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\begin{document}
\frontmatter

\title[Front d'onde et opérations sur les distributions]{Front d'onde\\ et opérations sur les distributions}
\author[\initial{J.-M.} \lastname{Bony}]{\firstname{Jean-Michel} \lastname{Bony}}
\address{Centre de Mathématiques,
École polytechnique,
F--91128 Palaiseau cedex}
\email{bonyjm@math.cnrs.fr }
\urladdr{http://bonyjm.perso.math.cnrs.fr/bony(en).html}

\thanks{Journées X-UPS 2003. Dans le sillage de Laurent Schwartz. Éditions de l'École polytechnique, 2003}

\maketitle
\tableofcontents
\mainmatter


C'est en 1945 que Laurent Schwartz introduit une extension de la notion de fonction d'une portée considérable. Dans l'espace des distributions, la dérivation est toujours possible et toujours continue. D'autre part, la transformation de Fourier est étendue à l'espace des distributions tempérées, considérablement plus grand que les espaces de fonctions sommables ou de carré sommable, elle est continue et la formule d'inversion est toujours valable. Les distributions constituent de nos jours un outil irremplaçable en analyse et notamment en théorie des équations aux dérivées partielles.

Le concept de \emph{front d'onde} a été introduit en 1969-1970 par M.\,Sato pour le front d'onde analytique, et par L.\,Hörmander pour le front d'onde $C^{\OO} $, celui dont nous allons parler. À toute distribution~$u$ dans~$\R^{n}$ est associé un sous-ensemble de $\R^{n}\times \R^{n}$ rendant compte du défaut de régularité de $u$. On donne plus généralement le nom d'\emph{analyse microlocale} `a une analyse des distributions qui est locale à la fois en la variable d'espace (le premier $\R^{n}$) et en la variable de fréquence (le second). L'introduction de ces concepts est principalement motivée par la théorie des équations aux dérivées partielles et est à la source de progrès considérable dans ce domaine. Il serait malheureusement déraisonnable de vouloir aborder sérieusement tous ces points dans le cadre limité de deux exposés.

Il se trouve que l'introduction du front d'onde a aussi permis de beaucoup mieux comprendre dans quels cas on peut définir des opérations qui ne sont pas toujours permises en théorie des distributions : la restriction à une hypersurface, ou tout simplement le produit. C'est cet aspect de la théorie que nous avons choisi de développer.

\section{Les distributions}
Étant donné un compact $K$ de $\R^{n}$, nous noterons $ C^{\OO}_{K}$
l'espace des fonctions de classe $ C^{\OO} $ à support dans $K$. Si
$\Omega $ est un ouvert de $\R^{n}$, on note $ C^{\OO}_{0} (\Omega)$ [la
notation originale de Schwartz était $ \mathcal{D} (\Omega) $]
l'espace des fonctions $ C^{\OO} $ dont le support est un compact de
$\Omega $. C'est la réunion des $ C^{\OO}_{K}$ lorsque $K$ parcourt
l'ensemble des compacts inclus dans $\Omega $.

Il est bien connu, mais pas totalement évident, que $ C^{\OO}_{0} (\Omega)$
n'est pas réduit à~$0$. En fait, pour toute boule de $\R^{n}$, il
existe une fonction $ C^{\OO} $ nulle hors de la boule fermée et
strictement positive dans la boule ouverte.

Si $f$ est une fonction localement sommable dans $\Omega $ (c'est-à-dire
sommable sur tout compact de $\Omega $), on peut lui faire correspondre la
forme linéaire suivante sur $ C^{\OO}_{0} (\Omega)$:
\begin{equation} \label{eqfcommedb}
\forall \phi \in  C^{\OO}_{0} (\Omega),\quad
\bra{f}{\phi} = \int_{\Omega} f(x)\phi (x)\,\dd x
\end{equation}
et il est clair que l'on a la majoration
\begin{equation} \label{majofcommedb}
\forall K\in\Omega,\ \forall \phi \in C^{\OO}_{K},\quad
\module{\bra{f}{\phi}} \leq \LPRP{\int_{K} \module{f(x)} \dd x}
\sup_{x\in K} \module{\phi (x)}.
\end{equation}

\begin{prop} \label{proplil}
Deux fonctions localement sommables dans $\Omega $
définissent la même forme linéaire sur $C^{\OO}_{0} (\Omega)$ si
et seulement si elles sont égales presque partout.
\end{prop}
Tout revient à montrer que si $f$ définit la forme linéaire nulle,
alors \hbox{$f=0 \pp$}, ce qui nécessite quelques connaissances sur la
régularisation. On choisit une fonction $h\in C^{\OO}_{0} (\R^{n})$ à
support dans la boule unité et d'intégrale $1$ et on pose
$$f_{\epsilon}(x)= \epsilon^{-n}\int h\big(\frac{x-y}{\epsilon}\big)f(y)\dd y,$$
fonction qui
est bien définie au voisinage d'un compact $K \subset \Omega $ pour~$\epsilon $ assez petit. Il faut savoir que $f_{\epsilon}$ converge vers $f$
en norme $L^{1}$ sur~$K$. Comme l'hypothèse implique que les $f_{\epsilon}$
sont identiquement nulles, cela entraîne le résultat.

On note $ \lil(\Omega)$ l'espace des classes de fonctions localement
sommables pour la relation d'équivalence $f=g\pp$

\begin{definition}
L'espace $\mathcal{D}'(\Omega)$ des distributions dans $\Omega $ est
constitué des
forme linéaire $u$ sur $C^{\OO}_{0} (\Omega)$
vérifiant la propriété de continuité suivante: \\
Quel que soit  $K\in\Omega $, il existe un entier $p$ et une constante
$C$ tels que
\begin{equation} \label{eqdbcont}
\forall \phi \in C^{\OO}_{K},\quad \module{\bra{u}{\phi}} \leq C \sup_{x\in K\,;\, \module{\alpha} \leq p}\;
\module{\partial^{\alpha}\phi (x)}
\end{equation}
\end{definition}
On a utilisé les notations
$$
\alpha =(\alpha_{1}\dots \alpha_{n}),\qquad
\module{\alpha} =\alpha_{1}+\dots+\alpha_{n},\qquad
\partial^{\alpha}u=\frac{\partial^{\module{\alpha}}u}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}.
$$
On note aussi $x^{\alpha}$ le
monôme $x_1^{\alpha_1}\dots x_{n}^{\alpha_n}$.

Si l'on peut choisir l'entier $p$ ci-dessus indépendamment de $K$, on dit
que la distribution est d'ordre $\leq p$ dans $\Omega $.

L'espace $\lil(\Omega)$ s'identifie à un sous-espace de
$\mathcal{D}'(\Omega)$,
ce que préfigurait la
notation~\eqref{eqfcommedb} mais qui n'est justifié que par la
proposition~\ref{proplil}. L'estimation~\eqref{majofcommedb} montre que ce
sont des distributions d'ordre~$0$. Cela permet de considérer tous les
espaces de fonctions qui sont munis d'une injection naturelle dans
$\lil(\Omega)$
(espaces $L^{p}(\Omega)$, $L^{p}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$,
$C^{k}(\Omega)$...) comme des sous-espaces de $\mathcal{D}'(\Omega)$.
Ces identifications étant faites, dire qu'une distribution est ou n'est
pas une fonction de classe $C^{k}$ a un sens parfaitement clair.



\begin{definition}[convergence]
On dit qu'une suite $u_{j}$ de distributions con\-ver\-ge vers $u$ si
\begin{equation*}
 \forall \phi \in C^{\OO}_{0} (\Omega),\quad \bra{u_j}{\phi} \longto_{j\to
 \OO} \bra{u}{\phi}.
\end{equation*}
\end{definition}

On démontre que toute distribution est limite d'une suite de fonctions,
et même de fonctions $ C^{\OO} $. Vérifions-le sur
l'exemple le plus simple de distribution qui ne soit pas une fonction: la
masse de \hbox{Dirac} $\delta $ définie par $\bra{\delta}{\phi}=\phi (0)$.

\begin{prop} \label{propconvdelta}
On se donne une suite de fonctions positives et sommables~$f_j $,
d'intégrale $1$, nulles en dehors de
boules de centre~$0$ dont le rayon $r_{j}$ tend vers~$0$. Alors $f_j $
tend vers $\delta $ au sens des distributions.
\end{prop}

Il suffit d'écrire $$\bra{f_j}{\phi}=\phi (0)+\int_{\module{x} \leq r_j}
f_j (x)(\phi (x){-}\phi (0))\dd x.$$
Le second terme du membre de droite tend vers~$0$ tandis que le premier vaut $ \bra{\delta}{\phi}$.

