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\hyphenation{cova-rian-ce cova-rian-ces varia-ble varia-bles matri-ce matri-ces acces-sible rela-ti-ve-ment modè-le modè-les posi-ti-ve coef-fi-cient coef-fi-cients hypo-thè-se algè-bre algè-bres}

\begin{document}
\frontmatter

\title{Introduction aux matrices aléatoires}

\author{\firstname{Djalil} \lastname{Chafaï}}
\address{LAMA, CNRS UMR 8050, Université de Paris-Est Marne-la-Vallée,
5, boulevard Descartes,
77454 Marne-la-Vallée cedex 2}
\email{djalil@chafai.net}

\thanks{Journées X-UPS 2013. Aléatoire. Éditions de l'École polytechnique, 2013}

\begin{abstract}
En concevant les mathématiques comme un graphe, où chaque sommet est un domaine, la théorie des probabilités et l'algèbre linéaire figurent parmi les sommets les plus connectés aux autres. Or leur réunion constitue le c{\oe}ur de la théorie des matrices aléatoires. Cela explique peut-être la richesse exceptionnelle de cette théorie très actuelle. Les aspects non linéaires de l'algèbre linéaire y jouent un rôle profond et fascinant. Ces notes en présentent quelques aspects.
\end{abstract}

\maketitle
\mainmatter
\tableofcontents
\section{Introduction}

Les sources historiques de la théorie des matrices aléatoires sont multiples.
Parmi les plus connues, on trouve les travaux du statisticien Wishart dans les
années 1920--1930 lors de la naissance de la statistique mathématique, les
travaux de Goldstine et von Neumann dans les années 1940--1950 lors de la
naissance de l'informatique et de l'analyse numérique, les travaux de Wigner,
Mehta, Gaudin, et Dyson dans les années 1950--1960 en physique nucléaire, à la
jonction entre mécanique quantique et mécanique statistique. Il y a ensuite
les travaux de Marchenko, Pastur, Girko, Bai, et Silverstein dans les années
1960--1980, puis une multitude de travaux plus modernes, balayant un spectre
étonnamment vaste incluant opérateurs de Schrödinger, physique statistique,
systèmes intégrables, systèmes de particules, algèbre d'opérateurs et théorie
des probabilités libres (Voiculescu), topologie et combinatoire, combinatoire
additive et graphes aléatoires, polynômes orthogonaux, équations
différentielles de Painlevé, problèmes de Riemann-Hilbert, analyse harmonique,
théorie des nombres et hypothèse de Riemann, analyse géométrique de grande
dimension, analyse numérique, classification statistique, théorie du signal et
analyse d'images, etc.

La motivation originelle de Wishart était d'étudier la matrice de covariance
empirique des échantillons gaussiens multivariés. Cette matrice de covariance
empirique est une matrice hermitienne aléatoire semi-définie positive, appelée
aujourd'hui matrice de \hbox{Wishart}, du~même type que celle qui apparaît dans le
théorème \ref{th:marpas} de Marchenko-Pastur. Ces aspects, trop brièvement
abordés dans la section \ref{ss:marpas}, sont redevenus à la mode avec
l'avènement de l'informatique et des masses de données de grande dimension
(big-data).

La motivation originelle de Goldstine et von Neumann était de
comprendre le comportement des algorithmes classiques de l'analyse numérique
matricielle, comme ceux de résolution de systèmes linéaires, lorsque les
données du problème sont entachées d'erreurs. Cela conduit tout naturellement
à s'intéresser au conditionnement\footnote{Si $A\in\cM_n(\dC)$, son
conditionnement est
\[
\kappa(A):=\la_{\max}(\sqrt{AA^*})/\la_{\textsc{min}}(\sqrt{AA^*})=\NRM{A}_{2\to2}/\NRMS{A^{-1}}_{2\to2}.
\]
}
de matrices aléatoires. Les problèmes qu'ils ont formulés à l'époque n'ont été
résolus en toute généralité que dans les années récentes.

La motivation
originelle de Wigner était d'expliquer la répartition des niveaux d'énergie
dans les noyaux atomiques. En mécanique quantique, les niveaux d'énergie sont
liés à des spectres d'opérateurs hermitiens. L'idée de Wigner a consisté à
s'inspirer de la physique statistique de Boltzmann-Gibbs, ce qui conduit à
rendre ces opérateurs aléatoires, en utilisant par exemple des lois
gaussiennes. La distribution des écarts entre les valeurs propres des matrices
hermitiennes aléatoires obtenues de la sorte coïncide assez bien avec le
phénomène observé! L'approche pionnière de Wigner a été reprise et
considérablement développée en particulier par Dyson et Mehta. Par ailleurs, à
la même époque que Wigner, Philip Warren Anderson a prédit une transition
entre localisation et délocalisation pour les électrons dans un
semi-conducteur, phénomène qui se traduit mathématiquement par une
localisation/délocalisation des vecteurs propres d'opérateurs de Schrödinger
aléatoires. La \hbox{compréhension} mathématique de ce phénomène n'est toujours pas
achevée à l'heure actuelle. En~dimension $1$, ces opérateurs de Schrödinger
aléatoires sont typiquement des matrices hermitiennes à bande, aléatoires. En
télécommunications, la~transmission d'information entre un groupe d'antennes
émettrices et un groupe d'antennes réceptrices est modélisable par une
matrices aléatoire. La capacité du canal de communication associée s'avère
être une statistique linéaire du spectre de cette matrice, ouvrant la voie à
toute une gamme de questions mathématiques et numériques. Ces quelques
exemples historiques illustrent la grande diversité des situations conduisant
à des matrices aléatoires.

On pourra consulter l'ouvrage encyclopédique \cite{MR2920518}, qui
fournit un panorama récent, peut-être plus accessible que les livres \cite{%
MR1677884,%
MR1746976,%
MR2129906,%
MR2168344,%
MR2498298,%
MR2514781,%
MR2567175,%
MR2760897,%
MR2641363,%
MR2808038,%
MR2978290,%
MR2906465,%
MR2884783,%
MR2961961}, le tout en anglais. En~français, on pourra consulter par exemple les textes de
vulgarisation \cite{biane-xups,biane-idm,peche-idm} sur des sujets précis, et
même s'aventurer dans l'article de synthèse \cite{MR2906355} qui présente des
avancées relativement récentes sur l'un des fronts actuels de la recherche.
Signa\-lons enfin que plusieurs blogs Internet proposent des billets de
vulgarisation autour de la théorie des matrices aléatoires, comme le blog de
Terence Tao par exemple (en anglais) à l'adresse\\
\url{http://terrytao.wordpress.com/}.

Ces notes constituent un point de départ, une invitation à la curiosité et à
l'exploration. Nous débutons par des expériences numériques en langage Scilab
dont le code ainsi que la sortie graphique sont donnés dans les figures
\ref{fi:girko}-\ref{fi:marpas}-\ref{fi:wigner}. Pour une matrice
$M\in\cM_n(\dC)$, on note $M^*:=\bar{M}^\top$, et $\la_1(M),\ldots,\la_n(M)$
les valeurs propres de $M$, c'est-à-dire les racines dans $\dC$ de son
polynôme caractéristique. La manière de les numéroter importe peu à ce stade
car la plupart des quantités que nous allons considérer sont des fonctions
symétriques des valeurs propres. Pour tout $n\geq1$ fixé, soit $M$ une matrice
aléatoire $n\times n$ dont les coefficients sont des variables aléatoires sur
$\dC$ (c'est-à-dire des vecteurs aléatoires de $\dR^2$)
i.i.d.\footnote{Signifie \og indépendants et identiquement distribués\fg ou
\og independent and identically distributed\fg.}\ de moyenne
\[
m:=\dE(M_{ij})=\dE(\Re M_{ij})+\sqrt{-1}\dE(\Im M_{ij})
\]
et de variance
\[
\si^2:=\dE(|M_{ij}-m|^2) %
\!=\!\dE(|M_{ij}|^2)-|m|^2 %
\!=\!\mathrm{Var}(\Re M_{ij})+\mathrm{Var}(\Im M_{ij})>0.
\]
Ce modèle tolère tout à fait que $M$ soit réelle.
% Cependant, en mathématiques, le cas complexe s'avère souvent moins complexe
% que le cas réel!
La matrice $M$ de nos expériences numériques
\ref{fi:girko}-\ref{fi:marpas}-\ref{fi:wigner} a des coefficients i.i.d.\
réels de loi de Rademacher ou de de Gauss. Rappelons que la loi de
Rademacher\footnote{Le terme \og Bernoulli\fg est plutôt réservé à la loi du même
type sur $\{0,1\}$ plutôt que sur $\{-1,1\}$.} de paramètre $p\in[0,1]$ est
la loi sur $\dR$ donnant les poids $1-p$ et $p$ aux valeurs $-1$ et $1$. Sa
moyenne vaut $2p-1$ et sa variance $4p(1-p)$. La loi de Gauss ou loi normale
sur $\dR$ de moyenne $m$ et de variance~$\si^2$ a pour densité
\[
x\mto\frac{\exp\PAR{-\frac{1}{2}\PAR{\frac{x-m}{\si}}^2}}{\si\sqrt{2\pi}}.
\]
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{girko}
\caption{\smaller Phénomène d'universalité de Girko. En noir les valeurs propres de
$\frac{1}{\sqrt{n}}M$ où $M$ est une matrice aléatoire carrée $n\times
n$ à coefficients i.i.d.\ de moyenne $0$ et de variance $1$ (de Gauss à
gauche et de Rademacher à droite). En bleu le cercle unité du plan
complexe. Note: il est également possible d'utiliser un histogramme en
3D.}
\label{fi:girko}
\includegraphics[width=\textwidth]{girkob}
\end{center}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item\textrm{Figure 1.} Les valeurs propres de $\frac{1}{\sqrt{n}}M$ sont
approximativement distribuées uniformément sur le disque unité du plan
complexe, et ce phénomène est d'autant plus apparent que $n$ est grand. La
normalisation en $\NNS$ assure une stabilisation des lignes et des colonnes.
En~effet, grâce à la loi des grands nombres, la norme de chaque ligne (et~de
chaque colonne) de $\NN M$ converge vers $\sqrt{\si^2+|m|^2}=1$ quand
$n\to\infty$, tandis que leur produit scalaire tend vers $|m|^2=0$. Cette
structure unitaire asymptotique n'explique pas pourquoi le spectre semble se
répartir uniformément sur le disque unité (elle suggérerait plutôt le cercle
unité!);
\item\textrm{Figure 2.} Les valeurs propres de l'hermitisation multiplicative
$\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{MM^*}$ de $\NN M$ se distribuent approximativement
comme la loi du quart de cercle sur l'intervalle $[0,2]$, et cela est
d'autant plus apparent que la dimension $n$ est grande;
\item\textrm{Figure 3.} Les valeurs propres de l'hermitisation
additive\footnote{La normalisation par $\sqrt{2}$ rend les coefficients hors
diagonale de variance $1$.} $\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{M+M^*}{\sqrt{2}}$ de
$\NN M$ se distribuent approximativement comme la loi du demi-cercle sur
l'intervalle $[-2,2]$, et cela est d'autant plus clair que la dimension $n$
est grande, cf.\ figure \ref{fi:wignermotion}.
\end{itemize}

