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\def\CDRdoi{10.5802/xups.2007-00}

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\end{DefTralics}

\begin{document}
\frontmatter
\title{Systèmes dynamiques, groupes de matrices et applications arithmétiques. Préface des éditeurs et introduction par les auteurs. Bibliographie générale et index du volume}

\author[\initial{N.} \lastname{Berline}]{\firstname{Nicole} \lastname{Berline}}
\address{UMR 7640 du CNRS, Centre de Mathématiques, École Polytechnique, F-91128 Palaiseau cedex, France}

\author[\initial{A.} \lastname{Plagne}]{\firstname{Alain} \lastname{Plagne}}
\address{UMR 7640 du CNRS, Centre de Mathématiques, École Polytechnique, F-91128 Palaiseau cedex, France}

\author[\initial{C.} \lastname{Sabbah}]{\firstname{Claude} \lastname{Sabbah}}
\address{UMR 7640 du CNRS, Centre de Mathématiques, École Polytechnique, F-91128 Palaiseau cedex, France}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}\normalfont

\chapter*{Préface}

Ce volume explore les liens entre nombres et géométrie, à partir d'objets de nature dynamique. Il montre toute la richesse de ces relations sur l'exemple de la résolution par G. Margulis d'une célèbre conjecture sur les valeurs prises par des polynômes.


\medskip
Nous tenons à remercier la direction de l'\'Ecole polytechnique, et tout particulièrement la Direction des \'Etudes, pour l'aide matérielle importante qu'elle a apportée à la préparation des journées X-UPS. Nous remercions aussi les \'Editions de l'\'Ecole polytechnique qui ont bien voulu accueillir la série \emph{Journées mathématiques X-UPS} au sein de leurs collections.

Nous remercions enfin les secrétaires du Centre de mathématiques, notamment Claudine Harmide et Michèle Lavallette, pour leur contribution à l'organisation de ces journées.

\vspace*{1cm}
\hfill {\sl Nicole Berline, Alain Plagne et Claude Sabbah}


\mainmatter
\chapterspace{-2}
\chapter*{Introduction}

Soit $n\geq 2$ un entier. Une \emph{forme quadratique}\index{forme quadratique} $q$ sur l'espace vectoriel~$\RR^n$ est une application de $\RR^n$ dans $\RR$, de la forme
$$
q:(X_1,\dots,X_n)\mto\sum_{i,j=1}^n a_{ij}X_iX_j
$$
où pour $1\leq i,j\leq n$, les coefficients $a_{ij}$ sont des nombres réels. Dans cet ouvrage, nous nous intéressons aux valeurs prises par une forme quadratique donnée $q$ sur l'ensemble $\ZZ^n$ des points de coordonnées entières de $\RR^n$, et surtout aux propriétés topologiques du sous-ensemble $q(\ZZ^n)$ de $\RR$.

Par exemple, si les coefficients de $q$ sont des nombres rationnels, alors $q(\ZZ^n)$ est contenu dans $\frac{1}{p}\ZZ$ pour un entier $p\geq 1$, et en particulier est discret. Plus généralement, si $q$ est \emph{rationnelle}\index{rationnelle}\index{forme quadratique!rationnelle}, \ie multiple réel d'une forme quadratique à coefficients entiers, alors $q(\ZZ^n)$ est contenu dans $a\ZZ$ pour un $a\in\RR$, donc est fermé et discret.

\smallskip Donnons tout d'abord des motivations historiques à l'étude topologique des valeurs prises par les formes quadratiques sur les points entiers.

Cette problématique semble provenir de questions d'approximation d'un nombre réel par des nombres rationnels.

