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\hyphenation{modu-lo}

\begin{document}
\def\partname{Chapitre}

\frontmatter
\title{Arithmétique de la fonction zêta}

\author[\initial{P.} \lastname{Colmez}]{\firstname{Pierre} \lastname{Colmez}}
\address{Équipe d'arithmétique,
Institut de mathématiques,
Tour 46-56 -5ème étage- Boîte 247,
4, place Jussieu,
75252 Paris Cedex 05,
France}
\email{pierre.colmez@imj-prg.fr}
\urladdr{https://webusers.imj-prg.fr/~pierre.colmez/}

\thanks{Journées X-UPS 2002. La fonction zêta. Éditions de l'École polytechnique, 2002}

\maketitle
\vspace*{-2\baselineskip}
{\let\\ \relax \tableofcontents}
\mainmatter

\chapter*{Introduction}

La fonction zêta de Riemann est définie pour ${\rm Re}(s)>1$
par la série $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-s}$ et elle possède
un prolongement à tout le plan complexe avec une équation
fonctionnelle reliant $s$ à $1-s$.
Cette fonction et ses généralisations (fonctions zêta de Dedekind,
de Hasse-Weil, fonctions~$L$ de Dirichlet, de formes modulaires\dots)
jouent un rôle central en arithmétique et leurs valeurs aux
entiers (valeurs spéciales, dans la terminologie en vigueur)
contiennent une multitude de renseignements concernant l'arithmétique
des objets attachés à ces fonctions.
Un des slogans à la mode est d'ailleurs {\og les fonctions~$L$ savent
tout; à nous de les faire parler\fg}.

\smallskip
Dans ce texte, nous nous concentrerons sur les valeurs aux entiers
de la fonction $\zeta$. Les valeurs aux entiers négatifs de la fonction~$\zeta$
sont des nombres rationnels (par exemple, $\zeta(0)=-\sfrac{1}{2}$,
$\zeta(-1)=-\sfrac{1}{12}$, $\zeta(-2)=0$, \dots) et on doit à Kummer
le premier résultat concernant les renseignements cachés
dans ces nombres. Il a en effet démontré que, si $p$ est un nombre
premier~$\geq 3$
ne divisant pas les numérateurs de $\zeta(-1),\zeta(-3),\dots,\zeta(2-p)$,
alors $p$ ne divise pas le nombre de classes d'idéaux du corps $\Q(
e^{\sfrac{2i\pi}{p}})$ et en a déduit le théorème de Fermat pour
un tel nombre premier. Ce n'est que récemment que Mazur et Wiles
ont donné une formule donnant la puissance de $p$ divisant exactement
le numérateur de $\zeta(k)$, si $k$ est un nombre entier~$\leq 0$
impair (on a $\zeta(k)=0$ si $k$ est un entier pair~$\leq -2$).
Cette formule fait intervenir les groupes des classes d'idéaux des corps
cyclotomiques $\Q(e^{\sfrac{2i\pi}{p^n}})$, pour $n\in\N$.

\smallskip
Les valeurs aux entiers positifs ont gardé leur mystère plus longtemps.
On sait depuis Euler que l'on a $\zeta(2)=\sfrac{\pi^2}{6}$,
$\zeta(4)=\sfrac{\pi^4}{90}$ et, plus généralement, que
$\pi^{-2k}\zeta(2k)$ est un nombre rationnel si $k$ est un entier~$\geq 1$;
ce nombre rationnel peut d'ailleurs s'exprimer en terme de $\zeta(1-2k)$
grâce à l'équation fonctionnelle. Ce n'est que très récemment
que l'on a réussi, grâce aux travaux de Beilinson et
de Bloch et Kato, à décoder l'information arithmétique
contenue dans les valeurs aux entiers impairs positifs.
La réponse fait intervenir des objets trop compliqués
pour être donnée de manière précise, mais elle fournit un lien
entre les valeurs aux entiers positifs de la fonction zêta et les
valeurs aux nombres rationnels des fonctions polylogarithmes
(le $k$-logarithme est défini par la série $\sum_{n=1}^{+\infty}
\sfrac{z^n}{n^k}$, si $|z|<1$) que nous avons explicité dans le texte.

\smallskip
Le nombre $\pi$ étant transcendant sur~$\Q$, les nombres
$\zeta(2k)$, $k$ entier~$\geq 1$ sont tous irrationnels.
Bien que tout le monde soit persuadé qu'il doive en être de même
pour les $\zeta(2k+1)$, il a fallu attendre 1978 pour qu'Apéry démontre
que $\zeta(3)$ est irrationnel. Entre 1978 et 2000, il n'y a eu
aucun progrès sur la question, mais Rivoal a démontré en~2000
qu'il existe une infinité de $\zeta(2k+1)$, $k$ entier~$\geq 1$, qui
sont irrationnels. Ce résultat est purement existentiel; on ne
peut en déduire l'irrationalité d'aucun $\zeta(2k+1)$ particulier.

\smallskip
La démonstration du théorème de Kummer auquel il a été fait
allusion ci-dessus repose sur trois ingrédients : la formule
analytique du nombre de classes qui donne une formule pour le
nombre de classes d'idéaux du corps $\Q(
e^{\sfrac{2i\pi}{p}})$ en termes du comportement en $s=1$ (ou $s=0$) de
la fonction zêta de Dedekind de ce corps (illustration du principe
selon lequel les fonctions~$L$ savent tout!), une factorisation
de cette fonction zêta de Dedekind en produit de fonctions~$L$
de Dirichlet et une congruence modulo~$p$ entre la valeur en $s=0$ de ces
fonctions~$L$ de Dirichlet et les valeurs de la fonction $\zeta$
aux entiers néga\-tifs. Ces congruences modulo~$p$ se généralisent
en des congruences modulo~$p^n$, pour tout $n\in\N$, entre les
valeurs aux entiers négatifs de la fonction~$\zeta$. D'un point
de vue moderne, ces congruences,
découvertes elles-aussi par Kummer,
sont équivalentes à l'existence d'une fonction continue sur
l'anneau $\Z_p$ des entiers $p$-adiques et dont les valeurs aux
entiers négatifs sont liées à celles de la fonction zêta.
Les zéros de cette
fonction zêta $p$-adique (aussi appelée fonction zêta de Kubota-Leopoldt)
sont bien compris, contrairement à ceux de 
la fonction zêta de Riemann...
Le théorème de Mazur et Wiles mentionné ci-dessus en fournit
une description en termes d'action du groupe de Galois sur les groupes de
classes d'idéaux.

\smallskip
Les valeurs de la fonction zêta
de Riemann apparaissent dans le terme constant du développement
de Fourier de certaines formes modulaires appelées
Séries d'Eisenstein. Ce lien représente un
des outils les plus puissants que l'on ait pour étudier l'arithmétique
de ces valeurs. Par exemple, Serre a donné une construction de la
fonction zêta de Kubota-Leopoldt utilisant le fait que tous les
termes, sauf le terme constant, du développement
de Fourier des séries d'Eisenstein sont, de manière visible,
des fonctions $p$-adiquement continues et donc qu'il en est de
même du terme constant. Ce {\og donc\fg} demande un lourd arsenal
de géométrie algébrique pour être justifié: il faut partir
d'objets définis analytiquement (formes modulaires) et aboutir dans un
monde où on peut parler de congruence modulo~$p$, ce qui représente
un très long trajet.
Cet arsenal est d'ailleurs fondamental dans la démonstration du
résultat de Mazur et Wiles et dans la démonstration de Wiles
du théorème de Fermat.
Pour illustrer, de manière plus élémentaire,
l'intérêt de l'utilisation des formes modulaires dans l'étude
de la fonction zêta, nous avons inclus une démonstration (inédite?)
de l'équation fonctionnelle utilisant les séries d'Eisenstein.

\smallskip
Ce texte est divisé en gros en deux parties, la première traitant
de la théorie complexe et la seconde de la théorie $p$-adique.

La première partie comporte trois chapitres. Dans le premier,
on explore en détail les propriétés de la fonction $\zeta$
et les propriétés de rationalité de ses valeurs aux entiers;
tout ce qui est démontrable est démontré. 
Le lecteur intéressé par les polylogarithmes
est invité à consulter l'exposé
{\og Polylogarithmes\fg} d'Oesterlé au séminaire
Bourbaki. Ce chapitre comporte
aussi un \S\ sur la fonction zêta de Dedekind d'un corps de nombres
sans aucune démonstration (pour en savoir plus, on pourra
consulter le livre {\it Théorie des nombres} de \hbox{Borevitch} et Chafarevitch).
Dans le second, on donne une démonstration complète du théorème
de Rivoal (pour des compléments
sur les nombres polyzêtas, nous renvoyons au texte
{\og Valeurs zêta multiples. Une introduction\fg}
de Waldschmidt). Le troisième est consacré aux formes modulaires et leur
lien avec les fonctions~$L$ de l'arithmétique (le lecteur consultera
avec profit les livres {\it Cours d'arithmétique} de Serre,
{\it Introduction to modular forms} de Lang,
{\it Introduction to elliptic curves and modular forms} 
de Koblitz ou encore 
{\it Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles} de
Hellegouarch et {\it Automorphic forms and representations}
de Bump, pour des compléments
intéressants).

La seconde partie comporte aussi trois chapitres. Comme les nombres
$p$-adiques ne font pas partie du bagage de tout mathématicien
(ils ne sont pas enseignés en classe préparatoire, ce qui est
un peu dommage : je suis sûr que les taupins apprécieraient
de travailler dans un monde où une série converge si et
seulement si son terme général tend vers~$0$), nous
avons consacré un chapitre à leur construction (la construction
du corps $\C_p$ est un peu plus longue que celle de $\C$, mais pas
beaucoup) et un chapitre à l'analyse sur~$\Z_p$.
Le dernier chapitre est, quant à lui, consacré à la construction
de la fonction zêta $p$-adique. Le second chapitre contient beaucoup
plus de choses que ce qui est nécessaire pour cette construction
(les mesures suffiraient, mais les distributions deviennent
indispensables pour construire des fonction~$L$ $p$-adiques plus générales,
par exemple celles attachées aux formes modulaires).
Pour d'autres points de vue sur les nombres $p$-adiques, le lecteur
pourra consulter les livres 
{\it $p$-adic numbers, $p$-adic analysis, and zeta-functions}
et {\it $p$-adic analysis: a short course on recent work}
de Koblitz ou {\it  An introduction to G-functions}
de Dwork, Gerotto et Sullivan.
L'énoncé précis du théorème de Mazur et Wiles n'est pas donné
dans le texte, pas plus que l'application au théorème de Kummer
et nous renvoyons le lecteur intéressé
aux livres {\it Introduction to cyclotomic fields}
de Washington ou {\it Cyclotomic fields I and II}
de Lang (pour le théorème
de Kummer, on peut aussi lire la démonstration dans l'ouvrage
de Borevich et Chafarevitch déjà cité).

\chapter{la fonction zêta de Riemann}

\section{Prolongement analytique et valeurs aux entiers négatifs}
Soit $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-s}=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$
la fonction zêta de Riemann. Soit $\Gamma(s)=\dpl\int_{t=0}^{+\infty}e^{-t}t^s
\frac{dt}{t}$ la fonction $\Gamma$ d'Euler. Cette fonction est holomorphe
pour ${\rm Re}(s)>0$ et satisfait l'équation fonctionnelle
$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$, ce qui permet de la prolonger en une fonction
méromorphe sur~$\C$ tout entier.

\begin{lemm}\label{1.1}
Si ${\rm Re}(s)>1$, alors
$$\zeta(s)={1\over{\Gamma(s)}}\int_0^{+\infty}{1\over{e^t-1}}t^s{{dt}\over t}.$$
\end{lemm}

\demo Il suffit d'écrire $\dpl{1\over{e^t-1}}$ sous la forme
$\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nt}$ et d'utiliser la formule
$\dpl\int_{0}^{+\infty}e^{-nt}t^s{{dt}\over t}={{\Gamma(s)}\over {n^s}}$.

\begin{prop}\label{1.2}
Si $f$ est une fonction ${\cal C}^\infty$ sur $\R_+$ à décroissance
rapide à l'infini, alors la fonction
$$L(f,s)={1\over{\Gamma(s)}}\int_0^{+\infty}f(t)t^s{{dt}\over t}$$
définie pour ${\rm Re}(s)>0$ admet un prolongement holomorphe à
$\C$ tout entier et, si $n\in\N$, alors
$L(f,-n)=(-1)^n f^{(n)}(0)$.
\end{prop}

\demo Soit $\varphi$ une fonction ${\cal C}^\infty$
sur $\R_+$, valant $1$ sur $[0,1]$ et~$0$ sur $[2,+\infty[$.
On peut écrire $f$ sous la forme $\varphi f$+ $(1-\varphi)f$ et
$L(f,s)$ sous la forme $L(\varphi f,s)+L((1-\varphi)f,s)$ et
comme $(1-\varphi)f$ est nulle dans un voisinage de
$0$ et à décroissance rapide à l'infini,
l'intégrale
\[
\dpl\int_0^{+\infty}f(t)t^s{{dt}\over t}
\]
définit
une fonction holomorphe sur $\C$ tout entier. Comme de plus,
${1/{\Gamma(s)}}$ s'annule aux entiers négatifs,
on a $L((1-\varphi)f,-n)=0$ si $n\in\N$. On voit donc
que, quitte à remplacer $f$ par $(1-\varphi)f$, on peut
supposer $f$ à support compact.
Une intégration par partie nous fournit alors la formule
$L(f,s)=-L(f',s+1)$ si ${\rm Re}(s)>1$, ce qui permet de prolonger
$L(f,s)$ en une fonction holomorphe sur $\C$ tout entier.
D'autre part, on a
\begin{multline*}
L(f,-n)=(-1)^{n+1}L(f^{(n+1)},1)\\[-5pt]
= (-1)^{n+1}\int_0^{+\infty}f^{(n+1)}(t)dt=(-1)^nf^{(n)}(0),
\end{multline*}
ce qui termine
la démonstration.
\medskip

On peut en particulier appliquer cette proposition à
$\dpl f_0(t)={t\over{e^t}-1}$. Soit $\sum_{n=0}^{+\infty}B_n{{t^n}/{n!}}$
le développement de Taylor de $f_0$ en $0$. Les $B_n$ sont des nombres
rationnels appelés nombres de Bernoulli et qu'on retrouve
dans toutes les branches des mathématiques. On a en particulier
$$B_0=1,\quad B_1=-{1\over 2},\quad B_2={1\over 6}, \quad B_4={{-1}\over{30}},
\quad \dots,
\quad B_{12}={{-691}\over {2730}},$$
et comme $f_0(t)-f_0(-t)=-t$, la fonction
$f_0$ est presque paire et $B_{2k+1}=0$ si $k\geq 1$. Un test presque
infaillible pour savoir si une suite de nombres a un rapport avec les nombres
de Bernoulli est de regarder si $691$ apparaît dans les premiers termes de
cette suite.

\skpt
\begin{theo}\label{1.3}
{\rm (i)} La fonction $\zeta$ a un prolongement méromorphe
à $\C$ tout entier, holomorphe en dehors d'un pôle simple
en $s=1$ de résidu $1$.

{\rm (ii)} Si $n\!\in\!\Q$, alors
$\dpl\zeta(-n)\!=\!(-1)^n{{B_{n+1}}\over{n+1}}$; en particulier, $\zeta(-n)\!\in\!\Q$.
\end{theo}

\demo On a $\zeta(s)={1\over{s-1}}L(f_0,s-1)$ comme on le constate
en utilisant la formule $\Gamma(s)=(s-1)\Gamma(s-1)$; on en déduit
le résultat.

\section{Valeurs aux entiers positifs pairs}

\begin{prop}
Si $z\in\C-\Z$, alors
$$\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(\frac{1}{z+n}+\frac{1}{z-n}\Big)=
\pi{\rm cotg}\,\pi z.$$
\end{prop}

\demo
Notons $F(z)$ la fonction\vspace*{-3pt}
$$F(z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(\frac{1}{z+n}+\frac{1}{z-n}\Big)=
\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}.$$
La convergence absolue de la série dans le second membre
montre que $F(z)$ est une fonction méromorphe sur $\C$, holomorphe
sur $\C-\Z$ avec des pôles simples de résidu $1$ en les entiers,
que $F$ est impaire et périodique de période~$1$.
La fonction $G(z)=F(z)-\pi{\rm cotg}\,\pi z$ est donc holomorphe sur $\C$,
impaire et périodique de période $1$.

Si $-\sfrac{1}{2}\leq x\leq\sfrac{1}{2}$, on a
$|z^2-n^2|\geq y^2+n^2-\sfrac{1}{4}$ et $|z|\leq y+\sfrac{1}{2}$.
On obtient donc\vspace*{-3pt}\enlargethispage{.5\baselineskip}
\begin{align*}
\Big|\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}\Big|
&\leq\sum_{n=1}^{+\infty}
\Big|\frac{2z}{z^2-n^2}\Big|\leq
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2y+1}{y^2-\frac{1}{4}+n^2}\\
&\leq\int_0^{+\infty}\frac{2y+1}{y^2-\frac{1}{4}+x^2}dx=\frac{\pi}{2}\cdot
\frac{2y+1}{\sqrt{y^2-\frac{1}{4}}}.
\end{align*}
Comme la fonction $\pi{\rm cotg}\,\pi z$ est bornée sur
$|{\rm Im}(z)|\geq1$, il existe $c>0$ tel que $|G(z)|\leq c$ si
$z=x+iy$ et $-\sfrac{1}{2}\leq x\leq\sfrac{1}{2},\ y\geq 1$.
De plus, $G$ étant holomorphe,
il existe $c'>0$ tel que $|G(z)|\leq c'$ si
$z=x+iy$ et $-\sfrac{1}{2}\leq x\leq\sfrac{1}{2},\ 0\leq y\leq 1$
et $G$ étant impaire et périodique de période $1$, on a alors
$|G(z)|\leq\sup(c,c')$ quel que soit $z\in\C$.
La fonction $G$ est donc bornée sur $\C$ tout entier,
donc constante et nulle car impaire. Ceci permet de conclure.

\smallskip
Maintenant, on a d'une part\vspace*{-3pt}
$$\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}=
\frac{1}{z}-\sum_{n=1}^{+\infty}2z\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{z^{2k}}{n^{2k+2}}=
\frac{1}{z}-2\sum_{k=1}^{+\infty}\zeta(2k)z^{2k-1},$$
et d'autre part,\vspace*{-3pt}
$$\pi{\rm cotg}\,\pi z=i\pi\frac{e^{2i\pi z}+1}{e^{2i\pi z}-1}=
i\pi+\frac{2i\pi}{e^{2i\pi z}-1}=i\pi+\frac{1}{ z}
\sum_{n=0}^{+\infty}B_n\frac{(2i\pi z)^n}{n!}.$$
On en déduit le résultat suivant.

\begin{theo}\label{2k}
Si $k$ est un entier~$\geq 1$, alors\vspace*{-3pt}
$$\zeta(2k)=-\frac{1}{2} B_{2k}\frac{(2i\pi)^{2k}}{(2k)!}.$$
En particulier, $\pi^{-2k}\zeta(2k)$ est un nombre rationnel.
\end{theo}
\section{Polylogarithmes et valeurs aux entiers positifs\\ de la fonction zêta}
\Subsection{Polylogarithmes}
Si $k$ est un entier $\geq 1$, on note ${\rm Li}_k(z)$
la fonction définie, pour $|z|<1$, par la formule
$${\rm Li}_k(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^n}{n^k}.$$
Ces fonctions ${\rm Li}_k$, appelées {\it polylogarithmes} (${\rm Li}_2$
est le {\it dilogarithme}, ${\rm Li}_3$ le {\it trilogarithme}\dots),
ont été introduites par Leibniz, mais n'ont commencé à jouer un
rôle important que depuis une vingtaine d'années;
on s'est aperçu récemment qu'elles apparaissaient naturellement
dans de multiples questions (volumes de variétés hyperboliques,
valeurs aux entiers des fonctions zêtas, cohomologie de
${\bf GL}_n(\C)$...).

On a
\[
{\rm Li}_1(z)=-\log(1-z),\quad\text{et}\quad \dfrac{d}{dz}
{\rm Li}_k(z)=z^{-1}{\rm Li}_{k-1}(z),
\]
ce qui permet de prolonger
analytiquement ${\rm Li}_k(z)$, par récurrence sur $k$, en une fonction
holomorphe multivaluée sur $\C-\{0,1\}$. (On est obligé
de supprimer $0$ bien que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}\sfrac{z^n}{n^k}$
n'ait pas de singularité en $0$ car, après un tour autour de~$1$,
la fonction ${\rm Li}_1(z)=-\log(1-z)$ augmente de $2i\pi$ et donc
vaut $2i\pi$ en~$0$, ce qui fait que ${\rm Li}_2(z)=\int
z^{-1}{\rm Li}_1(z)$ a une singularité logarithmique en $0$.)
Pour prolonger analytiquement $\log z$ et les ${\rm Li}_k(z)$, $k\geq 1$,
il faut choisir un chemin~$\gamma_z$ dans $\C-\{0,1\}$ reliant un point
fixe (nous prendrons $\sfrac{1}{2}$ comme point de base de tous nos
chemins) à $z$ et poser
\begin{align}
\log z&=-\log 2+\int_{\gamma_z}\frac{dt}{t},\notag\\
{\rm Li}_1(z)&=\log 2+\int_{\gamma_z}\frac{dt}{1-t}\notag\\
\tag*{et}
{\rm Li}_k(z)&=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{-n}}{n^k}+
\int_{\gamma_z}{\rm Li}_{k-1}(t)\frac{dt}{t}.
\end{align}
Si on change le chemin $\gamma_z$, il existe $b,a_1,a_2,\dots{} \in\Q$ (avec
$a_k\in\frac{1}{(k-1)!}\Z$)
tels que $\log z$, ${\rm Li}_1(z)$, ${\rm Li}_2(z)$ et
${\rm Li}_k(z)$
deviennent respectivement $\log z+b{\cdot}2i\pi$,
\begin{align}
&{\rm Li}_1(z)+a_1{\cdot}2i\pi,\quad{\rm Li}_2(z)+a_1{\cdot}2i\pi\log z+a_2\cdot(2i\pi)^2\notag\\
\tag*{et}
&{\rm Li}_k(z)+\sum_{j=1}^ka_j{\cdot}(2i\pi)^j\frac{\log^{k-j}z}{
(k-j)!}.
\end{align}

\Subsection{La version analytique réelle des fonctions polylogarithmes}
La fonction polylogarithme ${\rm Li}_k$ a un petit frère analytique
réel $P_k$ qui a le bon goût d'être monovalué; cette
fonction joue, pour ${\rm Li}_k$, le rôle que joue
$z\mto\log{z\overline z}$ pour la fonction logarithme.

Si $k\in\N-\{0\}$, soit $C_k\in\Q[X]$ l'unique polynôme
vérifiant
$$C_k(X+1)-C_k(X)=\frac{X^{k-1}}{(k-1)!}\quad{\rm et}
\quad \int_0^1C_k(t)dt=0.$$
Le polynôme $C_k$ est un multiple du $k$-ième polynôme de Bernoulli;
on a $c_k=C_k(0)=\sfrac{B_k}{k!}$, où $B_k$ est le $k$-ième
nombre de Bernoulli, et $C_k(X)=\sum_{i=0}^kc_i\sfrac{X^{k-i}}{(k-i)!}$
(ceci peut se démontrer en remarquant que $C_k'=C_{k-1}$).

\begin{prop}
Si $k$ est un entier~$\geq1$, la fonction
$$P_k(z)=\sum_{\ell=0}^{k-1}c_\ell\cdot(\log z\overline z)^\ell\cdot
\Big({\rm Li}_{k-\ell}(z)+(-1)^{k-1}\overline{{\rm Li}_{k-\ell}(z)}\Big)$$
est une fonction monovaluée sur $\C-\{0,1\}$, analytique
réelle, à valeurs dans~$\R$ {\rm (}\resp $i\R${\rm)}
si $k$ est impair {\rm (}\resp si $k$ est pair{\rm)}.
\end{prop}

\demo
La seule chose non évidente est le fait que $P_k(z)$ ne dépend
pas du choix de $\gamma_z$. Notons $L$ la fonction $\log z$.
D'après la discussion ci-dessus, si on change
$\gamma_z$, la nouvelle valeur de $P_k(z)$ diffère de l'ancienne par
$$\sum_{\ell=0}^{k-1}\!c_\ell\cdot(L+\overline L)^\ell
\cdot\biggl(\sum_{j=1}^{k-\ell}\!a_j\cdot(2i\pi)^j\cdot
\Bigl(\frac{L^{k-\ell-j}}{(k-\ell-j)!}+(-1)^{k-j-1}\frac{
\overline L^{k-\ell-j}}{(k-\ell-j)!}\Bigr)\!\!\biggr),$$
où $a_1,\dots,a_k$ sont des rationnels sans relation entre eux.
Fixant $j$, et posant $m=k-j$, on est ramené à démontrer
la relation
$$\sum_{\ell=0}^m\frac{c_\ell}{(m-\ell)!}\cdot(L+\overline L)^\ell
\cdot\big(L^{m-\ell}+(-1)^{m-1}
\overline L^{m-\ell}\big)=0.$$
Pour cela, divisons le tout par $\overline L^m$ et posons
$X=\overline L^{-1}L$. On obtient
\begin{multline*}
\sum_{\ell=0}^m{c_\ell}(X+1)^\ell\frac{X^{m-\ell}+(-1)^{m-1}}{(m-\ell)!}\\
=(X+1)^m\Big(C_m\Big(\frac{X}{X+1}\Big)+(-1)^{m-1}C_m\Big(\frac{1}{X+1}\Big)\Big)=0
\end{multline*}
car
$C_m(1-Y)=(-1)^mC_m(Y)$ (cela découle immédiatement de la définition
de $C_m$). Ceci permet de conclure.

\begin{rema}
Comme on peut faire des combinaisons linéaires des
$P_{k-\ell}(z)(\log z\overline z)^\ell$ pour obtenir d'autres fonctions
monovaluées à partir des ${\rm Li}_k(z)$, le choix des constantes
$c_\ell$ peut sembler un peu arbitraire. Leur justification
demanderait d'introduire la notion de {\it variation de
structures de Hodge rationnelles}, ce qui nous entraînerait un peu loin.
\end{rema}

\begin{prop}
$P_k$ se prolonge en une fonction continue sur $\C$ {\rm(}\resp $\C-\{1\}${\rm)}
si $k\geq 2$ {\rm(}\resp si $k=1${\rm)}, avec $P_k(0)=0$
et $P_k(1)=(1+(-1)^{k-1})\zeta(k)$.
\end{prop}

\demo
Comme on a le choix de la détermination des ${\rm Li}_k(z)$,
on peut, pour étudier le comportement de $P_k$ en $z=0$,
utiliser la détermination donnée par la série $\sum_{n=1}^{+\infty}\sfrac{z^n}
{n^k}$, auquel cas, le zéro de cette série en $z=0$ contrebalance largement
la croissance de $(\log|z|^2)^\ell$. En ce qui concerne le comportement
en $z=1$, remarquons que la singularité de ${\rm Li}_k$ en ce
point est de la forme \hbox{$-\log(1-z)\dfrac{z^{k-1}}{(k-1)!}$}, et donc
que la fonction ${\rm Li}_k$ admet un prolongement par continuité
en $z=1$ si $k\geq 2$; on en déduit le résultat car $(\log|z|^2)^{k-1}$
tend vers $0$ assez vite quand $z\to 1$ pour tuer la singularité de
${\rm Li}_1$.

\Subsection{Équations fonctionnelles des polylogarithmes}
Si $r$ est un entier $\geq 1$, la somme des puissances $n$-ièmes
des racines $r$-ièmes de l'unité vaut $r$ (\resp $0$) si $n$
est un multiple de $r$ (\resp si $n$ n'est pas un multiple de $r$).
On en déduit la relation de distribution suivante pour la fonction
$P_k$:
$$\sum_{\epsilon^r=1}P_k(\epsilon z)=r^{1-k}P_k(z^r).$$
Les fonctions $P_1(z)=-\log|1-z|^2$, $P_2$ et $P_3$ vérifient les équations
fonctionnelles suivantes
\begin{multline*}
P_1(z_1+z_2-z_1z_2)-P_1(z_1)-P_1(z_2)=0\\
\shoveleft{P_2\Big(\frac{z_1z_2}{(1-z_1)(1-z_2)}\Big)-P_2\Big(\frac{z_2}{1-z_1}\Big)
-P_2\Big(\frac{z_1}{1-z_2}\Big)}\\
\shoveright{+P_2(z_1)+P_2(z_2)=0}\\
\shoveleft{P_3\Big(\frac{z_1(1-z_2)^2}{z_2(1-z_1)^2}\Big)+P_3(z_1z_2)+
P_3\Big(\frac{z_1}{z_2}\Big)-2P_3\Big(\frac{z_1(1-z_2)}{z_2(1-z_1)}\Big)}\\
-2P_3\Big(\frac{z_1(1-z_2)}{(z_1-1)}\Big)
-2P_3\Big(\frac{z_2(1-z_1)}{(z_2-1)}\Big)
-2P_3\Big(\frac{1-z_2}{1-z_1}\Big)\\
-2P_3(z_1)-2P_3(z_2)+2P_3(1)=0.
\end{multline*}
La première de ces équations fonctionnelles suit de l'équation
fonctionnelle pour le logarithme; les deux autres, découvertes
au $19$-ième siècle, se démontrent en dérivant.
Comme c'est assez fastidieux, nous nous contenterons de vérifier
l'équation fonctionnelle de $P_2$. Notons $h(z_1,z_2)$ la fonction
dont on cherche à démontrer la nullité, et remarquons que
$h(0,0)=0$; il suffit donc de prouver que les dérivées partielles
de $h$ sont nulles, et comme $h$ est symétrique par rapport
à $z_1$ et $z_2$, il suffit de considérer les dérivées
partielles par rapport à $z_1$ et $\overline z_1$.
D'autre part, un calcul immédiat
nous fournit les formules
$$\frac{\partial}{\partial z}P_2(z)=-\frac{\log|z|}{1-z}-\frac{\log|1-z|}{z}
\quad{\rm et}\quad
\frac{\partial}{\partial \overline z}P_2(z)=
-\overline{\frac{\partial}{\partial z}P_2(z)},$$
ce qui fait que $\dfrac{\partial}{\partial z_1}h=0$ entraîne
$\dfrac{\partial}{\partial \overline z_1}h=0$.

Si $f$ est une fonction de $z_1,z_2$, soient $\varphi(f)=
\dfrac{\partial}{\partial z_1}\log f$ et $\psi(f)=\log|f|$.
On~a
\begin{align}
\varphi(fg)&=\varphi(f)+\varphi(g),\notag\\
\psi(fg)&=\psi(f)+\psi(g)\notag\\
\tag*{et}
\frac{\partial}{\partial \overline z_1}P_2(f)&=
\varphi(1-f)\psi(f)-\varphi(f)\psi(1-f).\end{align}
Posons $u_1=z_1$, $u_2=z_2$, $u_3=1-z_1$, $u_4=1-z_2$ et
$u_5=1-z_1-z_2$, et donc
$$1-\frac{z_1z_2}{(1-z_1)(1-z_2)}=\frac{u_5}{u_3u_4},\quad
1-\frac{z_2}{1-z_1}=\frac{u_5}{u_3},\quad
1-\frac{z_1}{1-z_2}=\frac{u_5}{u_4}.$$
Finalement, soient $v_i=\varphi(u_i)$ et $w_i=\psi(u_i)$, si
$1\leq i\leq 5$. On obtient
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial \overline z_1}h=
[(v_5&-v_3-v_4)(w_1+w_2-w_3-w_4)\\
&\hspace*{2.4cm}-(v_1+v_2-v_3-v_4)(w_5-w_3-w_4)]\\
&-[(v_5-v_3)(w_2-w_3)-(v_2-v_3)(w_5-w_3)]\\
&-[(v_5-v_4)(w_1-w_4)-(v_1-v_4)(w_5-w_4)]\\
&+[v_3w_1-v_1w_3]+[v_4w_2-v_2w_4]
\end{align*}
Un calcul sans mystère permet de montrer que cette dernière quantité
est nulle, ce qui permet de conclure.

\medskip
Il est possible que tous les $P_k$ vérifient des équations
fonctionnelles du type ci-dessus, mais on ne sait pas comment en exhiber
de manière systématique. L'exemple de $P_2$
montre qu'on a intérêt à minimiser le nombre de {\og facteurs premiers\fg}
de l'ensemble des $f$ et $1-f$ qui interviennent. La proposition~\ref{poly4}
ci-dessous
{\og décrit\fg} les équations fonctionnelles
satisfaites par $P_k$.

Soit $\ell\geq 1$.
Soit $\bme=(e_1,\dots,e_r)$, où les $e_i\in\C(z_1,\dots,z_\ell)^\dual$
sont libres sur $\Z$ (\ie $e_1^{i_1}\cdots e_r^{i_r}=1$,
avec $i_1,\dots,i_r\in\Z$, implique
$i_1=\cdots=i_r=0$). Soit $X(\bme)$ le sous-groupe de
$\C(z_1,\dots,z_\ell)^\dual$ engendré par $e_1,\dots,e_r$
et les racines de l'unité. Tout élément $f$ de $X(\bme)$ peut alors s'écrire
de manière unique sous la forme $\epsilon(f)e_1^{v_1(f)}\cdots e_r^{v_r(f)}$,
où $\epsilon(f)$ est une racine de l'unité et $v_1(f),\dots, v_r(f)\in\Z$.
Finalement, soit $A(\bme)$ l'ensemble des $f\in X(\bme)$ tels que $1-f\in X(\bme)$.

\begin{prop}\label{poly4}
Soit $k\!\geq\! 2$.
Soient $f_1,\dots, f_n\!\in\! A(\bme)$
et \hbox{$a_1,\dots,a_n\!\in\!\Z$}. Pour que la fonction
$\sum_{i=1}^na_iP_k(f_i)$ soit constante sur $\C^\ell$ privé des pôles
des $f_i$, il faut et il suffit que, quels que soient $j_1,\dots,j_k\in\{1,\dots,r\}$,
on ait
\begin{multline*}
\sum_{i=1}^na_i\cdot
v_{j_1}(f_i)\cdots v_{j_{k-2}}(f_i)\\[-3pt]
\cdot\big(v_{j_{k-1}}(f_i)v_{j_k}(1-f_i)-v_{j_{k-1}}(1-f_i)v_{j_k}(f_i)\big)=0.
\end{multline*}
\end{prop}

\demo
Cette proposition se démontre par récurrence sur $k$, en dérivant
(ce n'est pas totalement évident).

\begin{exem} Si on prend $\ell=1$, $e_1=z$ et $e_2=1-z$, alors
$A(\bme)$ contient $z$, $1-z$ et $z^{-1}$, et on obtient les équations fonctionnelles
$$P_k(z^{-1})+(-1)^kP_k(z)=0\quad{\rm et}\quad P_k(z)+P_k(1-z)=P_k(1).$$
\end{exem}

\begin{rema}
On connaît des équations fonctionnelles
pour $P_k$ en deux variables (\ie $\ell=2$)
pour $k\leq 6$ et en une variable (autres que celles ci-dessus)
pour $k\leq 7 $. Pour aller plus loin, le problème
est que le nombre de conditions à satisfaire est de l'ordre de $k^r$,
où $r$ est le cardinal de $\bme$,
et que pour être raisonnablement sûr d'avoir une solution pour
$a_1,\dots,a_n$, il faut que le cardinal de $A(\bme)$ soit plus grand que le
nombre de conditions, ce qui n'est pas très facile à réaliser.
\end{rema}

\Subsection{Valeurs aux entiers positifs de la fonction zêta}
La formule $P_k(1)=(1+(-1)^{k-1})\zeta(k)$ fournit un lien (trivial) entre
les fonctions polylogarithmes et les valeurs aux entiers de la
fonction zêta; le théorème ci-dessous en fournit un autre,
beaucoup plus profond.