Ces expériences numériques permettent de dégager trois phénomènes
d'universalité en grande dimension, capturés mathématiquement par les
théorèmes \ref{th:girko}-\ref{th:marpas}-\ref{th:wigner} ci-dessous.
Soulignons au passage que les hypothèses sont faites ici sur les coefficients
de la matrice, tandis que les résultats concernent les valeurs propres, qui
sont des fonctions non linéaires et non explicites des coefficients de la
matrice.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{marpas}
\caption{\smaller Phénomène d'universalité de Marchenko-Pastur. En noir,
l'histogramme des valeurs propres de $\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{MM^*}$ où~$M$ est une matrice aléatoire carrée $n\times n$ à coefficients i.i.d.\
de moyenne $0$ et de variance $1$ (de Gauss à gauche et de Rademacher à
droite). En bleu, la densité de la loi du quart~de cercle sur
l'intervalle $[0,2]$. Note: la matrice $\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{MM^*}$
est hermitienne semi-definie positive: son spectre est dans~$\dR_+$.}
\label{fi:marpas}
\includegraphics[width=\textwidth]{marpasb}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{wigner}
\caption{\smaller Phénomène d'universalité de Wigner. En noir l'histogramme des
valeurs propres de $\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{M+M^*}{\sqrt{2}}$ où $M$ est
une matrice aléatoire carrée $n\times n$ à coefficients i.i.d.\ de
moyenne $0$ et de variance $1$ (de Gauss à gauche et de Rademacher à
droite). En bleu la densité de la loi du demi-cercle sur l'intervalle
$[-2,2]$. Note: la matrice $\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{M+M^*}{\sqrt{2}}$
est hermitienne, et son spectre est donc réel.}
\includegraphics[width=\textwidth]{wignerb}
\label{fi:wigner}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{wignermotion}
\caption{\smaller Graphiques illustrant l'effet de la dimension sur la distribution
du spectre des matrices de Wigner (figure \ref{fi:wigner} et théorème
\ref{th:wigner}), pour les dimensions $30$, $120$, $600$. Ces graphiques
correspondent à une seule matrice à chaque fois. Si on répète
l'expérience, le graphique en petite dimension (à gauche) va beaucoup
fluctuer, tandis que celui en grande dimension (à droite) va très peu
fluctuer. Un caractère aléatoire s'efface en grande dimension et laisse
place à un déterminisme: la loi du demi-cercle.}
\label{fi:wignermotion}
\vspace*{-\baselineskip}
\end{center}
\end{figure}

Afin de décrire mathématiquement la répartition des valeurs pro\-pres, on
introduit la distribution spectrale empirique d'une matrice $A\in\cM_n(\dC)$,\enlargethispage{\baselineskip}%
\[
\mu_A:=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\de_{\la_k(A)}.
\]
Il s'agit tout simplement d'une loi de probabilité discrète, plus précisément
d'une mesure de comptage normalisée. Pour tout ensemble~$E\subset\nobreak\dC$, la
quantité
\[
\mu_A(E)=\frac{\CARD\{1\leq k\leq n:\la_k(A)\in E\}}{n}
\]
est la proportion de valeurs propres de $A$ qui sont dans $E$. Pour toute
fonction $f$ on a
\[
\int\!f\,d\mu_A =\dE(f(X)) =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(\la_k(A))
\]
où $X$ est une variable aléatoire discrète de loi $\mu_A$. On retrouve
$\mu(E)$ lorsque $f=\IND_E$. Si $A$ est aléatoire alors $\mu_A$ est une loi de
probabilité discrète aléatoire (il y a deux aléas!), et dans ce cas,
$\mu_A(E)$ et $\int\!f\,d\mu_A$ sont des variables aléatoires.
% Convenons que toutes nos variables aléatoires sont définies sur un même
% espace de probabilité $(\Om,\cA,\dP)$.
Rappelons qu'on dit qu'une propriété aléatoire a lieu \emph{presque sûrement}
lorsqu'elle a lieu sur un événement de probabilité $1$. Rappelons que pour
tout $n\geq1$ fixé, $M$ est une matrice aléatoire dont les coefficients
${(M_{ij})}_{1\leq i,j\leq n}$ sont i.i.d.\ de moyenne $m$ et de variance
$\si^2$.

\begin{theoreme}[Universalité de Girko et loi du cercle]\label{th:girko}
Presque sûrement, pour tout pavé ou boule $E$ de $\dR^2$, on a\vspace*{-3pt}
\[
\lim_{n\to\infty}\mu_{\NN M}(E)=\mu(E)
\]
où $\mu$ est la loi uniforme sur le disque de $\dR^2$ de rayon $\si$ (\og loi
du cercle\fg) de densité\vspace*{-3pt}
\[
(x,y)\mto\frac{1}{\pi\si^2}\IND_{\{(x,y)\in\dR^2:\sqrt{x^2+y^2}\leq\si\}}(x,y).
\]
% La loi $\mu$ a pour moyenne $0$ et pour variance $\si^2$.
\end{theoreme}

\begin{theoreme}[Universalité de Marchenko-Pastur et loi du quart de cercle]%
\label{th:marpas}
En notant $H:=\sqrt{MM^*}$, on a que presque sûrement, pour tout intervalle
$I$ de $\dR_+$,
\[
\lim_{n\to\infty}\mu_{\NN H}(I)=\mu(I)
\]
où $\mu$ est la loi du quart de cercle sur $[0,2\si]$ et de densité
\[
x\mto\frac{\sqrt{4\si^2-x^2}}{\pi\si^2}\IND_{[0,2\si]}(x).
\]
%FAUX: La loi $\mu$ a pour moyenne $0$ et pour variance $\si^2$.
\end{theoreme}

\begin{theoreme}[Universalité de Wigner et loi du demi-cercle]%
\label{th:wigner}
En notant $H:=\frac{M+M^*}{\sqrt{2}}$, on a que presque sûrement, pour tout
intervalle $I$ de $\dR$,
\[
\lim_{n\to\infty}\mu_{\NN H}(I)=\mu(I)
\]
où $\mu$ est la loi du demi-cercle sur $[-2\si,2\si]$ et de densité
\[
x\mto\frac{\sqrt{4\si^2-x^2}}{2\pi\si^2}\IND_{[-2\si,2\si]}(x).
\]
% La loi $\mu$ a pour moyenne $0$ et pour variance $\si^2$.
\end{theoreme}

Dans chacun de ces trois théorèmes, presque sûrement, une moyenne empirique
aléatoire converge vers une limite déterministe. Cela fait penser à la loi
forte des grands nombres\footnote{Si ${(X_n)}_{n\geq1}$ sont des v.a.r.\
i.i.d.\ de moyenne $m$ alors p.s.\ $\OL{X}_n:=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}\to m$
quand $n\to\infty$.}, qui ne s'applique pas ici car les valeurs propres ne
sont pas indépendantes. D'un autre côté, la limite est décrite par une loi de
probabilité universelle qui ne dépend de la loi des coefficients de la matrice
de départ qu'à travers leur variance. Cela fait penser au théorème central
limite\footnote{Si ${(X_n)}_{n\geq1}$ sont des v.a.r.\ i.i.d.\ de moyenne $m$
et de variance $\si^2$ alors $\dP(\sqrt{n}\frac{\OL{X}_n-m}{\si}\in I)\to
\mu(I)$ quand $n\to\infty$, pour tout intervalle $I\subset\dR$, où $\mu$ est
la loi gaussienne de moyenne $0$ et de variance $1$.} et sa loi normale
universelle.

%\begin{remarque}[Loi du cercle, du demi-cercle, du quart de cercle]
Si une variable aléatoire de $\dC$ (vecteur aléatoire de $\dR^2$) suit la loi
uniforme sur le disque unité, de densité
$z\mto\pi^{-1}\IND_{\{z\in\dC:|z|\leq1\}}$, alors la partie réelle et la
partie imaginaire suivent toutes les deux la loi du demi-cercle de densité
$t\mto 2\pi^{-1}\sqrt{1-t^2}\IND_{[-1,1]}(t)$. Elles ne sont pas
indépendantes. Le rayon suit la loi de densité $r\mto r\IND_{[0,1]}(r)$ (ce
n'est ni la loi uniforme ni la loi du quart de cercle) tandis que la phase
suit la loi uniforme sur $[0,2\pi]$. La valeur absolue de la partie réelle et
la valeur absolue de la partie imaginaire suivent la loi du quart de cercle
sur $[0,1]$, de densité $t\mto 4\pi^{-1}\sqrt{1-t^2}\IND_{[0,1]}(t)$.
Malgré ces relations, il~n'y a pas de liaison directe entre le spectre de $M$
du théorème \ref{th:girko} et le spectre de $H$ des théorèmes \ref{th:marpas}
et \ref{th:wigner}. On observe même un facteur~$2$ entre le rayon du disque du
théorème \ref{th:girko} et le rayon des intervalles des théorèmes
\ref{th:marpas} et \ref{th:wigner}. Cela suggère qu'asymptotiquement, la norme
d'opérateur $\max_{1\leq k\leq n}\lambda_k(\sqrt{MM^*})$ de $M$ est deux fois
plus grande que le rayon spectral $\max_{1\leq k\leq n}\ABS{\lambda_k(M)}$ de
$M$, ce qui peut être prouvé rigoureusement lorsque $\dE(M_{ij})=0$ et
$\dE(|M_{ij}|^4)<\infty$. C'est le signe de l'anormalité de $M$, cf.\ section
\ref{ss:girko}.
% \end{remarque}

% \begin{remarque}[Loi du cercle et loi de l'arc]
% En toute rigueur, la loi uniforme sur le disque unité du plan devrait
% s'appeler \emph{loi du disque} plutôt que \emph{loi du cercle}. En fait, la
% loi uniforme sur le cercle unité est parfois appelée \emph{loi de l'arc}. Si
% une variable aléatoire suit la loi de l'arc alors sa partie réelle et sa
% partie imaginaire suivent toutes les deux la loi arcsinus sur $[-1,1]$
% de densité $t\mto\pi^{-1}(1-t^2)^{-1/2}\IND_{[-1,1]}(t)$. Elle ne
% sont pas indépendantes. En ce qui concerne les coordonnées polaires, le
% rayon suit la loi de Dirac $\de_1$ tandis que la phase suit la loi uniforme
% sur $[0,2\pi]$.
% \end{remarque}

\section{Esquisses de preuves du théorème de Wigner}
\label{se:wigner}

Le théorème \ref{th:wigner} a été dégagé par Eugene Wigner dans les années
1950. La version considérée ici est due à Leonid Pastur et date des années
1970. Nous esquissons ci-dessous une preuve du théorème \ref{th:wigner} par la
méthode des moments, puis par la méthode de la résolvante. Nous esquissons
également deux preuves pour le cas gaussien du GUE\footnote{Voir le paragraphe \ref{subsec:GUE} pour la signification de GUE.}, basées sur une
minimisation d'énergie, et sur des polynômes orthogonaux.