Une inégalité élémentaire et bien connue de G.\,Lejeune-Dirichlet (1805--1859) dit (voir plus précisément le théorème 1.1 du texte \cite{Dal}\footnote{N.d.E.: dans tout le volume, les références au texte de Françoise Dal'Bo sont indiquées par \cite{Dal}, celles au texte de Frédéric Paulin par \cite{Pau} et enfin, celles au texte de Gilles Courtois par \cite{Cou}. Chaque texte contient ses propres références bibliographiques et celles-ci sont aussi regroupées à la fin du volume.}) qu'étant donné un nombre réel irrationnel $\theta$, il existe une infinité de nombres rationnels $a/b$ (nous supposerons toujours que $a$ et $b$ sont des entiers premiers entre eux, avec $b$ non nul) tels que
$$
\Big|\theta-\frac{a}{b}\Big|\leq\frac{1}{b^2}.
$$
Si $\theta$ est un nombre réel irrationnel, on définit alors naturellement sa \emph{constante d'approximation}\index{constante d'approximation} $\nu(\theta)$ par\enlargethispage{\baselineskip}
$$
\nu(\theta)=\liminf_{\substack{b\,\in\,\ZZ\\b\to +\infty}} \;\min_{a\in\,\ZZ}\; b^2\Big|\theta-\frac{a}{b}\Big|\;,
$$
l'inégalité de Dirichlet disant précisément que $\nu(\theta)\in [0,1]$.

Par une terminologie éclairante, un nombre réel irrationnel $\theta$ est dit \emph{mal approchable}\index{mal approchable} par des nombres rationnels si $\nu(\theta)>0$. On montre, voir le corollaire 1.10 de \cite{Dal}, que c'est en particulier le cas des nombres réels irrationnels \emph{quadratiques}, \ie racines de polynômes de degré $2$ à coefficients entiers, comme le nombre d'or $(1+\sqrt{5})/2$.

\medskip
Une forme quadratique \emph{binaire}\index{forme quadratique!binaire} est une forme quadratique sur $\RR^2$. Pour tout nombre réel irrationnel $\theta$, considérons la forme quadratique binaire $q_\theta$ définie par
$$
q_\theta(X,Y)= XY-\theta Y^2.
$$
Ainsi, par définition, un nombre réel irrationnel $\theta$ est mal approchable si et seulement si l'adhérence dans $\RR$ de l'ensemble $q_\theta(\ZZ^2)\moins\{0\}$ ne contient pas~$0$. Cette reformulation met en lumière un lien entre la topologie du sous-ensemble $q(\ZZ^2)$ de $\RR$ et la nature arithmétique des coefficients d'une forme quadratique binaire $q$. Remarquons aussi que ceci implique en particulier que si $\theta$ est le nombre d'or $(1+\sqrt{5})/2$, alors $q_\theta(\ZZ^2)$ n'est pas dense dans $\RR$.

\medskip Faisons quelques remarques sur la nature de la forme quadratique~$q_\theta$ ci-dessus. Une forme quadratique $q$ sur $\RR^n$ est dite

$\bbullet$~ \emph{non dégénérée}\index{forme quadratique!non dégénérée} si le seul élément $x$ dans $\RR^n$ tel que, pour tout $y$ dans $\RR^n$, on ait $q(x+y)=q(x)+q(y)$ est l'élément nul $0$;

$\bbullet$~ \emph{indéfinie}\index{indéfinie} \index{forme quadratique!indéfinie} si elle n'est ni à valeurs toutes positives, ni à valeurs toutes négatives;

$\bbullet$~ \emph{irrationnelle}\index{irrationnelle} \index{forme quadratique!irrationnelle} si elle n'est pas rationnelle.

\noindent Il est immédiat que si $\theta$ est un nombre réel irrationnel, alors $q_\theta$ est non dégénérée, indéfinie et irrationnelle.

