\documentclass[XUPS,XML,SOM,Unicode,francais,NoEqCountersInSection,ThmDefs]{cedram}
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\let\UU\bbU

\DeclareMathOperator{\card}{card}

\begin{document}
\frontmatter
\title{Le groupe \texorpdfstring{$\mathrm{GL}(2)$}{Gl2} sur le corps des~nombres~\texorpdfstring{$p$}{p}-adiques} \author[\initial{C}. \lastname{Blondel}]{\firstname{Corinne} \lastname{Blondel}}
\address{Institut de mathématiques de Jussieu (UMR CNRS 7586),
Université Paris-Diderot,
75205 Paris Cedex 13}
\email{corinne.blondel@imj-prg.fr}

\thanks{Journées X-UPS 2009. Les représentations linéaires et le grand théorème de Fermat. Éditions de l'École polytechnique, 2009}

\maketitle
\tableofcontents

\mainmatter

\section{Le corps \texorpdfstring{$\QQp$}{Qp} des nombres~\texorpdfstring{$p$}{p}-adiques}

\subsection{Valeur absolue~\texorpdfstring{$p$}{p}-adique}

Outre la valeur absolue usuelle, archimédienne, que l'on notera ici $|\;|_\infty$, on peut définir sur $\QQ$ des valeurs absolues dites ultramétriques, comme suit. Soit~$p$ un nombre premier. La \emph{valuation~$p$-adique} $v_p(x)$ d'un entier non nul~$x$ est le plus grand entier $i$ tel que $p^i$ divise~$x$. Elle s'étend en un homomorphisme de $\QQ^\times$ dans $\ZZ$ en posant pour~$a$ et $b$ entiers non nuls: $v_p (a/b) = v_p(a)-v_p(b)$.

\begin{exemples*}
$v_2(12/5)= 2$, $v_3(12/5) = 1$, $v_5(12/5)=-1$.
\end{exemples*}

Écrivons $ x = p^{v_p(x)}\cdot\sfrac a b $ et $ y = p^{v_p(y)}\cdot\sfrac c d $ avec $a, b, c, d$ premiers à~$p$ et supposons pour fixer les idées que $v_p(x) \le v_p(y)$. De l'expression
$$
x +y = p^{v_p(x)}\,\dfrac {ad + p^{v_p(y)-v_p(x)}bc} {bd}
$$
découle la propriété essentielle de la valeur absolue~$p$-adique:
$$v_p(x+y) \ge \Min\{v_p(x), v_p(y)\},\text{ avec égalité si }v_p(x) \ne v_p(y).$$

On obtient la \emph{valeur absolue~$p$-adique} de $\QQ$ en posant
\[
|x|_p= p^{-v_p(x)}\text{ pour $x \in \QQ^\times$}\quad\text{et } |0|_p = 0.
\]
Elle est multiplicative: $|xy |_p = |x|_p |y|_p $, et nulle seulement en $0$. C'est une valeur absolue \emph{ultramétrique}: elle vérifie l'inégalité ultramétrique, plus forte que l'inégalité triangulaire $|x+y |_p \le |x|_p + |y|_p $:
$$
|x+y |_p \le \Max\{ |x|_p, |y|_p\}, \text{ avec égalité si } |x|_p \ne |y|_p.
$$

Les valeurs absolues~$p$-adiques et la valeur absolue archimédienne sont reliées par l'égalité suivante, valide pour tout nombre rationnel~$x$ non nul:
$$
| x |_\infty\times \prod_{p \text{ premier}} |x|_p =1.
$$
Par exemple, si $x=60$, $ |60 |_\infty \times 2^{-2} \times 3^{-1} \times 5^{-1} =1$.

\subsection{Le corps \texorpdfstring{$\QQp$}{Qp} des nombres~\texorpdfstring{$p$}{p}-adiques}

Qui dit valeur absolue sur un corps dit distance sur ce corps. Le corps $\QQ$ est donc muni d'une métrique (ultramétrique) par la valeur absolue~$p$-adique. De même que~$\RR$ est le complété de $\QQ$ pour la valeur absolue $ |\;|_\infty$, \emph{le corps~$\QQp$ des nombres~$p$-adiques est le complété de $\QQ$ pour la valeur absolue~$ |\;|_p$}.

