ensemble de données
initiales (suffisamment lisse) va s'équidistribuer et converger (au
sens des distributions) vers une mesure d'équilibre. C'est cette propriété
appelée \emph{mélange} qui exprime le mieux les propriétés chaotiques
de la dynamique comme le montre le théorème suivant et la figure \ref{fig:2.9}.

\begin{thm}[Anosov]
Un flot géodésique Anosov est \emph{mélangeant\index{melangeant@mélangeant}}:
$\forall u,v\in C^{\infty}(M)$, pour $t\to\infty$
on a
\begin{equation}
\left|\int_{M}v\cdot(u\circ\phi_{-t})dx-\int_{M}vdx\cdot\int_{M}udx\right|\to0.\label{eq:6-3-1}
\end{equation}
Cela implique la propriété d'\emph{ergodicité\index{ergodicite@ergodicité}}:
$\forall u,v\in C^{\infty}(M)$,
\begin{equation}
\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\Big(\int_{M}v\cdot(u\circ\phi_{-t})dx\Big)dt=\int_{M}vdx\cdot\int_{M}udx.\label{eq:7-2}
\end{equation}
\end{thm}

La preuve du mélange est ancienne (Anosov 1967 \cite{anosov_67}).
\hbox{Sinaï} l'a montré pour les billards dispersifs. La preuve du mélange
à taux exponentiel est récente \cite{dolgopyat_98,liverani_contact_04,tsujii_08}.
En prenant la moyenne temporelle de la propriété de mélange \eqref{eq:6-3-1}
on déduit l'ergodicité \eqref{eq:7-2} (avec le théorème de Cesàro).

\begin{figure}[tbph]
\begin{centering}
\input{xups14-01_figures/mixing_for_flow.pdftex_t}
\par\end{centering}

\caption{\label{fig:2.9}Fonction de corrélation $$C_{v,u}(t)=\int_{M}v\cdot\nobreak(u\circ\phi_{-t})dx$$
et mélange: $C_{v,u}(t)\protect\underset{t\to+\infty}{\to}\int_{M}vdx\cdot\int_{M}udx$.}
\end{figure}

\begin{rem}\mbox{}
\begin{itemize}
\item Le terme
\[
C_{v,u}(t):=\int_{M}v\cdot(u\circ\phi_{-t})dx=\langle v|\mathcal{L}^{t}u\rangle _{L^{2}(M)}
\]
dans \eqref{eq:6-3-1} s'appelle \emph{fonction de corrélation}.
C'est simplement un \emph{élément de matrice} de l'opérateur
d'évolution $\mathcal{L}^{t}$ qui correspond à la fonction $u$ évoluée
par le flot: $\mathcal{L}^{t}u=u\circ\phi_{-t}$ et testée sur une
autre fonction (observable) $v$. (Dans certains ouvrages, on appelle
fonction de corrélation toute l'expression $\int_{M}v\cdot(u\circ\phi_{-t})dx-\int vdx\cdot\int udx$.)
\item La propriété de \emph{mélange} \eqref{eq:6-3-1} signifie \emph{perte d'information} car pour $t\to\infty$, $u\circ\phi_{-t}$
normalisé par $(\int udx)^{-1}$ converge (au sens des
distributions) vers la mesure $dx$. L'ergodicité signifie que \emph{la
moyenne temporelle} de $u$, \ie $\frac{1}{T}\int_{0}^{T}u\circ\phi_{-t}dt$
normalisée par $(\int udx)^{-1}$ converge (au sens des
distributions) vers la mesure $dx$. On dit que $dx$ est la \emph{\index{mesure d'equilibre@mesure d'équilibre}mesure
d'équilibre}.
\item Comparer la définition d'\emph{ergodique} \eqref{eq:7-2} à
\emph{uniquement ergo\-dique}~\eqref{eq:ergodicite_tore}:
dans \eqref{eq:ergodicite_tore} on peut fixer n'importe quelle
condition initiale~$x_{0}$ (cela revient à prendre une distribution
de Dirac $v=\delta_{x_{0}}$ dans \eqref{eq:7-2}). L'unique ergodicité
implique l'ergodicité.\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\[
\mbox{mélange }\Longrightarrow\mbox{ ergodique }\Longleftarrow\mbox{ uniquement ergodique}
\]

\item On a vu que la propriété de mélange n'est pas vraie pour les translations
irrationnelles sur le tore.
\item L'unique ergodicité n'est pas vraie pour les flots géodésiques Anosov,
car il y a des orbites périodiques.
\end{itemize}
\end{rem}

La propriété suivante est en fait une définition plus standard d'\emph{ergodique}.

\begin{propo}
\label{prop:ergodique}Le flot $\phi_{t}$ préservant la mesure $dx$
est \emph{ergodique\index{ergodique}} si et seulement si toute
fonction $L^{2}$ stationnaire est constante (c'est-à-dire $(u\in L^{2}(M)$ et $\forall t,\;u=\mathcal{L}^{t}u)\Rightarrow u=\mathrm{cste}$).
De façon équivalente si et seulement si tout ensemble mesurable $A\subset M$ tel
que $\mathcal{L}^{t}(A)=A$ (c'est-à-dire invariant) vérifie $\mathrm{Vol}(A)=0$
ou $\mathrm{Vol}(A)=\mathrm{Vol}(M)$.
\end{propo}

\begin{proof}
Considérons le sous-espace des fonctions $L^{2}$ stationnaires:
\[
\mathrm{Inv}:=\big\{ u\in L^{2}(M)\mid\forall t\in\mathbb{R},\,\mathcal{L}^{t}u=u\big\} \subset L^{2}(M).
\]
Von Neumann (1932) a montré que \cite[p.\,10]{coudene_book_2013}:
\[
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\mathcal{L}^{t}dt
\]
converge fortement et que la limite $P$ est le projecteur orthogonal
sur $\mathrm{Inv}$ (c'est aussi le projecteur spectral de $\mathcal{L}^{t}$
sur la valeur propre~$1$, pour tout $t\in\mathbb{R}$). Ainsi
\[
\mbox{Flot ergodique}\underset{\eqref{eq:7-2}}{\Longleftrightarrow}P=\left\langle\cbbullet,1\right\rangle \left\langle 1,\cbbullet\right\rangle \Longleftrightarrow\mathrm{Inv}=\left\{ u=\mathrm{cste}\right\}.\qedhere
\]
\end{proof}

