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\hyphenation{holo-mor-phe holo-mor-phes algé-bri-que-ment algé-bri-que algé-bri-ques engen-dré engen-dre local loca-le loca-les poly-nô-me poly-nô-mes défi-ni-tion défi-ni-tions arbi-trai-re arbi-trai-res irré-duc-ti-ble irré-duc-ti-bles démons-tra-tion revê-te-ment revê-te-ments sépa-ré sépa-rés}

\begin{document}
\frontmatter

\title[Henri Cartan et les fonctions holomorphes]{Henri Cartan et les fonctions holomorphes de\nobreakspace plusieurs variables}

\author[\initial{J.-P.} \lastname{Demailly}]{\firstname{Jean-Pierre} \lastname{Demailly}}
\address{Institut Fourier, Université de Grenoble I,
BP~74, 38402 Saint-Martin d'Hères}
\email{demailly@fourier.ujf-grenoble.fr}

\thanks{Journées X-UPS 2012. Henri Cartan \& André Weil, mathématiciens du \textsc{xx}\textsuperscript{e} siècle. Éditions de l'École polytechnique, 2012}

\begin{abstract}
Henri Cartan a consacré une part importante de son oeuvre mathématique à la théorie des fonctions holomorphes, depuis sa thèse de doctorat ès sciences soutenue en 1928, jusqu'aux travaux postérieurs majeurs sur les fonctions de plusieurs variables. En contact étroit avec le mathématicien japonais Kiyoshi Oka à l'issue de la seconde guerre mondiale, Henri Cartan développe la théorie algébrique des anneaux de fonctions holomorphes. Ceci conduira à la notion très importante de faisceau cohérent, après l'introduction de la notion de faisceau par Jean Leray. Le séminaire Cartan, qui se tient de 1948 à 1964 à l'École Normale Supérieure, sera l'occasion de développer en profondeur la théorie des faisceaux cohérents et de leur cohomologie, en collaboration avec des mathématiciens comme Jean-Pierre Serre. Ces travaux ont révolutionné une grande partie de la géométrie algébrique ou analytique, et suscité de nombreuses recherches dans le monde. Dans ce texte, nous tentons d'expliquer quelques aspects algébriques de la théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables, en particulier le résultat de Cartan publié en 1950 concernant la cohérence du faisceau d'idéaux d'un ensemble analytique.
\end{abstract}

\maketitle
\vspace*{-\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\section{Introduction}\label{sec:1}

L'objectif de ces notes est d'introduire quelques résultats
fondamentaux de nature algébrique relatifs aux fonctions holomorphes
de plusieurs variables. Henri Cartan y a contribué de manière
essentielle en développant la théorie des faisceaux cohérents,
qui est devenue aujourd'hui l'un des outils de base de la géométrie
analytique complexe tout comme de la géométrie algébrique.
Henri Cartan soutient sa Thèse de Doctorat ès Sciences en 1928 sous
la direction de Paul Montel, sur le thème \og\emph{Sur les systèmes
de fonctions holomorphes à variétés linéaires lacunaires et
leurs applications}\fg. Cette thèse porte principalement sur la
théorie de la distribution des valeurs des fonctions d'une
variable, dans le droit fil des travaux de Nevanlinna, mais les
premiers travaux de Cartan sur les fonctions de plusieurs variables
complexes remontent déjà à cette époque. On peut noter en
particulier un article de 1932 en commun avec le mathématicien
alle\-mand Peter Thullen sur les singularités des fonctions
holomorphes de \hbox{plusieurs} variables complexes, dans lequel est
développée la théorie des domaines d'holomorphie -- il s'agit
des domaines \og convexes\fg par rapport aux fonctions holomorphes,
généralisée de nos jours au travers de la notion de variété de
Stein. Pour la suite de l'histoire, écoutons ce qu'écrit Henri
Cartan lui-même dans sa notice de travaux publiée par
l'Académie des Sciences en 1973: \emph{L'étude des problèmes
globaux relatifs aux idéaux et modules de fonctions holomorphes m'a
occupé plusieurs années, en partant des travaux d'Oka. Dès \textup{1940},
j'avais vu qu'un certain lemme sur les matrice holomorphes inversibles
joue un rôle décisif dans ces questions. Ce lemme est énoncé
et démontré en \textup{1940} dans \textup{[19]}; dans ce même travail, j'en
fais diverses applications, et je prouve notamment que si des
fonctions $f_i$ (en nombre fini), holomorphes dans un domaine
d'holomorphie $D$, n'ont aucun zéro commun dans $D$, il existe une
relation $\sum_i c_if_i=1$ à coefficients~$c_i$ holomorphes dans
$D$. Dans \textup{[22]}, j'introduis la notion de \og cohérence\fg d'un
système d'idéaux et je tente de démontrer les théorèmes
fondamentaux de ce qui deviendra la théorie des faisceaux
analytiques cohérents sur une variété de Stein; mais je n'y
parviens pas dans le cas le plus général, faute de réussir à
prouver une conjecture que K.\,Oka démontrera plus tard \textup{(1950)} et
qui, en langage d'aujourd'hui, exprime que le faisceau des germes de
fonctions holomorphes est cohérent. Sitôt que j'eus connaissance
de ce théorème de Oka (publié avec beaucoup d'autres dans le
volume \textup{78} du Bulletin de la Société mathématique de France),
je repris l'ensemble de la question dans \textup{[29]}, en introduisant
systématiquement la notion de faisceau (introduite alors par Leray
en Topologie) et celle de faisceau cohérent (mais pas encore
dans le sens plus général et définitif qui sera celui de mon
Séminaire \textup{1951-52}). Il s'agit essentiellement de ce qu'on appelle
aujourd'hui les \og théorèmes A et B\fg. Cependant, la, formulation
cohomologique générale du théorème B ne viendra que dans le
Séminaire cité, à la suite de discussions avec J.-P.\,Serre. La
conférence \textup{[35]} est consacrée à une exposition d'ensemble de
ces questions (sans démonstrations), avec indications sur les
diverses applications qui en découlent pour la théorie globale des
variétés de Stein, et en particulier pour les problèmes de
Cousin.}

Terminons par un bref plaidoyer pour la géométrie analytique. On~doit à Descartes l'idée essentielle qu'il est possible de ramener
des problèmes de géométrie à des calculs effectués dans des
systèmes de coordonnées, ce qui a rapidement permis d'utiliser de
manière très efficace les outils de l'algèbre et les méthodes
de résolution des équations linéaires ou algébriques. La
géométrie algébrique consiste précisément à étudier les
propriétés générales des solutions des systèmes
d'équations polynomiales. Dans un contexte moderne, on peut se
placer sur un corps quelconque, mais les corps $\bR$ et $\bC$ restent
particulièrement intéressants puisqu'ils correspondent aux espaces
euclidiens usuels de la Physique. Sur le corps $\bC$ des nombres
complexes, on a l'immense avantage que tout polynôme admet autant
exactement autant de racines que le degré (en comptant les
multiplicités). Il en résulte que l'ensemble des solutions d'un
système d'équations polynomiales reflète beaucoup plus
fidèlement la structure algébrique de ces équations lorsqu'on se
place sur $\bC$ que lorsqu'on se place sur~$\bR$, et beaucoup
d'énoncés deviennent en réalité plus simples et plus
\og réguliers\fg. Il en est ainsi par exemple du théorème de Bézout
qui dit que l'intersection de deux courbes algébriques complexes
de degrés~$p$ et~$q$ sans composantes communes comporte exactement
$pq$ points, à condition de compter les multiplicités et les
\og points à l'infini\fg du plan projectif complexe. Cependant, il existe
des fonctions très naturelles qui ne sont pas polynomiales, comme la
fonction exponentielle, pourtant solution d'une équation
différentielle algébrique simple. La~géométrie analytique
moderne, en particulier celle développée par Henri Cartan,
consiste à étendre au cadre analytique, c'est-à-dire aux
séries entières convergentes de plusieurs variables complexes, la
plus grande partie des propriétés algébriques des polynômes
à coefficients dans~$\bC$. D'une certaine manière, la
géométrie analytique est une \og complétion\fg de la géométrie
algébrique~--~il existe même des questions purement algébriques
que l'on ne sait résoudre aujourd'hui que par voie analytique~--~un
peu comme les réels ou les complexes permettent de résoudre des
équations algébriques ou différentielles qu'il serait impossible
de résoudre dans le corps des rationnels ou des nombres
algébriques.

\section{L'anneau local des germes de fonctions holomorphes}\label{sec:2}

\Subsection{Notion de germe, premières propriétés élémentaires}\label{subsec:2A}

De manière générale, si $X$ est un espace topologique, le germe
en un point $x$ d'une fonction $f$ définie sur un voisinage $U$ de $x$
n'est
autre que la classe d'équivalence de $f$ pour la relation
d'équivalence suivante: $f_1\sim f_2$ si et seulement si il
existe un voisinage $V$ de $x$ sur lequel $f_1$ et $f_2$ sont toutes
deux définies, avec $f_1=f_2$ sur~$V$.

\begin{enonce*}[remark]{(2.1) Notation}
On note $\cO_n$ l'anneau des germes de fonctions
holomorphes sur $\bC^n$ en $0$. De manière alternative, d'après
la théorie élémentaire des fonctions holomorphes (formule de
Cauchy) $\cO_n$ peut
être identifié avec l'anneau $\bC\{z_1,\ldots,z_n\}$ des séries entières
$$\sum_{\alpha\in\bN^n}\alpha_\alpha z^\alpha,\qquad
\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n),~~z^\alpha=z_1^{\alpha_1}\cdots
z_n^{\alpha_n}
$$
en $z_1,\ldots,z_n$, convergeant sur un polydisque de centre $0$ de rayon
assez petit.
\end{enonce*}

On note ici $\Delta(p,r)$ le disque ouvert $|z-p|<r$ de centre
$p$ et de rayon $r>0$ dans $\bC$. Plus généralement, si $p\in\bC^n$
et $r=(r_1,\ldots,r_n)\in(\bR^*_+)^n$ est un multirayon, on considère
le polydisque
$$
\Delta(p,r)=\Delta(p_1,r_1)\times\ldots\times \Delta(p_n,r_n).
$$
Lorsque $p=0$, on écrira de manière abrégée $\Delta(0,r)=\Delta(r)$
dans ce qui suit. En dimension $n=1$, la structure algébrique de l'anneau
$\cO_1$ est très simple. En fait, un germe $f$ de fonction holomorphe
\[
f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_kz^k
\]
non identiquement nul se factorise sous la forme $f(z)=z^mu(z)$ où $m$ est le plus petit entier tel que
$a_m\ne 0$, et
\[
u(z)=\sum_{k=m}^{+\infty}a_kz^{k-m}.
\]
On a $u(0)=a_m\ne 0$
et il en résulte que $u$ est un élément inversible de l'anneau~$\cO_1$.
On en déduit facilement que les idéaux non nuls $I$ de $\cO_1$ sont de
la forme $I=(z^m)$, où $m$ est le minimum des ordres d'annulation des
fonctions $f\in I$. En particulier $\cO_1$ est un anneau principal.

La situation est beaucoup plus compliquée dès la dimension~$2$.
L'anneau $\cO_n$ admet encore un unique idéal maximal
$$
\gm=\{f\in\cO_n\sep f(0)=0\}
$$
qui est engendré par les générateurs $z_1$, $z_2$, $\ldots$, $z_n$
(comme on le voit en factorisant adéquatement les termes de la
série entière $\sum a_\alpha z^\alpha$ si $a_0=0$), et on a
$\cO_n/\gm\simeq\bC$ (un anneau admettant un unique idéal maximal est
appelé \emph{anneau local}). Comme $\gm/\gm^2$
s'identifie à l'espace de dimension~$n$ des parties de degré un
$\sum_{j=1}^na_jz_j$ de la série entière, on voit que
$\gm$ ne peut avoir moins de $n$ générateurs. On verra cependant un peu
plus loin qu'il s'agit d'un \emph{anneau noethérien}. Rappelons ici
cette notion algébrique fondamentale.

\begin{enonce*}[remark]{(2.2) Définition}
Un anneau $A$ (commutatif, unitaire) est
dit \emph{noethérien} si tout idéal $I$ de $A$ est de type fini, c'est-à-dire
que $I=(g_1,\ldots,g_N)$ est engendré par un nombre fini de générateurs.
\end{enonce*}

\noindent
Il est classique (et très facile à vérifier) qu'un anneau
$A$ est noethérien si et seulement si toute suite croissante
$$I_1\subset I_2\subset\ldots\subset I_k\subset\cdots$$
d'idéaux est stationnaire. Un fait important est que la
propriété de noethérianité s'hérite par passage aux anneaux de polynômes.

\begin{enonce*}{(2.3) Théorème}
Si $A$ est un anneau noethérien, alors
l'anneau de polynôme $A[T]$ est encore noethérien.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Soit $J$ un idéal de~$A[T]$. On désigne par
$I_k$ l'ensemble des coefficients dominants des polynômes $P(T)\in J$
qui sont de degré~$k$. Comme $AJ\subset J$, il est immédiat que
$I_k$ est un idéal de~$A$, et~d'autre part le fait que
$TJ\subset A[T]J\subset J$ implique $I_k\subset I_{k+1}$.
La~suite $I_k$ est donc stationnaire à partir d'un certain rang $I_{k_0}$.
Pour tout $k\le k_0$, prenons des polynômes $P_{k,\ell}(T)$ en nombre
fini $1\le\ell\le N(k)$, tels que les coefficients dominants des
$P_{k,\ell}$ engendrent~$I_k$. Comme $I_k=I_{k_0}$ pour $k\ge k_0$, on
voit que les coefficients dominants des polynômes
$T^{k-k_0}P_{k_0,\ell}$ engendrent~$I_k$. On en déduit facilement
que $(P_{k,\ell}(T))_{k\le k_0,\ell\le N(k)}$
est un système générateur de $J$ sur $A[T]$.
\end{proof}

En particulier, tout anneau de polynômes $k[T_1,\ldots,T_N]$ sur un
corps commutatif $k$ est noethérien (Hilbert). Nous aurons besoin aussi
de résultats élémentaires classiques concernant les
fonctions symétriques élémentaires des racines. On a\vspace*{-3pt}
$$
\prod_{j=1}^d(T-w_j)=T^d-\sigma_1 T^{d-1}+\ldots+(-1)^k\sigma_k T^{d-k}+(-1)^d\sigma_d,
$$
où $\sigma_k$ est la fonction symétrique élémentaire de
degré $k$ en les racines~$w_j$:\vspace*{-3pt}
$$
\sigma_k=\sum_{1\le j_1<j_2<\ldots<j_k\le d}w_{j_1}w_{j_2}\cdots w_{j_d}.
$$
Une autre fonction symétrique naturelle de degré $k$ est la somme des
puissances $k$-ièmes des racines\vspace*{-3pt}
$$
S_k=\sum_{j=1}^dw_j^k.
$$
Pour trouver la relation entre les $\sigma_k$ et les $S_k$, on
écrit\vspace*{-3pt}
\[
\prod_{j=1}^d(1-w_jT)=\sum_{k=0}^d(-1)^k\sigma_kT^k
\]
et on utilise le développement formel\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
\log\prod_{j=1}^d(1-w_jT)&=\sum_{j=1}^d\log(1-w_jT)\\[-3pt]
&=-\sum_{j=1}^d
\sum_{k=1}^{+\infty}{w_j^k\over k}T^k=-\sum_{k=1}^{+\infty}{S_k\over k}T^k.
\end{align*}
En utilisant le
développement en série du logarithme\vspace*{-3pt}
\[
\log(1+\sum_{k=1}^d(-1)^k\sigma_kT^k)
\]
on obtient l'identité formelle\vspace*{-3pt}
$$
\sum_{k=1}^{+\infty}-{S_k\over k}T^k=\sum_{p=1}^{+\infty}{(-1)^{p-1}\over p}\Big(\sum_{k=1}^d
(-1)^k\sigma_kT^k\Big)^p.
$$
En développant la puissance $p$-ième par sommation sur toutes les
partitions $p=p_1+\ldots +p_d$ et en identifiant les coefficients
de $T^k$, il~vient
\begin{multline*}\tag*{(2.4)}
S_k=\hspace*{-5mm}\sum_{\substack{p_1,\ldots,p_d\ge 0,\\
p_1+2p_2+\ldots+dp_d=k}}\hspace*{-5mm}\frac{(-1)^{p_1+\ldots+p_d+k} \,k\,(p_1+\ldots+p_d-1)!}{p_1!\,p_2!\,\ldots\,p_d!}\\[-8pt]
{}\times(\sigma_1)^{p_1}(\sigma_2)^{p_2}\ldots(\sigma_d)^{p_d},
\end{multline*}
ce qui montre que $S_k\in\bZ[\sigma_1,\ldots,\sigma_d]$ (pour voir que le
coefficient est entier, on remplace $k$ par $p_1+2p_2+\ldots+dp_d$ et
on utilise le fait que les coefficients multinomiaux
$(q_1+\ldots+q_d)!/q_1!\ldots q_d!$ sont entiers, avec $q_j=p_j$ ou
$q_j=p_j-1$).
Pour obtenir l'expression inverse des $\sigma_k$ en fonction des $S_k$
on écrit
$$
\sum_{k=0}^d(-1)^k\sigma_kT^k=\exp\bigg(-\sum_{k=1}^{+\infty}{S_k\over k}T^k\bigg)
=\sum_{p=0}^{\infty}{(-1)^p\over p!}\bigg(\sum_{k=1}^{+\infty}{S_k\over k}T^k\bigg)^p.
$$
En développant la puissance $p$-ième et en identifiant les coefficients
de $T^k$ il vient cette fois
$$
\sigma_k=\hspace*{-5mm}\sum_{\substack{p_1,\ldots,p_k\ge 0,\\
p_1+2p_2+\ldots+kp_k=k}}\hspace*{-5mm}\frac{(-1)^{k+p_1+\ldots+p_k}}{p_1!\,p_2!\,\cdots\,p_k!}\,
{(S_1)^{p_1}(S_2)^{p_2}\cdots(S_k)^{p_k}\over 1^{p_1}~~2^{p_2}~~\cdots~~~k^{p_k}},
\leqno(2.5)
$$
et on voit donc que $\sigma_k\in\bQ[S_1,\ldots,S_k]$
s'exprime comme un polynôme à coefficients rationnels en
$S_1,S_2,\ldots, S_k$ (\emph{formules de Newton}).

\subsection{Théorème de préparation de Weierstrass}\label{subsec:2B}
Le pas suivant important est d'établir un théorème
concernant la factorisation et les propriétés de divisibilité
des fonctions holomorphes de plusieurs variables, essentiellement dû
à Weierstrass. Nous suivons ici une preuve classique donnée par
C.\,L.\,Siegel, s'appuyant sur un usage astucieux de la formule de
Cauchy. Soit $g(z)=\sum_{\alpha\in\bN^n}a_\alpha z^\alpha$
une fonction holomorphe définie sur un voisinage de
$0$ dans~$\bC^n$, $g\not\equiv 0$. Il existe un ensemble dense de
vecteurs $v\in\bC^n\ssm\{0\}$ tel que la fonction $\bC\ni t\mto
g(tv)$ ne soit pas identiquement nulle. En effet, la série de Taylor
de $g$ à l'origine fournit
$$g(tv)=\sum_{k=0}^{+\infty}{1\over k!}\,t^k\,g^{(k)}(v),\qquad
g^{(k)}(v)=\sum_{|\alpha|=k}a_\alpha v^\alpha
$$
où $g_k$ est un polynôme homogène de degré $k$ sur $\bC^n$ (on note
ici $|\alpha|$ la \emph{longueur} $\alpha_1+\ldots+\alpha_n$ du
multi-indice $\alpha$). On a par hypothèse
$g^{(k_0)}\not\equiv 0$ pour un certain indice~$k_0$
. Par conséquent,
il suffit de choisir~$v$ tel que $g^{(k_0)}(v)\ne 0$. Après un changement
linéaire de coordonnées, on peut supposer que $v=(0,\ldots,0,1)$.
Soit $s$ l'ordre
d'annulation de la fonction $z_n\mto g(0,\ldots,0,z_n)$ en~$z_n=0$. Il
existe $r_n>0$ tel que $g(0,\ldots,0,z_n)\ne 0$ pour $0<|z_n|\le r_n$.
Par continuité de $g$ et par compacité du cercle
$|z_n|=r_n$, il existe $r'>0$ et $\varepsilon>0$ tels que
\begin{multline*}
g(z',z_n)\ne 0\qquad \text{pour}~z'=(z_1,\ldots,z_{n-1})\in\bC^{n-1},\\
|z'|\le r',~~~r_n-\varepsilon\le|z_n|\le r_n+\varepsilon.
\end{multline*}
Pour tout entier $k\in\bN$, considérons l'intégrale
$$S_k(z')={1\over 2\pi\ii}\int_{|z_n|=r_n}{1\over g(z',z_n)}\,{\partial g\over
\partial z_n}(z',z_n)\,z_n^k\,dz_n.$$
Alors $S_k$ est holomorphe dans un voisinage de $|z'|\le r'$.
Le théorème de Rouché montre que $S_0(z')$
est le nombre de racines $z_n$ de $g(z',z_n)=0$ dans le disque $|z_n|<r_n$,
donc par continuité $S_0(z')$ doit être une constante~$s$. Notons
$w_1(z'),\ldots,w_s(z')$ ces racines, comptées avec multiplicités. Par
définition de~$r_n$, nous avons $w_1(0)=\ldots=w_s(0)=0$, et grâce au
choix de~$r'$, $\varepsilon$ on obtient $|w_j(z')|<r_n-\varepsilon$
pour $|z'|\le r'$. La formule des résidus de Cauchy implique
$$S_k(z')=\sum_{j=1}^s w_j(z')^k.$$
Maintenant, la formule de Newton (2.5) montre que la fonction
symé\-trique élémentaire $c_k(z')$ de degré $k$ en $w_1(z'),\ldots,w_s(z')$
est un polynôme en $S_1(z'),\ldots,S_k(z')$. Par suite la fonction
$c_k(z')$ est elle aussi holomorphe dans un voisinage de $|z'|\le r'$. Posons
$$P(z',z_n)=z_n^s-c_1(z')z_n^{s-1}+\cdots+(-1)^sc_s(z')=\prod_{j=1}^s
\big(z_n-w_j(z')\big).$$
Pour $|z'|\le r'$, le quotient $f=g/P$ (\resp $f=P/g$) est holomorphe en $z_n$
sur le disque $|z_n|<r_n+\varepsilon$, car $g$ et $P$ ont les mêmes zéros
avec les mêmes multiplicités, et $f(z',z_n)$ est holomorphe en $z'$ pour
$r_n-\varepsilon\le|z_n|\le r_n+\varepsilon$. La formule de Cauchy donne
$$f(z',z_n)={1\over 2\pi\ii}\int_{|w_n|=r_n+\varepsilon}
{f(z',w_n)\,dw_n\over w_n-z_n},$$
et $f$ est holomorphe en $z$ sur un voisinage du polydisque
$\ol\Delta(r',r_n)=\{|z'|\le r'\}\times\{|z_n|\le r_n\}$.
Par conséquent $g/P$ est inversible et on obtient:

\begin{enonce*}{(2.6) Théorème de préparation de Weierstrass} Soit $g$ une
fonction holomorphe sur un voisinage de $0$ dans $\bC^n$, telle que
$g(0,z_n)/z_n^s$ a une limite finie non nulle en~$z_n=0$. Avec les
choix précédentes de $r'$ et~$r_n$, on peut écrire
$g(z)=u(z)P(z',z_n)$ où $u$ est une fonction holomorphe inversible
dans un voisinage du polydisque $\ol\Delta(r',r_n)$, et $P$ est
un polynôme de Weierstrass en~$z_n$, c'est-à-dire, un polynôme
de la forme
$$P(z',z_n)=z_n^s+a_1(z')z_n^{s-1}+\cdots+a_s(z'),\qquad a_k(0)=0,$$
avec des coefficients $a_k(z')$ holomorphe sur un voisinage de
$|z'|\le r'$ dans~$\bC^{n-1}$.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{(2.7) Remarque}
Si $g$ s'annule à l'ordre $m$ en $0$ et $v\in\bC^n
\ssm\{0\}$ est choisi tel que $g^{(m)}(v)\ne 0$, alors $s=m$ et $P$ doit
aussi s'annuler à l'ordre $m$ en~$0$. Dans ce cas, les coefficients $a_k(z')$
sont tels que $a_k(z')=O(|z'|^k)$, $1\le k\le s$.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{(2.8) Théorème de division de Weierstrass} Pour toute fonction
holomorphe $f$ sur le polydisque $\Delta=\Delta(r',r_n)$, on peut écrire
$$f(z)=g(z)q(z)+R(z',z_n),\leqno(2.9)$$
où $q$ et $R$ sont analytiques dans $\Delta$, $R(z',z_n)$ est un
polynôme de degré $\le s-1$ in $z_n$, et
$$\sup_\Delta|q|\le C\sup_\Delta|f|,\qquad \sup_\Delta|R|\le C\sup_\Delta|f|
\leqno(2.10)$$
pour une constante $C\ge 0$ indépendante de~$f$. La représentation $(2.9)$
est unique.
\end{enonce*}

\begin{proof}[Démonstration \textup{(Siegel)}]
Il suffit de démontrer
le résultat lorsque $g(z)=P(z',z_n)$ est un polynôme de Weierstrass.