Si $x\in\Q^\dual$ et $p$ est un nombre premier, on note $v_p(x)$
la valuation de $x$ en $p$ [si $x$ est un entier, $v_p(x)$ est le plus
grand entier $n$ tel que~$p^n$ divise $x$; dans le cas général,
$v_p(b^{-1}a)=v_p(a)-v_p(b)$].

\begin{theo}\label{poly5}
Soit $k\geq 2$ un entier impair. Si $x_1,\dots,x_n\in
\Q-\{0,1\}$ et si $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\Q$ sont tels
que, quels que soient les nombres premiers $p_1,\dots,p_k$
{\rm(}pas forcément distincts{\rm)}, on ait
$$\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot
v_{p_1}(x_i)\cdots v_{p_{k-1}}(x_i)\cdot v_{p_k}(1-x_i)=0,$$
alors $\sum_{i=1}^kP_k(x_i)$ est un multiple rationnel de $\zeta(k)$.
\end{theo}

\demo
La démonstration actuelle de ce théorème est un véritable trou noir.
La définition des objets qu'elle met en jeu ($K$-théorie, cohomologie
motivique, motifs mixtes, régulateur de Borel\dots) est très
loin de tenir dans la marge de ces pages, et mettre le doigt dedans
expose l'individu qui s'y risque à disparaître corps et
âme pour une très longue période. D'autre part, il ne semble pas
que cette démonstration permette de borner le dénominateur
du rationnel obtenu (et donc de le déterminer numériquement).
Un des points de départ de la démonstration est le calcul
du volume de ${\bf SL}_n(\R)/{\bf SL}_n(\Z)$.

\Subsection{Volume de \texorpdfstring{${\bf SL}_n(\R)/{\bf SL}_n(\Z)$}{VSL}}
On note $g_n=(x_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ un élément général
de ${\bf SL}_n(\R)$ et on munit ${\bf SL}_n(\R)$ de la mesure
de Haar (à droite et à gauche)
$$dg_n=\prod_{(i,j)\neq(n,n)}d x_{i,j}.$$
On munit l'espace homogène ${\cal R}_n={\bf SL}_n(\R)/{\bf SL}_n(\Z)$
de la mesure quotient et on a le résultat suivant:

\begin{theo}
Le volume de ${\cal R}_n$ est fini et est donné par la formule
$${\rm Vol}({\cal R}_n)=\prod_{k=2}^n\zeta(k).$$
\end{theo}

\demo
La démonstration se fait par récurrence sur $n$, le
cas $n=1$ étant évident (un produit vide vaut~$1$ par
convention).
Pour passer de $n-1$ à $n$, on dévisse ${\bf SL}_n(\R)$ en introduisant
le sous-groupe
$H_n(\R)\subset{\bf SL}_n(\R)$
des matrices de la forme
\begin{align*}
h_n&=
\begin{pmatrix} 1 & v_{n-1}\\ 0 & g_{n-1}\end{pmatrix},
\\
g_{n-1}&=(x_{i,j})_{2\leq i,j\leq n}\in{\bf SL}_{n-1}(\R),\\
v_{n-1}&=(x_{1,2},\dots,x_{1,n})\in\R^{n-1},
\end{align*}
et l'application
$\pi_n:{\bf SL}_n(\R)\to \R^n-\{0\}$ envoyant
$g_n$ sur le vecteur $w_n=(x_{1,1},\dots,x_{n,1})$
formé par les coefficients de la première
colonne de $g_n$. Cette application
induit une bijection de l'espace homogène
${\bf SL}_n(\R)/H_n(\R)$ sur $\R^n-\{0\}$.
Si on munit $\R^{n-1}$ de la forme volume $dv_{n-1}=dx_{1,2}\cdots dx_{1,n}$,
$H_n(\R)$ de la forme volume $dh_n=dv_{n-1}dg_{n-1}$, $\R^n$ de la forme
volume $dw_n=dx_{1,1}\cdots dx_{n,1}$, alors la forme
$dh_n$ est invariante par translation (à gauche ou à droite)
par un élément
de $H_n(\R)$ et $dg_n=dw_ndh_n$.

Notons $c_{n-1}$ le volume de ${\cal R}_{n-1}$.
Comme $H_n(\R)$ (\resp $H_n(\Z)$) est le produit
semi-direct de ${\bf SL}_{n-1}(\R)$ (\resp ${\bf SL}_{n-1}(\Z)$)
et de $\R^{n-1}$ (\resp $\Z^{n-1}$), on a aussi
\begin{align*}
{\rm Vol}(H_n(\R)/H_n(\Z))&={\rm Vol}({\bf SL}_{n-1}(\R)/{\bf SL}_{n-1}(\Z))
\cdot {\rm Vol}(\R^{n-1}/\Z^{n-1})\\
&=c_{n-1}.
\end{align*}
Pour calculer le volume de ${\cal R}_n$,
considérons une fonction $\varphi$ positive sur $\R^n$. On a,
d'une part
$$\int_{\R^n-\{0\}}\varphi(w_n)dw_n=\int_{\R^n}\varphi(w_n)dw_n,$$
car $\{0\}$ est de mesure nulle et, d'autre part, le théorème
de Fubini nous donne
\begin{multline*}
{\rm Vol}(H_n(\R)/H_n(\Z))\int_{\R^n-\{0\}}\varphi(w_n)dw_n=
\int_{{\bf SL}_n(\R)/H_n(\Z)}\varphi(\pi_n({g_n}))d{g_n}\\
= \int_{{\cal R}_n}\Big(\sum_{\gamma\in {\bf SL}_n(\Z)/H_n(\Z)}
\varphi(\pi_n({g_n}\gamma))\Big)dg.
\end{multline*}

L'application qui, à ${g_n}\in{\bf SL}_n(\R)$ associe le sous-$\Z$-module
$\Lambda_{g_n}$ de~$\R^n$, engendré par les colonnes de ${g_n}$, induit
une bijection de
l'espace homogène ${\cal R}_n={\bf SL}_n(\R)/{\bf SL}_n(\Z)$ sur l'ensemble
des réseaux de volume~$1$ de $\R^n$.
Si $\gamma\in{\bf SL}_n(\Z)$, alors $\pi_n({g_n}\gamma)$
est une combinaison linéaire, à coefficients entiers {\it premiers entre
eux} des colonnes de ${g_n}$; c'est donc un élément {\it primitif}
du réseau $\Lambda_{g_n}$ (un élément $\lambda$ d'un réseau $\Lambda$
est dit primitif si on ne peut pas l'écrire sous la forme
$a\cdot\lambda'$, avec
$a\in\N-\{0,1\}$ et $\lambda'\in\Lambda$).
L'application $\gamma\mto\pi_n({g_n}\gamma)$ induit une bijection de
${\bf SL}_n(\R)/H_n(\Z)$ sur l'ensemble $\Lambda'_{g_n}$ des éléments
primitifs de~$\Lambda_{g_n}$.
On obtient donc
$$c_{n-1}\int_{\R^n}\varphi(w_n)dw_n=\int_{{\cal R}_n}\Big(\sum_{\lambda\in\Lambda'_{g_n}}
\varphi(\lambda)\Big)d{g_n}.$$
Pour passer de $\Lambda'_{g_n}$ à $\Lambda_{g_n}$, on utilise la formule
$$\int_{\R^n}\varphi(a w_n)dw_n=a^{-n}\int_{\R^n}\varphi(w_n)dw_n,$$
ce qui nous donne, en sommant sur $a\in\N-\{0\}$,
\begin{multline*}
\zeta(n)c_{n-1}\int_{\R^n}\varphi(w_n)dw_n=
c_{n-1}\sum_{a=1}^{+\infty}
\int_{\R^n}\varphi(a w_n)dw_n\\
=\sum_{a=1}^{+\infty}\int_{{\cal R}_n}\Big(\sum_{\lambda\in\Lambda'_{g_n}}
\varphi(a\lambda)\Big)d{g_n}=
\int_{{\cal R}_n}\Big(\sum_{\lambda\in\Lambda_{g_n}-\{0\}}
\varphi(\lambda)\Big)d{g_n}.
\end{multline*}
(Modulo la formule ${\rm Vol}({\cal R}_n)=\zeta(n)c_{n-1}$ que l'on cherche
à obtenir, cette égalité peut s'exprimer, après division par
${\rm Vol}({\cal R}_n)$, sous la forme
{\og l'intégrale sur $\R^n$ d'une fonction $\varphi$ est la moyenne sur
l'ensemble des réseaux de volume~$1$ de $\R^n$ de la somme des valeurs
de $\varphi$ en les points du réseau\fg}.)

D'après le lemme de Minkowski (un des résultats les plus utiles
en théorie des nombres), un convexe de $\R^n$, de volume $\geq2^n$, symétrique
par rapport à l'origine, contient un élément non nul de tout
réseau de~$\R^n$ de volume~$1$.
Si on prend pour $\varphi$ la fonction caractéristique d'un tel convexe,
alors
$\sum_{\lambda\in\Lambda_{g_n}-\{0\}}\varphi(\lambda)\geq 1$
quel que soit $g_n\in{\bf SL}_n(\Z)$; on en déduit
l'inégalité $c_n=\int_{{\cal R}_n} d{g_n}\leq 2^n\zeta(n)c_{n-1}$;
en particulier, $c_n$ est fini.

Maintenant, si $\varphi$ est une fonction de Schwartz sur $\R^n$
(\ie $\varphi$ est ${\cal C}^\infty$ et à décroissance rapide
ainsi que toute ses dérivées), et si $\widehat\varphi$
désigne la transformée de Fourier
$$\widehat\varphi(y)=\int_{\R^n}
e^{-2i\pi\,^tx{\cdot}w_n}dw_n$$
de $\varphi$, on dispose de la formule
de Poisson (où l'on pose $g_n'={^tg_n^{-1}}$)
$$\sum_{\lambda\in\Lambda_{g_n}}\varphi(\lambda)=\sum_{\lambda\in
\Lambda_{{g_n'}}}\widehat\varphi(\lambda).$$
Ceci nous donne
\begin{multline*}
\zeta(n)c_{n-1}\widehat\varphi(0)+c_n\varphi(0)=
\int_{{\cal R}_n}\Big(\sum_{\lambda\in\Lambda_{g_n}}
\varphi(\lambda)\Big)d{g_n}\\
=\int_{{\cal R}_n}\Big(\sum_{\lambda\in\Lambda_{{g_n'}}}
\widehat\varphi(\lambda)\Big)d{g_n}
=\zeta(n)c_{n-1}\widehat{\widehat\varphi}(0)+c_n\widehat\varphi(0).
\end{multline*}
Cette formule étant valable quel que soit $\varphi$, la formule
d'inversion de Fourier $\widehat{\widehat\varphi}(0)=\varphi(0)$
nous permet de d'obtenir l'égalité
$$c_n=\zeta(n)c_{n-1}$$
qui permet de conclure.

\begin{rema}
En voyant la formule du théorème, on se dit qu'il doit
exister une {\og
décomposition\fg} de ${\bf SL}_n$ en morceaux
reflétant la factorisation naturelle du volume de
${\bf SL}_n(\R)/{\bf SL}_n(\Z)$. C'est cette vague
intuition qui mène à la $K$-théorie et aux régulateurs de Borel
(\cf démonstration du théorème~\ref{poly5}).
\end{rema}

\section{Équation fonctionnelle de la fonction zêta}
Soit $\xi(s)=\pi^{-\sfrac{s}{2}}\Gamma(\sfrac{s}{2})\zeta(s)$.

\begin{theo}
La fonction $\xi(s)$ admet un prolongement méromorphe à $\C$
tout entier, holomorphe en dehors de pôles simples de résidus
respectifs $-1$ et~$1$ en
$s=0$ et $s=1$, et vérifie l'équation fonctionnelle
$$\xi(s)=\xi(1-s).$$
\end{theo}

\demo
Il y a un nombre assez conséquent de méthodes pour arriver au
résultat. Nous en donnerons deux dans ce \no et une autre au
\S~\ref{xi2} (\cf th.~\ref{xi3}).
\Subsection{Première méthode: la fonction thêta}
Si $t>0$, on a
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi tx^2}e^{-2i\pi xy}dx&=
e^{-\pi t^{-1}y^2}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi t(x+it^{-1}y)^2}dx\\
&= t^{-\sfrac{1}{2}}
e^{-\pi t^{-1}y^2}.
\end{align*}
(C'est classique; faire le changement de variables $u=\sqrt{t}(x+it^{-1}y)$,
utiliser le théorème des résidus pour revenir sur la droite réelle
et la formule $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi u^2}du=1$ pour conclure.)

Si $t>0$, soit $\theta(t)=\sum_{n\in\Z}e^{-\pi t n^2}$.
La formule de Poisson
$$\sum_{n\in\Z}\varphi(n)=\sum_{n\in\Z}\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)e^{-2i\pi nx}dx,$$
utilisée pour $\varphi(x)=e^{-\pi t x^2}$, nous fournit l'équation fonctionnelle
$$\theta(t)=t^{-\sfrac{1}{2}}\theta(t^{-1}).$$
On a alors
\begin{align*}
\xi(s)&= \frac{1}{2}\int_0^{+\infty}(\theta(t)-1)t^{\sfrac{s}{2}}\frac{dt}{t}\\
&=\frac{1}{2}\int_0^{1}(t^{-\sfrac{1}{2}}\theta(t^{-1})-1)t^{\sfrac{s}{2}}\frac{dt}{t}
+\frac{1}{2}\int_1^{+\infty}(\theta(t)-1)t^{\sfrac{s}{2}}\frac{dt}{t}
\end{align*}
et on peut changer $t$ en $t^{-1}$ dans la première intégrale pour
obtenir
$$\xi(s)=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty}
(\theta(t)-1)(t^{\sfrac{s}{2}}+t^{\sfrac{(1-s)}{2}})\frac{dt}{t}.$$
On en déduit le résultat car $\theta(t)-1$ est à décroissance rapide
à l'infini, ce qui implique que l'intégrale est une fonction
holomorphe de~$s$ sur~$\C$ tout entier, et le membre
de droite est évidemment invariant par $s\mto 1-s$.

\Subsection{Deuxième méthode: intégrale sur un contour}
Si $c>0$, soit $C_c$ le contour obtenu en suivant la droite
réelle de $+\infty$ à $c\pi$, puis en parcourant le carré
de sommets $c\pi(\pm 1\pm i)$ dans le sens trigonométrique,
et en retournant en $+\infty$ le long de l'axe réel.
Soit $$F_c(s)=\int_{C_c}\frac{1}{e^z-1}(-z)^s\frac{dz}{z},$$ où
$(-z)^s=\exp(s\log(-z))$ et la branche du logarithme choisie
est celle dont la partie imaginaire est comprise entre $-\pi$ et
$\pi$; en particulier, on a $(-z)^s=e^{-i\pi s}z^s$ de $+\infty$
à $c\pi$ et $(-z)^s=e^{i\pi s}z^s$ de $c\pi$
à $+\infty$ (après avoir parcouru le carré).
Comme $\frac{1}{e^z-1}$ est à décroissance rapide à l'infini,
la fonction $F_c(s)$ est holomorphe sur $\C$ pour tout $c$
qui n'est pas un entier pair (pour éviter les pôles de
$\frac{1}{e^z-1}$).
D'autre part, le théorème des résidus montre que $F_c(s)$
ne dépend pas de $c$ si $c$ reste dans un intervalle du type
$]2N,2N+2[$, avec $N\in\N$.
En particulier, on a $F_1(s)=F_c(s)$ quel que soit $c\in{}]0,2[$.
Si ${\rm Re}(s)>1$, quand~$c$ tend vers $0$, l'intégrale
sur le carré
de sommets $c\pi(\pm 1\pm i)$ tend vers $0$, et on obtient, en passant
à la limite
\begin{align*}
F_1(s)&=e^{-i\pi s}\int_{+\infty}^0\frac{1}{e^z-1}z^s\frac{dz}{z}+
e^{i\pi s}\int_0^{+\infty}\frac{1}{e^z-1}z^s\frac{dz}{z}\\
&=2i\cdot\sin\pi s\cdot\Gamma(s)\cdot\zeta(s).
\end{align*}
Maintenant, quand $N$ tend vers $+\infty$, la fonction
$F_{2N+1}(s)$ tend vers~$0$ quand ${\rm Re}(s)<0$ car
$\frac{1}{e^z-1}$ est majorée, indépendamment de $N$, sur
$C_{2N+1}$. La différence entre $F_1(s)$ et $F_{2N+1}(s)$
peut se calculer grâce au théorème des résidus.
La fonction $\frac{1}{e^z-1}(-z)^{s-1}$
a des pôles en $z=\pm2i\pi,\pm4i\pi,\dots,
\pm 2Ni\pi$ dans le contour délimité par la différence entre
$C_{2N+1}$ et $C_1$. Si $k\in\{1,\dots,N\}$, le résidu de
$\frac{1}{e^z-1}(-z)^{s-1}$ est $(2k\pi)^{s-1}
e^{-i\pi\snpfrac{s-1}{2}}$ en $2ik\pi$ et
$(2k\pi)^{s-1}
e^{i\pi\snpfrac{s-1}{2}}$ en $-2i k\pi$, ce qui nous donne
$$\frac{1}{2i\pi}(F_{2N+1}(s)-F_1(s))=
2\cos\pi\frac{s-1}{2}\cdot\sum_{k=1}^N(2k\pi)^{s-1}.$$
En passant à la limite, on obtient donc
$F_1(s)=4i\pi\cdot\cos(\pi\frac{s-1}{2})\cdot(2\pi)^{s-1}\cdot\zeta(1-s)$, si
${\rm Re}(s)<0$. On en déduit l'équation fonctionnelle
$$\sin\pi s\cdot\Gamma(s)\cdot\zeta(s)=
\cos\pi\frac{s-1}{2}\cdot(2\pi)^{s}\cdot\zeta(1-s).$$
Pour passer de cette équation fonctionnelle à celle
de $\xi$, il faut utiliser les formules
classiques
$$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin\pi s},\
\Gamma\big(\frac{s}{2}\big)\Gamma\big(\frac{s+1}{2}\big)=
2^{1-s}\Gamma\big(\frac{1}{2}\big)\Gamma(s),\
\Gamma\big(\frac{1}{2}\big)=\sqrt\pi.$$

\section{Fonctions \texorpdfstring{$L$}{L} de Dirichlet}\label{diri0}
\Subsection{Caractères de Dirichlet et sommes de Gauss}
Si $d$ est un entier, on appelle caractère de Dirichlet modulo
$d$ un morphisme de groupes de $(\Z/d\Z)^\dual$ dans $\C^\dual$.
L'image d'un caractère de Dirichlet est bien évidemment
incluse dans le groupe des racines de l'unité.

Si $d'$ est un diviseur de $d$ et $\chi$ est un caractère
de Dirichlet modulo~$d'$, on peut aussi voir $\chi$ comme
un caractère de Dirichlet modulo~$d$ en composant
$\chi$ avec la projection $(\Z/d\Z)^\dual\to(\Z/d'\Z)^\dual$.
On dit que $\chi$ est de conducteur $d$ si on ne peut pas trouver
de diviseur~$d'$ de $d$ distinct de $d$,
tel que $\chi$ provienne d'un caractère
modulo~$d'$. De manière équivalente, $\chi$ est de conducteur
$d$ si quel que soit $d'$ diviseur de $d$ distinct de $d$, la restriction
de $\chi$ au noyau de la projection $(\Z/d\Z)^\dual\to(\Z/d'\Z)^\dual$
n'est pas triviale.

Si $\chi$ est un caractère de Dirichlet modulo~$d$, on note
$\chi^{-1}$ le caractère de Dirichlet modulo~$d$ défini par
$\chi^{-1}(n)=(\chi(n))^{-1}$ si $n\in(\Z/d\Z)^\dual$.

Si $\chi$ est un caractère de Dirichlet modulo~$d$, on considère
aussi souvent $\chi$ comme une fonction périodique sur $\Z$ de
période $d$ en composant $\chi$ avec la projection naturelle
de $\Z$ sur $\Z/d\Z$ et en étendant $\chi$ par $0$ sur les entiers
non premiers à $d$. On a donc $\chi^{-1}(n)=(\chi(n))^{-1}$ si
$(n,d)=1$, mais $\chi^{-1}(n)=0$ si $(n,d)\neq 1$.

Si $d$ est un entier, $\chi$ un caractère de Dirichlet
de conducteur $d$ et si $n\in\Z$, on définit la somme de Gauss tordue
$G(\chi,n)$ par la formule
$$G(\chi,n)=\sum_{a\bmod d}\chi(a)e^{2i\pi{{na}/d}}$$
et on pose $G(\chi)=G(\chi,1)$.

\skpt
\begin{lemm}\label{6.1}
{\rm (i)} Si $n\in\N$, alors
$G(\chi,n)=\chi^{-1}(n)G(\chi)$

{\rm (ii)} $G(\chi)G(\chi^{-1})=\chi(-1)d$.
\end{lemm}


\demo Si $(n,d)=1$, alors $n$ est inversible dans
$(\Z/d\Z)^\dual$, ce qui permet d'écrire
\begin{align*}
G(\chi,n)&=\sum_{a\bmod d}\chi(a)e^{2i\pi{{na}/ d}}=
\chi^{-1}(n)\sum_{an\bmod d}\chi(an)e^{2i\pi{{na}/ d}}\\
&=\chi^{-1}(n)G(\chi).
\end{align*}
Si $(n,d)=e>1$, on peut écrire $d=ed'$ et $n=en'$. Soit $U$ le noyau de
la projection de $(\Z/d\Z)^\dual$ sur $(\Z/d'\Z)^\dual$.
Si on choisit un système $S$ de représentants de $(\Z/d'\Z)^\dual$ dans
$(\Z/d\Z)^\dual$, on a
$$G(\chi,n)=\sum_{a\in S}\sum_{u\in U}\chi(au)e^{2i\pi{{nau}/ d}}.$$
Si $u\in U$ et $a\in\Z$,
alors $nau-na=n'ea(u-1)\equiv 0$ mod $d$ et donc
$e^{2i\pi{{nau}/ d}}=e^{2i\pi{{na}/ d}}$. On obtient donc
$$G(\chi,n)=\sum_{a\in S}\chi(a)e^{2i\pi{{na}/ d}}
\Bigl(\sum_{u\in U}\chi(u)\Bigr)=0$$
car $\sum_{u\in U}\chi(u)=0$ puisque $\chi$ est un caractère non trivial
de $U$ (sinon~$\chi$ serait de conducteur $d'$).
Ceci démontre le (i).

Utilisant ce qui précède, on obtient
\begin{align*}
G(\chi)G(\chi^{-1})&=\sum_{b\bmod d}\!e^{2i\pi{b/ d}}\chi^{-1}(b)G(\chi)\\
&= \sum_{b\bmod d}\!e^{2i\pi{b/ d}}\Bigl(\sum_{a\bmod d}
\! \chi(a)e^{2i\pi{{ab}/ d}}\Bigr)\\
& = \sum_{a\bmod d}\chi(a)\Bigl(\sum_{b\bmod d}
e^{2i\pi{{(a+1)b}/ d}}\Bigr)
\end{align*}
et comme $\sum\limits_{b\bmod d}
e^{2i\pi{{(a+1)b}/ d}}=\begin{cases}
d & \text{si $a=-1$}\\ 0 & \text{sinon}\end{cases}$, on en tire
la formule $G(\chi)G(\chi^{-1})=\chi(-1)d$.

\Subsection{Les fonctions \texorpdfstring{$L$}{L} de Dirichlet}\label{diri}
Soient $d$ un entier et $\chi$ un caractère de Dirichlet de
conducteur $d$. Soit
$$L(\chi,s)=\sum_{n=1}^{+\infty}{{\chi(n)}\over{n^s}}=\prod_{p\ {\rm premier}}
(1-\chi(p)p^{-s})^{-1}$$
la fonction~$L$ de Dirichlet attachée à $\chi$.
Si on utilise l'identité
$$\chi(n)={1\over{G(\chi^{-1})}}\sum_{b\bmod d}
\chi^{-1}(b)e^{{2i\pi{{nb}/ d}}},$$ on obtient
$$L(\chi,s)= {1\over{G(\chi^{-1})}}\sum_{b\bmod d}\chi^{-1}(b)
\sum_{n=1}^{+\infty}{{e^{{2i\pi{{nb}/ d}}}}\over{n^s}}
$$
Utilisant la formule $\dpl\int_0^{+\infty}e^{-nt}t^s{{dt}\over t}={{\Gamma(s)}
\over n^s}$, on obtient, ayant posé $\epsilon_d=e^{{{2i\pi}/ d}}$,
\begin{align*}
L(\chi,s) & ={1\over{G(\chi^{-1})}}{1\over{\Gamma(s)}}\sum_{b\bmod d}
\chi^{-1}(b)\int_0^{+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}
\epsilon_d^{nb}e^{-nt}\\ & =
{1\over{G(\chi^{-1})}}{1\over{\Gamma(s)}}\int_0^{+\infty}\sum_{b\bmod d}
{{\chi^{-1}(b)}\over{\epsilon_d^{-b}e^{t}-1}}t^s{{dt}\over t}.
\end{align*}
En particulier, la proposition~\ref{1.2} implique que
$L(\chi,s)$ admet un prolongement holomorphe à $\C$ tout entier
et que, si $n\in\N$, alors
$L(\chi,-n)$ est $(-1)^n\times$ la dérivée $n$-ième
de la fonction
\[
\dfrac1{G(\chi^{-1})}\sum\limits_{b\bmod d}
\dfrac{\chi^{-1}(b)}{\epsilon_d^{-b}e^{t}-1}
\]
prise en $t=0$.
Pour supprimer le $(-1)^n$, on peut changer $t$ en $-t$, utiliser
l'identité
$${1\over{\epsilon_d^{-b}e^{-t}-1}}=-1-{1\over{\epsilon_d^b e^t-1}}$$
et le fait que $\sum\limits_{b\bmod d}
{\chi^{-1}(b)}=0$ et on obtient $L(\chi,-n)=({d\over{dt}})^n{\cal L}_\chi(t)
_{|0}$, où l'on a posé
$${\cal L}_\chi(t)={{-1}\over{G(\chi^{-1})}}\sum_{b\bmod d}
{{\chi^{-1}(b)}\over{\epsilon_d^be^{t}-1}}.$$

\begin{rema}
On peut démontrer, par exemple à partir de la formule ci-dessus
pour $L(\chi,s)$, que $L(\chi,s)$ vérifie l'équation fonctionnelle
$\Lambda(\chi^{-1},1-s)=(-i)^{a(\chi)}d^{-\sfrac{1}{2}}G(\chi^{-1})
\Lambda(\chi,s)$, où l'on a posé
$$\Lambda(\chi,s)=\frac{\Gamma(\frac{s+a(\chi)}{2})}{
\pi^{\sfrac{(s+a(\chi))}{2}}}\cdot d^{\sfrac{s}{2}}\cdot{L(\chi,s)},$$
avec $a(\chi)=0$ si $\chi(-1)=1$ et $a(\chi)=1$ si $\chi(-1)=-1$.
\end{rema}
\section{La fonction zêta de Dedekind d'un corps de nombres}
Un {\it corps de nombres} est une extension finie de $\Q$. Par exemple,
les {\it corps quadratiques} (de la forme $\Q(\sqrt D)$, avec $D\in\Q^\dual$)
ou les {\it corps cyclotomiques} (de la forme $\Q(e^{\sfrac{2i\pi}{m}})$,
$m$ entier $\geq 3$) sont des corps de nombres.

D'après le théorème de l'élément primitif, si $F$ est un corps de
nombres de degré $n$ sur~$\Q$, alors il existe $\alpha\in F$
engendrant~$F$ en tant que $\Q$-algèbre. Si $P\in\Q[X]$ est
le polynôme minimal de~$\alpha$, alors $P$ est de degré $n$ et l'application
$A\mto A(\alpha)$ induit un isomorphisme de $\Q[X]/P$ sur $F$.
On note $r_1$ le nombre de racines réelles de $P$ et $2r_2$ le nombre
de racines non réelles de~$P$. On a donc $r_1+2r_2=n$ et on dit
que $F$ est {\it totalement réel} si $r_2=0$.
Si $\alpha_1,\dots,\alpha_{r_1},\alpha_{r_1+1},\dots,\alpha_{r_1+r_2},
\overline{\alpha_{r_1+1}},\dots,\overline{\alpha_{r_1+r_2}}$
sont les racines de~$P$, on note~$\sigma_i$ (\resp $\overline{\sigma_i}$),
si $1\leq i\leq r_1+r_2$ (\resp $r_1+1\leq i\leq r_1+r_2$) le plongement
de $F$ dans $\C$ envoyant $\alpha$ sur $\alpha_i$ (\resp $\overline{\alpha_i}$).

On dit que $x\in F$ est {\it entier} si son polynôme minimal est à coefficients
dans~$\Z$. L'ensemble des entiers de $F$ forme un anneau $\O_F$
appelé {\it anneau des entiers} de $F$. Par exemple, si $D\in\Z$
n'est divisible par le carré d'aucun nombre premier, alors l'anneau
des entiers de $\Q(\sqrt D)$ est $\Z[\sqrt D]$ (\resp $\Z[\frac{1+\sqrt D}{2}]$)
si $D\equiv 2$ ou $3$ modulo~$4$ (\resp si $D\equiv 1$ modulo~$4$).
L'anneau des entiers de $\Q(e^{\sfrac{2i\pi}{m}})$ est
$\Z[e^{\sfrac{2i\pi}{m}}]$.

L'anneau $\O_F$ est un $\Z$-module libre de rang $n$ (c'est un réseau du
$\Q$-espace vectoriel $F$ qui est de dimension $n$). Si $e_1,\dots,
e_n$ forment une base de $\O_F$ sur $\Z$, on note $\Delta_F$ le
{\it discriminant} de $F$; c'est la valeur absolue du déterminant
de la matrice $n\times n$ dont les coefficients sont les
$({\rm Tr}_{F/\Q}(e_ie_j))_{1\leq i,j\leq n}$. Le discriminant
de $\Q(\sqrt D)$ est $4|D|$ (\resp $|D|$)
$D\equiv 2$ ou $3$ modulo~$4$ (\resp si $D\equiv 1$ modulo~$4$).
L'application $A\mto(A(\alpha_1),\dots,A(\alpha_{r_1+r_2}))$
induit un isomorphisme de $\R[X]/P$ sur $\R^{r_1}\times\C^{r_2}$;
l'image de $\O_F\subset F\cong \Q[X]/P$ par cet isomorphisme
est un réseau du $\R$-espace vectoriel $\R^{r_1}\times\C^{r_2}$ et
le volume de $\O_F$ pour la forme volume naturelle ($dx$ sur $\R$
et $|dz\wedge d\overline z|=2\,dx\,dy$ sur $\C$) est égal
à $\sqrt{\Delta_F}$.

On note $U_F$ le {\it groupe des unités} de $\O_F$; c'est aussi l'ensemble
des éléments~$u$ de $\O_F$ vérifiant ${\rm N}_{F/\Q}(u)=\pm 1$.
D'après un théorème de Dirichlet, ce groupe est de la forme
${\boldsymbol\mu}_F\times \Z^{r_1+r_2-1}$, où ${\boldsymbol\mu}_F$
est le groupe des racines de l'unité contenues dans $F$;
c'est un groupe fini dont on note $w_F$ le cardinal.
On note $\ell:F^\dual\to\R^{r_1+r_2}$ l'application
\begin{multline*}
x\mto(\log(|\sigma_1(x)|,\dots,\log|\sigma_{r_1}(x)|,
2\log|\sigma_{r_1+1}(x)|,\\[-3pt]
\dots,2\log|\sigma_{r_1+r_2}(x)|).
\end{multline*}
L'image de $U_F$ par $\ell$ est un réseau de l'hyperplan d'équation
$$\lambda_1+\cdots+\lambda_{r_1+r_2}=0.$$
On définit le {\it régulateur} $R_F$ de $F$ comme le volume
de ce réseau : si $\epsilon_1,\dots,\epsilon_{r_1+r_2-1}$
est une base du $\Z^{r_1+r_2-1}$ contenu dans $U_F$, alors $R_F$
est la valeur absolue du déterminant de la matrice $(r_1+r_2-1)\times(r_1+r_2-1)$
de coefficients $(a_i\log|\sigma_i(\epsilon_j)|)_{1\leq i,j\leq r_1+r_2-1}$,
avec $a_i=1$ (\resp $a_i=2$) si $i\leq r_1$ (\resp si $i\geq r_1+1$).

L'anneau $\O_F$ n'est pas forcément principal, mais c'est un {\it anneau
de Dedekind} ce qui signifie que tout idéal non nul ${\goth a}$
de $\O_F$ peut se factoriser de manière unique
sous la forme $\prod_{i=1}^r{\goth p}_i^{k_i}$, où les ${\goth p}_i$
sont des idéaux maximaux distincts de $\O_F$ et les $k_i$ des éléments de $\N$.
On dit que deux idéaux non nuls ${\goth a}$ et ${\goth b}$ de $\O_F$
sont équivalents (${\goth a}\simeq{\goth b}$) s'il existe
$\gamma,\delta\in\O_F-\{0\}$ tels que $(\gamma){\goth a}=(\delta){\goth b}$
(\ie s'ils diffèrent
d'un idéal principal). Comme ${\goth a}{\goth a}'\simeq{\goth b}{\goth b}'$
si ${\goth a}\simeq{\goth b}$ et ${\goth a}'\simeq{\goth b}'$, la
multiplication des idéaux induit une multiplication
sur l'ensemble ${\rm Pic}(\O_F)$ des classes d'équivalences, et
${\rm Pic}(\O_F)$ est un groupe fini, appelé {\it groupe des classes
d'idéaux} de $F$, dont on note $h_F$ le cardinal (c'est le {\it
nombre de classes} de $F$). Le groupe ${\rm Pic}(\O_F)$
mesure la {\og non principalité\fg} de~$\O_F$.

La finitude de ${\rm Pic}(\O_F)$ et la structure de $U_F$ sont des théorèmes
profonds que le $19$-ième siècle nous a légués et les quantités
$h_F$ et~$R_F$ sont des invariants subtils du corps $F$ qui sont très
délicats à calculer. Un des seuls outils dont on dispose pour les
étudier est la {\it formule analytique du nombre de classes}
(\cf (ii) du théorème~\ref{classes} ci-dessous).