\smallskip Fixons donc une forme quadratique $q$ sur $\RR^n$, non dégénérée, indéfinie et irrationnelle. Existe-t-il toujours un lien entre la topologie de $q(\ZZ^n)$ et l'arithmétique des coefficients de $q$ ? La réponse à cette question est bien différente selon que l'on suppose $n=2$ ou $n\geq 3$. Le but de ce texte est d'en expliquer les raisons, en utilisant uniquement des arguments élémentaires de topologie et d'actions de groupes linéaires

\medskip En dimension $n=2$, ce lien existe bien, et il est exposé dans \cite{Dal} (voir aussi \cite{Dal2} pour une introduction illustrée). En particulier, nous donnons un critère de nature arithmétique (via le développement en fraction continue de nombre réels) sur les coefficients d'une forme quadratique binaire $q$ pour que $q(\ZZ^2)$ soit dense dans $\RR$ (voir le corollaire 2.6 du texte \cite{Dal}). En appliquant ce critère, nous montrons par exemple que si
\[
\theta=1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1} {3 + \cfrac{1} {4 + \genfrac{}{}{0pt}{0}{\,}{\ddots }}}}\,,
\]
alors $q_\theta(\ZZ^2)$ est dense dans $\RR$.

Le texte \cite{Dal} montre aussi (en en expliquant les raisons arithmétiques) qu'entre le cas où $q(\ZZ^2)$ est fermé discret dans $\RR$ et le cas où $q(\ZZ^2)$ est dense dans $\RR$ se trouve un large éventail de possibilités d'ensembles $q(\ZZ^2)$, ni denses, ni fermés, dont la topologie peut être complexe.

\smallskip En dimension $n\geq 3$, la situation est radicalement différente, comme le montre le résultat suivant démontré en 1987 par G.\,Margulis \cite{Mar1,Mar2}

\begin{enonce*}{Théorème}[Margulis]\index{theo@théorème!de Margulis}
Soient $n\geq 3$ un entier et $q$ une forme quadratique sur~$\RR^n$ non dégénérée, indéfinie et irrationnelle. Alors $q(\ZZ^n )$ est dense dans~$\RR$.
\end{enonce*}

Cet énoncé (ou celui a priori plus faible que $0$ n'est pas un point isolé de $q(\ZZ^n)$ dans $\RR$) a été conjecturée par A.\,Oppenheim (1903-1997) en 1929 (voir \cite{Opp1,Opp2}) pour $n\geq 5$ (voir \cite[p.\,77]{Ser} pour comprendre une telle restriction sur $n$). Cette conjecture a été étendue plus généralement à $n\geq 3$ par H.\,Davenport (1907-1969), qui avec des collaborateurs \cite{DH,BD,DR} la montre dans des cas particuliers, par des méthodes de théorie analytique des nombres. C'est finalement par des méthodes géométriques, reposant sur un lien entre la topologie des ensembles $q(\ZZ^n)$ et la dynamique topologique de groupes linéaires, qu'elle sera résolue par G.\,Margulis. Le but du texte \cite{Cou} est d'exposer cette démonstration, en suivant les arguments élémentaires donnés par S.\,Dani et G.\,Margulis (voir \cite{Dan} simplifiant encore \cite{DM}). Nous recommandons aussi le livre \cite{BM}, le mémoire \cite{Bre} et l'excellent survol \cite{Mar4} pour un historique et la genèse de la preuve.

\medskip Voici en quelques lignes le fil conducteur de cette démonstration.