Démontrons d'abord l'unicité. Si $f=Pq_1+R_1=Pq_2+R_2$, alors
$$P(q_2-q_1)+(R_2-R_1)=0.$$
Il s'ensuit que les $s$ racines $z_n$ de $P(z',\bu)=0$ sont des zéros
de $R_2-R_1$. Comme $\deg_{z_n}(R_2-R_1)$ $\le s-1$, on doit avoir
$R_2-R_1\equiv 0$, donc $q_2-q_1\equiv 0$.
Pour prouver l'existence de $(q,R)$, on pose
$$q(z',z_n)=\lim_{\varepsilon\to 0{\scriptscriptstyle+}}~{1\over 2\pi\ii}
\int_{|w_n|=r_n-\varepsilon}{f(z',w_n)\over P(z',w_n)(w_n-z_n)}\,dw_n,
\qquad z\in\Delta\,;$$
observons que l'intégrale ne dépend pas de $\varepsilon$ lorsque
$\varepsilon<r_n-|z_n|$ est assez petit. Alors $q$ est holomorphe sur
$\Delta$. La fonction $R=f-Pq$ est aussi holomorphe sur $\Delta$ et
$$R(z)=\lim_{\varepsilon\to 0{\scriptscriptstyle+}}~{1\over 2\pi\ii}
\int_{|w_n|=r_n-\varepsilon}{f(z',w_n)\over P(z',w_n)}\,
\Big[{P(z',w_n)-P(z',z_n)\over(w_n-z_n)}\Big]\,dw_n.$$
L'expression entre crochets est de la forme
$$\big[(w_n^s-z_n^s)+\sum_{j=1}^s a_j(z')(w_n^{s-j}-z_n^{s-j})\big]/(w_n-z_n)$$
donc est un polynôme en $z_n$ de degré $\le s-1$ dont les coefficients
sont des fonctions holomorphes de~$z'$. Par conséquent, on obtient bien
l'écriture annoncée $f=Pq+R$ et
$$\sup_\Delta|R|\le C_1\sup_\Delta|f|$$
où $C_1$ dépend de majorants des $a_j(z')$ et de $\mu=\min|P(z',z_n)|$
sur l'ensemble compact
\[
\{|z'|\le r'\}\times\{|z_n|=r_n\}.
\]
Par
le principe du maximum appliqué à $q=(f-R)/P$ sur chaque disque
\hbox{$\{z'\}\times\{|z_n|<r_n-\varepsilon\}$}, on obtient aisément
\[
\sup_\Delta|q|\le\mu^{-1}(1+C_1)\sup_\Delta|f|.\qedhere
\]
\end{proof}

\subsection{Propriétés algébriques de l'anneau \texorpdfstring{$\cO_n$}{On}}\label{subsec:2C}

Nous présentons ici des applications importantes du théorème de
préparation de Weierstrass à l'étude de l'anneau des germes de
fonctions holomorphes dans~$\bC^n$.

\begin{enonce*}{(2.11) Théorème}
L'anneau $\cO_n$ est noethérien, c'est-à-dire que
tout idéal $\cI$ de $\cO_n$ est de type~fini.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Par récurrence sur $n$. Pour $n=1$, $\cO_n$ est
un anneau principal: tout idéal $\cI\ne\{0\}$ est engendré par $z^s$,
où $s$ est le minimum des ordres d'annulation en $0$ des éléments non
nuls de~$\cI$. Soit $n\ge 2$ et $\cI\subset\cO_n$, $\cI\ne\{0\}$. Après un
changement de variables, on peut supposer que $\cI$ contient un
polynôme de Weierstrass $P(z',z_n)$. Pour tout $f\in\cI$, le
théorème de division de Weierstrass implique
$$f(z)=P(z',z_n)q(z)+R(z',z_n),\qquad R(z',z_n)=\sum_{k=0}^{s-1}c_k(z')\,z_n^k,$$
et $R\in\cI$. Considérons l'ensemble $\cM$ des coefficients
$(c_0,\ldots,c_{s-1})$ dans $\cO_{n-1}^{\oplus s}$ qui correspondent aux
polynômes $R(z',z_n)$ appartenant à~$\cI$. Alors $\cM$ est un
$\cO_{n-1}$-sous-module de~$\cO_{n-1}^{\oplus s}$. D'après l'hypothèse de
récurrence $\cO_{n-1}$ est noethérien; de plus, tout sous-module
d'un module de type fini sur un anneau noethérien est de type fini
([Lang,~1965], Chap.\,X). Par suite $\cM$ est de type fini, et
$\cI$ est engendré par $P$ et par les polynômes $R_1,\ldots,R_N$
associés à un ensemble fini de générateurs de~$\cM$.
\end{proof}

Avant d'aller plus loin, nous avons besoin de deux lemmes qui
relient les propriétés algébriques de $\cO_n$ à celle de l'anneau
de polynômes $\cO_{n-1}[z_n]$.

\begin{enonce*}{(2.12) Lemme} Soit $P,F\in\cO_{n-1}[z_n]$ où $P$ est un
polynôme de Weierstrass. Si $P$ divise $F$ dans $\cO_n$, alors
$P$ divise $F$ dans $\cO_{n-1}[z_n]$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Supposons que $F(z',z_n)=P(z',z_n)h(z)$,
$h\in\cO_n$. L'algorithme standard de division de $F$ par
$P$ dans l'anneau de polynômes $\cO_{n-1}[z_n]$ fournit
$$F=PQ+R,\qquad Q,R\in\cO_{n-1}[z_n],~~~\deg R<\deg P.$$
La partie \og unicité\fg du théorème 2.8 implique $h(z)=Q(z',z_n)$ et
$R\equiv\nobreak 0$.
\end{proof}

\pagebreak[2]
\begin{enonce*}{(2.13) Lemme} Soit $P(z',z_n)$ un polynôme de Weierstrass.
\begin{enumeratea}
\item
Si $P=P_1\ldots P_N$ avec $P_j\in\cO_{n-1}[z_n]$, alors,
modulo des facteurs inversibles de $\cO_{n-1}$, tous les $P_j$ sont des
polynômes de~Weierstrass.
\item
$P(z',z_n)$ est irréductible dans $\cO_n$ si et seulement
s'il est irréductible dans $\cO_{n-1}[z_n]$.
\end{enumeratea}
\end{enonce*}

\skpt
\begin{proof}
\begin{enumeratea}
\item
Supposons que $P=P_1\ldots P_N$ pour des
polynômes $P_j\in\cO_{n-1} [z_n]$ de degrés respectifs
$s_j$, $\sum_{1\le j\le N}s_j=s$. Le produit des coefficients
directeurs de $P_1,\ldots,P_N$ dans $\cO_{n-1}$ est égal à~$1$;
après avoir normalisé ces polynômes, on peut supposer
que $P_1,\ldots,P_N$ sont unitaires et $s_j>0$ pour tout~$j$. Alors
$$P(0,z_n)=z_n^s=P_1(0,z_n)\ldots P_N(0,z_n),$$
donc $P_j(0,z_n)=z_n^{s_j}$ et par suite $P_j$ est un polynôme
de Weierstrass.

\item
Posons $s=\deg P$, de sorte que $P(0,z_n)=z_n^s$.
Supposons que $P$ soit réductible dans $\cO_n$,
avec $P(z',z_n)=g_1(z)g_2(z)$ pour des éléments non inversibles
$g_1,g_2\in\cO_n$. Alors $g_1(0,z_n)$ et $g_2(0,z_n)$ ont des
ordres d'annulation $s_1,s_2>0$ tels que $s_1+s_2=s$, et
$$g_j=u_jP_j,\qquad \deg P_j=s_j,~~~j=1,2,$$ où $P_j$ est un
polynôme de Weierstrass et où $u_j\in\cO_n$ est inversible.
Par suite $P_1P_2=uP$ pour un germe inversible $u\in\cO_n$. Le lemme~2.12
montre que $P$ divise $P_1P_2$ dans $\cO_{n-1}[z_n]$; puisque
$P_1$, $P_2$ sont unitaires et que $s=s_1+s_2$, on obtient $P=P_1P_2$,
donc $P$ est réductible dans $\cO_{n-1}[z_n]$. L'implication réciproque
est évidente d'après~a).\qedhere
\end{enumeratea}
\end{proof}

\begin{enonce*}{(2.14) Théorème}
L'anneau $\cO_n$ est factoriel, c'est-à-dire que
$\cO_n$ est un anneau intègre et~que
\begin{enumeratea}
\item
tout élément non nul $f\in\cO_n$ admet une factorisation
$f=f_1\ldots f_N$ en éléments irréductibles;
\item
la factorisation est unique à des facteurs inversibles près.
\end{enumeratea}
\end{enonce*}

\begin{proof}
L'existence stipulée par a) résulte du lemme~2.13
si
on prend pour $f$ un polynôme de Weierstrass et $f=f_1\cdots f_N$ une
décomposition de longueur maximale $N$ en polynômes de degrés
positifs. Pour montrer l'unicité, il suffit de vérifier l'énoncé suivant:
\begin{enumeratea}\refstepcounter{enumi}\def\labelenumi{\textup{\theenumi$'$)}}
\item
\itshape Si $g$ est un élément
irréductible qui divise un produit $f_1f_2$, alors~$g$ divise
$f_1$ ou~$f_2$.
\end{enumeratea}
Grâce au théorème 2.6, on peut supposer que $f_1$, $f_2$, $g$ sont
des polynômes de Weierstrass en~$z_n$. Alors $g$ est irréductible et divise
$f_1f_2$ in $\cO_{n-1}[z_n]$ d'après les lemmes 2.12 et 2.13~b).
Par récurrence sur~$n$, on peut supposer que $\cO_{n-1}$ est factoriel.
Le classique lemme de Gauss ([Lang,~1965], Chap.\,IV) affirme
que l'anneau de polynômes $A[T]$ est factoriel dès que l'anneau $A$ est
lui-même factoriel. Par conséquent, on voit d'après l'hypothèse de
récurrence que $\cO_{n-1}[z_n]$ est factoriel et donc
$g$ doit diviser $f_1$ ou $f_2$ dans $\cO_{n-1}[z_n]$.
\end{proof}

\begin{enonce*}{(2.15) Corollaire} Si $f,g\!\in\!\cO_n$ sont premiers entre eux,
les germes~$f_z,g_z$ sont encore premiers entre eux en tout point
$z\in\bC^n$ voisin de~$0$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
On peut supposer que $f=P,~g=Q$ sont des
polynômes de Weierstrass. Rappelons que des polynômes unitaires
$P,Q\in A[X]$ ($A={}$anneau factoriel) sont premiers entre eux si et seulement si leur résultant
$R\in A$ est non nul. On en déduit que le résultant $R(z')\in\cO_{n-1}$ de
$P(z',z_n)$ et $Q(z',z_n)$ possède un germe non nul en~$0$. Par suite le germe
$R_{z'}$ est lui aussi non nul aux points $z'\in\bC^{n-1}$ voisins de~$0$.
\end{proof}

\begin{enonce*}[remark]{(2.16) Germe d'hypersurface analytique}Comme \og premier échauffe\-ment\fg avant la mise en place de résultats plus généraux, nous
allons étudier ici la structure locale de l'ensemble des solutions d'une
équation holomorphe $f(z)=0$ dans un voisinage de $0$ dans $\bC^n$.
Quitte à effectuer un changement de coordonnées, on peut trouver
une décomposition $f=uP$ avec $u$ inversible et $P$ un
polynôme de Weierstrass. Nous avons alors $\{f(z)=0\}=\{P(z',z_n)\}$ sur
un voisinage de l'origine, et on est donc ramené à étudier l'ensemble
des zéros $P(z',z_n)=0$ d'un polynôme de Weierstrass. Soit $d=\deg_{z_n}P$.
Nous utiliserons le lemme élémentaire suivant.

\begin{enonce*}{(2.17) Lemme} Si $w\in\bC$ est une racine du polynôme
\[
w^d+a_1w^{d-1}+\cdots+a_d=0,\quad a_j\in\bC,
\]
alors on a la majoration $|w|\le 2\max|a_j|^{1/j}$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Sinon on aurait $|w|>2|a_j|^{1/j}$ pour tout
$j=1,\ldots,d$
et l'équation pourrait se récrire $-1=a_1/w+\cdots+a_d/w^d$,
ce qui impliquerait $1\le 2^{-1}+\cdots+2^{-d}$,
contradiction.
\end{proof}

En choisissant $d$ égal à l'ordre d'annulation de $f$ en $0$, la
Remarque~2.7 permet d'écrire
$$
P(z',z_n)=z_n^d+a_1(z')z_n^{d-1}+\cdots+a_d(z'),~~a_k(z')=O(|z'|^k),~~
1\le k\le d
$$
sur un voisinage de~$0$. Le lemme~2.17 montre que les racines $z_n$
satisfont une majoration de la forme $|z_n|\le C|z'|$. D'après ce qui
précède, on a une factorisation en éléments irréductibles distincts
$P=\prod_{1\le j\le r} P_j^{m_j}$, chaque $P_j(z',z_n)\in \cO_n$
étant un polynôme de Weierstrass de même forme que $P$. Posons
$d_j=\deg_{z_n} P_j$. Le discriminant $\delta_j(z')$ de $P_j$
est non nul, et il en est de même pour les résultants $R_{jk}(z')$ de
$P_j$ et $P_k$, $j\ne k$. Comme $\delta_j$ est aussi le résul\-tant de
$P_j$ et $\partial P_j/\partial z_n$, nous avons
$\partial P_j/\partial z_n\ne 0$ pour toute \hbox{racine}~$z_n$ de $P_j(z',z_n)=0$
si $\delta_j(z)=0$. Soit $S\subset\bC^{n-1}$ le germe défini
par $\sigma(z')=\prod \delta_j(z')\times\prod R_{jk}(z')=0$, défini dans un
polydisque $\Delta'\subset\bC^{n-1}$ assez petit. Pour $z'\in\Delta'\ssm S$,
les racines $z_n$ des polynômes $P_j(z',z_j)=0$ sont toutes distinctes,
et le théorème des fonctions implicites montre que chaque racine
$z_n$ s'écrit
localement comme une fonction holomorphe $z_n=w_\ell(z')$. Il y a au total
exactement
$$d'=\sum_{1\le j\le r}d_j\qquad
\Big(\hbox{avec}~~d'\le d=\sum_{1\le j\le r}m_jd_j\Big)$$
telles racines $w_\ell(z')$, $1\le\ell\le d'$. Si on note
$$A=\big\{z=(z',z_n)\in\Delta'\times\bC\sep P(z',z_n)=0\big\}$$
et $\pi:A\to \Delta'$ la projection $z\mto z'$, on voit que
$A\ssm\pi^{-1}(S)$ est une hypersurface analytique lisse de $\bC^n$ et que
la restriction
\[
\pi:A\ssm\pi^{-1}(S)\to\Delta'\ssm S
\]
est un revêtement
à $d'$ feuillets (cf. Appendice \S5.A pour une brève introduction
à la notion de revêtement). La situation se présente graphiquement
comme suit, $A$ étant contenu dans un cône $|z_n|\le C|z'|$:
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.8]{xups12-03_fig1}
\caption{Revêtement ramifié de $A$ sur $\Delta'\subset\bC^{n-1}$}
\end{center}
\end{figure}

En dimension $n=2$, la situation est nettement plus simple. En effet dans ce
cas $\Delta'=\Delta_1\subset\bC$, et comme les zéros d'une fonction holomorphe
d'une variable sont isolés, on peut supposer, quitte à rétrécir~$\Delta_1$,
que $S$ se réduit au point $\{0\}$ (ou que $S$ est vide). On voit donc
que $A\ssm(\{0\}\times\bC)$ est un revêtement du disque pointé
$\Delta_1\ssm\nobreak\{0\}$ à~$d'$ feuillets. Ce revêtement peut avoir plusieurs
composantes connexes, ne serait-ce que parce que les facteurs
$P_j$ de $P$ définissent eux-mêmes des hypersurfaces $A_j=P_j^{-1}(0)$ et
que les ensembles $A_j\ssm(\{0\}\times\bC)$ sont des parties
fermées disjointes de $A\ssm(\{0\}\times\bC)$. On va voir que ce sont
en fait exactement les composantes connexes de $A\ssm(\{0\}\times\bC)$.
Sinon $A_j\ssm(\{0\}\times\bC)$ se scinderait en plusieurs composantes
connexes $A'_{j,k}$, et en posant
$$
Q_{j,k}(z_1,z_2)=\prod_{(z_1,w_\ell(z_1))\in A'_{j,k}}(z_2-w_\ell(z_1)),\qquad
z'\in\Delta'\ssm\{0\}
$$
on obtiendrait des polynôme $Q_{j,k}\in\cO(\Delta_1)[z_2]$ tels que
$P_j=\prod_k Q_{j,k}$, ce qui contredirait l'irréductibilité de $P_j$
(noter que les coefficients de $Q_{j,k}$ sont holomorphes en $z_1$ sur
$\Delta'\ssm 0$ et bornés près de $0$, ils s'étendent donc en des
fonctions holomorphes sur~$\Delta'$). Il se trouve qu'un revêtement connexe
à $q$ feuillets d'un disque pointé est toujours isomorphe au revêtement $z\mto z^q$ du disque unité pointé $\Delta(1)\ssm\{0\}$, parce que le
groupe fondamental du disque pointé est $\bZ$ et qu'il admet~$q\bZ$ comme seul
sous-groupe d'indice~$q$ (cf. Appendice, 5.14~(iii)); les
relèvements locaux
$t\mto w_\ell(t)$ du revêtement reprennent la même valeur après
$q$ tours autour de l'origine, c'est-à-dire que $t\mto u_\ell(t):=
w_\ell(t^q)$ est en fait holomorphe. Puisque les racines
$z_2=w_\ell(z_1)$ de $P_j(z_1,z_2)=0$ donnent lieu à un revêtement connexe
à $d_j$ feuillets, on~en conclut qu'elles peuvent s'écrire sous la forme
$$z_2=u_j(z_1^{1/d_j})=\sum_{k=0}^{+\infty}\alpha_{jk}z_1^{k/d_j},\leqno(2.18)$$
avec une fonction holomorphe $u_j$. Comme le revêtement est connexe, il ne
peut se refermer qu'après exactement $d_j$ tours, donc on sait a priori
que les indices $k$ tels que $\alpha_{jk}\ne 0$ n'ont pas de diviseur commun
autre que $1$ avec l'entier $d_j$. On dit que (2.18) est un
\emph{développement de Puiseux} des racines du polynôme $P_j(z_1,z_2)=0$.
L'inégalité \hbox{$|z_2|\le C|z_1|$} impose ici que la série~(2.18) a
ses coefficients $\alpha_{jk}$ nuls si \hbox{$0\le k<d_j$}.\qed
\end{enonce*}

Notre ambition est maintenant de comprendre en toute généralité la
structure des ensembles analytiques définis par des systèmes arbitraires
$f_1=f_2=\ldots=f_N=0$ de fonctions holomorphes. Nous avons besoin pour cela
d'une étude algébrique plus poussée de la situation.

\section{Faisceaux cohérents}\label{sec:3}

La notion de faisceau a été introduite par Jean Leray entre 1940
et 1945, alors qu'il est prisonnier de guerre en Autriche. Son but
était de développer des notions fondamentales nouvelles pour la
topologie algébrique, afin d'étudier en particulier les
propriétés topologiques des espaces fibrés. Autour de 1950,
Henri Cartan comprend tout le bénéfice que la notion générale
de faisceau apporte à l'étude des fonctions holomorphes de
plusieurs variables.

\subsection{Notions de préfaisceau et de faisceau}\label{subsec:3A}
Nous commençons par introduire la notion plus élémentaire
de préfaisceau de fonctions.

\begin{enonce*}[remark]{(3.1) Définition}
Soit $X$ un espace topologique.
\begin{enumeratea}
\item
Un \emph{préfaisceau}
de fonctions $\cF$ sur $X$ (à valeurs dans un ensemble $E$ donné)
est la donnée pour chaque ouvert $U\subset X$ d'un ensemble de
fonctions $f:U\to E$ définies sur $U$, noté $\cF(U)$,
de sorte que pour chaque paire d'ouverts emboîtés $V\subset U$ et
tout $f\in\cF(U)$ la restriction $f_{\restriction V}$ de $f$ à $V$ vérifie
$f_{\restriction V}\in\cF(V)$.
On dit que $\cF(U)$ est l'ensemble (ou l'espace) des \emph{sections}
de $\cF$ sur $U$.
\item
Le préfaisceau $\cF$ est un \emph{faisceau} si chaque fois
qu'on se donne une collection $f_i\in\cF(U_i)$ avec $f_{i\,|U_i\cap U_j}=
f_{j\,|U_i\cap U_j}$ pour tous $i,j$, alors il existe une fonction
$f\in\cF(U)$ définie
sur la réunion $U=\bigcup U_i$ telle que $f_{\restriction U_i}=f_i$
pour tout~$i$.
\end{enumeratea}
\end{enonce*}

\noindent[La propriété (3.1~b) dit en quelque sorte que $\cF$ prescrit une
propriété \emph{purement locale}, vraie sur un ouvert $U$
si et seulement si elle est vraie sur un recouvrement arbitraire
$(U_i)$ de $U$.]

\skpt
\begin{enonce*}[remark]{(3.2) Exemples}
\begin{enumeratea}
\item
La collection $\cF_{X,E}$ telle que $\cF_{X,E}(U)$ est
l'ensemble de \emph{toutes} les fonctions $U\to E$ est de façon
triviale un faisceau sur~$X$.
\item
La collection $\cC_{X,\bK}$ telle que $\cC_{X,\bK}(U)$ est
l'ensemble des fonctions \emph{continues}
$f:U\to \bK$ à valeurs dans $\bK=\bR$ ou $\bC$ est un faisceau
sur~$X$.
\item
Si $X$ est une variété différentielle de classe~$C^k$, la
collection $\cC^k_{X,\bK}$ des fonctions $f:U\to\bK$ \emph{de classe $C^k$}
est un faisceau sur~$X$.
\item
Si $X$ est une variété analytique complexe, la
collection notée~$\cO_X$ des fonctions \emph{holomorphes}
$f:U\to\bC$ est un faisceau sur~$X$.
\item
Si $E$ est un ensemble, la collection souvent notée
$\underline E$ (ou ${\underline E}_X$) des fonctions
\emph{localement constantes} $U\to E$ est
un faisceau sur~$X$.
\item
En revanche, la collection $\cF$ des fonctions \emph{constantes}
$U\to E$ est un préfaisceau qui n'est pas un faisceau, du fait que le recollement sur des ouverts disjoints va produire des fonctions localement
constantes non constantes. De même,
si on pose
$$\cC_{X,b}(U)=\{\hbox{fonctions continues \emph{bornées} $U\to\bR$}\}$$
on obtient un préfaisceau $\cC_{X,b}$ qui n'est pas un faisceau, le fait
pour une fonction d'être bornée n'étant pas une propriété
locale.
\item
Si $X=\bR^n$ par exemple, la collection $\cC_c(U)$
des fonctions continues à support compact dans $U$ \emph{n'est pas
un préfaisceau}, la restriction à un ouvert $V$ plus petit n'étant pas
nécessairement à support compact dans $V$.
\end{enumeratea}
\end{enonce*}

On observera que les collections b) c) d) ont des structures
algébriques supplémentaires, chaque ensemble $\cF(U)$ ayant en
fait dans ce cas une structure d'anneau. Malheureusement la notion
de (pré)faisceau de fonctions est un peu malcommode à manipuler
algébriquement, car par exemple un quotient d'un espace de
fonctions par un sous-espace n'est plus formellement un espace
de fonctions. On est amené à poser la définition plus
générale suivante.

\begin{enonce*}[remark]{(3.3) Définition}
Soit $X$ un espace topologique.
\begin{enumeratea}
\item
Un \emph{préfaisceau} $\cF$ sur $X$ est la donnée
pour chaque ouvert $U\subset\nobreak X$ d'un ensemble noté $\cF(U)$
et pour chaque paire d'ouverts emboîtés $V\subset\nobreak U$
d'une application $\rho_{U,V}:\cF(U)\to\cF(V)$, en sorte
que $\rho_{V,W}\circ\rho_{U,V}=\rho_{U,W}$ lorsque $W\subset V\subset U$
(intuitivement $\rho_{U,V}$ sera vue comme une \og restriction\fg de $U$
à $V$, même si ce n'est pas formellement le cas).
\item
Le préfaisceau $\cF$ est appelé \emph{faisceau} si chaque fois
qu'on se donne une collection d'éléments $f_i\in\cF(U_i)$ vérifiant
$\rho_{U_i,U_i\cap U_j}(f_i)=\rho_{U_j,U_i\cap U_j}(f_j)$ dans $\cF(U_i\cap U_j)$
pour tous $i,j$, il existe un unique élément $f\in\cF(U)$
sur la réunion $U=\bigcup U_i$ tel que $\rho_{U,U_i}(f)=f_i$
pour tout~$i$.
\item
On parlera de (pré)faisceau de groupes, d'anneaux,
d'espaces vectoriels (...) si les ensembles $\cF(U)$ sont munis
de structures de groupes, d'anneaux, d'espaces vectoriels (...),
et si les \og restrictions\fg $\rho_{U,V}$ sont toutes des morphismes pour ces
structures.
\end{enumeratea}
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{(3.4) Définition}
Si $\cF$ est un préfaisceau sur $X$, on définit
pour chaque point $x\in X$ une relation d'équivalence sur la somme disjointe
$\coprod_{U\ni x}\cF(U)$: pour des éléments $g\in\cF(U)$, $h\in\cF(V)$
où~$U,V$ sont des voisinages ouverts de $x$ dans $X$, on décrète
que $g\sim h$ s'il existe un voisinage
$W\subset U\cap V$ de $x$ tel que $\rho_{U,W}(g)=\rho_{VW}(h)$. On~appelle \emph{germe} de $g$ en $x$, noté~$g_x$, la classe d'équivalence
de $g\in\cF(U)$, et on note $\cF_x$ l'ensemble des classes d'équivalences
lorsque $U$ décrit tous les voisinages $U$ de~$x$.
En termes plus savants, $\cF_x$ est la limite inductive
$$
\cF_x=\varinjlim_{U\ni x}(\cF(U),\rho_{UV}).
$$
On appelle cet ensemble $\cF_x$ la \emph{fibre} de $\cF$ en $x$; elle
est munie du même type de structure algébrique que les $\cF(U)$, dans
tous les cas décrits en $3.3~c)$.
\end{enonce*}

Un fait fondamental est qu'il est possible \emph{d'associer de manière
naturelle un faisceau $\widetilde\cF$ à tout préfaisceau $\cF$}.
Pour cela, on considère l'ensemble $E_\cF=\coprod\cF_x$ formé de la
somme disjointes des fibres, et on définit $\widetilde\cF(U)$
comme étant l'ensemble des fonctions $\widetilde f:U\to E_\cF$ telles
qu'il existe un recouvrement ouvert $U=\bigcup U_i$ de $U$ et
des éléments $f_i\in\cF(U_i)$ pour lesquels $\widetilde f(x)=(f_i)_x$
chaque fois que $x\in U_i$ (ceci implique donc en particulier
que $\widetilde f(x)\in\cF_x$). Il est immédiat de constater que
$\widetilde\cF$ est un faisceau de fonctions (avec les morphismes
de restriction de fonctions usuels $\widetilde \rho_{U,V}:f\mto
f_{\restriction V}$, $f\in\widetilde{\cF}(U)$), et que ce faisceau
est \og identique\fg (canoniquement isomorphe) à~$\cF$ si~$\cF$ était
déjà un faisceau -- puisqu'alors les $f_i$ précédents se recollent
par hypothèse en un élément $f\in\cF(U)$ global qui correspond
bijectivement à l'application $\widetilde{f}$ donnée a priori
seulement localement par ses germes, c'est-à-dire $\widetilde f(x)=f_x$ pour
tout $x\in U$ [une autre façon d'interpréter cette construction consiste
à utiliser la notion d'espace étalé, cf. \S5.B].

