\documentclass[XUPS,XML,SOM,Unicode,francais,NoFloatCountersInSection]{cedram}
\graphicspath{{xups02-03_figures}}
\setcounter{tocdepth}{2}
\usepackage{xups02-03}

\begin{document}
\frontmatter
\title{La fonction zêta de Riemann et~les~probabilités}

\author[\initial{Ph.} \lastname{Biane}]{\firstname{Philippe} \lastname{Biane}}
\address{CNRS,
Département de Mathématiques et Applications,
École Normale Supérieure,
45, rue d'Ulm 75005 Paris,
France}
\email{philippe.biane@univ-eiffel.fr}
\urladdr{http://monge.univ-mlv.fr/~biane/}

\begin{abstract}
On présente quelques interactions entre les probabilités et la fonction zêta de Riemann, d'une part on s'intéresse à la conjecture de Montgomery sur les corrélations de paires de zéros critiques de zêta, et d'autre part on montre comment l'étude des excursions du mouvement brownien amène à considérer des lois de probabilités dont les moments s'expriment à l'aide de $\zeta$.
\end{abstract}

\thanks{Journées X-UPS 2002. La fonction zêta. Éditions de l'École polytechnique, 2002}

\maketitle
\vspace*{-\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\section {Introduction}
Depuis quelques
années, sous l'influence notamment du physicien et théoricien des
nombres F.\,J.\,Dyson,
des idées probabilistes ont pénétré le domaine de la théorie des
nombres, et tout particulièrement celui de
l'étude de la fonction zêta de Riemann.
Sans essayer d'offrir un panorama complet de ces relations
entre probabilités et théorie des nombres, je vais tenter
d'expliquer, sur deux exemples,
comment ces domaines apparemment éloignés peuvent entretenir des relations
étroites.

Le premier exemple que nous considérerons est celui de la théorie des
matrices aléatoires, et ses applications à l'étude des zéros de la
fonction zêta de Riemann.
L'origine de l'intérêt pour les matrices aléatoires en théorie des
nombres remonte aux travaux de H. L. Montgomery sur la distribution des
différences entre zéros de la fonction zêta. On note ici
$\rho=1/2+i\gamma$ les zéros non triviaux
de la fonction zêta (on ne s'intéressera pas aux zéros triviaux
$-2,-4,\dots$), et on suppose
que l'hypothèse de Riemann est vérifiée, c'est-à-dire que les nombres~$\gamma$ sont réels. On rappelle que les zéros sont répartis
symétriquement par rapport à 1/2 (d'après l'équation fonctionnelle de
$\zeta$) et que le nombre de zéros dont la partie
imaginaire est dans l'intervalle $[0,T]$ est équivalent à
$\frac{T}{2\pi}\log T$ lorsque $T\to\infty$, par conséquent, sur
l'intervalle $[0,T]$ la densité moyenne de zéros est
$\frac{1}{2\pi}\log T$,
et l'espacement moyen entre deux zéros consécutifs est
$\frac{2\pi}{\log T}$.
Montgomery s'est intéressé à la répartition asymptotique des
écarts $\gamma-\gamma'$
où $(\gamma,\gamma')$ décrit l'ensemble des
couples de zéros dans l'intervalle $[0,T]$. On renormalise ces écarts par
un facteur $\frac{\log T}{2\pi}$ afin de ramener l'écartement moyen à~$1$, et
on s'intéresse donc à
$N_{a,b}(T) $, le nombre de couples $\gamma,\gamma'$
dans $[0,T]$ qui vérifient
$\gamma-\gamma'\in\left[\frac{2\pi a}{\log T},\frac{2\pi b}{\log T}\right[$,
où $a$ et $b$ sont deux réels.
Montgomery a été amené à conjecturer,
à la suite de calculs que nous évoquerons dans le paragraphe 2.1,
le comportement asymptotique suivant\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{equation}\label{paircor}
N_{a,b}(T)=\frac{T}{2\pi}\log T\biggl(\int_{a}^{b}1-\Bigl(\frac{\sin\pi u}{\pi
u} \Bigr)^2du+o(1)\biggr)
\end{equation}
pour $0<a<b$.
Montgomery se trouvait à Princeton
en même
temps que F.\,J.\,Dyson, lorsqu'il fit cette conjecture.
Lors d'une conversation avec celui-ci, il apprit,
à son grand étonnement, que ce
comportement asymptotique était
exactement le même que celui
de la répartition des écarts entre
les valeurs propres d'une matrice hermitienne
de grande taille, choisie au hasard avec une loi gaussienne,
un résultat bien connu des physiciens théoriciens.
On expliquera au paragraphe \ref{subsec:2.2}
les motivations des physiciens pour étudier ce problème ainsi que
les calculs subtils
qui mènent à sa solution. La coïncidence troublante entre la conjecture de
Montgomery et les résultats des physiciens sur les matrices
aléatoires éclaire d'un jour nouveau la suggestion, due
à Pólya et Hilbert, que les nombres $\gamma$ devraient être les valeurs
propres d'un opérateur auto-adjoint opérant
sur un espace de Hilbert.
L'existence d'un tel opérateur, qui entraînerait en particulier
la validité de l'hypothèse de Riemann, reste encore conjecturale, mais
cette possibilité a amené A.\,Odlyzko à essayer de vérifier
expérimentalement la conjecture de Montgomery. Après des calculs
poussés, que nous évoquerons au paragraphe \ref{subsec:2.3},
il a pu vérifier que les zéros de la fonctions zêta se
conforment aux prédictions du modèle des matrices aléatoires avec une
grande précision. Nous verrons également
comment l'heuristique des matrices aléatoires a conduit J.\,Keating et N.\,Snaith à proposer des conjectures remarquables pour le comportement
asymptotique des moments de la fonction zêta sur la droite critique, un problème qui remonte aux travaux de Hardy et Littlewood.

Malgré des confirmations expérimentales convaincantes,
les relations entre probabilités et fonction zêta évoquées ci-dessus
restent en grande partie conjecturales, c'est pourquoi j'ai choisi de
parler également d'autres connections,
probablement plus anecdotiques du point de vue de la
fonction zêta de Riemann, mais qui font intervenir le mouvement brownien,
sans doute l'objet le plus important, et en tous cas le plus étudié,
de la théorie moderne des probabilités. On verra que la fonction $\xi$ de
Riemann, qui permet d'exprimer de façon symétrique
l'équation fonctionnelle de la fonction zêta, est la transformée de
Mellin d'une mesure de probabilités qui apparaît
dans l'étude du mouvement brownien, et plus particulièrement
dans la théorie des excursions, ce qui nous donnera l'occasion
d'exposer les rudiments de cette théorie. Nous donnerons également
une interprétation probabiliste de l'équation fonctionnelle
de zêta, et nous expliquerons comment des raisonnements probabilistes
amènent de façon naturelle
à une renormalisation de la série $\sum_1^\infty (-1)^n
n^{-s}$, qui converge
dans tout le plan complexe.

\section{Corrélations entre zéros de la fonction zêta de Riemann et
matrices aléatoires}
\Subsection{La conjecture de Montgomery sur les corrélations de paires}\label{subsec:2.1}
Le point de départ du travail de Montgomery \cite{M} a été l'étude
du comportement asymptotique de la
transformée de Fourier de la distribution des écarts entre les nombres
$\gamma$.
Plus précisément, il a considéré la quantité\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{equation}\label{FA}
F(\alpha)=\Big(\frac{T}{2\pi}\log T\Big)^{-1}\sum_{0\leq
\gamma,\gamma'\leq T}T^{-i\alpha(\gamma-\gamma')}
\frac{4}{4+(\gamma-\gamma')^2}.
\end{equation}
Au facteur $\frac{4}{4+(\gamma-\gamma')^2}$ près, qui sert à atténuer la
contribution des grands écarts, il s'agit de la transformée de Fourier de
la distribution des nombres $(\gamma-\gamma')\frac{\log T}{2\pi}$.
Sous l'hypothèse de Riemann,
il est clair que $F$ est à valeur réelles, et est une fonction
paire de $\alpha$.
Toujours en supposant que l'hypothèse de Riemann est vraie,
Montgomery a montré que
pour tout $\alpha\in[0,1[$ on a\vspace*{-3pt}
\begin{equation}\label{FA2}F(\alpha)=(1+o(1)){T}^{-2\alpha}\log T+
\alpha+o(1);\qquad T\to\infty,
\end{equation}
le terme d'erreur étant uniforme pour $\alpha\in[0,1-\varepsilon[$,
pour tout $\varepsilon>0$. La démonstration de ce résultat,
trop technique pour être décrite en détail ici, repose sur une
\og formule explicite\fg reliant les zéros de la fonction zêta
et les nombres premiers, qui s'écrit, en supposant toujours
l'hypothèse de Riemann vérifiée, avec $t\in\mathbb R$ et $x\geq 1$,\vspace*{-3pt}
\begin{multline}\label{expl}
2\sum_{0\leq \gamma\leq T}\frac{x^{i\gamma}}{1+(t-\gamma)^2}\\
=-x^{1/2}\Big(\sum_{n\leq x}\Lambda(n)\left(\frac{x}{n}\right)^{-1/2+it}
+\sum_{n> x}\Lambda(n)\left(\frac{x}{n}\right)^{3/2+it}\Big)\\
+x^{-1+it}(\log(|t|+2)+O(1))+O(x^{1/2}/(|t|+2)),
\end{multline}
où $\Lambda$ désigne la fonction arithmétique définie par
$\Lambda(n)=\log p$ si $n$ est une puissance du nombre premier $p$, et
$\Lambda(n)=0$ sinon.
En appelant $G(t,x)$ le membre de gauche de (\ref{expl}), on vérifie
en effet facilement que
$$\int_0^T \vert G(t,T^\alpha)\vert^2dt=F(\alpha)T\log T+O(\log^3T)$$
et (\ref{FA2}) provient alors d'une estimation délicate de
$\int_0^T \vert D(t,T^\alpha)\vert^2dt$ où $D(t,x)$
désigne le membre de droite de (\ref{expl}).
Cette estimation n'est possible que si \hbox{$\alpha\in [0,1[$}, mais
des arguments heuristiques ont amené Montgomery à conjecturer que, toujours sous l'hypothèse de Riemann, on avait
$F(\alpha)=1+o(1)$, pour $\alpha\geq 1$, uniformément sur tout compact,
ce qui détermine le comportement asymptotique de $F$
sur $\mathbb R$ tout entier. En effet,
d'après la formule d'inversion de Fourier
et (\ref{FA}), on a
\begin{multline}\label{tf}
\sum_{\gamma,\gamma'}r\Big((\gamma-\gamma')\frac{\log T}{2\pi}\Big)
\frac{4}{4+
(\gamma-\gamma')^2}\\
=\Big(\frac{T}{2\pi}\log T\Big)\int_{-\infty}^{+\infty}
F(\alpha)\hat r(\alpha)d\alpha
\end{multline}
où $\hat r$ désigne la transformée de Fourier de $r$,
$$\hat r(\alpha)=\int_{-\infty}^{+\infty}r(x)e^{-2i\pi\alpha x}dx.$$
Si on applique (\ref{tf}) à la fonction $r$ telle que
$r(u)=1$ si $u\in[a,b]$, et $r(x)=0$ sinon, avec
$0<a<b$, on obtient
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}\hat r(\alpha)T^{-2|\alpha|}\log T d\alpha&=
\int_{-\infty}^{\infty}\hat r(\alpha/\log T)e^{-2|\alpha|}d\alpha\\
&=\hat r(0)+o(1)=b-a+o(1)\\
\int_{-\infty}^{\infty}\hat r(\alpha)d\alpha&=r(0)=0.
\end{align*}
En appliquant la formule de Plancherel,
$$\int_{-\infty}^{\infty}\hspace*{-2mm}\hat r(\alpha)\min(1-|\alpha|,0)d\alpha
=\int_{-\infty}^{\infty}\hspace*{-2mm} r(x)\Big(\frac{\sin\pi x}{\pi x}\Big)^2dx
=\int_a^b\hspace*{-2mm}\Big(\frac{\sin\pi x}{\pi x}\Big)^2dx.$$
En combinant ces calculs à l'estimation
$$
F(\alpha)=(1+o(1)T^{-2|\alpha|}\log T+1-\min(1-|\alpha|,0)+o(1),
$$
on trouve bien
(\ref{paircor}).