\subsection{Modèle simple du \emph{cat map\index{cat map}} qui est mélangeant
(et ergodique)}

Le modèle simplifié suivant consiste à étudier la dynamique définie
par une unique matrice hyperbolique et agissant sur le tore (qui est
compact) afin d'avoir les processus \og étirement\fg et \og repliement\fg
évoqués plus haut. Considérons la matrice
\begin{equation}\arraycolsep3.5pt
M=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix},\label{eq:4-5-1}
\end{equation}
qui est \emph{hyperbolique} car ses valeurs propres sont de module
différent de 1:
\[
\lambda=\lambda_{u}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\simeq2.6>1,\quad\lambda_{s}=\lambda^{-1}<1.
\]
Les directions propres associées sont $E_{u},E_{s}$ introduites en
\eqref{eq:splitting}.

La matrice $M$ définit une dynamique sur $\mathbb{R}^{2}$ par $x\mto Mx$.
Elle définit%
\footnote{Du fait que la matrice $M$ est à coefficient entiers, l'application
$f$ est bien définie: car si $n\in\mathbb{Z}^{2}$, $x\in\mathbb{R}^{2}$
alors
\[
M(x+n)=Mx+\underbrace{Mn}_{\in\mathbb{Z}^{2}}=Mx\bmod\mathbb{Z}^{2}.
\]
De plus le fait que $\det(M)=1$ implique que
$f$ est inversible sur $\mathbb{T}^{2}$ et $f^{-1}(x)=M^{-1}x$
avec $M^{-1}\in SL_{2}(\mathbb{Z})$.} aussi une dynamique sur le tore $\mathbb{T}^{2}=(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^{2}$:
\begin{equation}
f:\bigg\{\begin{array}{cl}
\mathbb{T}^{2}:=\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2} &\dpl \to\mathbb{T}^{2}\\
x & \dpl\mto Mx\bmod\mathbb{Z}^{2}.
\end{array}\label{eq:4-1}
\end{equation}
Voir figure \ref{fig:(catmap}.

\begin{figure}[tbph]
\begin{centering}
\input{xups14-01_figures/anosov_cat_map.pdftex_t}
\par\end{centering}

\protect\caption{\label{fig:(catmap}(a)\,Trajectoire du point initial $(-0.3,0.6)$
sous l'application $f$ du \emph{cat map}, sur $\mathbb{R}^{2}$
(la trajectoire est sur une hyperbole). (b)\,Après la restriction modulo
$1$ sur $\mathbb{T}^{2}$, presque toute trajectoire semble imprévisible,
\emph{chaotique}. (c)\,Les pentes des directions stables $E_{s}$
et instables $E_{u}$ sont irrationnelles et ainsi ces droites
sont denses sur~$\mathbb{T}^{2}$.}
\end{figure}

Le théorème suivant montre que la dynamique du \emph{cat map}
\eqref{eq:4-1} est très chaotique:

\begin{thm}
\label{Thm:6-1}Le \emph{cat map} $f:\mathbb{T}^{2}\to\mathbb{T}^{2}$
est \emph{\index{melangeant a taux super-exponentiel@mélangeant à taux super-exponentiel}mélangeant
à taux super-exponentiel}: $\forall\alpha>0$, $\forall u,v\in C^{\infty}(M)$,
$\exists C>0$, pour $n\to+\infty$,
\begin{equation}
\left|\int_{\mathbb{T}^{2}}v\cdot(u\circ f^{-n})dx-\int vdx\int udx\right|\leq Ce^{-\alpha n}.\label{eq:6-3}
\end{equation}
\end{thm}

\Changel

\begin{proof}
Soit $\alpha>0$ et $k,l\in\mathbb{Z}^{2}$. Soit $\varphi_{k}(x):=\exp(i2\pi k\cdot x)$
un \emph{\index{mode de Fourier}mode de Fourier}. Alors
\begin{equation}
\begin{split}
\int_{\mathbb{T}^{2}}\overline{\varphi}_{l}\cdot(\varphi_{k}\circ& f^{-n})dx  =\int\exp\big(i2\pi(k\cdot M^{-n}x-l\cdot x)\big)dx\label{eq:6-8}\\
& =\int\exp\big(i2\pi({}^{t}\!M^{-n}k-l)\cdot x\big)dx=\delta_{{}^{t}\!M^{-n}k=l}.
\end{split}
\end{equation}
Si $k\neq0$ alors $\left|{}^{t}\!M^{-n}k\right|\to\infty$ lorsque
$n\to+\infty$ car $M$ est hyperbolique. Donc \eqref{eq:6-8}
devient nul pour $n$ assez grand. Finalement une fonction lisse $u\in C^{\infty}(\mathbb{T}^{2})$
a des coefficients de Fourier $(u_{k})_{k}$ qui décroissent
très vite: si $u=\sum_{k}u_{k}\varphi_{k}$ alors
\[
\forall N,\,\exists C_{N},\,\forall k,\quad
\left|u_{k}\right|\leq\frac{C_{N}}{(\left|k\right|+1)^{N}}.
\]
De même pour $v\in C^{\infty}(\mathbb{T}^{2})$. En utilisant
\eqref{eq:6-8} on a
\[
\int_{M}v\cdot(u\circ f^{-n})dx=\sum_{k}\overline{v_{l}}u_{k}\delta_{{}^{t}\!M^{-n}k=l}.
\]
Or $\left|{}^{t}\!M^{-n}k\right|\!\geq\! C\lambda^{n}$ croît exponentiellement
donc avec $l\!=\!{}{}^{t}\!M^{-n}k$ et~$k$ fixé on a 
\[
\left|v_{l}\right|\leq\frac{C_{N}}{(\left|l\right|+1)^{N}}\leq\frac{C_{N}'}{\lambda^{nN}}=C_{N}'e^{-n(N\log\lambda)}
\]
pour tout $N$. On déduit \eqref{eq:6-3}. Le terme constant $\int vdx\int udx=v_{0}u_{0}$
provient des composantes $k=l=0$ qui ne fuient pas à l'infini.
\end{proof}