La matrice aléatoire $H$ est hermitienne, et les variables aléatoires
$\{H_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq n}$ sont indépendantes de moyenne $\sqrt{2}\,\Re
m$. De plus $\{H_{ij}\}_{1\leq i< j\leq n}$ sont de même loi sur $\dC$ de
variance $\si^2$, tandis que $\{H_{ii}\}_{1\leq i\leq n}$ sont de même loi sur
$\dR$ de variance $2\mathrm{Var}(\Re M_{11})$. Nous pouvons dès à présent
préciser le pourquoi de la normalisation en $\NNS$: le moment d'ordre $2$ de
$\mu_{\NN H}$ se stabilise grâce à la loi forte des grands nombres:
\begin{align*}
\int\!x^2\,d\mu_{\NN H}(x)
=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\la_k(H)^2}{n}
&=\frac{1}{n^2}\mathrm{Tr}(H^2)\\
&=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|H_{ij}|^2
\overset{\text{p.s.}}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}
\si^2+|m|^2.
\end{align*}
Le comportement du premier moment est aussi facile à étudier:
\begin{align*}
\int\!x\,d\mu_{\NN H}(x)
=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\la_k(H)}{\sqrt{n}}
&=\frac{1}{n^{3/2}}\TR(H)\\
&=\frac{H_{11}+\cdots+H_{nn}}{n^{3/2}}
\overset{\text{p.s.}}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}
0.
\end{align*}
Les deux premiers moments de la loi du demi-cercle $\mu$ sur $[-2\si,2\si]$
valent $0$ et $\si^2$. Ainsi, le premier moment de $\mu_{\NN H}$ converge vers
le premier moment de $\mu$, tandis que le second moment de $\mu_{\NN H}$ ne
converge vers celui de $\mu$ que si $m=0$. Cela est dû au comportement
explosif de la plus grande valeur propre de $\NN H$ lorsque $m\neq0$. Il~n'y a
pas de contradiction~: la convergence en loi de $\mu_{\NN H}$ n'empêche pas
une fraction asymptotiquement négligeable de valeurs propres d'exploser quand
$n\to\infty$.

\subsection*{Modèle réduit}

Pour établir le théorème \ref{th:wigner}, une première étape préparatoire,
omise ici\footnote{Cette étape fait appel à divers outils: formules
variationnelles min-max de Courant-Fischer, inégalité de Hoffman-Wielandt,
inégalité de concentration de Azuma-Hoeffding, lemme de Borel-Cantelli, loi
forte des grands nombres, fonctions caractéristiques, etc. Certains sont
abordés dans l'appendice.}, consiste à réduire le problème à
l'énoncé suivant: soit $H$ une matrice hermitienne $n\times n$ aléatoire telle
que $\{H_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq n}$ sont indépendantes de moyenne $0$ et de
variance $1$, bornées et à valeurs dans $\{z\in\dC:|z|\leq C\}$, $C>0$, avec
$\{H_{ii}\}_{1\leq i\leq n}$ i.i.d.\ sur $\dR$ et $\{H_{ij}\}_{1\leq i<j\leq
n}$ i.i.d. sur $\dC$. Soit $\mu$ la loi du demi-cercle sur l'intervalle
$[-2,2]$, de densité $x\mto\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}\IND_{[-2,2]}(x)$.
Alors $\dE\mu_n:=\dE\mu_{\NN H}$ converge en loi quand $n\to\infty$ vers
$\mu$, i.e.\
\[
\lim_{n\to\infty}\dE\int\!f\,d\mu_n=\int\!f\,d\mu,
\]
pour toute fonction $f$ dans une classe de fonctions suffisamment riche pour
garantir la convergence en loi. Nous avons à présent deux méthodes classiques
pour achever la preuve du théorème \ref{th:wigner}: la~méthode des moments, de
nature combinatoire, basée sur la classe de fonctions $\{x\mto
x^r:r\in\dN\}$, et la méthode de la trace de la résolvante, de nature
analytique, basée sur la classe de fonctions
\[
\{x\mto(x-z)^{-1}:z\in\dC,\Im z>0\}.
\]

\Subsection{Méthode des moments (combinatoire)}

On se propose~d'éta\-blir la convergence des moments pour le modèle réduit:
\[
\forall r\in\dN,\quad
\lim_{n\to\infty}\dE\int\!x^r\,d\mu_n(x)\to\int\!x^r\,d\mu.
\]
Les moments impairs de $\mu$ sont nuls tandis que les pairs sont les nombres
de Catalan:
\[
\forall r\in\dN,\;\;
\int\!x^r\,d\mu(x)
=\int_0^{2}\!x^r\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}\,dx
=\begin{cases}
0 &\!\text{si $r=2k+1$},\\
\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} &\!\text{si $r=2k$}.
\end{cases}
\]
Nous pouvons exprimer les moments de $\dE\mu_n$ en fonction des moments joints
des coefficients de $H$ grâce à la formule suivante:
\begin{align*}
\dE\int\!x^r\,d\mu_n(x) %
&=\frac{1}{n^{1+r/2}}\dE\sum_{k=1}^n\la_k(H)^r
=\frac{1}{n^{1+r/2}}\dE\TR(H^r)\\
&=\frac{1}{n^{1+r/2}}
\sum_{1\leq i_1,\ldots,i_r\leq n}
\dE(H_{i_1,i_2}\cdots H_{i_r,i_{r+1}})
\end{align*}
où $i_{r+1}:=i_1$. Pour $r=1$ on obtient bien
\[
\dE\int\!x\,d\mu_n(x)
=\frac{1}{n}\dE\sum_{i=1}^nH_{ii}
=m
=0
\]
et pour $r=2$,
\[
\dE\int\!x^2\,d\mu_n(x)
=\frac{1}{n^2}\dE\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|H_{ij}|^2
=\si^2+m^2=1=\frac{1}{1+1}\binom{2}{1}.
\]
L'étude du cas $r=3$ est un peu plus subtile. On a
\[
\dE\int\!x^3\,d\mu_n(x) %
=\frac{1}{n^{1+3/2}}\sum_{1\leq i,j,k\leq n}\!\!\!\!\dE(H_{ij}H_{jk}H_{ki}).
\]
Si deux éléments parmi $\{\{i,j\},\{j,k\},\{k,i\}\}$ sont distincts alors
$\dE(H_{ij}H_{jk}H_{ki})=0$ par indépendance et centrage. Dans le cas
contraire, on a $i=k$ ou $i=j$ ou $k=j$.
\begin{itemize}
\item
Si $i=k$ alors
$\dE(H_{ij}H_{jk}H_{ki})=\dE(|H_{ii}|^2H_{ij})$ qui est nul si $j\neq i$ et
qui n'a pas de contribution asymptotique si $j=i$ car on a $n=o(n^{1+3/2})$
triplets vérifiant $i=j=k$.
\item
Si $i=j$ alors
$\dE(H_{ij}H_{jk}H_{ki})=\dE(H_{ii}|H_{ik}|^2)$ et le raisonnement est
identique.
\item
Si $k=j$ alors $\dE(H_{ij}H_{jk}H_{ki})=\dE(|H_{ij}|^2H_{jj})$ et
le raisonnement est à nouveau identique. Ainsi, le moment d'ordre~$3$ de
$\dE\mu_n$ tends vers $0$ quand $n\to\infty$.
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% une longue flèche surmontée à droite en haut de N^*
\draw[gray, ->,thick] (0,0) -- (8,0);
\node [above right] at (8,0) {$\dN^*$};
% un point noir en chaque entier
\draw [fill] (1,0) circle [radius=.05];
\draw [gray, fill] (3,0) circle [radius=.05];
\draw [fill] (5,0) circle [radius=.05];
\draw [fill] (7,0) circle [radius=.05];
% l'entier sous le point noir
\node [below] at (1,0) {$1$};
\node [gray, below] at (3,0) {$2$};
\node [below] at (5,0) {$3$};
\node [below] at (7,0) {$4$};
% arêtes
\draw[thick,->] (1,0) to [out=60,in=120] (5,0.1);
\draw[thick,->] (1,0) to [out=60,in=120] (7,0.1);
\draw[thick,->] (5,0) to [out=-120,in=-60] (1.1,-0.1);
\draw[thick,->] (7,0) to [out=-120,in=-60] (1.1,-0.1);
\end{tikzpicture}
\caption{\smaller Graphe pour $r=4$, $i_1=i_3=1$, $i_2=4$, $i_4=3$, correspondant à
$\dE(H_{14}H_{41}H_{13}H_{31})$. Les arêtes sont $1\to4$, $4\to1$, $1\to3$,
$3\to1$. On a $t=3$.}
\label{fi:graph}
\end{center}
\end{figure}

Lorsque $r$ est quelconque et \emph{fixé}, on associe à chaque $r$-uplet
d'indices $i_1,\ldots,i_r$ un graphe orienté, obtenu en positionnant leurs
valeurs sur une demi-droite horizontale figurant $\dN^*$, cf.\ figure
\ref{fi:graph}. Les sommets du graphe sont les valeurs distinctes prises par
ces indices, et on note~$t$ leur nombre. Les arêtes du graphe sont les
liaisons $(i_k,i_{k+1})$ avec $1\leq k\leq r+1$ et $i_{r+1}:=i_1$. On dit
qu'il s'agit d'un graphe~$G(t)$. Deux graphes $G(t)$ sont équivalents lorsque
qu'on peut passer de l'un à l'autre en permutant les indices. Des graphes
$G(t)$ équivalents donnent la même valeur à $\dE(H_{i_1,i_2}\cdots
H_{i_r,i_{r+1}})$, notée $\dE(H_G)$. Il~y~a $n(n-1)\cdots(n-t+1)$ graphes
$G(t)$ dans chaque classe d'équivalence. Par ailleurs, dans chaque classe
d'équivalence, on peut supposer que les sommets sont $1,\ldots,t\leq r$, et
ainsi le nombre total de classes d'équivalence $c_r$ ne dépend que de $r$.
Afin de calculer les contributions, on distingue trois types de classes de
graphes $G(t)$~:
\begin{itemize}
\item \emph{type 1}: ceux pour qui chaque arête est présente dans l'autre sens
le même nombre de fois, et le graphe squelette obtenu en effaçant les
orientations des arêtes est un graphe sans cycles, c'est-à-dire un arbre.
Exemple: le cas de la figure \ref{fi:graph}, qui donne l'arbre à trois
sommets dont les arêtes sont $1\leftrightarrow 3$ et $1\leftrightarrow 4$;
\item \emph{type 2}: ceux pour qui une arête au moins n'apparaît qu'une seule
fois. Exemple: $\dE(H_{12}H_{23}H_{31})$ ne contient qu'une seule fois les
arêtes $1\leftrightarrow 2$, $2\leftrightarrow 3$, $3\leftrightarrow 1$;
\item \emph{type 3}: ceux qui ne sont pas de type 1 ou de type 2. C'est le cas
par exemple pour $\dE(H_{12}H_{23}H_{31}H_{12}H_{23}H_{31})$, qui n'est ni
de type 1 ni de type 2 car les arêtes $1\leftrightarrow 2$,
$2\leftrightarrow 3$, $3\leftrightarrow 1$ appa\-raissent chacune deux fois
dans le même sens, ou encore pour
$\dE(H_{12}H_{21}H_{13}H_{32}H_{23}H_{31})$, qui n'est ni de type 1 ni de
type 2 car les arêtes $1\leftrightarrow 2$, $2\leftrightarrow 3$,
$3\leftrightarrow 1$ apparaissent chacune dans les deux sens mais le graphe
obtenu en effaçant les orientations des arêtes est le cycle
$1\leftrightarrow 2\leftrightarrow 3\leftrightarrow 1$.
\end{itemize}
Nous disposons des faits suivants:
\begin{itemize}
\item \emph{Les graphes de type 2 ont une contribution nulle.} En effet, si~$G$ est un graphe de type 2 alors $\dE(H_G)=0$ par indépendance et centrage;
\item \emph{Les graphes de type 3 ont une contribution asymptotiquement
nulle.} En effet, si $G$ est un graphe $G(t)$ de type $3$ alors on peut
établir sans grande difficulté que $t\leq (r+1)/2$, qui donne\vspace*{-3pt}
\[
n(n-1)\cdots(n-t+1)\leq n^t\leq n^{1/2+r/2}.
\]
D'autre part, le nombre de
classes de type 3 est majoré par le nombre total de classes $c_r=\cO(1)$. À
présent, comme les coefficients de $H$ sont bornés, on a $\dE(H_G)=\cO(1)$,
et donc\vspace*{-3pt}
\[
\sum_{\text{classes t.3}}\frac{n(n-1)\cdots(n-t+1)}{n^{1+r/2}}\dE(H_G)
=\cO(n^{-1/2})
=o_{n\to\infty}(1);
\]
\item \emph{Seuls les graphes de type 1 contribuent asymptotiquement.} En~effet, pour tout graphe $G$ de type $1$ on a $\dE(H_G)=1$ par indépendance
car les coefficients de $H$ ont une variance de $1$. Cela ramène le problème
à la détermination du nombre de classes de type $1$. Il~n'y a pas de graphes
de type $1$ si $r$ est impair. Si $r$ est pair, disons $r=2k$, alors
$t=r/2$, et les classes de type $1$ sont en bijection avec les
parenthésages: il y en a donc $\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$ (nombres de
Catalan), d'où enfin\vspace*{-5pt}
\begin{multline*}
\sum_{\text{cl. t.1}}\frac{n(n-1)\cdots(n-t+1)}{n^{1+r/2}}\dE(H_G)\\[-5pt]
=
\frac{n}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}
\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{1+k}\binom{2k}{k}.
\end{multline*}
\end{itemize}