\subsection{ Le GUE}\label{subsec:2.2}

D'après la théorie quantique, les niveaux d'énergie
d'un système atomique sont les valeurs propres
d'un opérateur
hermitien dans l'espace de Hilbert, le hamiltonien du système. Lorsque le
système atomique contient beaucoup de particules élémentaires, il y a
une profusion de niveaux d'énergie et le
hamiltonien est trop complexe pour être diagonalisé numériquement.
C'est dans ce contexte que
le physicien E.\,Wigner a eu l'idée de
modéliser les niveaux d'énergie d'un tel hamiltonien par les
valeurs propres d'une matrice hermitienne aléatoire
de grande taille. L'espoir de Wigner
était que les propriétés statistiques
des niveaux d'énergie, par exemple la distribution de leurs écartements,
coïncideraient avec celles des matrices
aléatoires.
Après de nombreux travaux théoriques et expérimentaux l'intuition de
Wigner s'est révélée fondée et on observe, pour de nombreux
systèmes quantiques, une bonne correspondance entre l'expérience
et les prédictions
du modèle des matrices aléatoires,
on pourra par exemple consulter l'introduction du livre de Mehta
\cite{M} sur
ces questions.

Je vais expliquer maintenant comment on décrit la structure statistique
des valeurs propres d'une grande matrice aléatoire.
Le terme GUE --- un acronyme pour Gaussian Unitary Ensemble ---
désigne, dans la littérature physique, l'espace
des matrices hermitiennes de taille $N\times N$, que nous noterons
${\mathcal
H}_N$,
muni de la mesure de
probabilités gaussienne standard, dont la densité est
$(2\pi)^{-N^2/2}\exp(-\Tr(M^2)/2)$
par rapport à la mesure de Lebesgue sur ${\mathcal
H}_N$.
Nous allons considérer la loi
des valeurs propres d'une matrice aléatoire tirée avec la loi
du GUE.
Toute matrice hermitienne $M_0$ peut s'écrire sous la forme
$U_0X_0 U_0^*$, où $U_0$ est une matrice
unitaire et $X_0$ une matrice diagonale, formée avec
les valeurs propres de $M_0$.
Considérons l'application
$(X,S)\mapsto U_0e^{iS}Xe^{-iS}U_0^*$ où $X$ parcourt
l'ensemble des matrices réelles diagonales et $S$ celui des matrices
hermitiennes. La
différentielle en $(X_0,0) $ de cette application
est $(X,S)\mapsto X+
U_0[X_0,S]U_0^*$ où $[X,Y]=XY-YX$ désigne le commutateur de deux matrices.
Si $M_0$ est générique (toutes ses valeurs propres sont distinctes),
le noyau de la différentielle est le sous-espace des couples
$(0,S)$ où $S$ est
diagonale. Il s'ensuit, par le théorème des fonctions implicites,
que $(X,S)\mapsto U_0e^{iS}Xe^{-iS}U_0^*$, restreint au sous espace des $S$
dont les coefficients diagonaux sont nuls,
est un difféomorphisme
entre un voisinage de $(X_0,0)$ et un voisinage de $M_0$. En identifiant un
couple $(X,S)$ à la matrice $X+S$ on peut calculer les valeurs propres de ce
changement de variables, ainsi que son Jacobien
en $(X_0,0) $ qui vaut
$\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2$ où les $x_i$ sont les valeurs propres de $X_0$, donc
de $M_0$. Finalement avec la formule de changement de variables,
on voit que pour toute fonction symétrique en $N$ variables
$f(x_1,\dots,x_N)$, on~a, en notant $x_1(M),\dots,x_N(M)$ les valeurs propres
d'une matrice $M$,
\begin{multline*}
\int_{\mathcal H_N}f(x_1(M),\dots,x_N(M))
\frac{e^{-\Tr(M^2)/2}}{(2\pi)^{N^2/2}}dM\\
=\frac{1}{Z_N}\int_{\mathbb R^N}f(x_1,\dots,x_N)\prod_{1\leq i<j\leq
N}(x_i-x_j)^2e^{-\sum_{n=1}^Nx_n^2/2}dx_1\cdots dx_N,
\end{multline*}
où $Z_N$ est une constante de normalisation que nous calculerons plus loin.
La densité de la
loi des valeurs propres de $M$ est donc,
\begin{equation}\label{dens}
P^{(N)}(x_1,\dots,x_N)=\frac{1}{Z_N}\prod_{1\leq i<j\leq N}(x_i-x_j)^2
e^{-\sum_{i=1}^{N}x_i^2/2}.
\end{equation}
La connaissance de cette densité va nous permettre de calculer
l'espérance de variables aléatoires du type
$$N_f=\sum_{\substack{(i_1,\dots,i_n)\in[1,N]^n\\
\text{ les $i_1,\dots,i_n$ distincts}}}f(x_{i_1},\dots,x_{i_n}),$$
où $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ est une fonction borélienne bornée.
On a
\begin{equation}\label{R0}
E(N_f)=\int_{\mathbb R^n}
f(x_1,\dots,x_n)R_n^{(N)}(x_1,\dots,x_n)dx_1\cdots x_n,
\end{equation}
où
\begin{multline*}
R_n^{(N)}(x_1,\dots,x_n)\\
=\frac{N!}{(N-n)!}
\int_{\mathbb R^{N-n}}P^{(N)}(x_1,\dots,x_n,x_{n+1},\dots,x_N)dx_{n+1}
\cdots dx_N.
\end{multline*}
Pour calculer cette quantité nous allons réécrire la densité
(\ref{dens}) en utilisant le déterminant de Vandermonde
$$\prod_{i>j}(x_i-x_j)=\det[x_j^{i-1}]_{\substack{1\leq i\leq N\\
1\leq j\leq N}}.$$
En utilisant des combinaisons linéaires de colonnes de la matrices
$[x_j^{i-1}]_{\substack{1\leq i\leq N\\
1\leq j\leq N}}$, on voit que
$$\prod_{i>j}(x_i-x_j)=\det[P_{i-1}(x_j)]_{\substack{1\leq i\leq N\\
1\leq j\leq N}}$$
pour toute suite de polynômes $P_0,\dots,P_{N-1}$ telle que pour tout $i$,
le~degré de $P_i$ est $i$, et son coefficient dominant 1. Nous allons prendre la suite des polynômes d'Hermite, définis par les relations de récurrence
$$P_{n+1}=xP_n+nP_{n-1}$$
Ces polynômes vérifient les relations d'orthogonalité
$$\int_{\mathbb R}P_m(x)P_n(x)\,\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}dx=\delta_{mn}n!$$
Introduisons les fonctions d'Hermite normalisées
$$\phi_n(x)=(n!)^{-1/2}P_n(x)\,\frac{e^{-x^2/4}}{(2\pi)^{1/4}}$$
qui forment une base orthonormale de $L^2(\mathbb R)$. La densité $P^{(N)}$
est donc proportionnelle à $\Big(\det
[\phi_{i-1}(x_j)]_{\substack{1\leq i\leq N\\
1\leq j\leq N}}\Big)^2$. Pour calculer cette constante de proportionnalité,
évaluons l'intégrale
\begin{multline*}
\int_{\mathbb R^n}\Big(\det
[\phi_{i-1}(x_j)]_{\substack{1\leq i\leq N\\
1\leq j\leq N}}\Big)^2dx_1\cdots dx_N\\
=\int_{\mathbb R^n}
\sum_{\sigma,\tau\in\Sigma_n}\varepsilon(\sigma) \varepsilon(\tau)\prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^N \phi_{i-1}(x_{\sigma(i)})\phi_{j-1}(x_{\tau(j)})dx_1\cdots dx_N.
\end{multline*}
Les fonctions $\phi_{i-1}$ étant orthogonales, les termes de cette somme
donnant une contribution non nulle sont ceux pour lesquels on a
$\sigma=\tau$, et
chacun donne une contribution $1$, donc cette intégrale vaut~$N!$ et on a
\begin{eqnarray*}
P^{(N)}(x_1,\dots,x_N)&=&(N!)^{-1}\Big(\det
[\phi_{i-1}(x_j)]_{\substack{1\leq i\leq N\\
1\leq j\leq N}}\Big)^2\\
&=&(N!)^{-1}\det[K^N(x_i,x_j)]_{\substack{1\leq i\leq N\\
1\leq j\leq N}},
\end{eqnarray*}
où $$K^N(x,y)=\sum_{k=1}^N\phi_{k-1}(x_i)\phi_{k-1}(x_j).$$
En vertu des relations d'orthogonalité des fonctions $\phi_k$ on a
\begin{equation}\label{orth}
\int_{\mathbb R}K^N(x,x)=N;\qquad
\int_{\mathbb R}K^N(x,y)K^N(y,z)dy=K^N(x,z).
\end{equation}
Nous allons en déduire que
\begin{equation}\label{RN}
R^{(N)}(x_1,\dots,x_n)=\det[K^N(x_i,x_j)]_{\substack{1\leq i\leq n\\
1\leq j\leq n}}.
\end{equation}
Il suffit de raisonner par récurrence sur $N-n$, en effet la relation est
vraie pour $N=n$, et si nous la supposons vraie pour $n+1$, alors on~a
\begin{align*}
R_n^{(N)}(x_1,\dots,x_n)&=(N-n)^{-1}\int_{\mathbb R}
R^{(N)}_{n+1}(x_1,\dots,x_n,x_{n+1})dx_{n+1}\nonumber\\
&=(N-n)^{-1}
\int_{\mathbb R}\det[K^N(x_i,x_j)]_{\substack{1\leq i\leq n+1\\
1\leq j\leq n+1}}
dx_{n+1}
\\
=(N-n)^{-1}\hspace*{-2mm}\sum_{\sigma\in\Sigma_n}&\varepsilon(\sigma)
\int_{\mathbb R}K^N(x_1,x_{\sigma(1)})\cdots K^N(x_{n+1},x_{\sigma(n+1)})
dx_{n+1}.
\end{align*}
Dans cette somme, si $\sigma(n+1)=n+1$ on a
\begin{multline}\label{R1}
\int_{\mathbb R}K^N(x_1,x_{\sigma(1)})\cdots K^N(x_{n+1},x_{\sigma(n+1)})
dx_{n+1}\\
=NK^N(x_1,x_{\sigma(1)})\cdots K^N(x_{n},x_{\sigma(n)})
\end{multline}
d'après la première partie de (\ref{orth}).
Sinon, il existe $j\leq n$ et $k\leq n$
tels que $\sigma(j)=n+1$, $\sigma(n+1)=k$, et alors,
d'après la seconde partie de (\ref{orth}),
\begin{multline}\label{R2}
\int_{\mathbb R}K^N(x_1,x_{\sigma(1)})\cdots K^N(x_{n+1},x_{\sigma(n+1)})
dx_{n+1}\\
=K^N(x_1,x_{\sigma'(1)})\cdots K^N(x_{n},x_{\sigma'(n)}),
\end{multline}
où $\sigma'$ est la permutation de $\{1,\dots, n\}$ telle que
$\sigma'(j)=k$ et $\sigma'(i)=\sigma(i)$ si $i\ne j$, et
$\varepsilon(\sigma')=-\varepsilon (\sigma)$. Chaque permutation
$\sigma'\in\Sigma_n$ peut provenir de
$n$ permutations $\sigma\!\in\!\Sigma_{n+1}$, donc d'après (\ref{R1})
et (\ref{R2})~on~a
$$
\int_{\mathbb R}\det[K^N(x_i,x_j)]_{\substack{1\leq i\leq n+1\\
1\leq j\leq n+1}}dx_{n+1}=(N-n)\det[K^N(x_i,x_j)]_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq n}},
$$
d'où (\ref{RN}).
Cette formule explicite permet de déterminer le comportement
asymptotique de nombreuses statistiques sur les valeurs propres des matrices du GUE. On va l'illustrer en calculant les corrélations de paires.
Nous aurons besoin du comportement asymptotique du noyau $K^N$. Celui-ci se
calcule au moyen de la formule de
Christoffel-Darboux, facile à établir par récurrence à partir de la
relation de récurrence des $P_n$,
\[
\sum_{k=1}^N\phi_{k-1}(x)\phi_{k-1}(y)=\sqrt{N}\,
\frac{\phi_N(x)\phi_{N-1}(y)-
\phi_N(x)\phi_{N-1}(x)}{x-y}
\]
La formule asymptotique de Plancherel-Rotach pour les
fonctions d'Hermite (\cf \cite{S})
entraîne que
$$\frac{1}{N}R_1^{(N)}(x\sqrt{N})\xrightarrow[{N\to\infty}]{}
\frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}\qquad \text{si
$x\in[-2,2]$}$$
et pour toute fonction continue $f$, à support compact,
\begin{multline*}
E\Big[\frac{1}{N}\sum_{j=1}^Nf(x_j/\sqrt N)\Big]\\[-5pt]
=\frac{1}{N}\int_{\mathbb R}f(x/\sqrt{N})R_1^{(N)}(x)dx\xrightarrow[{N\to\infty}]{}
\int_{-2}^2f(x)\frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}dx.
\end{multline*}
La répartition des valeurs propres converge donc
vers une loi, appe\-lée loi du demi-cercle de Wigner. Si nous choisissons
un petit intervalle $]-\varepsilon_N,+\varepsilon_N[$ autour de $0$ avec
$\varepsilon_N\to 0$ mais $\varepsilon_N\sqrt{N}\to \infty$,
le~nombre moyen de valeurs propres dans cet intervalle sera
de l'ordre de $\sfrac{2\varepsilon_N\sqrt{N}}{\pi}$ et l'espacement moyen entre deux de ces
valeurs
propres sera $ \sfrac{\pi}
{\sqrt{N}}$.
En utilisant encore les formules asymptotiques pour
les polynômes d'Hermite on arrive à la formule asymptotique
$$K_N(\sfrac{\pi\xi}{\sqrt{N}},\sfrac{\pi\eta}{\sqrt{N}})
\xrightarrow[{N\to\infty}]{}\frac{\sin\pi(\xi-\eta)}{\pi(\xi-\eta)}$$
ce qui permet de déduire que
\begin{multline}\label{PCGUE}
E\Bigl[\tfrac{\pi}{2\varepsilon_N\sqrt{N}}
\card \{(i,j)\mid 1\leq i\leq N;\, 1\leq j\leq N;\,i\ne j;\\
\shoveright{\vert x_i\vert,\vert x_j\vert<\varepsilon_N;\;
\sfrac{a\pi}{\sqrt N}\leq x_i-x_j\leq
\sfrac{b\pi}{\sqrt N}\} \Bigr]}\\
\xrightarrow[{N\to\infty}]{}\int_a^b1-\Bigl(\frac{\sin\pi x}{\pi x}\Bigr)^2dx.
\end{multline}
Cette formule est très différente de celle qu'on obtiendrait en choisissant
$N$~points $X_1,\dots,X_N$
au hasard uniformément sur $[0,1]$, dont l'écartement moyen est $\sim
1/N$, car on voit facilement que
\begin{multline}E\Bigl[\tfrac{1}{N}\,
\card \{(i,j)\mid 1\leq i\leq N;\, 1\leq j\leq N;\\[-5pt]
\sfrac{a}{ N}\leq X_i-X_j\leq \sfrac{b}{ N}\} \Bigr]
\xrightarrow[{N\to\infty}]{}b-a.
\end{multline}
Le fait que la fonction $1-\left(\frac{\sin\pi x}{\pi x}\right)^2$ s'annule en
0 traduit le fait que les valeurs propres d'une matrice aléatoires (ou les
zéros de zêta) ont tendance à se repousser. Dans le cas des matrices
aléatoires on peut comprendre ce phénomène qualitativement. Pour une
matrice générique, dont toutes la valeurs propres sont distinctes, la
dimension de son orbite, \ie des matrices de la forme $UMU^*$, est égale à
$N^2-N$, par contre si deux valeurs propres sont égales alors la dimension
n'est plus que $N^2-N-2$. C'est ce saut de deux dimensions qui explique le fait
que la \og fonction de corrélation\fg s'annule en zéro.