On définie plus généralement $\delta_{a}$, pour $a\in \R^{n}$ par
$\bra{\delta_{a}}{\phi}=\phi (a)$.

\section{Dérivation}
Lorsque $f$ est de classe $C^{1}$ dans $\Omega $, on a immédiatement, en
intégrant par parties,
\begin{equation*}
\Big\langle{\frac{\partial f}{\partial x_k}},{\phi}\Big\rangle=
\int \frac{\partial f}{\partial  x_k}(x)\,\phi (x)\dd x =
- \int f(x) \,\frac{\partial \phi}{\partial  x_k}(x) \dd x =
- \Big\langle{f},{ \frac{\partial \phi}{\partial  x_k}}\Big\rangle.
\end{equation*}
La formule se généralise immédiatement aux distributions.

\begin{definition}
Pour $u\in \mathcal{D}'(\Omega) $, la distribution $\sfrac{\partial
u}{\partial x_k}$ est définie par
\begin{equation*}
\Bra{\frac{\partial u}{\partial x_k}}{\phi}= - \Bra{u}{ \frac{\partial
\phi}{\partial  x_k}}.
\end{equation*}

La dérivation est continue: si $u_j \to u $ dans
$\mathcal{D}'(\Omega)$, alors $\partial u_j /\partial x_{k} \to \partial
u/\partial x_{k}$.
\end{definition}
Il faut juste vérifier que, la distribution $u$ vérifiant la
propriété de continuité~\eqref{eqdbcont}, la forme linéaire $\sfrac{\partial
u}{\partial x_k}$ vérifie une propriété du même type. On a en
effet, pour $\phi \in C^{\OO}_{K}$,
\begin{equation*}
\module{\Bra{\frac{\partial u}{\partial x_k}}{\phi}} =
\module{\Bra{u}{ \frac{\partial \phi}{\partial  x_k}}} \leq
C\sup_{\substack{x\in K\\ \module{\alpha} \leq p}}
\module{\partial^{\alpha}\frac{\partial \phi}{\partial  x_k}(x)} \leq
C\sup_{\substack{x\in K\\ \module{\beta} \leq p+1}}
\module{\partial^{\beta}\phi (x)}.
\end{equation*}
Quant à la continuité, elle est évidente: on a
\begin{equation*}
\Bra{\frac{\partial u_j}{\partial x_k}}{\phi}=
-\Bra{u_j}{ \frac{\partial \phi}{\partial  x_k}}\longto
-\Bra{u}{ \frac{\partial \phi}{\partial  x_k}}=
\Bra{\frac{\partial u}{\partial x_k}}{\phi},
\end{equation*}
ce qui exprime exactement
que $\partial u_j /\partial x_{k} \to \partial
u/\partial x_{k}$. 
\begin{exem} \label{exemderheavi}
Soit $Y$ la fonction de Heaviside, définie sur $\R$ par
\hbox{$Y(x)\!=\!1$} pour $x$ positif et $Y(x)=0$ sinon. Il résulte
immédiatement de la définition que $$\bra{Y'}{\phi}=-\int_{0}^{\OO}\phi'(x)\dd x =\phi (0),$$ et donc que $Y'=\delta $.

\medskip
\noindent \begin{minipage}{.52\textwidth}
\small
Cela peut aussi se
voir en approximant $Y$ par des fonctions croissantes $f_{n}$ de classe
$C^{1}$, valant~$0$ pour $x<-1/n$ et $1$ pour $x\mkern1mu{>}\mkern1mu1/n$. Il
résulte facilement du théorème de Lebesgue que $f_{n}\to Y$ au sens
des distributions, et on doit donc avoir $f'_{n}\to Y'$. Les fonctions
$f_{n}'$, positives, d'intégrale $1$ et à support dans $[-1/n,1/n]$
convergent aussi vers $\delta $ d'après la proposition~\ref{propconvdelta}
et on a ainsi $Y'=\delta $.

La distribution $\delta'$ est définie par l'égalité $\bra{\delta'}{\phi}=-\phi
'(0)$. C'est la limite des fonc\-tions $f_{n}''$ et aussi celle des distribu\-tions
$n^{-1}(\delta_{-1/2n}-\delta_{1/2n})$ qui toutes deux présentent une grande masse
négative à droite d'une grande masse positive. La distribution \hbox{limite}~$\delta'$ correspond à ce que la physique appelle un dipôle de moment
$-1$ placé à l'origine.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{.45\textwidth}
\includegraphics[scale=.39]{xups03-02_fig1}
\end{minipage}
\end{exem}



\section{Multiplication}
Nous allons voir que l'on ne peut pas définir raisonnablement le produit
de deux distributions quelconques mais, lorsque l'une des deux est
une fonction $
\Phi \in
C^{\OO}(\Omega) $, la multiplication se définit sans difficulté
et prolonge
naturellement l'application $f\mapsto \Phi f$ définie pour $f\in
\lil(\Omega)$.
\begin{definition}
Soient $\Phi \in C^{\OO} (\Omega)$ et $u\in \mathcal{D}
'(\Omega) $. La
distribution $\Phi u$ est définie par\vspace*{-5pt}\enlargethispage{1.5\baselineskip}
\begin{equation*}
\forall \phi \in C^{\OO}_{0} (\Omega),\quad
\bra{\Phi u}{\phi}= \bra{u}{\Phi \phi}
\end{equation*}
\end{definition}
Il faut juste vérifier que la forme linéaire ainsi définie vérifie
les estimations de continuité~\eqref{eqdbcont}, ce qui n'est pas
difficile en développant $\partial^{\alpha}(\Phi \phi)$ par la formule
de Leibniz. On vérifie aussi que ce produit est continu en $u$ et en~$\Phi $
en munissant $C^{\OO} (\Omega)$ de sa topologie naturelle.

On voit immédiatement, par exemple, que le produit $\Phi \delta_{a}$ est
égal à $\Phi (a)\delta_{a}$.
\begin{rema}
Montrons que, au contraire, il n'est pas possible de
définir le produit
de $\delta $ par la fonction de Heaviside $Y$ si l'on veut que ce
produit conserve un minimum de propriétés raisonnables.

Reprenons les fonctions $f_{n}$ de l'exemple~\ref{exemderheavi} qui
convergent vers~$Y$, en les supposant $ C^{\OO} $. Il serait
raisonnable de vouloir
définir $Y\delta $ comme la limite des produits $f_{n}\delta $ qui sont
égaux à $f_{n}(0)\delta$. Malheureusement, il est parfaitement
possible de choisir les $f_{n}$ ayant toutes les propriétés requises,
et telles que la suite $f_{n}(0)$ n'ait pas de limite, ou bien telle
qu'elle converge vers n'importe quel élément de $[0,1]$.

Si l'on renonce à avoir une extension qui soit continue, est-il possible
de conserver au moins des propriétés plus algébriques, la formule de
Leibniz par exemple? La réponse est encore non. En remarquant que
$Y(x)^{n}=Y(x)$ pour tout $n$, on devrait avoir\vspace*{-3pt}
\begin{equation*}
\forall n,\quad  \delta
=Y'=\frac{d}{dx}Y^{n}=nY^{n-1}Y'=n(Y\delta) \tag{absurde}
\end{equation*}
ce qui attribuerait beaucoup de valeurs différentes au produit $Y\delta $.
\end{rema}
\begin{rema}[Compensation de régularité] \label{remacompregu}
Il est possible de définir le produit dans bien d'autres situations,
mais --- c'est toujours le cas pour les applications bilinéaires ---
on ne peut pas espérer donner \og la condition\fg pour que le produit soit
défini. Si l'on recherche des couples $(\mathcal{A}, \mathcal{B})$ de
sous-espaces de $ \mathcal{D}' $ tels que le produit $uv$ soit bien défini
pour $u\in \mathcal{A} $ et $v\in \mathcal{B}$, plus l'un des
espaces sera petit,
plus l'autre pourra être pris grand. Nous donnons ici quelques exemples
où la singularité des éléments de l'un des espaces est compensée
par la régularité des éléments de l'autre. Plus loin, nous
trouverons d'autres conditions permettant de définir le produit lorsque
les deux facteurs sont singuliers, pourvu que les singularités soient
\og convenablement localisées\fg.