Un morphisme de préfaisceaux de groupes abéliens \hbox{$\varphi:\cF\to\cG$}
sur $X$ est la donnée d'une collection de morphismes de groupes
\hbox{$\varphi_U:\cF(U)\to\cG(U)$} commutant aux restrictions, c'est-à-dire tels que
$$\rho^{\cG}_{U,V}\circ \varphi_U=
\varphi_V\circ\rho^{\cF}_{U,V}$$
pour tous $V\subset U$. Dans cette situation, on peut considérer
les collections de groupes abéliens notées $\Ker\varphi$, $\Im\varphi$
et $\Coker\varphi$, données par
\begin{align*}
&\Ker(\varphi_U:\cF(U)\to\cG(U)),\\
&\Im(\varphi_U:\cF(U)\to\cG(U))=\varphi_U(\cF(U)),\cr
&\Coker(\varphi_U:\cF(U)\to\cG(U))=\cG(U)/\varphi_U(\cF(U)).
\end{align*}
On constate immédiatement qu'avec les restrictions induites par
$\rho^{\cF}_{U,V}$ (\resp par $\rho^{\cG}_{U,V}$) on obtient bien
des préfaisceaux. Si $\cF$ et $\cG$ sont des faisceaux, il est facile
de voir que $\Ker\varphi$ est encore un faisceau, mais en général
$\Im\varphi$ et $\Coker\varphi$ ne sont que des préfaisceaux.
Un exemple typique est donné sur le cercle $X=S^1=\bR/\bZ$
par l'exponentielle complexe
$$\varphi:\cC_\bC\to\cC_{\bC^*},\qquad f\mto e^{2\pi\ii f},$$
du faisceau des fonctions continues sur $X$ à valeurs complexes
(avec~$+$ comme loi de
groupe), dans le faisceau $\cC_{\bC^*}$ des fonctions continues
non nulles (avec~$\times$ comme loi de groupe). Le noyau $\Ker\varphi$
s'identifie au faisceau $\underline{\bZ}$ des
fonctions localement constantes à valeurs dans $\bZ$.
On peut voir ici que le préfaisceau image ne contient pas
l'application $g(x)=e^{2\pi\ii x}$ définie globalement sur $S^1=\bR/\bZ$,
car les relèvements possibles $f(x)=x+k$, $k\in\bZ$,
ne s'étendent pas en des applications continues de $\bR/\bZ$ tout
entier dans $\bC$. Cependant, les restrictions de~$g$ au cercle $S^1\ssm{x_0}$
privé d'un point $x_0$ quelconque admettent bien un relèvement
$f\in\cC_{\bC}(S^1\ssm{x_0})$ (il~suffit de prendre la détermination
continue de $x$ située dans un intervalle $]x_0,x_0+1[)$. On voit donc
que le préfaisceau image de $\cC_{\bC}$ dans $\cC_{\bC^*}$ n'est pas un
faisceau. Lorsqu'on travaille dans la catégorie
des faisceaux (ce qui sera notre cas), on conviendra de désigner plutôt par
$\Im\varphi$ et $\Coker\varphi$ les \emph{faisceaux associés aux
préfaisceaux définis plus haut}. L'exemple précédent donne
alors lieu pour tout espace topologique $X$ à une suite exacte de
faisceaux (mais pas en général de préfaisceaux) sur $X$
$$
0\to\underline{\bZ}\to \cC_{\bC}\to \cC_{\bC^*}\to 0.
$$
Comme par définition un faisceau est déterminé de façon
purement locale, il est équivalent de dire que $\cF\to \cG\to\cH$
est une suite exacte de faisceaux (c'est-à-dire $\Ker(\cG\to\cH)={}$faisceau
associé à $\Im(\cF\to\cG)$)
ou~de dire que les fibres forment des suites exactes de groupes
abéliens $\cF_x\to \cG_x\to\cH_x$ pour tout~$x\in X$.

\subsection{Faisceaux de modules}\label{subsec:3B}
Avant d'introduire la notion de faisceau cohérent, nous
définissons les notions de modules (localement) de type fini et
(localement) libres sur un faisceau d'anneaux. Tous les anneaux $A$
apparaissant dans la suite seront supposés \emph{commutatifs et
unitaires}, sauf mention explicite du contraire; on admet cependant
que l'on puisse avoir $A=\{0\}$, auquel cas $1_A=0_A$. Le cas non
commutatif présente aussi un intérêt considérable, par exemple
en vue de la théorie des $\cD$-modules, mais ce sujet dépasse le
cadre du présent texte.\enlargethispage{\baselineskip}%

Soit donc $\cA$ un faisceau d'anneaux (commutatifs, unitaires) sur un
espace topologique $X$. Un faisceau $\cS$ de $\cA$-modules (ou plus
brièvement un $\cA$-module) est un faisceau de groupes abéliens tel
que chaque espace de sections $\cS(U)$ a une structure de
$\cA(U)$-module, avec une loi de multiplication externe compatible aux
restrictions. De même, un morphisme $\cS\to\cS'$ de $\cA$-modules
est une collection de $\cA(U)$-morphismes $\cS(U)\to\cS'(U)$ commutant
aux restrictions. On~remarquera qu'un morphisme $\varphi:\cA\to\cS$ est
déterminé de manière unique par la section globale
$F=\varphi(1)\in\cS(X)$ image de la section globale $1\in\cA(X)$.
Dans ce cas, par $\cA(U)$-linéarité, l'image d'une section
locale $a\in\cA(U)$ est $aF_{\restriction U}$ (et par $\cA_x$-linéarité,
l'image d'un germe $w\in\cA_x$ n'est autre que $wF_x$).

\begin{enonce*}[remark]{(3.5) Définition}
Soit $\cA$ un faisceau d'anneaux sur un
espace topologique $X$ et soit $\cS$ un faisceau de $\cA$-modules.
Alors $\cS$ est dit:
\begin{enumeratea}
\item
de \emph{type fini} s'il existe
des générateurs globaux $F_1,\ldots,F_N\in\cS(X)$ donnant
un morphisme surjectif de $\cA$-modules sur $X$ tout entier
\begin{align*}
\cA^{\oplus N}&\to\cS,\\
\cA_x^{\oplus N}\ni(w_1,\ldots,w_N)&\mto
\sum_{1\le j\le N}w_jF_{j,x}\in\cS_x,~~x\in X.
\end{align*}
\item
\emph{localement de type fini}, si tout point $x_0\in X$ admet
un voisinage~$U$ sur lequel il existe des générateurs locaux
$F_1,\ldots,F_N\in\cS(U)$ $(N=N(x_0))$, donnant un morphisme surjectif
de $\cA$-modules au dessus de $U$
\begin{align*}
\cA_{\restriction U}^{\oplus N}&\to\cS_{\restriction U},\\
\cA_x^{\oplus N}\ni(w_1,\ldots,w_N)&\mto
\sum_{1\le j\le N}w_jF_{j,x}\in\cS_x,~~x\in U.
\end{align*}
(La restriction $\cF_{\restriction U}$ d'un (pré)faisceau est
par définition la collection des $\cF(V)$, $V\subset U$, considérée sur
l'espace~$U$, les fibres $\cF_x$ étant prises elles aussi pour $x\in U)$.
\item
\emph{libre de rang $r$} s'il existe des générateurs globaux
$F_1,\ldots,F_r\in\cS(X)$ tels que le morphisme du~a) (avec $N=r)$
soit un isomorphisme de $\cA$-modules au dessus de $X$.
\item
\emph{localement libre de rang $r$} si tout point $x_0\in X$ admet
un voisinage $U$ sur lequel il existe des générateurs locaux
$F_1,\ldots,F_r\in\cS(U)$ tels que le morphisme du~b) (avec $N=r)$
soit un isomorphisme de $\cA$-modules au dessus de~$U$.
\end{enumeratea}
\end{enonce*}

Par définition, si $\cS$ est localement libre, il existe un recouvrement
$(U_\alpha)_{\alpha\in I}$ par des ouverts sur lesquels $\cS$ admet des
systèmes libres de générateurs $F^\alpha_1,\ldots,F^\alpha_r\in\cS(U_\alpha)$.
Comme les générateurs peuvent alors être exprimés de manière unique les
uns en fonction des autres, il existe pour chaque paire $(\alpha,\beta)$
d'indices une unique matrice $r\times r$
$$G^{\alpha\beta}=(G^{\alpha\beta}_{jk})_{1\le j,k\le r},\qquad
G^{\alpha\beta}_{jk}\in\cA(U_\alpha\cap U_\beta),$$
telle que
$$F^\beta_k=\sum_{1\le j\le r}F^\alpha_jG_{jk}^{\alpha\beta}\qquad
\text{sur}\quad U_\alpha\cap U_\beta.$$
En d'autre termes, on a un diagramme commutatif
\[
\xymatrix@C=1.5cm{
\cA^{\oplus r}_{\restriction U_\alpha\cap U_\beta}
\ar[r]^-{F^\alpha}&
\cS_{\restriction U_\alpha\cap U_\beta}\ar@{=}[d]\\
\ar[u]^{G^{\alpha\beta}}\cA^{\oplus r}_{\restriction U_\alpha\cap U_\beta}\ar[r]_{F^\beta}&
\cS_{\restriction U_\alpha\cap U_\beta}
}
\]
Il résulte aussitôt de l'égalité $G^{\alpha\beta}=(F^\alpha)^{-1}\circ
F^\beta$ que les \emph{matrices de transition} $G^{\alpha\beta}$ sont inversibles
et qu'elles satisfont les \emph{relations de transition}
$$G^{\alpha\gamma}=G^{\alpha\beta}G^{\beta\gamma}\qquad\text{sur}\quad
U_\alpha\cap U_\beta\cap U_\gamma\leqno(3.6)$$
pour tous les indices $\alpha,\beta,\gamma\in I$. En particulier
$G^{\alpha\alpha}=\Id$ on $U_\alpha$ et $(G^{\alpha\beta})^{-1}=
G^{\beta\alpha}$ sur $U_\alpha\cap U_\beta$.

Réciproquement, si on se donne un système
$G^{\alpha\beta}=(G^{\alpha\beta}_{jk})$ de matrices $r\times r$
inversibles ayant leurs coefficients dans $\cA(U_\alpha\cap U_\beta)$
et satisfaisant les relations de transition~(3.6), on peut définir
un $\cA$\nobreakdash-module localement libre $\cS$ de rang $r$ en prenant
$\cS\simeq\cA_{\restriction U_\alpha}^{\oplus r}$ sur chaque ouvert,
l'identification au dessus de $U_\alpha\cap U_\beta$ étant donnée
par l'isomorphisme $G^{\alpha\beta}$: une~section $F$ de $\cS$ sur
un ouvert $U\subset X$ peut être vue simplement comme une
collection de sections $F^\alpha=(F^\alpha_1,\ldots,F^\alpha_r)$ de
$\cA^{\oplus r}(U\cap U_\alpha)$ satisfaisant les relations de
transition $F^\alpha=G^{\alpha\beta}F^\beta$ sur les intersections
$U\cap U_\alpha\cap U_\beta$.

\begin{enonce*}[remark]{(3.7) Remarque}
Lorsque $\cA$ est le faisceau des fonctions continues
à valeurs dans $\bK=\bR$ ou~$\bC$ sur un espace topologique $X$, on voit aisément que la catégorie des faisceaux de $\cA$-modules localement libres de rang $r$ sur $X$ est équivalente à celle des fibrés vectoriels topologiques de rang $r$ sur le corps $\bK$ au dessus de $X$: à un faisceau localement libre $\cE$
donné par les matrices de transition $G^{\alpha\beta}$, il suffit de faire correspondre le fibré vectoriel $E$ obtenu en recollant les cartes $U_\alpha\times \bK^r$
par la relation d'équivalence $(x,\xi^\alpha)\sim(y,\xi^\beta)$,
$x\in U_\alpha$ et $y\in U_\beta$, si et seulement si $x=y$ et
$\xi^\alpha=G^{\alpha\beta}(x)\xi^\beta$. Le quotient
$$E=\Big(\coprod (U_\alpha\times\bK^r)\Big)/\sim$$
est le fibré vectoriel recherché. De même, si $\cA$ est le faisceau des
fonctions $C^\infty$ sur une variété différentiable (\resp des fonctions
holomorphes sur une variété analytique complexe), la catégorie des
$\cA$\nobreakdash-modules localement libres équivaut à celle des fibrés vectoriels
différentiables (\resp holomorphes).
\end{enonce*}

Une propriété élémentaire et fréquemment utilisée des faisceaux
de modules localement de type fini est la suivante.

\begin{enonce*}{(3.8) Lemme} Soit $\cS$ un faisceau de $\cA$-modules localement
de type fini sur $X$ et $G_1,\ldots,G_p$ des sections de $\cS(U)$ telles que
les germes $G_{1,x_0},\ldots,G_{p,x_0}$ engendrent la fibre $\cS_{x_0}$
en un point~\hbox{$x_0\in U$}. Alors il existe un voisinage $V$ de $x_0$ tel que
$G_{1|V},\ldots,G_{p|V}$ engendrent $\cS_x$ pour tout $x$ dans~$V$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Soit $W$ un voisinage de $x_0$ sur
lequel $\cS$ possède des générateurs $F_1,\ldots,F_N\in\cS(W)$
engendrant $\cS_{\restriction W}$. Comme les germes
$G_{1,x_0},\ldots,G_{p,x_0}$ engendrent $\cS_{x_0}$, on peut trouver
un voisinage $V\subset\nobreak W$ de $x_0$ et des sections $H_{jk}\in\cA(V)$
telles que $F_j=\sum H_{jk}G_k$ sur~$V$. On~voit que les germes
$G_{1,x},\ldots,G_{N,x}$ engendrent $\cS_x$ pour tout \hbox{$x\in V$}.
\end{proof}

\Subsection{Notion de module cohérent sur un faisceau d'anneaux}\label{subsec:3C}
La notion de cohérence concerne les faisceaux de modules sur un faisceau
d'anneaux. C'est une propriété semi-locale qui stipule grosso modo
que le faisceau de modules en question possède une présentation finie
en termes de générateurs et relations. Nous décrivons ici la définition
et quelques propriétés basiques de cette notion, avant de nous concentrer
dans la section suivante sur le cas des faisceaux de modules sur
le faisceau d'anneaux $\cO_X$ des fonctions holomorphes.

Si $U$ est un ouvert de $X$ et si $F_1,\ldots,F_q\in\cS(U)$ sont des
sections de $\cS$ sur $U$, le noyau du morphisme de $\cA$-modules
$F=(F_1,\ldots,F_q):
\cA_{\restriction U}^{\oplus q}\to\cS_{\restriction U}$ défini par
$$\cA(V)^{\oplus q}\ni(g_1,\ldots,g_q)\mto\sum_{1\le j\le q}g_jF_{j|V}
\in\cS(V),\qquad V\subset U\leqno(3.9)$$
est un sous-$\cA$-module $\cR(F_1,\ldots,F_q)$ de
$\cA_{\restriction U}^{\oplus q}$, appelé \emph{faisceau des relations}
entre les sections $F_1,\ldots,F_q$.

\begin{enonce*}[remark]{(3.10) Définition}
Un faisceau $\cS$ de $\cA$-modules sur $X$
est dit \emph{cohérent}~si:
\begin{enumeratea}
\item
$\cS$ est localement de type fini sur~$X$;
\item
pour tout sous-ensemble ouvert $U$ de $X$ et tout système
de sections $F_1,\ldots,F_q\in\cS(U)$, le faisceau des relations
$\cR(F_1,\ldots,F_q)$ est localement de type fini sur~$U$.
\end{enumeratea}
\end{enonce*}

Soit $x_0\in X$ un point fixé. Par l'hypothèse a), il existe un voisinage~$U$ de $x_0$ et des sections $F_1,\ldots,F_q\in\cS(U)$ réalisant
un \emph{morphisme surjectif} de $\cA_{\restriction U}$-modules
$$F=(F_1,\ldots,F_q):\cA_{\restriction U}^{\oplus q}\to \cS_{\restriction U},$$
et l'hypothèse b) implique que le noyau
$\cR(F_1,\ldots,F_q)$ de $F$ est localement de type fini.
Par conséquent, il existe un voisinage $V\subset U$ de $x_0$ et
un morphisme surjectif
$$G:\cA_{\restriction V}^{\oplus p}\to
\cR(F_1,\ldots,F_q)_{\restriction V}\subset \cA_{\restriction V}^q$$
sur le noyau de $F$ au dessus de~$V$. On voit ainsi qu'on obtient
une \emph{présentation finie} de $\cS$ au dessus de $V$, c'est-à-dire
une suite exacte de $\cA_{\restriction V}$-modules
$$\cA_{\restriction V}^{\oplus p}\To{G}\cA_{\restriction V}^{\oplus q}
\To{F}\cS_{\restriction V}\to 0,\leqno(3.11)$$
où $G$ est donné par une matrice $p\times p$ de sections $(G_{jk})$ de
$\cA(V)$ dont les colonnes $(G_{j1}),\ldots,(G_{jp})$ sont des
générateurs de $\cR(F_1,\ldots,F_q)$.

Il est clair par définition que tout sous-$\cA$-module localement de
type fini d'un $\cA$-module cohérent est cohérent (car la
propriété b) s'hérite par passage à un sous-$\cA$-module). De
là on déduit aisément:

\begin{enonce*}{(3.12) Théorème}
Soit $\varphi:\cF\to\cG$ un
morphisme de $\cA$-modules cohérents. Alors $\Im\varphi$ et
$\Ker\varphi$ sont des $\cA$-modules cohérents.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Il est clair que $\Im\varphi$ est
un sous-$\cA$-module localement de type fini de $\cG$, donc
il est cohérent. Soit $x_0\in X$ et soient $F_1,\ldots,F_q\in\cF(U)$
des générateurs de $\cF$ sur un voisinage~$U$ de $x_0$. Enfin, soient
$G_1,\ldots,G_r\in\cA(V)^{\oplus q}$ des générateurs de
$\cR\big(\varphi(F_1),\ldots,\varphi(F_q)\big)_{|V}$
sur un voisinage $V\subset U$ de $x_0$. Alors $\Ker\varphi$ est
engendré au dessus de $V$ par les sections
$$H_j=\sum_{k=1}^q G_{jk}F_k\in\cF(V),\quad1\le j\le r,\quad
\hbox{où $G_j=(G_{j1},\ldots,G_{jq})$.}$$
Ceci montre que $\Ker\varphi\subset\cF$ est localement de type fini,
donc $\Ker\varphi$ est cohérent.
\end{proof}

\begin{enonce*}{(3.13) Théorème}[Serre] Soit
$0\to\cF\to\cS\to\cG\to 0$
une suite exacte de $\cA$-modules. Si deux des $\cA$-modules $\cF,\cS,\cG$ sont
cohérents, alors les trois sont cohérents.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Si $\cS$ et $\cG$ sont cohérents, alors
\hbox{$\cF=\Ker(\cS\!\to\!\cG)$} est cohérent par le théorème 3.13. Si
$\cS$ et $\cF$ sont cohérents, alors $\cG$ est localement
de type fini; pour prouver la cohérence de~$\cG$, soient
$G_1,\ldots,G_q\in\cG(U)$ et $x_0\in U$. Alors il existe un voisinage
$V$ de $x_0$ et des sections $\tilde G_1,\ldots,\tilde G_q\in\cS(V)$
qui sont envoyées sur $G_1,\ldots,G_q\in\cG(V)$. Après rétrécissement
éventuel de~$V$, on peut supposer aussi que $\cF_{\restriction V}$ est
engendré par des sections $F_1,\ldots,F_p\in\cF(V)$. Alors
$\cR(G_1,\ldots,G_q)$ est la projection sur les $q$ dernières composantes du
sous-module
$\cR(F_1,\ldots,F_p,\tilde G_1,\ldots,\tilde G_q)\subset\cA^{\oplus p+q}$,
qui est
de type fini près de $x_0$ par cohérence de~$\cS$. Par conséquent
$\cR(G_1,\ldots,G_q)$ est de type fini près de $x_0$ et $\cG$ est cohérent.

Finalement, supposons que $\cF$ et $\cG$ soient cohérents. Soit $x_0\in X$
un point quelconque, et soient $F_1,\ldots,F_p\in\cF(U)$ et
$G_1,\ldots,G_q\in\cG(U)$ des générateurs de $\cF$, $\cG$ sur un
voisinage $U$ de~$x_0$. Il existe un voisinage $V\subset U$ de $x_0$
tel que $G_1,\ldots,G_q$ admettent des relèvements
$\tilde G_1,\ldots,\tilde G_q\in\cS(V)$. Alors $(F_1,\ldots,F_q,\tilde
G_1,\ldots,\tilde G_q)$ engendrent $\cS_{\restriction V}$, donc $\cS$
est de type fini sur~$V$.

Maintenant, soient $S_1,\ldots,S_q$ des sections
arbitraires de $\cS(U)$ et $\ol S_1,\ldots,\ol S_q$ leurs images dans~$\cG(U)$.
Pour tout $x_0\in U$, le faisceau des relations
$\cR(\ol S_1,\ldots,\ol S_q)$ est engendré par des sections
$P_1,\ldots,P_s\in\cA(V)^{\oplus q}$ sur un petit voisinage $V$
de~$x_0$. Posons $P_j=(P_{jk})_{1\le k\le q}$.
Alors les sections $H_j=P_{j1}S_1+\ldots+P_{jq}S_q$, $1\le j\le s$,
sont envoyées sur $0$ dans $\cG$, donc elles peuvent être vues comme
des sections de $\cF$ (ou plutôt des images de telles sections).
La cohérence de $\cF$ montre que $\cR(H_1,\ldots,H_s)$ possède des
générateurs $Q_1,\ldots,Q_t\in\cA(W)^s$ sur un petit voisinage
$W\subset V$ de~$x_0$. Alors il est facile de voir que
$\cR(S_1,\ldots,S_q)$ est engendré
au dessus de $W$ par les sections $R_j=\sum Q_{jk}P_k\in\cA(W)$, $1\le j\le t$,
par suite $\cS$ est cohérent.
\end{proof}

\begin{enonce*}{(3.14) Corollaire} Si $\cF$ et $\cG$ sont des sous-$\cA$-modules
cohérent d'un $\cA$-module cohérent $\cS$, l'intersection
$\cF\cap\cG$ est un $\cA$-module cohérent.
\end{enonce*}

\begin{proof}
En effet, le faisceau intersection $\cF\cap\cG$ est
le noyau du morphisme composé $\cF\lhra\cS\to\cS/\cG$,
et on sait que $\cS/\cG$ est cohérent par (3.13), donc le noyau
$\cF\cap\cG$ de $\cF\to\cS/\cG$ est cohérent d'après (3.12) .
\end{proof}

\subsection{Notion de faisceau cohérent d'anneaux}\label{subsec:3D}

Un faisceau d'anneaux $\cA$ est dit cohérent s'il est cohérent
comme module sur lui-même. D'après la définition~3.11, ceci signifie
que pour tout ouvert $U\subset X$ et tout système de sections
$F_j\in\cA(U)$, le faisceau des relations $\cR(F_1,\ldots,F_q)$ est localement
de type fini sur~$U$.

\begin{enonce*}[remark]{(3.15) Exemple et contre-exemples}
Soit $\bK$ un corps
(par exemple $\bR$)
et~$X$ un espace topologique, qu'on prendra ici localement connexe
(par exemple $X=\bR^n$). Alors il est évident que le faisceau
localement constant $\cA={\underline\bK}$ sur $X$ est un faisceau cohérent
d'anneaux. Si~$Y$ est une partie de $X$, on peut définir
un sous-faisceau $\cA_Y\subset\cA$ en prenant pour
$\cA_Y(U)$ l'ensemble des fonctions localement constantes $U\to\bK$ qui
sont nulles sur $X\ssm Y$ (fonctions à support dans~$Y$). On~vérifie
facilement que $\cA_Y$ est un sous-faisceau d'anneaux qui n'est pas
localement de type fini au voisinage
d'un point $x_0$ de la frontière $\partial Y$, si elle est non vide.
En effet la fibre $(\cA_Y)_{x_0}$ est nulle par l'hypothèse de locale
connexité de~$X$, donc on ne peut pas trouver de section de $\cA_Y(V)$ sur
un petit voisinage connexe de $V$ qui puisse engendrer les fibres
non nulles $(\cA_Y)_x$, $x\in Y\cap V$. En fait $\cA_Y$ est aussi un
faisceau d'idéaux de $\cA$, et on peut donc considérer le $\cA$-module
quotient $\cA/\cA_Y$. On verra alors que $\cA/\cA_Y$ est bien localement
de type fini (engendré par $1$), mais il n'est pas cohérent sinon
le noyau de $\cA\to\cA/\cA_Y$ le serait. Il~faut avouer que ces exemples
et contre-exemples ne sont pas parmi les plus passionnants du sujet...
\end{enonce*}

Si $\cA$ est un faisceau cohérent d'anneaux, les résultats du para\-gra\-phe
3.C impliquent que tout module libre $\cA^{\oplus p}$ est cohérent
(et~donc tout $\cA$-module localement
libre est également cohérent). En conséquence:

\begin{enonce*}{(3.16) Théorème}
Si $\cA$ est un faisceau cohérent d'anneaux,
tout sous-module localement de type fini de $\cA^{\oplus p}$ est cohérent.
En particulier, si $\cS$ est un \hbox{\it$\cA$-module} cohérent
et $F_1,\ldots,F_q\in\cS(U)$, le faisceau des relations
$\cR(F_1,\ldots,F_q)\subset\cA^{\oplus q}$ est lui aussi cohérent.
\end{enonce*}

Soit $\cS$ un $\cA$-module cohérent sur un faisceau cohérent
d'anneaux~$\cA$. Grâce à une itération de la construction (3.11),
on voit que pour tout entier $m\ge 0$ et tout point $x_0\in X$
il existe un voisinage $V$ de $x_0$ sur lequel on a une suite
exacte de faisceaux
\begin{multline*} \tag*{(3.17)}
\cA_{\restriction V}^{\oplus p_m}\To{F_m}
\cA_{\restriction V}^{\oplus p_{m-1}}\to\cdots\\[-5pt]
\to
\cA_{\restriction V}^{\oplus p_1}\To{F_1}
\cA_{\restriction V}^{\oplus p_0}\To{F_0}
\cS_{\restriction V}\to 0,
\end{multline*}
où $F_j$ est donné par une matrice $p_{j-1}\times p_j$ de sections
de~$\cA(V)$.