Ceci achève notre esquisse de preuve du théorème \ref{th:wigner} par la
méthode des moments. En plus des parenthésages, les nombres de \hbox{Catalan}
permettent de dénombrer des suites d'objets variées comme les excursions de la
marche aléatoire simple, les partitions non croisées, les chemins de Dyck,
etc, qui sont donc toutes en bijection. Signalons par ailleurs que lorsque $M$
est gaussienne, il est possible d'exprimer les moments avec la matrice de
covariance en utilisant une formule de Wick, qui est une conséquence de
l'intégration par parties, cf.\ \cite{MR2498298}.

\subsection{Méthode de la résolvante (analyse)}

Nous venons de voir que la famille de fonctions test $\{x\mto
x^r:r\in\dN\}$ ramène le problème à la combinatoire des moments. Soit
$\dC_+:=\{z\in\dC:\Im z>0\}$. Il~se trouve que la famille de fonctions test
$\{x\mto 1/(x-z):z\in\dC_+\}$ ramène le problème à une équation pour la
trace de la résolvante, liée à la transformée de Cauchy-Stieltjes.

La transformée de Cauchy-Stieltjes $S_\nu:\dC_+\to\dC$ d'une loi $\nu$ sur
$\dR$ est définie par
\[
S_\nu(z):=\int\!\frac{1}{x-z}\,d\nu(x).
\]
On a toujours $|S_\nu(z)|\leq 1/\Im z$ et $\Im S_{\nu}(z)\geq0$. La fonction
$S_\nu$ caractérise $\nu$. Elle est analytique sur $\dC_+$. De plus, une suite
${(\nu_n)}_{n\geq1}$ de lois sur $\dR$ converge en loi vers une loi $\nu$ sur
$\dR$ si et seulement si ${(S_{\nu_n})}_{n\geq1}$ converge ponctuellement vers
$S_\nu$ sur $\dC_+$. Si $\nu_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\de_{\la_k(A)}$ est la
distribution spectrale empirique d'une matrice hermitienne $A$, et si
$G_A(z):=(A-zI)^{-1}$ est la résolvante de $A$ en $z\in\dC_+$, alors
\[
S_{\nu_n}(z)
=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\la_k(A)-z}
=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\la_k(A-zI)}
=\frac{1}{n}\TR(G_A(z)).
\]
Si $A$ est aléatoire, on a $\dE(S_{\nu_n}(z))=S_{\dE\nu_n}(z)$ grâce au
théorème de Fubini-Tonelli.

Pour établir le théorème \ref{th:wigner}, on observe tout d'abord que si $\mu$
est la loi du demi-cercle de densité
$x\mto\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}\IND_{[-2,2]}(x)$ alors un calcul par la
méthode des résidus donne
\[
S_{\mu}(z)=\frac{-z+\sqrt{z^2-4}}{2},
\]
en fait l'unique solution à partie imaginaire positive de l'équation du second
degré $s^2+sz+1=0$ en $s$, qui s'écrit également, sous forme de point fixe,
\[
s+\frac{1}{z+s}=0.
\]
Soit $\mu_n$ la mesure spectrale empirique de $\NN H_n$. L'idée est d'établir
que $S_{\dE\mu_n}$ est solution approchée de cette équation. La formule
d'inversion par blocs de Schur affirme que pour toute partition
$\{1,\ldots,n\}=K\cup K^c$,
\[
(A^{-1})_{K,K}=(A_{K,K}-A_{K,K^c}(A_{K^c,K^c})^{-1}A_{K^c,K})^{-1}.
\]
En utilisant cette formule pour la résolvante de $\NN H$, avec $K=\{k\}$ où
$k$ varie de $1$ à $n$, on obtient, après de longs calculs,
\[
\veps_n:=S_{\dE\mu_n}(z)+\frac{1}{z+S_{\dE\mu_n}(z)}\to0.
\]
Cela conduit au résultat. Les détails, omis ici, et qu'on peut trouver par
exemple dans \cite{MR2567175} ou \cite{MR2760897}, ne sont pas plus simples
que pour la méthode des moments. Signalons par ailleurs que lorsque~$M$ est
gaussienne, il est possible d'utiliser l'identité de la résolvante
\hbox{$G_B-G_A=G_A(A-B)G_B$} et une intégration par parties plutôt que la formule
d'inversion par blocs, et cette stratégie s'étend même au delà du cas gaussien
par une technique d'interpolation, cf.\ \cite{MR2808038}.

\subsection{Méthode de minimisation d'énergie pour GUE}\label{subsec:GUE}

On~con\-sidère dans cette section le cas gaussien où $\{\Re M_{ij},\Im
M_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}$ sont i.i.d.\ de loi gaussienne de moyenne $0$ et
de variance $1/2$. Dans ce cas, la loi de la matrice hermitienne aléatoire
$H=(M+M^*)/\sqrt{2}$ du théorème \ref{th:wigner} vérifie:
\begin{itemize}
\item ${\{H_{ii},\Re H_{ij},\Im H_{ij}\}}_{1\leq i\leq j\leq n}$ indépendantes
et de loi gaussienne centrée;
\item ${\{H_{ii}\}}_{1\leq i\leq n}$ de variance $1$;
\item ${\{\Re H_{ij},\Im H_{ij}\}}_{1\leq i<j\leq n}$ de variance $1/2$, et
donc $\{H_{ij}\}_{1\leq i<j\leq n}$ de variance $1$.
\end{itemize}
Identifions l'ensemble des matrices hermitiennes
\[
\cH_n:=\{H\in\cM_n(\dC):H^*=H\}
\]
à
$\dC^{(n^2-n)/2}\times\dR^n\equiv\dR^{n^2}$. La loi de $H$ admet une densité
proportionnelle à
\[
H\mto e^{-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n|H_{ij}|^2}%
=e^{-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}(HH^*)}%
=e^{-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}(H^2)}.
\]
La loi de $H$ est invariante par conjugaison unitaire: $UHU^*$ et $H$ ont même
loi pour toute matrice unitaire $U$. On dit que $H$ appar\-tient à l'ensemble
gaussien unitaire, en anglais \og Gaussian Unitary Ensemble\fg (GUE).
%En
%particulier, pour tous $1\leq i,j\leq n$,
%\[
%\mathrm{Var}(H_{ij})
%=\dE(|H_{ij}|^2)=1,
%\quad\text{et}\quad
%\mathbb{E}(\mathrm{Tr}(HH^*)) =n^2.
%\]
Le changement de variables $H\leftrightarrow (U,D)$ issu de la diagonalisation
$H=U^*DU$ en base orthonormée permet d'établir, par intégration de la variable
$U$, que les valeurs propres $\la_1(\NN H),\ldots,\la_n(\NN H)$ de $\NN H$
admettent une densité proportionnelle à
\begin{equation*}\label{eq:gue}
\la\in\dR^n\mto
e^{-\frac{n}{2}\sum_{i=1}^n\la_i^2}\prod_{1\leq i<j\leq
n}\ABS{\la_i-\la_j}^2.
\tag{$\star$}
\end{equation*}
Le déterminant de Vandermonde ci-dessus exprime une dépendance, et provient du
jacobien du changement de variables. La densité s'écrit également
$e^{-E_n(\la)}$ où
\[
E_n(\la):= \frac{n}{2}\sum_{i=1}^n\la_i^2 %
+2\sum_{1\leq i<j\leq n}\ln\frac{1}{\ABS{\la_i-\la_j}}.
\]
Cela permet de concevoir $\la_1(\NN H),\ldots,\la_n(\NN H)$ comme des
particules chargées dans le plan, confinées sur la droite réelle, dont
l'énergie de configuration est $E_n(\la)$. La structure de $E_n$ indique que
ces particules subissent à la fois un champ extérieur quadratique qui les
confine près de l'origine, ainsi qu'une force coulombienne qui les fait se
repousser mutuellement. De ces contraintes antagonistes naît un équilibre
macroscopique quand $n\to\infty$. Réécrivons l'énergie $E_n(\la)$ au moyen de
la mesure de comptage des valeurs propres notée $\mu_n:=\mu_{\NN H}$:
\[
E_n(\la)%
=n^2\PAR{\int\!\frac{x^2}{2}\,d\mu_n(x) %
+\iint_{x\neq y}\ln\frac{1}{|x-y|}\,d\mu_n(x)d\mu_n(y)}.
\]
Cela suggère que quand $n\to\infty$, la mesure empirique $\mu_n$ converge vers l'ensemble des minima de la fonctionnelle quadratique strictement convexe $E$ définie pour toute loi $\nu$ sur $\mathbb{R}$ par $$E(\nu):= \int\!\frac{x^2}{2}\,d\nu(x)+\iint\!\ln\frac{1}{\left|x-y\right|}\,d\nu(x)d\nu(y).$$
Or on peut établir précisément
que $\nu\mto E(\nu)$ est minimisée par une unique loi de probabilité: la
loi du demi-cercle $\mu$ de densité
\[
x\mto\frac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}\IND_{[-2,2]}(x).
\]
Cela permet d'établir le théorème \ref{th:wigner} dans le cas gaussien du GUE.
Cette méthode, détaillée dans \cite{MR2760897}, est un exemple spécial de
principe de grandes déviations. Elle reste valable au delà du GUE, pour des
modèles de matrices aléatoires unitairement invariants de densité
proportionnelle à $e^{-n\TR(V(H))}$, où par définition
$\TR(V(H)):=\sum_{k=1}^nV(\la_k(H))$. La loi obtenue à la limite dépend de $V$
et n'est pas la loi du demi-cercle en général, ce qui montre qu'il n'y a pas
universalité.