Si ${\goth a}$ est un idéal non nul de $\O_F$, l'anneau
$\O_F/{\goth a}$ est un anneau fini dont on note $N({\goth a})$
le cardinal (si $F=\Q$ et $a\in\Z$, on a $N((a))=|a|$).
Ceci nous permet de définir la {\it fonction zêta de Dedekind}
$\zeta_F$ de $F$ par la formule
$$\zeta_F(s)=\sum_{{\goth a}\subset\O_F}N({\goth a})^{-s}=
\prod_{{\goth p}\subset\O_F}(1-N({\goth p})^{-s})^{-1},$$
où la somme porte sur les idéaux non nuls de $\O_F$ et le produit
sur les idéaux maximaux de $\O_F$. Si $F=\Q$, on retombe sur la fonction $\zeta$
de Riemann et la plupart des propriétés de $\zeta$ sont partagées
par $\zeta_F$; les démonstrations sont toutefois nettement plus difficiles.

\skpt
\begin{theo}\label{classes}
{\rm (i)}
La série $\sum_{{\goth a}\subset\O_F}N({\goth a})^{-s}$ converge absolument
pour \hbox{${\rm Re}(s)>1$} et~$\zeta_F$ admet un prolongement méromorphe
à $\C$ tout entier, holomorphe en dehors d'un pôle
simple en $s=1$.

{\rm (ii)} Le résidu en $s=1$ de $\zeta_F$ est donné par la formule
analytique du nombre de classes
$$\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_F(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_F\cdot R_F}
{w_F\cdot\sqrt{\Delta_F}}.$$

{\rm (iii)} La fonction $\zeta_F$ vérifie l'équation fonctionnelle
\hbox{$\xi_F(s)\!=\!\xi_F(1\!-\!s)$}, avec
$$\xi_F(s)=\Big(\frac{\Gamma(\sfrac{s}{2})}{\pi^{\sfrac{s}{2}}}\Big)^{r_1}\cdot
\Big(\frac{\Gamma(s)}{(2\pi)^{s}}\Big)^{r_2}\cdot \Delta_F^{\sfrac{s}{2}}\cdot
\zeta_F(s).$$
\end{theo}

En ce qui concerne les propriétés de rationalité des
valeurs aux entiers, on~a les résultats suivants:

\skpt
\begin{theo}
{\rm (i)} Si $k\leq 0$, on a $\zeta_F(k)\in\Q$.

{\rm (ii)} Si $F$ est totalement réel, alors $\pi^{-2k[F:\Q]}\zeta_F(2k)\in
\sqrt{\Delta_F}\Q$, si $k$ est un entier~$\geq 1$.
\end{theo}
\comm
Si $F$ n'est pas
totalement réel ou si $k\leq 0$ est pair ($k\leq -2$ si $F=\Q$), l'équation
fonctionnelle implique que l'on a $\zeta_F(k)=0$.

Le (ii) du théorème ci-dessus est une généralisation du théorème
d'Euler. Dans le cas général, on dispose d'une conjecture
de Zagier disant que, si $k\geq 2$, alors $\zeta_F(k)$ doit pouvoir
s'exprimer comme un déterminant de $k$-logarithmes évalués en les
conjugués d'éléments de~$F$ (remarquons que la formule analytique
du nombre de classes fournit une telle expression pour $k=1$).
Si $F$ est un corps cyclotomique, cette conjecture est un théorème
et, dans le cas général, on a le théorème~\ref{zag} ci-dessous,
dû à Deligne et
Beilinson, et qui se démontre de la même manière que le
théorème~\ref{poly5}.

\medskip
Notons ${\cal B}_k(F)$ l'ensemble des combinaisons formelles du type
$$\sum_{j=1}^ma_j\cdot\{x_j\}_k,$$ où $a_j\in\Z$ et $x_j\in F-\{0,1\}$,
telles que, quels que soient les morphismes de groupes $v_1,\dots,v_k$ de
$F^\dual$ dans $\Z$, on ait
$$\sum_{j=1}^ma_j\cdot v_1(x_j)\cdots v_{k-1}(x_j)\cdot v_k(1-x_j)=0.$$
Si $\sigma$ est un plongement de $F$ dans $\C$ et
\[
x=\sum_{j=1}^ma_j\cdot\{x_j\}_k\in{\cal B}_k(F),
\]
on note
$P_k(\sigma(x))$ la quantité
$\sum_{j=0}^ma_j\cdot P_k(\sigma(x_j))$. Remarquons que l'on a
$P_k(\sigma_i(x))=0$ si $k$ est pair et $1\leq i\leq r_1$ puisque
$P_k$ est identiquement nul sur $\R$ si $k$ est pair.

\begin{theo}\label{zag}
Si $k\geq 2$ est un entier pair {\rm(}respectivement impair{\rm)} et si~$x^{(j)}$ pour \hbox{$r_1+1\leq j\leq r_1+r_2$} {\rm(}\resp $1\leq j\leq r_1+r_2${\rm)}
sont des éléments de ${\cal B}_k(F)$, alors le déterminant
de la matrice $r_2\times r_2$ {\rm(}respectivement $(r_1+r_2)\times(r_1+r_2)${\rm)}
de coefficients $P_k(\sigma_i(x^{(j)}))$, pour
$r_1\leq i,j\leq r_1+r_2$ {\rm(} respectivement $1\leq i,j\leq r_1+r_2${\rm)}
est un multiple rationnel de $\pi^{-(r_1+r_2)k}\sqrt{\Delta_F}\zeta_F(k)$
{\rm(}\resp $\pi^{-r_2k}\sqrt{\Delta_F}\zeta_F(k)${\rm)}.
\end{theo}
Pour démontrer la conjecture de Zagier, il suffirait donc de prouver que
l'on peut trouver des éléments $x^{(j)}$ de ${\cal B}_k(F)$
tels que le déterminant correspondant soit non nul.

\chapter
[Irrationalité d'une
infinité de $\zeta(2n+1)$]
{Propriétés diophantiennes des valeurs
de~la~fonction zêta aux entiers positifs}
\section{Le théorème de Rivoal}
Ce \S~est consacré à la démonstration du résultat de
Rivoal mentionné dans l'introduction. Plus précisément, nous allons
démontrer le théorème suivant.

\skpt
\begin{theo}\label{riv0}
{\rm (i)} La dimension du sous-$\Q$-espace vectoriel de $\R$ engendré
par les $\zeta(2n+1)$, $n\in\N-\{0\}$ est infinie.

{\rm (ii)} La dimension du sous-$\Q$-espace vectoriel de $\R$ engendré
par les $\zeta(2n)$, $n\in\N-\{0\}$ est infinie.
\end{theo}

\begin{rema} Comme $\pi^{-2n}\zeta(2n)$ est rationnel, le (ii)
est équivalent à la transcendance de $\pi$, ce qui nous
fournit une nouvelle démonstration du théorème
de Lindemann (et donc de l'impossibilité de la quadrature
du cercle) et montre que les
$\zeta(2n)$, $n\in\N-\{0\}$, sont en fait linéairement indépendants sur~$\Q$.
\end{rema}

Pour démontrer que des nombres réels sont linéairement indépendants
sur~$\Q$, il {\og suffit\fg} de produire des combinaisons linéaires à
coefficients entiers entre ces nombres qui sont non nulles et
{\og petites\fg}. Par exemple, pour démontrer que deux nombres $v_1$, $v_2$
sont linéairement indépendants
sur~$\Q$, il suffit de produire
deux suites d'entiers $(a_{n,i})_{n\in\N}$, pour $i=1,2$,
telles que l'on ait $a_{n,1}v_1+a_{n,2}v_2\neq 0$,
pour $n$ assez grand,
et $\lim_{n\to +\infty}a_{n,1}v_1+a_{n,2}v_2= 0$. Dans le cas général,
on dispose du critère suivant, dû à Nesterenko, et dont la
démonstration (assez technique) est donnée au \no\ref{nes}.

\begin{theo}
[Critère de Nesterenko]
\label{nest}
Soient $v_1,\dots,v_b$ des nombres réels. On suppose qu'il existe
$B>1$, $A>0$ et $b$ suites d'entiers $(a_{n,j})_{n\in\N}$,
\hbox{$j\in\{1,\dots,b\}$} telles que l'on ait{\rm :}

{\rm (i)}\ $\sup_{1\leq j\leq b}|a_{n,j}|\leq B^{n+o(n)}${\rm ;}

{\rm (ii)} $|a_{n,1}v_1+\cdots+a_{n,b}v_b|=A^{n+o(n)}$.

\noindent Alors la dimension du sous-$\Q$-espace vectoriel de
$\R$ engendré par $v_1,\dots,v_b$ est $\geq 1-\frac{\log A}{\log B}$.
\end{theo}

Dans le cas qui nous intéresse, on dispose d'une machine (voir la proposition~\ref{lin}
ci-dessous) à
fabriquer des relations linéaires à coefficients rationnels entre les~$\zeta(n)$, $n\geq 2$, en partant de fonctions rationnelles n'ayant
des pôles qu'aux entiers~$\leq 0$; le problème est alors de bien
choisir ces fonctions rationnelles pour que les combinaisons linéaires
ainsi obtenues soient petites.

\Subsection{Génération de combinaisons linéaires entre les
\texorpdfstring{$\zeta(n)$}{zn}}
Soit $a\in\N$, et
soit $F\in\Q(X)$, de degré $\leq -2$, n'ayant des pôles
qu'aux entiers $\leq 0$, ces pôles étant d'ordre $\leq a$.
Soient $\alpha_{j,k}$, pour $j\geq 0$, $1\leq k\leq a$ et
$\alpha_k$ pour $1\leq k\leq a$, les rationnels définis
via la décomposition en éléments simples de $F(X)$ par
$$F(X)=\sum_{j=0}^{+\infty}\sum_{k=1}^a\frac{\alpha_{j,k}}{(X+j)^k}
\quad{\rm et}\quad
\alpha_k=\sum_{j=0}^{+\infty}\alpha_{j,k}.$$
Remarquons que l'on a $\alpha_{j,k}=0$ sauf pour un nombre
fini de couples $(j,k)$ et donc que les séries ci-dessus sont
en fait des sommes finies et, d'autre part, que $\alpha_1=0$
car on a supposé $F$ de degré $\leq-2$.

\begin{prop}\label{lin}
La série $\sum_{m=1}^{+\infty}F(m)$ converge absolument, et on a
$$\sum_{m=1}^{+\infty}F(m)=\sum_{k=2}^a\alpha_k\zeta(k)-\sum_{k=1}^a
\sum_{j=0}^{+\infty}\alpha_{j,k}\Big(\sum_{u=1}^j\frac{1}{u^k}\Big).$$
\end{prop}

\demo\mbox{}\par La convergence absolue découle de l'hypothèse $\deg F\leq -2$.
Si $N\in\N$ est tel que $\alpha_{j,k}=0$ si $j\geq N+1$, on a
$$
\sum_{m=1}^{M}\sum_{j=0}^{N}\frac{\alpha_{j,1}}{m+j}=
\Big(\sum_{j=0}^N\alpha_{j,1}\Big)\Big(\sum_{u=1}^{N+M}\frac{1}{u}\Big)-
\sum_{j=0}^N\alpha_{j,1}
\Big(\sum_{u=1}^j\frac{1}{u}+\sum_{u=M+j+1}^{N+M}\frac{1}{u}\Big),
$$
et comme $\sum_{j=0}^N\alpha_{j,1}=0$, on obtient
$$\sum_{m=1}^{+\infty}\sum_{j=0}^{N}\frac{\alpha_{j,1}}{m+j}=
-\sum_{j=0}^N\alpha_{j,1}
\Big(\sum_{u=1}^j\frac{1}{u}\Big).$$
D'autre part, on a
\begin{align*}
\sum_{m=1}^{+\infty}\sum_{j=0}^{N}\sum_{k=2}^a&\frac{\alpha_{j,k}}
{(m+j)^k}\\
&= \sum_{k=2}^a\sum_{j=0}^{N}\sum_{u=j+1}^{+\infty}\frac{\alpha_{j,k}}{u^k}
= \sum_{k=2}^a\sum_{j=0}^{N}\alpha_{j,k}\Big(\zeta(k)-\sum_{u=1}^j
\frac{1}{u^k}\Big)\\
&= \sum_{k=2}^a\alpha_k\zeta(k)-\sum_{k=2}^a
\sum_{j=0}^{N}\alpha_{j,k}\Big(\sum_{u=1}^j\frac{1}{u^k}\Big)\, ,
\end{align*}
et il n'y a plus qu'à faire la somme des deux expressions ci-dessus pour
conclure.

\Subsection{Un choix judicieux de fonction rationnelle}
Soient $a$ et $r$ deux entiers vérifiant $2r\leq a$ et $r\geq 1$.
(On cherche des combinaisons linéaires à coefficients entiers
entre $1$ et les $\zeta(k)$, $k\leq a$, et $r$ est un paramètre
que l'on ajustera de manière à ce que ces combinaisons
linéaires soient les plus petites possibles.)
Soit
\begin{align*}
F_n(X)&= (n!)^{a-2r}\frac{(X-rn)(X-rn+1)\cdots(X+(r+1)n)}
{(X(X+1)\cdots(X+n))^{a+1}}\\
&=
(n!)^{a-2r}\frac{(X-rn)\cdots(X-1)(X+n+1)\cdots(X+(r+1)n)}
{(X(X+1)\cdots(X+n))^{a}}.
\end{align*}
Soient aussi $\alpha^{(n)}_{j,k}$, pour $0\leq j\leq n$, $1\leq k\leq a$ et
$\alpha^{(n)}_{k}$ pour $1\leq k\leq a$, les rationnels définis
via la décomposition en éléments simples de $F_n(X)$ par
$$F_n(X)=\sum_{j=0}^{n}\sum_{k=1}^a\frac{\alpha^{(n)}_{j,k}}{(X+j)^k}
\quad{\rm et}\quad
\alpha^{(n)}_{k}=\sum_{j=0}^{n}\alpha^{(n)}_{j,k}.$$

Cette fraction rationnelle a un certain nombre de propriétés
intéressantes.
%\begin{itemize}
\smallskip
---
$F_n$ est de degré $(2r+1)n+1-(n+1)(a+1)=(2r-a)n-a\leq-a\leq -2$
et a des pôles d'ordre $a$ en $0,-1,\dots,-n$;
la série $S_n=\sum_{m=1}^{+\infty}
F_n(m)$ converge donc absolument et on a
$$S_n=\beta^{(n)}+\sum_{k=2}^a\alpha^{(n)}_{k}\zeta(k)
\quad{\text{avec }}\beta^{(n)}=-\sum_{k=1}^a
\sum_{j=0}^{n}\alpha^{(n)}_{j,k}\Big(\sum_{u=1}^j\frac{1}{u^k}\Big)\, .$$


\smallskip
---
$F_n(1)=\cdots=F_n(rn)=0$, ce qui montre que la somme
définissant $S_n$ ne commence qu'à $m=rn+1$
[\ie $S_n=\sum_{m=0}^{+\infty}F_n(rn+m+1)$] et {assure} que $S_n$ est
petit.


\smallskip
---
$F_n(m)\geq 0$ si $m\geq 1$, ce qui assure que $S_n$ est non nul.


\smallskip
---
$F_n$ vérifie l'équation fonctionnelle $F_n(-n-X)\!=\!(-1)^{(n+1)a}F(X)$,
ce qui nous fournit les relations $\alpha^{(n)}_{n-j,k}=(-1)^{k+(n+1)a}\alpha^{(n)}_{j,k}$,
si~\hbox{$1\!\leq\! k\!\leq\! a$} et $0\leq j\leq n$; ces relations impliquent
que $\alpha^{(n)}_k=0$ si $k+(n+1)a$ est impair, ce qui est le point crucial
pour arriver à séparer les valeurs aux entiers pairs des valeurs
aux entiers impairs. (Pour ne garder que les valeurs aux entiers pairs,
il suffit de prendre~$a$ pair, et pour ne garder que les valeurs aux entiers
impairs, il suffit de prendre $a$ impair et $n$ pair.)
%\end{itemize}

\medskip
Pour pouvoir appliquer le critère de Nesterenko (\cf \no\ref{riv}),
il s'agit alors
d'évaluer précisément $S_n$ (\cf \no\ref{den}), majorer les
coefficients $\alpha^{(n)}_{k}$ et le
p.p.c.m. de leurs dénominateurs (\cf \no\ref{ppcm})
car on a besoin de combinaisons linéaires à coefficients {\it entiers}.

\Subsection{Propriétés archimédiennes
et arithmétiques des \texorpdfstring{$\alpha^{(n)}_{k}$}{ank}}\label{ppcm}
Notons $d_n$ le p.p.c.m. de $1,2,\dots,n$.

\begin{prop}\label{ppcm20}
Si $1\leq k\leq a$ et $0\leq j\leq n$, alors
$$d_n^{a-k}\alpha^{(n)}_{k,j}\in\Z\quad{\rm et}\quad
|\alpha^{(n)}_{k,j}|\leq (2n)^{a-1}(a-1)!2^{na}(r+1)^{2(r+1)n}.$$
\end{prop}
Vu la relation entre $\beta^{(n)}$, les $\alpha^{(n)}_{k}$ et
les $\alpha^{(n)}_{k,j}$, on en déduit le résultat suivant:

\skpt
\begin{coro}\label{ppcm0}
{\rm (i)} $d_n^a\beta^{(n)}\in\Z$ et $d_n^{a-k}\alpha^{(n)}_{k}\in\Z$
si $n\in\N$ et $k\in\{2,\dots,a\}$.

{\rm (ii)} $|\beta^{(n)}|\leq (2^a(r+1)^{2r+2})^{n+o(n)}$
et $|\alpha^{(n)}_{k}|\leq (2^a(r+1)^{2r+2})^{n+o(n)}$,
si $k\in\{2,\dots,a\}$.
\end{coro}
Pour démontrer la proposition~\ref{ppcm20}, écrivons
$F_n(X)$ sous la forme
$$F_n(X)=\prod_{i=1}^a\frac{n!\,P_i(X)}{X(X+1)\cdots (X+n)},$$
où $P_i(X)$ est le polynôme défini par
$$P_i(X)=\begin{cases}
{{X-1-(i-1)n}\choose n} & {\text{si $1\leq i\leq r$,}}\\
{{X+(i-r+1)n}\choose n} & {\text{si $r+1\leq i\leq 2r$,}}\\
1 & {\text{si $2r+1\leq i\leq a$,}}
\end{cases}$$
et
${X\choose n}$ est le polynôme de degré $n$
défini par ${X\choose 0}=1$, et
${X\choose n}=\frac{X(X-1)\cdots(X-n+1)}{n!}$ si $n\geq 1$.
Nous aurons besoin d'un certain nombre de résultats préparatoires.

\begin{lemm}\label{ppcm2}
Soit $Q\in\Q[X]$, de degré $\leq n$ prenant des valeurs entières aux entiers
et soient $(\beta_j(Q))_{0\leq j\leq n}$ les rationnels définis par
la décomposition en éléments
simples de la fraction rationnelle
$$F(X)=\frac{n!\,Q(X)}{X(X+1)\cdots (X+n)}=\sum_{j=0}^n\frac{\beta_j(Q)}{X+j}$$
et $B(Q)=\sup_{0\leq j\leq n}|\beta_j(Q)|$.
Alors $\beta_j\in\Z$ quel que soit $j\in\{0,\dots,n\}$ et
$B(Q)\leq 2^n\sup_{0\leq j\leq n}|Q(-j)|$.
\end{lemm}

\demo On a
$$\beta_j(Q)=\lim_{X\to -j}(X+j)F(X)=(-1)^j{n\choose j}Q(-j).$$

\begin{lemm}\label{ppcm3}
Soient $Q_i$ pour $1\leq i\leq a$ des polynômes de
degrés $\leq n$ prenant des valeurs entières aux entiers.
Soient
$\alpha_{j,k}$ pour $0\leq j\leq n$ et $1\leq k\leq a$,
définis grâce à la décomposition en élément
simples de
$$F(X)=\prod_{i=1}^a\frac{n!\,Q_i(X)}{X(X+1)\cdots(X+n)}=
\sum_{j=0}^n\sum_{k=1}^a\frac{\alpha_{j,k}}{(X+j)^k}.$$
Alors $d_n^{a-k}\alpha_{j,k}\in\Z$ et $|\alpha_{j,k}|\leq
(2n)^{a-1}(a-1)!\prod_{i=1}^aB(Q_i)$, quels que soient
$0\leq j\leq n$ et $1\leq k\leq a$.
\end{lemm}

\demo La démonstration se fait par récurrence sur $a$,
le cas $a=1$ étant contenu dans le lemme~\ref{ppcm2}.
Si $a\geq 2$, l'hypothèse de récurrence permet d'écrire
$$\prod_{i=1}^{a-1}\frac{n!\,Q_i(X)}{X(X+1)\cdots(X+n)}=
\sum_{j=0}^n\sum_{k=1}^{a-1}\frac{\gamma_{j,k}}{(X+j)^k},$$
avec $d_n^{{a-1}-k}\gamma_{j,k}\in\Z$ et $|\gamma_{j,k}|\leq
(2n)^{a-2}(a-2)!\prod_{i=1}^{a-1}B(Q_i)$.

Maintenant, si $j_1\neq j_2$, on a
$$\frac{1}{(X+j_1)(X+j_2)^\ell}=\frac{1}{(j_2-j_1)^\ell(X+j_1)}-
\sum_{k=1}^\ell\!\frac{1}{(j_2-j_1)^{\ell+1-k}(X+j_2)^k}.$$
On en déduit la formule
$$\alpha_{j,k}=
\begin{cases}
\dpl\beta_j(P_a)\gamma_{j,k-1}-\sum_{\ell\geq k}\sum_{j'\neq j}
\frac{\beta_{j'}(P_a)\gamma_{j,\ell}}{(j-j')^{\ell+1-k}} &
{\text{si $k\geq 2$,}}\\[5pt]
\dpl\sum_{\ell\geq 1}\sum_{j'\neq j}
\frac{\beta_{j}(P_a)\gamma_{j',\ell}-\beta_{j'}(P_a)\gamma_{j,\ell}}{(j-j')^{\ell}} &
{\text{si $k= 1$.}}
\end{cases}$$
La somme dans le membre de droite comporte au plus
$2n(a-1)$ termes et chacun de ces termes est de valeur absolue
\[
\leq B(P_a)(2n)^{a-2}(a-2)!\prod_{i=1}^{a-2}B(P_i);
\]
on en tire la majoration voulue pour $|\alpha_{j,k}|$.

Finalement, on a
\begin{gather*}
d_n^{a-k}\frac{\beta_{j'}(P_a)\gamma_{j,\ell}}{(j-j')^{\ell+1-k}}
=d_n^{a-1-\ell}\gamma_{j,\ell}\cdot\frac{d_n^{\ell+1-k}}{(j-j')^{\ell+1-k}}\cdot
\beta_{j'}(P_a)\in\Z\\
\tag*{et}
d_n^{a-k}\gamma_{j,k-1}=d_n^{a-1-(k-1)}\gamma_{j,k-1}\in\Z,
\end{gather*}
et tous les
termes intervenant dans le calcul de $\alpha_{j,k}$ sont entiers;
il en est donc de même de $\alpha_{j,k}$, ce qui termine la démonstration.

\begin{lemm}\label{ppcm1}
Si $1\leq i\leq a$, alors $P_i$ est de degré $\leq n$ et
prend des valeurs entières aux entiers. De plus, on a
$$B(P_i)\leq
\begin{cases}
\dpl 2^n\frac{((i+1)n)!}{(in)!n!} & {\text{si $1\leq i\leq r$,}}\\
\dpl 2^n\frac{((i-r+1)n)!}{((i-r)n)!n!} & {\text{si $r+1\leq i\leq 2r$,}}\\
2^n & {\text{si $2r+1\leq i\leq a$.}}
\end{cases}$$
\end{lemm}

\demo
On a ${0\choose n}\in\Z$ de manière évidente, et
${{X+1}\choose {n+1}}-{X\choose {n+1}}={X\choose n}$, ce qui montre
par une récurrence double que les polynômes~${X\choose n}$ prennent
des valeurs entières aux entiers; il en est donc de même des~$P_i$.
La majoration de $B(P_i)$, quant à elle, s'obtient en en majorant
le coefficient binomial ${n\choose j}$ par $2^n$ et en constatant
que le maximum de $|P_i(-j)|$ pour $0\leq j\leq n$ est atteint en
$j=0$ (\resp $j=n$) si $1\leq i\leq r$
(\resp $r+1\leq i\leq 2r$).

\medskip
La proposition~\ref{ppcm20} est une conséquence des lemmes~\ref{ppcm1}
et~\ref{ppcm3} et de la majoration
$$\prod_{i=1}^a B(P_i)\leq 2^{na}\Big(\frac{((r+1)n)!}{(n!)^{r+1}}\Big)^2
\leq 2^{na}(r+1)^{2(r+1)n},$$
la première inégalité s'obtenant en multipliant les
majorations obtenues dans le lemme~\ref{ppcm1} et
la seconde s'obtenant en utilisant la majoration des coefficients
multinomiaux
$\frac{m!}{m_1!\cdots m_c!}\!\leq\! c^m$ si $m_1+\cdots+ m_c\!=\!m$.

\Subsection{Évaluation de \texorpdfstring{$S_n$}{Sn}}\label{den}
Une expression de $S_n$ sous forme d'une intégrale (prop.~\ref{den2})
va nous permettre d'étudier le comportement asymptotique de $S_n$
et, en particulier, de démontrer le résultat suivant.


\skpt
\begin{prop}\label{den1}
{\rm (i)} Il existe $A_0>0$ tel que $\lim_{n\to +\infty} S_n^{1/n}=A_0$.

{\rm (ii)} On a $A_0\leq(2r+1)^{2r+1}
%\big(1+\frac{a-2r}{r(a+1)}\big)^{-r(a+1)}
r^{2r-a}.$
\end{prop}

\begin{lemm}
Si $a,b\in\N$, alors $\dpl\int_0^1x^a(1-x)^b\,dx=\frac{a!\ b!}{(a+b+1)!}$.
\end{lemm}

\demo
C'est un cas particulier de la formule
$\dpl\int_0^1x^{s-1}(1-x)^{t-1}\,dx=\frac{\Gamma(s)\Gamma(t)}{\Gamma(s+t)}$
d'Euler. (On peut aussi utiliser
la formule
$\dpl\int_0^1x^a(1-x)^b\,dx=\frac{b}{a+1}\int_0^1x^{a+1}(1-x)^{b-1}\,dx$.)

\begin{prop}\label{den2}
On a
$$S_n=\frac{((2r+1)n+1)!}{(n!)^{2r+1}}\int_{[0,1]^{a+1}}
\frac{\prod_{\ell=1}^{a+1}x_\ell^{nr}(1-x_\ell)^n\,dx_\ell}
{(1-x_1\cdots x_{a+1})^{(2r+1)n+2}}.$$
\end{prop}

\demo
Si $k\geq 1$ et $|x|<1$, on a\vspace*{-3pt}
\[
(1-x)^{-k}=\sum_{m=0}^{+\infty}
{{m+k-1}\choose{k-1}}x^m.
\]
Comme toutes les fonctions que l'on
considère sont positives, on peut intervertir somme et
intégrale pour obtenir\vspace*{-3pt}
\begin{multline*}
\int_{[0,1]^{a+1}}
\frac{\prod_{\ell=1}^{a+1}\big(x_\ell^{nr}(1-x_\ell)^n\,dx_\ell\big)}
{(1-x_1\cdots x_{a+1})^k}\\
=\sum_{m=0}^{+\infty}
{{m+k-1}\choose{k-1}}\Big(\int_0^1x^{rn+m}(1-x)^n\,dx\Big)^{a+1}\\
=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(m+1)\cdots(m+k-1)}{(k-1)!}
\Big(\frac{(rn+m)!n!}{((r+1)n+m+1)!}\Big)^{a+1}.
\end{multline*}
Pour $k=(2r+1)n+2$, on a\vspace*{-3pt}
\begin{multline*}
\frac{((2r+1)n+1)!}{(n!)^{2r+1}}\frac{(m+1)\cdots(m+k-1)}{(k-1)!}
\Big(\frac{(rn+m)!n!}{((r+1)n+m+1)!}\Big)^{a+1}\\
=F_n(rn+m+1).
\end{multline*}
On en tire le résultat car $F_n(m)=0$ si $1\leq m\leq rn$.

\begin{lemm}\label{den3} On a\vspace*{-3pt}
$$\lim_{n\to +\infty}\Big(\frac{((2r+1)n+1)!}{(n!)^{2r+1}}\Big)^{1/n}=
(2r+1)^{2r+1}.$$
\end{lemm}

\demo
C'est une conséquence du comportement asymptotique de
$n!$ donné par la formule de Stirling:\vspace*{-3pt}
\[
n!=n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}\,(1+O(\sfrac{1}{n})).
\]

\begin{lemm}\label{den4}
Soient $K$ un compact, $f$ une fonction continue positive
sur $K$
et $\mu$ une mesure sur $K$
telle que la mesure de tout ouvert soit finie et $>0$.
Alors $\lim_{n\to +\infty}|\int_Kf^n\,d\mu|^{1/n}=\sup_{x\in K}f(x).$
\end{lemm}

\demo Exercice.

\medskip
Passons à la démonstration de la proposition~\ref{den1}.
Le lem\-me~\ref{den3} et le lemme~\ref{den4} utilisé pour
$K=[0,1]^{a+1}$,
$$f(x_1,\dots,x_{a+1})=
\frac{\prod_{\ell=1}^{a+1}x_\ell^{r}(1-x_\ell)}
{(1-x_1\cdots x_{a+1})^{2r+1}}\quad\text{et}\quad
\mu=\frac{\prod_{\ell=1}^{a+1}dx_\ell}
{(1-x_1\cdots x_{a+1})^{2}},$$
nous permettent de démontrer que l'on a
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} S_n^{1/n}&=A_0,\\
\tag*{avec}A_0&=(2r+1)^{2r+1}
\sup_{(x_1,\dots,x_{a+1})\in[0,1]^{a+1}}f(x_1,\dots,x_{a+1}).
\end{align*}
D'autre part, on a
$1-x_1\cdots x_{a+1}\geq 1-x_\ell$ pour tout $\ell\in\{1,\dots,a+1\}$.
On~a donc aussi $1-x_1\cdots x_{a+1}\geq \prod_{\ell=1}^{a+1}
(1-x_\ell)^{1/(a+1)}$, ce qui nous fournit la majoration
$$f(x_1,\dots,x_{a+1})\leq
\prod_{\ell=1}^{a+1}\Big(x_\ell^r(1-x_\ell)^{\sppfrac{a-2r}{a+1}}\Big).$$
Le maximum de $x\to x^r(1-x)^{\sppfrac{a-2r}{a+1}}$ sur $[0,1]$
est atteint en
$$\rho=\Big(1+\frac{a-2r}{r(a+1)}\Big)^{-1};$$ le maximum de $f$ sur
$[0,1]^{a+1}$ est donc inférieur ou égal à
\[
\rho^{r(a+1)}(1-\rho)^{a-2r}\leq
(1-\rho)^{a-2r},
\]
et on termine la démonstration de la proposition~\ref{den1} en utilisant
la majoration
$$1-\rho=
1-\frac{1}{1+\frac{a-2r}{r(a+1)}}=\frac{\frac{a-2r}{r(a+1)}}
{1+\frac{a-2r}{r(a+1)}}\leq
{\frac{a-2r}{r(a+1)}}\leq\frac{1}{r}.$$

\Subsection{Utilisation du critère de Nesterenko}\label{riv}

\subsubsection{Le plus petit commun multiple des \texorpdfstring{$n$}{n} premiers entiers}
Pour appliquer le critère de Nesterenko, nous aurons besoin
d'estimer la taille de $d_n$; c'est l'objet de la proposition suivante
qui est une conséquence du théorème des nombres premiers.

\begin{prop}\label{dn}
Si $d_n$ désigne le p.p.c.m de $1,2,\dots,n$, alors $d_n=e^{n+o(n)}$.
\end{prop}

\demo
Si $p$ est un
nombre premier $\leq n$, on a $v_p(d_n)=\big[\frac{\log n}{\log p}\big]$,
où $[x]$ désigne la partie entière de $x$, si $x\in\R$.
On obtient donc, en notant $\pi(n)$ le nombre de nombres premiers
$\leq n$,
$$n-\log d_n=\sum_{p\leq n}\Big(\log n-\Big[\frac{\log n}{\log p}\Big]\log p\Big)
+n-\pi(n)\log n.$$
D'après le théorème des nombres premiers, on a
$n-\pi(n)\log n=o(n)$, et il s'agit de prouver que, si on note $s_n$
la somme $\sum_{p\leq n}u_p$, avec
$u_p=\log n-\big[\frac{\log n}{\log p}\big]\log p$,
alors $s_n=o(n)$.
Pour cela, choisissons $\epsilon\in{}]0,\frac{1}{2}[$.
Si $p\leq n^{1-\epsilon}$, on peut utiliser la majoration triviale
$|u_p|\leq\log n$, et, si $n^{1-\epsilon}<p\leq n$, on a
$\big[\frac{\log n}{\log p}\big]=1$ et $|u_p|\leq\epsilon\log n$.
On en déduit la majoration
$$s_n\leq\log n\big(\pi(n^{1-\epsilon})+(\pi(n)-\pi(n^{1-\epsilon}))\epsilon\big)
\leq\epsilon n+o(n).$$
Ceci étant vrai quel que soit $\epsilon\in{}]0,\frac{1}{2}[$,
on en déduit le résultat.

\begin{rema}
Pour démontrer le théorème de Rivoal, on a juste besoin de savoir qu'il
existe $\gamma>0$ tel que $d_n=O(\gamma^{n+o(n)})$, et on peut montrer
(exercice) que l'on peut prendre $\gamma=4$ en utilisant le fait
que le produit des nombres premiers compris entre $m+1$ et $2m$
divise ${2m\choose m}\leq 2^{2m}$, ce qui permet de se passer
du théorème des nombres premiers. Le prix à payer
est que les constantes sont un peu moins bonnes (remarque~\ref{riv2}).
\end{rema}

\Subsubsection{Minoration de la dimension du \texorpdfstring{$\Q$}{Q}-espace vectoriel
engendré\\ par les \texorpdfstring{$\zeta(2j+1)$}{zj}}
Nos efforts sont récompensés par la proposition suivante qui
fournit une minoration non triviale de la dimension
du $\Q$-espace vectoriel
engendré par les valeurs de la fonction zêta aux entiers pairs ou impairs.

\begin{prop}\label{riv1}
Soit $a\geq 3$ un entier impair.
Soit $\delta_{\rm pair}(a)$ {\rm(}\resp $\delta_{\rm impair}(a)${\rm)} la
dimension du sous-$\Q$-espace vectoriel de $\R$ engendré
par $1$ et les $\zeta(k)$, $k$ pair {\rm(}\resp $k$ impair{\rm)}, $2\leq k\leq a$.
Alors, quel que soit $r\leq\sfrac{a}{2}$, les dimensions
$\delta_{\rm pair}(a)$ et $\delta_{\rm impair}(a)$ sont minorées
par
$$1+\frac{(a-2r)\log r-a-(2r+1)\log(2r+1)}{a+a\log 2+(2r+2)\log(r+1)}.$$
\end{prop}

\begin{rema}\label{riv2}
En prenant $r=\dfrac{a}{(\log a)^2}+O(1)$, on voit que
$\delta_{\rm pair}(a)$ et $\delta_{\rm impair}(a)$ sont minorées par
$1+\dfrac{\log a}{1+\log 2}+o(1)$; en particulier,
$\delta_{\rm pair}(a)$ et $\delta_{\rm impair}(a)$ tendent vers $+\infty$, ce
qui termine la démonstration du théorème~\ref{riv0}
(modulo la démonstration de la proposition). Si on veut se
passer du théorème des nombres premiers et utiliser
une majoration du type $d_n\leq O(\gamma^{n+o(n)})$, les arguments
ci-dessous mènent à une minoration de $\delta_{\rm pair}(a)$ et $\delta_{\rm impair}(a)$
par $1+\dfrac{\log a}{\log (2\gamma)}+o(1)$.
\end{rema}

\demo
La démonstration pour $\delta_{\rm pair}(a)$ est la même (en un peu plus simple)
que la démonstration pour $\delta_{\rm impair}(a)$; nous nous contenterons donc
de traiter le cas de $\delta_{\rm impair}(a)$.

