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\def\CDRdoi{10.5802/xups.2003-00}


\begin{document}
\frontmatter
\title{Dans le sillage de Laurent Schwartz. Préface des éditeurs}

\author[\initial{N.} \lastname{Berline}]{\firstname{Nicole} \lastname{Berline}}
\address{UMR 7640 du CNRS, Centre de Mathématiques, École Polytechnique, F-91128 Palaiseau cedex, France}

\author[\initial{C.} \lastname{Sabbah}]{\firstname{Claude} \lastname{Sabbah}}
\address{UMR 7640 du CNRS, Centre de Mathématiques, École Polytechnique, F-91128 Palaiseau cedex, France}


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\chapterspace{-5}
\chapter*{Préface}

Laurent Schwartz est décédé le 4 juillet 2002. Il est le fondateur du Centre de mathématiques de l'École polytechnique. Il y avait institué les journées X-UPS de mathématiques dans les années 1970. Pour honorer sa mémoire, les journées 2003 ont été consacrées à certains aspect de la théorie des distributions et le présent volume lui est dédié.

La notion de distribution, qui a valu la médaille Fields à Laurent Schwartz en 1950, est une extension de la notion de fonction de plusieurs variables réelles qui a joué un rôle très important en mathématiques, unifiant une multitude de concepts développés au début du \textsc{xx}\ieme siècle.

Les distributions sur un ouvert de $\RR^n$ peuvent être dérivées et multipliées par des fonctions $C^\infty$. La transformation de Fourier $u(x)\mto\wh u(\xi)$ se prolonge continûment à l'espace des distributions \emph{tempérées} sur $\RR^n$, elle échange dérivations partielles et multiplication par des monômes, et la formule d'inversion reste valable. De cette façon, un opérateur différentiel à coefficients constants $P(\partial_x)$ se trouve transformé en l'opérateur de multiplication par le polynôme $P(\xi)$ et la résolution de l'équation $P(\partial_x)u=v$ se ramène au problème de la division de la distribution $\wh v(\xi)$ par le polynôme~$P(\xi)$.

Le problème de la division des distributions par un polynôme est étudié dans les exposés de Bernard Malgrange et Claude Sabbah.

B.~Malgrange montre que l'un des points importants est de donner un critère de divisibilité d'une fonction $C^\infty$ par un polynôme, et de montrer que cette opération de division est continue lorsque l'espace des fonctions $C^\infty$ est muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de la fonction et de ses dérivées.

Nous avons cru utile de reproduire intégralement\footnote{Nous remercions la direction de l'IMPA, ainsi que Mmes Schwartz et Robert, de nous avoir autorisés à reproduire ce texte.} un \hbox{article} de Laurent Schwartz paru en 1955 dans la revue \textit{Summa Brasiliensis \hbox{Mathematicae}} (éditée par l'Instituto de Matematica Pura et Applicada au Brésil), vol.\,2, fasc.\,9, 1955, p.\,181--209. L.~Schwartz y traite de la division d'une \hbox{fonction}~$C^\infty$ de $2n$ variables réelles $x_j,y_j$ par une fonction \emph{holomorphe} des $n$ variables complexes $x_j+iy_j$. Bien que le résultat soit maintenant un cas particulier du théorème général de Lars Hörmander et Stanis\l aw \L ojasiewicz exposé par B.~Malgrange, il n'en présente pas toutes les difficultés techniques, et de ce fait l'article de L.~Schwartz donne une approche très précise de l'enchaînement des idées qui interviennent dans le problème de la division.

Ce texte nous montre aussi la clarté de la rédaction de L.~Schwartz, ainsi que quelques principes pédagogiques qu'il aimait à employer, par exemple la répétition de la même idée sous différents éclairages.

On trouvera aussi, à la suite de de l'article de B.~Malgrange, une évocation par celui-ci\footnote{Nous remercions la Société mathématique de France de nous autoriser à publier ce texte, paru dans le numéro 96 de la \emph{Gazette des mathématiciens}.} de Stanis\l aw \L ojasiewicz, disparu à l'automne 2002.

C.~Sabbah expose une autre méthode de division d'une distribution~$v$ par un polynôme, fondée sur la transformation de Mellin. Cette approche, qui remonte au moins aux années 1950, a été développée par Israel M.~\hbox{Gelfand} dans sa théorie des \og fonctions généralisées\fg. La solution du problème correspondant, finalement très simple, a été donnée par Joseph N.~Bernstein au début des années 1970. C'est elle qui est présentée dans le texte de C.~\hbox{Sabbah}.

La notion de \emph{front d'onde} a été introduite en 1969--1970 indépendamment par Mikio Sato et Lars Hörmander pour l'étude des équations aux dérivées partielles. En particulier, l'existence d'équations aux dérivées partielles satisfaites par une distribution impose des conditions à son front d'onde (L.~Hörmander, 1970). Certaines opérations, élémentaires pour les fonctions, comme le produit ou la restriction à une hypersurface, n'ont plus de sens pour les distributions en général. Jean-Michel Bony définit le front d'onde et montre que cette notion permet de comprendre dans quel cas ces opérations gardent un sens.

Nous tenons à remercier la direction de l'École polytechnique, et tout particulièrement la Direction des Études, pour l'aide matérielle importante qu'elles ont apportée à la préparation des journées X\nobreakdash-UPS. Nous remercions les Éditions de l'École polytechnique qui ont bien voulu accueillir la série \emph{Journées mathématiques X-UPS} au sein de leurs collections.

Nous remercions aussi les secrétaires du Centre de mathématiques, notamment Claudine Harmide et Michèle Lavallette, pour leur contribution à l'organisation de ces journées.


\vspace*{.5cm}
\hfill {\sl Nicole Berline et Claude Sabbah}\hspace*{2cm}\mbox{}

\end{document}