\smallskip Il est naturel de considérer le groupe des transformations préservant $q$, plus précisément le groupe spécial orthogonal de $q$ défini par
$$
\mathrm{SO}(q)=\{g\in \SL{n}{\RR}\sep q\circ g=q\}.
$$
Pour $g\in \SL{n}{\RR}$, l'ensemble $g(\ZZ^n)$ est un \emph{réseau} de $\RR^n$, \ie un sous-groupe discret, qui engendre $\RR^n$ comme espace vectoriel réel. Comme~$g$ est de déter\-mi\-nant égal à $1$, ce réseau $g(\ZZ^n)$ est \emph{unitaire}, \ie ses parallélotopes fondamentaux sont de volume $1$ (voir le para\-gra\-phe~1 de \cite{Pau}). L'ensemble des réseaux unitaires est naturellement muni d'une topologie (deux réseaux sont proches s'ils admettent des parallélotopes fondamentaux proches, voir \cite{Pau}). La nature topologique de l'orbite
$$
\mathrm{SO}(q)\cdot\ZZ^n=\{g(\ZZ^n)\sep g\in\mathrm{SO}(q)\}
$$
dans cet espace est reliée à celle de l'ensemble $q(\ZZ^n)$~: par exemple, comme tout vecteur non nul de $\RR^2$ est élément d'un réseau unitaire (car $n\geq 2$), comme $q$ est continue et $q(\ZZ^n) =q(g(\ZZ^n))$ pour tout $g$ dans $\mathrm{SO}(q)$, si l'orbite $\mathrm{SO}(q)\cdot\ZZ^n$ est dense dans l'espace des réseaux unitaires, alors $q(\ZZ^n)$ est dense dans $q(\RR^n)=\RR$ (car $q$ est indéfinie).

C'est cette passerelle entre arithmétique et dynamique que va emprunter G.\,Margulis pour démontrer la conjecture d'Oppenheim. Sous forme implicite, l'idée d'utiliser des techniques de géométrie des nombres (\ie l'étude des réseaux et des orbites de groupes linéaires comme $\SL{n}{\RR}$ et $\SL{n}{\ZZ}$) remonte à J.\,Cassels et P.\,Swinnerton-Dyer \cite{CSD}. Mais c'est M.\,Raghunathan qui a formellement établi un lien entre cette conjecture et l'étude de l'adhérence d'orbites de sous-groupes du groupe linéaire.

Le but du texte \cite{Pau} est d'introduire et d'étudier les outils nécessaires pour le texte \cite{Cou}. Il est donc essentiellement axé sur une étude des groupes $\SL{n}{\RR}$ et $\SL{n}{\ZZ}$, de leurs sous-groupes, et de leurs principales actions. Deux sous-groupes y sont privilégiés, le sous-groupe $\bAA$ des matrices diagonales de $\SL{n}{\RR}$ à coefficients diagonaux strictement positifs et le sous-groupe $\bNN$ des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux égaux à $1$. Ces groupes agissent naturellement sur l'espace topologique quotient $\SL{n}{\RR}/\SL{n}{\ZZ}$, qui par ailleurs s'identifie à l'espace des réseaux unitaires de $\RR^n$ (voir le paragraphe~2 de \cite{Pau}). Leur dynamique sur l'espace quotient $\SL{n}{\RR}/\SL{n}{\ZZ}$ est bien différente~: celle des sous-groupes de $\bAA$ est nettement plus compliquée que celle des sous-groupes de $\bNN$ (voir \cite{Rat2,Ghy,Mar5} et le paragraphe~5 de \cite{Pau} pour des raisons, ainsi que le paragraphe~4 de \cite{Dal} pour les phénomènes remarquables lorsque $n=2$). Ces deux groupes $\bAA$ et $\bNN$ sont reliés au groupe $\mathrm{SO}(q)$. Plus précisément, si $n=2$, alors un sous-groupe d'indice $2$ du groupe $\mathrm{SO}(q)$ est conjugué à $\bAA$ (voir le paragraphe~4 de \cite{Dal}); en revanche si $n\geq 3$, alors le groupe $\mathrm{SO}(q)$ est engendré par des sous-groupes \emph{unipotents} (\ie conjugués à des sous-groupes de $\bNN$) de $\SL{n}{\RR}$. Cette différence se reporte sur la topologie des ensembles $q(\ZZ^n)$.