Soit $b=\snpfrac{a+1}{2}$.
Soit $v_1=1$, et $v_j=\zeta(2j-1)$ si $2\leq j\leq b$.
Soit $a_{n,1}=d_{2n+1}^a\beta^{(2n+1)}$ et $a_{n,j}=d_{2n+1}^a\alpha^{(2n+1)}_{2j-1}$
si $2\leq j\leq b$. D'après la proposition~\ref{ppcm0},
les $a_{n,j}$ sont des entiers, et la conjonction de la proposition~\ref{dn}
et du (ii) du corollaire~\ref{ppcm0} montre que l'on a
$$\sup_{1\leq j\leq b}|a_{n,j}|\leq B^{n+o(n)},
\quad{\text{avec }}B=\Big(e^a2^{a}(r+1)^{2r+2}\Big)^2.$$
D'autre part, comme $a$ est impair, on a $\alpha^{(2n+1)}_{k}=0$ si
$k$ est pair, et donc
$a_{n,1}v_1+\cdots +a_{n,b}v_b=d_{2n+1}^aS_{2n+1}$.
La conjonction des propositions~\ref{den1} et~\ref{dn} montrent qu'il existe
$A>0$ tel que
$$|a_{n,1}v_1+\cdots+a_{n,b}v_b|=A^{n+o(n)}
\quad{\text{avec }}
A\leq\Big(e^a(2r+1)^{2r+1}r^{2r-a}\Big)^2.$$
Le critère de Nesterenko (th.~\ref{nest}) permet de conclure.

\Subsection{Démonstration du critère de Nesterenko}\label{nes}
La démonstration du critère de Nesterenko qui suit est adaptée
de notes de F.~Amoroso; elle va demander un peu
de préparation.

\Subsubsection{Hauteur \texorpdfstring{$H(M)$}{HM} d'une matrice \texorpdfstring{$M$}{M} à coefficients entiers}
Soit $s\leq r$ deux entiers et
soit $M\in{\bf M}_{s\times r}(\Z)$ une matrice à $s$ lignes
et $r$ colonnes et à coefficients
entiers $(a_{i,j})_{1\leq i\leq s,\ 1\leq j\leq r}$.
Si $J$ est une partie à $s$ éléments de $\{1,\dots,r\}$, on
note $M_J$ la matrice $s\times s$ de coordonnées
$(a_{i,j})_{1\leq i\leq s,\ j\in J}$, et on pose
$$H(M)=\sup_J|\det M_J|,$$
où $J$ décrit les parties à $s$ éléments de $\{1,\dots,r\}$.
Soit
\[
w=(w_1,\dots,w_r)\in\R^r.
\]
On note $Mw$ le vecteur
colonne dont la $i$-ième coordonnée est
$\sum_{j=1}^ra_{i,j}w_j$.
Si $J'$ est une partie à $s-1$ éléments de $\{1,\dots,r\}$, on
note $M_{J',w}$ la matrice $s\times s$ obtenue en rajoutant
à la matrice $s\times(s-1)$ de coefficients
$(a_{i,j})_{1\leq i\leq s,\ j\in J'}$, le vecteur $Mw$, et on pose
$$\Delta(M)=\sup_{J'}|\det M_{J',w}|,$$
où $J'$ décrit les parties à $s-1$ éléments de $\{1,\dots,r\}$.

\skpt
\begin{lemm}\label{nest2}
{\rm (i)} Si $s=1$ et $M=(a_1,\dots,a_r)\in{\bf M}_{1\times r}(\Z)$, alors
$$H(M)=\sup_{1\leq i\leq r}|a_i| \quad\text{et}\quad \Delta(M)=\biggl|\sum_{i=1}^ra_iw_i\biggr|.$$

{\rm (ii)} Si $M\in{\bf M}_{r\times r}(\Z)$, alors
$$H(M)=|{\det M}|\quad\text{et}\quad\Delta(M)=|{\det M}|(\sup_{1\leq i\leq r}|w_i|).$$

{\rm (iii)} Si $s\leq r$ et $M\in{\bf M}_{s\times r}(\Z)$, et si
$\Delta(M)\neq 0$, alors $H(M)\neq 0$.

{\rm (iv)} Si $s\leq r$ et si $(M_n)_{n\in\N}$ est une suite
d'éléments de ${\bf M}_{s\times r}(\Z)$ vérifiant
$\Delta(M_n)\neq 0$ et $\lim_{n\to+\infty}\Delta(M_n)=0$,
alors
\[
\lim_{n\to +\infty}H(M_n)=+\infty.
\]

{\rm (v)} Si $s\leq r-1$, si $M\in{\bf M}_{s\times r}(\Z)$,
si $L\in{\bf M}_{1\times r}(\Z)$, et si $M\oplus L$
désigne l'élément de ${\bf M}_{(s+1)\times r}(\Z)$
obtenu en accolant verticalement~$M$ et~$L$, alors
\begin{align*}
& H(M\oplus L)\leq (s+1) H(L)H(M),\\
&H(M)\Delta(L)-sH(L)\Delta(M)\leq \Delta(M\oplus L)\leq
H(M)\Delta(L)+sH(L)\Delta(M).
\end{align*}
\end{lemm}

\demo
Le (i) et le (ii) sont des évidences. Pour démontrer les (iii) et
(iv), remarquons que, si $J'$ est une partie à $s-1$
éléments de $\{1,\dots,r\}$, alors
$$\det M_{J',w}=\sum_{j\notin J'}\epsilon_jw_j\det M_{J'\cup\{j\}},$$
où $\epsilon_j\in\{\pm 1\}$ est un signe dépendant de $j$. En particulier, si tous les $\det M_J$ sont nuls, alors il en est
de même des $\det M_{J',w}$ ce qui démontre le (iii),
et si $H(M_n)$ est borné, alors $\Delta(M_n)$
ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs (car les
$\det M_J$ sont des entiers), et donc ne peut pas tendre vers $0$,
ce qui démontre le (iv).
Finalement, le (v) se démontre en développant par rapport
à la dernière ligne les déterminants
$(s+1)\times(s+1)$ qui apparaissent.

\subsubsection{Reformulation du critère de Nesterenko}
Reprenons les notations du théorème~\ref{nest}.
Choisissons une
base $w=(w_1,\dots,w_r)$ du sous-$\Z$-module de $\R$ engendré par
$v_1,\dots,v_b$, notons $C$ le maximum des valeurs absolues des coordonnées
de $v_1,\dots,v_b$ dans cette base, notons $L_n\in{\bf M}_{1\times r}(\Z)$
la forme linéaire définie par $L_n(w)=\sum_{j=1}^ba_{n,j}v_j$,
et posons $Q_n=\sup(Q_{n-1},B^n,C\sup_{1\leq j\leq b}|a_{n,j}|)$
et $\lambda=-\frac{\log A}{\log B}$. Par construction, $Q_n$
est une suite croissante, tendant vers $+\infty$,
et $H(L_n)\leq Q_n$. Les hypothèses
du théorème~\ref{nest} se traduisent par
$$Q_{n+1}=Q_n^{1+o(1)}\quad{\rm et}\quad |L_n(w)|=Q_n^{-\lambda+o(1)}.$$
On est donc ramené à démontrer le résultat suivant.

\begin{theo}\label{nest1}
Soient $w=(w_1,\dots,w_r)\in\R^r$. On suppose qu'il existe une suite
croissante $(Q_n)_{n\in\N}$ d'éléments de $\R_+^\dual$,
tendant vers $+\infty$ et vérifiant $Q_{n+1}=Q_n^{1+o(1)}$,
et une suite
de formes linéaires à coefficients entiers,
$(L_n)_{n\in\N}$, où $L_n\in{\bf M}_{1\times r}(\Z)$,
telles que l'on ait
$$H(L_n)\leq Q_n\quad{\rm et}\quad |L_n(w)|=Q_n^{-\lambda+o(1)}.$$
Alors $\lambda\leq r-1$.
\end{theo}

\demo
La démonstration se fait par l'absurde.
Supposons $\lambda>r-1$ et choisissons $\mu\in{}]r-1,\lambda[$.
Nous allons construire, par récurrence sur $s\in\{1,\dots,r\}$, une suite
$(M^{(s)}_n)_{n\in\N}$ d'éléments de ${\bf M}_{s\times n}(\Z)$
vérifiant les conditions suivantes:

(i) $\lim_{n\to+\infty}H(M^{(s)}_n)=+\infty$,

(ii) $\Delta(M^{(s)}_n)\neq 0$ si $n$ est assez grand,

(iii) $\Delta(M^{(s)}_n)^sH(M^{(s)}_n)^{\mu-s+1}$ tend vers $0$
quand $n$ tend vers $+\infty$.

\noindent Pour $s=r$, ceci implique que $\Delta(M^{(s)}_n)$ tend vers $0$,
et donc, d'après le (ii) du lemme~\ref{nest2}, que
$\det(M^{(s)}_n)$ tend vers $0$, ce qui est absurde puisque
$\det(M^{(s)}_n)$ est un entier non nul pour $n$ assez grand.

\medskip
Pour $n=1$, les hypothèses du théorème~\ref{nest1} font que l'on
peut prendre $M_n^{(1)}=L_n$.
Soit $s\leq r-1$, et supposons la suite $(M_n^{(s)})_{n\in\N}$
construite. Posons $h_n=H(M_n^{(s)})$
et $\delta_n=\Delta(M_n^{(s)})$.
Soit $\eta_s\in{}]s\frac{\lambda-\mu}{\mu+1},
(s+1)\frac{\lambda-\mu}{\mu+1}[$, et soit $\epsilon_s>0$ tel que l'on ait
\begin{gather*}
1-\frac{\lambda+\epsilon_s}{s+\eta_s}>\frac{1}{s+\eta_s}-\frac{\mu-s+1}{s}\\
\tag*{et}
(s+1)\Big(1-\frac{\lambda-\epsilon_s}{s+\eta_s}\Big)+(\mu-s)
\Big(1+\frac{1}{s+\eta_s}\Big)<0.
\end{gather*}
(Le lemme~\ref{nest3} ci-dessous garantit, par continuité,
l'existence d'un tel $\epsilon_s$.)

Soit $\varphi(n)$ le plus petit entier tel que
$h_n^{\sdpfrac{1}{s+\eta_s}}<
Q_{\varphi(n)+1}.$
On a alors
$H( L_{\varphi(n)})\leq h_n^{\sdpfrac{1}{s+\eta_s}}$
et, si $n$ est assez grand,
$$ h_n^{\sfrac{-(\lambda+\epsilon_s)}{(s+\eta_s)}}\leq \Delta(L_{\varphi(n)})
\leq h_n^{\sppfrac{-\lambda+\epsilon_s}{s+\eta_s}}.$$
Vérifions que la suite $(M_n^{(s+1)})_{n\in\N}$ définie par
$M_n^{(s+1)}=M_n^{(s)}\oplus L_{\varphi(n)}$ répond à nos besoins.
Utilisant le (v) du lemme~\ref{nest2}, on obtient l'encadrement suivant
pour $\Delta(M_n^{(s+1)})$:
$$h_n^{1-\frac{\lambda+\epsilon_s}{s+\eta_s}}-s h_n^{\frac{1}{s+\eta_s}}
\delta_n\leq \Delta(M_n^{(s+1)})\leq
h_n^{1-\frac{\lambda-\epsilon_s}{s+\eta_s}}+s h_n^{\frac{1}{s+\eta_s}}
\delta_n.$$
Par ailleurs, comme $\delta_n^sh_n^{\mu-s+1}$ tend vers $0$, on a
$\delta_n=o(h_n^{-\snpfrac{\mu-s+1}{s}})$, et comme
$1-\frac{\lambda+\epsilon_s}{s+\eta_s}>\frac{1}{s+\eta_s}-\frac{\mu-s+1}{s}$,
le second terme du membre de gauche de la première inégalité
est négligeable devant le premier; on en déduit la non nullité
de $ \Delta(M_n^{(s+1)})$ pour $n$ assez grand.
Pour les mêmes raisons, on a $\Delta(M_n^{(s+1)})= O(h_n
^{1-\frac{\lambda-\epsilon_s}{s+\eta_s}})$, et comme
$$H(M_n^{(s+1)})\leq (s+1)H(M^{(s)}_n)H(L_{\varphi(n)})=O
(h_n^{1+\frac{1}{s+\eta_s}}),$$ on obtient
$$\Delta(M_n^{(s+1)})^{s+1}H(M_n^{(s+1)})^{\mu-s}=
O\Big(h_n^{(s+1)(1-\frac{\lambda-\epsilon_s}{s+\eta_s})+(\mu-s)
(1+\frac{1}{s+\eta_s})}\Big).$$
Comme on a choisi $\epsilon_s$ et $\eta_s$ de telle sorte que
l'exposant de $h_n$ soit $<0$, et comme $h_n$ tend vers $+\infty$,
on a
\[
\lim_{n\to +\infty}\Delta(M_n^{(s+1)})^{s+1}H(M_n^{(s+1)})^{\mu-s}=0.
\]
Pour terminer la vérification, constatons que, comme $\mu-s>0$,
on a aussi $\lim_{n\to +\infty}\Delta(M_n^{(s+1)})=0$,
et donc $\lim_{n\to +\infty}H(M_n^{(s+1)})=+\infty$.

\begin{lemm}\label{nest3}
Si $s\frac{\lambda-\mu}{\mu+1}<\eta<(s+1)\frac{\lambda-\mu}{\mu+1}$,
alors
\begin{gather}
1-\frac{\lambda}{s+\eta}>\frac{1}{s+\eta}-\frac{\mu-s+1}{s}\\
\tag*{et}
(s+1)\Big(1-\frac{\lambda}{s+\eta}\Big)+(\mu-s)
\Big(1+\frac{1}{s+\eta}\Big)<0.
\end{gather}
\end{lemm}

\demo Les équivalences suivantes sont immédiates, si on a
$\lambda,\mu,\delta>0$ et $\mu<\lambda$:
\begin{align*}
1-\frac{\lambda}{s+\eta}>\frac{1}{s+\eta}-\frac{\mu-s+1}{s}
&\Longleftrightarrow \frac{\mu+1}{s}>\frac{\lambda+1}{s+\eta}\\
&\Longleftrightarrow (\mu+1)(s+\eta)>(\lambda+1)s\\
&\Longleftrightarrow
\eta>s\frac{\lambda-\mu}{\mu+1}
\end{align*}
\begin{align*}
(s+1)\Big(1-\frac{\lambda}{s+\eta}\Big)&+(\mu-s)
\Big(1+\frac{1}{s+\eta}\Big)<0\\
&\Longleftrightarrow
(s+1)(s+\eta-\lambda)+(\mu-s)(s+\eta+1)<0\\
&\Longleftrightarrow (s+1)(\mu-\lambda)+\eta(\mu+1)<0\\
&\Longleftrightarrow \eta<(s+1)\frac{\lambda-\mu}{\mu+1}.
\end{align*}

\section{Nombres Polyzêtas}
\Subsection{Définition}
Le sous-$\Q$-espace vectoriel de $\R$ engendré par
$1$ et les $\zeta(a)$, $a$ entier $\geq2$ n'est pas une sous-algèbre
de $\R$ (du moins il ne devrait pas l'être si les énoncés
d'indépendance linéaire sur~$\Q$ auxquels on croit sont vrais).
Pour remédier à cette situation, on considère un ensemble
de nombres un peu plus gros contenant les $\zeta(a)$, à
savoir l'ensemble des nombres polyzêtas.
Ces nombres
poly\-zêtas ont été introduits par Euler, et viennent de faire un retour
tonitruant en mathématique après plus de deux siècles d'oubli; ils
apparaissent naturellement dans un certain nombre de questions à la frontière
de la théorie des nombres et de la physique théorique.

\begin{lemm}
Si $a_1,\dots, a_k$ sont des entiers $\geq 1$, la série
$$\sum_{n_1>n_2>\cdots>n_k\geq 1}\frac{1}{n_1^{a_1}\cdots n_k^{a_k}}$$
converge si et seulement si $a_1\geq 2$.
\end{lemm}

\demo La démonstration se fait par récurrence sur $k$ en remarquant
que $\sum_{n=N}^{+\infty}\frac{1}{n^a}=O(\frac{1}{N^{a-1}})$ si $a>1$.

\medskip Soit $A$ l'ensemble des suites d'entiers $\geq 1$ de longueur finie,
et $A_0\subset A$ l'ensemble de ces suites dont le premier terme est $\geq 2$.
Si $\bma =(a_1,\dots,a_k)\in A$, on définit la {\it longueur}
de $\bma $ comme l'entier $d(\bma )=k$ et son {\it poids} $|\bma |$
par la formule $|\bma |=a_1+\dots +a_k$.
Si $\bma =(a_1,\dots,a_k)\in A_0$, on définit le nombre polyzêta
$\zeta(\bma )$ par la formule
$$\zeta(\bma )=\sum_{n_1>n_2>\cdots>n_k\geq 1}\frac{1}{n_1^{a_1}\cdots n_k^{a_k}}.$$
En particulier, si $\bma =(a)$ n'a qu'un élément, on retombe sur
les valeurs de la fonction zêta aux entiers $\geq 2$.

Si $\bma \in A_0$, on peut aussi écrire $\zeta(\bma )$
sous la forme
$$\sum_{m_1=1}^{+\infty}\cdots\sum_{m_k=1}^{+\infty}
\frac{1}{(m_1+\cdots+m_k)^{a_1}(m_2+\cdots+m_k)^{a_2}\cdots m_k^{a_k}}.$$
D'autre part, notant $\Delta_r$ l'ensemble des
$(t_1,\dots,t_r)\in\R^r$ vérifiant
$1>t_1>\cdots>t_r>0$, on a
\begin{multline*}
\frac{1}{(m_1+\cdots+m_k)^{a_1}(m_2+\cdots+m_k)^{a_2}\cdots m_k^{a_k}}\\
=\int_{\Delta_{|\bma |}}\prod_{i=1}^k
\Big(t_{a_1+\cdots +a_i}^{m_i}\prod_{\ell=a_1+\cdots+a_{i-1}+1}^{a_1+\cdots+ a_i}
\frac{dt_\ell}{t_\ell}\Big).
\end{multline*}
Sommant alors sur $m_1,\dots,m_k\geq 1$, et intervertissant somme et
intégrale, ce qui ne pose pas de problème, tous les termes
étant positifs, on obtient
$$\zeta(\bma )=\int_{\Delta_{|\bma |}}\prod_{i=1}^k
\Big(\frac{dt_{a_1+\cdots +a_i}}{1-t_{a_1+\cdots +a_i}}
\prod_{\ell=a_1+\cdots+a_{i-1}+1}^{a_1+\cdots +a_i-1}
\frac{dt_\ell}{t_\ell}\Big).$$
Cette écriture étant relativement pénible, on introduit les formes
différentielles $\omega_1(t)=\dfrac{dt}{1-t}$ et $\omega_0(t)=\dfrac{dt}{t}$,
ce qui nous donne
$$\zeta(\bma )=\int_{\Delta_{|\bma |}}\prod_{\ell=1}^{|\bma |}
\omega_{a_i^\dual}(t_\ell),$$
où
$\bma ^\dual=(a^\dual_1,\dots,a^\dual_{|\bma |})$
est défini par $a^\dual_i=1$ si
$i\in\{a_1,a_1+a_2,\dots,a_1+\cdots+a_k\}$, et $a^\dual_i=0$ sinon.
D'autre part, on note
$A^\dual$ l'ensemble des suites de longueur finie constituées
de $0$ et de $1$, et se terminant par un $1$, et $A_0^\dual$ le sous-ensemble
de ces suites commençant par un~$0$.
L'application $\bma \mto\bma ^\dual$ induit une bijection
de $A$ sur $A^\dual$ et de $A_0$ sur $A_0^\dual$.

\Subsection{Relations quadratiques entre les nombres polyzêtas}
\Subsubsection{Relations de type I}
Si $r$ est un entier $\geq 1$, notons $D_r\subset (\N-\{0\})^r$
l'ensemble des $r$-uplets $(n_1,\dots,n_r)$ d'entiers vérifiant $n_1>
\cdots>n_k\geq 1$. Si~$r$ et~$s$ sont deux entiers, on peut
écrire $D_r\times D_s$ comme une réunion disjointe d'ensembles
de la forme $D_d$. De manière précise, soit
$\Sigma_{r,s}$ l'ensemble des applications $\varphi:
\{1,\dots,r+s\}\to\N-\{0\}$
dont l'image est un intervalle contenant~$1$ (\ie est
de la forme $\{1,\dots,d_\varphi\}$) et
telles que l'on ait
$\varphi(1)<\cdots<\varphi(r)$ et $\varphi(r+1)<\cdots<\varphi(r+s)$.
Si $\varphi\in\Sigma_{r,s}$, on définit le
sous-ensemble $D_\varphi$ de $ (\N-\{0\})^{r+s}$ comme étant l'ensemble
des suites $(n_1,\dots,n_{r+s})$ vérifiant
$n_i=n_j$, si $\varphi(i)=\varphi(j)$, et $n_i>n_j$, si $\varphi(i)<\varphi(j)$.


\skpt
\begin{lemm}\label{poly1}
{\rm (i)} On a $D_r\times D_s=\coprod_{\varphi\in\Sigma_{r,s}}D_\varphi$.

{\rm (ii)}
L'application $(m_1,\dots,m_{d(\varphi)})\mto
(n_1,\dots,n_{r+s})$, où $n_i=m_{\varphi(i)}$, est une bijection de
$D_{d(\varphi)}$ sur $D_\varphi$.
\end{lemm}

\demo Le (i) s'obtient en ordonnant les coordonnées
d'un élément $(n_1,\dots,n_{r+s})$ de $D_r\times D_s$. Le (ii) est
évident.

\medskip
Maintenant, si $\bma $ et $\bmb $ sont deux éléments
de $A_0$, on note ${\bf c}$ l'élément de $A_0$ de longueur
$d(\bma )+d(\bmb )$ obtenu en accolant $\bmb $ à $\bma $.
Si $\bma =(a_1,\dots,a_{d(\bma )})$ et $\bmb =(b_1,\dots,b_{d(\bmb )})$,
on a ${\bf c}=(c_1,\dots,c_{d(\bma )+d(\bmb )})$, avec
$c_i=a_i$ si $i\leq d(\bma )$ et $c_i=b_{i-d(\bmb )}$ si
$i\geq d(\bma )+1$.
Si $\varphi\in\Sigma_{d(\bma ),d(\bmb )}$, on note $\varphi(\bma ,\bmb )=
(c_{\varphi,1},\dots,c_{\varphi,d(\varphi)})$ l'élément de $A_0$
défini par $c_{\varphi,i}=\sum_{\varphi(j)=i}c_j$. (Remarquons
que les hypothèses mises sur $\varphi$ font que l'équation
$\varphi(j)=i$ a une ou deux solutions.)
Le lemme~\ref{poly1} nous fournit alors les relations quadratiques
suivantes, dites {\it de type I}, entre les nombres polyzêtas.

\begin{prop}\label{poly2}
Si
$\bma $ et $\bmb $ sont deux éléments
de $A_0$, alors
$$\zeta(\bma )\zeta(\bmb )=\sum_{\varphi\in\Sigma_{d(\bma ),d(\bmb )}}
\zeta(\varphi(\bma ,\bmb )).$$
\end{prop}

\begin{coro}
Le sous-$\Q$-espace vectoriel de $\R$ engendré par les nombres
polyzêtas est une sous-$\Q$-algèbre de $\R$.
\end{coro}

\subsubsection{Relations de type II}
Si $r$ est un entier $\geq 1$, et si $\sigma$ est une permutation de
$\{1,\dots,r\}$, soit $\Delta_r(\sigma)$ l'ensemble
de $r$-uplets $(t_1,\dots,t_r)$ de réels vérifiant
$1>t_{\sigma(1)}>\cdots>t_{\sigma(r)}>0$.
Si $r$ et $s$ sont deux entiers $\geq 1$, soit $S_{r,s}$ l'ensemble des
permutations $\sigma$ de $\{1,\dots,r+s\}$ telles que
\[
\sigma(1)<\sigma(2)<\cdots<\sigma(r)\quad\text{et}\quad \sigma(r+1)<\cdots<\sigma(r+s).
\]

\begin{lemm}
Si $r$ et $s$ sont des entiers $\geq 1$, alors
$\Delta_r\times\Delta_s$ est, à des sous-ensembles
de mesure nulle près {\rm(}en fait des faces de codimension~$1${\rm)}, la réunion
disjointe des $\Delta_{r+s}(\sigma)$, $\sigma\in S_{r,s}$.
\end{lemm}

\demo Il suffit d'ordonner les coordonnées
$(t_1,\dots,t_{r+s})$ de \hbox{$\Delta_r\times \Delta_s$}.

\medskip

Soient alors $\bma $ et $\bmb $ deux éléments de $A_0$, et soit
${\bf c}$ l'élément de $A_0$ obtenu, comme ci-dessus, en accolant
$\bmb $ à $\bma $; alors ${\bf c}^\dual$ s'obtient en accolant
$\bmb ^\dual$ à $\bma ^\dual$. Si $\sigma\in S_{|\bma |,|\bmb |}$,
on note $\sigma(\bma ,\bmb )$ l'élément de $A_0$ défini par
$$(\sigma(\bma ,\bmb ))^\dual=(c_{\sigma(1)}^\dual,\dots,c_{\sigma(|\bma |+
|\bmb |)}^\dual).$$
On obtient, utilisant le lemme ci-dessus,
une seconde série de relations quadratiques, dites
{\it de type II}, en les nombres polyzêtas:\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
\zeta(\bma )\zeta(\bmb )
&= \int_{\Delta_{|\bma |}\times \Delta_{|\bmb |}}
\prod_{\ell=1}^{|\bma |+|\bmb |}\omega_{c_i^\dual}(t_\ell)
=\sum_{\sigma\in S_{|\bma |,|\bmb |}}
\int_{\Delta_{|\bma |+|\bmb |}(\sigma)}\prod_{\ell=1}
^{|\bma |+|\bmb |}\omega_{c_i^\dual}(t_\ell)\\[-3pt]
&= \sum_{\sigma\in S_{|\bma |,|\bmb |}}
\int_{\Delta_{|\bma |+|\bmb |}}\prod_{\ell=1}
^{|\bma |+|\bmb |}\omega_{c_{\sigma(i)}^\dual}(t_\ell)
=
\sum_{\sigma\in S_{|\bma |,|\bmb |}}
\zeta(\sigma(\bma ,\bmb )).
\end{align*}

\Subsection{Relations linéaires entre les nombres polyzêtas}
Soit $\bma =(a_1,\dots,a_k)\in A_0$.
Si on écrit formellement les deux expressions obtenues pour le produit
divergent $\zeta(\bma )\zeta(1)$, et qu'on égale les deux expressions que l'on
obtient en supprimant les termes apparaissant des deux cotés, on se retrouve
avec l'égalité\vspace*{-5pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{multline*}
\sum_{j=1}^k\sum_{i=1}^{a_j-1}\zeta(a_1,\dots,a_{j-1},i+1,a_j-i,a_{j+1},\dots,a_k)\\[-10pt]
=
\sum_{j=1}^k\zeta(a_1,\dots,a_{j-1},a_j+1,a_{j+1},\dots,a_k).
\end{multline*}
Dans cette égalité, tous les termes ont un sens (avec les conventions
évidentes si $j=1$ ou $j=k$), et cette égalité est, en fait, une
vraie égalité, ce qui nous fournit une nouvelle famille
de relations, linéaires cette fois, dites {\it de type III},
en les nombres polyzêtas. Pour transformer ce qui précède en une
démonstration, on introduit les fonctions polypolylogarithmes
(en une variable)\vspace*{-3pt}
$${\rm Li}_{\bma} (z)=\sum_{n_1>\cdots>n_k\geq 1}
\frac{z^{n_1}}{n_1^{a_1}\cdots n_k^{a_k}}=\int_{z>t_1>\cdots>t_{|\bma |}>0}
\prod_{\ell=1}^{|\bma |}\omega_{a_i^\dual}(t_\ell).$$
On a bien évidemment ${\rm Li}_{\bma} (1)=\zeta(\bma )$ si $\bma \in A_0$,
mais l'intérêt est que ${\rm Li}_{\bma} (z)$ est défini, si~$|z|<1$,
pour tout $\bma \in A$, et pas seulement pour $\bma \in A_0$.
La méthode qui nous a permis de démontrer les relations de type~I
et~II conduit aux formules suivantes, quels que soient~$\bma ,\bmb \in A$:\vspace*{-2pt}
\begin{align*}
{\rm Li}_{\bma} (z){\rm Li}_{\bmb} (z)&=
\sum_{\sigma\in S_{|\bma |,|\bmb |}}{\rm Li}_{\sigma(\bma ,\bmb )}(z)\\[-5pt]
{\rm Li}_{\bma} (z){\rm Li}_{\bmb} (z)&=
\sum_{\varphi\in\Sigma_{d(\bma ),d(\bmb )}}
\sum_{n_1>\cdots>n_{d(\varphi)}\geq 1}
\frac{z^{n_\varphi(1)}}{n_1^{c_{\varphi,1}}\cdots
n_{d(\varphi)}^{c_{\varphi,d(\varphi)}}}.
\end{align*}
On peut utiliser les formules précédentes pour $\bma =(1)$
et $\bmb =(a_1,\dots,a_k)\in\nobreak A_0$.
Tous les termes qui apparaissent convergent en $z=1$
vers le polyzêta correspondant, à l'exception des termes correspondant
à $\sigma=\varphi={\rm id}$. La différence de ces deux termes
est alors égale à\vspace*{-3pt}
$$\sum_{n_1>n_2>\cdots>n_{k+1}\geq 1}\frac{z^{n_1}-z^{n_1+n_2}}{
n_1n_2^{a_1}\cdots n_{k+1}^{a_{k+1}}}.$$
Comme $a_1\geq 1$, et comme
on peut majorer $z^{n_1}-z^{n_1+n_2}$ par\vspace*{-3pt}
$$n_2(1-z)z^{n_1}\leq
n_2(1-z)z^{\sppfrac{n_1+\cdots+n_{k+1}}{k+1}},$$
cela permet de majorer
cette différence par $(1-z)|\log(1-z^{1/(k+1)})|^{k+1}$ qui tend vers
$0$ quand $z$ tend vers $1$. On en déduit les relations de type III.

\Subsection{L'algèbre engendrée par les nombres polyzêtas}
On vient d'obtenir trois types de relations algébriques entre les nombres
polyzêtas et on peut se demander si ce sont {\og les seules\fg},
ce qui se traduit de la manière suivante:
\begin{inter}
Soit $Z$ la $\Q$-algèbre de polynômes en les variables $Z_{\bma} $, pour
$\bma \in A_0$. Soit $\widehat\zeta:Z\to \R$ le morphisme d'algèbres
défini par $\widehat\zeta(Z_{\bma} )=\zeta(\bma )$. Est-il vrai que
$\ker\widehat\zeta$ est l'idéal de $Z$ engendré par les éléments\vspace*{-3pt}
\[
Z_{\bma} Z_{\bmb} -\sum_{\sigma\in S_{|\bma |,|\bmb |}}Z_{\sigma(\bma ,
\bmb )},\quad
Z_{\bma} Z_{\bmb} -\sum_{\varphi\in\Sigma_{d(\bma ),d(\bmb )}}
Z_{\varphi(\bma ,\bmb )} ,\quad\bma ,\bmb \in A_0,
\]
et\vspace*{-3pt}
\begin{multline*}
\sum_{j=1}^k\sum_{i=1}^{a_j-1}Z_{(a_1,\dots,a_{j-1},i+1,a_j-i,a_{j+1},\dots,a_k)}
-\sum_{j=1}^kZ_{(a_1,\dots,a_{j-1},a_j+1,a_{j+1},\dots,a_k)},\\[-5pt] (a_1,\dots,a_k)\in A_0~?
\end{multline*}
\end{inter}

\begin{rema}
Les relations de type~I, II et~III ne font intervenir que des nombres
polyzêtas de même poids. Par ailleurs, $\zeta(a)$ est de poids $a$ si
\hbox{$a\geq 2$}; en particulier, $1$ et les $\zeta(a)$, $a\geq 2$ sont tous
de poids différents et une réponse positive à la question ci-dessus
impliquerait
qu'ils doivent tous être linéairement indépendants sur~$\Q$.
Le seul résultat que l'on ait à ce sujet est le théorème de Rivoal
qui est un petit pas. D'un autre côté, le fait d'avoir exhibé
des relations multiplicatives entre les nombres
polyzêtas peut se révéler une aide précieuse pour
attaquer cette question: après tout, on peut déduire
du théorème de Rivoal l'indépendance linéaire sur~$\Q$ de
tous les $\zeta(2a)$, et ceci grâce aux relations multiplicatives
vérifiées par ces nombres.
\end{rema}

\chapter{Formes modulaires}

\section{\texorpdfstring{${\bf SL}_2(\R)$}{SL} et le demi-plan de Poincaré}
Si $A$ est un anneau commutatif, on note ${\bf SL}_2(A)$ le groupe
des matrices $\begin{smallpmatrix} a & b\\ c & d\end{smallpmatrix}$,
avec $a,b,c,d\in A$ de déterminant $ad-bc=1$.