\subsection{Faisceaux analytiques et théorème d'Oka}\label{subsec:3E}
Beaucoup de propriétés des fonctions holomorphes qui seront étudiées ici
se formulent naturellement dans le cadre des faisceaux analytiques.
Le théorème d'Oka [Oka,~1950] stipulant la cohérence du
faisceau des fonctions holomorphes de $n$ variables peut être
considéré comme une extension profonde de la propriété de
noethérianité vue à la Section~2.

\begin{enonce*}[remark]{(3.18) Définition}
Soit $M$ une variété analytique complexe
de dimension $n$ et soit $\cO_M$ le faisceau des germes de fonctions
analytique sur~$M$. Un \emph{faisceau analytique} sur $M$ est
un faisceau~$\cS$ de modules sur le faisceau d'anneaux~$\cO_M$.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{(3.19) Théorème d'Oka} Pour toute variété analytique
complexe~$M$, le faisceau d'anneaux $\cO_M$ est cohérent.
\end{enonce*}

Soient $F_1,\ldots,F_q\in\cO(U)$. Puisque $\cO_{M,x}$ est noethérien, on sait
déjà que les fibres
$\cR(F_1,\ldots,F_q)_x\subset\cO_{M,x}^{\oplus q}$ sont
de type fini, mais le fait nouveau important exprimé par le théorème
est que le faisceau des relations est localement de type fini, c'est-à-dire
que les \og mêmes\fg générateurs peuvent être utilisés pour engendrer
les fibres dans un voisinage de chaque point.

\begin{proof}
Par récurrence sur $n=\dim_\bC M$. Pour $n=0$,
les fibres $\cO_{M,x}$ se réduisent au corps des complexes $\bC$ et
le résultat est trivial. Supposons maintenant que $n\ge 1$ et que
le résultat ait déjà été démontré en dimension $n-1$.
Soit $U$ un ouvert
de $M$ et \hbox{$F_1,\ldots,F_q\in\cO_M(U)$}. Pour montrer que
$\cR(F_1,\ldots,F_q)$ est localement de type fini, on peut supposer que
$U=\Delta=\Delta'\times\Delta_n$ est un polydisque de $\bC^n$ centré
en $x_0=0$; après un changement de coordonnées et après
une multiplication de $F_1,\ldots,F_q$ par des fonctions inversibles,
on peut aussi supposer que $F_1,\ldots,F_q$ sont des polynômes
de Weierstrass en $z_n$ dont les coefficients sont dans $\cO(\Delta')$.
Nous avons besoin d'un lemme.
\end{proof}

\begin{enonce*}{(3.20) Lemme} Si $x=(x',x_n)\in\Delta$, le $\cO_{\Delta,x}$-module
$\cR(F_1,\ldots,F_q)_x$ est engendré par ceux de ses éléments dont les
composantes sont des germes de polynômes analytiques dans
$\cO_{\Delta',x'}[z_n]$ dont le degré en $z_n$ est au plus égal à
$\mu={}$maximum des degrés de $F_1,\ldots,F_q$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Supposons par exemple que $F_q$ soit
degré maximal~$\mu$ parmi les~$F_j$. D'après le théorème de
préparation de Weierstrass~1.1 et le lemme~1.9 appliqué en $x$,
on peut écrire~$F_{q,x}\!=\!f'f''$ où~$f',f''\!\in\!\cO_{\Delta',x'}
[z_n]$, $f'$ sont des polynômes de Weierstrass~en~\hbox{$z_n\!-\!x_n$} et \hbox{$f''(x)\!\ne\!0$}.
Soient $\mu'$ et $\mu''$ les degrés de $f'$ et $f''$ par rapport à
$z_n$, de sorte que $\mu'+\mu''=\mu$. Maintenant, prenons
\[
(g^1,\ldots,g^q)\in \cR(F_1,\ldots,F_q)_x.
\]
Le théorème de
division de Weierstrass donne
$$g^j=F_{q,x}t^j+r^j,\quad j=1,\ldots,q-1,$$
où $t^j\in\cO_{\Delta,x}$ et où $r^j\in\cO_{\Delta',x'}[z_n]$ est un
polynôme de degré $<\mu'$. Pour $j=q$, définissons
$r^q=g^q+\sum_{1\le j\le q-1}t^jF_{j,x}$. On peut écrire
$$(g^1,\ldots,g^q)=\sum_{1\le j\le q}t^j(0,\ldots,F_q,\ldots,0,-F_j)_x+(r^1,\ldots,r^q)
\leqno(3.21)$$
où $F_q$ est en position $j$ dans le $q$-uplet figurant dans la sommation.
Puisque ces $q$-uplets sont dans $\cR(F_1,\ldots,F_q)_x$, on a
$(r^1,\ldots,r^q)\in \cR(F_1,\ldots,F_q)_x$, donc
$$\sum_{1\le j\le q-1}F_{j,x}r^j+f'f''r^q=0.$$
Comme la somme est un polynôme en $z_n$ de degré $<\mu+\mu'$,
il résulte du lemme~1.9 que $f''r^q$ est un polynôme en $z_n$ de
degré${}<\mu$. Maintenant, nous avons
$$(r^1,\ldots,r^q)=1/f''(f''r^1,\ldots,f''r^q)$$
où $f''r^j$ est de degré $<\mu'+\mu''=\mu$. En combinant ceci avec (3.21),
le lemme s'ensuit.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du théorème 3.19 (fin)]
Si $g=(g^1,\ldots,g^q)$ est un des polynômes de
$\cR(F_1,\ldots,F_q)_x$ décrits dans l'énoncé du lemme~3.20,
on peut écrire
$$g^j=\sum_{0\le k\le\mu}u^{jk}z_n^k,\qquad u^{jk}\in\cO_{\Delta',x'}.$$
La condition pour que $(g^1,\ldots,g^q)$ appartienne à
$\cR(F_1,\ldots,F_q)_x$ consiste par conséquent en \hbox{$2\mu+1$}
conditions linéaires portant sur le germe $u=(u^{jk})$, avec des
coefficients dans $\cO(\Delta')$. D'après l'hypothèse de récurrence
$\cO_{\Delta'}$ est cohérent et le théorème 3.16 montre que le module
correspondant des relations est engendré sur $\cO_{\Delta',x'}$, pour~$x'$
dans un voisinage $\Omega'$ de $0$, par un nombre fini de $(q\times\mu)$-uplets
$U_1,\ldots,U_N\in\cO(\Omega')^{q\mu}$. Grâce au lemme~3.20,
$\cR(F_1,\ldots,F_q)_x$ est engendré en chaque point
$x\in\Omega=\Omega'\times\Delta_n$ par les germes des polynômes
associés
\[
G_l(z)=\Big(\sum_{0\le k\le\mu}U^{jk}_\ell(z')z_n^k\Big)_{1\le j\le q},\qquad z\in\Omega,\quad1\le\ell\le N.\qedhere
\]
\end{proof}

\begin{enonce*}{(3.22) Propriété noethérienne forte} Soit $\cF$ un faisceau analytique \hbox{cohérent} sur une variété complexe $M$ et $\cF_1\subset\cF_2\subset
\ldots$ une suite croissante de sous-faisceaux cohérents de~$\cF$. Alors
la suite $(\cF_k)$ est stationnaire sur tout sous-ensemble compact de~$M$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Puisque $\cF$ est localement un quotient
d'un module libre $\cO_M^{\oplus q}$, on peut prendre les images
réciproques des
$\cF_j$ dans $\cO_M^{\oplus q}$, ce qui nous ramène facilement au
cas $\cF=\cO_M^{\oplus q}$, puis finalement à $\cF=\cO_M$,
par des réductions faciles semblables à celles utilisées dans la
démonstration du théorème 3.13. Supposons $M$ connexe et $\cF_{k_0}\ne\{0\}$
pour un certain indice $k_0$ (sinon, il n'y a rien à démontrer).
Grâce au théorème de prolongement analytique, on voit facilement
que \hbox{$\cF_{k_0,x}\ne\{0\}$} pour tout $x\in M$. Pour tout point
$x\in M$, on peut donc prendre un polynôme de Weierstrass
non nul$P\in\cF_{k_0}(V)$, $\deg_{z_n}P(z',z_n)=\mu$, dans
un ouvert de coordonnées qui soit un voisinage $V=\Delta'\times\Delta_n$
de centre~$x$. Une division par $P$ montre que pour $k\ge k_0$ et $x\in V$,
toutes les fibres $\cF_{k,x}$ sont engendrées par $P_x$ et par les
polynômes de degré${}<\mu$ en $z_n$ à coefficients dans
$\cO_{\Delta',x'}$. Ceci permet de raisonner par récurrence
sur~$n$, en considérant le $\cO_{\Delta'}$-module cohérent
$$\cF'=\cF\cap\big\{Q\in\cO_{\Delta'}[z_n]\sep \deg Q
\le\mu\big\}$$
et sa suite croissante de sous-faisceaux cohérents $\cF'_k=
\cF_k\cap\cF'$. On conclut grâce à l'hypothèse de récurrence
appliquée en dimension~$n-\nobreak1$.
\end{proof}

\section{Ensembles analytiques complexes. Propriétés locales}\label{sec:4}
\subsection{Définition. Composantes irréductibles}\label{subsec:4A}
Un ensemble analytique complexe est un ensemble qui peut être défini
localement par un nombre fini d'équations holomorphes; un tel
ensemble n'est en général pas une sous-variété lisse, mais une sous-variété
avec singularités, précisément parce qu'aucune hypothèse n'est faite
sur les différentielles des équations. Nous sommes intéressés à la
fois par la description des singularités et par l'étude des
propriétés algébriques des fonctions holomorphes sur les ensembles
analytiques. Pour une étude plus détaillée, nous renvoyons le lecteur
au séminaire de H.\,Cartan!

\begin{enonce*}[remark]{(4.1) Définition}
Soit $M$ une variété analytique complexe. Une partie $A\subset M$ est appelée \emph{ensemble analytique dans $M$} si $A$ est fermée et si
pour tout point $x_0\in A$ il existe un voisinage $U$ de $x_0$ et
des fonctions holomorphes $g_1,\ldots,g_n$ de $\cO(U)$ telles que
$$A\cap U=\{z\in U\sep g_1(z)=\ldots=g_N(z)=0\}.$$
Alors $g_1=\ldots=g_N=0$ est appelé \emph{système d'équations (locales) de~$A$ sur~$U$}.
\end{enonce*}

Il est facile de voir qu'une réunion ou une intersection finie
d'ensembles analytiques est analytique: si $(g'_j)$, $(g''_k)$ sont
des équations de $A'$, $A''$ dans l'ouvert $U$, alors le système
constitué de tous les produits $(g'_jg''_k)$, \resp le système
$(g'_j)\cup(g''_k)$ constitue un système d'équations de $A'\cup
A''$, \resp de $A'\cap A''$.


\begin{enonce*}[remark]{(4.2) Remarque}
Supposons que $M$ soit connexe. Le théorème
du prolongement analytique montre que soit $A=M$, soit $A$ n'a pas de
point intérieur. Dans ce dernier cas, chaque intersection
$A\cap U=g^{-1}(0)$ est contenue dans l'ensemble des zéros d'une
fonction non nulle $g_j$, laquelle s'écrit comme un produit $g_j(z)=
u_j(z)P_j(z',z_n)$ d'un facteur inversible $u_j$ par un polynôme de
de Weierstrass $P_j$ non nul. Comme les zéros de $z_n\mto P_j(z',z_n)$
sont des points isolés lorsque $z'$ est fixé, on voit facilement
en prenant pour $U$ un polydisque $\Delta$
de coordonnées assez petit que $\Delta\ssm A=\Delta\ssm
(A\cap\Delta)$ est connexe. Il en résulte facilement que $M\ssm A$ est
connexe et que toute fonction $f\in\cO(M\ssm A)$ qui est localement bornée
près de $A$ peut être prolongée en une fonction $\tilde f\in\cO(M)$.\qed
\end{enonce*}

Nous focalisons maintenant notre attention sur les propriétés locales
des ensembles analytiques. Par définition, un germe d'ensemble en un
point $x\in M$ est une classe d'équivalence d'éléments de l'ensemble
des parties $\cP(M)$, avec $A\sim B$ s'il existe
un voisinage ouvert~$V$ de~$x$ tel que $A\cap V=B\cap V$. Le germe
d'un sous-ensemble $A\subset M$ en $x$ sera noté $(A,x)$. Nous considérerons
le plus souvent le cas où $A\subset M$ est un ensemble analytique
dans un voisinage $U$ de~$x$, et dans ce cas nous noterons
$\cI_{A,x}$ l'idéal des germes $f\in\cO_{M,x}$ qui s'annulent sur~$(A,x)$.
Réciproquement, si $\cJ=(g_1,\ldots,g_N)$ est un idéal de $\cO_{M,x}$,
on notera $\big(V(\cJ),x\big)$ le germe au point $x$ de l'ensemble
$V(\cJ)=\{z\in U\sep g_1(z)=\ldots=g_N(z)=0\}$ des zéros de $\cJ$, où
$U$ est un voisinage de $x$ tel que $g_j\in\cO(U)$. Il est facile de vérifier
que le germe $(V(cJ),x)$ ne dépend pas du choix des générateurs de~$\cJ$.
De~plus, on voit immédiatement que
\enum{(4.3$'$)}{pour tout idéal $\cJ$ de l'anneau $\cO_{M,x}$, \quad$\cI_{V(\cJ),x}\supset\cJ$,}
\smallskip
\enum{(4.3$''$)}{pour tout germe d'ensemble analytique $(A,x)$,\\ $\big(V(\cI_{A,x}),x\big)=(A,x)$.}

\begin{enonce*}[remark]{(4.4) Définition}
Un germe $(A,x)$ est dit \emph{irréductible} s'il ne
possède aucune décomposition $(A,x)=(A_1,x)\cup(A_2,x)$ en
des ensembles analytiques \hbox{$(A_j,x)\ne(A,x)$, $j=1,2$}.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{(4.5) Proposition} Un germe $(A,x)$ est irréductible si et
seulement si son idéal $\cI_{A,x}$ est un idéal premier de
l'anneau $\cO_{M,x}$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Rappelons qu'un idéal $\cJ$ est dit \emph{premier}
si $fg\in\cJ$ implique $f\in\cJ$ ou \hbox{$g\in\cJ$}. Supposons que $(A,x)$
soit irréductible et que $fg\in\cI_{A,x}$. Comme nous pouvons écrire
\[
(A,x)=(A_1,x)\cup(A_2,x)\text{ avec }A_1=A\cap f^{-1}(0)\text{ et
} A_2=A\cap g^{-1}(0),
\]
on doit avoir par exemple
$(A_1,x)=(A,x)$; donc $f\in\cI_{A,x}$ et $\cI_{A,x}$ est bien
premier. Réciproquement, si $(A,x)=(A_1,x)\cup(A_2,x)$ avec
$(A_j,x)\ne(A,x)$, il existe $f\in\cI_{A_1,x}$ et $g\in\cI_{A_2,x}$
telles que $f,g\notin \cI_{A,x}$. Cependant $fg\in\cI_{A,x}$, donc
$\cI_{A,x}$ n'est pas un idéal premier.
\end{proof}

\begin{enonce*}{(4.6) Théorème}
Toute suite décroissante de germes
d'ensembles analytiques $(A_k,x)$ est stationnaire.
\end{enonce*}

\begin{proof}
En effet, la suite correspondante d'idéaux
$\cJ_k=\cI_{A_k,x}$ est croissante, donc $\cJ_k=\cJ_{k_0}$
pour $k\ge k_0$ assez grand par la propriété noethérienne de~$\cO_{M,x}$.
On en déduit que $(A_k,x)=\big(V(\cJ_k),x\big)$
est constant pour $k\ge k_0$. Ce résultat a les conséquences immédiates
suivantes:
\end{proof}

\begin{enonce*}{(4.7) Théorème}
Tout germe d'ensemble analytique $(A,x)$
admet une décomposition finie
$$(A,x)=\bigcup_{1\le k\le N}(A_k,x)$$
où les germes $(A_j,x)$ sont irréductibles et où
$(A_j,x)\not\subset(A_k,x)$ pour $j\ne k$. La décomposition est unique
à l'ordre près.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Si $(A,x)$ peut être décomposé en plusieurs
composantes, on redécompose celles qui peuvent l'être, et ce tant que
l'une des composantes ainsi obtenues est réductible. Ce processus
doit s'arrêter par le théorème 4.6,
d'où l'existence de la décomposition. Pour vérifier l'unicité,
supposons que $(A,x)=\bigcup(A'_\ell,x)$, $1\le\ell\le N'$, soit une autre
décomposition. Puisque $(A_k,x)=\bigcup_\ell(A_k\cap A'_\ell,x)$, on doit avoir
$(A_k,x)=(A_k\cap A'_\ell,x)$ pour un certain $\ell=\ell(k)$,
par conséquent $(A_k,x)\subset(A'_{\ell(k)},x)$,
et de même $(A'_{\ell(k)},x)\subset(A_j,x)$
pour un certain~$j$. Nécessairement $j=k$ et donc
$(A'_{\ell(k)},x)=(A_k,x)$.
\end{proof}

\Subsection{Structure locale d'un germe d'ensemble analytique}\label{subsec:4B}
Nous allons décrire la structure locale d'un germe, à la fois du point
de vue holomorphe et du point de vue topologique. Grâce à la décomposition
précédente, on peut se restreindre au cas de germes irréductibles.
Soit~$\cJ$ un idéal premier de $\cO_n=\cO_{\bC^n,0}$ et soit $A=V(\cJ)$
sa variété de zéros. On pose $\cJ_k=\cJ\cap\bC\{z_1,\ldots,z_k\}$ pour
tout $k=0,1,\ldots,n$.

\begin{enonce*}{(4.8) Proposition} Il existe un entier $d$, une base
$(e_1,\ldots,e_n)$ de $\bC^n$ et des coordonnées $(z_1,\ldots,z_n)$
correspondantes ayant les propriétés suivantes: $\cJ_d=\{0\}$ et pour
tout entier \hbox{$k=d+1,\ldots,n$} il existe un polynôme de Weierstrass
$P_k\in\cJ_k$ de la forme
$$P_k(\wh z_{k-1},z_k)=z_k^{s_k}+\hspace*{-3mm}\sum_{1\le j\le s_k}\hspace*{-3mm}a_{j,k}(\wh z_{k-1})\,z_k^{s_k-j},\quad
a_{j,k}(\wh z_{k-1})\in\cO_{k-1},\leqno(4.9)$$
où $\wh z_{k-1}:=(z_1,\ldots,z_{k-1})$,
$a_{j,k}(\wh z_{k-1})=O(|\wh z_{k-1}|^j)$. De plus, la base
$(e_1,\ldots,e_n)$ peut être choisie arbitrairement proche de toute
base donnée a priori $(e^0_1,\ldots,e^0_n)$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Par récurrence sur $n$. Si $\cJ=\cJ_n=\{0\}$,
alors $d=n$ et il n'y a rien à démontrer. Sinon, choisissons
un élément non nul $g_n\in\cJ$ et un vecteur $e_n$ tels que
$\bC\ni w\mto g_n(we_n)$ s'annule au plus petit ordre
possible~$s_n$. Ce choix exclut au plus l'ensemble algébrique
$g_n^{(s_n)}(v)=0$, donc $e_n$ peut être choisi arbitrairement
proche de~$e^0_n$. Soient $(\tilde z_1,\ldots,\tilde z_{n-1},z_n)$
les coordonnées associées à la base $(e^0_1,\ldots,e^0_{n-1},e_n)$. Après
multiplication par un élément inversible, on peut supposer que $g_n$ est
un polynôme de Weierstrass
$$P_n(\tilde z,z_n)=z_n^{s_n}+\sum_{1\le j\le s_n}a_{j,n}(\tilde z)\,z_n^{s_n-j},
\qquad a_{j,n}\in\cO_{n-1},$$
et $a_{j,n}(\tilde z)=O(|\tilde z|^j)$ par la Remarque~2.7. Si
$\cJ_{n-1}=\cJ\cap\bC\{\tilde z\}=\nobreak\{0\}$ alors $d=n-1$ et la construction
est terminée. Sinon on applique l'hypothèse de récurrence à l'idéal
\hbox{$\cJ_{n-1}\subset\cO_{n-1}$} pour trouver une nouvelle base
$(e_1,\ldots,e_{n-1})$ de $\Vect(e^0_1,\ldots,e^0_{n-1})$,
des coordonnées correspondantes $(z_1,\ldots,z_{n-1})$ et des
polynômes de Weierstrass $P_k\in\nobreak\cJ_k$, $d+1\le k\le n-1$,
comme stipulé dans le lemme.
\end{proof}

\begin{enonce*}{(4.10) Corollaire} Posons
$z'=(z_1,\ldots,z_d)$, $z''=(z_{d+1},\ldots,z_n)$, et soient
$\Delta'$ dans $\bC^d$, $\Delta''$ dans $\bC^{n-d}$ des polydisques
de centre $0$ et de rayons $r',r''>0$. Alors le germe $(A,0)$ est
contenu dans un cône
$|z''|\le C|z'|$, $C=\text{constante}$, et la restriction de
l'application de projection $\bC^n\to\bC^d$,
$(z',z'')\mto z':$
$$\pi:A\cap(\Delta'\times\Delta'')\to\Delta'$$
est propre si $r''$ est assez petit et si $r'\le r''/C$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Les polynômes $P_k(z_1,\ldots,z_{k-1}\sep z_k)$ s'annulent
sur $(A,0)$. D'après (4.9) et le lemme~2.17, tout point $z\in A$ suffisamment
proche de $0$ satisfait l'estimation
$$|z_k|\le C_k(|z_1|+\cdots+|z_{k-1}|),\qquad d+1\le k\le n,$$
donc $|z''|\le C|z'|$ et le corollaire s'ensuit.
\end{proof}

Puisque $\cJ_d=\{0\}$, nous avons un morphisme injectif d'anneaux
$$\cO_d=\bC\{z_1,\ldots,z_d\}\lhra\cO_n/\cJ.\leqno(4.11)$$

\begin{enonce*}{(4.12) Proposition} $\cO_n/\cJ$ est une extension
algébrique entière finie de~$\cO_d$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Soit $f\in\cO_n$. Une division de $f$ par $P_n$
donne $f=P_nq_n+R_n$ avec un reste $R_n\in\cO_{n-1}[z_n]$, $\deg_{z_n}R_n<s_n$.
Des divisions des coefficients de $R_n$ par $P_{n-1}$, $P_{n-2}$ etc $\ldots$
fournissent
$$R_{k+1}=P_kq_k+R_k,\qquad R_k\in\cO_k[z_{k+1},\ldots,z_n],$$
où $\deg_{z_j}R_k<s_j$ pour $j>k$. Par conséquent
$$f=R_d+\sum_{d+1\le k\le n}P_kq_k=R_d\mod(P_{d+1},\ldots,P_n)
\subset\cJ\leqno(4.13)$$
et $\cO_n/\cJ$ est engendré comme $\cO_d$-module par la famille
finie de monômes $z_{d+1}^{\alpha_{d+1}}\ldots z_n^{\alpha_n}$ avec
$\alpha_j<s_j$.
\end{proof}

Comme $\cJ$ est premier, $\cO_n/\cJ$ est un anneau intègre. Nous noterons~$\tilde f$ l'image d'un germe quelconque $f\in\cO_n$ dans le quotient $\cO_n/\cJ$, et $\cM_A$ et $\cM_d$
les corps des quotients de $\cO_n/\cJ$ et $\cO_d$ respectivement (les
éléments peuvent être vus comme des fonctions méromorphes, d'où
l'usage de la lettre $\cM$). Alors
$\cM_A=\cM_d[\tilde z_{d+1},\ldots,\tilde z_n]$ est une extension
algébrique finie de~$\cM_d$. Soit $q=[\cM_A{:}\cM_d]$ son degré et soient
$\sigma_1,\ldots,\sigma_q$ les plongements de $\cM_A$ au dessus de $\cM_d$
dans la clôture algébrique $\ol\cM_A$. Rappelons qu'un anneau factoriel
est intégralement clos dans son corps des quotients ([Lang,~1965],
Chap.\,VII).
Par suite, tout élément de $\cM_d$ qui est entier algébrique sur $\cO_d$
appartient en fait à~$\cO_d$. D'après le théorème de l'élément primitif,
il existe une forme linéaire $u(z'')=c_{d+1}z_{d+1}+\cdots+c_nz_n$, $c_k\in\bC$,
telle que $\cM_A=\cM_d[\tilde u]$; en fait, $u$ est de degré $q$ si et seulement si
$\sigma_1\tilde u,\ldots,\sigma_q\tilde u$ sont tous distincts, et ceci exclut
au plus un nombre fini de sous-espaces vectoriels dans l'espace $\bC^{n-d}$ des
coefficients $(c_{d+1},\ldots,c_n)$. Comme \hbox{$\tilde u\in\cO_n/\cJ$} est entier
algébrique sur l'anneau intégralement clos $\cO_d$, le polynôme irréductible unitaire\vspace*{-3pt}
$W_u$ de $\tilde u$ sur $\cM_d$ a ses coefficients dans $\cO_d$:
$$W_u(z';T)=T^q+\sum_{1\le j\le q}a_j(z_1,\ldots,z_d)\,T^{q-j},\qquad
a_j\in\cO_d.$$
$W_u$ est nécessairement un polynôme de Weierstrass, sinon il existerait
une factorisation $W_u=W'Q$ dans $\cO_d[T]$ avec un polynôme de Weierstrass
$W'$ de degré $\deg W'<q=\deg \tilde u$ et $Q(0)\ne 0$, donc
$W'(\tilde u)=0$, contradiction. De la même manière, on voit que
$\tilde z_{d+1},\ldots,\tilde z_n$ possèdent des équations irréductibles
$W_k(z';\tilde z_k)=0$ où $W_k\in\cO_d[T]$ est un polynôme de
Weierstrass de degré $=\deg \tilde z_k\le q$, $d+1\le k\le n$.