Or dans un espace ultramétrique $(X,d)$, une suite $(x_n)$ est de Cauchy si et seulement si $d(x_n,x_{n+1})$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. Dans $(\QQ, |\;|_p)$ cela signifie que la valuation~$p$-adique de $x_{n+1}- x_n$ tend vers $+ \infty$. On obtient ainsi la description de $\QQp$: tout élément~$x$ de $\QQp$ s'écrit de façon unique sous la forme $ x = \sum_{i \in \ZZ} a_i p^i $ avec $ a_i \in \{0,\dots, p-1\} $ et $ a_i = 0$ pour $i$ assez petit, disons $i \le i_0$ (dépendant de~$x$). En effet la suite des sommes partielles $\sum_{ i_0 \le i \le n} a_i p^i $ est de Cauchy et l'ensemble de ces éléments forme un corps complet auquel la valuation et la valeur absolue~$p$-adiques se prolongent. La~valuation et la valeur absolue de~$x$ ci-dessus sont
$$
v_p(x) = \Inf\{ i \in \ZZ \mid a_i \ne 0 \}, \qquad |x|_p= p^{-v_p(x)}.
$$
On a implicitement prolongé la valuation~$p$-adique à $\QQ$ et $\QQp$ en posant $v_p(0)= +\infty$.

Par construction, $\QQp$ est complet et $\QQ$ est dense dans $\QQp$ (pour la métrique~$p$-adique).

\subsection{Topologie de \texorpdfstring{$\QQp$}{Qp}}

Remarquons pour commencer que l'image de $\QQpx$ par la valeur absolue~$p$-adique est $p^\ZZ $ qui est un sous-groupe discret de $\RR^{+\times} $. En conséquence toute boule fermée de rayon strictement positif est ouverte et toute boule ouverte de rayon strictement positif est fermée: l'espace topologique $\QQp$ est \emph{totalement discontinu} (c'est la définition même, tout point possède une base de voisinages à la fois ouverts et fermés).

\`A cause de l'inégalité ultramétrique: $|x+y |_p\le\Max\{ |x|_p, |y|_p\}$, les boules de $\QQp$ centrées en $0$ sont des sous-groupes additifs. La~multiplicativité $|xy |_p = |x|_p |y|_p $ nous dit que toute boule de rayon inférieur ou égal à~$1$ centrée en $0$ est stable par multiplication.

Examinons en particulier la boule unité fermée de $\QQp$:
$$
\ZZp = \{ x \in \QQp \mid |x|_p \le 1 \}.
$$
C'est \emph{l'anneau des entiers~$p$-adiques}, formé des sommes $ \sum_{i \ge 0} a_i p^i $, $a_i \in \{0,\dots, p-1\} $; en particulier $\ZZp$ est l'adhérence de $\ZZ$ dans $\QQp$. La boule unité ouverte est l'idéal maximal $p \, \ZZp$ de $\ZZp$, soit l'ensemble des sommes $ \sum_{i \ge 1} a_i p^i $, $a_i \in \{0,\dots, p-1\} $. Enfin les boules fermées $p^i \, \ZZp =\{ x \in \QQp \mid v_p(x) \ge i \} $, $i \in \ZZ$, forment un système fondamental de voisinages de $0$.

Nous allons montrer que la boule unité $\ZZp$ est compacte. Il en résultera que l'espace topologique $\QQp$ est \emph{localement compact}.

Montrons donc que toute suite $(b_n)_{n\in \NN}$ d'éléments de $\ZZp$ possède un point d'accumulation. La boule unité $\ZZp $ est réunion disjointe de~$p$ classes modulo $p \, \ZZp$. L'une de ces classes, disons $b_{i_1} + p \, \ZZp$, contient une infinité de termes de la suite. Continuons: on peut construire une sous-suite $(b_{i_n})_{n \in \NN}$ en choisissant à chaque étape $b_{i_j} $, $j \ge 2$, tel que:
\begin{itemize}
\item
$b_{i_j} \in b_{i_{j-1}} + p^{j-1}\, \ZZp $;
\item
$i_j > i_{j-1}$;
\item
$b_{i_j}+ p^j \, \ZZp$ contient une infinité de termes de la suite.
\end{itemize} La sous-suite $(b_{i_n})_{n \in \NN}$ est une suite de Cauchy: $|b_{i_j} - b_{i_{j-1}}|_p \le p^{-(j-1)}$. Elle converge donc vers un point d'accumulation de la suite initiale.

Compacité locale et totale discontinuité sont des propriétés fondamentales dans l'étude des groupes~$p$-adiques. En particulier, on y rencontre souvent des quotients de groupes compacts par des sous-groupes ouverts; un tel quotient est discret car quotient par un sous-groupe ouvert, mais compact car quotient d'un groupe compact, or discret et compact entraîne fini.