\Changelback

\begin{figure}[tbph]
\centering{}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{liouv_1}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{liouv_2}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{liouv_3}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{liouv_4}\includegraphics[width=0.2\textwidth]{liouv_5}\protect\caption{\label{fig:distribution_classique_cat_map} \emph{Mélange, chaos}
dans le modèle du cat map classique: une distribution de points initialement
concentrée près du point fixe instable $(0,0)$ se disperse
selon la direction instable $E_{u}$ et converge vers la \emph{distribution
d'équilibre}.}
\end{figure}

\begin{rem}
La preuve ci-dessus (son idée) s'adapte bien au cas des flots Anosov
mais en utilisant une décomposition de Fourier locale sur la variété.
Pour cela on utilise l'analyse semi-classique \cite{fred-roy-sjostrand-07,fred_flow_09,tsujii_FBI_10}.
\end{rem}

\section{\label{sec:Chaos-quantique}Chaos quantique}

De façon un peu imprécise, un \emph{modèle de chaos quantique\index{chaos quantique}}
est une dynamique quantique définie par l'équation de Schrödinger
\eqref{eq:equ_shrodinger} avec un hamiltonien $H$ tel que le flot
classique $\phi_{t}$ (défini par les équation de mouvement de Hamilton
\eqref{eq:Hamilton}) est \emph{chaotique} sur la couche d'énergie~$\Sigma_{E}$ (au sens défini en Section \ref{sec:Chaos-en-mecanique},
c'est-à-dire flot ergodique ou même mélangeant).

Nous avons vu que le paradigme (c'est-à-dire modèle privilégié) de chaos classique
hamiltonien est le flot dans un billard dispersif ou le flot géodésique
sur une variété à courbure négative. Dans ces cas, nous avons vu que
le hamiltonien classique est seulement l'énergie cinétique $H(x,\xi)=\frac{1}{2}\left\Vert \xi\right\Vert _{x}^{2}$
. On a $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)=-\frac{1}{2}\hbar^{2}\Delta$
donc l'équation de Schrödinger s'écrit:
\[
-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\hbar^{2}\frac{1}{2}\Delta\psi,
\]
où $\hbar>0$ est un paramètre équivalent à la longueur d'onde, qui
nous servira à fixer l'échelle d'étude. Nous serrons intéressé par
la limite $\hbar\to0$.
\begin{rem}\mbox{}
\begin{itemize}
\item Dans le cas du flot géodésique sur une variété riemannienne $(\mathcal{M},g)$,
le laplacien est celui de Hodge: $\Delta:=-d^{*}d$ (où~$d$ est la
\emph{dérivée extérieure}) \cite[Sec.2.4]{taylor_tome1}. L'espace de Hilbert
est $L^{2}(\mathcal{M};\mathbb{C})$.
\item Dans le cas d'un billard la condition de réflexion sur le bord des
obstacles se traduit par exemple par la condition que $\psi(x)=0$
pour tout point $x$ sur le bord, appelée \emph{condition de Dirichlet}.
\end{itemize}

Un autre modèle aussi très étudié en chaos quantique est le modèle
du \emph{\index{quantum cat map}quantum cat map} c'est-à-dire la version quantique de \eqref{eq:4-1}. Voir \cite{debievre96} \cite{fred-steph-02}.
\end{rem}

Dans cette section, on soulève quelques questions que l'on se pose
en chaos quantique puis on mentionne certains résultats et \hbox{conjectures}
sur les modèles précédents avec des illustrations. Les preuves détaillées
sont données dans les textes de Clotilde Fermanian Kammerer (ce volume)
et Nalini Anantharaman (ce volume).

\subsection{\label{sub:Distribution-de-Husimi}Représentation d'un état quantique
sur l'espace des phases}

Pour discuter de la dynamique quantique d'un point de vue dyna\-mique
classique il faut une formulation dans l'espace des phases $(x,\xi)$.
Nous avons évoqué une façon de le faire qui est d'utiliser les opérateurs
pseudo-différentiels $\mathrm{Op}_{\hbar}(a)$, où $a(x,\xi)\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{2d})$
est un symbole. Alors la valeur moyenne $\left\langle \psi|\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\psi\right\rangle \in\mathbb{R}$
apporte une information sur l'état $\psi$ concernant l'observable
$a$.