\begin{enonce*}{(4.14) Lemme} Soit $\delta(z')\in\cO_d$ le discriminant de
$W_u(z';T)$. Pour tout élément $g$ de $\cM_A$ qui est entier algébrique
sur $\cO_d$ (ou de façon équivalente sur $\cO_n/\cJ)$,
on a $\delta g\in\cO_d[\tilde u]$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
On a $\delta(z')=\prod_{j<k}(\sigma_k\tilde u-\sigma_j\tilde u)^2\not
\equiv 0$, et $g\in\cM_A=\cM_d[\tilde u]$ peut s'écrire\vspace*{-3pt}
$$g=\sum_{0\le j\le q-1}b_j\,\tilde u^j,\qquad b_j\in\cM_d,$$
où $b_0,\ldots,b_{d-1}$ sont les solutions du système linéaire
\[
\sigma_k g=\sum b_j(\sigma_k\tilde u)^j;
\]
le déterminant (de type Van der Monde) est $\delta^{1/2}$. Il s'ensuit
que les $\delta b_j\in\cM_d$ sont des polynômes
en $\sigma_k g$ et $\sigma_k\tilde u$, donc $\delta b_j$ est entier algébrique
sur~$\cO_d$. Comme $\cO_d$ est intégralement clos, on a nécessairement
$\delta b_j\in\cO_d$, donc $\delta g\in\cO_d[\tilde u]$.
\end{proof}

En particulier, il existe des polynômes uniques $B_{d+1}$, $\ldots$,
$B_n\in\cO_d[T]$ de degrés $\deg B_k\le q-1$, tels que
$$\delta(z')z_k=B_k(z';u(z''))\mod\cJ.\leqno(4.15)$$
Alors on a
$$\delta(z')^qW_k\big(z';B_k(z';T)/\delta(z')\big)\in
\text{idéal~}W_u(z';T)\,\cO_d[T]\,;\leqno(4.16)$$
en effet, le membre de gauche est un polynôme en $\cO_d[T]$ et \hbox{admet}
la racine $T=\tilde u$ dans $\cO_n/\cJ$ puisque
\[
B_k(z';\tilde u)/\delta(z')=
\tilde z_k\quand W_k(z';\tilde z_k)=0.
\]

\begin{enonce*}{(4.17) Lemme} Considérons l'idéal
$$\cG=\big(W_u(z';u(z''))\,,\,\delta(z')z_k-B_k(z';u(z''))\big)
\subset\cJ$$
et posons $m=\max\{q,(n-d)(q-1)\}$. Pour tout germe $f\in\cO_n$,
il existe un unique polynôme $R\in\cO_d[T]$, $\deg_TR\le q-1$,
tel que
$$\delta(z')^mf(z)=R(z';u(z''))\mod\cG.$$
De plus $f\in\cJ$ implique $R=0$, donc $\delta^m\cJ\subset\cG$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Grâce à (4.16) et à une substitution de $z_k$,
on obtient $\delta(z')^qW_k(z';z_k)\in\cG$. L'analogue de la
formule (4.13) où $P_k$ est remplacé par $W_k$ donne
$$f=R_d+\sum_{d+1\le k\le n}W_kq_k,\quad R_d\in\cO_d[z_{d+1},\ldots,z_n],$$
avec $\deg_{z_k}R_d<\deg W_k\le q$, donc $\delta^mf=\delta^mR_d
\bmod\cG$. On peut par conséquent remplacer $f$ par $R_d$ et supposer que
$f\in\cO_d[z_{d+1},\ldots,z_n]$ est un polynôme de degré total
$\le(n-d)(q-1)\le m$. Une substitution de $z_k$ par
$B_k(z';u(z''))/\delta(z')$ donne $G\in\cO_d[T]$ tel que
$$\delta(z')^m f(z)=G(z';u(z''))\mod\big(\delta(z')
z_k-B_k(z';u(z''))\big).$$
Finalement, une division $G=W_uQ+R$ fournit le polynôme cherché
$R\in\cO_d[T]$. La dernière affirmation est claire: si $f\in\cJ$
satisfait $\delta^m(z')f(z)=R(z;u(z''))\bmod\cG$ pour $\deg_T R<q$,
alors $R(z';\tilde u)=0$, et comme $\tilde u\in\cO_n/\cJ$ est de
degré $q$, on doit avoir $R=0$. L'unicité de $R$ se démontre d'une
manière semblable.
\end{proof}

\begin{enonce*}{(4.18) Théorème de paramétrisation locale} Soit $\cJ$ un
idéal premier de $\cO_n$ et $A=V(\cJ)$. Supposons que les
coordonnées
$$(z';z'')=(z_1,\ldots,z_d;z_{d+1},\ldots,z_n)$$
soient choisies comme indiqué plus haut. Alors l'anneau $\cO_n/\cJ$ est
une extension entière finie de~$\cO_d$; soit $q$ le degré de l'extension
et soit $\delta(z')\in\cO_d$ le discriminant du polynôme irréductible
d'un élément primitif $u(z'')=\sum_{k>d}c_kz_k$. Si
$\Delta',\Delta''$ sont des polydisques de rayons suffisamment petits
$r',r''$ et si $r'\le r''/C$ avec $C$ assez grand, l'application de projection
$\pi:A\cap(\Delta'\times\Delta'')\to\Delta'$ est un
revêtement ramifié à $q$ feuillets, dont le lieu de ramification est
contenu dans $S=\{z'\in\Delta';\delta(z')=0\}$. Ceci signifie que:
\begin{enumeratea}
\item
le sous-ensemble ouvert $A_S=A\cap\big((\Delta'\ssm S)
\times\Delta''\big)$ est une variété de dimension~$d$,
dense dans $A\cap(\Delta'\times\Delta'')$;
\item
$\pi:A_S\to\Delta'\ssm S$ est un revêtement~$;$
\item
les fibres $\pi^{-1}(z')$ ont exactement $q$ éléments
si $z'\notin S$ et au plus~$q$ si $z'\in S.$
\end{enumeratea}
\noindent De plus, $A_S$ est un revêtement connexe de $\Delta'\ssm S$,
et $A\cap(\Delta'\times\Delta'')$ est contenu dans un cône $|z''|\le C|z'|$~
(cf. Fig.~2).
\end{enonce*}

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.8]{xups12-03_fig2}
\caption{Revêtement ramifié de $A$ sur $\Delta'\subset\bC^p$}
\end{center}
\end{figure}

\begin{proof}
La démonstration est une généralisation
de la preu\-ve donnée pour le cas d'une hypersurface analytique
(cf. (2.16)), et l'idée générale est la même, bien que les
détails soient ici nettement plus techniques.
Après une transformation linéaire des coordonnées
$z_{d+1},\ldots,z_n$, on peut supposer que $u(z'')=z_{d+1}$, donc
$W_u=W_{d+1}$ et $B_{d+1}(z';T)=\delta(z')T$.
Grâce au lemme~4.17, on~a
$$\cG=\big(W_{d+1}(z',z_{d+1})\,,\,\delta(z')z_k-B_k(z',z_{d+1})\big)_{k\ge d+2}
\subset\cJ,\quad \delta^m\cJ\subset\cG.$$
On peut donc trouver un polydisque $\Delta=\Delta'\times\Delta''$ de rayons
$r',r''$ assez petits tel que $V(\cJ)\subset V(\cG)\subset
V(\delta^m\cJ)$ dans~$\Delta$. Comme $V(\cJ)=A$ et $V(\delta)\cap\Delta=S\times
\Delta''$, ceci implique
$$A\cap\Delta\subset V(\cG)\cap\Delta\subset(A\cap\Delta)\cup
(S\times\Delta'').$$
En particulier, l'ensemble $A_S=A\cap\big((\Delta'\ssm S)\times\Delta''\big)$
situé au dessus de $\Delta'\ssm S$ coïncide avec $V(\cG)\cap\big((\Delta'\ssm
S)\times\Delta''\big)$, qui est l'ensemble des points $z\in\Delta$ défini
par les équations
$$\begin{cases}
\delta(z')\ne 0,~~~W_{d+1}(z',z_{d+1})=0,\cr
z_k=B_k(z',z_{d+1})/\delta(z'),~~d+2\le k\le n.
\end{cases}
\leqno(4.19)$$
Comme $\delta(z')$ est le résultant de $W_{d+1}$ et de
$\partial W_{d+1}/\partial T$, on a
$$\partial W_{d+1}/\partial T(z',z_{d+1})\ne 0\qquad\text{sur}~~A_S.$$
Le théorème des fonctions implicites montre que $z_{d+1}$ est localement
fonction holomorphe de $z'$ sur $A_S$, et la même affirmation vaut
pour $z_k=B_k(z',z_{d+1})/\delta(z')$, $k\ge d+2$.
Par suite $A_S$ est une variété lisse, et pour $r'\le r''/C$ petit,
l'application de projection $\pi:A_S\to\Delta'\ssm S$ est un
difféomorphisme local et un application propre; d'après (4.19) les
fibres $\pi^{-1}(z')$ ont au plus $q$ points correspondant à certaines
des~$q$ racines $w$ de $W_{d+1}(z';w)=0$. Comme $\Delta'\ssm S$ est
connexe (Remar\-que~4.2), ou bien $A_S=\emptyset$ ou bien l'application
$\pi$ est un revêtement ayant un nombre de feuillets $q'\le q$ constant.
Par ailleurs, si~$w$ est une racine de $W_{d+1}(z',w)=0$ avec $z'\in\Delta'\ssm S$
and si on pose $z_{d+1}=\nobreak w$, $z_k=B_k(z',w)/\delta(z')$, $k\ge d+2$,
la relation $(4.16)$ montre que $W_k(z',z_k)=0$, en particulier
$|z_k|=O(|z'|^{1/q})$ d'après le lemme~2.17. Pour $z'$ assez petit,
les $q$ points $z=(z',z'')$ définis de cette manière appartiennent
à~$\Delta$, donc $q'=q$. La Propriété~b) et les premières parties de
a) et c) s'ensuivent. On a maintenant besoin du lemme suivant.
\end{proof}

\begin{enonce*}{(4.20) Lemme} Si $\cJ\!\subset\!\cO_n$ est premier et $A\!=\!V(\cJ)$,
alors \hbox{$\cI_{A,0}\!=\!\cJ$}.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Il est évident que
$\cI_{A,0}\supset\cJ$. Maintenant, pour tout
$f\in\cI_{A,0}$, la proposition 4.12 implique que $\tilde f$ satisfait
dans l'anneau $\cO_n/\cI$ une équation irréductible
$$f^r+b_1(z')\,f^{r-1}+\cdots+b_r(z')=0\mod\cJ).$$
Alors $b_r(z')$ s'annule sur $(A,0)$ et la première partie de~c) donne
$b_r=0$ sur $\Delta'\ssm S$. Par conséquent $\tilde b_r=0$ et
l'irréductibilité de l'équation de~$\tilde f$ implique $r=1$,
de sorte que \hbox{$f\in\cJ$,} ce qu'il fallait montrer.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du théorème 4.18 (fin)]
Il reste seulement à prouver que $A_S$ est connexe et dense
dans $A\cap\Delta$ et que les fibres $\pi^{-1}(z')$, $z'\in S$,
ont au plus $q$ éléments. Soient $A_{S,1},\ldots,A_{S,N}$ les composantes
connexes de $A_S$. Alors $\pi:A_{S,j}\to\Delta'\ssm S$ est
un revêtement à $q_j$ feuillets, $q_1+\cdots+q_N=q$. Pour tout
point $\zeta'\in\Delta'\ssm S$, il existe un voisinage $U$ de $\zeta'$
tel que $A_{S,j}\cap\pi^{-1}(U)$ soit une réunion disjointe de graphes
$z''=g_{j,k}(z')$ de fonctions analytiques $g_{j,k}\in
\cO(U)$, \hbox{$1\le k\le q_j$}. Si $\lambda(z'')$ est une forme linéaire arbitraire
en $z_{d+1},\ldots,z_n$ et $z'\in\Delta'\ssm S$, on pose
$$P_{\lambda,j}(z';T)=\hspace*{-5mm}\prod_{\{z''\sep (z',z'')\in A_{S,j}\}}\hspace*{-5mm}\big(T-\lambda
(z'')\big)=\prod_{1\le k\le k_j}\big(T-\lambda\circ g_{j,k}(z')\big).$$
Ceci définit un polynôme en $T$ dont les coefficients sont des fonctions
holomorphes bornées sur~$\Delta'\ssm S$. Ces coefficients admettent des
prolongements holomorphes à~$\Delta'$ (Remarque~4.2), donc $P_{\lambda,j}\in\cO(\Delta')[T]$.
Par construction, $P_{\lambda,j}\big(z';\lambda(z'')\big)$ s'annule identiquement
sur~$A_{S,j}$. Soit
$$P_\lambda=\prod_{1\le j\le N}P_{\lambda,j},\qquad
f(z)=\delta(z')\,P_\lambda\big(z';\lambda(z'')\big)\,;$$
$f$ s'annule sur
\[
A_{S,1}\cup\ldots\cup A_{S,N}\cup(S\times\Delta'')\supset
A\cap\Delta.
\]
le lemme~4.20 montre que $\cI_{A,0}$ est premier; comme $\delta\notin\cI_{A,0}$,
on~obtient $P_{\lambda,j}\big(z';\lambda(z'')\big)\in\cI_{A,0}$
pour un certain indice~$j$. Ceci est une contradiction si $N\ge 2$ et si $\lambda$ est
choisi en sorte que $\lambda$ sépare les $q$ points~$z''_\nu$ de chaque fibre
$\pi^{-1}(z'_\nu)$, pour une suite $z'_\nu\to 0$ dans~$\Delta'\ssm S$.
Par conséquent $N=1$, $A_S$ est connexe, et pour tout $\lambda\in(\bC^{n-d})^\star$
on a $P_\lambda\big(z',\lambda(z'')\big)\in\cI_{(A,0)}$. Par construction
$P_\lambda\big(z',\lambda(z'')\big)$ s'annule sur~$A_S$, donc aussi sur
on $\ol A_S$; par conséquent, pour tout $z'\in S$, la~fibre
$\ol A_S\cap\pi^{-1}(z')$ possède au plus $q$ éléments,
sinon en choisissant~$\lambda$ qui sépare $q+1$ de ces points
on obtiendrait $q+1$ racines $\lambda(z'')$ de $P_\lambda(z';T)$,
contradiction. Supposons maintenant que $A_S$ ne soit pas dense
dans $A\cap\Delta$ pour des polydisques $\Delta$ arbitrairement petits.
Alors il existerait une suite $A\ni z_\nu=(z'_\nu,z''_\nu)\to 0$ telle que
$z'_\nu\in S$ et $z''_\nu$ ne soit pas dans $F_\nu:=\text{pr}''\big(\ol A_S\cap
\pi^{-1}(z'_\nu)\big)$. La continuité des racines du polynôme
$P_\lambda(z';T)$ lorsque $\Delta'\ssm S\ni z'\to z'_\nu$ implique que
l'ensemble des racines de $P_\lambda(z'_\nu;T)$ est $\lambda(F_\nu)$. Choisissons
$\lambda$ tel que $\lambda(z''_\nu)\notin\lambda(F_\nu)$ pour tout $\nu$.
Alors $P_\lambda\big(z'_\nu;\lambda(z''_\nu)\big)\ne 0$ pour tout $\nu$ et
$P_\lambda\big(z';\lambda(z'')\big)\notin\cI_{A,0}$,
contradiction.
\end{proof}

À ce point, il nous faut observer que beaucoup des énoncés précédents tombent
complètement en défaut dans le cas des ensembles analytiques réels. Dans $\bR^2$,
par exemple, l'idéal premier $\cJ=(x^5+y^4)$ définit un germe irréductible
de courbe $(A,0)$ et on a une extension algébrique entière injective d'anneaux
$\bR\{x\}\lhra\bR\{x,y\}/\cJ$ qui est de degré 4; cependant, la projection
de $(A,0)$ sur le premier facteur, $(x,y)\mto x$, n'a pas un nombre de feuillets
constant près de~$0$, et ce nombre n'est pas égal au degré de l'extension.
De plus, l'idéal premier $\cJ=(x^2+y^2)$ a une variété de zéros $V(\cJ)$
associée qui se réduit à $\{0\}$, donc $\cI_{A,0}=(x,y)$ contient strictement~$\cJ$, ce qui contraste avec le lemme~4.20.

Retournons maintenant à la situation complexe, qui est d'un comportement beaucoup
plus simple. Le résultat obtenu au lemme~4.20 peut alors être étendu aux idéaux
non premiers et on obtient le résultat important suivant:

\skpt
\begin{enonce*}{(4.21) Théorème des zéros de Hilbert holomorphe} Pour tout idéal~\hbox{$\cJ\!\subset\!\cO_n$} on a
$$\cI_{V(\cJ),0}=\sqrt{\cJ},$$
où $\sqrt{\cJ}$ est la racine de l'idéal $\cJ$, c'est-à-dire l'ensemble des
germes $f\in\cO_n$ tels qu'une certaine puissance $f^k$ appartient à~$\cJ$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Soit $B=V(\cJ)$. Si $f^k\in\cJ$, alors $f^k$ s'annule sur $(B,0)$
et $f\in\cI_{B,0}$. Par conséquent $\sqrt{\cJ}\subset\cI_{B,0}$. Réciproquement,
c'est un fait algébrique général bien connu que $\sqrt{\cJ}$ est l'intersection de
tous les idéaux premiers $\cP\supset\cJ$ ([Lang,~1965], Chap.\,X).
Pour un tel idéal
$(B,0)\!=\!\big(V(\cJ),0)\!\supset\!\big(V(\cP),0\big)$, donc
\hbox{$\cI_{B,0}\!\subset\!\cI_{V(\cP),0}\!=\!\cP$} d'après le lemme~4.20. Par suite
$\cI_{B,0}\subset\bigcap_{\cP\supset\cJ}\cP=\sqrt{\cJ}$ et le
théorème est démontré.
\end{proof}

En d'autres termes, si un germe $(B,0)$ est défini par un
idéal arbitraire $\cJ\subset\cO_n$ et si $f\in\cO_n$ s'annule sur $(B,0)$,
alors une certaine puissance $f^k$ appartient à~$\cJ$.

\subsection{Points réguliers et singuliers. Dimension}\label{subsec:4C}
Les puissants résultats qui précèdent nous permettent d'analyser avec précision
les singularités d'un ensemble analytique. Donnons d'abord quelques définitions.

\begin{enonce*}[remark]{(4.22) Définition}
Soit $A\subset M$ un ensemble analytique et $x\in A$.
On~dit que $x\in A$ est un \emph{point régulier} de $A$ si $A\cap\Omega$ est une
sous-variété $\bC$\nobreakdash-analytique lisse de $\Omega$ pour un voisinage $\Omega$ assez petit de~$x$. Sinon, on dit que $x$ est un \emph{point singulier}.
Les sous-ensembles correspondants de $A$ seront notés respectivement
$A_\reg$ et $A_\sing$.
\end{enonce*}

Il est clair par définition que $A_\reg$ est un sous-ensemble ouvert de $A$,
que $A_\sing$ est fermé, et que les composantes connexes de
$A_\reg$ sont des sous-variétés $\bC$-analytique lisses de $M$ non nécessairement fermées.

\begin{enonce*}{(4.23) Proposition} Si $(A,x)$ est irréductible, il existe
des voisinages~$\Omega$ arbitrairement petits de $x$ tels que $A_\reg\cap\Omega$
soit une partie dense et connexe de $A\cap\Omega$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Prenons $\Omega=\Delta$ comme dans le théorème 4.18. Alors
$A_S\subset A_\reg\cap\Omega\subset A\cap\Omega$, où
$A_S$ est connexe et dense dans $A\cap\Omega$; par suite $A_\reg\cap\Omega$
a les mêmes propriétés.
\end{proof}

\begin{enonce*}[remark]{(4.24) Définition}
La \emph{dimension} d'un germe d'ensemble analytique
irréductible $(A,x)$ est définie par $\dim(A,x)=\dim(A_\reg,x)$.
Si $(A,x)$ a plusieurs composantes irréductibles $(A_\ell,x)$, on pose
$$\dim (A,x)=\max\{\dim(A_\ell,x)\},\qquad\codim(A,x)=n-\dim(A,x).$$
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{(4.25) Proposition} Soient $(B,x)\subset(A,x)$ des germes
d'ensembles analytiques. Si $(A,x)$ est irréductible et $(B,x)\ne(A,x)$, alors
$\dim(B,x)<\dim(A,x)$ et $B\cap\Omega$ est d'intérieur vide dans $A\cap\Omega$
pour tout voisinage $\Omega$ suffisamment petit de~$x$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
On peut supposer $x=0$, $(A,0)\subset(\bC^n,0)$ et $(B,0)$
irréductible. Alors $\cI_{A,0} \subset\cI_{B,0}$ sont des idéaux premiers.
On réalise~$A$ et $B$ comme des revêtements ramifiés en choisissant
des coordonnées adéquates, et on peut à chaque étape sélectionner
des vecteurs de base $e_n,e_{n-1},\ldots$ qui conviennent simultanément
pour $A$ et $B$. Si $\dim B=\dim A$, le processus s'arrête en même temps
pour $A$ et $B$, de sorte qu'on obtient des revêtements ramifiés
$$\pi:A\cap(\Delta'\times\Delta'')\to\Delta',\qquad
\pi:B\cap(\Delta'\times\Delta'')\to\Delta'$$
de lieux de ramifications $S_A,S_B$. Alors $B\cap\big((\Delta'\ssm
(S_A\cup S_B))\times\Delta''\big)$ est un sous-ensemble ouvert de la variété
$A_S=A\cap\big((\Delta'\ssm S_A)\times\Delta''\big)$, par conséquent
$B\cap A_S$ est un sous-ensemble analytique de $A_S$ d'intérieur non vide.
La même conclusion vaut si $B\cap\Delta$ est supposé d'intérieur non vide dans
$A\cap\Delta$. Comme $A_S$ est connexe, on obtient $B\cap A_S=A_S$, et comme
$B\cap\Delta$ est fermé dans $\Delta$ on en déduit que $B\cap\Delta\supset\ol
A_S=A\cap\Delta$, donc $(B,0)=(A,0)$, en contradiction avec l'hypothèse.
\end{proof}

\begin{enonce*}[remark]{(4.26) Exemple: paramétrisation des courbes analytiques}
Supposons
que $(A,0)$ soit un germe irréductible de courbe analytique ($\dim(A,0)=1$). Si
le disque $\Delta'\subset\bC$ est choisi assez petit pour que $S=\{0\}$, alors $A_S$
est un revêtement connexe de $\Delta'\ssm\{0\}$ à $q$ feuillets. Par conséquent,
il existe un isomorphisme de revêtements entre $\pi$ et le revêtement standard
$$\bC\supset\Delta(r)\ssm\{0\}\to \Delta(r^q)\ssm\{0\},\qquad
t\mto t^q,\qquad r^q=\text{rayon de~~}\Delta',$$
c'est-à-dire une application $\gamma:\Delta(r)\ssm\{0\}\to A_S$
telle que $\pi\circ\gamma(t)=t^q$. Cette application s'étend en une application
holomorphe bijective $\gamma:\Delta(r)\to A\cap\Delta$ avec $\gamma(0)=0$.
Ceci signifie que tout germe irréductible de courbe peut être paramétré par une
application holomorphe bijective définie sur un disque de $\bC$. On peut encore
dire que la courbe est paramétrée par une application multi-valuée
$t\mto\gamma(t^{1/q})$ (avec toutes
les déterminations possible de la racine $q$-ième), de sorte que les séries de
Taylor des composantes $\gamma_j(t)=\sum_{p=1}^{+\infty}a_{j,s}t^s$ fournissent
des \emph{développements de Puiseux}
$$
z_j=\sum_{p=1}^{+\infty}a_{j,s}t^{s/q},\qquad 1\le j\le n
$$
pour les coordonnées des points $z=(z_1,\ldots,z_n)\in A\cap\Delta$.
\end{enonce*}

\subsection{Cohérence des faisceaux d'idéaux}\label{subsec:4D}
Soit $A$ un ensemble analytique dans une variété complexe $M$. Le
\emph{faisceau d'idéaux} $\cI_A$ est le sous-faisceau de $\cO_M$ consistant
en les germes de fonctions holomorphes de $M$ qui s'annulent sur~$A$. Ses
fibres sont les idéaux~$\cI_{A,x}$ déjà considérés; observons bien sûr que
$\cI_{A,x}=\cO_{M,x}$ si $x\notin A$.
Si~$x\in A$, on note $\cO_{A,x}$ l'anneau des germes de fonctions sur $(A,x)$
qui peuvent s'étendre en des germes de fonctions holomorphes sur $(M,x)$.
Par définition, il y a un morphisme surjectif $\cO_{M,x}\to\cO_{A,x}$
dont le noyau est $\cI_{A,x}$, donc
$$\cO_{A,x}=\cO_{M,x}/\cI_{A,x},\qquad \forall\, x\in A,\leqno(4.27)$$
c'est-à-dire que $\cO_A=(\cO_M/\cI_A)_{\restriction A}$. Puisque $\cI_{A,x}=\cO_{M,x}$
pour $x\notin A$, le faisceau quotient $\cO_M/\cI_A$ est nul sur~$M\ssm A$.

\begin{enonce*}{(4.28) Théorème}[Cartan {[67]}, 1950] Pour tout ensemble analytique
$A\subset M$, le faisceau d'idéaux $\cI_A$ est un faisceau analytique cohérent.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Il suffit de prouver le résultat lorsque $A$ est un sous-ensemble
analytique d'un voisinage de $0$ dans~$\bC^n$. Si $(A,0)$ n'est pas irréductible,
il existe un voisinage $\Omega$ tel que $A\cap\Omega=A_1\cup\ldots\cup
A_N$ où les~$A_k$ sont des ensembles analytique dans $\Omega$ et $(A_k,0)$
est irréductible. On a $\cI_{A\cap\Omega}=\bigcap\cI_{A_k}$, donc d'après le
Cor.\,3.14 on peut supposer que $(A,0)$ est irréductible. On peut alors choisir
des coordonnées \hbox{$z'$, $z''$}, des polydisques $\Delta',\Delta''$ et
un élément primitif $u(z'')=c_{d+1}z_{d+1}+\cdots+c_nz_n$ tel que le
théorème 4.18 s'applique. Puisque $\delta(z')=\prod_{j<k}(\sigma_k\tilde u-\sigma_j\tilde u)^2$,
on voit que $\delta(z')$ est en fait un polynôme en les $c_j$ avec des
coefficients dans $\cO_d$. La même propriété est vraie pour les coefficients des
polynômes $W_u(z';T)$ et $B_k(z';T)$ qui s'expriment en termes des
fonctions symétriques élémentaires des $\sigma_k\tilde u$. On
suppose que $\Delta'$ est choisi suffisamment petit pour que
tous les coefficients de ces polynômes de $\cO_d[c_{d+1},\ldots,c_n]$
soient dans $\cO(\Delta')$. Soit $\delta_\alpha\in\cO(\Delta')$ un des
coefficients non nuls apparaissant dans $\delta^m=\sum\delta_\alpha c^\alpha$.
De plus, soient $G_1,\ldots,G_N\in\cO(\Delta')[z'']$ les
coefficients des monômes $c^\alpha$ apparaissant dans les développements
des fonctions $W_u(z';u(z''))$ ou $\delta(z')z_k-B_k(z';u(z''))$.
Il est clair que $G_1,\ldots,G_N$ s'annulent sur~\hbox{$A\cap\Delta$}. Nous affirmons que
$$\cI_{A,x}=\big\{f\in\cO_{M,x}\sep \delta_\alpha f\in(G_{1,x},\ldots,G_{N,x})\big\}.
\leqno(4.29)$$
Ceci implique que le faisceau $\cI_A$ est la projection sur le premier facteur du
faisceau des relations $\cR(\delta_\alpha,G_1,\ldots,G_N)\subset\cO_\Delta^{N+1}$,
qui est cohérent par le théorème d'Oka; le théorème~4.28 en
résultera alors.