\subsection{L'anneau \texorpdfstring{$\ZZp$}{Zp} et les caractères de \texorpdfstring{$\QQp$}{Qp}}

Les boules fermées
$$p^i \, \ZZp =\{ x \in \QQp \mid v_p(x) \ge i \}
$$
pour $i \in \NN$ sont évidemment des idéaux de $\ZZp$. Ce sont les seuls. Soit en effet~$A$ un idéal non nul de $\ZZp$ et posons $a = \Inf\{ v_p(x) \mid x \in A \}$; c'est un entier positif ou nul et $ A \subseteq p^a \ZZp$. Si $z \in A$ a pour valuation~$a$, alors $v_p(z p^{-a}) =0$ donc $p^a \in z \, \ZZp$ et $A=p^a \, \ZZp$.

Ainsi $\ZZp$ est principal et possède un unique idéal maximal $p \, \ZZp$. Le quotient $\ZZp /p\ZZp$ est un corps, appelé \emph{corps résiduel} de $\QQp$ et isomorphe à $\ZZ / p\ZZ$: l'homomorphisme
\[
\sum_{i \ge 0} a_i p^i \mto a_0\qquad (a_i \in \{0,\dots, p-1\})
\]
passe au quotient en un isomorphisme de $\ZZp /p\ZZp$ sur $\ZZ / p\ZZ$.

Soit $\chi $ un homomorphisme \emph{continu} du groupe additif $\QQp$ dans $\CCx$. Son image est réunion des images des sous-groupes additifs $p^i \, \ZZp$ pour $i \in \ZZ$. Ces sous-groupes sont compacts: leurs images par $\chi$ sont des sous-groupes compacts de $\CCx$, donc contenus dans~$\UU$, sous-groupe des nombres complexes de module $1$.

D'autre part soit $\mathcal U$ un voisinage ouvert de $1$ dans $\CCx$ ne contenant pas de sous-groupe non trivial. Son image inverse $\chi^{-1}(\mathcal U) $ est un ouvert de $\QQp$: elle contient le sous-groupe $ p^i \, \ZZp $ pour $i$ assez grand. Le noyau de~$\chi$ contient donc un sous-groupe de la forme $ p^j \, \ZZp $.

Enfin, les groupes quotients $p^i\,\ZZp / p^j \ZZp$, pour $i \le j$, sont des~$p$\nobreakdash-grou\-pes, isomorphes à $\ZZ / p^{j-i} \, \ZZ$. Il en résulte que l'image de $\chi$ dans~$\UU$ est contenue dans le sous-groupe des racines de l'unité d'ordre une puissance de~$p$.

On appelle \emph{caractères} de $\QQp$ les homomorphismes continus du groupe additif $\QQp$ dans $\CCx$.

\subsection{Le groupe multiplicatif \texorpdfstring{$\QQpx$}{Qpx}}

Un système fondamental de voisinages de l'unité dans $\QQpx$ est formé des sous-groupes (multiplicatifs) $U_i= 1 + p^i\,\ZZp $, $i \ge 1$, qui sont ouverts et compacts. Pour $j \ge i \ge 1$, les groupes quotients $U_i / U_j $ sont des~$p$-groupes finis.

De plus $\QQpx$ possède un unique sous-groupe ouvert compact maximal, le groupe $U_0=\ZZpx$ des \emph{unités~$p$-adiques}, formé des éléments de valeur absolue $1$. (Le seul sous-groupe compact de $\RR^{+\times}$ est $\{1\}$ !) C'est bien sûr le groupe des éléments de $\ZZp$ qui sont inversibles \emph{dans}~$\ZZp$.

Le groupe $U_0 / U_1 = \ZZpx / (1+p\, \ZZp)$ est cyclique d'ordre $p-1$: il est isomorphe au groupe multiplicatif $(\ZZ / p \, \ZZ)^\times$. Ses éléments peuvent se relever en $p-1$ racines de l'unité d'ordre $p-1$ dans $U_0$, par une technique d'approximations successives assez caractéristique.