Si $\gamma=\begin{smallpmatrix} a & b\\ c & d\end{smallpmatrix}\in{\bf SL}_2(\R)$
et $z\in\C-\{-\sfrac{d}{c}\}$, on pose
\begin{align*}
\gamma z=\frac{az+b}{cz+d}&=\frac{(az+b)(c\overline z+d)}{|cz+d|^2}\\ &=
\frac{ac|z|^2+bd+(a+c)x+iy(ad-bc)}{|cz+d|^2}.
\end{align*}
En particulier, on a
\begin{equation}\label{im}
{\rm Im}(\gamma z)=\frac{{\rm Im}(z)}{|cz+d|^2},
\end{equation}
et le demi-plan de Poincaré ${\cal H}=\{z=x+iy,\ y>0\}$
est stable par $z\mto\gamma z$.

\begin{lemm}\label{1}
Si $\gamma_1,\gamma_2\in{\bf SL}_2(\R)$ et $z\in\H$,
alors $\gamma_1\gamma_2\cdot z=\gamma_1\cdot\gamma_2 z$.
\end{lemm}

\demo
Si $\gamma_1=\begin{smallpmatrix}
a_1 & b_1\\
c_1 & d_1
\end{smallpmatrix}
$ et $\gamma_2=\begin{smallpmatrix}
a_2 & b_2\\
c_2 & d_2
\end{smallpmatrix}
$, alors
\begin{align*}
\gamma_1(\gamma_2z)&=
\frac{a_1\gamma_2z+b_1}{c_1\gamma_2z+d_1}=
\frac{a_1\frac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}+b_1}
{c_1\frac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}+d_1}\\
&=\frac{(a_1a_2+b_1c_2)z+(a_1b_2+b_1d_2)}{(c_1a_2+d_1c_2)z+(c_1b_2+d_1d_2)}\\
\tag*{et}
\gamma_1\gamma_2&=
\begin{pmatrix}
a_1 & b_1\\
c_1 & d_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_2 & b_2\\
c_2 & d_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1a_2+b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2\\
c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2
\end{pmatrix}\ ,
\end{align*}
ce qui permet de conclure.

\skpt
\begin{theo}\label{2}
{\rm (i)} Si $\gamma\in{\bf SL}_2(\R)$, l'application $z\mto\gamma z$
appartient au groupe {\rm (pour la composition)} ${\rm Aut}({\cal H})$ des
bijections holomorphes de ${\cal H}$ dans ${\cal H}$.

{\rm (ii)} L'application qui à $\gamma\in{\bf SL}_2(\R)$
associe l'élément $z\mto\gamma z$ de ${\rm Aut}({\cal H})$
est un morphisme de groupes.

{\rm (iii)}
L'action de ${\bf SL}_2(\R)$ sur ${\cal H}$ ainsi définie est transitive
et le stabilisateur de $i$ est le sous-groupe des rotations ${\bf SO}_2(\R)$
de ${\bf SL}_2(\R)$.

{\rm (iv)}
Si $\varphi:{\cal H}\to{\cal H}$ est holomorphe bijectif, alors il existe
$\gamma\in{\bf SL}_2(\R)$ tel que $\varphi(z)=\gamma z$;
autrement dit, le morphisme ${\bf SL}_2(\R)\to{\rm Aut}({\cal H})$
défini ci-dessus est surjectif.
\end{theo}

\demo
L'holomorphie de $z\mto\gamma z$ est une évidence et les
points (i) et (ii) sont des conséquences immédiates
du lemme précédent.

Pour démontrer la transitivité de l'action
de ${\bf SL}_2(\R)$ sur ${\cal H}$, il~suffit de
prouver que l'on peut envoyer $i$ sur n'importe quel point de~${\cal H}$, ce qui suit de la formule
$$\begin{pmatrix}
y^{\sfrac{1}{2}} & y^{-\sfrac{1}{2}}x\\
0 & y^{-\sfrac{1}{2}}
\end{pmatrix}
\cdot i=
\frac{y^{\sfrac{1}{2}}i+y^{-\sfrac{1}{2}}x}{y^{-\sfrac{1}{2}}}
=x+iy.$$
Maintenant, si $\gamma=\begin{smallpmatrix} a & b\\ c & d\end{smallpmatrix}$
vérifie $\gamma i=i$, alors
$ai+b=i(ci+d)$ et donc $c=-b$ et $a=d$. Comme de plus,
$ad-bc=1$, on a $a^2+b^2=1$, et $\gamma$ est la matrice d'une rotation.
Ceci termine la démonstration du (iii). Pour démontrer
le (iv), nous aurons besoin du lemme suivant.

\begin{lemm}\label{3}
Soit $D=\{z\in\C,\ |z|<1\}$. Si $\psi:D\to D$ est une bijection holomorphe
vérifiant $\psi(0)=0$, alors il existe $\lambda\in\C$, $|\lambda|=1$
tel que $\psi(z)=\lambda z$ quel que soit $z\in D$.
\end{lemm}

\demo
On a $\psi'(0)=\frac{1}{2i\pi}\int_{|z|=r}z^{-2}{\psi(z)}dz$ quel
que soit $r$ tel que $0<r<1$, et donc
$|\psi'(0)|\leq r^{-2}\sup_{|z|=r}|\psi(z)|\leq r^{-2}$ quel que soit $r$ tel que
$0<r<1$. Faisant tendre $r$ vers~$1$, on obtient $|\psi'(0)|\leq 1$.

Le même raisonnement appliqué à la bijection holomorphe de $D$
dans $D$, réciproque de $\psi$, montre que $|\psi'(0)|\geq 1$, et
donc $|\psi'(0)|=1$.

Considérons alors la fonction $g:D\to D$ définie par
$g(z)=z^{-1}\psi(z)$ si $z\neq 0$ et $g(0)=\psi'(0)$.
C'est une fonction holomorphe sur $D$ et le maximum de $|g|$
sur le disque de centre $0$ et de rayon $r$ est atteint sur
le cercle de centre $0$ et de rayon $r$; il est donc
$\leq r^{-1}\sup_{|z|=r}|\psi(z)|\leq r^{-1}$.
Faisant tendre $r$ vers~$1$, on obtient $\sup_{z\in D}|g(z)|\leq 1$.
Comme par ailleurs $|g(0)|=1$, la fonction holomorphe $g$ atteint son maximum
en un point intérieur à $D$; elle est donc constante, ce qui permet
de conclure.

\medskip
Revenons à la démonstration du (iv). Soit $\varphi:{\cal H}\to
{\cal H}$ holo\-mor\-phe bijective. D'après le (iii), il existe
$\gamma\in{\bf SL}_2(\R)$ tel que $\gamma i=\varphi(i)$.
Quitte à remplacer $\varphi$ par $\gamma^{-1}\circ\varphi$,
on peut donc supposer que $\varphi(i)=i$.

Soit $h$ la fonction définie par $h(z)=\frac{i-z}{i+z}$.
Un petit calcul montre que $h$ est une bijection holomorphe de
${\cal H}$ dans $D$ dont la réciproque $h^{-1}$ est donnée par
la formule
$h^{-1}(z)=i\frac{1-u}{1+u}$. Considérons alors la composée
$\psi=h\circ\varphi\circ h^{-1}$; c'est une bijection holomorphe
de $D$ dans $D$ vérifiant $\psi(0)=0$.
D'après le lemme précédent, il existe $\lambda\in\C$ de
module~$1$ tel que $\psi(z)=\lambda z$. On a alors
$$\varphi(z)=h^{-1}\circ\psi\circ h(z)=h^{-1}\circ\psi\Big(\frac{i-z}{i+z}\Big)
=h^{-1}\Big(\lambda\frac{i-z}{i+z}\Big)=
i\frac{1-\lambda\frac{i-z}{i+z}}{1+\lambda\frac{i-z}{i+z}},$$
et, écrivant $\lambda$ sous la forme $\lambda=e^{2i\theta}$, un
petit calcul nous donne
$$\varphi(z)=
\frac{\cos\theta\cdot z+\sin\theta}{-\sin\theta\cdot z+\cos\theta},$$
ce qui permet de conclure.

\begin{coro}\label{4}
L'application $\gamma\mto\gamma i$
induit une bijection de ${\bf SL}_2(\R)/{\bf SO}_2(\R)$
sur ${\cal H}$.
\end{coro}

\demo C'est une réécriture du (iii) du théorème.

\begin{coro}\label{5}
Tout élément $\gamma$ de ${\bf SL}_2(\R)$ peut s'écrire de manière unique
sous la forme $\gamma=UAR$, où $U=
\begin{smallpmatrix}
1 & u\\
0 & 1
\end{smallpmatrix}$ est une matrice unipotente,
$A=\begin{smallpmatrix}
a & 0\\
0 & a^{-1}
\end{smallpmatrix}$ est une matrice diagonale avec $a>0$,
et $R\in {\bf SO}_2(\R)$ est une matrice de rotation.
\end{coro}

\demo Si $\gamma i=x+iy$, on doit poser $a=\sqrt y$, $u=x$ et
$R=(UA)^{-1}\gamma$ appartient au stabilisateur de $i$.

\begin{rema}
La décomposition précédente est connue sous le nom
de {\it décomposition d'Iwasawa}.
\end{rema}

\begin{prop}\label{6}
La mesure hyperbolique $\dfrac{dx\,dy}{y^2}$ est invariante
sous l'action de ${\bf SL}_2(\R)$.
\end{prop}

\demo
Si\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
& dz=dx+i\,dy,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=
\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}-i
\frac{\partial f}{\partial y}\Big),\\
& d\overline z=dx-i\,dy,\qquad \frac{\partial f}{\partial \overline z}=
\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}+i
\frac{\partial f}{\partial y}\Big),
\end{align*}
alors\vspace*{-3pt}
$$dx\wedge dy=\frac{i}{2}\,dz\wedge d\overline z\quad
{\rm et}\quad df=\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}
{\partial \overline z}d\overline z,$$
si $f$ est une fonction sur un ouvert de $\C$.

Si $\gamma=\begin{smallpmatrix}
a & b\\
c & d
\end{smallpmatrix}\in{\bf SL}_2(\R)$
et $u=\gamma z$, on a
$$du=\frac{dz}{(cz+d)^2},\quad d\overline u=\frac{d\overline z}{(c\overline z+d)^2}
\quad{\rm et}\quad
{\rm Im}(u)=\frac{{\rm Im}(z)}{|cz+d|^2},$$
et donc
$$\frac{du\wedge d\overline u}{{\rm Im}(u)^2}=
\frac{\frac{dz}{(cz+d)^2}\wedge\frac{d\overline z}{(c\overline z+d)^2}}
{\bigl(\frac{{\rm Im}(z)}{|cz+d|^2}\bigr)^2}=
\frac{dz\wedge d\overline z}{{\rm Im}(z)^2},$$
ce qui permet de conclure.
\section{Formes automorphes et formes modulaires}
\Subsection{Facteur d'automorphie}
Si $k\in\Z$, si $\gamma=\begin{smallpmatrix}
a & b\\
c & d
\end{smallpmatrix}\in{\bf SL}_2(\R)$, et si $f:{\cal H}\to \C$ est une fonction ${\cal C}^\infty$,
on définit la fonction $f_{|_k}\gamma$ par la formule
$$f_{|_k}\gamma(z)=(cz+d)^{-k}f(\gamma z).$$
Si $\gamma_1\!=\!\begin{smallpmatrix}
a_1 & b_1\\
c_1 & d_1
\end{smallpmatrix}$ et $\gamma_2\!=\!\begin{smallpmatrix}
a_2 & b_2\\
c_2 & d_2
\end{smallpmatrix}$ sont deux éléments de ${\bf SL}_2(\R)$, on~a
\begin{multline*}
\big(f_{|_k}\gamma_1\big)_{|_k}\gamma_2(z)=
(c_2 z+d_2)^{-k}\Big(c_1\frac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}+d_1\Big)^{-k}f(\gamma_1\gamma_2z)\\
=\big((c_1a_2+d_1c_2)z+(c_1b_2+d_1d_2)\big)^{-k}f(\gamma_1\gamma_2z)=
f_{|_k}\gamma_1\gamma_2(z),
\end{multline*}
et donc $\big(f_{|_k}\gamma_1\big)_{|_k}\gamma_2=f_{|_k}\gamma_1\gamma_2$.

\Subsection{Sous-groupes d'indice fini de \texorpdfstring{${\bf SL}_2(\Z)$}{SL}}
Nous allons définir la notion de forme automorphe ou de forme modulaire
de poids $k$, caractère $\chi$ pour un sous-groupe $\Gamma$ d'indice fini
de ${\bf SL}_2(\Z)$, où $k\in\Z$ et
$\chi:\Gamma\to \C^{\dual}$ est un caractère d'ordre fini
(\ie on a $\chi(\gamma_1\gamma_2)=\chi(\gamma_1)\chi(\gamma_2)$
si $\gamma_1,\gamma_2\in\Gamma$ et il existe $d\in\N$ tel que $\chi(\gamma)^d=1$
si $\gamma\in\Gamma$).

En liaison avec l'arithmétique, les sous-groupes d'indice fini
de ${\bf SL}_2(\Z)$ que l'on rencontre le plus fréquemment sont
$\Gamma_0(N)$, $\Gamma_1(N)$ et $\Gamma(N)$, où $N\geq 1$ est un entier,
et
\begin{align*}
\Gamma_0(N)&=\Big\{\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\in{\bf SL}_2(\Z),\ c\equiv 0\ {\rm mod.}\,N\Big\};\\
\Gamma_1(N)&=\Big\{\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\in{\bf SL}_2(\Z),\ c\equiv 0\ {\rm mod.}\,N,
a\equiv d\equiv 1\ {\rm mod.}\,N\Big\};\\
\Gamma(N)&=\Big\{\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\in{\bf SL}_2(\Z),\ b\equiv c\equiv 0\ {\rm mod.}\,N,\
a\equiv d\equiv 1\ {\rm mod.}\,N\Big\}.
\end{align*}

Une manière naturelle de fabriquer un caractère d'ordre fini de $\Gamma_0(N)$
est de partir d'un caractère de Dirichlet modulo~$N$
(\ie une application $\tilde\chi:(\Z/N\Z)^\dual \to\C^\dual $ vérifiant
$\tilde\chi(ab)=\tilde\chi(a)=\tilde\chi(b)$ que l'on peut aussi voir comme
une application multiplicative de $\Z$ dans $\C^\dual $, périodique
de période $N$, telle que $\tilde\chi(n)=0$ si $n$ n'est pas premier
à $N$),
et de poser $\chi(\gamma)=\tilde\chi(d)$ si
$\gamma=\begin{smallpmatrix}
a & b\\
c & d
\end{smallpmatrix}\in\Gamma_0(N)$.

\begin{lemm}\label{7}
Si $\Gamma$ est un sous-groupe d'indice fini de ${\bf SL}_2(\Z)$
et si $\chi:\Gamma\to \C^{\dual}$ est un caractère d'ordre fini,
alors il existe $N\in\N-\{0\}$ tel que $\gamma=\begin{smallpmatrix}
1 & N\\
0 & 1
\end{smallpmatrix}\in\Gamma$ et $\chi(\gamma)=1$.
\end{lemm}

\demo
Soit $U=\Big\{\begin{smallpmatrix}
1 & n\\
0 & 1
\end{smallpmatrix},\ n\in\Z$\Big\}; c'est un sous-groupe de
${\bf SL}_2(\Z)$. Considérons l'action de $U$ sur
$X={\bf SL}_2(\Z)/\Gamma$ par translation à gauche.
Si $\gamma\in U$ agit trivialement, il respecte en particulier
la classe à gauche de $\Gamma$ et donc appartient à $\Gamma$.
L'ensemble $X$ étant fini, il existe un sous-groupe~$U'$
d'indice fini dans $U$ qui agit trivialement et
$U_1=\Gamma\cap U$ est d'indice fini dans~$U$.
En particulier, $U_1$ est un groupe infini et, l'ensemble
des valeurs prises par~$\chi$ étant fini, le noyau $U_2$
de la restriction de $\chi$ à $U_1$ est un groupe infini,
ce qui permet de conclure.

\Subsection{Définition des formes modulaires}

\begin{defi}\label{8}
Si $\Gamma$ est un sous-groupe d'indice fini de ${\bf SL}_2(\Z)$ et si
$k\in\Z$, une fonction
$f:{\cal H}\to \C$ est dite {\it automorphe
de poids $k$ pour $\Gamma$}, si elle est
${\cal C}^\infty$, et si l'on a:

{\rm(i)} $f_{|_k}\gamma=f$ quel que soit $\gamma\in\Gamma$;

{\rm (ii)} $f$ est à croissance lente à l'infini {\rm (voir ci-dessous)}.

\noindent Plus généralement,
si $\chi:\Gamma\to \C^{\dual}$ est un caractère d'ordre fini, une fonction
$f:{\cal H}\to \C$ est dite {\it automorphe
de poids $k$ et caractère $\chi$ pour $\Gamma$}, si elle est
${\cal C}^\infty$, à croissance lente à l'infini, et si l'on a:

{\rm (i$'$)} $f_{|_k}\gamma=\chi(\gamma)f$ quel que soit $\gamma\in\Gamma$.

\noindent Une forme automorphe holomorphe est dite {\it modulaire}
et on note $M_k(\Gamma)$
{\rm(}\resp $M_k(\Gamma,\chi)${\rm)} le $\C$-espace vectoriel des formes
modulaires de poids $k$ {\rm(}\resp de poids $k$ et caractère $\chi${\rm)}
pour $\Gamma$.
\end{defi}

\begin{rema}\label{9}
Si $\Gamma$ contient $-I=\begin{smallpmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{smallpmatrix}$, et si $\chi(-I)\neq(-1)^k$, alors une forme automorphe
de poids $k$, caractère $\chi$ pour $\Gamma$ est identiquement nulle.
\end{rema}

La condition {\og $f$ est à croissance lente à l'infini\fg}
s'exprime de la manière suivante:
quel que soit $\gamma\in{\bf SL}_2(\Z)$, quels que soient $a<b\in\R$, il existe
$C\in\R$ tel que l'on ait, au voisinage de $y=+\infty$,\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$\sup_{z\in[a+iy,b+iy]}\big|f_{|_k}\gamma(z)\big|= O(y^C).$$
La relation d'automorphie $f_{|_k}\gamma=\chi(\gamma)f$
permet de réduire beaucoup le nombre de vérifications à faire:
on peut se contenter de prendre $\gamma$ dans un système
de représentants de ${\bf SL}_2(\Z)/\Gamma$ qui, par hypothèse, est
un ensemble fini.
La fonction $f_{|_k}\gamma$ est automorphe pour le groupe
$\gamma\Gamma\gamma^{-1}$ qui est contenu dans ${\bf SL}_2(\Z)$
de même indice que $\Gamma$, et
le lemme~\ref{7} montre qu'il existe $N\in\N-\{0\}$
(dépendant de $\gamma$) tel que $f$ soit périodique de période $N$,
ce qui permet de ne considérer que le cas $a=0$ et $b=N$ au lieu
de $a$ et $b$ quelconques.
En résumé, il n'y a qu'un nombre fini de vérifications à faire.

\Subsection{Développement de Fourier des formes automorphes et modulaires}
Soit $f$ une forme
automorphe de poids $k$, caractère $\chi$ pour $\Gamma$,
où
$\Gamma$ est d'indice fini dans ${\bf SL}_2(\Z)$ et
$\chi:\Gamma\to\C^\dual $ est d'ordre fini.
D'après la discussion précédente, il existe $N\in\N-\{0\}$
tel que l'on ait $f(z+N)=f(z)$ si $z\in{\cal H}$, et comme
$f$ est ${\cal C}^\infty$, elle est somme de sa série de Fourier
\begin{align*}
f(z)&=\sum_{n\in\Z}a_n(f,y)e^{2i\pi\sfrac{nx}{N}},\\
\tag*{avec} a_n(f,y)&=
\frac{1}{N}\int_0^Nf(x+iy)e^{-2i\pi\sfrac{nx}{N}}dx.
\end{align*}
Comme on a supposé que $f$ est à croissance lente à l'infini,
la formule donnant $a_n(f,y)$ montre qu'il existe $C\in\R$ tel que
$a_n(f,y)=O(y^C)$ au voisinage de $y=+\infty$.

Maintenant, si $f$ est modulaire, la fonction $\tilde f(q_N)=
f(N\frac{\log q_N}{2i\pi})$ est bien définie (la périodicité
de $f$ montre que $\tilde f(q_N)$ ne dépend pas de la détermination
de $\log q_N$) et est
une fonction holomorphe
sur $D^\dual =\{0<|q_N|<1\}$. On peut donc écrire $f$ sous la forme
$$\sum_{n\in\Z}a_n(f)q_N^n,\quad{\rm avec}\quad q_N=e^{2i\pi\sfrac{z}{N}}.$$
Si on identifie les coefficients de Fourier, on obtient la
relation $a_n(f,y)=a_n(f)e^{-2\pi\sfrac{ny}{N}}$ et la croissance
lente des coefficients de Fourier montre que l'on a $a_n(f)=0$
si $n<0$. La fonction $\tilde f$ se prolonge donc en une fonction
holomorphe sur $D=\{|q_N|<1\}$ en posant $\tilde f(0)=a_0(f)$.
On dit que $f$ est {\it holomorphe en $i\infty$} et
on pose $f(i\infty)=a_0(f)$.

On dit que $f$ est {\it parabolique} ou {\it cuspidale}
si $f_{|_k}\gamma$ est nulle en $i\infty$ quel que soit
$\gamma\in{\bf SL}_2(\Z)$, et on note $S_k(\Gamma)\subset M_k(\Gamma)$
(\resp $S_k(\Gamma,\chi)\subset
M_k(\Gamma,\chi)$) le sous-$\C$-espace vectoriel des formes
paraboliques\footnote{Une forme parabolique est une {\og Spitzenform\fg}
en allemand, ce qui explique le $S$ et {\og Spitz\fg}
veut dire {\og pointe\fg} et se traduit par {\og cusp\fg} en
anglais\dots}.

Les espaces vectoriels
$S_k(\Gamma,\chi)$ et $M_k(\Gamma,\chi)$ sont de dimension finie et
on dispose
de formules générales donnant la dimension de ces espaces
vectoriels.

\section{\texorpdfstring{${\bf SL}_2(\Z)$}{SL}}
\Subsection{Les éléments \texorpdfstring{$S$ et $T$}{ST}}
Soient $S$ et $T$ les éléments de ${\bf SL}_2(\Z)$ définis
par
$$T=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}\quad{\rm et}\quad
S=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}.$$
On a $S^2=-I$. Si $z\in{\cal H}$, on a
$Sz=-\frac{1}{z}$ et $T^nz=z+n$ si $n\in\Z$.

\begin{theo}\label{10}
Le groupe ${\bf SL}_2(\Z)$ est engendré par $S$ et $T$.
\end{theo}

\demo
On a
\begin{align*}
S\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}
-c & -d\\
a & b
\end{pmatrix}\\
T^n \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}
a+nc & b+nd\\
c & d
\end{pmatrix}\quad\text{si $n\in\Z$}.
\end{align*}
Nous allons montrer, par récurrence sur $|c|$, que
$\gamma=\begin{smallpmatrix}
a & b\\
c & d
\end{smallpmatrix}\in{\bf SL}_2(\Z)$ appartient au sous-groupe engendré
par $S$ et $T$. Si $|c|=0$, on a $a=d=\pm 1$ et $\gamma$
est de la forme $T^b$ ou $-T^{-b}=S^2T^{-b}$.
Si $|c|>|a|$, on peut appliquer l'hypothèse de récurrence à
$S\gamma$, et si $|c|\leq|a|$, on choisit $n\in\Z$ tel que
$|a+nc|\leq\frac{1}{2}|c|$, et on applique l'hypothèse de récurrence
à $ST^n\gamma$.

\begin{coro}\label{12}
Une fonction $f:{\cal H}\to \C$, de classe ${\cal C}^\infty$, à
croissance lente à l'infini, est automorphe de poids $k$
pour ${\bf SL}_2(\Z)$, si et seulement si
$$f(z+1)=f(z)\quad{\rm et}\quad f(-\sfrac{1}{z})=z^kf(z).$$
\end{coro}
\begin{exo}\label{11}
Soit $G$ le sous-groupe de ${\bf SL}_2(\Q)$ engendré
par $\Gamma_0(4)$ et $S_2=\begin{smallpmatrix}
0 & -\sfrac{1}{2}\\
{2} & 0
\end{smallpmatrix}$.

(i) Montrer que $\Gamma_0(4)$ est d'indice $2$ dans $G$.

(ii) Montrer que $G$ est engendré par $S_2$ et $T$.
\end{exo}

\Subsection{Domaine fondamental pour l'action de \texorpdfstring{${\bf SL}_2(\Z)$}{SL}}
Rappelons que, si $G$ est un groupe agissant sur un ensemble $X$,
un {\it domaine fondamental} $\Delta$ pour l'action de $G$ sur
$X$ est un système de représentants
de $G\backslash X$; autrement dit $\Delta$ est un sous-ensemble
de $X$ vérifiant la condition suivante:

quel que soit $x\in X$, il existe un {\it unique}
élément $y$ de $\Delta$ tel qu'il existe $g\in G$ vérifiant
$x=gy$.

\begin{theo}\label{13}
L'ensemble $\Delta$ constitué de la réunion de l'ouvert
$$\{z\in{\cal H},\ |z|>1\ {\rm et}\ -\sfrac{1}{2}<{\rm Re}(z)<\sfrac{1}{2}\},$$
de la demi-droite $$\{z\in{\cal H},\ {\rm Re}(z)=\sfrac{1}{2}
\ {\rm et}\ {\rm Im}(z)\geq 1\}$$ et de l'arc de cercle
$$\{z\in{\cal H},\ |z|=1\ {\rm et}\ 0\leq{\rm Re}(z)\leq \sfrac{1}{2}\},$$
est un domaine fondamental pour l'action de
${\bf SL}_2(\Z)$ sur ${\cal H}$.
\end{theo}

\demo
Soit $z_0\in{\cal H}$. Si $\gamma=\begin{smallpmatrix}
a & b\\
c & d
\end{smallpmatrix}$, on a
${\rm Im}(\gamma z_0)=\frac{{\rm Im}(z_0)}{|cz_0+d|^2}$
et, comme $|cz_0+d|$ tend vers $+\infty$ quand $c$ ou $d$ tend vers l'infini,
la fonction $\gamma\mto{\rm Im}(\gamma z_0)$ ne prend qu'un nombre
fini de valeurs $\geq{\rm Im}(z_0)$;
elle atteint donc son maximum pour un certain $\gamma_0$.
Maintenant, il existe $n\in\Z$ (unique) tel que
$-\sfrac{1}{2}<{\rm Re}(\gamma_0z_0)+n\leq\sfrac{1}{2}$;
posons $\gamma_1=T^n\gamma_0$.
On a alors
$${\rm Im}(\gamma_1z_0)={\rm Im}(\gamma_0z_0)\geq{\rm Im}(S\gamma_1z_0)=
\frac{{\rm Im}(\gamma_1z_0)}{|\gamma_1z_0|^2},$$
et donc $|\gamma_1z_0|\geq 1$.
Finalement, soit $\gamma\!=\!\gamma_1$ (\resp $\gamma\!=\!S\gamma_1$)
si $|\gamma_1z_0|\!>\!1$
ou si $|\gamma_1z_0|=1$ et ${\rm Re}(\gamma_1z_0)\geq0$
(\resp si $|\gamma_1z_0|=1$ et ${\rm Re}(\gamma_1z_0)\leq0$),
de telle sorte que $\gamma z_0\in\Delta$, ce qui prouve
que $\Delta$ contient un domaine fondamental.

Pour terminer la démonstration, il reste à vérifier que si
$z_1$ et $z_2$ sont deux éléments de $\Delta$ tels qu'il existe
$\gamma=\begin{smallpmatrix}
a & b\\
c & d
\end{smallpmatrix}\in{\bf SL}_2(\Z)$ tel que $z_1=\gamma z_2$, alors $z_1=z_2$.
Par symétrie, on peut supposer que ${\rm Im}(z_2)\geq{\rm Im}(z_1)=
\frac{{\rm Im}(z_2)}{|cz_2+d|^2}$, ce qui implique que
$|cz_2+d|\leq 1$. Comme ${\rm Im}(z)\geq\frac{\sqrt 3}{2}$
si $z\in{\Delta}$, l'inégalité étant stricte sauf si
$z=\rho=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}$, on en déduit
l'inégalité $|c|\leq 1$. Au signe près, il suffit de traiter
les cas $c=0$ et $c=1$. Dans le cas $c=0$, $\gamma$ agit par translation
par un entier et comme $\Delta$ ne contient pas deux éléments dont
la différence des parties réelles est un entier non nul,
on doit avoir $\gamma=\pm I$ et $z_2=z_1$.
Dans le cas $c=1$ et $d=0$, on a $z_2=-\sfrac{1}{z_1}$ et, $z_1,z_2$
étant de module $\geq 1$, cela implique $|z_1|=|z_2|=1$
et $z_1=z_2=i$ car on a supposé $z_1,z_2\in\Delta$.
Finalement, si $|d|\geq 1$, on a $|d+{\rm Re}(z_2)|\geq\sfrac{1}{2}$
avec inégalité stricte si ${\rm Re}(z_2)\neq\sfrac{1}{2}$
ou si $d\neq -1$; on doit donc avoir $d=-1$, $z_2=\rho$, et $z_1=
a-\frac{1}{\rho-1}=a+\rho$; comme $z_1\in\Delta$,
cela implique $a=0$ et donc $z_1=\rho=z_2$.

\Subsection{Le produit scalaire de Petersson}
Si $f$ et $g$ sont deux formes automorphes de poids $k$ pour ${\bf SL}_2(\Z)$,
la forme $$\frac{i}{2}\,\overline fg\,y^{k-2}dz\wedge d\overline z$$
est invariante sous l'action de ${\bf SL}_2(\Z)$ comme le montre
un petit calcul utilisant la proposition~\ref{6} et
la formule~(\ref{im}).
L'intégrale
$$\langle f,g\rangle=\int_{{\bf SL}_2(\Z)\backslash{\cal H}}
\frac{i}{2}\,\overline fg\,y^{2k-2}dz\wedge d\overline z$$
ne dépend donc, si elle converge, pas du domaine fondamental
de ${\cal H}$ sous l'action de ${\bf SL}_2(\Z)$ que l'on
choisit pour effectuer le calcul. En particulier, on peut
choisir le domaine $\Delta$ construit ci-dessus.

On note simplement $M_{k}$ (\resp $S_k$), si $k$ est un entier, l'espace
vectoriel des formes modulaires (\resp paraboliques)
de poids $k$ pour ${\bf SL}_2(\Z)$.
Comme $-I\in{\bf SL}_2(\Z)$, on a
$M_k=0$ si $k$ est impair.

Si $f\in S_k$, on a $f= O(e^{-2\pi y})$ au voisinage
de $y=+\infty$ comme le montre l'existence du développement de Fourier.
Ceci permet de montrer que, si $f$ et $g$ sont deux
formes {\it paraboliques} de poids $k$, alors
$\langle f,g\rangle$ est bien défini et la forme
$(f,g)\mto \langle f,g\rangle$ est une forme hermitienne
sur $S_k$.
Comme $\langle f,f\rangle=\int_\Delta |f|^2y^{k-2}\,dx\,dy$,
cette forme hermitienne est définie positive et définit donc un
produit scalaire sur $S_k$
appelé
{\it produit scalaire de Petersson}.

\Subsection{Séries d'Eisenstein holomorphes}
On utilise la notation $\sum'_{(m,n)}$ pour indiquer que l'on somme
sur tous les couples d'entiers relatifs $(m,n)\neq(0,0)$.

\begin{prop}\label{14}
Si $k\geq 3$ est un entier pair, et si $z\in{\cal H}$, la série\vspace*{-3pt}
$$E_{k}(z)=\frac{1}{2}\sideset{}{'}\sum_{(m,n)}\frac{1}{(mz+n)^k}$$
converge normalement et la fonction
$E_k$ appartient à $M_k$.
\end{prop}

\demo
La partie imaginaire de $mz+n$ est $my$ et donc $|mz+\nobreak n|\!\geq\! |m|y$
et, d'autre part, le trinôme \hbox{$X^2|z|^2\!+\!2nxX\!+\!n^2$} admet
$\sfrac{n^2y^2}{|z|^2}$ comme minimum; on a donc\vspace*{-3pt}
\[
|mz+n|\geq\inf(y,\sfrac{y}{|z|})\sup(|m|,|n|).
\]
Si $N\geq 1$, il y a $(2N+1)^2-(2N-1)^2=8N$ couples
$(m,n)$ vérifiant $\sup(|m|,|n|)=N$, et on
peut majorer (en module) la série par\vspace*{-3pt}
$$\frac{1}{2}\inf\big(y,\frac{y}{|z|}\big)^{-k}
\sideset{}{'}\sum_{(m,n)}\frac{1}{\sup(|m|,|n|)^k}=
\frac{1}{2}\inf\big(y,\frac{y}{|z|}\big)^{-k}\sum_{N=1}^{+\infty}\frac{8N}{N^k},$$
ce qui permet de prouver que la série définissant $E_k(z)$
converge normalement sur tout compact de ${\cal H}$
et donc définit une
fonction holomorphe sur ${\cal H}$.
Finalement, si $\gamma= \begin{smallpmatrix}
a & b\\
c & d
\end{smallpmatrix}\in{\bf SL}_2(\Z)$,
on a\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
(E_k)_{|_k}\gamma (z)&=
(cz+d)^{-k}E_k\Big(\frac{az+b}{cz+d}\Big)\\
&=
\frac{1}{2}(cz+d)^{-k}\sideset{}{'}\sum_{(m,n)}\frac{1}{
\big(m{\frac{az+b}{cz+d}+n}\big)^k}\\
&= \frac{1}{2}\sideset{}{'}\sum_{(m,n)}\frac{1}{\big((am+cn)z+(bm+dn)\big)^k},
\end{align*}
et, l'application\vspace*{-3pt}
$$(m,n)\mto (am+cn,bm+dn)$$ étant une bijection
de $\Z^2-\{(0,0)\}$, on obtient la formule
$(E_k)_{|_k}\gamma (z)=E_k(z)$ qui permet de conclure.

\begin{exo}\label{15}
Soit $k$ un entier pair $\geq 3$. Soit $\Gamma_\infty$ le
sous-groupe $\Big\{\begin{smallpmatrix}
1 & n\\
0 & 1
\end{smallpmatrix},\ n\in\Z\Big\}$ de ${\bf SL}_2(\Z)$.

(i) Montrer que, si $m\in\N$ et $\gamma\in{\bf SL}_2(\Z)$,
la quantité
\[
e^{2i\pi m\gamma z}\big(\sfrac{d\gamma z}{dz}\big)^{k/2}
\]
ne dépend que de l'image de $\gamma$ dans $\Gamma_\infty\backslash{\bf SL}_2(\Z)$.

(ii) Montrer que la série de Poincaré
$$P_{k,m}(z)=\frac{1}{2}\sum_{\gamma\in \Gamma_\infty\backslash{\bf SL}_2(\Z)}
e^{2i\pi m\gamma z}\Big(\frac{d\gamma z}{dz}\Big)^{k/2}$$
converge absolument si $z\in{\cal H}$ et que
$P_{k,m}\in M_k$.