Pour détecter la présence d'un état quantique $\psi$ au point $(x_{0},\xi_{0})\in\mathbb{R}^{2d}$
de l'espace des phases, \og le plus précis\fg est de considérer
le paquet d'onde gaussien $\psi_{x_{0},\xi_{0}}$ défini en \eqref{eq:paquet_onde}
et d'associer l'opérateur $\hat{a}_{x_{0},\xi_{0}}:=|\psi_{x_{0},\xi_{0}}\rangle\langle\psi_{x_{0},\xi_{0}}|$
qui est le projecteur orthogonal de rang 1 sur cet état. Alors
\begin{equation}
\mathrm{Hus}_{\psi}(x_{0},\xi_{0}):=\left\langle \psi|\hat{a}_{x_{0},\xi_{0}}\psi\right\rangle =\left|\left\langle \psi_{x_{0},\xi_{0}}|\psi\right\rangle \right|^{2}\label{eq:Husimi}
\end{equation}
est une distribution positive de probabilité%
\footnote{Il existe une formule de reconstruction d'un vecteur $\psi$ quelconque
comme superposition de paquets d'ondes $\psi_{x_{0},\xi_{0}}$:
\[
\psi=\int_{\mathbb{R}^{2d}}\left\langle \psi_{x_{0},\xi_{0}}|\psi\right\rangle \psi_{x_{0},\xi_{0}}\frac{dx_{0}d\xi_{0}}{(2\pi\hbar)^{d}}.
\]
Ainsi une valeur importante de $\mathrm{Hus}_{\psi}(x_{0},\xi_{0})=\left|\left\langle \psi_{x_{0},\xi_{0}}|\psi\right\rangle \right|^{2}$
signifie que l'état $\psi$ a une forte composante sur le paquet d'onde
$\psi_{x_{0},\xi_{0}}$.%
} sur l'espace des phases associée à l'état $\psi$ appelée \emph{\index{distribution de Husimi}distribution
de Husimi} de l'état $\psi$. Le problème mathématique est que l'opérateur
$\hat{a}_{x_{0},\xi_{0}}$ ainsi défini n'est pas un opérateur pseudo-différentiel
(c'est-à-dire que $\hat{a}_{x_{0},\xi_{0}}$ ne peut pas s'écrire sous la forme
$\mathrm{Op}_{\hbar}(a)$ avec un symbole $a$ acceptable
car ce serait une distribution de Dirac $a=\delta_{(x_{0},\xi_{0})}$
en $(x_{0},\xi_{0})$, trop singulière), par conséquent
les théorèmes d'Egorov etc.\ ne sont pas valables. Néanmoins la distribution
de Husimi renseigne précisément sur l'état $\psi$ et on l'utilisera
dans les illustrations. On retrouve la transformée de Husimi en théorie
du signal sous le nom \emph{\index{transformee par ondelettes@transformée par ondelettes}transformée
par ondelettes}. Cependant pour pouvoir énoncer les résultats
de l'analyse semi-classique dans la suite, on va considérer des valeurs
moyennes $\left\langle \psi_{j}|\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\psi_{j}\right\rangle $
où $a$ est un symbole acceptable, c'est-à-dire qui varie lentement à l'échelle
$\sqrt{\hbar}$ du paquet d'onde. Cela masquera justement les fluctuations
à l'échelle $\sqrt{\hbar}$ que l'on peut observer sur la figure \ref{fig:Scars-cat_map-1}.

\begin{figure}[tbph]
\centering{}\includegraphics[width=0.4\textwidth]{etat-stationnaire-N=98}\includegraphics[width=0.4\textwidth]{etat-stationnaire-N=414}\protect\caption{\label{fig:Scars-cat_map-1}Distribution de Husimi \eqref{eq:Husimi} d'états stationnaires du \emph{quantum cat map}. On observe qu'ils semblent s'équidistribuer (au sens des distributions) pour $\hbar=1/(2\pi N)\to0$. C'est cela qui est exprimé dans le \emph{théorème d'ergodicité quantique}.}
\end{figure}

\subsection{Deux questions mathématiques de base en chaos quantique}\label{sub:Deux-questions-mathematiques}
\begin{enumerate}
\item \emph{Question d'évolution.} Étant donné un état initial $\psi_{0}$,
décrire son évolution $\psi_{t}$ au temps $t$, solution de l'équation
de Schrödinger \eqref{eq:equ_shrodinger}. En particulier si $\psi_{0}$
est un paquet d'onde \emph{localisé} en $(x_{0},\xi_{0})$
est-ce que $\psi_{t}$ se délocalise et s'équidistribue comme le ferait
une distribution classique de probabilité d'après la propriété de
mélange \eqref{eq:6-3-1}? Voir figure \ref{fig:Scars-cat_map}(b).
\item \emph{Question sur les états stationnaires.} On considère l'équation
aux valeurs propres \eqref{eq:equ_valeur_propres}:
\begin{equation}
\mathrm{Op}_{\hbar}(H)\psi_{j}=E_{j}\psi_{j}.\label{eq:val_p}
\end{equation}
Décrire la répartition des valeurs propres%
\footnote{Dans les cas considérés ici on montre que $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$
a un spectre discret de valeurs propres $E_{j}\geq0$.%
} $E_{j}\in\mathbb{R}$. Est ce que les fonctions propres $\left|\psi_{j}\right|^{2}$
sont équidistribuées? On s'y attend en effet car on a vu après \eqref{eq:etat_staionnaire}
que ce sont des distributions stationnaires et, en mécanique classique,
une distribution $L^{2}$ stationnaire est forcément la mesure d'équilibre
d'après la propriété d'ergodicité \eqref{prop:ergodique}. Voir figure~\ref{fig:Scars-cat_map-1}.
\end{enumerate}

Ces deux questions sont en fait étroitement liées car on peut exprimer
l'évolution d'un état $\psi_{t}$ en le développant sur la base des
états propres de $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$.

\begin{rem}\mbox{}\par
Concernant les modèles de \emph{\index{dynamique integrable@dynamique intégrable}dynamique intégrable} \cite{arnold-mmmc} c'est-à-dire non chaotique et
même très réguliers, il existe des techniques qui répondent assez
bien à ces questions. Par exemple dans le cas du problème de Kepler \eqref{eq:V_Kepler} (c'est-à-dire atome d'hydrogène) ou de l'oscillateur
harmonique \eqref{eq:OH}, des techniques algébriques basées sur
la théorie des groupes permettent de trouver exactement les valeurs propres
$E_{j}$ et les états propres $\psi_{j}$ (cela est dû aux symétries
particulières du problème).
\end{rem}
Considérons maintenant certaines de ces questions en chaos quantique,
les réponses connues et les conjectures en cours.