\Subsection{Méthode des polynômes orthogonaux pour GUE}

%Il est possible de démontrer le théorème \ref{th:wigner}

Soit ${(P_k)}_{k\geq0}$ la suite des polynômes de Hermite, orthogonaux et
normalisés pour la loi gaussienne standard sur $\dR$ de densité
$\ga(x)=(2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}$. Pour tous $k,k'\in\dN$,
\[
\int\!P_k(x)P_{k'}(x)\,\ga(x)\,dx
=\IND_{k=k'}.
\]
Les polynômes ${(P_k)}_{k\geq0}$ vérifient la récurrence à trois termes
\[
xP_k=\sqrt{k+1}P_{k+1}+\sqrt{k}P_{k-1}.
\]
Réécrivons la densité \eqref{eq:gue} du GUE en utilisant ces polynômes. Le~déterminant de Vandermonde $\prod_{1\leq i<j\leq n}\ABS{\la_i-\la_j}$ est
proportionnel à $\det((P_{i-1}(\la_j))_{1\leq i,j\leq n})$ (cela découle
uniquement du fait que $P_k$ est un polynôme de degré $k$ pour tout $k$). En
posant
\[
K(x,y):=\sum_{k=0}^nP_k(x)P_k(y),
\]
on obtient que $\prod_{1\leq i<j\leq n}\ABS{\la_i-\la_j}^2=\bPAR{\prod_{1\leq
i<j\leq n}\ABS{\la_i-\la_j}}^2$ est proportionnel à
\[
\det((K(\la_i,\la_j))_{1\leq i,j\leq n}).
\]
Cela fournit une représentation déterminantale de la densité \eqref{eq:gue} du
GUE, basée sur le noyau $K$, point de départ d'une analyse fine. Cette
approche, due à Gaudin et Mehta, permet d'établir en particulier que si $H$
est GUE alors la densité de $\dE\mu_H$ s'écrit
\[
x\mto\ga(x)\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}P_k^2(x).
\]
La densité de $\mu_n:=\dE\mu_{\NN H}$ s'écrit donc
\[
x\mto\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n-1}P_k^2(\sqrt{n}x)\ga(\sqrt{n}x).
\]
À partir de cette formule, une première méthode,
exploitant les propriétés d'orthogonalité de la suite ${(P_k)}_{k\geq0}$,
permet d'obtenir une formule de récurrence à trois termes pour les moments de
$\mu_n$, qui fait écho à la formule de récurrence à trois termes pour les
polynômes ortho\-gonaux ${(P_k)}_{k\geq0}$. Cela permet d'établir finalement que~$\mu_n$ converge vers la loi du demi-cercle par une méthode de moments.

Alternativement, par des calculs utilisant l'intégration par parties et
l'orthogonalité de ${(P_k)}_{k\geq0}$, on peut établir que la transformée de
Laplace au point $\te$ de la loi de densité $x\mto
P_n^2(\sqrt{n}x)\ga(\sqrt{n}x)$ est solu\-tion quand $n\to\infty$ de l'équation
différentielle $4\te f''+2f'-\te f=0$, qui est précisément l'équation
différentielle satisfaite par la transformée de Laplace d'une loi de
l'arcsinus sur $[-2,2]$. Cette observation permet d'établir que la loi de
densité $x\mto P_n^2(\sqrt{n}x)\ga(\sqrt{n}x)$ converge en loi quand
$n\to\infty$ vers la loi de l'arcsinus sur $[-2,2]$ de densité
$x\mto\pi^{-1}(4-x^2)^{-1/2}\IND_{[-2,2]}(x)$. En exploitant le fait que la
densité de~$\mu_n$ est une moyenne de Cesàro, on peut en déduire que $\mu_n$
converge en loi vers la loi de $\sqrt{U}\,\xi$ où $U$ et $\xi$ sont des
variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $[0,1]$ et de loi de
l'arcsinus sur $[-2,2]$ respectivement. Il s'agit là d'une représentation
particulière de la loi du demi-cercle sur $[-2,2]$!

Les détails ainsi que de nombreuses références se trouvent dans
\cite{MR2041832}.

\section{Au delà du théorème de Wigner}
\label{se:beyondwigner}

L'étude des matrices aléatoires ne se résume pas à l'étude du spectre. Le
comportement des vecteurs propres est par exemple d'une grande importance pour
la compréhension des modèles de graphes aléatoires, mais aussi des opérateurs
de Schrödinger aléatoires en physique en liaison avec le phénomène de
localisation d'Anderson. D'autre part, les propriétés non asymptotiques des
modèles de matrices aléatoires jouent un rôle important dans les applications,
comme par exemple pour les problèmes de complétion, d'échantillonnage, de
classification, etc.

%Nous allons nous contenter de quelques mots sur les théorèmes \ref{th:marpas}
%et \ref{th:girko}.

On distingue deux grandes familles de modèles de matrices aléatoires. La
première famille est constituée par les modèles dans lesquels les coefficients
de la matrice sont i.i.d.\ comme dans les théorèmes \ref{th:girko},
\ref{th:marpas}, \ref{th:wigner}. Dans ce cas, la loi du spectre et des
vecteurs propres n'est en général pas connue. La seconde famille est
constituée par les modèles dont la loi est unitairement invariante. Dans ce
cas, les vecteurs propres sont indépendants des valeurs propres, la matrice
des vecteurs propres suit la loi uniforme sur le groupe unitaire, et la loi
des valeurs propres est connue (elle fait souvent intervenir un déterminant de
Vandermonde lié au jacobien du changement de variable comme dans l'exemple du
GUE). Le modèle gaussien GUE appartient aux deux familles: les coefficients de
la matrice sont i.i.d.\ et la loi est unitairement invariante. Le caractère
explicite de la loi des valeurs propres des modèles unitairement invariants
comme le GUE permet d'effectuer des calculs précis, ce qui conduit à dégager
des comportements quantitatifs ou asymptotiques, dont certains sont
universels, en ce sens qu'il restent valables au delà du modèle considéré.
Nous renvoyons à \cite{MR2168344} pour un panorama riche et éclairant, en
liaison avec les noyaux de Bessel, de Airy, et le noyau sinus, ainsi qu'avec
les décompositions matricielles classiques.

\subsection{Comportement au bord et universalité locale}

Le théorè\-me \ref{th:wigner} de Wigner concerne une universalité au niveau
global (ensem\-ble du spectre) et au premier ordre. Le comportement global au
\hbox{second} ordre consiste par exemple à étudier le comportement asymptotique quand
$n\to\infty$ de
\[
\int\!f\,d\mu_{\NN H}-\int\!f\,d\mu.
\]
On peut établir qu'en normalisant par un coefficient qui dépend de~$n$ et de
$f$, on obtient une convergence en loi vers une loi gaussienne. On dit qu'il
s'agit d'un théorème central limite pour les statistiques linéaires du
spectre. Lorsque $f$ est assez régulière, la normalisation ne dépend pas de
$n$, tandis que lorsque $f$ est une indicatrice d'intervalle, la normalisation
peut être très différente de $\sqrt{n}$. Ces comportements inhabituels sont
dûs à la dépendance (répulsion) entre les valeurs propres. Notons par ailleurs
que pour $f(x)=x^r$ avec $r\in\dN^*$, nous retrouvons les moments, qui
convergent à vitesse $\sqrt{n}$ pour le modèle réduit. Nous renvoyons à
\cite{oaithesesups.ups-tlse.fr1799} pour tous ces aspects.

La convergence globale fournie par le théorème \ref{th:wigner} de Wigner
n'empêche pas une fraction asymptotiquement négligeable du spectre de diverger
vers l'infini. Si par exemple $m\neq0$ alors on peut établir qu'une valeur
propre va diverger vers l'infini à vitesse $\sqrt{n}$. Ceci mène à l'étude du
comportement du bord du spectre. Au premier ordre, on montre que si $m=0$ et
si le moment d'ordre $4$ de $H_{12}$ est fini alors les valeurs propres
extrêmes convergent vers le bord du support de la loi limite:
\begin{align*}
\la_{\text{min}}&:=\min_{1\leq k\leq n}\la_k(\NN H)
\overset{\text{p.s.}}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}
-2\si\\
\tag*{et}
\la_{\textsc{max}}&:=\max_{1\leq k\leq n}\la_k(\NN H)
\overset{\text{p.s.}}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}
2\si.
\end{align*}
Au second ordre, on montre sous les mêmes hypothèses que les variables aléatoires
\[
n^{2/3}(-2\si-\la_{\textsc{min}})
\quad\text{et}\quad
n^{2/3}(\la_{\textsc{max}}-2\si)
\]
convergent en loi quand $n\to\infty$ vers une loi de Tracy-Widom, liée à la
fonction d'Airy et à une équation de Painlevé de type II. Sur le modèle du
GUE, cela est lié au fait que le noyau $K$ du GUE converge au bord vers un
noyau d'Airy. Loin du bord, c'est plutôt un noyau sinus qui apparaît à la
limite. Nous renvoyons à \cite{MR1677884,MR2168344}.
% Ces lois de Tracy-Widom apparaissent dans des modèles aléatoires reliés à
% des permutations aléatoires, des polymères aléatoires, de la percolation,
% des systèmes de particules en interaction, etc. Cette universalité est liée
% à une équation au dérivées partielles aléatoires de Kardar-Parisi-Zhang
% (KPZ) présentée par exemple dans \cite{MR2930377}.

Il est également possible d'étudier le spectre localement en quantifiant par
exemple l'écart entre les valeurs propres individuelles et la position
théorique liée aux quantiles de la loi limite. Cela peut également consister à
comparer quantitativement la loi des valeurs propres à celle du GUE, et à
établir l'universalité de la limite du noyau du GUE (noyau sinus). C'est
l'objet de travaux récents présentés dans
\cite{MR2906355,2011RuMaS..66..507E}.

Une méthode due à Lindeberg permet d'établir le théorème central limite
classique pour des variables aléatoires i.i.d.\ en remplaçant une à une les
variables par des variables gaussiennes de même espérance et de même variance,
et en contrôlant l'erreur commise. Il se trouve que cette méthode de \og 
remplacement gaussien \fg permet également de déduire le théorème
\ref{th:wigner} de Wigner à partir du cas gaussien GUE, cf.\ \cite{MR2906465}.
Cela fait appel à une formule de Hadamard qui exprime la dérivée des valeurs
propres par rapport aux coefficients de la matrice. En utilisant cette
méthode, il est possible d'établir que le comportement local des valeurs
propres individuelles ne dépend que des quatre premiers moments des
coefficients de la matrice, cf.\ \cite{oaithesesups.ups-tlse.fr1799}.

Rappelons que les écarts entre valeurs propres constituaient l'objec\-tif
initial de Wigner. Si $\la_1\leq\cdots\leq\la_n$ sont les valeurs propres
ordonnées du GUE (normalisé pour que les coefficients de la matrice soient de
variance $1/n$) alors on peut établir que la distribution moyenne des écarts
normalisés $n(\la_{k+1}-\la_{k})$ converge en loi quand $n\to\infty$ vers une
loi spéciale de Gaudin-Mehta liée à l'équation différentielle de Painlevé V.
Notons que si les valeurs propres étaient par exemple i.i.d.\ de loi uniforme
sur l'intervalle $[-2,2]$ alors la loi limite des écarts normalisés serait la
loi exponentielle de moyenne~$4$, ce qui n'est pas le cas ici, à cause du
phénomène de répulsion, \cf \cite{tao-mehgau}.