On démontre d'abord que l'inclusion $\cI_{A,x}\supset\{\ldots\}$ a bien lieu
dans (4.29). En effet,
si $\delta_\alpha f\in(G_{1,x},\ldots,G_{N,x})$, alors $f$ s'annule sur
$A\ssm\nobreak\{\delta_\alpha=0\}$ dans un certain voisinage de~$x$. Comme
$(A\cap\nobreak\Delta)\ssm\nobreak\{\delta_\alpha=\nobreak0\}$ est dense dans $A\cap\Delta$,
on en conclut que $f\in\cI_{A,x}$.

Pour démontrer l'autre inclusion $\cI_{A,x}\!\subset\!\{\ldots\}$, on reprend
la dé\-monstration du lemme~4.17 avec quelques modifications. Soit $x\in\Delta$
un point fixé. Au point~$x$, les polynômes irréductibles $W_u(z';T)$
et $W_k(z';T)$ des éléments $\tilde u$ et $\tilde z_k$ de $\cO_{M,0}/\cI_{A,0}$
se décomposent en
\begin{align*}
W_u(z';T)&=W_{u,x}\big(z';T-u(x'')\big)\,Q_{u,x}\big(z';T-u(x'')\big),\\
W_k(z';T)&=W_{k,x}(z';T-x_k)\,Q_{k,x}(z';T-x_k),
\end{align*}
où $W_{u,x}(z';T)$ et $W_{k,x}(z';T)$ sont des polynômes de Weierstrass
en~$T$, et $Q_{u,x}(x',0)\ne 0$, $Q_{k,x}(x',0)\ne 0$.
Pour tout $z'\in\Delta'$, les racines de $W_u(z';T)$ sont les valeurs
$u(z'')$ en tous les points $z\in A\cap\pi^{-1}(z')$. Comme $A$ est fermé,
tout point $z\in A\cap\pi^{-1}(z')$ avec $z'$ proche de $x'$ doit être dans un
petit voisinage de l'un des points \hbox{$y\in A\cap\pi^{-1}(x')$}. Choisissons
$c_{d+1},\ldots,c_n$ tels que la forme linéaire $u(z'')$ sépare tous les
points de la fibre $A\cap\pi^{-1}(x')$. Alors, pour une racine $u(z'')$ de
$W_{u,x}\big(z';T-u(x'')\big)$, le point $z$ doit être dans un voisinage de
\hbox{$y=x$}, sinon $u(z'')$ serait proche de $u(y'')\ne u(x'')$ et
le polynôme de Weierstrass $W_{u,x}(z';T)$ aurait une racine loin de~$0$,
en contradiction avec le lemme~2.17. Réciproquement, si
$z\in A\cap\pi^{-1}(z')$ est proche de~$x$, alors
$Q_{u,x}\big(z';u(z'')-u(x'')\big)\ne 0$ et $u(z'')$ est une racine de
$W_{u,x}\big(z';T-u(x'')\big)$. De tout ceci, on déduit que tout
polynôme $P(z';T)\in\cO_{\Delta',x'}[T]$ tel que
$P\big(z';u(z'')\big)=0$ sur $(A,x)$ est un multiple de
$W_{u,x}\big(z';T-u(x'')\big)$, car les racines de ce dernier
polynôme sont simples pour $z'$ dans l'ensemble dense $(\Delta'\ssm S,x)$.
En particulier $\deg P<\deg W_{u,x}$ implique $P=0$ et
$$\delta(z')^qW_{k,x}\big(z';B_k(z';u(z''))/\delta(z')-x_k\big)$$
est un multiple de $W_{u,x}\big(z';T-u(x'')\big)$. Si on remplace
$W_u$, $W_k$ par $W_{u,x}$, $W_{k,x}$ respectivement,
la démonstration du lemme~4.17 montre que pour tout $f\in\cO_{M,x}$ il
existe un polynôme $R\in\cO_{\Delta',x'}[T]$ de degré $\deg R<\deg W_{u,x}$
tel que\vspace*{-5pt}
\begin{multline*}
\delta(z')^mf(z)=R\big(z';u(z'')\big)\qquad \text{modulo l'idéal}\\
\big(~W_{u,x}\big(z';u(z'')-u(x'')\big),~\delta(z')z_k-
B_k\big(z';u(z'')\big)~\big),
\end{multline*}
et $f\in\cI_{A,x}$ implique $R=0$. Comme $W_{u,x}$ diffère de $W_u$
seulement par un élément inversible de $\cO_{M,x}$, on en déduit
$$\Big(\sum\delta_\alpha c^\alpha\Big)\cI_{A,x}=\delta^m\cI_{A,x}\subset
(G_{1,x},\ldots,G_{N,x}).$$
Ceci est vrai pour un ouvert dense de coefficients $c_{d+1},\ldots,c_n$,
par conséquent en exprimant les coefficients $\delta_\alpha$ comme
des fonctions d'interpolation des valeurs $\sum \delta_\alpha c^\alpha$
en des points $c$ ad hoc on obtient
\[
\delta_\alpha\cI_{A,x}\subset
(G_{1,x},\ldots,G_{N,x})\qquad \text{pour tout~~}\alpha.\qedhere
\]
\end{proof}

\begin{enonce*}{(4.30) Théorème}
$A_\sing$ est un sous-ensemble analytique de $A$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
L'énoncé est local. Supposons d'abord que $(A,0)$ soit
un germe irréductible dans $\bC^n$. Soit $g_1,\ldots,g_N$ les générateurs du
faisceau $\cI_A$ sur un voisinage $\Omega$ de $0$. Posons $d=\dim A$. Dans un voisinage
de tout point $x\in A_\reg\cap\Omega$, $A$ peut être défini par des
équations holomorphes $u_1(z)=\ldots=u_{n-d}(z)=0$ telles que $du_1,\ldots,du_{n-d}$ sont
linéairement indépendantes. Comme $u_1,\ldots,u_{n-d}$ sont engendrés par $g_1,\ldots,g_N$,
on peut extraire une sous-famille $g_{j_1},\ldots,g_{j_{n-d}}$ qui a au moins un déterminant
jacobien non nul de rang $n-d$ en~$x$. Par suite
$A_\sing\cap\Omega$ est défini par les équations
\begin{multline*}
\det\Big({\partial g_j\over\partial z_k}\Big)_{\substack{j\in J
\\ k\in K}}=0,\\
J\subset\{1,\ldots,N\},~~K\subset\{1,\ldots,n\},~~|J|=|K|=n-d.
\end{multline*}
Supposons maintenant que $(A,0)=\bigcup(A_\ell,0)$ avec $(A_\ell,0)$ irréductible. Le germe
d'un ensemble analytique irréductible en un point régulier est irréductible, donc tout
point qui appartient simultanément à au moins deux composantes est singulier. Par conséquent
$$(A_\sing,0)=\bigcup(A_{\ell,\sing},0)\cup
\bigcup_{k\ne \ell}(A_k\cap A_\ell,0),$$
et $A_\sing$ est analytique.
\end{proof}

On donne maintenant une caractérisation des points réguliers en termes d'une
propriété algébrique simple de l'anneau $\cO_{A,x}$.

\begin{enonce*}{(4.31) Proposition} Soit $(A,x)$ un germe d'ensemble analytique
de dimension $d$ et soit \hbox{$\gm_{A,x}\subset\cO_{A,x}$} l'idéal maximal
des fonctions qui s'annulent en~$x$. Alors $\gm_{A,x}$ ne peut avoir
moins de $d$ générateurs et $\gm_{A,x}$ possède $d$ générateurs si et
seulement si $x$ est un point régulier.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Si $A\subset\bC^n$ est une sous-variété de dimension
$d$ dans un voisinage de~$x$, il existe des coordonnées locales centrées en~$x$
telles que $A$ soit donné par les équations $z_{d+1}=\ldots=z_n$ près de~$z=0$.
Alors $\cO_{A,x}\simeq\cO_d$ et $\gm_{A,x}$ est engendré par $z_1,\ldots,z_d$.
Réciproquement, supposons que $\gm_{A,x}$ possède $s$ générateurs $g_1(z),\ldots,g_s(z)$
dans $\cO_{A,x}=\cO_{\bC^n,x}/\cI_{A,x}$. Si l'on choisit $x=0$ comme origine
pour simplifier, on peut écrire
$$z_j=\sum_{1\le k\le s}u_{jk}(z)g_k(z)+f_j(z),\qquad u_{jk}\in\cO_n,~~
f_j\in\cI_{A,0},~~1\le j\le n.$$
Alors il vient $dz_j=\sum c_{jk}(0)dg_k(0)+df_j(0)$, de sorte que le rang du
système de différentielles $\big(df_j(0)\big)_{1\le j\le n}$ est au moins
égal à~$n-s$. Supposons par exemple que $df_1(0),\ldots,df_{n-s}(0)$ soient
linéairement indépendantes. D'après le théorème des fonctions implicites,
les équations $f_1(z)=\ldots=f_{n-s}(z)=0$ définissent un germe de
sous-variété de dimension $s$ contenant $(A,0)$, donc $s\ge d$ et $(A,0)$
est égal à cette sous-variété si $s=d$.
\end{proof}

\begin{enonce*}{(4.32) Corollaire} Soit $A\subset M$ un ensemble analytique de dimension
pure $d$ et soit $B\subset A$ un sous-ensemble analytique de codimension${}\ge p$
dans~$A$. Alors, en tant que $\cO_{A,x}$-module, l'idéal $\cI_{B,x}$ ne peut être
engendré par moins de $p$ générateurs en tout point $x\in B$,
et par moins de $p+1$ générateurs en tout point $x\in B_\reg\cap A_\sing$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Supposons que l'idéal $\cI_{B,x}$ admette $s$ générateurs
$(g_1,\ldots,g_s)$ en $x$. D'après la cohérence de $\cI_B$ ces
germes engendrent aussi~$\cI_B$ dans un voisinage de~$x$,
donc on peut supposer que $x$ est un point régu\-lier
de~$B$. Alors il existe des coordonnées locales $(z_1,\ldots,z_n)$ de~$M$ centrées en~$x$ telles que $(B,x)$ soit défini par $z_{k+1}=\ldots=z_n=0$,
où $k=\dim(B,x)$. Alors l'idéal maximal
$\gm_{B,x}=\gm_{A,x}/\cI_{B,x}$ est engendré par
$z_1,\ldots,z_k$, de sorte que $\gm_{A,x}$ est engendré par
$(z_1,\ldots,z_k,g_1,\ldots,g_s)$. D'après la proposition 4.31, on obtient
$k+s\ge d$, donc $s\ge d-k\ge p$, et les inégalités sont strictes
lorsque $x\in A_\sing$.
\end{proof}

\section{Appendice: espaces étalés et revêtements}\label{sec:5}

Pour la commodité du lecteur, nous rappelons ici quelques résultats
basiques sur les revêtements et les espaces étalés. Ces notions
ne font intervenir que les concepts généraux de la topologie.

\subsection{Un aperçu de la théorie des revêtements}\label{subsec:5A}

Étant donnés deux espaces topologiques $X$ et $B$, un revêtement
\hbox{$X\to B$} peut être vu intuitivement comme un espace
$X$ constitué d'un empilement local de couches, appelées aussi
\og feuillets\fg, localement homéomorphes à~$B$ et homéomorphes
entre elles. Le nombre de feuillets est supposé partout le même.
La définition précise d'un revêtement est la suivante. Tous les
espaces qui interviendront dans cette section seront supposés
\emph{séparés} et \emph{localement connexes}.

\begin{enonce*}[remark]{(5.1) Définition}
Soit $\rho:X\to B$ une application continue entre
espaces topologiques (séparés et localement connexes),
et soit $F$ un ensemble (considéré comme
un espace topologique avec la topologie discrète). On dit que
$\rho:X\to B$ est un \emph{revêtement de fibre typique~$F$} si
la condition suivante est satisfaite:
\renewcommand{\enum}[2]%
{\par\noindent\begin{minipage}{.05\textwidth}#1\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}[t]{.93\textwidth}#2\end{minipage}\par}
\enum{(R)}{Pour tout point $y_0$ dans $B$, il existe un
voisinage ouvert $V$ tel que $\rho^{-1}(V)$ puisse s'écrire comme une
réunion disjointe $\rho^{-1}(V)=\bigcup_{j\in F}U_j$ d'ouverts $U_j$
deux à deux disjoints, $j\in F$, et tel que la restriction
$\rho_{|U_j}:U_j\to V$ soit un homéomorphisme pour tout~$j$.}
\smallskip
\noindent
Cette condition implique que $\rho^{-1}(V)$ est homéomorphe au
produit $V\times F$.
Un tel voisinage $V$ sera appelé un voisinage adapté (au revêtement~$\rho)$. L'espace $B$ est appelé la base du revêtement, $X$
l'espace total du revêtement. Les ouverts $U_j$ sont les
feuillets situées au dessus de $V$.
\end{enonce*}

\begin{figure}[htb]
\vspace*{-\baselineskip}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.7]{xups12-03_fig3}
\end{center}
\vspace*{-5mm}
\caption{Revêtement $\rho:X\to B$ de fibre $F$}
\noindent\smaller{}
[\emph{Nota}. Le dessin ci-dessus est quelque peu simpliste; la
propriété de revêtement ne serait pas vérifiée sur les
extrémités gauche et droite de $B$ telles qu'elles sont
figurées ici...]
\vspace*{-.5\baselineskip}
\end{figure}

On notera que l'on peut toujours rétrécir le
voisinage $V$ en un voisinage ouvert $V'\subset V$: la définition
est alors satisfaite avec $U'_j=U_j\cap\rho^{-1}(V')=(\rho_{|U_j})^{-1}(V')$.
On dit que le revêtement $\rho:X\to B$ est
\emph{trivial} si on peut choisir $V=B$, en sorte que $X$ s'identifie
au produit $B\times F$, et $\rho$ à la première projection
$B\times F\to B$.

Comme $B$ est localement connexe, on peut choisir $V$ connexe, et les
ouverts $U_j$ sont alors nécessairement les composantes connexes de
$\rho^{-1}(V)$. On dit que les ouverts $U_j$ sont les feuillets du
revêtement au dessus de l'ouvert $V$. Si $F$ est un ensemble fini de
cardinal $N$, on dit que $\rho$ est un revêtement à $N$ feuillets
(ou encore, un revêtement de degré~$N$).

\begin{enonce*}[remark]{(5.2) Définition}
Étant deux donnés deux revêtements
$\rho:X\to B$ et $\rho':X'\to B$ de base $B$, on appelle \emph{homomorphisme entre ces revêtements} tout diagramme commutatif\vspace*{-.3pt}
\[
\xymatrix@R=.6cm{
X\ar[rr]^-\varphi\ar[rd]_(.4)\rho&&X'\ar[ld]^(.35){\!\!\!\rho'}\\
&B&
}
\]
autrement dit une application continue $\varphi:X\to X'$ telle que
$\rho'\circ\varphi=\rho$. On dit qu'il s'agit d'un isomorphisme de
revêtements si $\varphi$ est un homéomorphisme, et on dit que
$\varphi$ est un automorphisme du revêtement $\rho:X\to B$ si c'est
un isomorphisme du revêtement sur lui-même $(X'=X$ et
$\rho'=\rho)$.
\end{enonce*}

Étant donné un homomorphisme $\varphi$ de revêtements, tout
point $b\in\nobreak B$ admet un voisinage connexe $V$ qui est adapté à la
fois pour~$\rho$ et~$\rho'$, de sorte qu'on a des décompositions en
feuillets
$$
\rho^{-1}(V)=\bigcup_{j\in F}U_j,\qquad
\rho^{\prime-1}(V)=\bigcup_{k\in F'}U'_k,
$$
et la propriété de commutation $\rho'\circ\varphi=\rho$ implique
que $\varphi$ envoie homéomorphiquement chaque feuille $U_j$ sur
une certaine feuille $U'_{k(j)}$ via $\rho^{\prime-1}\circ\rho$. Il en
résulte que $\varphi(X)$ est une partie à la fois ouverte et
fermée de $X'$ (c'est une réunion de feuillets ouverts, et son
complémentaire est la réunion des feuillets ouverts qui ne sont
pas atteints). En particulier, si $X'$ est connexe, tout
homomorphisme de revêtement est nécessairement surjectif.

On notera $G=\Aut(\rho)$ l'ensemble des automorphismes du revêtement
\hbox{$\rho:X\to B$}. C'est clairement un groupe pour la composition
des applications. On l'appelle le \emph{groupe} du revêtement. Ce
groupe permet de définir une relation d'équivalence $\cR$ comme
suit: $x_1\,\cR\,x_2$ si et seulement s'il existe un automorphisme
$\varphi\in\Aut(\rho)$ tel que $x_2=\varphi(x_1)$. On note alors $X/G$
l'espace topologique quotient. Il est facile de voir que
l'application passée au quotient $\ol\rho:X/G\to B$ est encore un
revêtement, avec les éléments des fibres identifiés entre eux
chaque fois qu'un automorphisme permet de passer de l'un à l'autre.

\begin{enonce*}[remark]{(5.3) Définition}
On dit que le revêtement $\rho:X\to B$ est
\emph{galoisien} si le groupe $G=\Aut(X)$ agit transitivement sur les fibres
$\rho^{-1}(y)$, $y\in B$.
\end{enonce*}

Autrement dit, le revêtement $\rho$ est galoisien si $\ol\rho:X/G\to
B$ est un homéomorphisme; on a alors $B\simeq X/G$ et $\rho$ s'identifie
à l'application de passage au quotient $X\to X/G$. On notera
qu'un revêtement trivial $B\times F\to B$ de base $B$ connexe est
galoisien de groupe $\gS_F={}$ensemble des permutations de~$F$. Cet
exemple est assez atypique dans la mesure où $X$ n'est pas connexe
(si $\card F\ge 2$), et où le groupe $G=\gS_F$ a
éventuellement plus d'éléments que les fibres
elles-mêmes (si $\card F\ge\nobreak 3$). Ceci ne se produit pas si
$X$ et $B$ sont connexes:

\begin{enonce*}{(5.4) Proposition} Si $\rho:X\to B$ est un revêtement d'espace total~$X$ connexe, alors deux automorphismes $\varphi$, $\psi$ qui coïncident
en un point $x_0\in X$ sont égaux. En particulier, pour chaque fibre
$\rho^{-1}(y)$, l'application
$$G\to \rho^{-1}(y),\quad x\mto\varphi(x)$$
est injective et $\card G\le\card \rho^{-1}(y)$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
En effet l'ensemble $A=\{x\in X\sep \varphi(x)=\psi(x)\}$ est un
fermé, et c'est aussi un ouvert du fait de la propriété
d'homéomorphie locale de $\rho$ qui fait que si $\varphi$, $\psi$
coïncident en un point d'une feuille connexe $U_j$, alors
il coïncident sur $U_j$ toute entière.
\end{proof}

La proposition précédente montre que $G=\Aut(\rho)$ agit sans point fixe
sur $X$, c'est-à-dire que seul l'automorphisme identique a des points
fixes. Inversement:

\begin{enonce*}{(5.5) Théorème}
Soit $X$ un espace connexe
(localement connexe et \hbox{séparé}),
et $G$ un groupe discret agissant continûment sur $X$,
c'est-à-dire encore un groupe d'homéomorphismes de $X$.
On dit que le groupe
agit proprement sans point fixe si la condition suivante est
satisfaite: pour tout point $x_0\in X$, il existe un voisinage ouvert
$U$ tel que les images $\varphi(U)$, $\varphi\in G$, soient deux à
deux distinctes. Si c'est le cas, alors l'application de passage au
quotient $\rho:X\to B=X/G$ (par la relation $x_1\,\cR\,x_2$ si et
seulement si $x_2=\varphi(x_1)$ pour un certain $\varphi\in G)$ est
un revêtement galoisien de groupe $G$. \end{enonce*}

\begin{proof}
La preuve est très facile et les détails seront laissés au
lecteur. Si $U$ est un voisinage ouvert comme dans la définition,
alors $V=\rho(U)$ est un voisinage ouvert adapté de
$y_0=\rho(x_0)\in X/G$, et $\rho^{-1}(V)=\bigcup_{\varphi\in G}
\varphi(U)$.
\end{proof}

\begin{enonce*}[remark]{(5.6) Exemple}
L'application exponentielle $\rho:\bC\to\bC^*$,
$z\mto e^z$ identifie $\bC^*$ au quotient~$\bC/2\pi\ii\bZ$.
C'est un revêtement galoisien de groupe~$\bZ$, dont les automorphismes
sont les translations $z\mto z+2\pi\ii k$, $k\in\bZ$.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{(5.7) Exemple}
De même, pour
tout entier~$n$, l'application \hbox{$\rho_n:\bC^*\!\to\!\bC$}, $z\mto z^n$
est un revêtement. Le groupe du revêtement est constitué des
automorphismes $z\mto uz$, $u^n=1$, et donc isomorphe au groupe
$\bZ/n\bZ$ des racines $n$-ièmes de l'unité.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{(5.8) Exemple}
Soit $P\in\bC[z]$ un polynôme de degré~$d\ge 1$
(c'est-à-dire non constant). Le polynôme dérivé $P'$ possède un
certain nombre de racines $r_1,\ldots r_N$ (avec $N\le d-1$), et on
considère les valeurs critiques de $P$ qui sont par définition
$c_j=P(r_j)$. Alors la restriction $\rho$ de $P$ définie par
$$
\rho:\bC\ssm P^{-1}(\{c_1,\ldots,c_N\})\to
\bC\ssm\{c_1,\ldots,c_N\},
\qquad z\mto P(z)
$$
est un revêtement à $d$ feuillets: en effet, pour $w\in\bC$, $w\ne
c_j$, on a $P'(z)\ne 0$ (sinon on aurait $z=r_j$ et donc $w=P(z)=c_j$
pour un certain $j$), donc les racines de $P(z)-w=0$ sont des racines
simples. Il y a par conséquent exactement $d$ racines, et le théorème
d'inversion locale montre facilement que $\rho$ est un revêtement. En
général, pour $d\ge 3$, ce revêtement n'est pas galoisien.
Si on prend par exemple
$P(z)=z^3-3z$, alors les racines de $P'(z)=3(z^2-1)$ sont $\pm 1$ et les
valeurs critiques $c_1=-2$, $c_2=2$ sont telles que $P^{-1}(-2)=\{1,-2\}$ et
$P^{-1}(2)=\{-1,2\}$. On obtient ainsi un revêtement à $3$ feuillets
$$
\rho:\bC\ssm\{1,2,-1,-2\}\to\bC\ssm\{2,-2\},\qquad z\mto z^3-3z
$$
qui n'est pas galoisien. Pour le voir on observe que le groupe
d'un tel revêtement est précisément constitué des homographies de
$\bP^1_\bC$ qui préservent l'ensemble fini $E=P^{-1}(\{c_1,\ldots,c_N\})\cup
\{\infty\}$: l'espace $\bC\ssm P^{-1}(\{c_1,\ldots,c_N\})=\bP^1_\bC\ssm E$
admet $E$ comme ensemble de bouts, son compactifié par les bouts est donc
la sphère de Riemann, et les automorphismes du revêtement s'étendent en
des homéomorphismes de~$\bP^1_\bC$ qui doivent être holomorphes. Or il est
élémentaire de vérifier que les seules homographies qui permutent non
trivialement $\{1,2,-1,-2\}$ sont $z\mto \pm z$ et $z\mto\pm 2/z$
(cf. \S1.4), et que le seul automorphisme du
revêtement est l'application identique. Du fait que~$\rho$ se prolonge
en l'application $P:\bC\to\bC$ dont les fibres ne sont plus de cardinal
constant -- deux des 3 feuillets \og se rejoignent\fg au dessus
des points $w=c_1,c_2$ où on a des racines $P(z)=w$ doubles -- on dit que
$P$ réalise un \og revêtement ramifié\fg à
$d$~feuillets.\qed
\end{enonce*}

On notera que si $\rho:X\to B$ est un revêtement et
$B'$ une partie de~$B$, alors en posant $X'=\rho^{-1}(B')$, l'application
induite\vspace*{-3pt}
$$
\rho'=\rho_{|X'}:X'\to B'
$$
est encore un revêtement. On l'appelle la restriction du revêtement
à $B'\subset B$. Dans les exemples 1 et 2 qui précèdent, on peut
se restreindre par exemple au disque pointé $D(0,r)\ssm\{0\}$, ce qui
donne les revêtements\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
\rho:\{\Re z<\ln r\}&\to D(0,r)\ssm\{0\},&z&\mto e^z\\
\rho_n:D(0,r^{1/n})\ssm\{0\}&\to D(0,r)\ssm\{0\}&
z&\mto z^n.
\end{align*}
Tous ces exemples sont des revêtements \emph{holomorphes}. De
façon générale, on parle de revêtement différentiable,
holomorphe, etc, si l'application $\rho$ est différentiable,
holomorphe, etc.

\begin{enonce*}{(5.9) Théorème de relèvement} Soit $\rho:X\to B$ un revêtement
de base~$B$ localement connexe par arcs, $S$ un espace
simplement connexe et~$s_0$ un point de $S$. Pour toute application continue
\hbox{$f:S\to B$} et tout point $x_0\in X$ tel que $\rho(x_0)=f(s_0)$,
il existe une unique application $\wt f:S\to X$, appelée relèvement de $f$
dans $X$, telle que\vspace*{-3pt}
$$
\rho\circ\wt f=f\quad\hbox{et}\quad\wt f(s_0)=x_0.
$$
Ceci peut se visualiser par le diagramme suivant:\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}%
\[
\xymatrix@C=1.5cm@R=.7cm{
&X\ar[d]^\rho\ar@{}[r]|{{}\ni x_0\hspace*{.7cm}}&\\
\ar[ur]^{\exists\,\wt f} s_0\in S\ar[r]_-f&B\ar@{}[r]|{{}\ni f(s_0).}&
}
\]
\end{enonce*}

\skpt
\begin{proof}
\noindent
\emph{Unicité.}
S'il existait deux relèvements $\wt f_1$ et
$\wt f_2$, l'ensemble $E$ des~\hbox{$s\!\in\! S$} tels que $\wt f_1(s)=\wt
f_2(s)$ serait à la fois ouvert et fermé. En effet, si~$x=\wt
f_1(a)=\wt f_2(a)$, il existe un voisinage $U$ de $x$ qui s'envoie
homéo\-morphiquement sur un voisinage $V$ de $\rho(x)=f(a)$
par~$\rho$, et par continuité, il existe un voisinage $W$ de $a$
dans $S$ tel que $\wt f_1(W)\subset U$ et $\wt f_2(W)\subset U$.
Comme $\rho\circ\wt f_1=\rho\circ\wt f_2=f$, ceci implique $\wt
f_1=\wt f_2$ sur~$W$, par suite $E$ est ouvert. Le fait que $E$ soit
fermé résulte de ce que l'espace $X$ est supposée séparé.
Comme $s_0\in E$, la connexité de $S$ entraîne $E=S$, et
l'unicité est démontrée. Pour démontrer l'existence, nous
procédons en trois étapes.