(iii) Montrer que l'application $\begin{smallpmatrix}
a & b\\
c & d
\end{smallpmatrix}\mto (c,d)$ induit une bijection de
$\Gamma_\infty\backslash{\bf SL}_2(\Z)$ sur l'ensemble des
couples $(c,d)$, avec $c$ et $d$ premiers entre eux;
établir l'identité
$$P_{k,0}=\frac{1}{\zeta(2k)}E_k.$$

(iv) Montrer que $P_{k,m}\in S_k$ si $m\geq 1$
et, si $f=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n(f)q^n\in S_k$,
calculer le produit scalaire de Petersson
$\langle P_{k,m},f\rangle$.

(v) Montrer que les $(P_{k,m})_{m\geq 1}$ forment une famille
génératrice de~$S_k$.
\end{exo}

Nous allons maintenant déterminer le développement de Fourier
des séries d'Eisenstein.
On note $q=q_1=e^{2i\pi z}$ le {\og
paramètre local en $i\infty$\fg}, $\Gamma$ la fonction Gamma d'Euler,
$\zeta$ la fonction zêta de Riemann et, si $N$ est un entier et $s\in\C$,
$\sigma_s(N)$ la somme des puissances $s$-ième des diviseurs $\geq 1$ de $N$.

\begin{prop}\label{16}
Si $k\geq 3$ est un entier pair, le développement de Fourier de
$E_k$ est donné par la formule
$$\frac{\Gamma(k)}{(-2i\pi)^k}E_k(z)=
\frac{\Gamma(k)}{(-2i\pi)^k}\zeta(k)+\sum_{N=1}^{+\infty}\sigma_{k-1}(N)q^N.$$
\end{prop}

\demo
On remarque que les couples $(m,n)$ et $(-m,-n)$ contribuent
de la même manière, ce qui permet de ne garder que les
couples $(0,n)$ avec $n\geq 1$ et $(m,n)$ avec $m\geq 1$.
On obtient alors
$$E_k(z)=\zeta(k)+\sum_{m\geq 1}A_k(mz),$$
où l'on a posé
$$A_k(z)=\sum_{n\in\Z}\frac{1}{(z+n)^{k}}.$$
On peut calculer la transformée de Fourier de la fonction
$x\mto \sfrac{1}{(x+iy)^k}$ grâce à la formule des résidus;
on obtient
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-2i\pi tx}}{(x+iy)^k}dx=
\begin{cases}0 & {\text{si $t\leq 0$,}}\\
\dfrac{(-2i\pi)^k}{(k-1)!}t^{k-1}e^{-2\pi ty}
& {\text{si $t > 0$;}}
\end{cases}$$
et
la formule de Poisson (valable par exemple si $\varphi\in L^1(\R)$
est deux fois dérivable et $\varphi''\in L^1(\R)$),
$$\sum_{n\in\Z}\varphi(x+n)=\sum_{n\in\Z}\Big(\int_{-\infty}^{+\infty}
\varphi(x)e^{-2i\pi nx}dx\Big)e^{2i\pi n x},$$
nous donne
$$\frac{\Gamma(k)}{(-2i\pi)^k}A_k(z)=
\sum_{n\geq 1} n^{k-1}q^n.$$
On obtient donc
$$\frac{\Gamma(k)}{(-2i\pi)^k}E_k(z)=
\frac{\Gamma(k)}{(-2i\pi)^k}\zeta(k)+
\sum_{m\geq 1}\sum_{n\geq 1} n^{k-1}q^{mn},$$
et le
résultat s'en déduit en posant $N=mn$
et en faisant le
changement de sommation
$$\sum_{m\geq 1}\ \sum_{n\geq 1}=\sum_{N\geq 1}\ \sum_{n|N\,n\geq 1}.$$

\section{Prolongement analytique de séries d'Eisenstein}\label{xi2}
Dans le développement de Fourier des séries d'Eisenstein
holomorphes, tous les coefficients
sont trivialement rationnels à part le terme constant; on peut utiliser
cette remarque pour fabriquer une démonstration du théorème d'Euler
selon lequel $\sfrac{\zeta(k)}{\pi^k}\in\Q$, si $k$ est un entier pair $\geq 2$.
Plus généralement, on peut utiliser le fait que $\zeta(2k)$ apparaît
dans le terme constant du développement de Fourier des séries
d'Eisenstein holomorphes pour étudier les propriétés
arithmétiques de $\zeta(2k)$ (divisibilités, congruences\dots).
Nous allons en faire de même avec la fonction $\zeta$ elle-même
en la faisant apparaître dans le terme constant du développement de Fourier
d'une série
d'Eisenstein non holomorphe.

\Subsection{Séries d'Eisenstein non holomorphes}

\begin{prop}\label{19}
Si $z=x+iy\in{\cal H}$, la série
$$E(s,z)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\Gamma(s)}{\pi^s}
\sideset{}{'}\sum_{(m,n)}
\frac{y^s}{|mz+n|^{2s}}$$
converge normalement si ${\rm Re}(s)>2$
et la fonction
$z\mto E(s,z)$ est une forme automorphe de poids~$0$ pour
${\bf SL}_2(\Z)$
\end{prop}

\demo La convergence de la série résulte de la majoration
$$|mz+n|\geq\inf(y,\sfrac{y}{|z|})\sup(|m|,|n|)$$ obtenue
au cours de la démonstration de la proposition~\ref{14}, qui
permet aussi de majorer $|E(s,z)|$ par $4\zeta(2{\rm Re}(s))y^s$
au voisinage de $y=+\infty$, ce qui prouve que $E(s,z)$ est
à croissance lente à l'infini.
Par ailleurs,
la fonction $z\mto E(s,z)$ est ${\cal C}^\infty$ car la série
des dérivées (de n'importe quel ordre)
converge mieux que la série elle-même.
Finalement, si $\gamma= \begin{smallpmatrix}
a & b\\
c & d
\end{smallpmatrix}\in{\bf SL}_2(\Z)$, on a
\begin{align*}
\frac{2\cdot\pi^s}{\Gamma(s)}
E(s,\gamma z)&=\sideset{}{'}\sum_{(m,n)}
\frac{{\rm Im}(\gamma z)^s}{|m\gamma z+n|^{2s}}\\
&= \sideset{}{'}\sum_{(m,n)}
\frac{\frac{y^s}{|cz+d|^{2s}}}{\big|m\frac{az+b}{cz+d}+n\big|^{2s}}\\
&=
\sideset{}{'}\sum_{(m,n)}
\frac{y^s}{|(am+cn)z+(bm+dn)|^{2s}}
\end{align*}
et le résultat suit de ce que $(m,n)\mto (am+cn,bm+dn)$
est une bijection de~$\Z^2$.

\Subsection{La transformée de Fourier de \texorpdfstring{$x\mto \sfrac{1}{(x^2+y^2)^s}$}{F}}
La fonction $E(s,z)$ est somme de sa série de Fourier
$$E(s,z)=\sum_{n\in\Z}a_n(s,y)e^{2i\pi n x}.$$
Le calcul des coefficients de Fourier de $E(s,z)$
est parallèle à celui des séries d'Eisenstein
holomorphes; la seule différence est que l'on rencontre la transformée
de Fourier de la fonction $x\mto\sfrac{1}{|x+iy|^{2s}}$
qui ne peut plus s'évaluer au moyen de la méthode des résidus
comme dans le cas $s=0$.

\medskip
Si $u>0$ et $s\in\C$, soit
$$K_s(u)=\int_0^{+\infty} e^{-u(t+t^{-1})}t^s\frac{dt}{t}=
\int_1^{+\infty} e^{-u(t+t^{-1})}(t^s+t^{-s})\frac{dt}{t}.$$


\skpt
\begin{lemm}\label{bessel}
{\rm(i)} Si $u>0$ est fixé, la fonction $s\mto K_s(u)$ est holomorphe
sur $\C$ et vérifie l'équation fonctionnelle $K_s(u)=K_{-s}(u)$;

{\rm(ii)} Si $M\subset \C$ est compact, il existe $C(M)>0$
tel que l'on ait $|K_s(u)|\leq C(M)e^{-u}$ pour tout $s\in M$ et
tout $u>0$.

{\rm(iii)}
On a $K_s(u)\sim \sqrt\pi u^{-\sfrac{1}{2}}e^{-2u}$ au voisinage de $+\infty$;
en particulier, si $s$ est fixé, la fonction $u\mto K_s(u)$
n'est pas identiquement nulle.
\end{lemm}

\demo Les deux premiers points sont des exercices; démontrons
le troisième.
Effectuant le changement de variable $t=1+\sfrac{v}{\sqrt u}$, on
peut écrire $\sqrt ue^{2u}K_s(u)$ sous la forme
$\int_{0}^{+\infty}f_s(v)dv$, avec
$$f_s(v)=e^{-\sdpfrac{v^2}{1+\sfrac{v}{\sqrt u}}}\Bigl(\Bigl(1+\frac{v}{\sqrt u}\Bigr)
^{s-1}+
\Bigl(1+\frac{v}{\sqrt u}\Bigr)^{-s-1}\Bigr).$$
On conclut en utilisant le théorème de convergence dominée.

\begin{lemm}
Si ${\rm Re}(s)> \sfrac{1}{2}$, la transformée de Fourier
de la fonction $x\mto \dfrac{\Gamma(s)}{\pi^s}\dfrac{1}{(x^2+y^2)^s}$
est donnée par la formule
$$\frac{\Gamma(s)}{\pi^s}\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{e^{-2i\pi tx}}{|x+iy|^{2s}}dx=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma(s-\sfrac{1}{2})}{\pi^{s-\sfrac{1}{2}}}
\cdot y^{1-2s} & {\text{si $t=0$;}}\\[7pt]
\Big\vert\dfrac{t}{y}\Big\vert^{s-\sfrac{1}{2}}
K_{s-\sfrac{1}{2}}(\pi|t|y) & {\text{si $t\neq0$.}}
\end{cases}
$$
\end{lemm}

\demo
On a $$\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{dx}{|x+iy|^{2s}}=2\int_{0}^{+\infty}
\frac{dx}{|x+iy|^{2s}}$$ et
les changements de variables $x=y\sqrt u$ et
$u=\sdpfrac{v}{1-v}$ nous donnent
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{dx}{|x+iy|^{2s}}&=
y^{1-2s}\int_{0}^{+\infty}\frac{du}{u^{1/2}(u+1)^s}\\
&=
y^{1-2s}\int_0^1(1-v)^{s-\sfrac{3}{2}}v^{-\sfrac{1}{2}},
\end{align*}
et cette dernière intégrale s'évalue grâce à la formule
d'Euler $$\int_0^1v^{a-1}(1-v)^{b-1}dv=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$
On en tire le résultat pour $t=0$ en utilisant la formule
$\Gamma(\sfrac{1}{2})=\sqrt\pi$.

Si $t\neq 0$, on
utilise la formule
$$\frac{\Gamma(s)}{\pi^s}\frac{1}{|x+iy|^{2s}}=\int_0^{+\infty}e^{-\pi u(x^2+y^2)}u^s
\frac{du}{u}.$$ L'intégrale à calculer devient, en utilisant Fubini,
$$\int_0^{+\infty}\Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi u x^2}e^{-2i\pi tx}dx\Bigr)
e^{-\pi u y^2}u^s\frac{du}{u}.$$
Comme, d'autre part,
$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi u x^2}e^{-2i\pi tx}dx=
\frac{1}{\sqrt u}e^{-\pi\sfrac{t^2}{u}},$$ on obtient le résultat
en faisant le changement de variable $u=\vert\sfrac{t}{y}\vert v$.

\Subsection{Développement de Fourier des séries d'Eisenstein}
Si $s\in\C$ et $n\in\Z-\{0\}$, soit
$\sigma_s(n)=\sum_{c|n,\ c\geq 1}\big|\sfrac{n}{c^2}\big|^s$.
La bijection $c\mto \big|\sfrac{n}{c}\big|$ montre que l'on a
$\sigma_s(n)=\sigma_{-s}(n)$ quels que soient $s\in\C$ et $n\in\Z-\{0\}$.

Soit aussi $\xi(s)=\dfrac{\Gamma(\sfrac{s}{2})}{\pi^{\sfrac{s}{2}}}\zeta(s)$.


\begin{prop}
Si ${\rm Re}(s)>2$, les coefficients de Fourier de $E(s,z)$ sont
donnés par
$$a_n(s,y)=
\begin{cases}\xi(2s)y^s+\xi(2s-1)y^{1-s} &{\text{si $n=0$;}}\\[7pt]
y^{1/2}\sigma_{s-\sfrac{1}{2}}(n)K_{s-\sfrac{1}{2}}(\pi|n|y)
&{\text{si $n\neq 0$.}}
\end{cases}
$$
\end{prop}


\demo
On remarque que les couples $(c,d)$ et $(-c,-d)$ contribuent
de la même manière, ce qui permet de ne garder que les
couples $(0,d)$ avec $d\geq 1$ et $(c,d)$ avec $c\geq 1$.
On obtient alors
$$E(s,z)=\xi(2s)y^s+\sum_{c=1}^{+\infty}y^sA_s(cz),$$
où l'on a posé
$$A_s(z)=\frac{\Gamma(s)}{\pi^s}\sum_{n\in\Z}\frac{1}{|z+n|^{2s}}.$$
La formule de Poisson et le calcul de la transformée
de Fourier de $\dfrac{\Gamma(s)}{\pi^s}\dfrac{1}{|x+iy|^{2s}}$
effectué ci-dessus
nous donnent
$$A_s(z)=\frac{\Gamma(s-\sfrac{1}{2})}{\pi^{s-\sfrac{1}{2}}}y^{1-2s}
+\sum_{n\in\Z-\{0\}}\Bigl(\frac{|n|}{y}\Bigr)^{s-\sfrac{1}{2}}
K_{s-\sfrac{1}{2}}(\pi|n|y)e^{2i\pi nx}.$$
On obtient donc
\begin{multline*}
\sum_{c=1}^{+\infty}y^sA_s(cz)=
\frac{\Gamma(s-\sfrac{1}{2})}{\pi^{s-\sfrac{1}{2}}}y^s\sum_{c\geq 1}(cy)^{1-2s}\\
+y^{s}\Bigl(\sum_{c\geq 1}\sum_{n\in\Z-\{0\}}
\Bigl(\frac{|n|}{cy}\Bigr)^{s-\sfrac{1}{2}}
K_{s-\sfrac{1}{2}}(\pi|n|cy)e^{2i\pi cnx}\Bigr).
\end{multline*}
Le résultat s'en déduit en posant $m=cn$ (et donc $n=\sfrac{m}{c}$)
et en faisant le
changement de sommation
$$\sum_{c\geq 1}\sum_{n\in\Z-\{0\}}=\sum_{m\in\Z-\{0\}}\sum_{c|m,\ c\geq 1}.$$

\Subsection{Prolongement analytique des séries d'Eisenstein}
Les fonctions $K_s(u)$ et $\sigma_s(n)$ possédant un prolongement
holomorphe à $\C$ tout entier et une équation fonctionnelle
reliant $s$ et $-s$, on en déduit, pour tout $n\neq 0$,
l'existence d'un prolongement
holomorphe de $a_n(s,y)$ vérifiant l'équation fonctionnelle
$a_n(s,y)=a_n(1-s,y)$. Nous allons voir que ces propriétés
s'étendent au terme constant.

\skpt
\begin{theo}\label{xi3}

{\rm (i)} $\xi(s)$ admet un prolongement méromorphe à $\C$ tout entier,
holomorphe en dehors de pôles simples en $s=0$ et $s=1$.

{\rm(ii)} Si $z\in{\cal H}$, alors $E(s,z)$ admet un prolongement
méromorphe à $\C$ tout entier,
holomorphe en dehors de pôles simples en $s=0$ et $s=1$.
De plus, quels que soient $z\in{\cal H}$ et $s\neq 0,1$, on a
$E(s,\frac{az+b}{cz+d})=E(s,z)$ si
$\begin{smallpmatrix} a & b\\ c & d\end{smallpmatrix}\in{\bf SL}_2(\Z)$.

{\rm(iii)} Les fonctions $\xi(s)$ et $E(s,z)$ vérifient les équations
fonctionnelles
$$E(s,z)=E(1-s,z)\quad{\rm et}\quad\xi(s)=\xi(1-s).$$
\end{theo}


\demo
Le lemme~\ref{bessel} permet de montrer que, si $z\in{\cal H}$ est fixé,
la série $R(s,z)=\sum_{n\neq 0}a_n(s,y)e^{2i\pi nx}$ converge
absolument sur tout compact; elle définit donc une fonction holomorphe
de $s$ sur~$\C$ tout entier.
Par ailleurs, si ${\rm Re}(s)>2$, on a $E(s,z)=E(s,-\sfrac{1}{z})$
et donc, la fonction
\begin{align*}
\xi(2s)\Big(y^s-\frac{y^s}{(x^2+y^2)^s}\Big)+\xi(2s-1)&
\Big(y^{1-s}-\frac{y^{1-s}}{(x^2+y^2)^{1-s}}\Big)\\
&= a_0(s,y)-a_0\Big(s,\frac{y}{x^2+y^2}\Big)\\
&= -R(s,z)+R\Big(s,-\frac{1}{z}\Big)
\end{align*}
admet un prolongement holomorphe à $\C$ tout entier, quel que soit
$x+iy\in{\cal H}$.
Prenant deux valeurs de $z$, on obtient un système permettant
d'exprimer $\xi(2s)$ et $\xi(2s-1)$ comme quotient
de fonctions holomorphes. On peut en particulier, si
$a<1$, prendre $z=z_a$ ou~$z_{a^2}$, où $z_a=\sqrt{a^{-1}-1}+i$ est tel
que ${\rm Im}(z_a)=1$ et ${\rm Im}(-\sfrac{1}{z_a})=a$. On~obtient alors,
en notant $F_a(s)$ la fonction holomorphe
$-R(s,z_a)+R(s,-\sfrac{1}{z_a})$,
\begin{align*}
\xi(2s)&=\frac{(1-a^{2-2s})F_a(s)-(1-a^{1-s})F_{a^2}(s)}
{(1-a^s)(1-a^{2-2s})-(1-a^{2s})(1-a^{1-s})}\\
&=\frac{(1+a^{1-s})F_a(s)-F_{a^2}(s)}{a^{2s}-a^s+a^{1-s}-a}.
\end{align*}
Les seules valeurs de $s$ annulant, quel que soit $0<a<1$,
le dénominateur de cette
fraction
sont $s=0$ et $s=\sfrac{1}{2}$ et le zéro en $s=0$ ou $s=\sfrac{1}{2}$
est un zéro simple. On en déduit le (i).

\smallskip
Comme $a_0(s,y)=\xi(2s)y^s+\xi(2s-1)y^{1-s}$, le (i) implique
que $a_0(s,y)$ (et donc aussi $E(s,z)=a_0(s,y)+R(s,z)$) admet
un prolongement méromorphe à~$\C$ tout entier, holomorphe
en dehors de pôles simples en $s=0,\sfrac{1}{2},1$.
D'autre part, on a
$E(s,\frac{az+b}{cz+d})=E(s,z)$ si
$\begin{smallpmatrix} a & b\\ c & d\end{smallpmatrix}\in{\bf SL}_2(\Z)$, si
$z\in{\cal H}$ et si ${\rm Re}(s)>2$. Par prolongement analytique,
cette formule reste vraie pour tout $s\in\C$ pour lequel elle
a un sens (\ie au moins si $s\neq 0,\sfrac{1}{2},1$).

Maintenant, soit $F(s,z)=E(s,z)-E(1-s,z)$.
Du fait de l'égalité $a_n(s,y)=a_n(1-s,y)$ si $n\neq 0$, on a
\[
F(s,z)=a_0(s,y)-a_0(1-s,y).
\]
Comme, par ailleurs,
$F(s,\frac{az+b}{cz+d})=F(s,z)$ si
$\begin{smallpmatrix} a & b\\ c & d\end{smallpmatrix}\in{\bf SL}_2(\Z)$,
on~en déduit,
vu la forme de $a_0(s,y)$, que $F(s,z)=0$ (autrement dit
$E(s,z)=E(1-s,z)$, et $E(s,z)$ n'a pas de pôle en $s=\sfrac{1}{2}$,
car ce pôle doit être d'ordre pair au vu de la symétrie
$s\!\mto\! 1-s$) et $a_0(s,y)-a_0(1-s,y)\!=\!0$, quels que soient
$y>0$ et $s\in\C$ pour lequel tout est bien défini.
L'identification des coefficients de $y^s$ et $y^{1-s}$ dans
$a_0(s,y)$ et $a_0(1-s,y)$ nous fournit les équations fonctionnelles
$\xi(2s)=\xi(1-2s)$ et $\xi(2s-1)=\xi(2-2s)$ qui se résument
à $\xi(s)=\xi(1-s)$.
Ceci termine la démonstration du théorème.

\Subsection{Non annulation sur la droite \texorpdfstring{${\rm Re}(s)=1$}{Rs}}
Soit $\Gamma_\infty=\big\{\pm\begin{smallpmatrix} 1&n\\0&1\end{smallpmatrix},\
n\in\Z\big\}$. C'est un sous-groupe de ${\bf SL}_2(\Z)$
et on a ${\rm Im}(\gamma z)={\rm Im}(z)$ si $z\in{\cal H}$ et
$\gamma\in\Gamma_\infty$.

\begin{lemm}\label{prem}
Si ${\rm Re}(s)>2$ et $z\in{\cal H}$, alors
$$E(s,z)=\xi(2s)\sum_{g\in\Gamma_\infty\backslash{\bf SL}_2(\Z)}
{\rm Im}(g z)^s.$$
\end{lemm}

\demo Commençons par constater que la somme dans le second membre
a bien un sens puisque ${\rm Im}(\gamma g z)={\rm Im}(gz)$ si $\gamma\in\Gamma_\infty$.
Maintenant, si $(c,d)\neq(0,0)$, on peut
écrire $(c,d)$ de manière unique sous la forme
$(ec',ed')$, où $e\geq 1$ et $(c',d')=1$ ($e$ est donc le p.g.c.d. de
$c$ et $d$). Ceci nous permet d'écrire $E(s,z)$ sous la forme
\begin{align*}
E(s,z)&=\frac{1}{2}\frac{\Gamma(s)}{\pi^{2s}}
\Bigl(\sum_{e\geq 1}\frac{1}{e^{2s}}\Bigr)\Bigl(\sum_{(c',d')=1}\frac{y^s}
{|c'z+d'|^{2s}}\Bigr)\\
&=
\xi(2s)\Bigl(y^s+\sum_{(c',d')=1\ c'\geq 1}\frac{y^s}
{|c'z+d'|^{2s}}\Bigr).
\end{align*}
Le lemme de Bézout permet de montrer que,
si $c'\geq 1$ et $d'$ est premier à $c'$, il existe $a',b'\in\Z$
uniques tels que $a'd'-b'c'=1$ et $-\sfrac{1}{2}<\sfrac{a'}{c'}\leq\sfrac{1}{2}$.
D'autre part, tout élément de ${\bf SL}_2(\Z)$ n'appartenant pas
à $\Gamma_\infty$ peut s'écrire de manière unique sous la forme
$\gamma\begin{smallpmatrix} a'&b'\\c'&d'\end{smallpmatrix}$,
avec $\gamma\in\Gamma_\infty$, $c'\geq 1$ et $-\sfrac{1}{2}<\sfrac{a'}{c'}\leq\sfrac{1}{2}$.
On en déduit la formule
$$\sum_{g\in\Gamma_\infty\backslash{\bf SL}_2(\Z)}
{\rm Im}(g z)^s=
y^s+\sum_{(c',d')=1\ c'\geq 1}\frac{y^s}
{|c'z+d'|^{2s}},$$
ce qui permet de conclure.

\begin{prop}\label{peter}
Soit $f:{\cal H}\to\C$ une fonction faiblement modulaire telle qu'il existe
$\delta>0$ et $C>0$ tels que l'on ait
$|f(x+iy)|\leq Ce^{-\delta y}$ si $y\geq 1$, et soit
$f(x+iy)=\sum_{n\in\Z}b_n(y)e^{2i\pi x}$ le développement de
Fourier de $f$. Alors, quel que soit $s\neq 0,\sfrac{1}{2}$, on a
$$\int_Y\overline{f(z)}E(s,z)\frac{dx\,dy}{y^2}=\xi(2s)\int_0^{+\infty}
y^{s-2}\overline{b_0(y)}dy.$$
\end{prop}

\demo
Commençons par constater que la condition de décroissance
à l'infini que l'on a imposée à $f$ implique que
l'intégrale $$\int_Y\overline{f(z)}E(s,z)\frac{dx\,dy}{y^2}$$
converge (du moins si $E(s,z)$ est défini, c'est-à-dire si
$s\neq 0,\sfrac{1}{2}$) et que la fonction
$$s\mto \int_Y\overline{f(z)}E(s,z)\frac{dx\,dy}{y^2}$$ est une fonction
holomorphe sur $\C-\{0,\sfrac{1}{2}\}$.
Comme par ailleurs, on~a $b_0(y)=\int_0^1f(x+iy)dx$, la fonction
$b_0(y)$ est à décroissance rapide en l'infini et en $0$ grâce
à l'équation fonctionnelle $f(-\sfrac{1}{z})=f(z)$.
Ceci implique que\vspace*{-5pt}
$$s\mto \int_0^{+\infty}
y^{s-2}\overline{b_0(y)}dy$$ est une fonction holomorphe sur $\C$
tout entier. Pour vérifier l'égalité ci-dessus, il suffit
donc de la vérifier pour ${\rm Re}(s)>2$, le cas général
s'en déduisant par prolongement analytique.
Or on a\vspace*{-3pt}\enlargethispage{.5\baselineskip}
$$\int_0^{+\infty}
y^{s-2}\overline{b_0(y)}dy=\int_B\overline{f(z)}y^{s-2}dxdy,$$
où $B={}]0,1]\times{}]0,+\infty[\subset{\cal H}$.
Maintenant, $B$ est un domaine fondamental de~${\cal H}$
modulo l'action de $\Gamma_\infty$ et, si on utilise l'invariance
de~$f$ et de la mesure $\dfrac{dx\,dy}{y^2}$ sous l'action de
${\bf SL}_2(\Z)$ et le lemme~\ref{prem}, on obtient\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
\int_{\Gamma_\infty\backslash{\cal H}}\overline{f(z)}y^{s-2}dxdy
&=
\sum_{\gamma\in\Gamma_\infty\backslash{\bf SL}_2(\Z)}
\int_{{\bf SL}_2(\Z)\backslash{\cal H}}
\overline{f(\gamma z)}{\rm Im}(\gamma z)^s\frac{dx\,dy}{y^2}\\
&=\int_{{\bf SL}_2(\Z)\backslash{\cal H}}
\sum_{\gamma\in\Gamma_\infty\backslash{\bf SL}_2(\Z)}
\overline{f(z)}{\rm Im}(\gamma z)^s\frac{dx\,dy}{y^2}\\
&=\int_{{\bf SL}_2(\Z)\backslash{\cal H}}
\overline{f(z)}\frac{E(s,z)}{\xi(2s)}\frac{dx\,dy}{y^2},
\end{align*}
ce qui permet de conclure.

\begin{theo}\label{nonnul}
La fonction $\zeta$ ne s'annule pas sur la droite
\hbox{${\rm Re}(s)\!=\!1$}
\end{theo}

\Demo
Si $s_0$ vérifie $\zeta(s_0)=0$ et ${\rm Re}(s_0)=1$,
on a aussi $\zeta(s_0-1)=0$ à cause de l'équation fonctionnelle
$\zeta(s)=\zeta(1-s)$ et de ce que $\zeta(\overline s)=\overline{\zeta(s)}$
(on a $s_0-1=\overline{1-s_0}$).
On en déduit le fait que $a_0(\sfrac{s_0}{2},y)$ est nul
quel que soit $y$ et donc que $E(\sfrac{s_0}{2},z)=O(e^{-(1-\epsilon)2\pi y})$
au voisinage de $+\infty$, quel que soit $\epsilon>0$.
On peut donc calculer le produit scalaire de Petersson
de $E(\sfrac{s_0}{2},z)$ avec $E(s,z)$ pour tout $s\in\C-\{0,1\}$
et la proposition~\ref{peter} montre que ce produit scalaire est nul.
On en déduit, en utilisant ce résultat pour $s=\sfrac{s_0}{2}$,
que $E(\sfrac{s_0}{2},z)$ est identiquement nulle, ce qui est absurde
car la fonction $K_{\sfrac{s_0}{2}}$ n'est pas identiquement nulle
d'après le lemme~\ref{bessel} et le coefficient de Fourier
$a_1(\sfrac{s_0}{2},y)$ n'est donc pas identiquement nul.

\begin{rema}
Ce théorème est une des étapes importantes de la démonstration
d'Hadamard
du théorème des nombres premiers.
\end{rema}

\section{Opérateurs de Hecke}

\Subsection{Généralités}

Soient $\Gamma\subset G$ deux groupes.
Si $x\in G$, on note $x\Gamma$ (\resp $\Gamma x$)
le sous-ensemble de $G$ des éléments de la forme
$x\gamma$ (\resp $\gamma x)$, avec $\gamma\in\Gamma$.

Si $X$ est un sous-ensemble de $G$, on note encore $X$ la fonction
caractéristique de $X$; on a donc $X(x)=1$ (\resp $X(x)=0$) si
$x\in X$ (\resp si $x\notin X$).

Si $K$ est un corps, soit $K[\Gamma\backslash G/\Gamma]$ l'espace vectoriel
des fonctions $\varphi:G\to K$ {\it bi-invariantes} (\ie $\varphi(\gamma x)=\varphi(x)$
et $\varphi(x\gamma)=\varphi(x)$ quels que soient $x\in G$ et \hbox{$\gamma\in\Gamma$}),
et {\it à support fini} (\ie il existe un ensemble fini $I$
tel que \hbox{$\varphi=\sum_{i\in I}\lambda_i\cdot \Gamma x_i$}).
Remarquons que, si les $x_i$ ont des images distinctes dans $\Gamma\backslash G$,
les $\lambda_i$ sont uniquement déterminés.


\skpt
\begin{prop}\label{h1}
{\rm (i)} Si $\varphi=\sum_{i\in I}\lambda_i\cdot \Gamma x_i$
et $\varphi'=\sum_{j\in J}\mu_j\cdot \Gamma y_j$
sont deux éléments de $[\Gamma\backslash G/\Gamma]$,
alors
$$\varphi\star\varphi'=
\sum_{(i,j)\in I\times J}\lambda_i\mu_j\cdot \Gamma x_iy_j$$
est un élément de $K[\Gamma\backslash G/\Gamma]$
qui ne dépend pas du choix des $x_i$, $i\in I$ et des~$y_j$, $j\in J$.

{\rm (ii)} $K[\Gamma\backslash G/\Gamma]$, muni de la structure de $K$-espace
vectoriel et de la multiplication $\star$ ainsi définie,
est une algèbre associative admettant $\Gamma$ comme unité.
\end{prop}

\demo
On peut supposer que les $x_i$ ont des images distinctes dans $\Gamma\backslash G$
(si $x_i$ et $x_{i'}$ ont même image dans $\Gamma\backslash G$,
on a $\Gamma x_i=\Gamma x_{i'}$ en tant qu'ensemble et donc aussi en tant
que fonction et on peut regrouper ces deux termes).
D'autre part, si $\gamma\in\Gamma$, on a $\Gamma x_i(x\gamma^{-1})=
\Gamma x_i\gamma(x)$; ceci permet, en utilisant l'identité
\begin{align*}
\sum_{i\in I}\lambda_i\cdot \Gamma x_i\gamma(x)
&=\sum_{i\in I}\lambda_i\cdot \Gamma x_i(x\gamma^{-1})\\
&=
\varphi(x\gamma^{-1})=\varphi(x)=
\sum_{i\in I}\lambda_i\cdot \Gamma x_i(x),
\end{align*}
de montrer qu'il existe une permutation $\sigma: I\to I$
telle que, si $i\in I$, alors $\lambda_i=\lambda_{\sigma(i)}$
et il existe $\gamma_i\in\Gamma$ tel que $x_i\gamma=\gamma_i x_{\sigma(i)}$.

Passons à la démonstration du (i). Le choix des $x_i$ n'influe,
de manière évidente, pas sur le résultat, et on peut changer
$y_j$ en $\gamma_j y_j$, avec $\gamma_j\in\Gamma$.
D'après la discussion précédente, si $j\in J$, il
existe une permutation $\sigma_j: I\to I$
telle que, si $i\in I$, alors $\lambda_i=\lambda_{\sigma_j(i)}$
et il existe $\gamma_{j,i}\in\Gamma$ tel que $x_i\gamma_j=\gamma_{j,i} x_{\sigma_j(i)}$.
Notons $(i',j')\in I\times J$ le couple $(\sigma_j(i),j)$;
l'application $(i,j)\mto (i',j')$ est une bijection de $I\times J$.
On~a alors
$$\sum_{(i,j)\in I\times J}\hspace*{-2mm}\lambda_i\mu_j\cdot \Gamma x_i\gamma_jy_j=
\sum_{(i,j)\in I\times J}\hspace*{-2mm}\lambda_i\mu_j\cdot \Gamma x_{\sigma_j(i)}y_j=
\sum_{(i,j)\in I\times J}\hspace*{-2mm}\lambda_{i'}\mu_{j'}\cdot \Gamma x_{i'}y_{j'},$$
ce qui permet de montrer que le choix des $y_j$ n'influe pas sur
le résultat.

Comme $\varphi\star\varphi'(\gamma x)=\varphi\star\varphi'(x)$ de manière
évidente, il ne reste plus qu'à démontrer que l'on a aussi
$\varphi\star\varphi'(x\gamma)=\varphi\star\varphi'(x)$.
Comme précédemment, il existe une permutation
$\tau:J\to J$ telle que, si $j\in J$, alors $\mu_j=\mu_{\tau(j)}$
et il existe $\gamma_j\in\Gamma$ tel que $y_j\gamma^{-1}=\gamma_j y_{\tau(j)}$.
On a alors
$$\varphi\star\varphi'(x\gamma)=
\sum_{(i,j)\in I\times J}\lambda_i\mu_j\cdot \Gamma x_iy_j\gamma^{-1}(x)
=\sum_{(i,j)\in I\times J}\lambda_i\mu_j\cdot \Gamma x_i\gamma_j y_{\tau(j)}(x),$$
et comme $\mu_{j}=\mu_{\tau(j)}$, on peut
faire le changement $j'=\tau(j)$, pour réécrire cette
dernière formule sous la forme
$$\sum_{(i,j)\in I\times J}\lambda_i\mu_j\cdot \Gamma x_i\gamma_j y_j,$$
et utiliser l'invariance par rapport au choix des $y_j$ pour conclure.

Le (ii) est plus ou moins évident; par exemple, \hbox{l'associativité}
décou\-le immédiatement de l'associativité de la multiplication dans~$G$.