\subsection{Équidistribution des ondes stationnaires. Ergodicité quantique}

L'ergodicité quantique concerne la question d'équidistribution des
fonctions propres $\psi_{j}$ mentionnée au paragraphe \ref{sub:Deux-questions-mathematiques}.
Pour caractériser cela, on a vu que si $a(x,\xi)$ est
une fonction sur l'espace des phases (un~symbole), on lui associe un
opérateur $\mathrm{Op}_{\hbar}(a)$ appelé observable qui
justement \og détecte\fg certaines propriétés des états quantiques
$\psi_{j}$ à travers les valeurs moyennes%
\footnote{Le plus simple est d'imaginer une observable $a(x,\xi)$
ayant son support dans un domaine $U$ de l'espace des phases. $\left\langle \psi_{j}|\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\psi_{j}\right\rangle $
va donc \og détecter\fg la présence de l'état quantique $\psi_{j}$
dans ce domaine $U$. Cet exemple amène à l'idée de représentation
d'un état quantique sur l'espace des phases, voir \S\ref{sub:Distribution-de-Husimi}.%
}:
\[
\left\langle \psi_{j}|\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\psi_{j}\right\rangle \in\mathbb{R}.
\]
Dire que \emph{$\psi_{j}$ est équidistribué} sur la couche d'énergie
$\Sigma_{E}$ signifie plus précisément que la valeur de $\left\langle \psi_{j}|\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\psi_{j}\right\rangle $
doit être proche de la moyenne spatiale de $a$ sur $\Sigma_{E}$
pour toute observable $a$. La moyenne spatiale étant définie par
\[
\frac{1}{\mathrm{Vol}(\Sigma_{E})}\int_{\Sigma_{E}}a(x,\xi)d\mu_{E},
\]
où $d\mu_{E}$ est la \emph{mesure de Liouville} sur $\Sigma_{E}$, définie
par
\begin{equation}
d\mu_{E}\,dE=dx\,d\xi\label{eq:def_Liouville}
\end{equation}
et $\mathrm{Vol}(\Sigma_{E}):=\int_{\Sigma_{E}}d\mu_{E}$.
Bien sûr, d'après la correspondance semi-classique on s'attend à un
tel résultat seulement à la limite $\hbar\to0$. Un tel
résultat n'est cependant pas connu (sauf dans des modèles très particuliers).
Ce qui s'en approche est le théorème suivant qui porte sur une moyenne
d'états stationnaires sur un petit intervalle d'énergie $\left[E;E+\hbar^{\alpha}\right]$
avec $0<\alpha<1$.

\begin{thm}[ergodicité quantique, \cite{schnirelman-74,colin-85,zelditch-87}]
\label{thm:Ergodicite-quantique}\index{ergodicite quantique@ergodicité quantique} Considérons une énergie $E$ fixée et supposons
que le flot hamiltonien de $H$ est ergodique sur la couche d'énergie
$\Sigma_{E}$. Pour toute observable $a(x,\xi)$, pour
tout $0<\alpha<1$, on a
\begin{equation}
\frac{1}{\mathcal{N}_{\hbar}}\hspace*{-4mm}\sum_{\substack{j\\E_{j}\in\left[E;E+\hbar^{\alpha}\right]}}\hspace*{-4mm}\bigg|\left\langle \psi_{j}|\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\psi_{j}\right\rangle -\frac{1}{\mathrm{Vol}(\Sigma_{E})}\int_{\Sigma_{E}}a(x,\xi)d\mu_{E}\bigg|^{2}\underset{\hbar\to0}{\to0}\label{eq:var_quantique}
\end{equation}
avec la constante de normalisation $\mathcal{N}_{\hbar}:=\#\left\{ j\mid E_{j}\in\left[E;E+\hbar^{\alpha}\right]\right\} $.
\end{thm}

\begin{rem}\mbox{}
\begin{itemize}
\item On peut interpréter le terme de gauche de \eqref{eq:var_quantique}
comme une \emph{variance quantique}. C'est une moyenne de $\mathcal{N}_{\hbar}$
termes positifs qui tend vers zéro pour $\hbar\to0$, par
conséquent la plupart des termes de la somme tendent vers $0$ et
on formule souvent le théorème d'ergodicité quantique (Q.E.) par \emph{la
plupart des états stationnaires sont équidistribués à la limite
semi-classique}.
\item En 1994 S.\,Rudnick et P.\,Sarnak ont conjecturé que pour une dynamique
mélangeante, \emph{tous} les états stationnaires sans exception sont
équidistribués à la limite semi-classique, c'est-à-dire que
\[
\left|\left\langle \psi_{j}|\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\psi_{j}\right\rangle -\frac{1}{\mathrm{Vol}(\Sigma_{E})}\int a(x,\xi)d\mu_{E}\right|\to0
\]
pour $\hbar\to0$ et pour toute suite d'états $\psi_{j}$
telle que $E_{j}\to E$. On appelle cette propriété l'\emph{unique
ergodicité quantique\index{unique ergodicite quantique@unique ergodicité quantique}} Q.U.E..
Elle a été démontrée récemment par E.\,Lindenstrauss dans des cas particuliers
du flot géodésique sur des surfaces arithmétiques à courbure négative
et pour le spectre conjoint de $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$
avec un opérateur arithmétique de Hecke (voir 
le texte de N.\,Anantharaman (ce volume) pour plus de détails). Cette question de
Q.U.E. est à l'heure actuelle considérée comme une question très ouverte
en chaos quantique.
\item Le théorème d'ergodicité quantique \ref{thm:Ergodicite-quantique}
n'exclut pas l'existence d'une suite d'états $\psi_{j(\hbar)}$
non équidistribués, c'est-à-dire telle que
\[
\exists\epsilon>0,\;\exists a(x,\xi),\;\forall\hbar,\ \ 
\bigg|\Big\langle \psi_{j(\hbar)}|\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\psi_{j(\hbar)}\Big\rangle -\int a(x,\xi)d\mu_{E}\bigg|>\epsilon>0.
\]
De tels états stationnaires sont appelés \emph{\index{scars}scars}
(cicatrices) par E.\,Heller dans les années 1990. Leur existence donnerait
un contre-exemple à Q.U.E. En physique, ces états ont été observé
numériquement (et~expé\-rimentalement) dans certains \emph{billards chaotiques} \cite{houches-qc}.
Ils sont partiellement concentrés sur des trajectoires périodiques,
mais il n'est cependant pas clair que ces états satisfont à la définition
précise précédente. Voir figure \ref{fig:Scars-cat_map} ou \emph{quantum
scars} sur google images.
\begin{figure}[tbph]
\centering{}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{quasim_p3_3d}
\par\includegraphics[width=0.8\textwidth]{evolution_tore_fr}\protect\caption{\label{fig:Scars-cat_map}Ce sont des phénomènes très particuliers,
et \og contre-intuitifs\fg. (a) \emph{Scars} dans le modèle
du \emph{quantum cat map} en représentation de Husimi. C'est
un état stationnaire localisé sur une orbite périodique (ici de période
3). (b) En représentation de Husimi, un paquet d'onde initial à $t=0$,
évolue, s'étire selon la direction $E_{u}$ et s'équidistribue (et
de même dans le passé). Mais curieusement dans cet exemple, il y a
une période exacte $T=2t_{E}$ après laquelle il redevient identique
à lui même, avec $t_{E}\simeq\log(1/\hbar)/\log\lambda$
appelé \emph{temps d'Ehrenfest\index{temps d'Ehrenfest}}. Cette
période explique en fait l'existence du \emph{scars} \cite{fred-steph-02,fred-steph-03}.}
\end{figure}