\Subsection{Vérifications expérimentales et nouvelles conjectures}\label{subsec:2.3}
La conjecture de Montgomery a amené A.\,Odlyzko \cite{O}
à calculer numériquement un grand nombre
de zéros
de la fonction zêta, de partie imaginaire positive, sur la droite critique.
C'est ainsi qu'il a, en 1987, obtenu $10^5$ zéros entre le
$10^{12}+1{\text{ ème}}$ et le $10^{12}+10^5 {\text{ ème}}$,
avec une précision de $10^{-8}$, les zéros
étant ordonnés suivant leur partie imaginaire.
Il a ainsi pu vérifier le bon agrément entre
ces données numériques et la conjecture.

Depuis 1987 les ordinateurs ont considérablement progressé,
et à l'heure actuelle les données les plus récentes concernent un million
de zéros autour du
$10^{22}$ème. Par exemple le zéro numéro
$ 10^{22} + 1$ est
$$ 1/2 + i 1\,370\,919\,909\,931\,995\,308\,226,68016095...$$
et les derniers chiffres significatifs des 3 suivants sont
$$
\begin{array}{c}

8226,77659152\\

8226,94593324\\

8227,16707942
\end{array}
$$
Ainsi la conjecture de Montgomery et les vérification d'Odlyzko ajoutent du
poids à l'hypothèse de Pólya et Hilbert que les nombre~$\gamma$ sont les valeurs propres d'un opérateur hermitien. Sans donner de
clé quant à l'origine de cet opérateur, elles
permettent d'en cerner un peu mieux les contours,
en effet on peut considérer des matrices aléatoires
gaussienne présentant
des symétries différentes des matrices hermitiennes,
comme par exemple des matrices symétriques
réelles, c'est le modèle dit du GOE pour
Gaussian Orthogonal Ensemble, ou bien des matrices symplectiques
(GSE=Gaussian Symplectic Ensemble). Des calculs
analogues à ceux du paragraphe
précédent permettent de déterminer la forme de la fonction de
corrélation de paires (la fonction
$1-\left(\frac{\sin \pi x}{\pi x}\right)^2$ pour le GUE), ainsi que d'autres
statistiques sur les valeurs propres, et on obtient un résultat différent
de celui du GUE, donc l'adéquation des résultats numériques avec le
modèle du GUE suggère que l'opérateur de Pólya et Hilbert, s'il existe,
devrait être un opérateur hermitien, mais ne serait pas orthogonal ou
symplectique.

Les résultats de Montgomery ont été étendus à d'autres fonctions~$L$
et la recherche dans ce domaine est actuellement très active, mais faute de
temps et de compétence je n'aborderai pas ce sujet pour lequel je renvoie à
l'exposé récent de Ph.\,Michel au Séminaire Bourbaki~\cite{Mi}.