\subsection{Probabilités libres de Voiculescu}

Le phénomène d'universalité le plus classique en théorie des probabilités est
celui mis en lumière par le théorème central limite. Il se trouve que la loi
du demi-cercle constitue à bien des égards un analogue, pour les grandes
matrices aléatoires, de la loi gaussienne, comme l'explique la \emph{théorie
des probabilités libres} de Voiculescu.

\subsubsection*{Probabilités libres}

Considérons une algèbre\footnote{L'addition est commutative, mais pas
forcément la multiplication.} $\cA$ sur $\dC$ possédant une unité $1$
(élément neutre de la multiplication), munie d'une involution $a\mto a^*$,
c'est-à-dire que $(a^*)^*=a$ pour tout $a\in\cA$, et d'une forme linéaire
$\tau:\cA\to\dC$ vérifiant $\tau(1)=1$, $\tau(ab)=\tau(ba)$ et
$\tau(aa^*)\geq0$ pour tout $a\in\cA$, avec égalité si et seulement si $a=0$.
Un exemple simple est fourni par $\cA=\cM_n(\dC)$ et $a^*=\bar{a}^\top$, et
$\tau=\frac{1}{n}\TR$. Dans cet exemple, pour tout $a\in\cA$, et tout
$m\in\dN$, la quantité $\tau(a^m)$ est le moment d'ordre $m$ de la
distribution spectrale de $a$. Au delà de cet exemple, nous allons conserver
cette interprétation de $\tau$ comme une \og espérance\fg, et considérer que les
éléments de $\cA$ sont des \og variables aléatoires algébriques\fg. On dit que
$a\in\cA$ est centré et réduit lorsque $\tau(a)=0$ et $\tau(a^2)=1$.

\subsubsection*{Moments et loi}

On dit que $a\in\cA$ est réel lorsque $a=a^*$. On appelle loi de $a\in\cA$ la
donnée de
\[
\tau(a_1\cdots a_m),\quad m\in\dN^*,\ a_1,\ldots,a_m\in \{a,a^*\}.
\]
Si $a$ est réel alors sa loi est caractérisée par ses moments
\[
\{\tau(a^r):r\in\dN\}.
\]
Lorsque $\cA=\cM_n(\dC)$ et $a\in\cA$ est réel, alors
$a$ est une matrice hermitienne et sa distribution spectrale empirique
$\mu_a=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\de_{\la_k(a)}$, qui est une loi de probabilité
discrète finie, est caractérisée par ses moments, qui sont exactement
$\{\tau(a^r):r\in\dN\}$:
\[
\tau(a^r) %
=\frac{1}{n}\mathrm{Tr}(a^r) %
=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\la_i(a)^r %
=\int\!x^r\,d\mu_a(x).
\]
De ce point de vue, le concept de loi d'un élément de $\cA$ est une extension
algébrique du concept de distribution spectrale empirique des matrices
hermitiennes.

\subsubsection*{Liberté}

Dans la théorie des probabilités classiques sur $(\Om,\cF,\dP)$, des
sous-tribus $\cF_1,\ldots,\cF_m$ de $\cF$ sont indépendantes lorsque
$\dE(X_1\cdots X_k)=0$ pour toutes variables aléatoires bornées
$X_1,\ldots,X_m$ vérifiant $\dE(X_k)=0$ et $X_k$ est $\cF_k$-mesurable pour
tout $1\leq k\leq m$. Nous allons imiter ce concept dans notre cadre
algébrique, en tenant compte de la principale différence avec le cadre
classique: le caractère non commutatif.

On dit que des sous-algèbres (contenant $1$ et stables par involution)
$\cA_1,\ldots,\cA_m$ de $\cA$ sont \emph{libres} lorsque $\tau(a_1\cdots
a_k)=0$ pour tous $k\in\nobreak\dN^*$, tous $i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,m\}$, et tous
$a_1\in\cA_{i_1},\ldots,a_k\in\cA_{i_k}$ tels que
$\tau(a_1)=\cdots=\tau(a_k)=0$ et $i_j\neq i_{j+1}$ pour tout $1\leq j<k$. On
dit que $a,b\in\cA$ sont libres lorsque les sous-algèbres qu'ils engendrent
sont libres. La liberté permet de calculer des moments joints, de les exprimer
complètement en fonction des moments des arguments. Si par exemple $a,b\in\cA$
sont libres alors pour obtenir $\tau(ab)$ on écrit grâce à la liberté,
\[
0=\tau((a-\tau(a))(b-\tau(b)))=\tau(ab)-\tau(a)\tau(b)
\]
d'où $\tau(ab)=\tau(a)\tau(b)$ (dans ce cas simple, la non commutativité ne
s'exprime pas).

\subsubsection*{Théorème central limite libre}

Nous pouvons à présent énoncer le théorème central limite libre: si
$a_1,\ldots,a_n\in\cA$ sont réels, centrés et réduits, libres, et de même loi,
alors la loi de
\[
s_n:=\frac{a_1+\cdots+a_n}{\sqrt{n}}
\]
converge vers la loi du demi-cercle centrée et de variance $1$, autrement dit
\[
\forall r\in\dN,\quad
\lim_{n\to\infty}\tau\PAR{s_n^r}
=\begin{cases}
0 & \text{si $r=2k+1$},\\
\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} & \text{si $r=2k$}.
\end{cases}
\]
La preuve de ce théorème central limite consiste à calculer la loi de~$s_n$.
Notons que $s_n$ est centré et réduit, tout comme dans le théorème central
limite classique.

\subsubsection*{Convolution libre}

La liberté permet de définir une notion de convolution. Si $a,b\in\cA$ sont
libres de loi $\mu_a$ et $\mu_b$ alors la loi $\mu_{a+b}$ de $a+b$ ne dépend
que de $\mu_a$ et de $\mu_b$. On la note $\mu_a\boxplus\mu_b$ et on dit qu'il
s'agit de la \emph{convolution libre} de $\mu_a$ et $\mu_b$. La famille des
lois gaussiennes sur $\dR$ engendrée par translation et dilatation à partir de
la loi gaussienne standard centrée et réduite, est stable par convolution
classique (additivité des variances). Il en va de même pour la famille des
lois du demi-cercle sur $\dR$ avec la convolution libre (additivité des
variances!).

\subsubsection*{Liberté asymptotique}

Si $A$ et $B$ sont deux matrices hermitiennes $n\times n$, alors le spectre de
$A+B$ dépend non seulement du spectre de~$A$ et du spectre de $B$, mais aussi
des vecteurs propres des $A$ et de $B$ (sauf si $A$ et $B$ commutent car dans
ce cas elles sont diagonalisables dans la même base). Si maintenant $A$ et $B$
sont deux matrices aléatoires hermitiennes indépendantes, il n'y aucune raison
que $\mu_{A+B}$ ne dépende que de $\mu_A$ et $\mu_B$. Le cas du GUE est
cependant remarquable. Soit donc $A$ une matrice $n\times n$ aléatoire
hermitienne gaussienne du GUE normalisé de sorte que la distribution spectrale
empirique $\mu_A$ ait un moment d'ordre $2$ égal à $1$. Alors les moments de
$\dE\mu_A$ convergent quand $n\to\infty$ vers ceux de la loi du demi-cercle
centrée de variance~$1$. Si $B$ est une copie indépendante de $A$, alors $A+B$
suit la même loi que $\sqrt{2}A$, et donc les moments de $\dE\mu_{A+B}$
convergent quand $n\to\infty$ vers ceux de la loi du demi-cercle centrée de
variance $2$. On a donc en quelque sorte la relation
$\dE\mu_{A+B}=\dE\mu_A\boxplus\dE\mu_B$ quand $n\to\infty$. Voiculescu a
établi que ce phénomène de \emph{liberté asymptotique} reste vrai au delà des
couples de matrices indépendantes du GUE, à condition de \og découpler\fg
aléatoirement les espaces propres des deux matrices par conjugaison unitaire
aléatoire. Soient par exemple $A$ et $B$ des matrices hermitiennes $n\times n$
telles que $\mu_A\to\mu_a$ et $\mu_B\to\mu_b$ au sens des moments quand
$n\to\infty$, où $\mu_a$ et $\mu_b$ sont deux lois à support compact. Soient
$U,V$ des matrices unitaires aléatoires indépendantes et de loi uniforme (on
dit \og Haar unitaires\fg). Alors $\dE\mu_{UAU^*+VBV^*}$ converge au sens des
moments vers $\mu_a\boxplus\mu_b$.

La théorie des probabilités libres est très riche. Elle apporte une vision
algébrique très éclairante sur l'asymptotique des matrices aléatoires de
grande dimension. Nous renvoyons à \cite{MR2760897} pour plus d'information à
ce sujet.

\Subsection{Quelques mots sur le théorème de Marchenko-Pastur}
\label{ss:marpas}

Nous commençons par une motivation statistique, celle de \hbox{Wishart}. Soit
$X_1,\ldots,X_n$ des vecteurs colonne aléatoires i.i.d.\ de $\dR^d$ de moyenne
$0$ et de matrice de covariance $\Si$. La matrice $\Si$ est symétrique
$d\times d$ et ses valeurs propres sont positives ou nulles. On a
$\Si_{ij}=\dE(X_{ki}X_{kj})$ pour tous $1\leq i,j\leq d$ et tout $1\leq k\leq
n$ ou encore
\[
\Si=\dE(X_1X_1^\top)=\cdots=\dE(X_nX_n^\top).
\]
La \emph{matrice de covariance empirique} $\widehat{\Si}_n$ est la matrice
symétrique $d\times d$ définie par
\[
\widehat{\Si}_n %
=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_iX_i^\top %
=\frac{1}{n}(X_1\cdots X_n)(X_1\cdots X_n)^\top.
\]
On a $\dE(\widehat{\Si}_n)=\Si$. La loi des grands nombres appliquée aux
$d\times d$ coefficients donne
\[
\widehat{\Si}_n
\overset{\text{p.s.}}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}
\Si.
\]
On souhaite étudier le comportement de la matrice aléatoire $\widehat{\Si}_n$
lorsque la dimension des données $d=d_n$ dépend de $n$ et tend vers~$\infty$.
Cela nous conduit au modèle simplifié suivant~: on se donne une famille
${(Y_{ij})}_{i,j\geq1}$ de v.a.r.\ i.i.d.\ de moyenne $0$ et de variance $1$,
et pour tout entier $n\geq1$, on considère la matrice aléatoire $d_n\times
d_n$ symétrique
\[
\frac{1}{n}YY^\top
\]
où $Y=(Y_{ij})_{1\leq i\leq d_n,1\leq j\leq n}$. Si $n\mto d_n$ est
constante et égale à $d$ alors $\frac{1}{n}YY^\top$ converge p.s.\ vers
$\Si=I_d$. Il est naturel de chercher à comprendre le comportement de la
matrice $\frac{1}{n}YY^\top$ lorsque $d_n$ dépend de~$n$, par exemple en
étudiant son spectre. L'analyse de la matrice symétrique $YY^\top$ est rendue
difficile par le fait que ses coefficients sont dépendants, contrairement à
ceux des matrices $Y+Y^\top$ du théorème \ref{th:wigner} de Wigner.