Vers les années 1970, M.\,Raghunathan énonce une conjecture sur la \og régularité topologique\fg des adhérences des orbites de sous-groupes unipotents sur $\SL{n}{\RR}/\SL{n}{\ZZ}$, dont il démontre qu'elle entraîne facilement la conjecture d'Oppenheim. Cette idée sera reprise par G.\,Margulis pour démontrer le théorème énoncé ci-dessus. Le c\oe ur de la preuve de S.\,Dani et G.\,Margulis, exposée dans le texte \cite{Cou}, est en effet une étude (élémentaire, même si longue et astucieuse) de dynamique topologique des actions de sous-groupes unipotents sur $\SL{n}{\RR}/\SL{n}{\ZZ}$. En suivant \cite{Ghy}, nous donnerons dans le paragraphe~5 de \cite{Pau} une preuve du théorème suivant, démontré par G.\,Hedlund.

\begin{enonce*}{Théorème}[Hedlund]\index{theo@théorème!de Hedlund}
Toute orbite du sous-groupe $\bNN$ de $\SL{2}{\RR}$ dans $\SL{2}{\RR}/\SL{2}{\ZZ}$ est périodique ou dense.
\end{enonce*}

Cette preuve peut être prise comme un guide de lecture pour \cite{Cou}.

\medskip Vers les années 1990, M.\,Ratner \cite{Rat1,Rat2} (voir aussi l'excellent survol \cite{Ghy}) démontre la conjecture de Raghunathan. Elle montre en particulier qu'un ensemble du type $\mathrm{SO}(q)\cdot\ZZ^3$, lorsque $q$ est une forme quadratique non dégénérée indéfinie, est soit fermé soit dense dans l'espace des réseaux unitaires de~$\RR^3$. La conjecture d'Oppenheim pour $n=3$ découle alors du fait que $\mathrm{SO}(q)\cdot\nobreak\ZZ^3$ est fermé si et seulement si $q$ est rationnelle, résultat dû à M.\,Raghunathan (voir par exemple \cite[p.\,166]{BM}). Des versions quantitatives renforçant le théorème de Margulis ci-dessus ont été obtenues plus récemment par A.\,Eskin, G.\,Margulis, S.\,Mozes \cite{EMM}. Nous n'utilisons dans cet ouvrage que des arguments simples d'actions de groupes linéaires, en nous restreignant à une étude de dynamique topologique, et non pas mesurable comme dans les travaux de Ratner ou dans la référence \cite{BM}.

\medskip Le domaine des actions de groupes linéaires sur des espaces homogènes, avec applications arithmétiques potentielles, est mondialement très actif. Nous concluons cette introduction par un exemple de question ouverte dans ces thèmes. Une forme quadratique non dégénérée indéfinie sur $\RR^2$ est le produit de deux formes linéaires linéairement indépendantes. Nous étudierons leurs propriétés arithmétiques dans \cite{Dal}. L'étude du produit $P$ de $n\geq 3$ formes linéaires en $n$ variables est actuellement un domaine largement ouvert. Par exemple, l'étude de $P= x(y-\alpha x)(z-\beta x)$, lorsque $\alpha,\beta$ sont des nombres réels fixés, conduit à la conjecture de Littlewood (formulée par J.\,Littlewood dans les années 1930) qui s'énonce ainsi~: pour tous $\alpha,\beta\in\RR\moins\QQ$,
$$
\liminf_{\substack{q\,\in\,\ZZ\\q\to+\infty}}\;\inf_{p,p'\in\ZZ}\;q\,|p-\alpha q|\,|p'-\beta q|=0.
$$
Suite aux travaux de J.\,Cassels et P.\,Swinnerton-Dyer \cite{CSD}, G.\,Margulis a montré dans \cite{Mar5} que cette conjecture découle aussi d'une conjecture, dite de Margulis, sur la dynamique topologique du sous-groupe diagonal $\bAA$ de $\SL{3}{\RR}$ sur l'espace quotient $\SL{3}{\RR}/\SL{3}{\ZZ}$. Nous renvoyons par exemple à \cite{PV,EKL} pour des résultats particuliers mais importants sur la conjecture de Littlewood. La dynamique des sous-groupes diagonaux de dimension $n\geq3$ est encore peu connue et donne lieu actuellement à de nombreuses recherches.