\item Dans le cas de dynamique Anosov, l'existence de scars a été démontrée
seulement dans le modèle particulier du \emph{quantum cat map} \cite{fred-steph-02}.
C'est bien un contre-exemple à la conjecture Q.U.E. Il~a été montré
que les états stationnaires ne peuvent pas se concentrer totalement
sur un nombre fini d'orbites périodiques \cite{fred-steph-03}. Voir
\cite{nalini-04,nalini-06} pour des résultats de portée générale
en terme d'entropie. L'auteur de ce texte est plutôt sceptique concernant
la conjecture Q.U.E., au vu de ce contre-exemple (bien que particulier).
Se pourrait-il que de tels contre-exemples soient de mesure nulle parmi
les modèles de systèmes dynamique mélangeants mais cependant dense?
\end{itemize}
\end{rem}

\begin{proof}[Idée de preuve du théorème d'ergodicité quantique \ref{thm:Ergodicite-quantique}
(voir le texte de N. Anantharaman (ce volume))] La fonction
$\tilde{a}=a-\int_{\Sigma_{E}}a(x,\xi)d\mu_{E}$ vérifie
$\int_{\Sigma_{E}}\tilde{a}(x,\xi)d\mu_{E}=0$ et on la
notera $a$ pour simplifier. On veut montrer que la \emph{variance
quantique} tend vers $0$:
\begin{equation}
S_{2}(a):=\frac{1}{\mathcal{N}_{\hbar}}\sum_{\substack{j\\E_{j}\in\left[E;E+\hbar^{\alpha}\right]}}\left|\left\langle \psi_{j}|\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\psi_{j}\right\rangle \right|^{2}\underset{\hbar\to0}{\to}0.\label{eq:S2}
\end{equation}
On veut utiliser le fait que $\psi_{j}$ est un état stationnaire.
Considérons la \emph{moyenne temporelle} de $a$:
\[
\left\langle a\right\rangle _{T}:=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}a\circ\phi_{-t}dt.
\]
Pour tout $T>0$ fixé et $\hbar\ll1$, on a
\begin{align*}
\mathrm{Op}_{\hbar}(\left\langle a\right\rangle _{T})&\underset{\hphantom{\eqref{eq:egorov}}}{=}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\mathrm{Op}_{\hbar}(a\circ\phi_{-t})dt\\
&\underset{\eqref{eq:egorov}}{=}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}U(t)\mathrm{Op}_{\hbar}(a)U(-t)dt+O(\hbar).
\end{align*}
Or $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)\psi_{j}=E_{j}\psi_{j}$ donc $U(-t)\psi_{j}=e^{itE_{j}/\hbar}\psi_{j}$ et
\[
\left|\left\langle \psi_{j}|\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\psi_{j}\right\rangle \right|=\left|\left\langle \psi_{j}|U(t)\mathrm{Op}_{\hbar}(a)U(-t)\psi_{j}\right\rangle \right|.
\]
Ainsi on peut écrire
\[
\left|\left\langle \psi_{j}|\mathrm{Op}_{\hbar}(a)\psi_{j}\right\rangle \right|=\left|\left\langle \psi_{j}|\mathrm{Op}_{\hbar}(\left\langle a\right\rangle _{T})\psi_{j}\right\rangle \right|+O(\hbar).
\]
Ensuite, par Cauchy-Schwarz,
\begin{align*}
\left|\left\langle \psi_{j}|\mathrm{Op}_{\hbar}(\left\langle a\right\rangle _{T})\psi_{j}\right\rangle \right|^{2}&\underset{\hphantom{\eqref{eq:composition_OPD}}}{\leq}\left\Vert \mathrm{Op}_{\hbar}(\left\langle a\right\rangle _{T})\psi_{j}\right\Vert ^{2}\\[-5pt]
& \underset{\hphantom{\eqref{eq:composition_OPD}}}=\left\langle \psi_{j}|(\mathrm{Op}_{\hbar}(\left\langle a\right\rangle _{T}))^{2}\psi_{j}\right\rangle \\[-5pt]
&\underset{\eqref{eq:composition_OPD}}{=} \left\langle \psi_{j}|(\mathrm{Op}_{\hbar}(\left\langle a\right\rangle _{T}^{2}))\psi_{j}\right\rangle +O(\hbar),\\[-5pt]
\tag*{et}
S_{2}(a) & \leq\frac{1}{\mathcal{N}_{\hbar}}\hspace*{-3mm}\sum_{\substack{j\\E_{j}\in\left[E;E+\hbar^{\alpha}\right]}}\hspace*{-3mm}\left\langle \psi_{j}|(\mathrm{Op}_{\hbar}(\left\langle a\right\rangle _{T}^{2}))\psi_{j}\right\rangle +O(\hbar)\\[-5pt]
& =\frac{1}{\mathcal{N}_{\hbar}}\Tr (\chi(\mathrm{Op}_{\hbar}(H))(\mathrm{Op}_{\hbar}(\left\langle a\right\rangle _{T}^{2})))+O(\hbar)\\[-5pt]
& \underset{\eqref{eq:loi_Weyl},\eqref{eq:Trace_OPD}}{=}\frac{1}{\mathrm{Vol}(\Sigma_{E})}\int_{\Sigma_{E}}\left\langle a\right\rangle _{T}^{2}(x,\xi)d\mu_{E}+O(\hbar)
\end{align*}
avec une fonction $\chi$ caractéristique de l'intervalle $\left[E;E+\hbar^{\alpha}\right]$
(en fait une suite de fonctions $C^{\infty}$ qui l'approche). Finalement
on montre que l'ergodicité (proposition \ref{prop:ergodique}) implique
que $\int_{\Sigma_{E}}\left\langle a\right\rangle _{T}^{2}(x,\xi)d\mu_{E}\underset{T\to\infty}{\to}0$.
Cela permet de déduire \eqref{eq:S2} en prenant $T$ assez grand
puis \hbox{$\hbar\!\to\!0$}.
\end{proof}