On peut bien sûr définir le produit lorsque le résultat est un
élément de $\lil$. Par exemple, pour $u\in \lil$ et $v\in L^{\OO}\loc$
(classes de fonctions localement bornées), ou bien pour $u$ et $v$ dans
$L^{2}\loc$, ou encore plus généralement pour $u\in L^{p}\loc$ et $u\in
L^{p'}\loc$ avec $1/p+1/p'=1$.\enlargethispage{\baselineskip}

On peut définir $uv$ lorsque $u$ est une distribution d'ordre $\leq p$
pourvu que l'on ait $v\in C^{p}(\Omega)$. On procède en deux temps.
\begin{itemize}
\item
On prolonge par continuité l'application $\phi \mapsto
\bra{u}{\phi}$ aux \hbox{fonctions} $\phi \in C^{p}_{0}(\Omega)$ (fonctions de
classe $C^{p}$ à support compact). Si $\phi $ est de classe $C^{p}$ à
support dans $K$, et si $K' \subset \Omega $ est un voisinage compact de
$K$, on peut trouver une suite $\phi_{j}$ d'éléments de $ C^{\OO}_{K'} $
telle que $\phi_j $ converge uniformément vers $\phi $ ainsi que ses
dérivées jusqu'à l'ordre~$p$. L'estimation~\eqref{eqdbcont}
permet de définir $\bra{u}{\phi}$ par $\lim_j \bra{u}{\phi_j}$.

\item
Pour $\phi \in C^{\OO}_{0} (\Omega) $, la fonction $v\phi $ est de
classe $C^{p}$ à support compact, et on pose
$\bra{uv}{\phi} = \bra{u}{v\phi}$. Il faut bien sûr vérifier que
l'estimation ~\eqref{eqdbcont} est valable pour la
forme linéaire ainsi définie, ce qui résulte encore de la formule de
Leibniz.
\end{itemize}
\end{rema}
\section{Produit tensoriel}
Si $f$ et $g$ sont des fonctions définies dans des ouverts de $\R^{p}$
et $\R^{q}$ respectivement, la fonction $f\otimes g$ est la fonction de
$p{+}q$ variables définie dans l'ouvert produit par $f\otimes
g(x,y)=f(x)g(y)$. Ce produit tensoriel s'étend aux distributions sans
aucune condition. Le mode de calcul évoque le théorème de Fubini et
nous admettrons le résultat.

Si $\Omega_1 \subset \R^{p}$ et $\Omega_2 \subset \R^{q}$ sont deux
ouverts, et si $u_j \in \mathcal{D}' (\Omega_j)$, j=1,2, le produit
tensoriel $u_1 \otimes u_2 \in \mathcal{D}' (\Omega_1 \times \Omega_2)$
est défini par\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
\forall \phi \in C^{\OO}_{0} (\Omega_1 \times \Omega_2),\quad
\bra{u_1 \otimes u_2}{\phi}
&= \bbra{u_1 (x)}{\LARA[2]{\bra{u_2 (y)}{\phi (x,y)}}}\\
&= \bbra{u_2 (y)}{\LARA[2]{\bra{u_1 (x)}{\phi (x,y)}}}
\end{align*}
L'utilisation des \emph{lettres muettes} $x$ et $y$ dans les crochets
ci-dessus ne
signifie pas bien sûr que les distributions ont des valeurs ponctuelles.
Elle sert à distinguer, dans chaque cas, variable et paramètre.

La dernière ligne (par exemple) a un sens grâce au résultat
suivant:
l'application $y\mapsto \bra{u_1 (x)}{\phi (x,y)}$ appartient à $
C^{\OO}_{0} (\Omega_2)$ (théorème \og de dérivation sous le crochet\fg).

Par exemple, pour $\Omega_1 =\Omega_2 =\R$, la distribution $\delta
\otimes \delta $ est la distribution de Dirac $\delta $ de $\R^{2}$. Quant à
$1\otimes \delta $, c'est la mesure de densité linéique $1$
portée par l'axe des $x$, c'est-à-dire la distribution définie par
\begin{equation} \label{eq1tensordelta}
\forall \phi \in C^{\OO}_{0} (\R^{2}),\quad  \bra{1\otimes \delta}{\phi}
=\int_{\R} \phi (x,0)\dd x
\end{equation}


\section{Support et support singulier}
Il s'agit de points évoqués en partie par B. Malgrange,
et je renverrai à son exposé pour les propriétés des partitions de
l'unité différentiables.

Si $\omega \subset \Omega$ sont deux ouverts, une fonction $ C^{\OO} $ à
support dans un compact de $\omega $ est \emph{a fortiori} une fonction
à support dans un compact de $\Omega$. Pour $u\in \mathcal{D}' (\Omega)$ sa
\emph{restriction à $\omega $} est la distribution $
\Restr{u}{\omega}$ définie par
\begin{equation*}
\forall \phi \in C^{\OO}_{0} (\omega),\quad
\bra{\Restr{u}{\omega}}{\phi}= \bra{u}{\phi}.
\end{equation*}
\begin{definition}
Pour $u\in \mathcal{D}' (\Omega)$ et $x_0 \in\Omega $, on dit
que $u$ est
nulle au voisinage de $x_0 $ s'il existe un ouvert $\omega $
avec $x_0 \in\omega
\subset \Omega $ tel que $\Restr{u}{\omega}=0$.

On appelle support de $u$ l'ensemble fermé (relativement à
$\Omega $) noté
$ \Supp(u) $ constitué des points $x\in\Omega $ tels que $u$ ne
soit pas nulle
au voisinage de $x$.
\end{definition}
\begin{theo}
La restriction de $u$ à $\Omega \setminus \Supp (u) $ est nulle.
\end{theo}
C'est le point établi au \numero II-2 de l'exposé de Malgrange:
si $\phi \in C^{\OO}_{0} (\Omega)$ a son support disjoint de $ \Supp (u) $, on
peut écrire, grâce à une partition de l'unité, $\phi =\sum \phi_j $, où chaque $\phi_j $ a son support dans un ouvert $\omega_j $ tel
que $\Restr{u}{\omega_j}=0$, d'où le résultat.

\paragraph*{Extension de la dualité} Lorsque $u\in \mathcal{D}'
(\Omega)$ est à support compact, on peut définir $\bra{u}{\phi}$
pour $\phi \in C^{\OO}(\Omega)$ de la façon suivante. On choisit $\theta
\in C^{\OO}_{0} (\Omega)$ égale à $1$ au voisinage de $ \Supp (u) $ et
on pose $\bra{u}{\phi}= \bra{u}{\theta \phi}$, le membre de droite
étant bien défini. Il faut bien sûr que le résultat ne
change pas si l'on remplace $\theta $ par une fonction analogue~$\theta_1 $. Cette vérification est évidente, puisque la fonction
$(\theta {-}\theta_1)\phi $ a son support inclus dans $\Omega \setminus \Supp (u) $.

\begin{prop} \label{propcompmajo}
Soit $u\in \mathcal{D}' (\Omega)$ à support compact, et
soit $K \subset
\Omega $ un voisinage compact de $ \Supp (u) $. Il existe
alors $p$ et $C$
tels que l'on ait, pour l'extension ci-dessus,
\begin{equation*}
 \forall \phi \in C^{\OO} (\Omega),\quad
\module{\bra{u}{\phi}} \leq C \sup_{x\in K; \module{\alpha} \leq p}
\module{\partial^{\alpha}\phi (x)}.
\end{equation*}
\end{prop}
Il suffit de choisir $\theta $ comme ci-dessus et à support dans K,
d'appliquer l'inégalité~\eqref{eqdbcont} à la fonction $\theta \phi $
et de développer les $\partial^{\alpha}(\theta \phi)$ à l'aide de
la formule de Leibniz.