Pour terminer cette première partie nous allons nous intéresser à un autre
problème concernant la fonction zêta, celui du comportement asymptotique de
ses moments sur la droite critique. Il s'agit d'évaluer la quantité
$$\int_0^T|\zeta(1/2+it)|^{2k}dt,$$ lorsque $T\to\infty$, cette question étant
motivée par des applications à la théorie des nombres, en particulier à
la distribution des nombres premiers.
Le premier résultat
dans cette direction remonte à Hardy et Littlewood qui ont montré que
$$\int_0^T|\zeta(1/2+it)|^2dt\sim T\log T,\quad T\to\infty$$
puis à Ingham qui a obtenu
$$\int_0^T|\zeta(1/2+it)|^4dt\sim \frac{1}{2\pi^2}
T(\log T)^4,\quad T\to\infty$$
mais rien d'autre n'a été démontré pour les moments supérieurs. Il~existe une
conjecture pour la valeur asymptotique de
\[
\int_0^T|\zeta(1/2+it)|^{2k}dt
\]
due à Conrey et Gosh pour $k=3$ et à Conrey et Gonek pour $k=4$,
sous la forme
\begin{equation}\label{mom}
\int_0^T|\zeta(1/2+it)|^{2k}dt\sim a_kb_kT(\log T)^{k^2}\end{equation}
avec $$a_k=\prod_{p\in\mathcal
P}(1-1/p)^{k^2}\bigg(\sum_{m=0}^{\infty}
\Big(\frac{\Gamma(k+m)}{m!\Gamma(k)}\Big)^2p^{-m}\bigg)$$
le produit étant pris sur l'ensemble $\mathcal P$ des nombres premiers,
et $$b_3=\frac{42}{9!}\qquad b_4=\frac{24024}{16!}$$
La partie la plus difficile dans l'établissement de la conjecture est l'obtention des coefficients $b_3$ et $b_4$,
qui se fait au moyen de
longs calculs. En utilisant le modèle du GUE, Keating et Snaith \cite{KS}
ont pu
formuler une conjecture valable pour tout $k$, en comprenant la nature des deux
termes $a_k$ et $b_k$ des conjectures précédentes.
Leur idée est que
dans le produit $a_kb_k$ le premier terme, $a_k$, est
une contribution spécifique à la fonction zêta, faisant intervenir les
nombres premiers de façon explicite, alors que le second, $b_k$, est un terme
{\it universel}, qui provient de l'influence
des fluctuations des zéros critiques de la
fonction zêta, et qu'il devrait être le même pour toute fonction dont les
zéros présentent les mêmes fluctuations. Pour calculer ce terme, ils
suggèrent
de remplacer
la fonction $\zeta$ par
le polynôme caractéristique d'une matrice aléatoire du GUE et de calculer
une quantité appropriée. Je n'insisterai pas sur l'origine
de l'idée d'universalité, qui provient de l'étude des modèles critiques en
mécanique statistique et qui dépasse de très loin le cadre de cet
exposé, mais il est remarquable que cette idée mène de façon si rapide
aux mêmes coefficients que ceux calculés par les méthodes de théorie des
nombres.
Dans le calcul de Keating et Snaith, on considère une matrice aléatoire
unitaire, choisie avec la mesure de Haar sur le groupe $U(N)$. Ce
modèle est appelé CUE (circular unitary ensemble), et il est très proche
du GUE, d'ailleurs des résultats analogues à ceux de Keating et Snaith ont
été donné peu après par Brézin et Hikami \cite{BH}.
On calcule donc
la
moyenne $E\big[|\det(1-e^{i\theta}U)|^{2k}\big]$, où $U$ est une matrice du
CUE et $e^{i\theta}$ un nombre complexe de module 1. En fait on voit tout de
suite que cette quantité ne dépend pas de $e^{i\theta}$, et un calcul
explicite donne
$$E\big[|\det(1-U)|^{2k}\big]\mathop{\sim}\limits_{N\to\infty}N^{k^2}\prod_{j=0}^{k-1}\frac
{j!}{(j+k)!},$$
ce qui permet de conjecturer $b_k=\prod_{j=0}^{k-1}\frac
{j!}{(j+k)!}$. On vérifie que cette valeur coïncide
avec les celles connues ou conjecturées obtenues précédemment, ce qui a
amené Keating et Snaith à proposer d'étendre la conjecture à tous les
entiers positifs $k$ avec les valeurs de $a_k$ et $b_k$
données par les formules ci-dessus.

\section{La fonction zêta de Riemann et le mouvement brownien}
\subsection{Quelques formules d'analyse}
Rappelons que la fonction zêta de Riemann, définie par la formule
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\qquad \text{pour $\Re(s)>1$}$$
admet un prolongement méromorphe
à tout le plan
complexe, avec un unique pôle (simple) en zéro.
L'équation fonctionnelle de $\zeta$
s'écrit sous une forme symétrique à condition d'introduire la fonction
entière~$\xi$ définie par le prolongement analytique de
$$\xi(s)=\frac{1}{2}s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)
\qquad \text{pour $\Re(s)>1$},$$
qui satisfait
\begin{equation}\label{ef}
\xi(s)=\xi(1-s)\qquad\text{pour tout $s\in\mathbb C$.}
\end{equation}
Une façon d'établir ce résultat consiste à remarquer que
\begin{equation}\label{xi}
\xi(s)=\frac{1}{2}\int_0^\infty t^s\Psi(t)dt\qquad \text{pour
$\Re(s)>1$,}
\end{equation}
où
\begin{equation}\label{H}
\Psi(y)=4y\sum_{n=1}^\infty\left({2\pi^2 n^4}{y^2}-{3\pi n^2}\right)
e^{-\pi n^2y^2}.
\end{equation}
La fonction $\Psi$ s'exprime à l'aide de la fonction
$\theta$ de Jacobi
$$\theta(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\exp(-\pi n^2t)$$
au moyen de la formule
$$\Psi(y)=6y\theta'(y^2)+4y^3\theta''(y^2).$$
L'équation fonctionnelle
$$\theta(t)=t^{-1/2}\theta(t^{-1})\qquad\text{pour tout $ t>0$}$$
entraîne que $\Psi$ vérifie
\begin{equation}\label{efH}
\Psi(y)=y^{-3}\Psi(y^{-1})\qquad\text{pour tout $ y>0$.}
\end{equation}
et le prolongement analytique de $\xi$ ainsi que l'équation (\ref{ef})
s'en déduisent.
Le point de départ des développements qui suivent
est le fait que
la fonction $\Psi$ est positive sur $\mathbb R_+^*$,
d'intégrale 1,
donc c'est la densité d'une mesure de probabilités sur la
droite réelle. En effet la formule (\ref{H}) nous montre que
$\Psi(y)>0$ pour $y\geq 1$, car c'est une somme de termes positifs,
et de l'équation
fonctionnelle (\ref{efH}) on conclut pour $y<1$.
Le graphe de cette densité est indiqué sur la figure~\ref{fig1},
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=0.5]{xups02-03_fig1}}
\caption{}\label{fig1}
\end{figure}
et la fonction de répartition
\begin{eqnarray}\label{fr1}
F_\Psi(y)=
\int_0^y\Psi(x)dx&=&1+2\sum_{n=1}^\infty(1-2\pi
n^2y^2)e^{-\pi n^2y^2}\\ \label {fr2}
&=&\frac{4\pi}{y^3}\sum_{n=1}^{\infty}n^2e^{-\pi n^2/y^2}
\end{eqnarray}
s'obtient en intégrant terme à terme la formule (\ref{H}), ou bien celle
donnée par (\ref{efH}).

C'est un fait
remarquable que, en dépit de l'apparence complexe de la formule
(\ref{H}),
cette mesure de probabilités intervient de façon naturelle
dans un grand nombre de questions provenant de la théorie
des marches aléatoires et du
mouvement brownien. Une revue assez complète
des interprétations probabilistes de la formule
(\ref{H}) en termes du mouvement brownien figure dans \cite{BPY} et \cite{W}.
Il ne sera pas possible, dans le cadre de cet
exposé de discuter de tous ces résultats,
mais j'évoquerai l'interprétation qui me semble la plus accessible.
Celle-ci fait intervenir les
excursions du mouvement brownien hors de zéro, et on en donnera une approche
élémentaire au moyen du jeu de pile ou face dans le paragraphe \ref{subsec:3.2}. Cela
nous permettra au paragraphe~\ref{subsec:3.4} de montrer que l'équation fonctionnelle de
la fonction zêta est équivalente à l'égalité en loi de deux variables
aléatoires définies à partir du mouvement brownien ou de processus
proches. Finalement au paragraphe \ref{subsec:3.5} on verra que la variable de loi
de densité $\Psi$ admet une décomposition qui permet de renormaliser la
série $\sum_n n^{-s}$.

L'origine de ces liens entre fonction zêta et mouvement brownien
est à rechercher dans le fait que les fonctions thêta de Jacobi,
qui sont intimement liées
à la fonction zêta de Riemann, interviennent dans le calcul de
solutions de l'équation de la chaleur. On sait d'autre part que la
propagation de la chaleur et le mouvement brownien sont deux phénomènes
physiques dont la structure mathématique sous-jacente est la même, on peut
donc imaginer de cette façon que la fonction zêta de Riemann doit
apparaître dans la théorie du mouvement brownien.
Ces
considérations générales ne nous disent toutefois rien de précis sur la nature
exacte de ces relations. En particulier le fait que la fonction zêta
(ou plus exactement la mesure de probabilités de densité $\Psi$)
intervienne dans autant problèmes naturels est un fait
remarquable.
\subsection{Le jeu de pile ou face}\label{subsec:3.2}