\subsection{Distribution des valeurs propres}

On s'intéresse maintenant aux valeurs propres $(E_{j})_{j}$
de \eqref{eq:val_p} des opérateurs $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$
à la limite $\hbar\to0$. Les résultats suivants décrivent
ces spectres à des échelles $\Delta E$ de plus en plus fines par
rapport à~$\hbar$. Pour atteindre ces échelles $\Delta E$ plus
fines, il faut comprendre la dynamique quantique sur des échelles
de temps $\Delta t$ de plus en plus longues, d'après la relation
$\Delta E\cdot\Delta t\simeq\hbar$ (en effet $E,t$ sont des variables
conjuguées de Fourier comme l'atteste $e^{-iEt/\hbar}$ dans \eqref{eq:etat_staionnaire}).
Voir figure \ref{fig:echelle-temps}.

\begin{figure}[tbph]
\centering{}\input{xups14-01_figures/echelles_temps_2.pdftex_t}\protect\caption{\label{fig:echelle-temps}Échelles de temps-énergie typiques en chaos
quantique, à la limite $\hbar\to0$ et d'après la relation
\hbox{$\Delta E\!\cdot\!\Delta t\!\simeq\!\hbar$}. Ici $C$ désigne une constante arbitraire
mais indépendante de~$\hbar$ et $t_{E}\simeq\log(1/\hbar)/\log\lambda$
est le temps d'Ehrenfest. \hbox{$t_{H}=\hbar^{d-1}$} est le \emph{temps d'Heisenberg\index{temps d'Heisenberg}}
qui est beaucoup plus long.}
\end{figure}

\subsubsection{Loi de Weyl}

Elle décrit le spectre de $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$ à l'échelle
$\Delta E\gg\hbar$ et montre que le nombre de valeurs propres dans
un intervalle d'énergie est proportionnel au volume de l'espace de
phase correspondant. Il n'y a pas d'hypothèse sur la dynamique classique
(chaotique ou pas).

\begin{thm}[loi de Weyl, \cite{zworski_book_2012}]\index{loi de Weyl}
Pour tout $0<\alpha<1$ et $\hbar\to0$, en posant $\mathrm{Vol}(\Sigma_{E}):=\int_{\Sigma_{E}}d\mu_{E}$, on a
\begin{equation}
\#\left\{ j\mid E_{j}\in\left[E;E+\hbar^{\alpha}\right]\right\} =\frac{\hbar^{\alpha}}{(2\pi\hbar)^{d}}(\mathrm{Vol}(\Sigma_{E})+o(1)).\label{eq:loi_Weyl}
\end{equation}
\end{thm}

\begin{proof}[Idée de preuve]
On considère une suite de fonctions $\chi_{\epsilon}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
qui tendent vers la fonction caractéristique de l'intervalle $\left[E,E+\hbar^{\alpha}\right]$
pour $\epsilon\to0$. Alors\enlargethispage{\baselineskip}%
\begin{align*}
\Tr (\chi_{\epsilon}(\mathrm{Op}_{\hbar}(H)))&\underset{\eqref{eq:Trace_OPD}}{=}\frac{1}{(2\pi\hbar)^{d}}\int\chi_{\epsilon}(H(x,\xi))dx\,d\xi\\
&\underset{\eqref{eq:def_Liouville}}{=}\frac{\hbar^{\alpha}}{(2\pi\hbar)^{d}}\int_{\Sigma_{E}}d\mu_{E},
\end{align*}
et cela donne \eqref{eq:loi_Weyl} à la limite $\epsilon\to0$.
\end{proof}
L'idée heuristique de la loi de Weyl est que, d'après le principe d'incertitude,
un état quantique occupe le volume $(\Delta x\Delta\xi)^{d}\simeq(2\pi\hbar)^{d}$
(un quantum). Ainsi \eqref{eq:loi_Weyl} compte le nombre de quanta
dans la zone d'espace des phases $H^{-1}(\left[E;E+\hbar^{\alpha}\right])$
dont le volume est $\hbar^{\alpha}\mathrm{Vol}(\Sigma_{E})$.
Autrement dit la densité de valeurs propres (c'est-à-dire le nombre par intervalle
d'énergie) est $\rho\sim\sfrac{\mathrm{Vol}(\Sigma_{E})}{(2\pi\hbar)^{d}}$.

En physique cette loi a de nombreuses applications. Elle permet de
déterminer le rayon des étoiles à neutron ou naines blanches\footnote{Le calcul est simple. Par exemple dans $5\cdot10^{9}$ d'années, le Soleil
se contractera en \emph{naine blanche} composée d'un plasma de
carbone et d'oxygène se refroidissant vers une \emph{naine noire}.
La formule de Weyl prédit un rayon de l'ordre de $R\simeq3000$km
(celui de la Terre).} en fonction de leur masse par exemple!

\subsubsection{Formule des traces de Gutzwiller \cite{gutzwiller}}

Elle décrit les fluctuations de densité dans le spectre de $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$
à l'échelle $\Delta E\simeq C\hbar$ en terme des orbites périodiques
du flot. Il n'y a pas d'hypothèse que la dynamique classique soit
chaotique ou pas.