\subsubsection*{Existence, première étape}
Nous démontrons d'abord l'existence
dans le cas $S\!=\![0,1]$ et $s_0\!=\!0$. Comme l'image $f(S)\!=\!f([0,1])$ est
compacte, il existe un recouvrement fini de $f(S)$ par des ouverts
connexes~$V_\ell$ pour lesquels $\rho^{-1}(V_\ell)\!=\!\bigcup_{j\in
F}U_{\ell,j}$ où \hbox{$\rho_{|U_{\ell,j}}:U_{\ell,j}\!\to\! V_\ell$} est un
homéomorphisme. Quitte à prendre une subdivision \hbox{$[k/N,(k+1)/N]$}
assez fine de $[0,1]$, on peut supposer que $f([k/N,(k+1)/N])$ est
entièrement contenu dans un certain ouvert $V_{\ell(k)}$ pour
tout~$k=0,1,\ldots,N-1$. On montre alors qu'on peut choisir par récurrence
sur $k$ un indice $j(k)$ tel que\vspace*{-3pt}
$$
\wt f=(\rho_{|U_{\ell(k),j(k)}})^{-1}\circ f\qquad
\hbox{en restriction à $[k/N,(k+1)/N]$}.
$$
Pour $k=0$, on choisit $j(0)$ en sorte que $x_0\in U_{\ell(0),j(0)}$,
ce qui est possible puisque\vspace*{-3pt}
$$
\rho(x_0)=f(s_0)=f(0)\in V_{\ell(0)}.
$$
Ce choix donne bien $\smash{\wt f}(0)=x_0$. Supposons maintenant que
$\smash{\wt f}$ ait déjà été construite sur $[(k-1)/N,k/N]$,
$k\ge 1$. On choisit alors~$j(k)$ en sorte que $\smash{\wt f}(k/N)\in
U_{\ell(k),j(k)}$, ce qui est possible puisque $\rho(\wt
f(k/N))=f(k/N)\in V_{\ell(k)}$. On voit alors que $\smash{\wt f}$ se
recolle en une fonction continue sur $[0,1]$.

\Subsubsection*{Existence, deuxième étape: cas du carré $S=[0,1]^2$,
$s_0=(0,0)$}
La~preuve est tout à fait analogue à celle du
segment $[0,1]$. On~uti\-li\-se cette fois un quadrillage assez fin de
sorte que chaque petit carré~$C$ du quadrillage s'envoie sur
$f(C)\subset V_{\ell}$, puis on relève consécutivement les
carrés adjacents ligne par ligne, en partant du carré qui contient
$s_0=(0,0)$.

\Subsubsection*{Existence, cas général ($S$ simplement connexe
quelconque)}
Puisque~$S$ est connexe par arcs, on peut choisir
pour tout $s\in S$ un chemin $\gamma:[0,1]\to S$ tel que
$\gamma(0)=s_0$ et $\gamma(1)=s$. D'après la première étape
appliquée à $g=f\circ\gamma:[0,1]\to B$, il existe une unique
fonction $\wt g:[0,1]\to X$ telle que $\wt g(0)=x_0$ et $\rho\circ \wt g=g=f\circ\gamma$:
\[
\xymatrix@C=2.5cm@R=.7cm{
&X\ar[d]^\rho\ar@<-1pt>@{}[r]|{{}\ni x_0\hspace*{1.7cm}}&\\
\ar[ur]^{\exists\,\wt g}0\in [0,1]\ar[r]_-{g=f\circ h}&B\ar@{}[r]|{\hspace*{2mm}{}\ni g(0)=f(s_0).}&
}
\]
On définit alors $\wt f(s)=\wt g(1)$, de
sorte que
\[
\rho\circ\wt f(s)=g(1)=f\circ\gamma(1)=f(s).
\]
Il faut
vérifier que l'image $\wt f(s)$ ne dépend pas du chemin $\gamma$
choisi pour effectuer le relèvement. Si $\gamma'$ est un autre
choix, l'hypothèse de simple connexité de $S$ entraîne
l'existence d'une homotopie
$$
h:[0,1]\times[0,1]\to S
$$
telle que
\[
h(0,t)=\gamma(t),\, h(1,t)=\gamma'(t),\,
g(u,0)=s_0,\, h(u,1)=s,~~~~\forall\, t,u\in[0,1].
\]
D'après la
deuxième étape appliquée à $G=f\circ h:[0,1]^2\to B$, il existe
un relèvement $\wt G$ de $G$ tel que $\wt G(0,0)=x_0$:
\[
\xymatrix@C=2.5cm{
&X\ar[d]^\rho\ar@<-1pt>@{}[r]|{{}\ni x_0\hspace*{1.7cm}}&\\
\ar[ur]^{\exists\,\wt G}(0,0)\in [0,1]^2\ar[r]_-{G=f\circ h}&B\ar@{}[r]|{\hspace*{6mm}{}\ni G(0,0)=f(s_0).}&
}
\]
L'unicité implique
que $G(0,t)=\wt g(t)$ et $G(1,t)=\wt g\,{}'(t)={}$relèvement de
$f\circ\gamma'$. Mais comme $\rho\circ\wt G(u,1)=G(u,1)=s={}$constante,
la~fonction $u\mto\wt G(u,1)$ est constante, ce qui entraîne
$$
\wt g(1)=G(0,1)=G(1,1)=\wt g\,{}'(1).
$$
La continuité de $\wt f$ se déduit aisément de cette observation et
du fait que $B$ est localement connexe par arcs.
\end{proof}

\begin{enonce*}[remark]{(5.10) Exemple}
Comme l'application $\exp:\bC\to\bC^*$ est un
revêtement, on retrouve ainsi l'existence d'un relèvement $\wt
f$ tel~que~\hbox{$\exp(\wt f)\!=\!f$} pour toute application continue
$f:S\to\bC^*$ définie sur un espace~$S$ simplement connexe.
Autrement dit, $f$ possède une détermination continue $\wt
f=\log f$ de son logarithme complexe. Idem pour les racines
$n$-ièmes $\sqrt[n]{f}$.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{(5.11) Corollaire} Soit $X$ un espace simplement connexe
et localement connexe, et $G$ un groupe opérant proprement sans
point fixe sur~$X$. Considérons la projection $\rho:X\to X/G$ et
un point base $x_0\in X$. On a alors un isomorphisme canonique
$$
\pi_1(X/G,\rho(x_0))\simeq G.
$$
\end{enonce*}

\begin{proof}
Nous définissons une application
\[
\Psi:G\to\pi_1(X/G,\rho(x_0))
\]
comme suit. Pour tout $g\in G$, on choisit un
chemin $\gamma:[0,1]\to X$ tel que $\gamma_g(0)=x_0$ et
$\gamma_g(1)=g\cdot x_0$. Alors $\rho\circ\gamma_g:[0,1]\to X/G$ est un
lacet basé en $\rho(x_0)$, puisque $\rho(g\cdot x_0)=\rho(x_0)$. On
définit $\Psi(g)=(\rho\circ\gamma_g)\shat$ comme la classe
d'homotopie de $\rho\circ\gamma_g$. Ceci ne dépend pas du choix de
$\gamma_g$, puisque tous les chemins sont homotopes dans~$X$ d'après
l'hypothèse de simple connexité. Considérons le
chemin concaténé $\gamma_g\cdot (g\circ\gamma_{g'})$ qui joint $x_0$ à
$gg'\cdot x_0$ en passant par le point intermédiaire $g\cdot x_0$,
et observons que $\rho\circ g\circ\gamma_{g'}=\rho\circ\gamma_{g'}$.
On voit alors que
$$
\Psi(gg')=(\rho\circ\gamma_g)\shat~(\rho\circ\gamma_{g'})\shat=\Psi(g)\Psi(g'),
$$
c'est-à-dire que $\Psi$ est un homomorphisme de groupes.

Comme $\rho:X\to X/G$ est un revêtement, la propriété de relèvement
entraîne que tout lacet $\ol\gamma$ basé en $\rho(x_0)$ se relève en
un certain chemin $\gamma$ joignant $x_0$ à un point $x_1$ tel que
$\rho(x_1)=\rho(x_0)$. Mais alors $x_1=g\cdot x_0$ pour un certain
$g\in G$, donc $\dot{\ol\gamma}=(\rho\circ\gamma)\shat=\Psi(g)$
et on voit que $\Psi$ est surjective. Montrons enfin que $\Psi$ est
injective: si~$\Psi(g)=(\rho\circ\gamma_g)\shat=1$, le chemin
$\ol\gamma=\rho\circ\gamma:[0,1]\to X/G$ est homotope au lacet trivial
par une certaine homotopie $\ol h:[0,1]^2\to X/G$. On~sait que cette homotopie
se relève en une homotopie $h:[0,1]\to X$ qui relie $\gamma$ à un
chemin de projection constante par $\rho$, donc constant. Par
conséquent $x_0=\gamma(0)=\gamma(1)=g\cdot x_0$, ce qui implique $g=1$
du fait que $G$ agit sans point fixe.
\end{proof}

\begin{enonce*}{(5.12) Corollaire} Si $X$ est un espace simplement connexe,
tout revêtement
$\rho:X\to B$ est galoisien, et le groupe d'automorphismes $G=\Aut(\rho)$
s'identifie à $\pi_1(B,b_0)$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Étant donné $b_0\in B$ et deux éléments $x_0$, $x_1$ de la fibre
$\rho^{-1}(b_0)$, le théorème de relèvement implique l'existence
d'un diagramme commutatif\vspace*{-3pt}
\[
\xymatrix@C=1.5cm@R=.6cm{
&X\ar[d]^\rho\ar@{}[r]|{{}\ni x_1\hspace*{.7cm}}&\\
\ar[ur]^{\exists\,\varphi}x_0\in X\ar[r]_-\rho&B\ar@{}[r]|{{}\ni b_0.\hspace*{5mm}}&
}
\]
Par échange des rôles de $x_0$ et $x_1$ et unicité du relèvement, on
voit que~$\varphi$ est un automorphisme de~$X$. Le groupe $G=\Aut(\rho)$
agit transitivement sur les fibres, donc $\rho$ est galoisien et
$B\simeq X/G$. Le corollaire~1 fournit un isomorphisme
canonique $\pi_1(B,b_0)\simeq G$.
\end{proof}

Un concept très important de revêtement est celui de {\it
revêtement universel} d'un espace, à savoir par définition un
revêtement dont la base est l'espace donné et dont l'espace total est
simplement connexe. On va voir que c'est en fait le \og plus grand\fg\
revêtement connexe possible de la base.

\begin{enonce*}[remark]{(5.13) Définition}
Soit $B$ un espace topologique connexe.
On dit que $\pi:\wt B\to B$ est le \emph{revêtement universel
de $B$} si c'est un revêtement et si $\wt B$ est simplement connexe.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{(5.14) Théorème}
Soit $B$ un espace topologique connexe.
\begin{enumeratei}
\item
Le revêtement universel, s'il existe, est unique à
isomorphisme près de revêtement.
\item
Si la base $B$ est localement simplement connexe
(c'est-à-dire si tout point de $B$ admet un système fondamental de
voisinages ouverts simplement connexes), alors le revêtement
universel $\wt B$ existe.
\item
Si $\wt B$ existe et si $B=\wt B/G$ avec
$G=\pi_1(B,b_0)$, tout revêtement connexe $\rho:X\to B$ admet
une factorisation\vspace*{-3pt}
$$
\wt B\to\wt B/H\simeq X\To\rho\wt B/G\simeq B
$$
pour un certain sous-groupe $H\subset G$. Le revêtement $\rho$ est
galoisien si et seulement si $H$ est un sous-groupe distingué de $G$,
et son groupe d'automorphismes s'identifie alors à $G/H$. En général,
$\Aut(\rho)$ s'identifie à $N_H/H$ où $N_H$ est le normalisateur de
$H$ dans $G$.
\end{enumeratei}
\end{enonce*}

\skpt
\begin{proof}
\begin{enumeratei}
\item
L'unicité à isomorphisme près résulte facilement du
théorème de relèvement, et du fait que tout relèvement entre
deux revêtements universels $\wt B_1$ et $\wt B_2$ va donner un
isomorphisme.
\item
Supposons que $B$ soit localement simplement connexe et fixons un point
base $b_0\in B$. On définit un ensemble $\wt B$ comme l'ensemble des
couples $(b,\dot\gamma)$ où $b\in B$ et où $\dot\gamma$ est une classe
d'homotopie de chemin reliant $b_0$ à $b$, muni de la première projection
$\rho:\wt B\to B$. Si $V$ est un voisinage simplement connexe d'un
point $b\in B$, on considère l'ensemble $F$ de toutes les classes
d'homotopie de chemins reliant~$b_0$ à~$b$. Soit $b'\in V$. On utilise
le fait qu'il existe une seule classe d'homotopie d'arc
reliant $b$ à $b'$ dans $V$. Ceci permet de définir pour chaque $
\dot\gamma\in F$
une feuille $U_{\dot\gamma}\subset\wt B$ constitué des paires\vspace*{-3pt}
$$
(b',\dot\gamma\;{}\cdot\overset{\frown}{bb'}),\qquad b'\in V,
$$
où $\smash{\overset{\frown}{bb'}}$ est l'unique classe d'homotopie d'arc
reliant $b$ à $b'$ dans $V$. Les feuillets $U_{\dot\gamma}$ sont alors
disjointes et en bijection avec $V$. On munit $\wt B$ de la topologie
dont les ouverts sont les réunions d'ouverts des différents feuillets
$U_{\dot\gamma}$ (avec la topologie induite par la bijection avec $V$).
Il est clair que $\rho:\wt B\to B$ est un revêtement de fibre typique
$F$ (et que $F$ est en bijection avec $\pi_1(B,b_0)$). On voit
aussi que $\wt B$ est simplement connexe, en effet si $\wt\gamma$ est
un lacet de base $\wt b_0$ et $\gamma=\rho\circ\wt\gamma$ son image,
le fait que $\wt\gamma(1)=\wt\gamma(0)=\wt b_0$ signifie
précisément que $\gamma$ est homotope au lacet trivial basé en
$b_0$, et cette homotopie doit se relever à $\wt\gamma$.

\item
Soit $\rho:X\to B$ un revêtement quelconque d'espace total
$X$ \emph{connexe}. Fixons un point $b_0\in B$ et des points $\wt b_0\in\wt B$
et $x_0\in X$ tels que \hbox{$\pi(\wt b_0)=\rho(x_0)=b_0$}. Comme $\wt B$
est simplement connexe, nous savons qu'il existe un relèvement
\hbox{$\wt\pi:\wt B\to X$} tel que $\rho\circ\wt\pi=\pi$ et
$\wt\pi(\wt b_0)=x_0$.\vspace*{-3pt}
\[
\xymatrix@C=1.5cm@R=.6cm{
&X\ar[d]^\rho\ar@{}[r]|{{}\ni x_0\hspace*{7mm}}&\\
\ar[ur]^{\exists\,\wt\pi}\wt b_0\in\wt B\ar[r]_-\pi&B\ar@{}[r]|{{}\ni b_0.\hspace*{6mm}}&
}
\]
Alors $\wt\pi$ est un homomorphisme de revêtements, et comme $X$ est
connexe, cet homomorphisme est surjectif. Il est facile de voir
que $\wt\pi$ est lui-même un revêtement et que
$H=\Aut(\wt B\to X)$ est un sous-groupe de $G=\Aut(\wt B\to B)$ puisque
la propriété $\wt\pi\circ\varphi=\wt\pi$ entraîne
$\pi\circ\varphi=\pi$ en composant avec $\rho$. On a donc une identification
$$
\rho:X=\wt B/H\to B=\wt B/G.
$$
Par le théorème de relèvement, tout automorphisme $f$
dans le groupe $\Gamma:=\Aut(\rho:X\to B)$ se relève en un automorphisme $\wt f$ dans le groupe
$G=\Aut(\pi:\wt B\to B)$. Les fibres de $\wt\pi$ sont les
orbites $H\cdot\wt b$ de~$H$. Le~relèvement $\wt f$ doit
nécessairement
permuter ces orbites, c'est-à-dire
$$
\wt f\cdot H\cdot\wt b= H\cdot\wt f\cdot\wt b,
$$
par conséquent $\wt f\cdot H= H\cdot\wt f$ et $\wt f$ est dans le
normalisateur $N_H$ de $H$. Inversement, si c'est le cas,
l'homéomorphisme $\wt f$ permute les fibres de $\wt\pi$ et induit donc
un automorphisme $f\in\Gamma$. Le noyau
de $N_H\to\Gamma$ est $H$ lui-même (l'égalité
$\wt f\cdot H\cdot\wt b=H\cdot\wt b$ équivaut à $\wt f\in H$), donc
$\Gamma\simeq N_H/H$.
Pour que le revêtement $\rho$ soit galoisien, il faut que le groupe
$N_H/H$ agisse transitivement sur les fibres de $\rho$, et comme celles-ci
sont en bijection avec $G/H$, il faut que $N_H=G$, autrement dit
il faut (et il suffit) que $H$ soit un sous-groupe distingué de $G$.\qedhere
\end{enumeratei}
\end{proof}

\subsection{Espaces étalés}\label{subsec:5B}

Nous décrivons ici la notion d'espace étalé, qui permet de donner
une interprétation alternative utile du concept de faisceau.

\begin{enonce*}[remark]{(5.15) Définition}
Soit $X$ un espace topologique. On appelle
\emph{espace étalé au dessus de $X$} un espace topologique $E$ muni d'une
\og projection\fg $\pi:E\to X$ qui est un homéomorphisme local, c'est-à-dire
tel que pour tout $p\in E$, il existe un voisinage ouvert $V$ de $p$
tel que $\pi_{|V}$ est un homéomorphisme de $V$ sur un voisinage ouvert
$U=\pi(V)$ de $x=\pi(p)$.
\end{enonce*}

Il s'agit d'une notion plus faible que celle de revêtement: pour les
différents points $p_i$ d'une fibre $\pi^{-1}(x)$, on ne suppose
pas qu'il y a des voisinages
$V_i$ de $p$ qui se projettent homéomorphiquement
sur un même voisinage
de $x$, mais seulement sur des voisinages $U_i$ pouvant être distincts
(et éventuellement de plus en plus petits).

Étant donné un espace étalé $\pi:E\to X$, on peut lui associer
un faisceau $\cF_E$ comme suit: on définit $\cF_E(U)$ comme étant
l'ensemble des sections continues $f:U\to E$, c'est-à-dire les
applications continues $f$ telles que $\pi\circ f=\Id_U$. Il est évident
que la condition de recollement 3.1~b) est satisfaite, il s'agit donc
bien d'un faisceau.

Réciproquement, étant donné un préfaisceau $\cF$,
nous lui avons déjà associé un ensemble noté $E_\cF$, égal à
la somme disjointe
$$
E_\cF=\coprod_{x\in X}\cF_x.
$$
Cet ensemble est muni de la projection naturelle $\pi:E_\cF\to X$ qui
envoie $\cF_x$ sur le point $x$. Si $f\in\cF(U)$ où $U$ est un ouvert
de~$X$, on lui associe la section de $E_\cF$
$$\widetilde f:U\to E_\cF,\qquad x\mto\widetilde f(x)=f_x\in\cF_x
\subset E_\cF$$
et l'ensemble
$$
\widetilde f(U)=\big\{f_x\in\cF_x\sep x\in U\big\}\subset E_\cF.
$$
Si $f_i\in\cF(U_i)$, $i=1,2$, il est évident que $\widetilde{f}_1(U_1)\cap
\widetilde{f}_2(U_2)$ est constitué de la réunion des $\bigcup_W
\smash{\widetilde g}(W)$ où $W\subset U_1\cap U_2$ parcourt
les ouverts de $X$ sur lesquels $f_1$
et $f_2$ coïncident en restriction avec une même section
$g\in\cF(W)$. On voit qu'on peut alors munir $E_\cF$ d'une
topologie en prenant comme ouverts de $E_\cF$ toutes les réunions
finies ou infinies $\bigcup_{i\in I}\smash{\widetilde f}_i(U_i)$
pour des collections arbitraires $(f_i)_{i\in I}$ de sections $f_i\in\cF(U_i)$.
Si $f\in\cF(U)$, il est clair que
$\pi:\smash{\widetilde f}(U)\to U$ est un homéomorphisme,
dont l'inverse est la section $\smash{\widetilde f}$ définie plus haut,
trivialement continue
en vertu du choix de la topologie sur~$E_\cF$. Par conséquent
$E_\cF$ est bien un espace étalé au dessus de~$X$. De plus, le
faisceau des sections continues $X\supset U\to E_\cF$ n'est autre que
le faisceau $\widetilde\cF$ associé au préfaisceau $\cF$. Nous
pouvons conclure cette construction par l'énoncé suivant.

\begin{enonce*}{(5.16) Proposition} Les notions d'espace étalé
$E\to X$ et de faisceau~$\cF$ sur $X$ sont équivalentes: à
tout espace étalé $E\to X$, on peut associer le faisceau $\cF_E$
de ses sections continues, et à tout faisceau~$\cF$ on peut associer
l'espace étalé $E_\cF$ constitué de la somme disjointe de ses
espaces de germes, muni de la topologie définie ci-dessus. Les
correspondances $E\mto \cF_E$ et $\cF\mto
E_\cF$ sont inverses l'une de l'autre.
\end{enonce*}

Pour définir des structures algébriques sur un espace étalé
\[
\pi:E\to X,
\]
on considère le produit fibré
\[
E\times_X E=\{(p,q)\in E\times E\sep \pi(p)=\pi(q)\}.
\]
On suppose alors que toutes les fibres $E_x=\pi^{-1}(x)$ sont munies d'une loi
de composition interne (addition, multiplication...) et que
cette opération définit une application continue $E\times_X E\to E$
pour la topologie de l'espace étalé
(NB: il n'y a pas lieu de composer des éléments de fibres différentes).
Pour une structure d'espace étalé en groupes, outre la continuité de
la loi de composition interne, on demande que l'opposé (ou inverse)
fournisse une application continue $E\to E$. Enfin,
si $A\to X$ est un espace étalé en anneaux, on dit que~$E$ est un
$A$-module si $E$ est un espace étalé en groupes abéliens
et si la multiplication externe $A\times_X E\to E$ est continue.
On voit facilement que ces notions
sont équivalentes aux structures algébriques déjà définies pour
les faisceaux.