En particulier, toute distribution à support compact est d'ordre fini.

\begin{definition}
Pour $u\in \mathcal{D}' (\Omega)$ et $x_0 \in\Omega $, on dit
que $u$ est
$ C^{\OO} $ au voisinage de $x_0 $ s'il existe un ouvert $\omega $
avec $x_0 \in\omega
\subset \Omega $ tel que $\Restr{u}{\omega} \in C^{\OO} (\omega)$.

On appelle support singulier de $u$ l'ensemble fermé
(relativement à $\Omega $)
noté $ \Suppsg  (u) $ constitué des
points $x\in\Omega $ tels que $u$ ne soit pas $ C^{\OO} $ au
voisinage de $x$.
\end{definition}
\begin{theo}
En posant $V\!=\! \Omega \setminus \Suppsg (u) $, on a
$\Restr{u}{V}\in C^{\OO}
(V)$.
\end{theo}
Par définition, il existe un recouvrement de $V$ par des ouverts $\omega_j $ tels que la restriction de $u$ à $\omega_j $ soit une fonction $f_j
\in C^{\OO} (\omega_j)$. Pour $\phi \in C^{\OO}_{0} (\omega_j \cap \omega_k)$ on a donc $\bra{u}{\phi}=\int f_j \phi \dd x =\int f_k \phi \dd x $
ce qui entraîne que $f_j $ et $f_{k}$ coïncident dans $\omega_j
\cap \omega_{k}$. On peut donc recoller ces fonctions et définir
$f\in C^{\OO} (V)$
en décidant que $f(x)$ est la valeur commune de tous les $f_j (x)$
pour $\omega_j \ni
x$.\enlargethispage{\baselineskip}

Il reste à montrer que $f$ est la restriction de $u$ à $V$. Toute $\phi
\in C^{\OO}_{0} (V)$ se découpe en une somme finie $\phi =\sum \phi_j $
de fonctions à support dans les $\omega_j $. On a donc $\int f\phi_j \dd
x=\int f_j \phi_j \dd x =\bra{u}{\phi_j}$, d'où le résultat.

\begin{rema}
Ce concept permet déjà de définir le produit $uv$ de
deux distributions
pour des raisons de nature très différentes de celles vues dans
la remarque~\ref{remacompregu}. C'est maintenant la localisation des
singularités qui va intervenir.

Soient $u,v\in \mathcal{D}' (\Omega)$ vérifiant
$ \Suppsg (u)\cap \Suppsg (v) =\emptyset$. On considère le recouvrement
de $\Omega $ par les ouverts
$$U_1 =\Omega \setminus \Suppsg (u)\quad \text{et}\quad
U_2 =\Omega \setminus \Suppsg (v).$$
Toute fonction $\phi \in C^{\OO}_{0}
(\Omega)$ peut s'écrire, grâce à une partition de
l'unité, sous la forme $\phi_1 +\phi_2 $ avec $\phi_j \in C^{\OO}_{0}
(U_j)$. On pose alors
\begin{equation*}
\bra{uv}{\phi}= \bra{v}{\phi_1 u}+ \bra{u}{\phi_2 v},
\end{equation*}
les produits figurant à droite des crochets appartenant à $ C^{\OO}_{0}
(\Omega)$. Il est facile de voir que le résultat ne dépend pas de la
partition de l'unité choisie.
\end{rema}


\section{Transformation de Fourier [résultats]}
Il ne serait pas raisonnable d'inclure ici tout un exposé de la
transformation de Fourier des distributions. Nous choisissons
délibérément de mettre en avant, plutôt que les définitions, les
propriétés les plus utiles.

Nous ne définirons donc pas l'espace $ \mathcal{S}'
(\R^{n})$\footnote{ou plutôt si,
mais en bas de page. C'est l'espace des $u\in \mathcal{D}' (\R^{n})$ tels
que, pour $C$ et $N$ convenables, on ait la majoration suivante:
\\$\hbox to 3em{}\forall \phi \in C^{\OO}_{0} (\R^{n}),\quad
\module{\bra{u}{\phi}} \leq C\sup_{\module{\alpha},\module{\beta} \leq
N\,;\, x\in \R^{n}}
\module{x^{\alpha}\partial^{\beta}\phi
(x)} $.\\ On pourra vérifier que $x\mapsto e^{x} $ n'appartient pas à $
\mathcal{S}' (\R)$.}. C'est un
sous-espace vectoriel de $ \mathcal{D}' (\R^{n})$ qui contient
énormément de distributions:
\begin{itemize}
\item
$ \mathcal{S}' (\R^{n})$ contient toutes les
distributions à support
compact.
\item
$ \mathcal{S}' (\R^{n})$ contient tous les espaces $L^{p}$.
\item
$ \mathcal{S}' (\R^{n})$ contient toutes les (classes de)
fonctions localement
sommables qui sont majorées en module par un polynôme.
\item
$ \mathcal{S}' (\R^{n})$ est stable par dérivation: si
$u$ appartient à cet espace, il~en est de même de $\partial^{\alpha}u$
\item
$ \mathcal{S}' (\R^{n})$ est stable par multiplication par les
polynômes: si
$u$ appartient à cet espace, il en est de même de $x^{\alpha}u$.

Nous ne définirons pas non plus, au moins dans le cas général,
la transformation de Fourier $u\mapsto \mathcal{F}u$
(notée souvent $\widehat{u}$), mais nous en énoncerons les
principales propriétés:
\item
$\mathcal{F}$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de
$\mathcal{S}'$ sur lui-même. L'\stwd isomorphisme inverse s'écrit $(2\pi)^{-n} \BAR{\mathcal{F}}$, où $\BAR{\mathcal{F}}$ est l'analogue de
$\mathcal{F}$ obtenu en remplaçant $i$ par $-i$ dans les formules
explicites.
\item
Pour $u\in L^1 (\R^{n})$, sa transformée de Fourier est la
fonction continue bornée et tendant vers~$0$ à l'infini définie
par la formule
classique
\begin{equation*}
\widehat{u}(\xi)= \int e^{-i x\cdot \xi} u(x)\dd x.
\end{equation*}
\item
Si $u$ est une distribution à support compact, sa
transformée de Fourier est la fonction définie pour chaque $\xi$ par
\begin{equation} \label{eqfourcomp}
 \widehat{u}(\xi)= \big\langle{u(x)},{e^{-ix\xi}}\big\rangle,
\end{equation}
formule où $x$ est une lettre muette et où l'on utilise
l'extension, vue dans la
section précédente, de $\bra{u}{\cdot}$
aux fonctions appartenant à $C^{\OO}(\R^{n})$.
\item
La formule $\mathcal{F}(\partial u/\partial x_j)=i\xi_j
\widehat{u}(\xi)$, qui s'obtient habituellement en dérivant sous le
signe somme, est valable en toute généralité.
\item
On a de même $\mathcal{F}(x_j u)= i \partial \widehat{u}/\partial
\xi_j $ pour tout $u\in \mathcal{S}' (\R^{n})$.
\end{itemize}

\begin{theo}
Soit $u$ une distribution à support compact.

\textup{(i)} La fonction $\widehat{u}$ est de classe $ C^{\OO} $ et
à croissance polynomiale ainsi que toutes
ses dérivées: il existe des
constantes $C_{\alpha}$ et $N_{\alpha}$ telles que l'on ait
\begin{equation*}
\module{\partial_{\xi}^\alpha \widehat{u}(\xi)} \leq C_{\alpha}
(1+\module{\xi})^{N_{\alpha}}
\end{equation*}

\textup{(ii)} Pour que $u$ soit de classe $ C^{\OO} $, il faut et il
suffit que $\widehat{u}$ soit à décroissance rapide, c'est-à-dire:
\begin{equation*}
\forall N,\ \exists C,\ \forall \xi,\quad
\module{\widehat{u}(\xi)} \leq C  (1+\module{\xi})^{-N}
\end{equation*}
\end{theo}
Le premier point résulte de la proposition~\ref{propcompmajo}: si la
boule de rayon~$R$ est un voisinage de $ \Supp (u) $, on a avec $C$ et $p$
fixés:
\begin{equation*}
\module{\widehat{u}(\xi)} \leq C \sup_{\module{x\leq R} ;
\module{\alpha} \leq p}
\big\vert{\partial_x^{\alpha} e^{-ix\cdot \xi}}\big\vert.
\end{equation*}
On vérifie facilement que le membre de droite est à croissance
polynomiale en~$\xi$, et on applique ensuite le même résultat à la
transformée de Fourier de~$x^{\alpha}u$.