Nous allons montrer d'abord que tout élément de $U_i$, pour $i \ge 1$, est puissance $(p-1)$-ième d'un élément de $U_i$. Soit donc $1+x \in 1+p^i \, \ZZp$ et posons $y_0= \spfrac{x}{p-1}$. Alors
$$(1+y_0)^{p-1}= 1 + (p-1)y_0 + y_0^2 \phi
$$
est congru à $1+x$ modulo $p^{2i} \, \ZZp \ $ donc $(1+x)(1+y_0)^{-(p-1)} \in 1 + p^{2i} \, \ZZp$. On itère le procédé pour obtenir une suite $1+y_0,\dots, 1+y_n, \cdots$ vérifiant
\begin{itemize}
\item
$y_n \in p^{ 2^n i}\, \ZZp$;
\item
$(1+x)(1+y_0)^{-(p-1)}\cdots (1+y_n)^{-(p-1)} \in 1 + p^{2^{n+1}i} \, \ZZp$.
\end{itemize} La suite $\left((1+y_0) \cdots (1+y_n)\right)_{n \in \NN}$ est de Cauchy et converge vers un élément $1+z$ de $U_i$ tel que $1+x = (1+z)^{p-1}$.

(Remarque: cette démonstration reste valide en remplaçant $p-1$ par un entier premier à~$p$.)

Soit maintenant $\xi \in U_0/U_1 $ et $u \in U_0$ d'image $\xi$ dans le quotient. Alors $u^{p-1}$ appartient à $ U_1$ et peut s'écrire $(1+u_1)^{p-1}$, de sorte que $u(1+u_1)^{-1}$ est une racine $(p-1)$-ième de l'unité dans $\QQp$, qui a pour image $\xi$ dans $U_0 / U_1$.

Notons $\mu_{p-1} $ le groupe des racines $(p-1)$-ièmes de l'unité dans~$\QQp$: il est d'ordre $p-1$ et isomorphe à $U_0/U_1$. On peut aussi écrire de façon unique les éléments de $\QQp$ sous la forme:\vspace*{-3pt}\enlargethispage{.5\baselineskip}
$$
x = \sum_{i \in \ZZ} a_i p^i \text{ avec } a_i \in \mu_{p-1} \cup \{0\} \text{ et } a_i = 0 \text{ pour $i$ assez petit.}
$$

\subsection{Les quasi-caractères de \texorpdfstring{$\QQpx$}{Qpx}}

Dans l'écriture précédente, remarquons que si~$x$ est non nul alors $x p^{-v_p(x)} $ appartient à $\ZZpx$: tout élément de $\QQpx$ s'écrit de façon unique sous la forme $x = p^{\, v_p(x)} \, u \ $ où~$u$ est une unité~$p$-adique. Un homomorphisme $\chi$ du groupe multiplicatif~$\QQpx$ dans $\CCx$ est donc uniquement déterminé par
\begin{itemize}
\item
sa restriction à $p^\ZZ$, donnée par $\chi(p^i)= \chi(p)^i$, $i \in \ZZ$, pour $\chi(p) \in\nobreak \CCx$ arbitraire;
\item
sa restriction à $\ZZpx$.
\end{itemize}
Nous ne considérerons que des homomorphismes \emph{continus} de $\QQpx$ dans~$\CCx$, que l'on appelle des \emph{quasi-caractères} de $\QQpx$. Or $\ZZpx$ est un groupe compact totalement discontinu. Il en résulte d'une part, que l'image de $\ZZpx$ par un quasi-caractère est un sous-groupe compact de $\CCx$, donc contenu dans $\UU$, et d'autre part que le noyau d'un quasi-caractère est un sous-groupe \emph{ouvert} de $\QQpx$: c'est le même raisonnement que plus haut, pour les caractères de $\QQp$.

Dans le prochain exposé, on travaillera en particulier avec des quasi-caractères \emph{non ramifiés}: triviaux sur $\ZZpx$ entier; la donnée d'un tel quasi-caractère équivaut à la donnée d'un nombre complexe non nul. Grâce à la suite exacte\vspace*{-3pt}
$$
1 \to \ZZpx \to \QQpx \To{|\ |_p} p^\ZZ \to 1
$$
on peut écrire tout quasi-caractère non ramifié $\chi$ sous la forme\vspace*{-3pt}
$$
\chi(x) = |x|_p^\alpha \qquad (x \in \QQpx)
$$
pour un $\alpha \in \CC$, ce qui revient à écrire $\chi(p)= p^{-\alpha}$.

\section{Le groupe \texorpdfstring{$\GL(2,\QQp)$}{GLQp}}

\subsection{Définition et topologie}

L'algèbre $M(2,\QQp)$ des matrices $2 \times\nobreak 2$ inversibles à coefficients dans $\QQp$ possède, en tant qu'espace vectoriel de dimension finie sur $\QQp$, une structure d'espace vectoriel normé (toutes les normes sur $M(2,\QQp)$ sont équivalentes; on utilisera dans la suite la norme $\sup$): c'est un espace métrique localement compact et complet. Le groupe multiplicatif
$$
\GL(2,\QQp) = \{ \bspm  a & b \\ c & d\espm \mid a, b, c, d \in \QQp, \ ad-bc \ne 0 \}
$$
des éléments inversibles de $M(2,\QQp)$ est un ouvert dense de $M(2,\QQp)$. La topologie induite fait de $\GL(2,\QQp)$ un groupe topologique localement compact et totalement discontinu.