La notion d'espace étalé est très utile pour la théorie du
prolongement analytique. Soit $X$ un espace topologique séparé et
localement connexe. On dit qu'un faisceau $\cF$ vérifie le \emph{principe
du prolongement analytique} si étant donné des sections
$f,g\in\cF(U)$ sur un ouvert connexe $U\subset X$ qui coïncident
sur un ouvert $V\subset U$, alors $f=g$ sur~$U$. Ceci peut se
réinterpréter comme suit.

\begin{enonce*}{(5.17) Proposition} Soit $X$ un espace topologique séparé et
localement connexe. Le faisceau $\cF$ sur $X$ vérifie le principe du
prolongement analytique si et seulement si l'espace étalé $E_\cF$ est
lui-même séparé.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Si $E_\cF$ est séparé et $f,g\in\cF(U)$, alors
l'ensemble $V$ des points $x\in U$ tels que $f_x=g_x$ est fermé du fait
de la continuité des applications $x\mto f_x$, $x\mto g_x$ à
valeurs dans l'espace étalé. Puisque~$V$ est ouvert par définition,
la fait que $U$ soit connexe entraîne \hbox{$V=\emptyset$} ou $V=U$, ce qui
montre bien que le principe du prolongement analytique a bien lieu.

Réciproquement, supposons que le principe du prolongement analytique
ait lieu. Soient $p,q\in E_\cF$ des germes distincts, et soient
$f\in\cF(U)$, $g\in \cF(U')$ tels que $p=f_x$, $q=g_y$, avec $U$ un
voisinage ouvert connexe de $x=\pi(p)$ et $U'$ un voisinage ouvert
connexe de $y=\pi(q)$. Si $x\ne y$, on peut choisir $U$ et $U'$
disjoints. Les voisinages $\smash{\widetilde f}(U)$ de $p$ et
$\smash{\widetilde g}(U')$ de $q$ sont alors
disjoints. Si $x=y$, on choisit $U=U'$. Alors on a également
$\smash{\widetilde f}(U)\cap \smash{\widetilde g}(U')=\emptyset$,
sinon $f$ et~$g$ coïncideraient sur $U=U'$ par prolongement
analytique, de sorte qu'on aurait $p=q$, contradiction.
\end{proof}

Supposons désormais que $X$ soit séparé et localement connexe,
et que le faisceau $\cF$ satisfasse le principe du prolongement
analytique: l'exemple de base que nous avons en tête est celui où
l'on prend \hbox{$X=\bC^n$} et le faisceau $\cF=\cO_{\bC^n}$ des fonctions
holomorphes en $n$~variables. Étant donné une section $f\in\cF(U)$ sur
un ouvert connexe $U\subset X$, on peut considérer la composante
connexe $\smash{\widehat U_f}$ de~$E_\cF$ qui contient l'ouvert connexe
$\smash{\widetilde f}(U)=\{f_x\sep x\in U\}\subset E_\cF$
(homéomorphe à~$U$). Comme
l'espace $E_\cF$ est localement homéomorphe à~$X$, il est lui
aussi localement connexe, de sorte que $\smash{\widehat U_f}$ est
un ouvert connexe
de~$E_\cF$. On obtient ainsi un espace étalé connexe et séparé
\hbox{$\pi:\smash{\widehat U_f}\to U'_f\subset X$}, avec
$U'_f:=\pi(\smash{\widehat U_f})$ qui contient $U$, et
$(\smash{\widetilde f}\circ\pi)_{|\smash{\widetilde f}(U)}$ se prolonge
naturellement
à~$\smash{\widehat U_f}$ en tant que l'application d'inclusion
$\smash{\widehat U_f}\subset E_\cF$; dans le cas $\cF=\cO_{\bC^n}$,
on obtient un prolongement de la fonction holomorphe
$\smash{\widetilde f}(U)\ni p\mto F(p)=f\circ\pi(p)$ en
définissant $F(p)=p(\pi(p))\in\bC$ pour tout $p\in\smash{\widehat U}_f$.
Dans le cas où
$$U=\bC\ssm{}]{-}\infty,0]\subset X=\bC$$
et où $f(z)=\log z$ est la détermination principale du logarithme (par
définition, celle telle que \hbox{$-\pi<\Im\log z<\pi$}), on voit facilement
que~$\widehat U_f$ s'identifie au revêtement universel
$\pi:\smash{\widehat U_f}\to\bC^*$ donné par l'application
exponentielle $\bC\to\bC^*$, $w\mto z=e^w$, correspondant à
prendre toutes les déterminations possibles du logarithme; on a ici
$U'_f=\bC^*$.

Dans le cas général, $\pi:\widehat U_f\to U'_f$ correspond au
prolongement \hbox{analytique} maximal de la section $f\in\cF(U)$. Ce n'est
pas toujours un revêtement, comme on le constatera déjà en
prenant par exemple la détermination principale $f(z)=\log\log z$
sur l'ouvert \hbox{$U=\bC\ssm{}]{-}\infty,1]$}. Les prolongements
analytiques sont donnés par les diverses déterminations $\log(\log
z+k\,2\ii\pi)+\ell\,2\ii\pi$, or celles-ci sont bien définies au
voisinage de $z=1$ si~$k\ne 0$, mais pas si $k=0$. Il en résulte que
sur un disque $D(z_0,\delta)$ avec $z_0$ proche de $1$ on doit prendre
$\delta<1-|z_0|$ pour les déterminations correspondant à $k=0$,
tandis que toutes les autres sont définies sur des disques de rayon
$\delta$ borné inférieurement (disons $\delta\ge 1/2$ si
$|z_0-1|<1/2$). On a ici encore $U'_f=\bC^*$. Dans ce contexte,
on a un résultat de dénombrabilité remarquable observé indépendamment
par Poincaré et Volterra en~1888.

\begin{enonce*}{(5.18) Théorème}
Soit $\pi:E\to
X$ un espace étalé au dessus d'un espace topologique $X$
séparé, localement connexe et localement compact, dont la topologie
possède une base dénombrable d'ouverts. Si $E$ est séparé et
connexe, les fibres $\pi^{-1}(x)$ sont finies ou dénombrables.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Soit $(U_j)_{j\in\bN}$ une famille dénombrable
d'ouverts de~$X$ constituant une base de la topologie, c'est-à-dire
telle que tout ouvert~$\Omega$ de $X$ soit réunion d'une sous-famille
de $(U_j)$ (dans $\bC^n$ on peut prendre par exemple les boules de rayon
rationnel dont les centres sont dans $\bQ[i]^n\subset\bC^n$). On peut
supposer que $\overline U_j$ est compact pour tout~$j$ (sinon
il suffit de retenir uniquement ceux des $U_j$ qui ont cette propriété,
ils constituent encore une base de la topologie du fait de l'hypothèse
de locale compacité de~$X$). De plus, tout
ouvert de $X$ ne peut avoir qu'un nombre dénombrable de composantes
connexes (si $a_j\in U_j$ alors $A=\{a_j,j\in\bN\}$ est une partie
dénombrable dense, et
les composantes connexes d'un ouvert rencontrent $A$ suivant des parties
disjointes non vides); en remplaçant si nécessaire
chaque $U_j$ par la famille de ses composantes connexes, on peut
supposer que les~$U_j$ sont connexes.

Pour tout $p\in E$, soit
$J(p)\subset\bN$ l'ensemble des $j\in\bN$ tels qu'il existe une section
continue $f_{p,j}:\overline{U_j}\to E$ telle que $V_{p,j}=f_{p,j}(U_j)$ soit
un voisinage de~$p$. D'après les hypothèses $J(p)\ne\emptyset$,
puisqu'on peut choisir un voisinage $W$ de $p$ qui est envoyé
homéomorphiquement sur un voisinage ouvert $\pi(W)$ de~$\pi(p)$; on prend alors alors un voisinage relativement compact $W'$ de $\pi(p)$ tel que
$\smash{\overline{W}\kern1pt}'\subset\pi(W)$ et on utilise le fait que
celui-ci est réunion d'ouverts $U_j$. Du fait de
l'hypothèse de séparation de $E$, deux ouverts~$V_{p,j}$ et $V_{q,j}$
qui sont envoyés par~$\pi$ sur le même ouvert $U_j$ de $X$ sont disjoints
ou confondus. Comme chaque ensemble $\overline V_{p,j}$ est un
espace compact ayant une topologie à base dénombrable, le nombre
d'ouverts $(V_{p',j'})_{p'\in E,\,j'\in J(p')}$ distincts qui rencontrent
un ouvert $V_{p,j}$ donné est au plus dénombrable.

On construit
maintenant par récurrence sur $N$ des ouverts $\Omega_N$ qui sont
des réunions dénombrables d'ouverts $V_{p,j}$: on choisit
$\Omega_0=V_{p_0,j_0}$ quelconque, et inductivement on prend
$\Omega_N$ égal à la réunion de tous les ouverts $V_{p,j}$ qui
rencontrent~$\Omega_{N-1}$. Alors $\Omega=\Omega_N$ est un ouvert
connexe de $E$. Cet ouvert est également fermé dans~$E$:
si $p\in\overline\Omega$, il existe
un ouvert $V_{p,j}$ qui intersecte $\Omega$ et donc l'un des $\Omega_N$,
par suite $p\in V_{p,j}\subset\Omega_{N+1}\subset\Omega$. Comme
$E$ est connexe, on en déduit que $E=\Omega$ est réunion dénombrable
d'ouverts $V_{p,j}$. Ceci implique que les fibres de $\pi$ sont dénombrables.
\end{proof}

\begin{enonce*}{(5.19) Corollaire}[Poincaré-Volterra]
Pour toute fonction holomorphe $f:\Omega\to\bC$
sur un ouvert connexe $U\subset\bC^n$, le prolongement analytique maximal
$\pi:\smash{\widehat U_f}\to U'_f\subset\bC^n$ est à fibres
dénombrables, autrement
dit il n'existe au plus qu'un nombre dénombrable de déterminations
du prolongement analytique de $f$ au voisinage de tout point.
\end{enonce*}

Plus généralement on peut se poser le problème du prolongement analytique
simultané d'une famille de sections $(f_i)_{i\in I}$, $f_i\in\cF(U)$.
Pour cela, il suffit de considérer le produit fibré des espaces étalés
\begin{multline*}
E_{\cF,X}^I:=\big\{p=(p_i)_{i\in I}\in (E_\cF)^I\sep \exists\, x\in X,\;
\forall\, i\in I,\;\pi(p_i)=x\big\},\\
\pi_I:p\mto x\in X,
\end{multline*}
muni de la topologie induite par la topologie produit de $(E_\cF)^I$. Il~est
facile de voir que la projection $\pi_I:\smash{E_{\cF,X}^I}\to X$ est encore un espace étalé au dessus de $X$
(une base de voisinages de $\smash{(E_\cF)^I}$ est obtenue en spécifiant des
voisinages dans un nombre fini de facteurs seulement, par définition
de la topologie produit). Se donner une famille de sections
$(f_i)_{i\in I}$ dans $\cF(U)$ revient à se donner une section
continue $\smash{\widetilde f}=(\smash{\widetilde f}_i):
U\to \smash{E_{\cF,X}^I}$ du produit fibré. On est donc ramené au
cas précédent, quitte à remplacer $E_\cF$ par~$\smash{E_{\cF,X}^I}$;
si $E_\cF$ est séparé, il en est de même pour~$\smash{E_{\cF,X}^I}$,
le théorème de Poincaré-Volterra s'applique donc aux composantes
connexes de $\smash{E_{\cF,X}^I}$ sous réserve que $X$ soit séparé,
localement connexe, localement compact et à base dénombrable \hbox{d'ouverts}.
On obtient ainsi un espace étalé connexe $\pi:\smash{\widehat U_f}\to U'_f
\supset U$ à fibres dénombrables, avec
$\smash{\widehat U}_f\supset \smash{\widetilde f}(U)$, qui est le plus
grand espa\-ce étalé
au dessus de $X$ sur lequel toutes les sections
$(\smash{\widetilde f}_i\circ\pi)_{|\smash{\widetilde f}(U)}$
se prolongent analytiquement. En particulier, nous obtenons comme
conséquence:

\begin{enonce*}{(5.20) Proposition} Si $\Omega$ est un ouvert connexe de
$\bC^n$, il existe un (unique) espace étalé connexe maximal
$\pi:\smash{\widehat\Omega}\to\Omega' \supset \Omega$, induisant un
homéomorphisme $V\to\Omega$ sur un certain ouvert $V\subset
\smash{\widehat\Omega}$, tel que le relèvement $f\circ\pi_{|V}$ de
toute fonction holomorphe $f\in\cO(\Omega)$ se prolonge analytiquement
en une fonction holomorphe sur $\smash{\widehat\Omega}$. Les fibres
de $\pi$ sont finies ou dénombrables.
\end{enonce*}

\begin{proof}
On applique ce qui précède au faisceau
$\cF=\cO_{\bC^n}$ sur $X=\bC^n$, en prenant une famille $(f_i)_{i\in I}$ telle
que $\{f_i\sep i\in I\}=\cO(\Omega)$ tout entier.
\end{proof}

\noindent
On peut montrer que $\smash{\widehat\Omega}$
est une \emph{variété de Stein}, c'est-à-dire
une variété holomorphiquement
convexe dont les fonctions holomorphes séparent les points
(cf. [Stein,\,1951], [Cartan,\,sém.\,1951-1952]).
On dit que $\smash{\widehat\Omega}$ est \emph{l'enveloppe holomorphe}
de~$\Omega$; en général, les fibres de~$\pi$ peuvent avoir plusieurs points,
donc $\smash{\widehat\Omega}$ ne s'identifie pas à $\Omega'$,
et ne se réalise pas nécessairement comme un ouvert de~$\bC^n$
(voir par exemple [Gunning-Rossi, 1965], chap.\,I, sect.\,G,
dessin p.\,43).

\backmatter
\section*{Bibliographie}
\let\section\Subsection\let\bibliosection\Subsection
\def\refname{Quelques références}
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepalpha+eid}
\bibliography{xups12-03}

\def\refname{Travaux et publications de Henri Cartan}
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1}(avec E.\,Cartan) \emph{Note sur la génération des oscillations entretenues}, Annales des P.T.T., 14, 1196-1207 (1925)

\bibitem{2}\emph{Sur quelques théorèmes de Nevanlinna}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 185, 1253-1255 (1927)

\bibitem{3}\emph{Sur un théorème d'André Bloch}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 186, 624-626 (1928)

\bibitem{4}\emph{Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires lacunaires (Thèse)}, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 45, 255-346 (1928)

\bibitem{5}\emph{Un nouveau théorème d'unicité relatif aux fonctions méromorphes}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 188, 301-303 (1929)

\bibitem{6}\emph{Sur la croissance des fonctions méromorphes d'une ou plusieurs variables complexes}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 188, 1374-1376 (1929)

\bibitem{7}\emph{Sur la fonction de croissance attachée à une fonction méromorphes d'une variable}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 189, 521-523 (1929)

\bibitem{8}\emph{Sur la dérivée par rapport à $\log r$ de la fonction de croissance $T(r\sep f)$}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 189, 625-627 (1929)

\bibitem{9}\emph{Sur les zéros des combinaisons linéaires de $p$ fonctions entières données}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 189, 727-729 (1929)

\bibitem{10}\emph{Sur les fonctions de deux variables complexes}, Bulletin des Sciences Mathématiques, 54, 99-116 (1930)

\bibitem{11}\emph{Les fonctions de deux variables complexes et les domaines cerclés de M.\,Carathéo\-dory}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 190, 354-356 (1930)

\bibitem{12}\emph{Les transformations analytiques des domaines cerclés les uns dans les autres}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 190, 718-720 (1930)

\bibitem{13}\emph{Sur les valeurs exceptionnelles d'une fonction méromorphe dans tout le plan}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 190, 1003-1005 (1930)

\bibitem{14}\emph{Les fonctions de deux variables complexes et le problème de la représentation analytique}, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 9e série, 10, 1-114 (1931)

\bibitem{15}\emph{Sur les fonctions de deux variables complexes: les transformations d'un domaine borné $D$ en un domaine intérieur à $D$}, Bulletin de la Société Mathématique de France, 58, 199-219 (1930)

\bibitem{16}\emph{Sur les variétés définies par une relation entière}, Bulletin des Sciences Mathématiques, 55, 24-32 et 47-64 (1931)

\bibitem{17}\emph{Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs variables complexes}, Bulletin de la Société Mathématique de France, 59, 46-69 (1931)

\bibitem{18}\emph{Les transformations analytiques et les domaines convexes}, Association française pour l'avancement des sciences, Nancy, 30-31 (1931)

\bibitem{19}(avec E.\,Cartan) \emph{Les transformations des domaines cerclés bornés}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 192, 709-712 (1931)

\bibitem{20}\emph{Les transformations des domaines semi-cerclés bornés}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 192, 869-871 (1931)

\bibitem{21}\emph{Sur les transformations analytiques des domaines cerclés et semi-cerclés bornés}, Mathematische Annalen, 106, 540-573 (1932)

\bibitem{22}\emph{Sur une classe remarquable de domaines}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 192, 1077-1079 (1931)

\bibitem{23}\emph{Sur les transformations pseudo-conformes des domaines cerclés bornés}, Congrès International des Mathématiciens, Zürich, vol.\,2, 57-59 (1932)

\bibitem{24}\emph{Sur les transformations localement topologiques}, Acta scientiarum mathematicarum, Szeged, 6, 85-104 (1933)

\bibitem{25}(avec P.\,Thullen) \emph{Zur Theorie des Singularitäten der Funktionen mehrerer komplexen Veränderlichen}, Mathematische Annalen, 106, 617-647 (1932)

\bibitem{26}\emph{Sur les fonctions de plusieurs variables complexes. L'itération des transformations intérieures d'un domaine borné}, Mathematische Zeitschrift, 35, 760-773 (1932)

\bibitem{27}\emph{Sur les zéros des combinaisons linéaires de $p$ fonctions holomorphes données}, Mathematica, Cluj, 7, 5-29 (1933)

\bibitem{28}\emph{Détermination des points exceptionnels d'un système de $p$ fonctions analytiques de $n$ variables complexes}, Bulletin des Sciences Mathématiques, 57, 333-344 (1933)

\bibitem{29}\emph{Sur les groupes de transformations pseudo-conformes}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 196, 669-671 (1933)

\bibitem{30}\emph{Sur les groupes de transformations pseudo-conformes}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 196, 993-995 (1933)

\bibitem{31}\emph{Sur l'itération des transformations conformes ou pseudo-conformes}, Compositio Mathematica, 1, 223-227 (1934)

\bibitem{32}\emph{Sur les transformations pseudo-conformes du produit topologique de deux domaines}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 199, 925-927 (1934)

\bibitem{33}\emph{Les problèmes de Poincaré et de Cousin pour les fonctions de plusieurs variables complexes}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 199, 1284-1287 (1934)

\bibitem{34}\emph{Sur les groupes de transformations analytiques}, Collection à la mémoire de Jacques Herbrand, Hermann, Paris (1936)

\bibitem{35}\emph{Sur les fonctions de $n$ variables complexes: les transformations du produit topologique de deux domaines bornés}, Bulletin de la Société mathématique de France, 64, 37-48 (1936)

\bibitem{36}\emph{Théorie des filtres}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 205, 595-598 (1937)

\bibitem{37}\emph{Filtres et ultrafiltres}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 205, 777-779 (1937)

\bibitem{38}\emph{Sur le premier problème de Cousin}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 207, 558-560 (1938)

\bibitem{39}\emph{Sur les inégalités entre les maxima des dérivées successives d'une fonction}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 208, 414-416 (1939)

\bibitem{40}(avec S.\,Mandelbrojt) \emph{Solution du problème de Carleman pour un intervalle ouvert fini}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 208, 555-558 (1939)

\bibitem{41}\emph{Solution du problème de Carleman pour un intervalle fermé fini}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 208, 716-718 (1939)

\bibitem{42}\emph{Sur les maxima des dérivées successives d'une fonction}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 210, 431-434 (1940)

\bibitem{43}(avec S.\,Mandelbrojt) \emph{Solution du problème d'équivalence des classes de fonctions indéfiniment dérivables}, Acta Mathematica, 72, 31-49 (1940)

\bibitem{44}\emph{Sur les classes de fonctions définies par des inégalités portant sur leurs dérivées successives}, Publications de l'Institut Mathématique de Strasbourg, Hermann (1940)

\bibitem{45}\emph{Sur les classes de Haar}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 211, 759-762 (1940)

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\bibitem{50}\emph{Sur les suites de potentiels de masses ponctuelles}, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 214, 994-996 (1942)

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\bibitem{57}\emph{Théorie de Galois pour les corps non commutatifs}, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 64, 59-77 (1947)

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\bibitem{63}(avec J.\,Deny) \emph{Le principe du maximum en théorie du potentiel et la notion de fonction surharmonique}, Acta Scientiarum Mathematicarum, Szeged, 12, 81-100 (1950)

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\par
%\end{small}
\end{thebibliography}

\section*{Séminaires de l'École Normale Supérieure}

\bgroup\smaller\smaller
(publiés par le Secr.\,Math., 11 rue P.\,et M.\,Curie, 75005 PARIS, et par W.\,A.\,Benjamin, éd., New York, 1967)
\medskip

\enum{1948-49}{\itshape Topologie algébrique}

\enum{1949-50}{\itshape Espaces fibrés et homotopie}

\enum{1950-51}{\itshape Cohomologie des groupes, suites spectrales, faisceaux}

\enum{1951-52}{\itshape Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes}

\enum{1953-54}{\itshape Fonctions automorphes et espaces analytiques}

\enum{1954-55}{\itshape Algèbres d'Eilenberg-MacLane et homotopie}

\enum{1955-56}{(avec C.\,Chevalley) \it Géométrie algébrique}

\enum{1956-57}{\itshape Quelques questions de Topologie}

\enum{1957-58}{(avec R.\,Godement et I.\,Satake) \it Fonctions automorphes}

\enum{1958-59}{\itshape Invariant de Hopf et opérations cohomologiques secondaires}

\enum{1959-60}{(avec J.\,C.\,Moore) \it Périodicité des groupes d'homotopie stables des groupes classiques, d'après Bott}

\enum{1960-61}{(avec A.\,Grothendieck) \it Familles d'espaces complexes et fondements
de la géométrie analytique}

\enum{1961-62}{\itshape Topologie différentielle}

\enum{1962-63}{\itshape Topologie différentielle}

\enum{1963-64}{(avec L.\,Schwartz) \it Théorème d'Atiyah-Singer sur l'indice d'un opérateur différentiel elliptique}\par
\egroup

\section*{Livres}

\bgroup\smaller\smaller
$\bbullet$ (avec S.\,Eilenberg) \emph{Homological Algebra}, Princeton Univ.\,Press, Math.\,Séries, \no19,1966 -- traduit en russe.

$\bbullet$ \emph{Théorie élémentaire des fonctions analytiques}, Paris, Hermann, 1961 -- traduit en allemand, anglais, espagnol, japonais, russe.

$\bbullet$ \emph{Calcul différentiel; formes différentielles}, Paris, Hermann, 1967 -- traduit en anglais et en russe.

\egroup

\section*{Divers}

\bgroup\smaller\smaller
$\bbullet$ \emph{Sur la possibilité d'étendre aux fonctions de plusieurs variables complexes la théorie des fonctions univalentes}, Annexe aux \og Leçons sur les fonctions univalentes ou multivalentes\fg de P.\,Montel, Paris, Gauthier-Villars (1933), 129-155.

$\bbullet$ (avec J.\,Dieudonné) \emph{Notes de tératopologie III}, Rev.\,Sci., 77 (1939), 413-414.\

$\bbullet$ \emph{Un théorème sur les groupes ordonnés}, Bull.\,Sci.\,Math., 63 (1939), 201-205.

$\bbullet$ \emph{Sur le fondement logique des mathématiques}, Rev.\,Sci., 81 (1943), 2-11.

$\bbullet$ (avec J.\,Leray) \emph{Relations entre anneaux d'homologie et groupes de Poincaré}, Topologie Algébrique, Coll.\,Intern.\,C.N.R.S.\,\no 12 (1949), 83-85.

$\bbullet$ \emph{Nombres réels et mesure des grandeurs}, Bull.\,Ass.\,Prof.\,Math., 34 (1954), 29-35.\,Structures algébriques, Bull.\,Ass.\,Prof.\,Math., 36 (1956), 288-298.

$\bbullet$ (avec S.\,Eilenberg) \emph{Foundations of fibre bundles}, Symp.\,Intern.\,Top.\,Alg., Mexico (1956), 16-23.

$\bbullet$ \emph{Volume des polyèdres}, Bull.\,Ass.\,Prof.\,Math., 38 (1958), 1-12.

$\bbullet$ \emph{Nicolas Bourbaki und die heutige Mathematik}, Arbeits.\,für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Heft 76, Koln (1959).

$\bbullet$ \emph{Notice nécrologique sur Arnaud Denjoy}, C.\,R.\,Acad.\,Sci.\,Paris, 279 (1974), Vie Académique, 49-52 (= Astérisque 28-29, S.M.F., 1975, 14-18).\par
\egroup

\section*{Exposés au Séminaire Bourbaki}

(Les numéros renvoient à la numérotation globale du Séminaire)
\medskip
\bgroup\smaller\smaller

\renewcommand{\enum}[2]%
{\par\noindent\begin{minipage}{.09\textwidth}#1\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}[t]{.9\textwidth}#2\end{minipage}\par}


\enum{1,8,12.}{\emph{Les travaux de Koszul} (1948-49)}

\enum{34.}{\emph{Espaces fibrés analytiques complexes} (1950)}

\enum{73.}{\emph{Mémoire de Gleason sur le 5e problème de Hilbert} (1953)}

\enum{84.}{\emph{Fonctions et variétés algébroïdes}, d'après F.\,Hirzebruch (1953)}

\enum{115.}{\emph{Sur un mémoire inédit de H.\,Grauert: \og Zur Theorie der analytisch vollständigen Räume\fg} (1955)}

\enum{125.}{\emph{Théorie spectrale des $\bC$-algèbres commutatives}, d'après L.\,Wael\-broeck (1956)}

\enum{137.}{\emph{Espaces fibrés analytiques}, d'après H.\,Grauert (1956)}

\enum{296.}{\emph{Thèse de Douady} (1965)}

\enum{337.}{\emph{Travaux de Karoubi sur la K-théorie} (1968)}

\enum{354.}{\emph{Sous-ensembles analytiques d'une variété banachique complexe}, d'après J.-P. Ramis (1969)}
\par
\egroup

\end{document}