\bigskip
Cet ouvrage ne présuppose connues que des notions de niveau au plus licence sur les formes quadratiques, les groupes linéaires et la topologie. Les trois textes peuvent être lus de manière indépendante, à l'exception du paragraphe~4 de \cite{Dal}, qui s'appuie en partie sur les paragraphes~1 et~2 de \cite{Pau}, et quitte à admettre dans \cite{Cou} les points nécessaires des textes précédents. Nous nous sommes atta\-chés à dévisser au maximum les notions et arguments, pour que cet ouvrage soit largement accessible. Nous espérons donc qu'il sera attrayant pour de nombreux lecteurs.

\bigskip
\hfill
\textsl{Gilles Courtois, Françoise Dal'Bo \&\ Frédéric Paulin}


\backmatter
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepalpha+eid}
\bibliography{xups07-00}

\begin{theindex}

  \item $\bAA$, \hyperpage{52}
  \item $A_2$, \hyperpage{68}
  \item action
    \subitem continue, \hyperpage{71}
    \subitem fidèle, \hyperpage{72}
    \subitem libre, \hyperpage{72}
    \subitem par homographies, \hyperpage{28}, \hyperpage{81}
    \subitem projective, \hyperpage{80}
    \subitem transitive, \hyperpage{72}
  \item application
    \subitem exponentielle, \hyperpage{110}
    \subitem fermée, \hyperpage{74}
    \subitem orbitale, \hyperpage{76}
    \subitem ouverte, \hyperpage{73}
    \subitem propre, \hyperpage{53}

  \indexspace

  \item bi-invariante, \hyperpage{55}
  \item bien approchable, \hyperpage{7}
    \subitem inférieurement, \hyperpage{7}
    \subitem supérieurement, \hyperpage{7}
  \item bijection canonique, \hyperpage{77}
  \item boule maximale, \hyperpage{68}

  \indexspace

  \item cellule de Voronoï, \hyperpage{68}
  \item covolume fini, \hyperpage{114}
  \item critère de Mahler, \hyperpage{66}, \hyperpage{108}
  \item cône isotrope, \hyperpage{141}

  \indexspace

  \item $\bDD$, \hyperpage{131}
  \item $D_3$, \hyperpage{68}
  \item densité, \hyperpage{68}
  \item développement
    \subitem en fractions continues, \hyperpage{4}
  \item direction, \hyperpage{92}
  \item distance quotient, \hyperpage{106}
  \item domaine fondamental, \hyperpage{30}, \hyperpage{84}

  \indexspace

  \item $E_8$, \hyperpage{69}
  \item élément
    \subitem hyperbolique, \hyperpage{21}
    \subitem unipotent, \hyperpage{111}
  \item ensemble
    \subitem de Siegel, \hyperpage{102}
    \subitem minimal, \hyperpage{118}
  \item équation de Pell-Fermat, \hyperpage{4}
  \item équivariant, \hyperpage{51}
  \item espace
    \subitem projectif, \hyperpage{80}
    \subitem topologique
      \subsubitem localement compact, \hyperpage{53}

  \indexspace

  \item famille maximale, \hyperpage{86}
  \item fibré de Seifert, \hyperpage{97}
  \item flot, \hyperpage{118}
  \item forme quadratique, \hyperpage{13}
    \subitem binaire, \hyperpage{13}
    \subitem de Pell-Fermat, \hyperpage{24}, \hyperpage{26}
    \subitem indéfinie, \hyperpage{13}
    \subitem non dégénérée, \hyperpage{13}
    \subitem rationnelle, \hyperpage{23}
    \subitem représentant zéro, \hyperpage{14}, \hyperpage{128}

  \indexspace

  \item géodésique, \hyperpage{29}, \hyperpage{82}
  \item groupe
    \subitem discret, \hyperpage{59}
    \subitem topologique, \hyperpage{51}

  \indexspace

  \item $\HH$, \hyperpage{81}
  \item horicycle, \hyperpage{82}
  \item horidisque, \hyperpage{82}
    \subitem famille maximale, \hyperpage{86}
  \item hyperbolique, \hyperpage{21}