Pour étudier dans l'exposé suivant les représentations de ce groupe, on aura besoin de certains de ses sous-groupes remarquables, dont certains ont des définitions géométriques naturelles, et des rapports entre ces sous-groupes, en particulier certaines décompositions de $\GL(2,\QQp)$ les reliant.

Commençons par décrire un système fondamental de voisinages de l'unité constitué de sous-groupes ouverts et compacts; il s'agit des sous-groupes $K_i$ définis pour $i$ entier strictement positif par:
$$
K_i = \{ \bspm  1 + a & b \\ c & 1 + d\espm \mid a, b, c, d \in p^i\,\ZZp \} = I + p^i M(2, \ZZp)
$$
autrement dit, $K_i $ est formé des matrices congrues à l'identité modulo $p^i\,\ZZp$. C'est aussi la boule fermée de centre $I$ et rayon $1/p^i$. Tous ces sous-groupes sont contenus dans
$$
K = \{ \bspm  a & b \\ c & d\espm \mid a, b, c, d \in \ZZp, \ ad-bc \in \ZZpx \} = \GL(2,\ZZp)
$$
qui est un sous-groupe ouvert compact de $\GL(2,\QQp)$ (on verra plus loin qu'il est maximal pour ces propriétés).

\subsection{Éléments géométriques} Le fait que $G=\GL(2,\QQp)$ opère sur l'espace vectoriel $V=\QQp\times \QQp$ permet de construire des sous-groupes remarquables comme fixateurs ou stabilisateurs de données relatives à l'espace vectoriel.

\begin{itemize}
\item
Le centre $Z$ de~$G$, formé des matrices scalaires, est le sous-groupe qui stabilise toutes les droites de~$V$.
\item
Le stabilisateur d'une droite $D$ de~$V$ est un \emph{sous-groupe de Borel} $B(D)$ de~$G$.
\item
Le sous-groupe de $B(D)$ fixant $D$ point par point et agissant trivialement sur le quotient $V/D$ est le \emph{radical unipotent} de $B(D)$, noté $N(D)$.
\item
Le stabilisateur de deux droites supplémentaires $D$ et $D' $ de~$V$ est un \emph{sous-groupe de Levi} $T(D,D')$ de~$G$.

\noindent On notera que $T(D,D')$ normalise $N(D)$ et que $B(D)$ est produit semi-direct de $N(D)$ par $T(D,D')$.
\end{itemize}

On travaille ici matriciellement, il nous suffira d'utiliser les droites $ \bspm \QQp \\ 0\espm$ et $ \bspm  0 \\ \QQp\espm$. On pose donc:
$$
\aligned N &= \{ \bspm  1 & b \\ 0 & 1\espm\mid b \in \QQp \} \simeq \QQp, \\ T &= \{ \bspm  a & 0 \\ 0 & d\espm\mid a, d \in \QQpx \} \simeq \QQpx \times \QQpx,\\
B&= \{ \bspm  a & b \\ 0 & d\espm\mid a, d \in \QQpx, \ b \in \QQp \} \simeq T \ltimes N.
\endaligned
$$
L'élément $w = \bspm  0 & 1 \\ 1 & 0\espm$ de $\GL(2,\ZZp)$, qui permute les deux droites, joue aussi un rôle important. Remarquons que
$$\arraycolsep4.5pt
w\bpm  a & 0 \\ 0 & d\epm w^{-1} = \bpm  d & 0 \\ 0 & a\epm \quad \text{ et } \quad w\bpm  1 & b \\ 0 & 1\epm w^{-1} = \bpm  1 & 0 \\ b & 1\epm,
$$
en particulier $w B w^{-1} $ est le stabilisateur de la droite $ \bspm  0 \\ \QQp\espm$, image de $ \bspm \QQp \\ 0\espm$ par $w$.

Le groupe quotient du normalisateur de $T$ dans~$G$ par $T$, appelé groupe de Weyl, est essentiel dans la théorie des représentations des groupes linéaires et classiques. Il s'identifie ici au groupe à deux éléments $W = \{ I, w \} $ engendré par $w$.