On dispose du théorème \ref{th:marpas-rect} ci-dessous, qui se démontre comme
le théorème de Wigner, bien que la mise en {\oe}uvre soit plus lourde même dans le
cas carré $d_n=n$. Il a été obtenu à la fin des années 1960 par Marchenko et
Pastur. Nous renvoyons à \cite{MR2567175} et à \cite{MR2808038} pour la
preuve.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{marpasrect}
\includegraphics[scale=0.5]{marpasrect2}
\label{fi:marpas-rect}
\caption{\smaller Densité de Marchenko-Pastur pour différentes valeurs de $\rho$. Les
graphiques du haut correspondent au spectre de $\N YY^\top$ et ceux du bas
au spectre de $\sqrt{\N YY^\top}$. Ce graphique -- obtenu avec wxMaxima
(Debian GNU/Linux) -- est tiré de \cite{lamabook}.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{theoreme}[Marchenko-Pastur rectangulaire]\label{th:marpas-rect}
Si $\Si=I_{d_n}$ et si $\rho:=\lim_{n\to\infty}\sfrac{d_n}{n}$ est $>0$ et
fini, alors, presque sûrement, pour toute fonction continue et bornée
$f:\dR\to\dR$,
\[
\int\!f\,d\mu_{\N YY^\top} %
\underset{n\to\infty}{\longrightarrow} %
\int\!f\,d\mu
\]
où $\mu$ est la loi de Marchenko-Pastur
\[
q\de_0 %
+\frac{1}{\rho 2\pi x}\sqrt{(b-x)(x-a)}\,\IND_{[a,b]}(x)dx.
\]
avec
\[
q=\max(0,(1-\rho^{-1}))
\quad\text{et}\quad
a=(1-\sqrt{\rho})^2
\quad\text{et}\quad
b=(1+\sqrt{\rho})^2.
\]
De plus, les moments de $\mu$ sont donnés pour tout $r\in\dN^*$ par
\[
\int\!x^r\,d\mu(x) %
=\sum_{k=0}^{r-1}\frac{\rho^k}{k+1}\binom{r}{k}\binom{r-1}{k}.
\]
En particulier, la loi $\mu$ a pour moyenne $1$ et variance $\rho$.
\end{theoreme}

La transformée de Cauchy-Stieltjes de la loi $\mu$ du théorème
\ref{th:marpas-rect} est donnée par\vspace*{-6pt}
\[
S_\mu(z)=\frac{1-\rho-z+\sqrt{(z-1-\rho)^2-4\rho}}{2\rho z}
\]
pour tout $z\in\dC_+$. Il s'agit de l'unique solution à partie imaginaire
positive de l'équation du second degré en $s$ donnée par
\[
\rho
zs^2+(z+\rho-1)s+1=0,
\]
qui s'écrit également
\[
s=\frac{1}{1-z-\rho-\rho z s}.
\]

La loi $\mu$ dans le théorème \ref{th:marpas-rect} est un mélange entre une
masse de Dirac en $0$ et une loi à densité. L'atome en $0$ disparaît lorsque
$\rho\leq1$. Le théorème \ref{th:marpas-rect} affirme que p.s., pour tout
$x\in\dR$, avec $x\neq0$ si $\rho>1$, en notant $I=\,]-\infty,x]$,
\[
\lim_{n\to\infty}\mu_n(I)=\mu(I).
\]
Lorsque $\rho=1$, la matrice $\N YY^\top$ est en quelque sorte
asymptotiquement carrée. Dans ce cas, $a=0$ et $b=4$. C'est le cas par exemple
si $d_n=n$ pour tout $n\geq1$. Dans ce cas, la loi $\mu$ est l'image de la loi
du quart de cercle sur $[0,2]$ par l'application $x\mto x^2$. On retrouve
ainsi le théorème \ref{th:marpas} par changement de variable.

Lorsque les coefficients de $Y$ sont i.i.d.\ gaussiens standard sur $\dC$
(respectivement sur $\dR$), la loi de $YY^*$ est appelée loi de Wishart
complexe (respectivement réelle), et constitue une sorte de loi du~$\chi^2$
matriciel. La loi des valeurs propres est alors appelée Laguerre Unitary
Ensemble (respectivement Laguerre Orthogonal Ensemble).

% L'étude des matrices aléatoires constitue un immense champ de recherche dont
% l'ampleur provient de la rencontre de deux domaines ubiquitaires~: l'algèbre
% linéaire et les probabilités. Les travaux les plus anciens sont dus
% principalement à Wishart (années 1920) sur les matrices de covariance
% empiriques des échantillons gaussiens, à von Neumann et Goldstine (années
% 1940) sur l'analyse numérique matricielle, et à Wigner, Dyson, et Mehta
% (années 1950-1960) sur les niveaux d'énergie des noyaux atomiques en physique
% mathématique. Le théorème de Marchenko-Pastur a été obtenu par Marchenko et
% Pastur dans les années 1960. Le phénomène d'universalité le plus classique de
% la théorie des probabilités est sans conteste celui mis en lumière par le
% théorème central limite. Il se trouve que la loi du demi-cercle constitue à
% bien des égards un analogue, pour les grandes matrices aléatoires, de la loi
% gaussienne, comme l'explique la brillante \emph{théorie des probabilités
% libres} développée à l'origine par Voiculescu. Ces dernières années,
% plusieurs conjectures importantes concernant des modèles de matrices
% aléatoires ont été résolues, notamment par Tao et Vu. Il en reste un certain
% nombre et de nouvelles sont formulées régulièrement !

\subsection{Quelques mots sur le théorème de Girko}
\label{ss:girko}

Les théorèmes \ref{th:marpas} et \ref{th:wigner} de Marchenko-Pastur et de
Wigner concernent des modèles de matrices aléatoires hermitiennes. Les
matrices hermitiennes sont diagonalisables en base orthonormée, car elles
appartiennent aux matrices normales\footnote{Ici $A\in\cM_n(\dC)$ est normale
quand $AA^*=A^*A$, et cela n'a rien à voir avec la loi normale!}. Le modèle
le plus agréable de matrices aléatoires normales non hermitiennes est sans
doute celui fourni par la loi uniforme (ou mesure de Haar normalisée) sur le
groupe unitaire $\dU_n$. De telles matrices sont appelée \emph{Haar unitaire}.
Cette loi est unitairement invariante car la mesure de Haar est invariante par
translation. La densité des valeurs propres d'une matrice Haar unitaire se
calcule et fait apparaître un déterminant de Vandermonde, tout comme pour le
GUE. La mesure empirique des valeurs propres converge vers la loi uniforme sur
le cercle unité quand la dimension tend vers l'infini.

Des trois théorèmes \ref{th:girko}-\ref{th:marpas}-\ref{th:wigner}, le
théorème \ref{th:girko} de Girko semble être le plus simple. C'est pourtant le
plus difficile à démontrer, car la méthode des moments et la méthode de la
résolvante sont mal adaptées aux matrices non normales. Il a été imaginé par
Girko dans les années 1980, en s'inspirant du résultat connu pour le cas
gaussien étudié par Mehta et Ginibre\footnote{L'analogue du GUE, l'ensemble de
Ginibre complexe, est plus agréable à étudier que le GUE!}. Notons que si
les coefficient de~$M$ ont une densité, alors $\dP(MM^*=M^*M)=0$ et donc
presque sûrement~ $M$ n'est pas normale !

La preuve complète du théorème \ref{th:girko} a été obtenue il y a quelques
années par Tao et Vu, après cinquante ans de résultats partiels par plusieurs
vagues de mathématiciens. L'approche fait appel au potentiel logarithmique,
lié au laplacien. Le potentiel logarithmique au point $z\in\dC$ d'une loi
$\mu$ sur $\dC$ à support compact est défini par
\[
U_\mu(z):=\int\!\ln\frac{1}{|z-\la|}\,d\mu(\la).
\]
Le potentiel logarithmique $U_\mu$ permet de reconstituer $\mu$ car $\De
U_\mu=-2\pi\mu$, au sens où
\[
\int_{\dR^2}\!U(z)\vphi(z)\,dxdy=-2\pi\int\!\De\vphi(\la)\,d\mu(\la)
\]
pour tout $\vphi:\dC\to\dR$ $\cC^\infty$ et à support compact, avec
$\De:=\pd_x^2+\pd_y^2$ (laplacien). Cette formule peut être vue comme une
conséquence de la formule de Cauchy-Pompeiu, et dit essentiellement que
$-\frac{1}{2\pi}\ln\ABS{\cdot}$ est la solution fondamentale de l'équation de
la chaleur sur $\dR^2$. Le point de départ de Girko pour établir le théorème
\ref{th:girko} est la formule d'hermitisation suivante, valable pour toute
matrice $A\in\cM_n(\dC)$ et tout $z\in\dC$:
\begin{align*}
-U_{\mu_A}(z)
&=\int\!\ln|z-\la|\,d\mu_A(\la)\\
&=\frac{1}{n}\ln\ABS{\det(A-zI)}\\
&=\frac{1}{n}\ln\det(\sqrt{(A-zI)(A-zI)^*})\\
&=\int_0^\infty\!\ln(t)\,d\mu_{\sqrt{(A-zI)(A-zI)^*}}(t).
\end{align*}
Elle ramène la preuve du théorème \ref{th:girko} à établir tout d'abord que
presque sûrement, pour tout $z\in\dC$, la loi
$\mu_{\sqrt{(n^{-1/2}M-zI)(n^{-1/2}M-zI)^*}}$ converge en loi vers une loi
$\nu_z$ sur $\dR_+$ telle que
$\frac{1}{2\pi}\De\int_0^\infty\!\ln(t)\,d\nu_z(t)$ est la loi uniforme sur le
disque. Il s'agit d'étendre le théorème \ref{th:marpas} à la matrice
translatée $n^{-1/2}M-zI$. Le second ingrédient nécessaire à la preuve du
théorème \ref{th:girko} consiste à contourner la dégénérescence de la fonction
$\ln$ en $t=\infty$ et surtout en $t=0$, en contrôlant le bord du spectre de
la matrice hermitienne semi-définie positive \hbox{$(n^{-1/2}M-zI)(n^{-1/2}M-zI)^*$}.
Nous renvoyons par exemple à \cite{MR2908617} pour plus d'information. Ce
dernier problème est relié à la conjecture suivante: si $A$ est une matrice
aléatoire $n\times n$ à coefficients $\pm1$ i.i.d.\ de loi de Rademacher
centrée, c'est-à-dire que $\dP(A_{ij}=1)=\dP(A_{ij}=-1)=1/2$ pour tous $i,j$,
alors
\[
\dP(\det(A)=0)=\BPAR{\frac{1}{2}+o_{n\to\infty}(1)}^n.
\]
La probabilité d'égalité de deux lignes ou de deux colonnes dans $A$ vaut
$2^{-n}$. L'invertibilité des matrices aléatoires est un thème actuel, situé
entre analyse géométrique de grande dimension \cite[Ch.\,5]{MR2961961},
combinatoire additive \cite{MR2289012}, et théorie des probabilités.