Il est bien connu que la transformée de Fourier d'une fonction $ u\in
C^{\OO}_{0} $ est à décroissance rapide ($(i\xi)^{\alpha}
\widehat{u}(\xi)$ est bornée, comme transformée de la fonction
sommable $\partial^{\alpha}u$). Pour montrer la réciproque, on
utilise le fait
que $\partial^{\alpha}u $ est la transformée de Fourier inverse de la fonction sommable
$(i\xi)^{\alpha}\widehat{u}(\xi)$ et est donc une fonction continue.
\begin{coro}
Soit $u \in \mathcal{D}' (\Omega)$ et $x_0 \in \Omega $. Les
trois propriétés suivantes sont équivalentes.

\textup{(i)} $x_0 \notin \Suppsg (u) $ (ou encore $u$ est $ C^{\OO} $ au
voisinage de $x_0 $).

\textup{(ii)} Il existe $\phi \in C^{\OO}_{0}(\Omega) $ telle que $\phi
(x_0)\neq 0$ et que $\widehat{\phi u}(\xi)$ soit à décroissance
rapide.

\textup{(iii)}  Il existe un ouvert $\omega $ avec $x_0 \in
\omega \subset
\Omega $ tel que, pour tout $\phi \in C^{\OO}_{0} (\omega)$, la fonction
$\widehat{\phi u}(\xi)$ soit à décroissance rapide.
\end{coro}


\section{Le front d'onde}
Le front d'onde de $u\in \mathcal{D}' (\Omega)$ va être un
sous-ensemble conique de \hbox{$\Omega \times (\R^{n}\setminus\LARA{0})$} qui va
décrire non seulement les points où $u$ est singulière, mais encore
les (co-)directions dans lesquelles celle-ci est singulière.

Nous dirons qu'un sous-ensemble $A \subset \R^n\times
(\R^{n}\setminus\LARA{0})$
est conique (on pourrait dire aussi positivement homogène en~$\xi$) si,
pour $t>0$, on a $$(x,\xi)\in A \iff (x,t\xi)\in A.$$

\begin{definition}
Soit $u\in \mathcal{D}' (\Omega)$. On dit que $u$ est
\emph{microlocalement de
classe} $ C^{\OO} $ en un point $(x_0,\xi_0)\in \Omega
\times (\R^{n}\setminus
0)$ s'il existe un ouvert $\omega $ vérifiant $x_0 \in
\omega \subset
\Omega $ et un cône ouvert $\Gamma $ de
$\R^{n}\setminus\LARA{0}$ contenant $\xi_0 $ tels que l'on ait
\begin{equation} \label{eqdecrgamma}
\forall \phi \in C^{\OO}_{0} (\omega),\ \forall N,\ \exists C\quad
\module{\widehat{\phi u}(\xi)} \leq C (1{+}\module{\xi})^{-N} \text{
\rm pour } \xi \in \Gamma.
\end{equation}

L'ensemble des $(x_0,\xi_0)$ où $u $ n'est pas microlocalement de
classe $ C^{\OO} $ est un fermé conique de $\Omega \times (\R^{n}\setminus
0)$ appelé le \emph{front d'onde de~$u$} et noté $\wf(u)$.
\end{definition}
\begin{enonce}[remark]{Exemples}
Dans $\R^{n}$, le front d'onde de $\delta $ est
${0}\times(\R^{n}\setminus\LARA{0})$. En~effet, pour $x_0 \neq0$, il suffit de choisir $\omega $ ne contenant pas~$0$
et les produits $\phi \delta $ seront nuls. En revanche, si $\phi
(0)\neq0$, la transformée de Fourier de $\phi \delta =\phi (0)\delta $
est la constante $\phi (0)$ qui ne décroît dans aucune direction.

Dans le plan, le front d'onde de $u=1\otimes \delta $ est formé des $(x_1,x_2,\xi_1,\xi_2)$ vérifiant $x_2 =\xi_1 =0$. On a en effet
d'après~\eqref{eq1tensordelta} et~\eqref{eqfourcomp}
\begin{equation*}
\widehat{\phi u}(\xi_1,\xi_2)= \int_{\R} e^{-ix_1 \xi_1} \phi (x_1,0)\dd x_1.
\end{equation*}
Au membre de droite figure une fonction ne dépendant que de $\xi_1 $ et
à décroissance rapide en cette variable. En tant que fonction de $(\xi_1,\xi_2)$ elle n'est à décroissance rapide dans un cône $\Gamma $
que si les points $(0,\pm1)$ ne sont pas adhérents à ce cône.

La fonction valant $1$ dans le demi-plan
supérieur et~$0$ dans le demi-plan inférieur a le même front d'onde
que la distribution précédente. Quant à la distribution $Y\otimes
\delta $, définie par $\bra{Y\otimes
\delta}{\phi}=\int_0^{\OO}\phi (x,0)\dd x$, son front d'onde est
formé des points du type $(x_1,0;0,\xi_2)$ avec $x_1 >0$ et des points
$(0,0;\xi_1,\xi_2)$. Les calculs sont analogues.

Donnons quelques situations géométriques généralisant ces
exem\-ples. Soit $S$ une hypersurface de classe $ C^{\OO} $ de $\Omega $,
soient $f_1 $ et $f_2 $ dans $ C^{\OO} (\Omega)$ et posons $u(x)=f_1
(x)$ d'un côté de l'hypersurface et $u(x)=f_2 (x)$ de l'autre. Alors
$\wf(u)$ est contenu dans l'ensemble $N^{*}{S}$ (le fibré conormal)
constitué des $(x,\xi)$ tel que $x$
appartienne à~$S$ et que $\xi$ soit normal à $S$ en ce point. Il est
même égal à $N^{*}{S}$, sauf si les développements de Taylor de
$f_1 $ et $f_2 $ sont identiques sur un ouvert non vide de $S$.

Le front d'onde d'une \og simple couche $C^{\OO}$\fg portée par $S$ est
aussi inclus dans $N^{*}{S}$. Il s'agit des distributions qui s'écrivent
$$\bra{u}{\phi}=\int_{S} D(x)\phi (x) \dd \sigma (x),$$ en notant
$d\sigma $ la mesure de surface, la densité $D\neq0$ étant une
fonction $ C^{\OO} $
donnée sur $S$.

On peut remplacer $S$ par une sous-variété $V$ de dimension $p$,
éventuellement munie d'un bord $\Gamma $. Le front d'onde d'une simple
couche portée par $V$ est contenu dans $N^{*}V$ dans le cas sans bord et
dans $N^{*}V\cup N^*\Gamma $ s'il y a un bord.
\end{enonce}
\begin{rema}
Lorsque $u$ et $\phi $ sont à valeurs réelles, on a
$\widehat{\phi u}(-\xi)
= \BAR{\widehat{\phi u}(\xi)}$, et il en résulte que $\wf(u)$ est
invariant par l'\emph{antipodie}  $(x,\xi)\mapsto (x,-\xi)$.

Lorsque $u$ est à valeurs complexes, le rôle des directions
antipodales est bien illustrée par le résultat suivant (pour un
intervalle $I$ en dimension~1).

Si $f$ est une fonction holomorphe dans l'intersection d'un voisinage
complexe de $I$ et du demi-plan supérieur [\resp inférieur], véri\-fiant
une estimation $\module{f(x{+}iy)} \!\leq\! C \module{\Im y}^{-N}\!$,
alors les fonctions~$x\!\mapsto\!
f(x\pm\nobreak i\epsilon)$ convergent dans $ \mathcal{D}' $, pour $\epsilon
\to 0+$ vers une distribution
notée $f(x \pm\nobreak i0)$, et on a
\begin{equation*}
\wf\LPRP[2]{f(x\pm i0)} \subset \{(x,\xi)\mid \pm \xi >0\}.
\end{equation*}

On trouvera définies dans l'exposé de B. Malgrange les distributions
$$\frac{1}{x\pm i0}= \vp\big(\sfrac{1}{x}\big)\mp i\pi \delta,$$ et on vérifiera
que leurs
transformées de Fourier, qui sont les fonctions $\mp 2i\pi Y(\pm\xi)$,
sont bien à décroissance rapide (en fait identiquement nulles) dans les
directions voulues.
\end{rema}
Nous avons reproduit ci-dessous les premiers dessins de fronts d'onde
qui aient jamais été publiés. Ils sont extraits de l'exposé de M.\,Sato
dans les actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice,
1970). L'auteur représente horizontalement les coordonnées $(x_1,x_2)$ du plan, et repère par leur angle $\theta \in [0,2\pi [$
les directions
du plan des $(\xi_1,\xi_2)$. Dans cette représentation, le fibré
conormal du cercle unité devient une hélice.