\subsection{Décomposition de Bruhat} Utilisons tout de suite le groupe de Weyl $W$ pour la \emph{décomposition de Bruhat} de~$G$. Elle peut s'obtenir par un raisonnement simple d'algèbre linéaire et est valable sur n'importe quel corps.

Soit $D$ la droite $ \bspm \QQp \\ 0\espm$ et $g \in G$. Si $g$ ne stabilise pas $D$, alors $g(D) =\nobreak D'$ est une droite supplémentaire de $D$ dans~$V$. Or $N $ opère transitivement sur l'ensemble des droites supplémentaires de $D$ dans~$V$. Il existe donc un élément $n$ de $N$ tel que $n (\bspm 0 \\ \QQp\espm) = g(D)$. Mais $ \bspm 0 \\ \QQp\espm$ est l'image de $D$ par $w$. On obtient $nw(D)= g(D)$, ce~qui signifie que $w^{-1} n^{-1} g $ appartient à $B$, soit $g \in N w B$.

Ainsi, \emph{$G$ est réunion disjointe de $B$ et $N w B$.} Cette propriété est souvent exprimée sous la forme moins précise: $G = BWB$. On peut remarquer que l'écriture d'un élément~$x$ de $NwB$ sous la forme $n w b$ avec $n \in N$, $b \in B$, est unique: en effet
$$
nwb=n'wb' \Longrightarrow n'^{-1} n = w b' b^{-1} w^{-1} \in N \cap wBw^{-1} = \{1\}.
$$
\emph{Exemple}, avec $b \in \QQp \, $, $b \ne 0$:
$$\arraycolsep3.5pt
\bpm  1 & 0 \\ b & 1\epm = \bpm  1 & b^{-1} \\ 0 & \! 1\epm \bpm  0 & 1 \\ 1 & 0\epm \bpm  b & 0 \\ 0 & - b^{-1}\epm \bpm  1 & b^{-1} \\ 0 & \! 1\epm.
$$
C'est une des formules les plus utiles, elle est valide bien entendu sur n'importe quel corps.

\subsection{Décomposition d'Iwasawa}
C'est une décomposition très utile en théorie des représentations car elle permet d'obtenir des modèles assez simples pour une famille importante de représentations de~$G$, comme nous le verrons dans l'exposé suivant. Pour l'établir, il suffit de montrer que le sous-groupe compact maximal $K = \GL(2,\ZZp)$ opère transitivement sur l'ensemble des droites de~$V$. Montrons qu'en effet toute droite $D $ de~$V$ est dans l'orbite de la droite $\bspm  \QQp \\ 0\espm $ sous~$K$. Soit $\bspm a \\ b\espm$ une base de $D$.
\begin{itemize}
\item
Si $v_p(a) > v_p(b)$ l'élément $\bspm  a b^{-1} & 1 \\ 1 & 0\espm $ de~$K$ envoie $\bspm 1 \\ 0\espm$ sur $\bspm ab^{-1} \\ 1\espm$, autre base de $D$.
\item
Si $v_p(a) \le v_p(b)$ l'élément $\bspm  1 & 0 \\ b a^{-1} & 1\espm $ de~$K$ envoie $\bspm 1 \\ 0\espm$ sur $\bspm 1 \\ ba^{-1}\espm$, autre base de $D$.
\end{itemize} Ceci fait, on raisonne comme ci-dessus: soit $g \in G$, il existe $k \in K$ tel que $k[g(\bspm \QQp \\ 0\espm)]= \bspm \QQp\\ 0\espm $, donc $kg $ appartient à $B$. C'est la \emph{décomposition d'Iwasawa}: $G = KB$. Il n'y a pas d'unicité dans cette décomposition puisque
$$K\cap B = \{ \bspm  a & b \\ 0 & d\espm\mid a, d \in \ZZpx, \, b \in \ZZp \}.$$
\emph{Exemple}: $\arraycolsep3.5pt\bpm  0 & p \\ 1 & 1\epm = \bpm  0 & 1 \\ 1 & 0\epm\bpm  1 & 1 \\ 0 & p\epm$.

\subsection{Décomposition de Cartan} Soit~$A$ l'ensemble des matrices de la forme $\bspm  p^a & 0 \\ 0 & p^b\espm$ avec $a, b \in \ZZ$ et $a \le b$; c'est un semi-groupe contenu dans $T$. Alors \emph{$A $ constitue un système de représentants des doubles classes de~$G$ modulo~$K$.} C'est la \emph{décomposition de Cartan}: $G=KAK$, qui généralise la décomposition de $\QQpx$ en $p^\ZZ \, \ZZpx$. La~version condensée $G=KAK$ est moins précise que le premier énoncé car elle ne spécifie pas que les doubles classes d'éléments distincts de~$A$ sont distinctes, c'est-à-dire disjointes.