\Subsection{Opérateurs de Hecke}

Nous allons appliquer les résultats précédents à $G={\bf GL}_2(\Q)^+$,
sous groupe de ${\bf GL}_2(\Q)$ des matrices de déterminant $>0$,
et à $\Gamma={\bf SL}_2(\Z)$.

\begin{lemm}\label{h2}
Si $g\in G$ est à coefficients entiers, il existe
$\gamma\in\Gamma$ tel que $\gamma g=\begin{smallpmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallpmatrix}$,
avec $a\geq 1$. De plus, $a$ et $d$ sont complètement déterminés par~$g$,
ainsi que la classe de
$b$ modulo~$d$.
\end{lemm}

\demo
Si $g=\begin{smallpmatrix} a' & b'\\ c' & d'\end{smallpmatrix}$, on peut trouver
$u,v\in\Z$ premiers entre eux, tels que
$ua'+vc'=0$. On peut alors, grâce au théorème de Bézout, trouver
$x,y\in\Z$ tels que $xv-uy=1$ et prendre pour $\gamma=\pm
\begin{smallpmatrix} x & y\\ u & v\end{smallpmatrix}$, le signe étant choisi
de telle sorte que $a$ soit positif.

Maintenant, si
$\gamma_1 g=\begin{smallpmatrix} a_1 & b_1\\ 0 & d_1\end{smallpmatrix}$ et
$\gamma_2 g=\begin{smallpmatrix} a_2 & b_2\\ 0 & d_2\end{smallpmatrix}$,
alors
$$\gamma_1\gamma_2^{-1}=
(\gamma_1 g)(\gamma_2 g)^{-1}=
\begin{pmatrix} a_1 & b_1\\ 0 & d_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_2 & b_2\\ 0 & d_2\end{pmatrix}^{-1}
=\begin{pmatrix} \sfrac{a_1}{a_2} & \frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2d_2}\\ 0 &
\sfrac{d_1}{d_2}\end{pmatrix}$$
est à coefficients entiers. Ceci implique que
$a_2$ divise $a_1$, $d_2$ divise $d_1$, et, comme
$a_1d_1=a_2d_2=\det g$ et $a_1$, $a_2$, $d_1$, $d_2$ sont $\geq 1$,
on obtient les égalités $a_1=a_2$ et $d_1=d_2$.
Finalement, $b_1-b_2$ est divisible par~$d_2$, ce qui termine la démonstration.

\begin{lemm}
Si $n\geq 1$,
soient $T_n$ l'ensemble des éléments de ${\bf M}_2(\Z)$ de déterminant
$n$ et $R_n=\Gamma \begin{smallpmatrix} n & 0\\ 0 & n\end{smallpmatrix}$.
Alors $T_n$ et $R_n$ appartiennent à
$\Q[\Gamma\backslash G/\Gamma]$.
\end{lemm}

\demo
Le résultat est immédiat pour $R_n$ car
$\begin{smallpmatrix} n & 0\\ 0 & n\end{smallpmatrix}$
commute à tout. La bi-invariance de $T_n$ est une conséquence de la
multiplicativité du déterminant et la formule suivante,
conséquence immédiate du lemme précédent,
montre que $T_n$ est à support fini, ce qui permet de conclure
$$T_n=\sum_{\substack{a\geq 1\\ ad=n\\ b\,{\rm mod}\,d}}\Gamma
\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & d\end{pmatrix}.$$

On note ${\bb T}_\Q$ la sous-$\Q$-algèbre de
$\Q[\Gamma\backslash G/\Gamma]$ engendrée par les $T_n$ et les
$R_n$, pour $n\geq 1$.


\skpt
\begin{theo}\label{h0}
{\rm (i)} On a

\qquad {\rm a)} $R_nR_m=R_{nm}$ quels que soient $n,m\geq 1$;

\qquad {\rm b)} $R_nT_m=T_mR_n$ quels que soient $n,m\geq 1$;

\qquad {\rm c)} $T_nT_m=T_{nm}$ quels que soient $n,m\geq 1$ premiers entre eux;

\qquad {\rm d)} $T_{p^r}T_p=T_{p^{r+1}}+pR_pT_{p^{r-1}}$ si $p$ est un nombre premier
et $r\geq 1$.

{\rm (ii)} ${\bb T}_\Q$ est une algèbre commutative
\end{theo}


\demo Commençons par montrer comment déduire le (ii) du (i).
Le d) permet de montrer, par récurrence sur $r$, que $T_{p^r}$ est un
polynôme à coefficients entiers en $T_p$ et $R_p$; comme $R_p$ et $T_p$
commutent d'après le b), cela permet de montrer que $T_{p^r}$ et $T_{p^s}$
commutent si $r,s\in\N$. Les autres commutations sont immédiates en
vertu des~a), b) et~c).

Passons à la vérification du (i). Les points a) et b) découlent
simplement de ce que $\begin{smallpmatrix} n & 0\\ 0 & n\end{smallpmatrix}$
commute à tout élément de $G$.  Passons au~c).
On a\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$T_nT_m=\sum_{\substack{a\geq 1\\ ad=n\\ b\,{\rm mod}\,d}}
\sum_{\substack{a'\geq 1\\ a'd'=m\\ b'\,{\rm mod}\,d'}}
\Gamma\begin{pmatrix} aa' & ab'+bd'\\ 0 & dd'\end{pmatrix}.$$
Si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, il en est, a fortiori, de même de
$a$ et~$d'$, et on est ramené à prouver que, si $a$ et $d'$
sont premiers entre eux, si~$b$ (\resp $b'$) parcourt un système de représentants
modulo~$d$ (\resp $d'$), alors
$ab'+bd'$ parcourt un système de représentants
modulo~$dd'$.
Comme il y a le bon nombre d'éléments, il suffit de vérifier
que l'application $(b,b')\mto ab'+bd'$ modulo~$dd'$ est injective.
En regardant modulo~$d'$, et en utilisant le fait que $a$ est inversible modulo
$d'$, on voit que, si
$ab_1'+b_1d'=ab_2'+b_2d'$ mod.\,$dd'$, alors $b_1'-b_2'$ est divisible
par $d'$ et donc $b_1'=b_2'$, puis que $b_1-b_2$ est divisible par~$d$
et donc que $b_1=b_2$, ce qui permet de conclure.

Reste le point d).  On a $T_{p^r}=\sum_{i=0}^r\sum_{b\,{\rm mod}\,p^i}
\Gamma\begin{smallpmatrix} p^{r-i} & b\\ 0 & p^i\end{smallpmatrix}$
et, en particulier,
$$T_{p}=\Gamma\begin{pmatrix} p& 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}
+ \sum_{c\,{\rm mod}\,p}
\Gamma\begin{pmatrix} 1 & c\\ 0 & p\end{pmatrix};$$
on obtient donc\vspace*{-3pt}
\begin{multline*}
T_{p^r}T_p=
\sum_{i=0}^r\sum_{b\,{\rm mod}\,p^i}
\Gamma\begin{pmatrix} p^{r+1-i} & b\\ 0 & p^i\end{pmatrix}\\[-3pt]
+\sum_{i=0}^r\sum_{b\,{\rm mod}\,p^i}\sum_{c\,{\rm mod}\,p}
\Gamma\begin{pmatrix} p^{r-i} & pb+p^{r-i}c\\ 0 & p^{i+1}\end{pmatrix}.
\end{multline*}
Si on regroupe dans cette somme le premier terme et le morceau
du second terme correspondant à $i=r$, on retrouve l'opérateur
$T_{p^{r+1}}$ car $pb+c$ décrit un système de représentants modulo
$p^{r+1}$ si $b$ (\resp $c$) parcourt un système de représentants
modulo~$p^r$ (\resp $p$).

On peut alors mettre $R_p$ en facteur dans ce qui reste, ce qui
permet de le mettre sous la forme\vspace*{-3pt}
$$R_p\sum_{c\,{\rm mod}\,p}\Big(\sum_{i=0}^{r-1}\sum_{b\,{\rm mod}\,p^i}
\Gamma\begin{pmatrix} p^{r-i-1} & b+p^{r-i-1}c\\ 0 & p^i\end{pmatrix}\Big).$$
Comme $b+p^{r-i-1}c$ parcourt un système de représentants
modulo~$p^i$ quand $b$ parcourt un système de représentants
modulo~$p^i$, on voit que la somme entre parenthèses
est égale à $T_{p^{r-1}}$ pour tout $c$, et donc que la quantité
ci-dessus est aussi égale à $pR_pT_{p^{r-1}}$.
Ceci permet de conclure.

\Subsection{Action des opérateurs de Hecke sur les formes modulaires}

On définit l'action {\it en poids $k$} de
$\gamma=\begin{smallpmatrix} a& b\\ c & d\end{smallpmatrix}\in G$
sur une fonction \hbox{$f:{\cal H}\to\C$} par la formule\vspace*{-3pt}
$$f_{|_k}\gamma(z)=\frac{(\det\gamma)^{k-1}}{(cz+d)^k}f(\gamma z).$$
(La puissance de $\det\gamma$ que l'on introduit est destinée à supprimer
les dénominateurs dans l'action des opérateurs de Hecke;
un autre choix naturel consisterait à prendre la puissance $\sfrac{k}{2}$-ième
pour rendre l'action de $G$ unitaire.)

Si $\varphi=\sum_{i\in I}\lambda_i\cdot
\Gamma g_i\in\Q[\Gamma\backslash G/\Gamma]$ et $f:{\cal H}\to\C$
vérifie $f_{|_k}\gamma=f$ pour tout $\gamma\in\Gamma$, on peut définir
la fonction $f_{|_k}\varphi$ par la formule\vspace*{-3pt}
$$f_{|_k}\varphi(z)=\sum_{i\in I}\lambda_i\cdot
f_{|_k} g_i(z),$$
ce qui ne dépend pas du choix des $g_i$.


\skpt
\begin{prop}

{\rm (i)} Si $f\in M_k$ {\rm (\resp $f\in S_k$)} et $\varphi
\in\Q[\Gamma\backslash G/\Gamma]$, alors
$f_{|_k}\varphi\in M_k$ {\rm (\resp $f_{|_k}\varphi\in S_k$)};

{\rm (ii)} Si $f\in M_k$ et $\varphi_1,\varphi_2
\in\Q[\Gamma\backslash G/\Gamma]$, alors
$$f_{|_k}(\varphi_1+\varphi_2)= f_{|_k}\varphi_1+f_{|_k}\varphi_2
\quad{\rm et}\quad
f_{|_k}(\varphi_1\star\varphi_2)=(f_{|_k}\varphi_1)_{|_k}\varphi_2.$$
\end{prop}

\demo
L'invariance de $f_{|_k}\varphi$ par $\Gamma$ et le (ii) se démontrent
comme
la proposition~\ref{h1}. L'holomorphie de
$f_{|_k}\varphi$ étant une évidence, il ne reste plus qu'à
considérer le comportement au voisinage de $i\infty$.
Si $\gamma=\begin{smallpmatrix} a& b\\ c & d\end{smallpmatrix}\in G$,
et si $\sfrac{a}{c}=\sfrac{a_1}{c_1}$ 
avec $a_1,c_1\in\Z$ premiers entre eux ($(a_1,c_1)=
(1,0)$ si $c=0$), soient $b_1,d_1\in\Z$ tels que $\gamma_1\!=\!
\begin{smallpmatrix} a_1& b_1\\ c_1 & d_1\end{smallpmatrix}\!\in\!\Gamma$.
La matrice $\gamma_1^{-1}\gamma$ est alors de la forme
$\begin{smallpmatrix} a_2& b_2\\ 0 & d_2\end{smallpmatrix}$ et on~a
$$f_{|_k}\gamma(z)=f_{|_k}\gamma_1^{-1}\gamma(z)=
a_2^{k-1}d_2^{-1}f\Big(\frac{a_2z+b_2}{d_2}\Big).$$
On en déduit le fait que, si $f$ est à croissance lente à l'infini
(\resp est nulle à l'infini), alors
$f_{|_k}\gamma$ est à croissance lente à l'infini
(\resp est nulle à l'infini), ce qui termine la démonstration.

\begin{lemm}\label{h3}
Si $f\in M_k$ et $n\geq 1$, alors
\begin{align*}
f_{|_k}R_n&= n^{k-2}f;\\
f_{|_k}T_n&= n^{k-1}\sum_{\substack{a\geq 1,\ ad=n\\ b\, {\rm mod}\, d}}
d^{-k}f(\frac{az+b}{d}).
\end{align*}
\end{lemm}

\demo
La première identité est évidente et la seconde suit du lemme~\ref{h2}.

\begin{prop}
Si $f\in M_k$, si $n\geq 1$ et si $m\in\N$, alors
$$c_m(f_{|_k}T_n)=\sum_{\substack{a\geq 1\\ a|(n,m)}} a^{k-1}c_{\sfrac{nm}{a^2}}(f).$$
\end{prop}

\demo
On a $\sum_{b\bmod d}e^{\sfrac{2i\pi mb}{d}}=\begin{cases}
d & {\text{si $d|m$,}}\\ 0&{\text {sinon.}}\end{cases}$.
On en déduit la formule
$$\sum_{b\bmod d}d^{-k}f(\frac{az+b}{d})
=d^{1-k}\sum_{\ell=0}^{+\infty}c_{d\ell}(f)\,q^{a\ell}.$$
Si $a\geq 1$ divise $n$, la contribution de
$\sum_{b\bmod d}d^{-k}f(\frac{az+b}{d})$ à $c_m(f_{|_k}T_n)$
est donc
$$\begin{cases}
n^{k-1}d^{1-k}c_{d\sfrac{m}{a}}(f)=a^{k-1}c_{\sfrac{nm}{a^2}}(f)
&{\text{si $a$ divise $m$}},\\
0 & {\text{si $a$ ne divise pas $m$.}}
\end{cases}$$
On en tire le résultat.

\medskip
La proposition précédente admet plusieurs cas particuliers intéressants

\begin{coro}\label{h4}
Si $f\in M_k$, si $n\geq 1$, alors

{\rm(i)} $c_0(f_{|_k}T_n)=\sigma_{k-1}(n)c_0(f)$;

{\rm(ii)} $c_1(f_{|_k}T_n)=c_n(f)$;

{\rm (iii)} Si $f\in M_k$, si $p$ est un nombre premier et si $m\in\N$, alors
$$c_m(f_{|_k}T_p)=
\begin{cases}
c_{pm}(f) & {\text {si $p$ ne divise pas $m$,}}\\
c_{pm}(f)+ p^{k-1}c_{\sfrac{m}{p}}(f) & {\text {si $p$ divise $m$.}}
\end{cases}
$$
\end{coro}

\begin{theo}
Soit $f\in M_k-\{0\}$ vecteur propre pour tous les opérateurs $T_n$, $n\geq 1$
de valeur propre $\lambda_n$. Alors,

{\rm (i)} $c_1(f)\neq 0$;

{\rm (ii)} si on a normalisé $f$ de telle sorte que $c_1(f)=1$, alors
$\lambda_n=c_n(f)$ pour tout $n\geq 1$; de plus les $c_n(f)$ vérifient
les relations

\qquad {\rm (a)} $c_n(f)c_m(f)=c_{nm}(f)$ si $n$ et $m$ sont premiers entre eux;

\qquad {\rm (b)} $c_{p^{r+1}}(f)-c_p(f)c_{p^r}(f)+p^{k-1}c_{p^{r-1}}(f)=0$
si $p$ est un nombre premier et $r\geq 1$.
\end{theo}

\demo D'après le (i) du corollaire~\ref{h4},
on a $c_n(f)=\lambda_n c_1(f)$ si $n\geq 0$. En particulier, si $c_1(f)=0$,
alors $f$ est constante, ce qui est en contradiction avec l'appartenance
de $f$ à $M_k-\{0\}$.

Maintenant, si $c_1(f)=1$, on a $c_n(f)=\lambda_n$ et le reste du théorème
est une traduction du théorème~\ref{h0}.

\begin{coro}[Théorème de multiplicité $1$]
Si $f$ et $g$ sont deux formes modulaires de poids $k$, vecteurs propres
des $T_n$ avec la même valeur propre pour tout $n\geq 1$, et
si $f$ et $g$ sont normalisées {\rm ($c_1(f)=c_1(g)=1$)},
alors $f=g$.
\end{coro}

\demo
Il suffit d'appliquer le (i) du théorème précédent à $f-g$.

\begin{prop}
La série d'Eisenstein $G_{2k}(z)=
\frac{\Gamma(2k)}{(-2i\pi)^{2k}}E_{2k}(z)$
est une forme propre normalisée pour tous les $T_n$, et on a
$(G_{2k})_{|_{2k}}T_n=\sigma_{2k-1}(n)G_{2k}$.
\end{prop}

\demo
On a $G_{2k}(z)=\frac{\Gamma(2k)}{(-2i\pi)^{2k}}\zeta(2k)+
\sum_{m=1}^{+\infty}\sigma_{2k-1}(m)q^m$. En particulier,
$c_1(G_{2k})=1$ et $c_m(G_{2k})=\sigma_{2k-1}(m)$ si $m\geq 1$.
Pour démontrer la proposition, il suffit donc de prouver que $G_{2k}$
est vecteur propre de $T_p$ pour la valeur propre $\sigma_{2k-1}(p)$,
ce qui se ramène à vérifier que, si $p$ est un nombre premier,
on a
$$(1+p^s)\sum_{d|m} d^s=
\begin{cases}
\sum_{d|pm}d^s & {\text{si $p$ ne divise pas $m$,}}\\
\sum_{d|pm}d^s+p^s\sum_{d|\frac{m}{p}}d^s & {\text{si $p$ divise $m$.}}
\end{cases}
$$
Ceci ne pose aucune difficulté.

\begin{theo}
Si $n\geq 1$, l'opérateur $T_n$, agissant sur $S_k$ muni du
produit scalaire de Petersson, est hermitien.
\end{theo}

\demo Cela résulte, par un calcul un peu pénible, de l'invariance
de la mesure hyperbolique sous l'action de ${\bf SL}_2(\Z)$.
(Pour se simplifier la vie, on peut se contenter de traiter le cas $p$ premier.)

\begin{theo}
$S_k$ et $M_k$ admettent une base de formes propres pour tous
les $T_n$, $n\geq 1$; de plus, si on normalise ces formes propres,
alors une telle base est unique à permutation près de ses éléments.
\end{theo}

\demo
L'unicité d'une telle base (à permutation près et modulo
son existence) est une conséquence du théorème de multiplicité~$1$.
De plus, comme
$M_k=\C E_k\oplus S_k$, et $E_k$ est une forme propre
pour tous les $T_n$, il suffit de traiter le cas de $S_k$.
Les $T_n$ étant hermitiens, ils sont diagonalisables
(dans une base orthonormée), et, comme ils commutent deux à deux,
on peut trouver une base dans laquelle ils agissent tous de façon diagonale,
ce qui permet de conclure.

\section{Fonctions \texorpdfstring{$L$}{L} des formes modulaires}
\Subsection{La transformée de Mellin}

\skpt
\begin{prop}
{\rm (i)} Si $\varphi:\R_+^\dual\to \C$ une fonction continue telle
qu'il existe $A>B$ tels que
$\varphi(t)=O(t^{A})$ au voisinage de $t=0$ et
$\varphi(t)=O(t^{B})$ au voisinage de $+\infty$,
la transformée de Mellin ${\rm Mel}(\varphi,s)$ de $\varphi$,
définie par
$${\rm Mel}(\varphi,s)=\int_0^{+\infty}\varphi(t)t^s\frac{dt}{t},$$
est holomorphe
sur la bande $-A<{\rm Re}(s)<-B$ et bornée
sur toute bande de la forme $a<{\rm Re}(s)<b$, avec
$-A<a<b<-B$.

{\rm (ii)} Si $\varphi$ est de classe ${\cal C}^r$ et si
$\varphi^{(r)}(t)=O(t^{A-r})$ au voisinage de $t=0$ et
$\varphi^{(r)}(t)=O(t^{B-r})$ au voisinage de $+\infty$,
alors ${\rm Mel}(\varphi,s)$ est $O(|s|^{-r})$
sur toute bande de la forme $a<{\rm Re}(s)<b$, avec
$-A<a<b<-B$.

{\rm (iii)} Si de plus, $r\geq 2$, on peut retrouver $\varphi$
à partir de sa transformée de Mellin par la formule
d'inversion
$$\varphi(x)=\frac{1}{2i\pi}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}
{\rm Mel}(\varphi,s)x^{-s}ds,$$
où $c$ est un élément quelconque de $]-A,-B[$.
\end{prop}

\demo
Le (i) est immédiat et le (ii) est une conséquence de la formule
$${\rm Mel}(\varphi,s)=\frac{(-1)^r}{s(s+1)\cdots(s+r-1)}
{\rm Mel}(\varphi^{(r)},s+r)$$ qui s'obtient par intégration par partie.
Finalement, si on note $\psi_c:\R\to\C$ la fonction définie par
$\psi_c(x)=\varphi(e^x)e^{cx}$, alors
$${\rm Mel}(\varphi,c+iu)=\widehat{\psi_c}(u)=
\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_c(x)e^{iux}dx,$$
est la transformée de Fourier de $\psi_c$. On déduit alors
le (iii) de la formule d'inversion de Fourier
$$\psi_c(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{\psi_c}(u)e^{-iux}du,$$
l'hypothèse $r\geq 2$
suffisant à garantir que l'on est dans les conditions d'application
de cette formule d'inversion: on obtient
\begin{align*}
\frac{1}{2i\pi}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}
{\rm Mel}(\varphi,s)x^{-s}ds&=
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{\psi_c}(u)
e^{-c\log x-iu\log x} du\\
&=e^{-c\log x}\psi_c(\log x)=\varphi(x).
\end{align*}
\begin{exo}
Calculer $\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Gamma(s)t^{-s}ds$ par la méthode
des résidus; retrouver la formule d'inversion de Mellin pour $e^{-x}$.
\end{exo}

\Subsection{Transformée de Mellin des formes modulaires}

Si $f=\sum_{m=0}^{+\infty}c_m(f)q^m\in M_{2k}$, on définit
la fonction~$L$ de $f$ par la formule
$$L(f,s)=\sum_{m=1}^{+\infty}c_m(f)m^{-s},\quad
{\text{et on pose}}\quad
\Lambda(f,s)=\frac{\Gamma(s)}{(2\pi)^s}L(f,s).$$
\begin{exem}
La fonction~$L$ de la série d'Eisenstein $G_{2k}$ est
donnée par la formule
$$L(G_{2k},s)=\zeta(s)\zeta(s-2k+1).$$
\end{exem}

\demo On a $G_{2k}(z)=\frac{\Gamma(2k)}{(-2i\pi)^{2k}}\zeta(2k)+
\sum_{m=1}^{+\infty}\sigma_{2k-1}(m)q^m$, et donc
\begin{align*}
L(G_{2k},s)&=\sum_{m=1}^{+\infty}\Big(\sum_{\substack{d\geq 1\\ ad=m}}d^{2k-1}\Big)(ad)^{-s}\\
&=\sum_{a=1}^{+\infty}\sum_{d=1}^{+\infty}a^{-s}d^{2k-1-s}=
\zeta(s)\zeta(s-2k+1).
\end{align*}


\skpt
\begin{theo}\label{L}
{\def\theenumi{\roman{enumi}}
\begin{enumerate}
\item
La série définissant $L(f,s)$ converge absolument
pour ${\rm Re}(s)>{2k}$ et définit une fonction holomorphe sur
le demi-plan ${\rm Re}(s)>{2k}$.

\item
La fonction $\Lambda(f,s)$ vérifie les propriétés suivantes:

\begin{enumerate}
\item
elle admet un prolongement méromorphe à $\C$
tout entier;

\item
elle satisfait à l'équation fonctionnelle
$$\Lambda(f,s)=(-1)^{-k}\Lambda(f,{2k}-s);$$

\item
elle est
holomorphe en dehors de pôles simples
en $s=0$, de résidu $-c_0(f)$, et en $s=2k$, de résidu $(-1)^kc_0(f)$;

\item
elle
tend vers $0$ à l'infini dans toute bande de la forme
\hbox{$a\!<\!{\rm Re}(s)\!<\!b$}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\end{theo}

\demo
Le (i) suit de la majoration
$c_m(f)=O(m^{2k-1})$ que nous n'avons pas démontrée\dots

Pour démontrer le (ii), considérons la fonction $\varphi:\R_+^\dual\to\C$
définie par $\varphi(t)=f(it)-c_0(f)$. Cette fonction est
${\cal C}^\infty$ sur $\R_+^\dual$, vérifie l'équation fonctionnelle
$$\varphi(t^{-1})=(-1)^kt^{2k}\varphi(t)+(-1)^{k}t^{2k}c_0(f)-c_0(f),$$
et est $O(e^{-2\pi t})$ au voisinage de $+\infty$.
Par ailleurs, on a $$\int_0^{+\infty}e^{-at}t^s\frac{dt}{t}=
\Gamma(s)a^{-s},$$ si $a>0$ et ${\rm Re}(s)>0$. Ceci permet d'écrire
$\Lambda(f,s)$ comme la transformée de Mellin de $\varphi$,
(du moins si ${\rm Re}(s)>k$, de manière que l'on puisse
intervertir somme et intégrale). Coupant l'intégrale
de $0$ à $+\infty$ en une intégrale de $0$ à $1$ et une de $1$
à $+\infty$, et faisant le changement de variable $t\mto t^{-1}$
sur le premier morceau nous permet, en utilisant l'équation fonctionnelle
ci-dessus, d'obtenir
\begin{multline*}
\Lambda(f,s)=\int_{1}^{+\infty}\varphi(t^{-1})t^{-s}\frac{dt}{t}+
\int_{1}^{+\infty}\varphi(t)t^s\frac{dt}{t}\\
=(-1)^k\int_{1}^{+\infty}\varphi(t)t^{2k-s}\frac{dt}{t}
+c_0(f)\Big(\frac{(-1)^k}{s-2k}-\frac{1}{s}\Big)
+\int_{1}^{+\infty}\varphi(t)t^s\frac{dt}{t}.
\end{multline*}
On en déduit les points (a), (b) et (c). Le point (d) s'obtient en
remarquant que l'on a
$$\int_{1}^{+\infty}\varphi(t)t^s\frac{dt}{t}=
-\frac{\varphi(1)}{s}-\frac{1}{s}\int_{1}^{+\infty}\varphi'(t)t^{s+1}\frac{dt}{t},$$
et que
$\int_{1}^{+\infty}\varphi'(t)t^{s+1}\frac{dt}{t}$ est borné dans toute bande
de la forme
$a<{\rm Re}(s)<b$.

\medskip
Le théorème précédent admet une réciproque que voici:

\begin{theo}
Soit $(c_m)_{m\in\N}$ une suite de nombres complexes.
Si
la série de Dirichlet $L(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}c_mm^{-s}$
converge absolument dans un demi-plan de la forme ${\rm Re}(s)>A$,
et si
la fonction $\Lambda(s)=\frac{\Gamma(s)}{(2\pi)^s}L(s)$
vérifie les propriétés suivantes:
{\def\theenumi{\alph{enumi}}
\begin{enumerate}
\item
elle admet un prolongement méromorphe à $\C$
tout entier;

\item
elle satisfait à l'équation fonctionnelle
$$\Lambda(s)=(-1)^{-k}\Lambda({2k}-s);$$

\item
elle est
holomorphe en dehors de pôles simples
en $s=0$ et en $s=2k$,
le résidu en $s=0$ étant $-c_0$;

\item
elle
tend vers $0$ à l'infini dans toute bande de la forme
\hbox{$a<{\rm Re}(s)<b$};
\end{enumerate}}
\noindent alors
$\sum_{m=0}^{+\infty}c_mq^m\in M_{2k}$.
\end{theo}

\demo
Soit $f(z)=\sum_{m=0}^{+\infty} c_mq^m$. L'existence d'un demi-plan de
convergence pour la série de Dirichlet montre que $f$ est holomorphe
sur le demi-plan de Poincaré. Pour prouver que $f\in M_{2k}$,
il suffit, car $f$ est invariante
par $z\to z+1$, de prouver que la fonction
$g(z)=z^{-2k}f(\frac{-1}{z})-f(z)$ est identiquement nulle sur ${\cal H}$.
Par prolongement analytique, il suffit de prouver que $g$ est identiquement
nulle sur $i\R_+^\dual$.
Pour cela, considérons la fonction $\varphi(t)=
f(it)-c_0=\sum_{m=1}^{+\infty}c_me^{-2\pi mt}$. La fonction $\Lambda(s)$
est alors la transformée de Mellin de $\varphi$ et la formule d'inversion
de Mellin nous donne, si $c>A$,
\begin{multline*}
\varphi(t)-\frac{(-1)^k}{t^{2k}}\varphi(t^{-1})\\
=
\frac{1}{2i\pi}\Big(
\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Lambda(s)t^{-s}ds-\frac{(-1)^k}{t^{2k}}
\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Lambda(s)t^{s}ds\Big).
\end{multline*}
Par ailleurs, l'équation fonctionnelle $\Lambda(s)=(-1)^k\Lambda(2k-s)$
nous donne
\begin{align*}
\frac{(-1)^k}{t^{2k}}
\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Lambda(s)t^{s}ds&
=\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Lambda(2k-s)t^{s-2k}\,ds\\
&=\int_{2k-c-i\infty}^{2k-c+i\infty}\Lambda(s)t^{-s}\,ds.
\end{align*}
Maintenant, la formule des résidus appliquée à l'intégrale de
$\Lambda(s)t^{-s}$ sur le rectangle de sommets
$c-iT$, $c+iT$, $2k-c+iT$ et $2k-c-iT$, et un passage à la limite
en faisant tendre $T$ vers $+\infty$ [c'est là que l'on utilise
l'hypothèse~(d)], nous fournissent la formule
\begin{align*}
\varphi(t)-\frac{(-1)^k}{t^{2k}}\varphi(t^{-1})&=
{\rm Res}_{s=0}\Lambda(s)t^{-s}+{\rm Res}_{s=2k}\Lambda(s)t^{-s}\\
&=
-c_0+\frac{(-1)^k}{t^{2k}}c_0,
\end{align*}
ce qui permet de conclure. (L'équation fonctionnelle
\[
\Lambda(s)=(-1)^k\Lambda(2k-s)
\]
montrant que le résidu en $s=2k$
de $\Lambda(s)$ est $(-1)^kc_0$ si le résidu de $\Lambda(s)$
en~$0$ est $-c_0$.)

\Subsection{Opérateurs de Hecke et produits eulériens}

\begin{theo}\label{euler}
Si $f\in M_{2k}$ est un vecteur propre pour tous les $T_n$, $n\geq 1$,
et est normalisée, alors $L(f,s)$ admet une factorisation en un produit
de facteurs d'Euler
$$L(f,s)=\prod_{p\ {\rm premier}}\frac{1}{1-c_p(f)p^{-s}+p^{{2k}-1-2s}}.$$
\end{theo}

\demo
Comme $f$ est vecteur propre des $T_n$, on a $c_m(f)=\prod_ic_{p_i^{r_i}}(f)$
si $n=\prod_ip_i^{r_i}$ est la décomposition en facteurs premiers de~$m$.
On obtient donc
$$L(f,s)=\prod_{p\ {\rm premier}}(1+c_p(f)p^{-s}+c_{p^2}(f)p^{-2s}+\cdots).$$
D'autre part, les $c_{p^r}(f)$ satisfont à une relation de récurrence
liné\-aire de de\-gré~$2$, et, si $\alpha_p$ et $\beta_p$ sont
les deux racines du polynôme
\[
X^2-c_p(f)X+p^{{2k}-1}=0,
\]
alors
$c_{p^r}(f)=\frac{\alpha_p^{p^{r+1}}-\beta_p^{p^{r+1}}}{\alpha_p-\beta_p}$.
On obtient donc
\begin{align*}
1+c_p(f)p^{-s}&+c_{p^2}(f)p^{-2s}+\cdots
=
\sum_{r=0}^{+\infty}\frac{\alpha_p^{p^{r+1}}-\beta_p^{p^{r+1}}}{\alpha_p-\beta_p}
p^{-rs}\\ &=
\frac{1}{\alpha_p-\beta_p}\Big(
\frac{\alpha_p}{1-\alpha_pp^{-s}}
-\frac{\beta_p}{1-\beta_pp^{-s}}\Big)\\
&=\frac{1}{(1-\alpha_pp^{-s})(1-\beta_pp^{-s})}
=\frac{1}{1-c_p(f)p^{-1}+p^{{2k}-1-2s}},
\end{align*}
ce qui permet de conclure.

\medskip Le théorème~\ref{euler} permet de démontrer une forme
forte du {\og théorème de multiplicité~$1$\fg}.

\begin{coro}
Si $f,g\in M_{2k}$ vérifient les conditions:

\quad {\rm (a)} $c_1(f)=c_1(g)=1$;

\quad {\rm (b)} quel que soit $p$ premier, $f$ {\rm (}\resp $g${\rm )}
est vecteur propre de $T_p$ pour la valeur propre $\lambda_p$
{\rm (}\resp $\mu_p${\rm )};

\quad {\rm (c)} $\lambda_p=\mu_p$ si $p$ est assez grand;

\noindent alors $f=g$.
\end{coro}

\demo Soit $I$ l'ensemble fini de nombres premiers tels que
$\lambda_p\neq\mu_p$. La fonction
$$h(s)=\frac{L(f,s)}{L(g,s)}=\prod_{p\in I}\frac{1-\mu_pp^{-s}+p^{2k-1-2s}}
{1-\lambda_pp^{-s}+p^{2k-1-2s}}$$
vérifie l'équation fonctionnelle $h(2k-s)=h(s)$ d'après
le théorème~\ref{L}. 
Par ailleurs chacun des termes $u_p$ du produit 
vérifie l'équation fonctionnelle $u_p(2k-1-s)=u_p(s)$,
et donc $h(s)$ est périodique de période~$1$.  Comme
$h$ est une série de Dirichlet $\sum_{n=1}^{+\infty}a_nn^{-s}$,
cela se traduit par $na_n=a_n$, pour tout $n$, ce qui implique
que $h$ est constante.  On en déduit le résultat.

\begin{lemm}
Soit $P_{p,i}$, $1\leq i\leq d$, $p$ premier, une famille
de polynômes vérifiant les conditions suivantes

{\rm (a)} $P_{p,i}(0)=1$ quel que soient $i$ et $p$;

{\rm (b)} si $i\neq j$, il existe, quel que soit $B>0$, un
nombre premier $p\geq B$, tel que
$P_{p,i}$ et $P_{p,j}$ sont premiers entre eux;

{\rm (c)} il existe des nombres complexes $\lambda_i$, $1\leq i\leq d$
et des séries entières $R_p=a_{p,0}+a_{p,1}X+\cdots\in\C[\![X]\!]$
avec $a_{p,0}=1$ pour $p$ assez grand, tels que l'on ait
$$\sum_{i=1}^d\frac{\lambda_i}{\prod_{p}P_{p,i}(p^{-s})}=
\prod_p R_p(p^{-s}),$$
alors il existe $A$ tel que l'on ait $P_{p,i}(X)=R_p(X)^{-1}$
quel que soit $p\geq A$ et $1\leq i\leq d$.
\end{lemm}

\demo
Soient
$$\frac{1}{\prod_{p}P_{p,i}(p^{-s})}=\sum_{n=1}^{+\infty}
a_{i,n}n^{-s}
\quad{\rm et}\quad
\prod_p R_p(p^{-s})=\sum_{n=1}^{+\infty}b_n n^{-s}.$$
La démonstration se fait par récurrence sur $d$.
Si $\sum_{i=1}^d\!\frac{\lambda_i}{\prod_{p}P_{p,i}(p^{-s})}\!=\!0$, on peut
faire passer un des termes de l'autre coté et utiliser l'hypothèse
de récurrence. Sinon, il existe $n$ tel que $b_n\neq 0$.