%\bigskip
\begin{figure}[htb]
%\psfrag{A}{\Small$\dfrac{1}{\sqrt{x_1^{2\vphantom{a^a}}+x_2^2-1}+i0}$}
\centerline{\includegraphics[scale=1]{xups03-02_fig2}}
\end{figure}

\begin{theo}
La projection sur $\R^{n}$ de $\wf(u)$ est $ \Suppsg (u) $.
\end{theo}
Si $x_0 \notin \Suppsg (u)$, la fonction $\widehat{\phi u}$ est à
décroissance rapide dans toutes les directions dès que le support
de $\phi $
est assez proche de $x_{0}$, ce qui montre qu'aucun $(x_0,\xi_0)$
n'appartient à $\wf(u)$. Réciproquement, si aucun $(x_0,\xi_0)$
n'appartient à $\wf(u)$, on peut pour chaque~$\xi_0 $ trouver $\omega $
et $\Gamma\ni \xi_0 $ tels que~\eqref{eqdecrgamma} soit valide. Le
théorème de
Borel-Lebesgue appliqué à la sphère de $\R^{n}$ permet de trouver un
nombre fini de tels couples $(\omega_j,\Gamma_j)$ de manière
que les $\Gamma_j $
recouvrent $\R^{n}\setminus\LARA0$. Pour $\phi \in C^{\OO}_{0} (\cap_j \omega_j)$ la fonction $\widehat{\phi u}$ est à décroissance rapide, ce
qui achève la démonstration.
\begin{prop} \label{propfrontdefu}
On a $\wf(\partial^\alpha u) \subset \wf(u)$ et $\wf(f u)
\subset \wf(u)$,
pour $f\in C^{\OO}_{0} (\Omega)$.
\end{prop}
Le premier point n'est pas difficile et, la condition étant de
caractère local, on peut supposer dans le second cas que $f\in
C^{\OO}_{0} (\Omega)$.
On~a alors
\begin{align*}
\widehat{\phi fu}(\xi) &= \bbra[2]{\phi u\,(x)}{
e^{-ix\cdot\xi}f(x)}\\
&= (2\pi)^{-n}\bbra[3]{\phi u\,(x)}{\int e^{-ix\cdot(\xi -\eta)}\widehat{f}(\eta)\dd\eta} \\
&=(2\pi)^{-n} \!\int \bbra[2]{\phi u\,(x)}{e^{-ix\cdot(\xi -\eta)}}
\widehat{f}(\eta)\dd\eta\\
&=(2\pi)^{-n}\int \widehat{\phi u}(\xi -\eta) \widehat{f}(\eta)\dd
\eta,
\end{align*}
nous avons utilisé la formule d'inversion de Fourier puis une
\og interversion des signes somme et crochet\fg analogue au théorème de
Fubini. Il reste à majorer l'intégrale (produit de convolution)
figurant au dernier membre pour montrer que, si $\widehat{\phi u}$ est à
décroissance rapide dans $\Gamma $, alors $\widehat{\phi fu}(\xi)$ est
à décroissance rapide dans tout cône~$\Gamma'$ d'adhérence
contenue dans~$\Gamma $.
\begin{rema} \label{remunephisuffit}
Pour vérifier que $(x_0,\xi_0)\notin \wf(u)$, il suffit de
vérifier que pour une seule fonction $\psi \in C^{\OO}_{0} (\Omega)$
telle que $\psi (x_0)\neq0$, la transformée de Fourier de
$\psi u$ est
à décroissance rapide dans un cône contenant $\xi_0 $. En effet,
si $\omega $ est un ouvert contenant $x_0 $ dans lequel~$\psi $ ne
s'annule pas, tout $\phi \in C^{\OO}_{0} (\omega)$ pourra
s'écrire $\theta
\psi $ avec $\theta \in C^{\OO}_{0} (\omega)$. Nous venons
de voir que la
décroissance rapide de $\widehat{\psi u}$ dans un voisinage
conique de $\xi_0 $ implique celle de $\widehat{\theta \psi u}$.
\end{rema}
\begin{enonce*}[remark]{Questions d'invariance}
Bien que la théorie du front d'onde soir essentiellement locale, il
aurait peut-être été plus éclairant de remplacer~$\R^{n}$ par un espace
vectoriel $E$ de dimension $n$. La transformée de Fourier ne peut être
définie alors que sur le dual $E^{*}$, en remplaçant
$x\!\cdot\! \xi$ dans
l'exponentielle par la relation de dualité entre $x\in E$
et $\xi \in E^{*}$. Le front d'onde d'une distribution devient alors un
sous ensemble de $\Omega \times E^*\setminus\LARA0$.

Lorsque nous avons étudié le front d'onde d'une fonction ayant une
discontinuité de première espèce le long d'une hypersurface $S$,
nous avons localisé son front d'onde dans le fibré conormal $N^{*}S$.
C'est bien sûr cohérent avec la remarque ci-dessus.
Ces vecteurs $\xi$ normaux à~$S$ en $x$ sont en fait des vecteurs
covariants (des éléments de $E^{*}$): ce~sont les différentielles
$df (x)$ des fonctions s'annulant sur $S$.

Si l'on se donne un difféomorphisme $F$ d'un ouvert $\Omega_1
\subset \R^{n}$ sur un
autre $\Omega_2 $, il n'est pas difficile de définir l'image inverse $F^{*}u\in \mathcal{D}' (\Omega_1)$ d'une distribution $u\in
\mathcal{D}' (\Omega_2)$. Cette opération, qui doit généraliser l'application $u\mapsto u
\Comp F$ définie pour les fonction, est donnée par
\begin{equation} % \label{}
\bra{F^{*}u}{\phi}= \Bra{u(y)}{\phi (F^{-1}(y))\module{\det F'(y)}}.
\end{equation}
On peut démontrer que l'on a
\begin{equation*} % \label{}
\wf(F^{*}u)= \bensemble{(x,\xi)}{\LPRP {F(x),
(^tF'(x))^{-1}\xi}\in \wf(u)},
\end{equation*}
c'est à dire que les vecteurs $\xi$ se transforment comme des vecteurs
cotangents à $\R^{n}$.

Ce qui précède permet de définir l'espace des distributions sur une
variété différentielle, et d'associer à chacune de celles-ci son
front d'onde, sous-ensemble conique du fibré cotangent.
\end{enonce*}


\section{Front d'onde et trace}
Si nous avons défini sans difficulté la restriction d'une distribution
à un ouvert, il est impossible de définir en général la restriction
d'une distribution à une sous-variété. Les sous-variétés étant
de mesure nulle, la difficulté existe
d'ailleurs déjà avec les éléments de $\lil$ qui ne sont que des
classes de fonction.

Toutefois, si l'on considère par exemple les (classes de) fonctions
caractéristiques d'un demi-plan $(x,y)\mapsto
Y(ax+by)$, on s'aperçoit que l'on peut très
raisonnablement définir leur restriction sur la droite $x=\nobreak0$ lorsque
$b\neq 0$ (ce sera $y\mapsto Y\LPRP[1.5]{\sgn(b)y}$) et que
l'obstacle n'existe que
pour les fonctions $(x,y)\mapsto Y(\pm x)$. Grâce au front d'onde,
cette remarque banale va devenir d'une portée très générale.

Nous allons écrire $n=p+q$ et noter $x=(x',x'') \in \R^{p}\times \R^{q}$
le point générique de $\R^{n}$. L'opération notée $\gamma $
de trace sur $\R^{p}$
(identifié au sous-espace de $ \R^{n} $ d'équation $x''=0$) est
définie pour les fonctions continues $u$ dans (un ouvert de) $\R^{n}$
par $\gamma u(x')=u(x',0)$.