\appendix
\refstepcounter{section}
\section*{Appendice. Quelques outils}
%\label{se:outils}

Cette section rassemble quelques outils à la fois beaux et utiles. Nous
commençons par deux théorèmes dont la preuve se trouve par exemple dans
\cite{MR2978290,MR1477662}.\enlargethispage{-\baselineskip}%

\pagebreak[2]
\begin{theoreme}[Formules variationnelles min-max de Courant-Fischer]\label{th:coufis}
Soit $A\in\cM_n(\dC)$ hermitienne de valeurs propres
$\la_1(A)\geq\cdots\geq\la_n(A)$. Alors pour tout $1\leq k\leq n$, en notant
$\cG_k$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $\dC^n$ de dimension $k$,
on a\vspace*{-3pt}
\[
\la_k(A)
=\max_{V\in\cG_{k}}\min_{\SSK{x\in V\\\NRM{x}_2=1}}\DOT{Ax,x}
=\min_{V\in\cG_{n-k+1}}\max_{\SSK{x\in V\\\NRM{x}_2=1}}\DOT{Ax,x}.
\]
\end{theoreme}

On en déduit un entrelacement pour le spectre des perturbations additives à
rang contrôlé: si $A,B\in\cM_n(\dC)$ sont hermitiennes de valeurs propres
$\la_1(A)\geq\cdots\geq\la_n(A)$ et $\la_1(B)\geq\cdots\geq\la_n(B)$ et si
$r:=\RANK(B-A)$ alors pour tout $1\leq k\leq n$,\vspace*{-3pt}
\[
\la_{k+r}(A)\leq \la_k(B)\leq \la_{k-r}(A)
\]
avec la convention $\la_k(A)=+\infty$ si $k<1$ et $\la_k(A)=-\infty$ si $k>n$.
Il~en découle que si\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
F_A(t)&:=\frac{\CARD\{1\leq k\leq n:\la_k(A)\leq t\}}{n}\\
\tag*{et}
F_B(t)&:=\frac{\CARD\{1\leq k\leq n:\la_k(A)\leq t\}}{n}
\end{align*}
sont les fonctions de répartition des mesures de comptage\vspace*{-3pt}
\[
\mu_A:=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\de_{\la_k(A)}
\quad\text{et}\quad
\mu_B:=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\de_{\la_k(B)}
\]
alors\vspace*{-3pt}
\[
\NRM{F_A-F_B}_\infty
:=\sup_{t\in\dR}\ABS{F_A(t)-F_B(t)}\leq \frac{\RANK(A-B)}{n}.
\]
Le membre de gauche est la distance de Kolmogorov-Smirnov entre les lois de
probabilités discrètes $\mu_A$ et $\mu_B$. Voici un exemple d'application: si
$H$ est une matrice aléatoire hermitienne telle que ${(H_{i,j})}_{1\leq i,
j\leq n}$ sont de même moyenne $m$ alors on a
$\RANK(\dE(H))=\RANK(m\mathrm{1}_n)\leq 1$ et donc $\mu_{H-\dE(H)}$ et $\mu_H$
ont les mêmes limites en loi!

\begin{theoreme}[Inégalité de Hoffman-Wielandt]
Si $A,B\in\cM_n(\dC)$ sont hermitiennes de spectres respectifs
$\la_1(A)\geq\cdots\geq\la_n(A)$ et $\la_1(B)\geq\cdots\geq\la_n(B)$ alors\vspace*{-3pt}
\[
\sum_{k=1}^n(\la_k(A)-\la_k(B))^2
\leq \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|A_{ij}-B_{ij}|^2.
\]
\end{theoreme}

Notons $\cP_2$ l'ensemble des lois sur $\dR$ possédant un moment d'ordre~$2$
fini. La distance de couplage (ou de Wasserstein) $d$ sur $\cP_2$ est définie
pour tous $\nu_1,\nu_2\in\cP_2$ par
\[
d(\nu_1,\nu_2)^2:=\inf_{\SSK{(X_1,X_2)\\X_1\sim\nu_1,X_2\sim\nu_2}}\dE(|X_1-X_2|^2)
\]
où l'infimum porte sur l'ensemble des couples de variables aléatoires de lois
marginales $\nu_1$ et $\nu_2$. La convergence pour $d$ entraîne la convergence
en loi (ainsi que la convergence des deux premiers moments). Dans le cas de
loi discrètes de la forme $\nu_1=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\de_{a_k}$ et
$\nu_2=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\de_{b_k}$ avec $a_1\leq\cdots\leq a_n$ et
$b_1\leq \cdots\leq b_n$, on trouve
\[
d(\nu_1,\nu_2)^2=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(a_i-b_i)^2.
\]
Par ailleurs, rappelons que $\cM_n(\dC)$ est un espace de Hilbert pour le
produit scalaire $\DOT{A,B}:=\TR(AB^*)$. La norme associée est appelée norme
de Schur, de Frobenius, ou encore de Hilbert-Schmidt:
\[
\NRMHS{A}^2=\TR(AA^*)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|A_{ij}|^2=\sum_{i=1}^n\la_i(A)^2.
\]
L'inégalité de Hoffman-Wielandt peut s'écrire à présent
\[
d(\mu_A,\mu_B)^2\leq\frac{\NRMHS{A-B}^2}{n}.
\]
Voici un exemple d'application: si $H$ est une matrice hermitienne aléatoire à
valeurs dans $\cM_n(\dC)$ telle que ${(H_{ii})}_{1\leq i\leq j\leq n}$ sont
i.i.d.\ de carré intégrable, alors pour tout réel $C>0$, en désignant par
$H_C$ la matrice tronquée définie par $(H_C)_{ij}:=H_{ij}\IND_{\{|H_{ij}|\leq
C\}}$, et en utilisant l'inégalité ci-dessus et la loi forte des grands
nombres, on a
\[
d(\mu_H,\mu_{H_C})^2
\leq \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|H_{ij}|^2\IND_{\{|H_{ij}|>C\}}
\overset{\text{p.s.}}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}
\dE(|H_{12}|^2\IND_{\{|H_{12}|>C\}}).
\]
Par convergence dominée ou monotone, le membre de droite peut être rendu
arbitrairement proche de $0$ en choisissant $C$ assez grand. Cela permet de se
ramener, dans la preuve du théorème de Wigner, au~cas où les coefficients de
$H$ sont bornés. La même méthode permet d'établir que la diagonale de $H$
ne joue pas de rôle dans le théorème de Wigner. On peut en particulier la
supposer nulle, ou de variance arbitraire.

Le théorème suivant se trouve par exemple dans
\cite{MR1036755}.

\begin{theoreme}[Inégalité de concentration de Azuma-Hoeffding]
Si $G(X_1,\ldots,X_n)$ est une variable aléatoire intégrable fonction de
vecteurs aléatoires $X_1,\ldots,X_n$ indépendants (pas forcément de même
dimension), alors pour tout $r\geq0$,
\begin{multline*}
\dP(|G(X_1,\ldots,X_n)-\dE(G(X_1,\ldots,X_n))|\geq r)\\ %
\leq 2\exp\PAR{-\frac{r^2}{2(c_1^2+\cdots+c_n^2)}}
\end{multline*}
où
\[
c_k:=\sup_{(x,x')\in \cD_k}|G(x)-G(x')| \quad\text{et}\quad
\cD_k:=\{(x,x'):x_i=x'_i\text{ si }i\neq k\}.
\]
\end{theoreme}

\noindent
Cette inégalité, de même nature que celle de Bienaymé-Tchebychev\footnote{Si
$G$ est une v.a.r.\ alors $\dP(|G-\dE(G)|\geq r)\leq\mathrm{Var}(G)/r^2$
pour tout $r>0$.}\!, affirme que la variable aléatoire $G(X_1,\ldots,X_n)$ est
concentrée autour de sa moyenne. Donnons un exemple d'application pour les
distributions spectrales de matrices aléatoires. Si $f$ est une fonction de
classe~$\cC^1$ et à support compact, alors pour toutes matrices hermitiennes
$A,B\in\cM_n(\dC)$, en notant $r:=\RANK(A-B)$, nous savons déjà, via le
théorème \ref{th:coufis}, que $\NRM{F_A-F_B}_\infty\leq r/n$, et donc, par
intégration par parties,
\begin{multline*}
\left|\int\!f\,d\mu_{A}-\int\!f\,d\mu_{B}\right|
=\left|\int_{-\infty}^{+\infty}\!f'(t)(F_A(t)-F_B(t))\,dt\right|
\\
\leq \frac{r}{n}\int_{-\infty}^{+\infty}\!|f'(t) |\,dt:=\frac{r}{n}\NRM{f'}_1.
\end{multline*}
On note $A(x_1,\ldots,x_n)\in\cM_n(\dC)$ la matrice hermitienne dont les
lignes du triangle supérieur sont $x_1,\ldots,x_n$ (ce sont des vecteurs de~$\dC^n,\dC^{n-1},\ldots,\dC$), et on pose
\[
G(x_1,\ldots,x_n)=\int\!f\,d\mu_{A(x_1,\ldots,x_n)}.
\]
On observe que
\begin{multline*}
\mathrm{rang}\big\{A(x_1,\ldots,x_{k-1},x_k,x_{k+1},\ldots,x_n)\\
-A(x_1,\ldots,x_{k-1},x_k',x_{k+1},\ldots,x_n)\big\}
\leq 2
\end{multline*}
et donc
\begin{multline*}
\big|G(x_1,\ldots,x_{k-1},x_k,x_{k+1},\ldots,x_n)\\
-G(x_1,\ldots,x_{k-1},x_k',x_{k+1},\ldots,x_n)\big|
\leq \frac{2}{n}\NRM{f'}_1.
\end{multline*}
À présent, si $H$ est une matrice hermitienne aléatoire à valeurs dans
$\cM_n(\dC)$ telle que les lignes de son triangle supérieur ${(H_{ij})}_{1\leq
i\leq j\leq n}$ sont indépendantes (ce sont des vecteurs aléatoires de
$\dC^n,\dC^{n-1},\ldots,\dC$), alors, grâce à l'inégalité de Azuma-Hoeffding,
pour toute fonction $f$ de classe $\cC^1$ et à support compact, et pour tout
réel $r\geq0$,
\[
\mathbb{P}\left(%
\left|\int\!f\,d\mu_H -\mathbb{E}\int\!f\,d\mu_H\right| \geq r%
\right) %
\leq 2 \exp\PAR{- \frac{nr^2}{8\NRM{f'}_1^2}}.
\]
Cette inégalité exprime le fait que la distribution spectrale empirique est
très concentrée autour de son espérance. C'est pour cette raison que les
fluctuations sont si faibles dans les simulations, dès que la dimension
dépasse quelques dizaines. La variable aléatoire $\int\!f\,d\mu_H
-\mathbb{E}\int\!f\,d\mu_H$ converge en probabilité vers $0$. Pour tirer parti
de la rapidité de convergence, on pose par exemple $r=n^{-1/2+\veps}$ avec
$\veps>0$ petit fixé, de sorte que la borne exponentielle dans le membre de
droite de l'inégalité soit sommable en $n$. Le lemme de
Borel-Cantelli\footnote{Si $\dE(\sum_n\IND_{A_n})=\sum_n\dP(A_n)<\infty$ alors
$\dP(\sum_n\IND_{A_n}<\infty)=1$. Note:
$$\Big\{\sum_n\IND_{A_n}=\infty\Big\}=\bigcap_n\bigcup_{m\geq n}A_m.$$} entraîne alors que
la convergence de la variable aléatoire vers $0$ a lieu presque sûrement. Cela
permet de ramener l'étude de la convergence en loi presque sûre de $\mu_H$ à
celle de la convergence en loi de $\dE\mu_H$.

\subsubsection*{Remerciements} Ce texte a bénéficié de commentaires de relecture de
Charles Bordenave, Yan Doumerc, Christophe Giraud, Florent Malrieu, et
Pierre-André Zitt.

\backmatter
\bibliographystyle{jepalpha+eid}
\bibliography{xups13-03}

\vfil

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{timbrewigner}
\caption{\smaller Timbre-poste hongrois en l'honneur de Wigner.}
\end{center}
\end{figure}

\vfil\mbox{}

\end{document}