Deux joueurs
s'affrontent dans une
série de parties de pile ou face. On suppose que la mise
à chaque partie vaut une unité,
et on s'intéresse au gain de
l'un des joueurs. On peut représenter ce gain au bout de $n$ parties
par une somme $S_n=X_1+\cdots+X_n$, où $X_i$ représente le gain du joueur
à la $i^{\text{ème}}$ partie. Les $X_i$ sont des variables
aléatoires indépendantes, qui satisfont $P(X_i=\pm1)=1/2$.
On se place dans
la situation idéale où les fortunes des deux joueurs sont infinies, et le
jeu ne s'arrête jamais.
Un théorème
classique, dû à Pólya, énonce que, avec une probabilité égale à 1, le gain du joueur considéré
va prendre la valeur 0 pour une infinité de valeurs de $n$,
autrement dit les deux joueurs retrouveront leurs fortunes initiales une
infinité de fois. Nous allons retrouver ce résultat ci-dessous par des
considérations élémentaires.
On notera $T_1,T_2,\dots, T_n,\dots$
les temps de retour successifs à l'égalité de fortune, \ie
$T_0=0$ et $T_j=\inf\{n> T_{j-1}; S_n=0\}$ pour $j>0$. Après chaque retour en
zéro le gain se comporte comme une marche aléatoire simple, c'est-à-dire
que
la famille de variables \hbox{aléatoires} $(S_{T_{j}+n};n\geq 0)$ a la même loi
que la famille $(S_n;n\geq 0)$, et de plus elle est indépendante des variables
aléatoires $(S_n1_{n\leq T_j};n\geq 0)$. C'est une conséquence de la
propriété de Markov forte de la marche aléatoires, et on peut le
vérifier en conditionnant par rapport à la valeur du temps $T_j$.
Les instants $T_0,T_1,T_2,\dots, T_n,\dots$ forment donc une suite
croissante, dont les accroissements $(T_{i}-T_{i-1};i\geq 1)$ sont indépendants et de
même loi que $T_1$.
On peut calculer la
probabilité que le premier
temps de retour ait lieu à l'instant $2n$ (il est clair que le temps de
retour en 0 ne peut pas être un nombre impair). Comme on va le voir
ci-dessous, on a
\begin{equation}\label{Probt}
P(T_1=2n)=\frac{(2n-2)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}
\end{equation}
De même, la différence de fortunes maximale entre deux instants successifs
d'égalité obéit à une loi
de probabilités simple. Si on pose
$M_j=\max\{|S_n|;T_{j-1}\leq n\leq T_{j}\}$ alors les $M_j$ sont indépendants
et de même loi, et on a
$$P(M_j=r)=\frac{1}{r}-\frac{1}{r+1}$$
pour $r=1,2,\dots$.
La plupart du temps l'intervalle entre deux temps de
retour successifs en 0 prend une petite valeur, et alors la différence
maximale de gain entre les deux joueurs est également petite.
Néanmoins, il arrive parfois
que cet intervalle soit très long, et que la différence maximale de
gain soit également importante. Pour quantifier cela nous allons
calculer, suivant Diaconis et Smith \cite{DS} (voir aussi
\cite{dBKR}, \cite{P} pour des calculs semblables),
pour $n$ et $m$ donnés, la
probabilité pour que le temps de retour soit égal à $2n$ et que la
différence maximale de gains soit égale à $m$.
Il est commode de représenter la suite $(S_k;k\geq 0)$ par
son graphe, en interpolant linéairement entre les instants entiers,
comme sur la figure~\ref{fig2}.
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=0.45]{xups02-03_fig2}}
\vspace*{-\baselineskip}
\caption{}\label{fig2}
\end{figure}
Considérons un tel graphe où l'on se restreint à
l'intervalle de temps
$k\in[0,n]$. Chaque graphe correspond à la réalisation d'une unique suite
$(X_1,\dots,X_n)\in\{+1,-1\}^n$,
par conséquent la probabilité que l'événement qu'il
représente soit réalisé est égale à $2^{-n}$. Considérons maintenant
l'événement correspondant au premier temps de retour égal à $2n$, noté
$\{T_1=2n\}$.
Une suite $(X_1,\dots,X_{2n})$ réalise cet événement si et seulement si
la suite des sommes partielles
\hbox{$(S_k;1\leq k\leq 2n)$},
satisfait
$S_{2n}=0$ et $S_k\ne 0$ pour $1\leq k\leq 2n-1$.
Le calcul du nombre de ces suites est un exercice classique dont on rappelle la
solution, qui utilise le {\it principe de réflexion} dû à Désiré
André. Quitte à multiplier leur
nombre par 2, il suffit de compter celles qui restent strictement
positives pour
$k\in[1,2n-1]$; en~particulier, pour une telle suite, on~a $S_1=S_{2n-1}=1$.
Comptons tout d'abord les suites qui vérifient
$S_0=S_{2n}=0$ et $S_1=S_{2n-1}=1$.
Elles correspondent aux suites $X_1,\dots,X_{2n}$ telles que
$X_1=1,X_{2n}=-1$, et parmi $X_2,\dots,X_{2n-1}$ il~y~a autant de $1$ que de
$-1$, leur nombre est donc égal au coefficient du binôme
$$\begin{pmatrix}2n-2\\ n-1\end{pmatrix}=
\frac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!}.$$ Il faut retirer de ce nombre celui
des suites qui
s'annulent pour au moins un $k\in[2,2n-2]$.
Soit maintenant $(S_1,\dots,S_{2n})$ une telle suite, alors il existe un
plus petit entier $k_0\in[2,2n-1]$ tel que $S_{k_0}=0$. Considérons la suite $S'_k$
telle que $S'_k=S_k$ pour $k\leq k_0$, $S'_k=-S_k$ pour
$k_0\leq k\leq 2n$. On a donc $S'_{2n-1}=-1$.
Le graphe associé à cette
suite est obtenu en réfléchissant le graphe de la suite~$S$ autour de
l'axe $y=0$, après le premier
temps de passage en 0,
voir la figure~\ref{fig3}.
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=0.5]{xups02-03_fig3}}
\vspace*{-\baselineskip}
\caption{}\label{fig3}
\end{figure}
Réciproquement si une suite $S'_1,\dots,S'_{2n}$ vérifie
$S'_1=1,S'_{2n-1}=-1$ et $S'_{2n}=0$, alors nécessairement elle s'annule
pour un $k\in[2,2n-2]$, et on peut, en la réfléchissant
après le
premier instant où elle passe en zéro, retrouver une suite $S_k$ qui
satisfait $S_{2n-1}=1,S_{2n}=0$ et $S_{k}$ s'annule entre $k=2$ et $2n-2$.
La suite $S'_k$ correspond à une suite
$X'_i;2\leq i\leq 2n-1$
dans laquelle le nombre de $+1$ est $n-2$ et le nombre de $-1$ est $n$,
donc le nombre total de telles suites est
$\frac{(2n-2)!}{n!(n-2)!}$,
par conséquent le nombre de suites
$S_k$ qui ne s'annulent pas entre $1$ et $2n-1$
est
$$2\times\left(\frac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!}
-\frac{(2n-2)!}{n!(n-2)!}\right)=2
\frac{(2n-2)!}{n!(n-1)!}$$
et on retrouve la formule (\ref{Probt}) en multipliant par la probabilité de
chaque suite d'apparaître. En particulier, on a
\hbox{$\sum_{n=1}^{\infty}\!P(T_1\!=\!2n)\!=\!1$} donc $T_1<\infty$ presque sûrement. En
appliquant la propriété de Markov, on voit que pour tout $j$ on a
$T_j<\infty$ presque sûrement et
donc que la probabilité que $S_n$ revienne une infinité de fois en 0 est
égale à 1.

Nous allons maintenant calculer la probabilité pour
que le temps de retour
soit égal à $2n$ et que la valeur maximale de $|S_k|$
sur l'intervalle $[0,2n]$ soit inférieure à $m$, soit
$P(T_1=2n;M_1\leq m)$.
Quitte de nouveau à
multiplier par 2, on est ramené au calcul du nombre de suites $(S_k;0\leq
k\leq 2n)$
telles que
\begin{equation}\label{suite}
S_0=0,\;\, S_{2n}=0\;\;\text{et}\;\; 0<S_k\leq m
\quad\text{pour tout $k\in[1,2n-1]$.}
\end{equation}
\Changel

\noindent 
Nous allons
effectuer ce calcul par deux méthodes différentes. La première est une
généralisation du calcul précédent.
Notons $s_{2n}(k)$ le nombre de suites $S_k$ telles que $S_1=1$ et
$S_{2n-1}=k$. On a
$s_{2n}(k)=\frac{(2n-2)!}{(n-l)!(n+l-2)!}$ si
$k=2l-1\in [-2n+3,2n-1]$ et $s_{2n}(k)=0$ sinon.
On commence par compter les
suites qui reviennent en 1 au temps $2n-1$,
sans autre condition, puis on soustrait le nombre de
celles qui passent par 0, et celles qui passent par $m+1$. Pour calculer le
nombre de ces dernières on effectue une réflexion autour de la droite
$y=m+1$, et on trouve, par un raisonnement semblable à celui que l'on a
fait précédemment,
que l'on obtient ainsi toutes les suites
satisfaisant $S_{2n-1}=2m+1$, dont le nombre
est
$s_{2n}(2m+1)$. Ce~faisant, on a compté deux fois les suites dont le minimum
est $\leq 0$ et dont le maximum est $\geq m+1$, il faut donc rajouter
le nombre de
ces suites. Pour compter leur nombre, on fait subir à chacune deux
réfle\-xions, après les instants d'atteinte de 0 et $m+1$ respectivement.
On obtient une suite telle que
$S_{2n-1}=2m+3$ ou $S_{2n-1}=-2m-1$, suivant que 0 ou $m+1$ a été atteint
en premier. Leur nombre est donc $s_{2n}(2m+3)+s_{2m}(-2m-1)$. On s'aperçoit qu'on a cette fois ci retiré des suites en trop
et il faut recommencer. Finalement en
appliquant le principe d'inclusion-exclusion,
on voit que le nombre de suites
recherché est
$$\sum_{g\in G}\det(g)s_{2n}(g(1))$$
où $G$ est le groupe d'isométries de $\mathbb R$ engendré par
les deux réflexions $x\mapsto -x$ et $x\mapsto 2m+2-x$, soit encore
$$
\sum_{k\in \mathbb Z}s_{2n}(1+(2m+2)k)-s_{2n}(-1+(2m+2)k)$$
La probabilité recherchée vaut donc
\begin{multline}\label{prob1}
P(T_1=2n;M_1\leq m)\\
=2^{-(2n-1)}\sum_{k\in \mathbb Z}
\begin{pmatrix}2n-2\\ n-1-k(m+1)\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2n-2\\ n-2-(k+1)(m+1)\end{pmatrix}
\end{multline}
avec la convention $\binom ab=0$ si $b<0$ ou si
$a<b$. En particulier,
cette somme ne contient qu'un nombre fini de termes non nuls.

\Changelback

Indiquons maintenant une autre façon de calculer cette même quantité.
On considère la matrice de taille $m\times m$
$$\Gamma=
{\arraycolsep5pt\left(\begin{array}{ccccccc}0&1&0&0&\ldots&0&0\\
1&0&1&0&\ldots&0&0\\
0&1&0&1&\ldots&0&0
\\
0&0&1&0&\ldots&0&0
\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots
\\
0&0&0&0&\ldots&0&1
\\
0&0&0&0&\ldots&1&0\end{array}\right)}$$
On peut écrire $\Gamma=\Gamma_++\Gamma_-$ où $\Gamma_+$ est une matrice
triangulaire inférieure et $\Gamma_-$ une matrice triangulaire supérieure.
On a alors, dans la base canonique de~$\mathbb R^m$,
$\Gamma_+(e_i)=e_{i+1}$ pour $i\leq m-1$, et $\Gamma_+(e_m)=0$, tandis que
$\Gamma_-(e_1)=0$ et $\Gamma_-(e_i)=e_{i-1}$ pour $2\leq i\leq m$.
Considérons la quantité $\langle\Gamma^{2n-2} e_1,e_1\rangle$.
En développant le produit, on trouve
\begin{align*}
\langle\Gamma^{2n-2}(e_1),e_1\rangle&=
\langle\left(\Gamma_++\Gamma_-\right)^{2n-2}(e_1),e_1\rangle
\\&=
\Big\langle\sum_{(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{2n-2})\in\{\pm\}^{2n}}
\Gamma_{\varepsilon_{2n-2}}
\Gamma_{\varepsilon_{2n-3}}
\ldots \Gamma_{\varepsilon_{1}}(e_1),e_1\Big\rangle
\end{align*}
où la somme porte sur les $2^{2n-2}$ suites possibles de symboles $\pm 1$.
Comme
les opérateurs $\Gamma_\pm$ transforment les éléments de la base canonique
en d'autres éléments de la base, pour
qu'une telle suite donne une contribution non nulle, il faut et il suffit que
l'on ait $\Gamma_{\varepsilon_{2n-2}}
\Gamma_{\varepsilon_{2n-1}}
\ldots \Gamma_{\varepsilon_{1}}(e_1)=e_1$. Dans ce cas on a
$\Gamma_{\varepsilon_{k}}
\Gamma_{\varepsilon_{k-1}}
\ldots \Gamma_{\varepsilon_{1}}(e_1)=e_{S_{k+1}}$ où $(S_k;1\leq k\leq 2n-1)$
est une suite qui
satisfait les conditions (\ref{suite}), donc
$\langle\Gamma^{2n-2} e_1,e_1\rangle$ est égal au nombre de ces
suites. La quantité
$\langle\left(\Gamma\right)^{2n-2}(e_1),e_1\rangle$
peut se calculer
en
diagonalisant la matrice $\Gamma$.
Le polynôme caractéristique se calcule par
récurrence sur $m$, en développant $\text{ dét}(\lambda I_m-\Gamma)
=P_m(\lambda)$ par rapport à la dernière colonne, ce qui donne la relation
$P_m(\lambda)=\lambda P_{m-1}(\lambda)+P_{m-2}(\lambda)$. Cette relation de
récurrence, avec les conditions initiales $P_1(\lambda)=\lambda$ et
$P_2(\lambda)=\lambda^2-1 $ permet de calculer $P_m$ en terme de polynômes de
Tchebycheff de seconde espèce, on trouve ainsi
$$P_m(2\cos\theta)=\frac{\sin ((m+1)\theta)}{\sin \theta}
\qquad 0<\theta<\pi.$$
\Changel