Si $u\in C^{\OO}_{0} (\R^{n})$, il est facile de décrire cet opérateur
de trace à l'aide de la transformation de Fourier. On écrit la formule
d'inversion de Fourier qui est valable ponctuellement
\begin{equation*}
u(x',x'')= (2\pi)^{-p-q} \iint e^{-i(x'\cdot \xi'+x''\cdot\xi'')}\widehat{u(\xi',\xi'')} \dd{x',x''},
\end{equation*}
et on spécialise
\begin{equation*}
\gamma u\,(x')=f(x',0)=
\frac{1}{(2\pi)^p}\int_{\R^{p}} e^{-ix'\cdot\xi'}
\LARA{
\frac{1}{(2\pi)^q}\int_{\R^{q}} \widehat{u}(\xi',\xi'')\dd \xi''}\dd \xi'.
\end{equation*}
Il en résulte que la transformée de Fourier (dans $\R^{p}$) de la
fonction~$\gamma u$ est donnée par
\begin{equation} \label{eqdeffourtrac}
\widehat{\gamma u}(\xi') = \frac{1}{(2\pi)^q}\int_{\R^{q}}
\widehat{u}(\xi',\xi'')\dd \xi''.
\end{equation}
\begin{lemm} \label{lem1tracdist}
Soit $u$ une distribution à support compact, dont la
transformée de Fourier
est à décroissance rapide dans le cône défini par
$\module{\xi'} <\epsilon \module{\xi''} $, avec~\hbox{$\epsilon >0$}.
Il existe alors un unique élément noté $\gamma u$ de $ \mathcal{D}'
(\R^{p})$ dont la transformée de Fourier est donnée
par~\eqref{eqdeffourtrac}.

Si de plus $\widehat{u}$ est à décroissance rapide dans un voisinage
conique de $ \ensemble{(\xi',\xi'')}{ \xi'=\xi'_0}$, où $\xi
'_{0}\neq 0$,
alors $\widehat{\gamma u}$ est à décroissance rapide dans un voisinage
conique de $\xi'_0 $.
\end{lemm}
Pour $\xi'\neq 0$, on découpe bien sûr le domaine d'intégration
de~\eqref{eqdeffourtrac} en deux parties. On doit d'une part intégrer
pour $\module{\xi''} \geq \epsilon^{-1}\module{\xi'} $ une fonction
majorée par $C_{N}(1{+}\module{\xi'} {+}\module{\xi''})^{-N}$ pour
tout $N$, ce qui donne une fonction à décroissance rapide en
$\module{\xi'} $.

L'autre partie s'écrit
\begin{equation*}
\hbox{II}(\xi')= \int_{\xi''\leq \epsilon^{-1}\module{\xi
'}} \widehat{u}(\xi',\xi'')\dd \xi''.
\end{equation*}
Dans le domaine d'intégration, le rapport $\module{\xi}\!
/\module{\xi'} $ est
uniformément borné, et le volume de ce domaine est polynomial en
$\xi'$. La fonction~$\widehat{u}$ étant à croissance lente en~$\xi$, il
en résulte immédiatement que $\hbox{II}(\xi')$ est à croissance
lente en~$\xi'$. Sous la seconde hypothèse, pour $\xi'$ appartenant à
un voisinage conique de $\xi_0 $, on doit intégrer une fonction
majorée par $C_{N}(1+\module{\xi'})^{-N}$ pour tout $N$ sur une boule
de rayon proportionnel à $\module{\xi'} $ et le résultat est à
décroissance rapide en~$\xi'$.

En résumé, l'intégrale fournit une fonction à croissance lente,
donc un élément de $ \mathcal{S}' $, et nous savons qu'il existe une
distribution $\gamma u\in \mathcal{S}' $ dont c'est la transformée de
Fourier.

\begin{lemm} \label{lem2tracdist}
Soient $\phi \in C^{\OO}_{0} (\R^{n})$ et $u\in \mathcal{D}'
(\R^{n})$ vérifiant les conditions du lemme précédent.
Les traces étant définies comme ci-dessus, on a $\gamma
(\phi u)=\phi(x',0) \gamma u$.
\end{lemm}
L'argument vu dans la démonstration de la
proposition~\ref{propfrontdefu} montre que l'on~a (à des puissances de
$2\pi $ près qui alourdiraient la typographie)
\begin{equation*}
\mathcal{F}\LPRP[1.5]{\gamma (\phi u)}(\xi') \simeq \iiint
\widehat{u}(\xi'{-}\eta',\xi''{-}\eta'') \widehat{\phi}(\eta
',\eta'') \dd{\eta',\eta'',\xi''}.
\end{equation*}
En prenant comme nouvelles variables d'intégration $\eta'$, $\eta''$
et $\xi''-\eta''$, on obtient
\begin{equation*}
\mathcal{F}\LPRP[1.5]{\gamma (\phi u)}(\xi') \simeq
\int \widehat{u}(\xi'-\eta') \widehat{\gamma \phi}(\eta')\dd \eta'
\end{equation*}
ce qui est précisément (les $2\pi $ et autres détails sont
laissés au lecteur)
la transformée de Fourier $p$-dimensionnelle du produit $(\gamma
\phi)(\gamma u)$.

Une conséquence immédiate de ce lemme
est que $\gamma u$ est à support compact, et plus généralement que
l'on a $ \Supp (\gamma u) \subset \ensemble{x'}{(x',0)\in \Supp (u)}$.

\begin{enonce}{Théorème et définition} \label{thdeftrace}
Soient $\Omega $ un ouvert de $\R^{n}$ et
\[
\Omega'=\ensemble{x'}{(x',0)\in
\Omega}
\]
sa trace sur $\R^{p}$. Le fibré conormal de $\Omega'$ est
l'ensemble $$N^*\Omega' = \bensemble{(x,\xi)}{x'\in \Omega',\; x''=0,\; \xi'=0,\; \xi''\neq0}.$$

Si $u\in \mathcal{D}' (\Omega)$ vérifie $\wf(u)\cap
N^*\Omega=\emptyset$, sa trace $\gamma u$ est bien définie dans $
\mathcal{D}' (\Omega')$. De plus
\begin{equation*}
\wf(\gamma u) \subset \bensemble{(x',\xi')}{\exists \xi'',\ (x',0,\xi
',\xi'')\in \wf(u)}
\end{equation*}
\end{enonce}
Sous les conditions de l'énoncé, on peut trouver une partition de
l'unité $\sum \chi_{j}=1$, telle que ou bien le support de $\chi $ ne
coupe pas $x''=0$, ou bien le produit $\chi u$ vérifie la condition du
lemme~\ref{lem1tracdist}. On pose alors $\gamma u=\sum \gamma (\phi_j u)$,
le lemme~\ref{lem2tracdist} garantissant que cette somme est localement
finie. On vérifie enfin que le résultat ne dépend pas de la partition
utilisée.

Il reste à montrer que si $A= \ensemble{(x'_0,0,\xi'_0,\xi'')}{\xi''\in \R^{q}}$ est disjoint de
$\wf(u) $ alors $(x'_0,\xi'_0)\notin\wf(u)$. En choisissant la partition
de l'unité suffisamment fine, la transformée de Fourier des $\chi_{j}u$
qui ne s'annulent pas au voisinage de $x_0 $ va être à décroissance
rapide dans un voisinage conique de $A$, et le résultat découle de la
seconde partie du lemme~\ref{lem1tracdist}.
\begin{rema}
Le front d'onde étant fermé, l'hypothèse du théo\-rème permet,
pour $y''$ assez voisin de
$0$ de définir la trace (notée $u_{y''}$) sur le sous-espace d'équation
$x''=y''$. Pour $\omega'$ d'adhérence contenue dans~$\Omega'$ et pour
$y''$ assez petit, on définit ainsi une application \hbox{$y''\mapsto u_{y''}$}
à valeur dans $ \mathcal{D}' (\omega')$
dont on démontre qu'elle est continue et même indéfiniment
différentiable.
\end{rema}
\begin{rema}
On peut plus généralement définir la restriction d'une
distribution
$u$ à une sous variété $V \subset \Omega $, pourvu que
$N^*V\cap\wf(u)$
soit vide.
\end{rema}


\section{Front d'onde et produit}
Pour des fonctions $f$ et $g$ définies sur un ensemble quelconque~$X$, il~est une
manière assez détournée de définir leur produit: 1.\,cons\-truire leur
produit tensoriel, c'est-à-dire la fonction $H$ définie sur $X\times X$
par $H(x,y)=f(x)g(y)$~; 2. considérer la restriction de celle-ci
à la diagonale,
c'est-à-dire poser $h(x)=H(x,x)$. Cet artifice rend de grands services
lorsque la définition directe d'un produit est moins évidente.