\Subsubsection{Conjecture des matrices aléatoires}

On suppose maintenant un système générique%
\footnote{On connaît des modèles de chaos quantique très particuliers qui ne
vérifient pas cette conjecture: le flot géodésique sur une surface
arithmétique, ou le \emph{cat map} dans le cas de période courtes
\cite{fred-steph-02}.%
} dont la dynamique classique est chaotique (mélangeante). Cette conjecture
décrit le spectre de $\mathrm{Op}_{\hbar}(H)$ à l'échelle
$\Delta E\ll\hbar/\log(1/\hbar)$ ou la dynamique des états
pour $t\gg t_{E}$. La loi de Weyl \eqref{eq:loi_Weyl} nous dit que
la densité de valeurs propres (c'est-à-dire le nombre par intervalle d'énergie)
est $\rho:=\sfrac{\mathrm{Vol}(\Sigma_{E})}{(2\pi\hbar)^{d}}$.
On considère les valeurs propres recentrées et renormalisées $\tilde{E}_{j}:=\rho\cdot(E_{j}-E)$
d'un modèle de chaos quantique.

Pour énoncer la conjecture, il nous faut définir:

\begin{defn}
\emph{L'ensemble de matrices aléatoires G.O.E} est
l'ensemble des matrices symétriques réelles $M=(M_{i,j})_{i,j=1\to N}$
avec la loi de probabilité gaussienne invariante par changement de
bases orthogonales
\[
dP(M)=\frac{1}{Z}\exp(-\Tr (M^{2}))d\mu(M)
\]
avec
\[
d\mu(M)= \textstyle\big(\prod_{i<j}dM_{i,j} \big) \big(\prod_{i}dM_{i,i} \big),\;\;\Tr (M^{2})=\sum_{i}M_{i,i}^{2}+2\sum_{i<j}M_{i,j}^{2}
\]
et $Z$ constante de normalisation.
\end{defn}

Comme exemple de propriété statistique, considérons l'écart $s\geq0$
entre deux valeurs propres consécutives de $M$. On note $P(s)ds$
la densité de probabilité induite sur la variable $s$ par la loi
$dP(M)$. Pour des matrices de grande taille $N\gg1$ Wigner
a montré que
\begin{equation}
P(s)\simeq\frac{\pi}{2}s\exp \big(-\frac{\pi}{4}s^{2} \big).\label{eq:Wigner}
\end{equation}
Le facteur $s$ qui apparaît dans \eqref{eq:Wigner} exprime une \emph{répulsion
des niveaux}\index{repulsion des niveaux@répulsion des niveaux}%
\footnote{Explication heuristique de la répulsion de niveaux: pour une matrice
$2\times2$, $H=\begin{smallpmatrix}
a & c\\
c & b
\end{smallpmatrix}$, l'écart des valeurs propres est $s=\sqrt{(a-b)^{2}+c^{2}}$
donc $s=0$ est \og peu probable\fg car nécessite les conditions
$a=b$ et $c=0$. Plus précisément, si $x=a-b$, $y=c$ alors la mesure
$dxdy$ induit la mesure $sds$. Pour des matrices hermitiennes on
obtiendrait $s^{2}ds$. %
} car un petit écart $s\ll1$ est peu probable. Les calculs numé\-riques
montrent que la distribution des écarts $s_{j}=\tilde{E}_{j+1}-\tilde{E}_{j}$
d'un système de chaos quantique vérifie aussi cette loi, voir figure~\ref{fig:RMT}. Voici une conjecture célèbre en chaos quantique basée
sur cette observation et sur des considérations heuristiques.\enlargethispage{\baselineskip}%

\begin{conjec}[loi d'universalité des matrices aléatoires, O.\,Bohigas et al. 1984 \cite{bohigas_81}]
À l'échelle $\Delta E\ll\hbar/\log(1/\hbar)$,
les valeurs propres renormalisées~$\tilde{E}_{j}$ ont les même distributions
statistiques que celles d'une matrice aléatoire de l'ensemble G.O.E.
donc indépendantes du système.
\end{conjec}
\vspace*{-10pt}

\begin{figure}[tbph]
\centering{}\input{xups14-01_figures/stat.pdftex_t}\protect\caption{\label{fig:RMT}Distributions des écarts de valeurs propres $s_{j}=(\tilde{E}_{j+1}-\tilde{E}_{j})_{j}$
et formule de Wigner des matrices aléatoires.}
\end{figure}

\Changel
\subsection{Conclusion}

Grâce à l'analyse semi-classique, on peut étudier un problème ondulatoire
dans le régime de petites longueurs d'ondes $l\ll L$ devant la taille
du système (par exemple l'évolution d'ondes quantiques, en posant
$\hbar=l/L\ll1$) en étudiant au préalable la dynamique classique
associée qui est une dynamique de particules.

Cette dynamique classique peut être chaotique c'est-à-dire manifester
une forte sensibilité aux conditions initiales. Dans ce cas, les propriétés
de chaos classique ont une forte empreinte sur le comportement ondulatoire
et rendent celui-ci très complexe, encore mal compris. Malgré tout, l'équation
des ondes (ou équation de Schrödinger) est une équation linéaire,
et en \emph{chaos ondulatoire}, la sensibilité
aux conditions initiales s'arrête à l'échelle
$l$. De façon équivalente, le régime semi-classique c'est-à-dire intervalle
de temps pour lequel la correspondance classique-quantique est valable
est $t<t_{E}$ avec $t_{E}=\log(1/\hbar)/\log\lambda$
étant le temps d'Ehrenfest. Au-delà, il faut utiliser l'heuristique
des matrices aléatoires qui est encore sous forme conjecturale.

Les problématiques du \emph{chaos quantique} sont très présentes
en physique où il y a des phénomènes ondulatoires (l'étude a commencé
en physique nucléaire) et en mathématique: cela concerne tous les
modèles mathématiques issus de la physique ondulatoire, mais aussi
la théorie des représentation des groupes et même l'arithmétique, où
une manifestation encore très conjecturale et fascinante serait les
statistiques de matrices aléatoires dans la répartition des nombres
premiers et l'Hypothèse de Riemann (\cf \cite{granville_2002}).

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\end{document}