Pour faire encore une démonstration géométrique, il nous faut introduire la notion de \emph{$\ZZp$-réseau}. Un $\ZZp$-réseau de~$V$ est un sous-$\ZZp$-module $L$ de~$V$ de la forme $L = \ZZp \, u + \ZZp \, v$ où $(u, v)$ est une base de~$V$. Par exemple
$$L_{0,0} = \ZZp \times \ZZp = \ZZp \bpm 1 \\ 0\epm + \ZZp \bpm 0 \\ 1\epm$$
est un $\ZZp$-réseau de~$V$. Les $\ZZp$-réseaux sont ouverts et compacts dans~$V$. Tout $\ZZp$-réseau est un voisinage de $0$ dans~$V$ et si $L$ est un $\ZZp$-réseau, l'ensemble des $p^i L$ pour $ i \in \ZZ$ est un système fondamental de voisinages de $0$.

Le groupe $G$ opère transitivement sur les bases, donc sur les $\ZZp$-réseaux. Le fixateur du $\ZZp$-réseau $L_{0,0}$ est $K=\GL(2,\ZZp)$ car:
\begin{itemize}
\item
$\forall u,v \in \ZZp$, $\bspm  a & b \\ c & d\espm\bspm  u \\ v\espm\in \bspm  \ZZp \\ \ZZp\espm$ entraîne $\bspm  a & b \\ c & d\espm \in M(2,\ZZp)$;
\item
$(\bspm  a \\ c\espm, \bspm  b \\ d\espm) $ base de $\bspm  \ZZp \\ \ZZp\espm$ entraîne $ad-bc \in \ZZpx$.
\end{itemize} Le quotient $G/K$ s'identifie donc à l'ensemble des $\ZZp$-réseaux de~$V$.

Montrons maintenant que \emph{chaque orbite de~$K$ dans l'ensemble des $\ZZp$-réseaux de~$V$ contient un et un seul $\ZZp$-réseau de la forme}
$$\arraycolsep3.5pt
L_{a,b}=\bpm  p^a \, \ZZp \\ p^b \, \ZZp\epm= \bpm  p^a & 0 \\ 0 & p^b\epm\bpm  \ZZp \\ \ZZp\epm \quad\text{avec } a, b \in \ZZ \text{ et } a \le b.$$
Soit en effet $L$ un $\ZZp$-réseau de base $(\bspm  x_1 \\ x_2\espm, \bspm  y_1 \\ y_2\espm)$. On peut supposer, quitte à permuter ces vecteurs, que l'élément de plus petite valuation de $\{ x_1, x_2, y_1, y_2\}$ est $x_1$ ou $x_2$. En utilisant l'action de $w \in K$ qui échange les deux coordonnées, on se ramène au cas où $x_1$ est de valuation minimale, puis en faisant agir $ \bspm  1 & 0 \\ - x_2 x_1^{-1} & 1\espm \in K$ on obtient un $\ZZp$-réseau de base $(\bspm  x_1 \\ 0\espm, \bspm  y_1 \\ y_2\espm)$. Ici $y_2$ est forcément non nul et l'hypothèse sur les valuations montre que $(\bspm  x_1 \\ 0\espm, \bspm  0 \\ y_2\espm)$ est une autre base de ce $\ZZp$-réseau. Enfin, puisque $\QQpx = p^\ZZ \ZZpx$, $(\bspm  p^{v_p(x_1)} \\ 0\espm, \bspm  0 \\ p^{v_p(y_2)}\espm)$ en est aussi une base.

L'unicité s'obtient en remarquant d'abord que l'application de l'ensemble des $\ZZp$-réseaux dans $\ZZ$ définie par\vspace*{-3pt}\enlargethispage{.5\baselineskip}
$$
L \mto a(L) =\Inf \{ i \in Z \mid p^{-i} L \subset L_{0,0}\}
$$
est constante sur les orbites de~$K$. Elle envoie $L_{a,b}$ sur~$a$ qui est donc déterminé par l'orbite. Le quotient $L_{0,0} / p^{-a(L)} L $ est fini et l'application à valeurs dans $\NN$:\vspace*{-3pt}
$$
L \mto c(L) = \card \big(L_{0,0} / p^{-a(L)} L \big)
$$
est elle aussi constante sur les orbites de~$K$, de valeur $p^{b-a}$ en $L_{a,b}$. Ainsi~$a$ et $b$ sont entièrement déterminés par l'orbite considérée.