Le produit tensoriel de deux distributions $u \in \mathcal{D}' (\Omega_1)$, $\Omega_1 \subset \R^{p}$ et $v \!\in\! \mathcal{D}' (\Omega_2)$, $\Omega_2 \!\subset\! \R^{q}$,
est toujours défini comme élément de \hbox{$ \mathcal{D}' (\Omega_1
\!\times\! \Omega_2)$} et il
n'est pas difficile d'en estimer le front d'onde à partir de celui des
facteurs. Soit $(x_0,\xi_0)\in \Omega_1 \times (\R^{p}\setminus
\LARA0)$ n'appartenant pas à $\wf(u)$ et soit
$(y_0,\eta_0)\in \Omega_2 \times (\R^{q}\setminus \LARA0)$. Choisissons
$\phi_j \in C^{\OO}_{0} (\Omega_j)$ ne s'annulant pas en $x_0 $
[ou $y_{0}$] et à support assez petit, et posons $w=\phi_1 (x)\phi_2
(y)u \otimes v= (\phi_1 u)\otimes (\phi_2 v)$. On a
\begin{equation} \label{eqfourtenso}
\widehat{w}(\xi_1,\xi_2)= \widehat{\phi_1 u_1}(\xi_1)  \widehat{\phi_2 u_2}(\xi_2).
\end{equation}
Dans un voisinage conique assez petit de $(\xi_0,\eta_0)$, que l'on
pourra prendre de la forme $\Gamma_1 \times \Gamma_2 $, les rapports des
trois quantités $\module{\xi} $, $\module{\eta} $ et
$\module{(\xi,\eta)} $
restent bornés par des constantes fixes. Le membre de droite
de~\eqref{eqfourtenso},
qui est le produit d'une fonction à décroissance rapide et d'une fonction
à croissance lente, y est donc à décroissance rapide. D'après la
remarque~\ref{remunephisuffit}, cela suffit à montrer que $(x_0,y_0,\xi_0,\eta_0)$ n'appar\-tient pas à $\wf(u\otimes v)$. En y adjoignant le
résultat symétrique en~$u$ et~$v$, on a donc montré le résultat
suivant.
\begin{theo} \label{thwftenso}
Avec les notations précédentes, on a
\begin{multline*} %
\wf(u\otimes v) \subset
\ensemble{(x,y,\xi,\eta)}{(x,\xi)\in \wf(u) \text{ et } (y,\eta)\in\wf(v)}\\
\cup \ensemble{(x,y,\xi,0)}{ (x,\xi)\in \wf(u)\text{ et } y \in \Supp
(v)}\\
\cup   \ensemble{(x,y,0,\eta)}{ x\in \Supp(u)\text{ et }
(y,\eta)\in \wf (v)}.
\end{multline*}
\end{theo}

Pour énoncer le théorème suivant, nous utilisons la notation $M^{\rm
a}$ pour désigner l'\emph{antipodal} d'un sous-ensemble $M \subset
\R^{n}\times (\R^{n}\setminus\LARA0)$. C'est l'ensemble des $(x,\xi) $
tels que $(x,-\xi)\in M$.
\begin{theo}
Soit $\Omega $ un ouvert de $\R^{n}$ et soient $u$ et $v$ appartenant
à $ \mathcal{D}' (\Omega) $. Alors leur produit $uv$ est bien défini sous
l'hypothèse suivante
\begin{equation*}
\wf(u)\cap \LPRP{\wf(v)}^{\rm a}=\emptyset.
\end{equation*}

On a de plus
\begin{multline*}
\wf(uv) \\
\subset \bensemble{(x,\xi)}{\exists \eta_1,\exists \eta_2,\,
\xi {=}\eta_1 {+}\eta_2,\,
(x,\eta_1)\!\in\wf(u),\, (x,\eta_2)\in\wf(v)}.
\end{multline*}
\end{theo}

Il s'agit en fait d'une conséquence simple des théorèmes~\ref{thdeftrace}
et~\ref{thwftenso}. La restriction de $u\otimes v$ à la diagonale est
bien définie, pourvu que le front d'onde de $u\otimes v$ ne rencontre pas
le fibré normal de la diagonale, c'est-à-dire l'ensemble des
$(x,x,\xi,-\xi)$. Un tel point ne peut appartenir à $\wf(u\otimes v)$
que si $(x,\xi)\in\wf(u)$ et $(x,-\xi)\in\wf(v)$, ce qui donne la
première partie de l'énoncé.

La seconde partie de l'énoncé résulte aussi du théorème
~\ref{thdeftrace}
une fois remarqué que l'application de projection $(\xi',\xi'')\mapsto \xi'$
avec les notations de ce théorème, devient ici l'application $(\eta_1,\eta_2)\mapsto \eta_1 {+}\eta_2 $.

\begin{enonce*}[remark]{Front d'onde et EDP}
Les théorèmes précédents, qui relèvent purement de la théorie
des distributions, sont un peu un sous-produit de la théorie des équations
aux dérivées partielles, où l'on trouve les principales raisons de
l'introduction du front d'onde. Nous ne citerons que deux résultats
importants
et faciles à énoncer.

On se donne une équation aux dérivées partielles linéaire~d'ordre~$m$, dont les coefficients $a_{\alpha}$ sont réels et de classe $
C^{\OO} $:
\begin{equation} \label{eqedp}
P(x,\partial_{x})u \overset{\mathrm{def}}{=}
\sum_{\module{\alpha} \leq m} a_{\alpha}(x) \partial^{\alpha}u(x) = f(x).
\end{equation}
La distribution $f$ est donnée et la distribution $u$ est l'inconnue.

À cette équation sont associés plusieurs invariants:
\begin{itemize}
\item
Le \emph{symbole principal} $p_{m}(x,\xi)=\sum_{\module{\alpha} =m}a_{\alpha}(x)\xi^{\alpha}$. C'est une fonction $ C^{\OO} $ sur $\Omega \times \R^{n}$
polynomiale et homogène de degré $m$ en~$\xi$.

\item
La \emph{variété caractéristique} $\ensemble{(x,\xi)\in \Omega \times(\R^{n}\!\setminus\!\LARA0)}{p_{m}(x,\xi)\!=\!0}$ notée $\car(P)$.
\item
Le champ de vecteurs sur $\Omega
\times(\R^{n}\setminus\LARA0)$ dont les composantes sont les $(\partial
p_{m}/\partial_{\xi_j}; -\partial p_m/\partial_{x_j})$ appelé
\emph{champ
hamiltonien} de $p_{m}$. Ses courbes intégrales sont appelées les
\emph{bicaractéristiques} de l'équation.
\end{itemize}

Nous pouvons maintenant énoncer les deux résultats (L.\,Hörman\-der, 1970)
qui marquent l'apparition du front d'onde dans le paysage mathématique.
\begin{itemize}
\item
\emph{Si $u$ est une solution de~\eqref{eqedp}, on a}
\begin{equation*}
\wf(u) \subset \wf(f)\cup \car(P).
\end{equation*}

\item
\emph{Lorsque $f$ est de classe $C^{\OO}$, le front d'onde de $u$
est non seulement contenu dans $\car(P)$, mais c'est une réunion de
bicaractéristiques. Si $(x_0,\xi_0)$ et $(y_0,\eta_0)$ sont sur la
même bicaractéristique, l'un des points ne peut appartenir à $\wf(u)$
sans que l'autre y appartienne aussi}.
\end{itemize}
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{Indications bibliographiques}
Il existe bien sûr de multiples ouvrages consacrés à la théorie des
distributions. Pour le front d'onde et ses applications, la meilleure
référence est le tome 1 du traité de L.\,Hörmander \emph{The Analysis of
Linear Partial Differential Operators} (Springer).
\end{enonce*}

\backmatter
\end{document}