\noindent
En particulier les
racines de $P_m$ sont les nombres
$2\cos(\frac{k\pi}{m+1})$ pour $1\leq k\leq m$.
Les vecteurs propres se calculent également sans
difficulté, un vecteur propre $(x_1,\dots,x_m)$ correspondant à la valeur
propre
$\lambda$ satisfait $x_{l-1}+x_{l+1}=\lambda x_l$, et en résolvant cette
équation pour $\lambda=2\cos(\frac{k\pi}{m+1})$, on trouve
$$x_l=P_{l-1}(\lambda)x_1=
\frac{\sin(\frac{kl\pi}{m+1})}{\sin(\frac{k\pi}{m+1})}x_1.$$
\Changelback

\noindent
Finalement, en notant $w_1,\dots, w_m$ les vecteurs propres orthonormaux,
on a
$$w_k=\Big(\frac{2}{\sqrt{m}}
\sin\frac{k\pi}{m+1},\frac{2}{\sqrt{m}}
\sin\frac{2k\pi}{m+1},\dots,\frac{2}{\sqrt{m}}
\sin\frac{mk\pi}{m+1}\Big)$$
et on arrive à
\begin{align*}
\langle\Gamma^{2n-2}(e_1),e_1\rangle&=\Big\langle\Gamma^{2n}\Big(\sum_{k=1}^m
\langle e_1,w_k\rangle\Big),\sum_{k=1}^m
\langle e_1,w_k\rangle\Big\rangle\\
&=\sum_{k=1}^m
\langle e_1,w_k\rangle^2\lambda_k^{2n}\nonumber\\
&=\sum_{k=1}^m
\frac{4}{m}\sin^2\frac{k\pi}{m+1}\Big(2\cos\frac{k\pi}{m+1}\Big)^{2n-2}.
\end{align*}
La probabilité à calculer vaut donc
\begin{equation}\label{prob2}
P(T_1=2n;M_1\leq m)=\frac{2}{m}\sum_{k=1}^m
\sin^2\frac{k\pi}{m+1}\Big(\cos\frac{k\pi}{m+1}\Big)^{2n-2}.
\end{equation}
La loi conditionnelle de la déviation maximale,
sachant que le temps de
retour est égal à $2n$, a pour fonction de répartition
$$F_{n}(x)=P(M_1\leq x\mid T_1=2n)=\frac{P(M_1\leq x;T_1=2n)}{P(T_1=2n)}.$$
La fonction
zêta, ou plus exactement la mesure de probabilités $\Psi$ va apparaître
lorsque nous allons faire tendre $n$ vers l'infini.
Plus précisément,
nous allons
calculer la loi conditionnelle de $M_1/\sqrt {\pi n}$ sachant que $T_1=2n$.
En utilisant la première expression (\ref{prob1})
il vient, à l'aide de la formule de
Stirling,
$$\lim_{n\to\infty}P(M_1\leq y\sqrt{\pi n}\mid T_1=2n)=
1+2\sum_{n=1}^\infty(1-2\pi
n^2y^2)e^{-\pi n^2y^2}$$
tandis que la seconde expression (\ref{prob2}) nous donne
$$\lim_{n\to\infty}P(M_1\leq y\sqrt{\pi n}\mid T_1=2n)=
\frac{4\pi}{y^3}\sum_{n=1}^{\infty}n^2e^{-\pi n^2/y^2}.$$
Nous avons ainsi établi, par cette méthode élémentaire, l'égalité
de (\ref{fr1}) et (\ref{fr2}).
Nous allons maintenant interpréter le passage à la limite à l'aide du
mouvement brownien.

\subsection {Le mouvement brownien}\label{subsec:3.3}
Tout d'abord rappelons un
résultat classique de la théorie des probabilités. La loi de la variable
aléatoire $S_n$ est une loi binomiale, et
le théorème de de
Moivre-Laplace énonce que la loi de la variable aléatoire
$\sfrac{S_n}{\sqrt n}$ converge vers la loi normale centrée réduite, de
densité $\sfrac{e^{-x^2/2}}{\sqrt {2\pi}}$ par rapport à la mesure de
Lebesgue
sur $\mathbb R$. La convergence a
lieu au sens de la topologie étroite sur l'espace des mesures de
probabilités sur $\mathbb R$, ce qui signifie que pour tout intervalle $[a,b]$
de $\mathbb R$ on a $$P(\sfrac{S_n}{\sqrt n}\in[a,b])\xrightarrow[{n\to\infty}]{}\int_a^b
\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt {2\pi}}.$$
De même on voit facilement que pour tout réel $t>0$, la loi de
$\sfrac{S_{[nt]}}{\sqrt n}$, où $[\cdot]$ désigne la partie entière, converge
vers la loi normale de variance $t$, dont la densité est
$\sfrac{e^{-x^2/2t}}{\sqrt {2\pi t}}$. Finalement grâce à
l'indépendance
des accroissements de $(S_n;n\geq 0)$ on voit que pour toute suite de temps
$t_1<t_2<\cdots<t_k$, la famille de variables aléatoires
\[
\Bigl(\frac{S_{[nt_1]}}{\sqrt n},\frac{S_{[nt_2]}-S_{[nt_1]}}{\sqrt n},
\ldots,\frac{S_{[nt_k]}-S_{[nt_{k-1}]}}{\sqrt n}\Bigr)
\]
converge en loi vers une
famille de variables normales, indépendantes, de lois normales de variances
$t_1, t_2-t_1,\dots,t_k-t_{k-1}$. On appelle mouvement brownien un processus
stochastique, \ie une famille de variables aléatoires $(X_t;t\in\mathbb R_+)$,
indexées par
le temps $t$, telle que
\begin{itemize}
\item pour tout $k$ et tout $k-$uplet de temps
$t_1<t_2<\cdots<t_k$, les variables aléatoires $X_{t_1}-X_0,X_{t_2}-X_{t_1},
\ldots,X_{t_k}-X_{t_{k-1}}$ sont indépendantes de loi normales, centrées,
\item leurs
variances sont $t_1,t_2-t_1,\dots,t_{k}-t_{k-1}$.
\end{itemize}
Autrement dit, les lois marginales de rang fini de la famille de varia\-bles aléatoires
\hbox{$(X_t;t\in\mathbb R_+)$} sont déterminées par la
formule
\begin{multline}\label{brown}
E[f(X_{t_1},\dots,X_{t_n})]
\!=\!\int_{\mathbb R^n}\!\!f(x_1,\dots,x_n)p_{t_1}(0,x_1)
p_{t_2-t_1}(x_1,x_2)\\
\cdots p_{t_n-t_{n-1}}(x_{n-1},x_n)dx_1\cdots dx_n
\end{multline}
pour tous $t_1<t_2<\cdots<t_n$ et
toute fonction borélienne bornée $f$ sur $\mathbb R^n$, et
où les quantités $p_t(x,y)$, appelées
densités de transition, sont données par
\begin{equation}\label{PT}
p_t(x,y)=\frac{e^{-\sfrac{(x-y)^2}{2t}}}{\sqrt{2\pi}}.
\end{equation}
Une propriété
fondamentale du mouvement brownien, d'abord obtenue par Wiener, est que ses
trajectoires sont presque sûrement continues. Si l'on considère
l'espace des fonctions continues de $[0,+\infty[$ dans $\mathbb R$, muni de la
topologie de la convergence uniforme et de la structure borélienne
associée, alors
la mesure de Wiener sur cet espa\-ce est une mesure de probabilités telle que,
sous cette mesure,
les applications coordonnées $X_t:C([0,\infty[,\mathbb R[)\to \mathbb R$, $\omega\mapsto \omega(t)$ satisfont les conditions
ci-dessus. On peut montrer que le processus stochastique continu
$(S^{(n)}_t;t\geq 0)$ obtenu
en interpolant linéairement le graphe de la marche aléatoire $(S_n;n\geq 0)$
et en renormalisant par
$S^{(n)}_t=\sfrac{S_{[nt]}}{\sqrt{n}}$,
converge en loi sur l'espace $C([0,\infty[,
\mathbb R)$ vers la mesure de Wiener. Ceci signifie que pour toute
fonction continue~$\Phi$ sur $C([0,\infty[,
\mathbb R)$, on a $E[\Phi(S^{(n)})]\limto{n\to\infty}
E_{\mathcal W}[\Phi(\omega)]$, où
$E_{\mathcal W}$ désigne l'espérance sous la mesure de Wiener.
Il est important d'avoir cette information pour pouvoir calculer les lois de
certaines fonctionnelles du mouvement brownien au moyen de l'approximation par
les marches aléatoires.
On notera que le fait que les variables $X_i$ soient des varia\-bles de Bernoulli
(\ie ne prennent que 2 valeurs) n'a pas une grande importance, le résultat
d'approximation est encore vrai sous l'hypothèse que les $X_i$ sont
équidistribuées, d'espérance nulle, et de variance égal à 1.
Ce résultat est connu
sous le nom de principe d'invariance de Donsker. Une bonne introduction au
mouvement brownien se trouve dans le livre de Karatzas et Shreve \cite{KSh}.

On peut visualiser la continuité des trajectoires, ainsi que
l'approximation par les marches aléatoires
au moyen d'une simulation informatique. Voici un programme simple en
Scilab qui trace la trajectoire de $S^{(n)}$ pour $t\in[0,1]$, avec lequel le
graphe ci-dessous a été tracé.