  \indexspace

  \item invariant, \hyperpage{51}
  \item irrationnel quadratique, \hyperpage{12}
  \item isomorphe, \hyperpage{51}, \hyperpage{72}
  \item isomorphisme, \hyperpage{72}
    \subitem de groupes topologiques, \hyperpage{51}

  \indexspace

  \item $\bKK$, \hyperpage{27}, \hyperpage{52}

  \indexspace

  \item $\Lambda_{24}$, \hyperpage{69}
  \item localement compact, \hyperpage{53}

  \indexspace

  \item mal approchable, \hyperpage{7}
  \item meilleure approximation, \hyperpage{5}
  \item mesure de Haar, \hyperpage{114}
  \item morphisme
    \subitem de groupes topologiques, \hyperpage{51}

  \indexspace

  \item $\bNN$, \hyperpage{28}, \hyperpage{52}
  \item nilpotent, \hyperpage{110}
  \item nombre
    \subitem bien approchable, \hyperpage{7}
      \subsubitem inférieurement, \hyperpage{7}
      \subsubitem supérieurement, \hyperpage{7}
    \subitem d'or, \hyperpage{3}
    \subitem de Liouville, \hyperpage{7}
    \subitem de voisins, \hyperpage{68}
    \subitem mal approchable, \hyperpage{7}
  \item normalisateur, \hyperpage{51}
  \item norme de Hilbert-Schmidt, \hyperpage{55}
  \item noyau, \hyperpage{72}
  \item n{\oe}ud de trèfle, \hyperpage{89}

  \indexspace

  \item orbite, \hyperpage{71}
    \subitem périodique, \hyperpage{76}

  \indexspace

  \item Pell-Fermat, \hyperpage{4}, \hyperpage{24}
  \item période, \hyperpage{76}

  \indexspace

  \item quasi-isométrique, \hyperpage{106}

  \indexspace

  \item $\R(\RR^n)$, \hyperpage{66}
  \item $\R_1(\RR^n)$, \hyperpage{66}
  \item recollement, \hyperpage{93}, \hyperpage{96}
  \item relativement compacte, \hyperpage{66}
  \item représenter zéro, \hyperpage{14}, \hyperpage{128}
  \item réseau, \hyperpage{60}
    \subitem $A_2$, \hyperpage{68}
    \subitem $D_3$, \hyperpage{68}
    \subitem $E_8$, \hyperpage{69}
    \subitem carré, \hyperpage{67}
    \subitem cubique, \hyperpage{67}
    \subitem cubique à face centré, \hyperpage{68}
    \subitem de Leech, \hyperpage{69}
    \subitem similaires, \hyperpage{68}
    \subitem unitaire, \hyperpage{66}

  \indexspace

  \item sans petit sous-groupe, \hyperpage{63}
  \item saturé, \hyperpage{71}
  \item sous-espace rationnel, \hyperpage{160}
  \item sous-groupe
    \subitem à un paramètre, \hyperpage{76}
    \subitem unipotent, \hyperpage{111}
  \item stabilisateur, \hyperpage{71}
  \item suite de meilleure approximation, \hyperpage{4}
  \item série d'Eisenstein, \hyperpage{98}

  \indexspace

  \item $T_1\HH$, \hyperpage{92}
  \item théorème
    \subitem de Hedlund, \hyperpage{113, 114}
    \subitem de Margulis, \hyperpage{128}
  \item topologie
    \subitem de Chabauty, \hyperpage{63}
    \subitem discrète, \hyperpage{59}
    \subitem grossière, \hyperpage{59}

  \indexspace

  \item $\bUU$, \hyperpage{113}, \hyperpage{131}
  \item unipotent, \hyperpage{111}

  \indexspace

  \item $\bVV$, \hyperpage{113}, \hyperpage{131}

\end{theindex}

\end{document}