La décomposition de Cartan s'en déduit immédiatement. Soit $g \in\nobreak G$. Le $\ZZp$-réseau $g(L_{0,0})$ est dans une unique orbite de~$K$, il existe donc une unique paire d'entiers $a, b \in \ZZ$ avec $a \le b$, et $k \in K$, tels que $g(L_{0,0})= k L{a,b} $. Alors $g^{-1}k \bspm  p^a & 0 \\ 0 & p^b\espm$ fixe $L_{0,0}$ donc appartient à~$K$, c.q.f.d.

\subsection{Quelques conséquences}

La décomposition d'Iwasawa implique que \emph{l'espace quotient $G/B$ est compact}. C'est en effet l'image du compact~$K$ par l'application continue de~$G$ dans son quotient $G/B$, qui est séparé car $B$ est fermé dans~$G$.

On peut déduire soit de la décomposition d'Iwasawa, soit de celle de Cartan, que $ \GL(2,\ZZp) $ est un sous-groupe ouvert compact \emph{maximal} de~$G$: il suffit de vérifier qu'aucun élément de $B$ n'appartenant pas à $B \cap K$, ou qu'aucun élément de~$A$ distinct de $1$, ne peut engendrer un sous-groupe compact. On a même une propriété plus forte: \emph{tout sous-groupe ouvert compact maximal de~$G$ est un conjugué de $ \GL(2,\ZZp) $ par un élément de~$G$.}

Pour le voir, partons d'un sous-groupe ouvert compact maximal~$H$ de~$G$ et du réseau $L_{0,0}$. Ce réseau est fixé par l'action de $H \cap\nobreak K$ qui est un sous-groupe ouvert de $H$. Le quotient $H / H \cap K$ est fini puisqu'il est compact, en tant que quotient d'un espace compact par un sous-espace fermé, et discret, car quotient par un sous-espace ouvert. L'ensemble $S$ des images du réseau $L_{0,0}$ par les éléments de $H$ est donc un ensemble fini de réseaux et la somme $\Lambda = \sum_{L \in S} L$ de ces réseaux est encore un réseau: c'est un $\ZZp$-module de type fini et il est facile de montrer qu'une partie génératrice minimale de $\Lambda$ sur $\ZZp$ est nécessairement libre sur $\QQp$.

Ainsi $\Lambda$ est un réseau de~$V$, fixé par $H$ par construction. La démonstration du paragraphe précédent montre qu'il existe $g \in G$ tel que \linebreak $\Lambda = g(L_{0,0})$. Alors le fixateur de $\Lambda$ est égal à $g \GL(2,\ZZp) g^{-1}$ d'où l'assertion.

Pour terminer, repartons de la décomposition de Cartan $ \ G = KAK$. Elle implique que l'ensemble $K\backslash G / K $ des doubles classes de~$G$ modulo~$K$ est dénombrable. Soit $g \in G$. L'application $k \mapsto kg$ de~$K$ dans la double classe $KgK$ passe au quotient en une bijection de $K / K \cap gKg^{-1}$ sur $KgK /K$. Or $K / K \cap gKg^{-1}$ est un ensemble fini par le raisonnement du paragraphe précédent ($K$ est compact et $K \cap gKg^{-1}$ est à la fois ouvert et fermé). Ainsi chaque double classe $KgK$ est réunion d'un nombre fini de classes modulo~$K$. Finalement, le quotient $G/K$ est dénombrable.

Soit maintenant $H$ un sous-groupe ouvert compact quelconque de~$G$. Les quotients $K/ H \cap K$ et $H / H \cap K$ sont finis (toujours le même argument) donc la dénombrabilité de $G/K$ entraîne celle de $G/ H \cap K $ puis de $G/H$. Nous pouvons conclure:

\smallskip

\centerline{\emph{pour tout sous-groupe ouvert compact $H$ de~$G$,}}

\centerline{\emph{l'espace quotient $G/H$ est dénombrable}.}

\smallskip

Cette propriété permet en particulier d'obtenir, pour les représentations lisses irréductibles de~$G$, la validité du lemme de Schur, point essentiel, comme nous le verrons dans le prochain exposé.

\backmatter
\nocite{S,A,BH}
\bibliographystyle{jepalpha+eid}
\bibliography{smfjournalnames,xups09-03}
\end{document}