\bigskip
{\smaller\tt
xbasc();
plotframe([0 -2 1 2],[1,4,1,0]);
A=[0,1];B=[0,0];

plot2d(A,B,1,'000');}\hskip .1cm
{\smaller// Définition du cadre et tracé de l'axe des $x$.}

{\smaller\tt
N=10000; }\hskip 1cm {\smaller// C'est le nombre de pas.}

{\smaller\tt
rand('normal');
X=0;Y=0;SX=0;SY=0;

for i=2:N+1

\hskip 2cm U=X;X=X+1/N;
V=Y;

\hskip 1cm if rand(1)>0 then

\hskip 2cm Y=Y+1/(sqrt(N));

\hskip 1cm else

\hskip 2cm Y=Y-1/(sqrt(N));

end}
\hskip 1cm
{\smaller// Calcul des accroissements}

{\smaller\tt
SX=[U,X];
SY=[V,Y];
plot2d(SX,SY,1,'000');\hskip .2cm} {\smaller// Affichage}

{\smaller\tt
end
}

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=0.5]{xups02-03_fig4}}
\vspace*{-\baselineskip}
\caption{}\label{fig4}
\end{figure}

En dehors du mouvement brownien nous aurons besoin de deux autres processus
stochastiques très proches. Tout d'abord
le processus de Bessel de dimension 3, qui est
la norme euclidienne d'un mouvement brownien de dimension 3, autrement dit
\[
R_t=\sqrt{(B_t^{(1)})^2+(B_t^{(2)})^2+(B_t^{(3)})^2},
\]
où
$B^{(1)},B^{(2)},B^{(3)}$ sont des mouvements brownien indépendants.
La~loi de ses
marginales de rang fini est donnée, comme en (\ref{brown}), par\vspace*{-3pt}
\begin{multline}\label{bes3}
E[f(R_{t_1},\dots,R_{t_n})]=\int_{\mathbb R^n}f(x_1,\dots,x_n)q_{t_1}(0,x_1)
q_{t_2-t_1}(x_1,x_2)\\
\cdots q_{t_n-t_{n-1}}(x_{n-1},x_n)dx_1\cdots dx_n
\end{multline}
avec\vspace*{-3pt}
\begin{equation}\label{qt}
q_t(x,y)=\frac{y}{x}\,(p_t(x,y)-p_t(x,-y))\equiv\frac{y}{x}\,p^0_t(x,y),
\end{equation}
où $p_t$ a été défini en (\ref{PT}). On peut montrer que, avec
probabilité 1, on a
$R_t\limto{t\to\infty}+\infty$, et $R_t>0$ pour tout
$t>0$. D'autre part à l'aide de la formule de Feynman-Kac on peut trouver la
loi du premier instant où $R_t=x$. Si on pose $T_x=\inf\{t\mid R_t\geq x\}$ alors
on a\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{tlta}
E[e^{-\lambda T_x}]=\frac{x\sqrt{\lambda}}{\sinh x\sqrt{\lambda}}.
\end{equation}
Cette formule jouera un rôle important dans la suite.

Nous aurons besoin également du pont de Bessel de dimension trois, encore
appelé excursion brownienne, qui
s'obtient en conditionnant le processus de Bessel à atteindre 0 au temps $T$.
Comme le processus de Bessel de dimension 3 ne revient jamais en zéro, il~faut
définir ce conditionnement par un événement de probabilité 0 avec soin,
mais cela est possible et le pont de Bessel de dimension 3
est un processus stochastique $(e(t);t\in [0,T])$
indexé par un temps $t\in[0,T]$, dont la loi $n_T$ est telle que\vspace*{-3pt}
\begin{multline}\label{nT}n_T[f(e(t_1),\dots,e(t_n))]\\
=\int_{\mathbb R^n}f(x_1,\dots,x_n)q_{t_1}(0,x_1)
q_{t_2-t_1}(x_1,x_2)\\
\cdots q_{t_n-t_{n-1}}(x_{n-1},x_n)2(2\pi t^3)^{1/2}x_n^{-2}
q_{T-t_n}(0,x_n)dx_1\cdots dx_n
\end{multline}
pour $0< t_1< \cdots <t_n< T$.
Ce processus peut s'obtenir comme limite de la marche aléatoire $(S_n;n\geq
0)$, conditionnée à revenir en 0 au temps $N$. Plus précisément,
on a convergence des lois marginales de dimension finie\vspace*{-3pt}
\begin{multline}\label{limbes}
E\Big[f\Big(\frac{|S_{[t_1n]}|}{\sqrt{n}},\dots,
\frac{| S_{[t_nn]}|}{\sqrt{n}}\Big)\big|T_1=[Tn]\Big]\\[-5pt]
\limto{n\to\infty}n_T[f(e_{t_1},\dots,e_{t_n})]
\end{multline}
et on peut démontrer la convergence en loi du processus interpolé
linéairement, sur l'espace des fonctions
continues. De plus, avec probabilité $1$, on a
$e(0)=e(T)=0$, et $e(t)>0$ pour $0<t<T$.
Nous voyons donc que la mesure de probabilités de densité
$\Psi$ donnée par (\ref{H}) est la loi du maximum d'un pont de Bessel de
dimension 3, multiplié par $\sqrt{2/\pi}$, \ie on a
\begin{equation}
\label{mn1}
n_1(\sqrt{2/\pi}\max\{ e(t) ;0\leq t\leq 1\}\in dx)=\Psi(x) dx,\qquad x>0.
\end{equation}

Le mouvement brownien, le processus de Bessel et le pont possèdent une propriété d'invariance d'échelle cruciale.
Pour tout $\lambda>0$, la transformation $\omega\mapsto \omega_{\lambda}$
où
\begin{equation}\label{scaling}
\omega_{\lambda}(t)=\lambda^{-1/2}\omega(\lambda t )
\end{equation} laisse invariantes les lois du mouvement
brownien et du processus de Bessel, et
transforme la loi $n_T$ en
la loi $n_{T/\lambda }$.

\Subsection{L'équation fonctionnelle de la fonction zêta et la mesure d'Itô}\label{subsec:3.4}
Dans cette section nous allons interpréter l'équation fonctionnelle de la
fonction zêta de Riemann comme l'égalité en loi de deux variables
aléatoires.
Pour cela nous allons introduire la mesure d'Itô des excursions browniennes.
On considère l'espace des fonctions continues $\omega:\mathbb
R_+\to\mathbb R$, telles que
$\omega(0)=0$, et il existe $T(\omega)>0$ tel que $\omega(t)>0$ pour
$0<t<T(\omega)$, et $\omega(t)=0$ pour $t\geq T(\omega)$. La loi du processus
obtenu en interpolant linéairement le processus $|S_n|;0\leq n\leq T_1$
entre les temps entiers, et en prolongeant par zéro après le temps $T_1$,
est une mesure de probabilités sur cet espace. La
mesure d'Itô est la limite, quand $\lambda\to \infty$ des mesures
$\lambda P^\lambda$ où $P^\lambda $ désigne la loi du processus
changé d'échelle
$\lambda^{-1/2}|S_{t\lambda }|1_{t\leq T_1/\lambda}$. Cette mesure,
notée $n_+$,
est de masse totale infinie, mais peut être décrite par ses lois marginales
de rang fini
\begin{multline}
n_+(f(\omega(t_1),\dots, \omega(t_n))\\
=\int_{\mathbb R_+^n}2x_1
\frac{x_1e^{-\sfrac{x_1^2}{2t}}}{\sqrt{2\pi t^3}}p^0_{t_2-t_1}(x_1,x_2)
\cdots p^0_{t_n-t_{n-1}}(x_{n-1},x_n)dx_1\cdots dx_n,
\end{multline}
$p^0$ étant définie en (\ref{qt}).
On peut également décrire cette mesure à l'aide des lois $n_T$
définies en (\ref{nT}), par la formule
\begin{equation}\label{ito}
n_+=\int_0^{\infty}n_T\frac{2dT}{\sqrt{2\pi T^3}}
\end{equation}
qui suit du théorème limite (\ref{limbes}) et de (\ref{Probt}), par
application de la formule de Stirling
$$P(T_1=2n)=\frac{(2n-2)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}\sim \frac{1}{2\sqrt{\pi n^3}}.$$
La formule (\ref{ito}) signifie que la loi du temps de retour en $0$ sous~$n_+$ est $\sfrac{2dT}{\sqrt{2\pi T^3}}$, et conditionnellement à ce temps de retour,
le processus est un pont de Bessel de dimension 3.

La mesure d'Itô
est fondamentale pour comprendre le comportement du mouvement
brownien en dehors des temps où il s'annule.
On montre que
l'ensemble des zéros du mouvement brownien, c'est-à-dire l'ensemble
\hbox{$Z_{\omega}=\{t\in[0,\infty[\mid \omega(t)=0\}$}, qui est fermé par continuité
des trajectoires, est presque sûrement un ensemble
parfait (sans point isolé), de mesure de Lebesgue nulle.
En particulier, il est non dénombrable, et on ne peut pas définir
une suite croissante de temps qui l'épuise contrairement au cas de la marche
aléatoire, pour laquelle les temps $T_0,T_1,\dots, T_n,\dots$ forment une
suite discrète.
Néanmoins le complémentaire de cet ensemble étant ouvert, il
a une infinité dénombrable de composantes connexes, et les excursions du
mouvement brownien sont par définition les morceaux de trajectoire
correspondant à ces composantes connexes.
Suivant P.\,Lévy, on peut introduire le temps local du mouvement brownien $B$
par
$$L_t=\lim_{\varepsilon\to
0^+}\frac{1}{2\varepsilon}\int_0^t1_{|B_s|\leq \varepsilon}ds$$
ainsi que la fonction inverse $T_s=\inf\{t\mid L_t\geq s\}$, qui est l'analogue
continu de la suite $T_0,T_1,\dots $ définie pour la marche aléatoire.
Pour tout temps $s$ on
a \hbox{$B_{T_s}=0$} presque sûrement, et les excursions du mouvement brownien qui
ont lieu dans l'intervalle $[0,T_s]$ forment un processus de Poisson ponctuel,
d'intensité $n_+$. Cela signifie que pour toute famille de parties
boréliennes disjointes
$A_1,\dots, A_k$
de
l'ensemble des fonctions continues, si on note $N(A_j)$ le nombre
d'excursions du mouvement
brownien dans l'intervalle $[0,T_s]$ qui sont dans l'ensemble $A_j$, alors les
variables aléatoires $N(A_j)$ sont indépendantes, chacune ayant la loi de
Poisson de paramètre $n^+(A_j)$.

Retournons maintenant à notre but initial qui était d'expliquer l'équation
fonctionnelle de zêta en termes probabilistes.
La
description suivante de la mesure d'Itô est due à David Williams.
On considère deux processus de Bessel de dimension 3 (\cf
(\ref{bes3})), indépendants, $(R^1_t;t>0)$ et $(R^2_t;t>0)$.
Soit \hbox{$x\in\mathbb R_+$}, on note $T^1_x$ et $T^2_x$
les temps d'atteinte de $x$ par $R^1$ et $R^2$
respectivement, et on considère la loi du processus
défini par
$$e(t)=\begin{cases}
R_t^1&\text{pour $0\leq t\leq T^1_x$}\\
R^2_{T^1_x+T^2_x-t}&\text{pour $T^1_x\leq t\leq T^1_x+T^2_x$}\\
0 & \text{pour $t\geq T^1+T^2$}
\end{cases}
$$
On appelle $n^x$ la loi de ce processus, qui est donc obtenu en recollant \og dos
à dos\fg
deux copies du processus de Bessel, arrêté à son premier instant
de passage en $x$. La décomposition de Williams de la mesure
d'Itô s'énonce
\begin{equation}\label{will}n_+=\int_0^\infty n^x\frac{2dx}{x^2}
\end{equation}
Autrement dit, sous la mesure d'Itô, la loi du maximum de l'excursion
est $\sfrac{2dx}{x^2}$ et conditionnellement à ce maximum
$M=x$, la loi de $e$ est $n^x$.
En particulier, conditionnellement à la valeur du maximum, la loi du temps
de retour en 0
est celle de la somme de deux temps d'atteinte de $x$ par des processus
de Bessel de dimension 3, indépendants. Considérons maintenant la loi du
couple $(M,V)$ sous la mesure~$n_+$, où $M$ désigne le maximum de l'excursion
et $V$ est
le temps de retour en 0, \ie $V=\inf\{t>0\mid \omega(t)=0\}$.
Conformément à la description d'Itô (\ref{ito}), et en utilisant
l'invariance par changement d'échelle (\ref{scaling}),
nous pouvons écrire $$(M,V)\buildrel\text{(loi)}\over{=}(\sqrt{V}m,V)$$
où $m$ désigne le maximum d'un pont de Bessel, suivant la loi $n_1$,
indépendante de $V$.
De même, la
décomposition de Williams donne
$$(M,V)\buildrel{\text{(loi)}}\over {=}(M,M^2(T^1+T^2))$$
où $T^1$ et $T^2$ sont les
temps d'atteinte de $1$ par deux processus de Bessel de dimension 3
indépendants de $M$.
La relation
$$(\sqrt{V}m,V)\buildrel{\text{(loi)}}\over {=}(M,M^2(T^1+T^2))$$
entraîne une relation entre les lois des variables aléatoires $m$ et
\hbox{$T^1\!+\!T^2$}, mais il faut être vigilant car la conclusion hâtive, que
$m$ a même loi que $(T^1+T^2)^{-1/2}$ (obtenue en considérant la loi de
$M/\sqrt{V}$), est fausse! En effet, la loi de $(M,V)$ est une mesure de masse
totale infinie et son image par l'application $(M,V)\mapsto M/\sqrt{V}$
est une mesure dégénérée, qui vaut $+\infty$ sur tout ensemble de
mesure de Lebesgue $>0$.
La véritable relation entre les lois de $m$ et de $T^1+T^2$ est la suivante,
pour toute fonction borélienne $f:\mathbb R_+\!\times\! \mathbb R_+
\!\to\! \mathbb R_+$ on~a
\begin{equation}\label{mT}n_1[f(m^2)]=
\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,E\big[f(1/(T^1+T^2))\sqrt{T^1+T^2}\big].
\end{equation}
Pour vérifier cette égalité on écrit la suite d'égalités suivante, pour une
fonction positive $g$, en appliquant successivement les identités
(\ref{ito}) et (\ref{will}),
et les propriétés de changement d'échelle (\ref{scaling})
\begin{align*}
n^+(f(M^2/V)g(V))&=\int_0^{\infty}n_v(f(M^2/v)g(v))\frac{2dv}{\sqrt{2\pi v^3}}
\\ &=n_1(f(m^2))\int_0^{\infty}g(v)\frac{2dv}{\sqrt{2\pi v^3}}
\\ &=\int_0^{\infty}n^x(f(x^2/(T^1_x+T_x^2))g(T^1_x+T_x^2))\frac{2dx}{x^2}
\\&=E\Big[f(1/(T^1+T^2))\int_0^{\infty}(g(x^2(T^1+T^2))\frac{2dx}{x^2}\Big]
\\ &=E\big[f(1/(T^1_x+T_x^2))\sqrt{T^1+T^2}\big]\int_0^{\infty}g(v)\frac{dv}{v^{3/2}}.
\end{align*}
L'égalité entre les lignes 2 et 5 donne le résultat.

On peut encore écrire la relation (\ref{mT}) en terme des densités des lois
de $m$ et de $\sqrt{T^1+T^2}$. Si nous appelons respectivement $\Psi_1$ et
$\Psi_2$
ces densités, alors on a la relation
\begin{equation}\label{mT2}\Psi_1(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,x^{-3}\Psi_2(x^{-1}).
\end{equation}
Dans la discussion ci-dessus nous n'avons pas utilisé la connaissance
explicite
des lois de $m$ et $T^1+T^2$, par conséquent on peut considérer
la relation
(\ref{mT2}) comme une conséquence de la propriété de changement
d'échelle du mouvement brownien et de la mesure d'Itô.
Si~nous nous rappelons maintenant que la
loi de $\sqrt{2/\pi}m$ a été calculée précédemment (\ref{mn1}),
et que sa densité vaut~$\Psi$, qui satisfait (\ref{efH}),
alors nous observons l'identité curieuse suivante
\begin{equation}\label{mTz}
m^2\buildrel{\text{(loi)}}\over{=}\frac{\pi}{2}(T^1+T^2).
\end{equation}
Les deux identités (\ref{mT2}) et (\ref{mTz}) sont donc équivalentes, au vu de
(\ref{mn1}), à l'équation fonctionnelle (\ref{efH}). Finalement puisque
(\ref{mT2}) est une conséquence immédiate de l'invariance d'échelle du
mouvement brownien, nous voyons que c'est l'identité
(\ref{mTz}) qui peut être considérée comme la traduction probabiliste de
l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann. Je ne connais pas de
démonstration direc\-te de cette identité, qui ne passe pas par un calcul
explicite des lois en question. Il serait très intéressant d'avoir une
démonstration purement combinatoire de cette identité, au moyen de
manipulation sur les trajectoires du mouvement brownien.

\subsection{Une approximation de la fonction zêta}\label{subsec:3.5}
Nous allons terminer ce petit voyage au pays des probabilités par une
application inattendue des idées développées jusqu'ici, en obtenant, par
des considérations probabilistes simples, une
renormalisation de la série $\sum_{n=1}^{\infty}\sfrac{(-1)^n}{n^s}$
qui a le bon
goût de converger dans tout le plan complexe vers la fonction entière
\hbox{$(2^{1-s}-1)\zeta(s)$}. Plus exactement nous allons déterminer des coefficients
$(a_{n,N};0\leq n\leq N)$ tels que, pour tout $n$ on a $a_{n,N}\xrightarrow[{N\to\infty}]{}
(-1)^n$, et les sommes partielles
$\sum_{n=1}^N\sfrac{a_{n,N}}{n^s}$
convergent, uniformément sur tout compact de $s\in \mathbb C$, vers la
fonction entière $(2^{1-s}-1)\zeta(s)$. Rappelons que cette fonction entière
est la somme de la série $\sum_{n=1}^\infty \sfrac{(-1)^n}{n^s}$,
convergente
sur $\Re(s)>1$.
Le choix des coefficients $a_{n,N}$ nous permet de fixer arbitrairement la
valeur de la série $\sum_{n=1}^N\sfrac{a_{n,N}}{n^s}$ en $N$ valeurs de $s$.
Il~est
naturel de choisir pour ces $N$ valeurs, d'une part $s=0$, d'autre part
$s=-2,-4,\dots, -2(N-1)$, où la fonction zêta s'annule. Il n'est pas
difficile de voir que cela entraîne que
$$a_{n,N}=(-1)^n\frac{(N!)^2}{(N-n)!(N+n)!},$$
et l'on a bien
$$a_{n,N}\xrightarrow[{N\to\infty}]{}(-1)^n.$$
Nous allons maintenant relier cette renormalisation de la série
$\sum_{n=1}^N(-1)^nn^{-s}$ aux considérations qui précèdent. Tout
d'abord, la~non-convergence de la série $\sum_{n=1}^{\infty}
n^{-s}$ pour $\Re (s)<1$ se
traduit, sur la fonction $\Psi$,
par le fait que la série (\ref{H}) ne converge pas uniformément sur
$\mathbb R_+$, en effet il est facile de voir que
$$\min_{y\in[0,\varepsilon]}
4y\sum_{n=1}^N\left({2\pi^2 n^4}{y^2}-{3\pi n^2}\right)
e^{-\pi n^2y^2}\xrightarrow[{N\to\infty}]{}-\infty$$
pour tout $\varepsilon>0$ (mais la convergence est uniforme ailleurs).
En particulier, les sommes partielles ne sont pas positives. Nous allons donc
chercher une approximation probabiliste de la fonction $\Psi$ en approchant
une
variable aléatoire de loi de densité
$\Psi$ par des variables aléatoires
plus simples. Pour cela rappelons
la transformée de Laplace, déduite de (\ref{tlta}) et (\ref{mTz}), ou qui
peut se calculer directement en intégrant terme à terme (\ref{H}),
$$\int_0^{\infty}e^{-\lambda y^2}\Psi(y)dy=\Big(\frac{\sqrt{\pi\lambda}}
{\sinh\sqrt{\pi\lambda}}\Big)^2.$$
La formule d'Euler$$\frac{\pi x}{\sinh \pi
x}=\prod_{n=1}^\infty \big(1+\frac{x^2}{n^2}\big)^{-1}$$
et la formule élémentaire
$$E[e^{-\kappa E}]=\int_0^{\infty}e^{-t}e^{-\kappa t}dt=(1+\kappa
)^{-1}$$ qui donne la transformée de Laplace d'une variable aléatoire $E$,
de
loi exponentielle $P[E>t=e^{-t}]$ pour $t\geq 0$, montrent que l'on a
l'égalité en
loi
$$X^2=\pi\sum_{n=1}^\infty\frac{E_n+E'_n}{n^2},$$ où $X$
est une variable aléatoire
ayant pour densité $\Psi$ et les $E_n$ et $E'_n$ sont des variables
aléatoires indépendantes, de loi exponentielle.
Il~est alors naturel
d'essayer d'approcher la variable $X^2$ par les sommes partielles
$\pi\sum_{n=1}^\infty\psfrac{E_n+E'_n}{n^2}$. Cela mène à une approximation
de la fonction $(1-s)\zeta(s)$ qui converge dans tout le plan complexe,
toutefois les calculs sont plus compliqué que dans le cas simple que nous
allons considérer, qui est celui de la
variable aléatoire $$Y=\sum_{n=1}^\infty E_n/n^2$$ qui vérifie
$$E[Y^s]=s(1-2^{1-s})\Gamma(s/2)\zeta(s).$$
et que l'on peut approcher par les sommes partielles
$\sum_{n=1}^NE_n/n^2$.
En décomposant la fraction rationnelle
$\prod_{n=1}^N(1+x^2/n^2)^{-1}$ en éléments simples on obtient la formule
$$E\Big[\Big(\sum_{n=1}^NE_n/n^2\Big)^{s/2}\Big]
=-s\Gamma(s/2)\sum_{n=1}^Na_{n,N}n^{-s}$$
Il est alors facile d'en déduire, en utilisant les inégalités de Hölder,
que
$$\sum_{n=1}^Na_{n,N}n^{-s}\longrightarrow(2^{1-s}-1)\zeta(s),$$
la convergence étant uniforme sur tout compact de $\mathbb C$.

\backmatter
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups02-03}
\end{document}