Si on fixe $p$ premier ne divisant pas $n$ et tel que $R_p(0)=1$,
on a alors
$$\sum_{i=1}^d\lambda_ia_{i,n}n^{-s}\frac{1}{P_{p,i}(p^{-s})}=
\sum_{i=1}^d\lambda_i \sum_{k=0}^{+\infty}a_{i,np^k}(np^k)^{-s}=
b_nn^{-s}R_p(p^{-s}).$$
En particulier, $R_p$ est une fraction rationnelle.

Choisissons alors $\ell$ assez grand pour que $R_\ell(0)=1$
et qu'il existe
$j'\neq j$ tels que $P_{\ell,j}$ et $P_{\ell,j'}$ soient premiers
entre eux.
Soit $P_{\ell,j}=\prod_kQ_k^{n_k}$ la décomposition de $P_{\ell,j}$
en facteurs premiers dans $\C[X]$.
Soit~$\alpha_i$ (\resp $\beta$)
le coefficient de $Q_1^{-n_1}$ dans la décomposition
en éléments simples de $\frac{1}{P_{\ell,i}(X)}$ (\resp $R_\ell(X)$).
Comme $P_{\ell,j'}$ est premier à $P_{\ell,j}$, on a $\alpha_{j'}=0$
et on obtient
$$\sum_{i\neq j'}\frac{\lambda_i\alpha_i}{\prod_{p\neq\ell}P_{p,i}(p^{-s})}
=\beta\prod_{p\neq\ell} R_p(p^{-s}),$$
ce qui permet d'utiliser l'hypothèse de récurrence pour conclure.

\begin{theo}
Soit $f\in M_{2k}$.
Si $L(f,s)$ admet une factorisation du type
$L(f,s)=\prod_{p\ {\rm premier}}L_p(f,s)$, où $L_p(f,s)=
1+c_{p,1}p^{-s}+c_{p,2}p^{-2s}+\cdots$ est une série de Dirichlet
ne faisant intervenir que des puissances de $p$, alors
$f$ est vecteur propre pour tous les $T_n$, $n\geq 1$,
et est normalisée.
\end{theo}

\demo C'est une conséquence du lemme précédent, en écrivant
$f$ sous la forme $\sum_i\lambda_if_i$, où les $f_i$
sont des vecteurs propres normalisés de tous les $T_n$.

\Subsection{Torsion par un caractère de Dirichlet}

\begin{defi}\label{3.1}
Si $f$ est une forme modulaire de poids $2k$ pour
${\rm SL}_2(\Z)$ et~$\chi$ est un caractère de Dirichlet de conducteur
$m$, on appelle tordue de $f$ par le caractère $\chi$ la fonction $f_\chi$
donnée par la formule
$f_{\chi}(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}\chi(n)c_nq^n$.
\end{defi}

\begin{lemm}\label {3.2}
$G(\chi)f_{\chi^{-1}}(z)=\sum\limits_{a\bmod m}\chi(a)
f(z+{a\over m})$.
\end{lemm}

\demo Un calcul immédiat nous donne
$$\sum_{a\bmod m}\chi(a)
f(z+{a\over m})=\sum_{n=1}^{+\infty}G(\chi,n)q^n,$$
ce qui, utilisant le lemme~\ref{6.1},
permet de conclure.

\begin{prop}\label{3.3}

$G(\chi)f_{\chi^{-1}}({{-1}/ {m^2z}})\!=\!(mz)^{2k}\chi(-1)G(\chi^{-1})
f_{\chi}(z).$
\end{prop}

\demo Soit $a$ premier à $m$. On part de la formule
$$f\Bigl({{-1}\over{m^2z}}+{a\over m}\Bigr)=f\Bigl({{maz-1}\over{m^2z}}\Bigr)=(mz)^{2k}
\Bigl(f|_{2k}\begin{pmatrix}ma & -1\\ m^2 & 0\end{pmatrix}\Bigr)(z).$$
D'autre part, on a
$$\begin{pmatrix}ma & -1\\ m^2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & -{{ay+1}\over m}\\ m & -y\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}m & y\\ 0 & m\end{pmatrix}$$
et si on a choisit $y\in\Z$ tel que $ay+1\equiv0$ mod $m$ (ce qui est possible
car $(a,m)=1$), la matrice $\begin{smallpmatrix}a & -{{ay+1}\over m}\\ m & -y\end{smallpmatrix}$
appartient à ${\rm SL}_2(\Z)$ et donc
$$\Bigl(f|_{2k}\begin{pmatrix}ma & -1\\ m^2 & 0\end{pmatrix}\Bigr)(z)
=\Bigl(f|_{2k}\begin{pmatrix}m & y\\ 0 & m\end{pmatrix}\Bigr)(z)=f(z+{y/ m}).$$
On obtient donc, en remarquant que $\chi(a)\neq 0$ implique $a$ premier
à $m$ et que $\chi(a)=\chi^{-1}(-y)$ si $ay+1\equiv 1$ mod. $m$,
\begin{align*}
G(\chi)f_{\chi^{-1}}({{-1}\over {m^2z}})&=
\sum_{a\bmod m}\chi(a) f\Bigl({{-1}\over{m^2z}}+{a\over m}\Bigr)\\
&= (mz)^{2k}\sum_{y\bmod m}\chi^{-1}(-y)f(z+{y/ m})\\
&= (mz)^{2k}\chi(-1)G(\chi^{-1})
f_{\chi}(z),
\end{align*}
ce qu'il fallait démontrer.

\begin{exo}
Montrer que $f_\chi\in S_{2k}(m^2,\chi^2)$
\end{exo}
Si $\chi$ est un caractère de Dirichlet de conducteur $m$, on pose
$$L(f,\chi,s)=\sum_{n=1}^{+\infty}{{\chi(n)c_n}\over{n^s}}
\quad{\rm et}\quad\Lambda(f,\chi,s)=m^s{{\Gamma(s)}\over{(2\pi)^s}}L(f,\chi,s).$$
Si $f$ est une forme propre pour les opérateurs de Hecke et normalisée,
alors $$L(f,\chi,s)=\prod_p{1\over{1-c_p(\chi(p)p^{-s})+p^{2k-1}
(\chi(p)p^{-s})^2}}.$$

\begin{prop}\label{3.5}
$\Lambda(f,\chi,s)$ et donc
$L(f,\chi,s)$ a un prolongement analytique à $\C$ tout entier et vérifie
l'équation fonctionnelle
$${{\Lambda(f,\chi,s)}\over{G(\chi)}}=(-1)^k\chi(-1)
{{\Lambda(f,\chi^{-1},2k-s)}\over{G(\chi^{-1})}}.$$
\end{prop}

\demo On a
$\Lambda(f,\chi,s)=\int_0^{+\infty}f_\chi(i{t\over m})t^s{{dt}\over t}$
et le prolongement analytique s'obtient en utilisant la décroissance
rapide de $f$ au voisinage de $0$ et de~$i\infty$. D'autre part,
$$\int_0^{+\infty}f_\chi(i{t\over m})t^s{{dt}\over t}=
\int_0^{+\infty}\chi(-1){{G(\chi)}\over{G(\chi^{-1})}}{1\over{(it)^{2k}}}
f_{\chi^{-1}}({{-1}\over{itm}})t^s{{dt}\over t}$$
et l'équation fonctionnelle s'obtient en changeant $t$ en $1/t$
dans l'intégrale.
\section{Formes de niveau supérieur}

Ce \S\ est un résumé, sans démonstration, de la théorie
en niveau $N\geq 1$. Les énoncés sont assez similaires
à ceux que l'on rencontre en niveau~$1$.
On ne s'intéresse qu'au cas du caractère trivial, mais les énoncés
pour $S_k(\Gamma_0(N),\chi)$, $\chi:(\Z/N\Z)^\dual\to\C^\dual$
sont juste plus visuellement compliqués.
\Subsection{Opérateurs de Hecke et d'Atkin-Lehner}
Si $(n,N)=1$, on définit l'opérateur $T_n$ sur $S_k(\Gamma_0(N))$
par la formule
$$f_{|_k}T_n(z)=n^{k-1}\sum_{\substack{{a\geq 1,\ ad=n}\\{b\bmod d}}}
d^{-k}f\Bigl(\frac{az+b}{d}\Bigr).$$
Si $p$ est un nombre premier divisant $N$,
on définit un opérateur $U_p:S_k(\Gamma_0(N))\to S_k(\Gamma_0(N))$
par la formule
$$f_{|_k}U_p(z)=\frac{1}{p}\sum_{{{b\bmod p}}}
f\Bigl(\frac{az+b}{p}\Bigr)$$
et une involution $w_N:S_k(\Gamma_0(N))\to S_k(\Gamma_0(N))$
par
$$f_{|_k}w_N(z)=N^{-\sfrac{k}{2}}z^{-k}f\Big(\frac{-1}{Nz}\Big).$$

\begin{lemm}
Si $dM|N$ et si $f\in S_k(\Gamma_0(M))$, alors $f_d\in S_k(\Gamma_0(N))$,
où $f_d:{\cal H}\to \C$ est la fonction définie par
$f_d(z)=f(dz)$.
\end{lemm}

\demo Calcul immédiat.

On dit que $f$ est {\it nouvelle de niveau $N$} si
$f\in S_k(\Gamma_0(N))$ est orthogonale, pour le produit scalaire
de Petersson, à toute forme du type $g_d$, où $g\in S_k(\Gamma_0(M))$
et $dM|N$, $M\neq N$. On note $S_k^{\rm new}(\Gamma_0(N))$ 
le sous-espace des formes
nouvelles de niveau $N$.
On dit que $f\in S_k(\Gamma_0(N))$ est {\it primitive} si

--- $f$ est nouvelle de niveau $N$,

--- $f$ est vecteur propre de tous les $T_n$, $(n,N)=1$,

--- $f$ est normalisée (\ie $c_1(f)=1$).

\pagebreak[2]
\skpt
\begin{theo}
{\def\theenumi{\roman{enumi}}
\begin{enumerate}
\item
La sous-algèbre de ${\rm End}(S_k(\Gamma_0(N)))$ engendrée
par les $T_n$, $(n,N)=1$, les $U_p$, $p$ premier divisant $N$,
et $w_N$ est commutative.

\item
Les $T_n$, $(n,N)=1$ agissent de manière hermitienne sur
$S_k(\Gamma_0(N))$.

\item
$S_k^{\rm new}(\Gamma_0(N))$ admet une base formée
de formes primitives.
De~plus, si
$f=\sum_{m=1}^{+\infty}c_m(f)q^m$ est un élément de cette base,
alors $f$ est aussi vecteur propre des $U_p$, pour $p|N$, et de $w_N$,
et on a
\begin{enumerate}
\item
$f_{|_k}T_n=c_n(f)f$ et $c_m(f)c_n(f)=c_{nm}(f)$ si $(n,m)=1$;

\item
$c_{p^{r+1}}(f)-c_p(f)c_{p^r}(f)+p^{k-1}c_{p^{r-1}}(f)=0$
si $p$ est un nombre premier ne divisant pas $N$ et $r\geq 1$;

\item
$f_{|_k}U_p=c_p(f)f$ et $c_{p^r}(f)=(c_p(f))^r$
si $p$ est un nombre premier divisant $N$;

\item
$f_{|k}w_N=\epsilon_f f$, avec $\epsilon_f\in\{\pm 1\}$.
\end{enumerate}

\item
Si $f\in S_k(\Gamma_0(N))$ et $g\in S_k(\Gamma_0(M))$ sont primitives
et si
$c_p(f)=c_p(g)$ en dehors d'un nombre fini de nombres premiers,
alors $N=M$ et $f=g$.

\item
Si $M\in\N$, soit $f_{M,i}$, $i\in I_M$ une base de
$S_k^{\rm new}(\Gamma_0(M))$ formée de formes primitives.
Alors
on obtient une base de $S_k(\Gamma_0(N))$ formée
de vecteurs propres pour tous les $T_n$, $(n,N)=1$,
en prenant les fonctions
de la forme $f_{M,i}(dz)$, où $M$ parcourt les diviseurs de $N$
et $d$ les entiers $\geq 1$ tels que $dM|N$.
\end{enumerate}}
\end{theo}

\Subsection{Fonctions \texorpdfstring{$L$}{L}}

\begin{theo}
Soit $f=\sum_{m=1}^{+\infty}c_m(f)q^m$
une forme primitive de niveau $N$ et $\epsilon_f\in\{\pm 1\}$
tel que $f_{|_k}w_N=\epsilon_f f$. Soient
$$L(f,s)=\sum_{m=1}^{+\infty}c_m(f)m^{-s}
\quad{\rm et}\quad
\Lambda(f,s)=\Gamma(s)\Big(\frac{\sqrt{N}}{2\pi}\Big)^sL(f,s).$$

{\rm (i)} $L(f,s)$ admet une factorisation en produit de facteurs d'Euler
$$L(f,s)=\prod_{p|N}\frac{1}{1-c_p(f)p^{-s}}\prod_{(p,N)=1}
\frac{1}{1-c_p(f)p^{-s}+p^{k-1-2s}}.$$

{\rm (ii)} La fonction $\Lambda(f,s)$ admet un prolongement analytique
à tout le plan complexe, tend vers $0$ à l'infini dans
toute bande verticale $a<{\rm Re}(s)<b$ et vérifie l'équation
fonctionnelle
$$\Lambda(f,s)=i^{-k}\epsilon_f\Lambda(f,k-s).$$
\end{theo}

Plus généralement, si $(D,N)=1$, et si $\chi$ est un caractère
de Dirichlet de conducteur $D$, alors
\begin{align}
\tag*{(i)}
&f_\chi=\sum_{m=1}^{+\infty}\chi(m)c_m(f)q^m\in S_k(\Gamma_0(ND^2),\chi^2);\\
\tag*{(ii)}
&\chi(-N)G(\chi)f_{\chi^{-1}}(\frac{-1}{ND^2z})=
(D\sqrt N z)^k\epsilon_f G(\chi^{-1})f_\chi(z),\\
\tag*{(iii)}
&L(f_\chi,s)=\prod_{p|N}\frac{1}{1-\chi(p)c_p(f)p^{-s}}\\ &\hspace*{2cm}\times\prod_{(p,N)=1}\hspace*{-1mm}
\frac{1}{1-\chi(p)c_p(f)p^{-s}+\chi(p)^2p^{k-1-2s}}\notag\\
\tag*{(iv)}
&\Lambda(f_\chi,s)=\Gamma(s)\Big(\frac{D\sqrt{N}}{2\pi}\Big)^sL(f_\chi,s)
\end{align}
vérifie l'équation fonctionnelle
$$\chi(-N)\frac{\Lambda(f_\chi,s)}{G(\chi)}
=i^{-k}\epsilon_f \frac{\Lambda(f_{\chi^{-1}},s)}{G(\chi^{-1})}.$$

Réciproquement, si $(c_m)_{m\geq 1}$ est une suite de nombres complexes
telle que la série $\sum_{m=1}^{+\infty}|c_m|m^{-s}$ converge absolument
dans un demi-plan ${\rm Re}(s)>A$, et vérifie les propriétés
ci-dessus, pour tout caractère de Dirichlet de niveau $D$ premier
à $N$, alors $\sum_{m=1}^{+\infty}a_mq^m$ est une forme primitive
de niveau $N$.

\section{Fonctions zêta de Hasse-Weil}

Soit $\Lambda$ une algèbre de type fini sur $\Z$;
il existe donc $d\in\N$ et un idéal $I$ de $\Z[X_1,\dots,X_d]$
tels que l'on ait $\Lambda\cong\Z[X_1,\dots,X_d]/I$.

\begin{prop}
Si ${\goth m}$ est un idéal maximal de $\Lambda$, alors
$\Lambda/{\goth m}$ est un corps fini.
\end{prop}

La proposition précédente permet de considérer les séries de Dirichlet
\begin{align*}
\zeta_\Lambda(s)&=\prod_{{\goth m}}(1-|\Lambda/{\goth m}|^{-s})^{-1}\\
\tag*{et}
\zeta_{\Lambda,p}(s)&=\prod_{{\goth m}\ni p}(1-|\Lambda/{\goth m}|^{-s})^{-1},
{\quad\text{si $p$ est un nombre premier.}}
\end{align*}
Ces séries sont des produits de séries de Dirichlet à coefficients positifs
et la fonction $\zeta_{\Lambda}(s)$ se factorise en produit
de facteurs d'Euler sous la forme
$$\zeta_{\Lambda}(s)=\prod_p\zeta_{\Lambda,p}(s).$$

\Subsection{Nombre de points des variétés sur les corps finis}
L'anneau $\Z[X_1,\dots,X_d]$ étant noethérien, l'idéal $I$ possède
un système fini de générateurs. Si $f_1,\dots,f_n$ est un tel
système, on peut s'intéresser aux solutions du système
$f_1(x)=\cdots=f_n(x)=0$ dans différents corps.
Comme nous le verrons plus loin, la fonction $\zeta_\Lambda(s)$
est fabriquée à partir du nombre de solutions de ce
système dans les différents corps finis.
Considérons en particulier les variétés algébriques
$V_\infty$ et $V_p$, pour $p$ premier, définie par
\begin{align*}
&V_\infty=\{x=(x_1,\dots,x_d)\in\C^d,\
f_1(x)=\cdots=f_n(x)=0\},\\
&V_p=\{x=(x_1,\dots,x_d)\in\overline{{\bf F}_p}^d,\
f_1(x)=\cdots=f_n(x)=0\}.
\end{align*}
Si $r\geq 1$,
soit
$$N_{p,r}=|V_p({\bf F}_{p^r})|=|\{(x_1,\dots,x_d)\in V_p,
\ x_i\in{\bf F}_{p^r}\ {\text{si $1\leq i\leq d$}}\}|.$$
On définit la fonction zêta de $V_p$ par la formule
$$Z_{V_p}(T)=\exp\Big(\sum_{r=1}^{+\infty}\frac{N_{p,r}}{r}T^r\Big).$$

\skpt
\begin{theo}\label{hasse2}
{\rm (i)} $Z_{V_p}(T)\in\Q(T)$

{\rm (ii)}
Si $I\cap \Z=0$, il existe $M\geq 0$, tel que, si $p\geq M$, alors
on peut écrire $Z_{V_p}(T)$ sous la forme
$\prod_{i=0}^{2d}\frac{P_{i,p}(T)}{Q_{i,p}(T)}$, où, si $0\leq i\leq 2d$,
$P_{i,p}$ et $Q_{i,p}$ sont des polynômes à coefficients entiers
dont le terme constant est égal à $1$, et dont tous les zéros
sont de valeur absolue~$p^{\sfrac{-i}{2}}$.
De~plus, $\deg P_{i,p}-\deg Q_{i,p}$ ne dépend que de la géométrie
de~$V_\infty$;
en~particulier, $\deg P_{i,p}-\deg Q_{i,p}$ ne dépend pas de $p\geq M$.
\end{theo}
\comm
Le théorème ci-dessus est une version imprécise des conjectures
de Weil (1949) sur le nombre de points des variétés algébriques sur les corps
\hbox{finis}. Le (i) a été démontré par Dwork (1962) par une méthode
très astucieuse et {\og élémentaire\fg}.
L'existence d'une décomposition naturelle de $Z_{V_p}(T)$
sous la forme $\prod_{i=0}^{2d}\frac{P_{i,p}(T)}{Q_{i,p}(T)}$ telle que
$\deg P_{i,p}-\deg Q_{i,p}$ ne dépende que de la géométrie
de $V_\infty$ a été démontrée par Grothendieck (1964) comme aboutissement
d'un énorme programme qui a totalement révolutionné les mathématiques.
Finalement, le fait que les zéros de
$P_{i,p}$ et $Q_{i,p}$ sont de valeur absolue $p^{\sfrac{-i}{2}}$,
{\og hypothèse de Riemann sur les corps finis\fg},
a été démontré par Deligne (1973).

\Subsection{La conjecture de Hasse-Weil}
Pour faire le lien entre $Z_{V_p}(T)$ et le facteur d'Euler $\zeta_{\Lambda,p}$
de $\zeta_\Lambda$ en~$p$, nous aurons besoin du résultat suivant
qui est une des formes du {\og théorème des zéros de Hilbert\fg}.
Si ${\goth m}$ est un idéal maximal de $\Lambda$ tel que
la caractéristique du corps $\Lambda/{\goth m}$ est $p$, soit
$$V_{\goth m}=\{x\in V_p,\
f(x)=0{\text{ quel que soit $f\in {\goth m}$}}\}.$$

\begin{prop}
Si $p$ est un nombre premier, l'application
\hbox{${\goth m}\!\mto\! V_{\goth m}$} induit
une bijection de l'ensemble des idéaux maximaux de $\Lambda$
contenant $p$
sur l'ensemble des orbites de $V_p$
sous l'action de $G_p=\allowbreak{\rm Gal}(\overline{\bf F}_p/{\bf F}_p)$.
De plus, si ${\goth m}$ est un idéal maximal de $\Lambda$ \hbox{contenant~$p$}, alors le cardinal de $V_{\goth m}$ est égal au degré
du corps résiduel $\Lambda/{\goth m}$~sur~${\bf F}_p$.
\end{prop}

\begin{prop}\label{hasse1}
On a $$\zeta_{\Lambda,p}(s)=Z_{V_p}(p^{-s}).$$
\end{prop}

\Demo
Si $x=(x_1,\dots,x_d)\in V_p$, soit $d(x)=[{\bf F}_p[x_1,\dots,x_d]:{\bf F}_p]$;
c'est le degré du {\it corps de définition} de $x$.

Si $r\in\N$,
soit $N'_{p,r}=|\{x\in V_p,\ d(x)=r\}|$.
Comme les sous-corps de ${\bf F}_{p^e}$ sont les ${\bf F}_{p^r}$, avec
$r|e$, on a
$$N_{p,e}=\sum_{r|e}N'_{p,e}.$$
Maintenant, comme les idéaux maximaux de $\Lambda$ contenant $p$ sont
en bijection avec les idéaux maximaux de $\Lambda_p$, et donc aussi
avec les orbites de $V_p$ sous l'action de $G_p$,
et comme l'orbite d'un point $x\in V_p$ contient $d(x)$ éléments, on a
\begin{align*}
\zeta_{\Lambda,p}(s)&=\prod_{x\in V_p/G_p}(1-(p^{d(x)})^{-s})^{-1}\\
&=\prod_{x\in V_p}(1-p^{-d(x)s})^{\sfrac{-1}{d(x)}}
= \prod_{r=1}^{+\infty}(1-p^{-rs})^{\sfrac{-N'_{p,r}}{r}}\\
&=\exp\Big(\sum_{r=1}^{+\infty}\frac{N'_{p,r}}{r}
\sum_{d=1}^{+\infty}\frac{p^{-drs}}{d}\Big)
= \exp\Big(\sum_{e=1}^{+\infty}\frac{p^{-es}}{e}
\Big(\sum_{r|e}N'_{p,r}\Big)\Big)
\end{align*}
ce qui permet de conclure.

\medskip
Comme le nombre de points de $V_p({\bf F}_{p^r})$ est $\leq p^{dr}$, cela
permet de démontrer que le produit définissant $\zeta_\Lambda(s)$
converge absolument pour ${\rm Re}(s)>d+1$ et donc définit une
fonction holomorphe sur le demi-plan ${\rm Re}(s)>d+1$.
\skpt
\begin{conj}\label{hasse}
{\rm (i)} $\zeta_\Lambda(s)$ admet un prolongement méromorphe à tout le plan
complexe, dont les zéros et les pôles se situent aux entiers $\leq d+1$ et
sur les droites ${\rm Re}(s)=\sfrac{i}{2}$, $0\leq i\leq 2d+1$.

{\rm (ii)} Plus précisément, si on fixe $i$, on peut compléter
$\prod_{p\geq M}\frac{P_{i,p}(p^{-s})}{Q_{i,p}(p^{-s})}$ en une fonction
$L_{\Lambda,i}(s)$ en la multipliant
par un produit de facteurs d'Euler pour $p<M$ et par un produit de facteurs
Gamma {\rm[}\ie un produit de facteurs du type
$\pi^{-\snpfrac{s+k}{2}}\Gamma(\frac{s+k}{2})${\rm]}
ne dépendant que de la géométrie de $V_\infty$, de telle sorte que

\qquad{\rm a)} $L_{\Lambda,i}(s)$ ait un prolongement méromorphe à tout le plan complexe
et une équation fonctionnelle du type
\[
L_{\Lambda,i}(s)=\pm N_i^{-s}
L_{\Lambda,i}(i+1-s),
\]
où $N_i$ est un entier dont tous les diviseurs
premiers sont $\leq M$,

\qquad{\rm b)} les zéros et les pôles de $L_{\Lambda,i}(s)$
sont tous sur la droite ${\rm Re}(s)=\frac{i+1}{2}$
{\rm(}et en $\frac{i}{2}$, $\frac{i}{2}+1$ si $i$ est pair{\rm)}.
\end{conj}

\comm
Cette conjecture est presque un théorème si \hbox{$I{\cap}\Z\!\neq\!\{0\}$}
d'après le théorème~\ref{hasse2} et la proposition~\ref{hasse1}.
Par contre, dans le cas où \hbox{$I\cap \Z=\{0\}$}, la conjecture (ii) a)
n'a été démontrée que dans des cas très particuliers, le
plus célèbre étant celui correspondant à la conjecture
de Taniyama-Weil. Quant au (ii) b), {\og hypothèse de Riemann
généralisée\fg}, il n'a été démontré dans aucun cas!

\Subsection{Exemples}
Si $\Lambda=\Z$, on retombe sur la fonction zêta de Riemann $\zeta(s)$.
Plus généralement, si $F$ est un corps de nombres et $\Lambda$ est
l'anneau des entiers de~$F$, alors $\zeta_\Lambda(s)$ est la fonction zêta
de Dedekind de $F$.

\smallskip
Si $\Lambda=\Z[X_1,\dots,X_d]$, on a $I=0$ et $V_p=\overline{{\bf F}_p}^d$,
et donc $V_p({\bf F}_{p^r})={\bf F}_{p^r}^d$ et $N_{p,r}=p^{dr}$.
Ceci nous donne
$$Z_{V_p}(T)=\exp\Big(\sum_{r=1}^{+\infty}\frac{p^{dr}}{r}T^r\Big)=(1-p^dT)^{-1},$$
et donc $\zeta_\Lambda(s)=\zeta(s-d)$.

\smallskip
Si $\Lambda=\Z[X]/(2X-1)=\Z[\frac{1}{2}]$, les idéaux maximaux de
$\Lambda$ sont ceux de $\Z$ moins l'idéal $(2)$ puisqu'on a
rendu $2$ inversible. On obtient donc $\zeta_\Lambda(s)=(1-2^{-s})\zeta(s)$.

Si $\Lambda=\Z[X]/(2X)$, on a $V_p=\{0\}$ et $\zeta_{\Lambda,p}(s)=
(1-p^{-s})^{-1}$ si $p\neq 2$, et $V_2=\overline{{\bf F}_2}$ et
$\zeta_{\Lambda,2}(s)=
(1-2^{1-s})^{-1}$,
ce qui nous donne $\zeta_\Lambda(s)=\frac{1-2^{-s}}{1-2^{1-s}}\zeta(s)$.

Si $P(X)=X(X-N)$ et $\Lambda=\Z[X]/P$,
alors $V_p=\{0,N\}\subset{\bf F}_p$ a deux éléments
et $\zeta_{\Lambda,p}(s)=(1-p^{-s})^{-2}$ si $p$ ne divise pas $N$,
et un seul et $\zeta_{\Lambda,p}(s)=(1-p^{-s})^{-1}$, si $p$ divise $N$, on obtient
donc $\zeta_\Lambda(s)=\zeta(s)^2\prod_{p|N}(1-p^{-s})$.

\smallskip
Plus généralement, si $P\in\Z[X]$ est un polynôme non constant,
si $P=P_1^{k_1}\cdots P_r^{k_r}$ est sa décomposition en facteurs
irréductibles dans $\Q[X]$, si $F_i$ est le corps de nombres
$\Q[X]/P_i$ et si $\Lambda=\Z[X]/P$, alors $\zeta_\Lambda(s)$
ne diffère de $\prod_{i=1}^r\zeta_{F_i}(s)$ que par un nombre fini
de facteurs d'Euler.

\smallskip
Si $\Lambda$ est monogène sur $\Z$ (\ie est un quotient de $\Z[X]$), le
théorème~\ref{classes} permet donc de démontrer une bonne partie
de la conjecture~\ref{hasse}. C'est très loin d'être le cas
dans le cas non monogène. Par exemple, si $\Lambda=\Z[X,Y]/P$, la fonction
$\zeta_\Lambda(s)$ s'exprime en termes de fonctions zêta de Dedekind
si $\deg P\leq 2$, mais ce n'est plus le cas (en général), si
$\deg P\geq 3$. Si $\deg P\geq 4$, on ne sait traiter que des cas
particuliers très spéciaux et le cas $\deg P=3$ vient en grande
partie d'être résolu par Wiles et ses successeurs (Breuil, Conrad,
Diamond et Taylor) qui ont démontré la conjecture de Taniyama-Weil :
de manière (im)précise, on a le résultat suivant.

\begin{theo}\label{Wiles}
Si $\alpha,\beta,\gamma\in\Z$, si $P(X,Y)=Y^2-X^3-\alpha X^2-\beta X-\gamma$,
et si $\Lambda=\Z[X,Y]/P$, alors il existe un entier $N_P$
{\rm ({\og explicite\fg})} et une forme modulaire $f_P$ parabolique primitive
de poids $2$ pour $\Gamma_0(N_P)$ tels que
$\zeta_\Lambda(s)$ ne diffère de $L(f_P,s)^{-1}\zeta(s-1)$
que par un nombre fini de facteurs d'Euler.
\end{theo}

Ce théorème, couplé avec la {\og conjecture $\epsilon$\fg}
de Serre, démontrée par Ribet, a des retombées assez spectaculaires.
La {\og conjecture $\epsilon$\fg}
décrit les congruences que l'on peut avoir entre
les coefficients de Fourier de deux formes paraboliques primitives
pour des poids et des niveaux différents (les coefficients de Fourier
d'une forme parabolique primitive sont des entiers d'une extension
finie de $\Q$).
Si $p\geq 5$ est un nombre premier, si
$a,b,c$ sont des entiers non nuls~tels que \hbox{$a^p\!+\!b^p\!=\!c^p$},
si $P(X,Y)=Y^2-X(X-a^p)(X+b^p)$, et si
$f_P=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nq^n$, alors la {\og conjecture $\epsilon$\fg}
garantit l'existence d'une
forme modulaire parabolique $g=\sum_{n=1}^{+\infty}b_nq^n$,
de poids $2$ pour $\Gamma_0(2)$ ou $\Gamma_0(1)$,
telle que, si $F$ est le corps de nombres
obtenu en adjoignant les $b_n$ à $\Q$, alors ${\rm N}_{F/\Q}(a_n-b_n)$
est divisible par $p$ quel que soit $n\geq 1$ (plus précisément,
il existe un idéal premier ${\goth p}$ de $\O_F$ divisant $p$ tel que
$a_n$ soit congru à $b_n$ modulo~${\goth p}$ pour tout $n\geq 1$).
Comme $a_1=1$ et comme une forme parabolique de poids $2$ pour $\Gamma_0(2)$
ou $\Gamma_0(1)$
est identiquement nulle, cela conduit à une contradiction; on en
déduit
le théorème de Fermat.
\newpage

\chapter{Les nombres \texorpdfstring{$p$}{p}-adiques}
\section{Généralités sur les corps normés}
\Subsection{Normes et valuations}

\begin{defi}
Soit $K$ un corps. Une {\emph {norme}} sur $K$ est une
application \hbox{$x\mto |x|$}
de $K$ dans $\R_+$ vérifiant les $3$ propriétés
suivantes

{\rm (i)} $|x|=0\Leftrightarrow x=0$.

{\rm (ii)} $|xy|=|x|\cdot|y|$.

{\rm (iii)} $|x+y|\leq|x|+|y|$

Si $|\ |$ vérifie la condition {\rm (iii$'$)} $|x+y|\leq\sup(|x|,|y|)$
plus forte que la condition {\rm (iii)}, on dit que la norme est
{\emph {ultramétrique}}.
\end{defi}

\begin{defi}
Si $K$ est un corps, une {\emph {valuation}} $v$ sur $K$ est une application
$v:K\to \R_+\cup\{+\infty\}$ vérifiant les trois conditions
suivantes:

{\rm (i)} $v(x)=+\infty\Leftrightarrow x=0$.

{\rm (ii)} $v(xy)=v(x)+v(y)$.

{\rm (iii)} $v(x+y)\geq \inf(v(x),v(y))$.
\end{defi}

\skpt
\begin{rema}
(i) Si $K$ est un corps muni d'une norme ultramétrique $|\ |$ et si
$\lambda<0$, alors $v:K\to \R_+\cup\{+\infty\}$
défini par $v(x)=
\lambda\log|x|$ est une valuation sur $K$.

(ii) Réciproquement, si $v$ est une valuation sur $K$ et $0<a<1$, alors
$|x|=a^{v(x)}$ est une norme ultramétrique sur $K$.
\end{rema}

\begin{lemm}\label{ult1}
Si $|\ |$ est ultramétrique et $|x|\neq|y|$, alors
$|x+y|=\sup(|x|,|y|)$.
\end{lemm}

\demo Quitte à permuter $x$ et $y$, on peut supposer $|x|>|y|$. On a alors
$$|x+y|\leq|x|=|(x+y)-y|\leq\sup(|x+y|,|y|)$$ et comme
$|y|<|x|$, on en déduit l'égalité $\sup(|x+y|,|y|)=|x+y|$, ce qui permet de
conclure.

\begin{prop}
Si $K$ est un corps et $|\ |$ est une norme ultramétrique sur~$K$, alors $\O_K=\{x\in K\ |\ |x|=1\}$ est un anneau local d'idéal
maximal \hbox{${\goth m}=\{x\in K\ |\ |x|<1\}$}.
\end{prop}

\demo Le fait que $\O_K$ soit un anneau et ${\goth m}$ un idéal
est une conséquence immédiate de l'inégalité ultramétrique.
D'autre part, si~$x$ est un élément de $\O_K$ n'appartenant pas à ${\goth m}$,
alors $|x|=1$ et $x^{-1}$ est un élément de~$K$ de norme $1$ donc
appartient à $\O_K$, ce qui prouve que $\O_K-{\goth m}$ n'est autre que le groupe
des unités $\O_K^\dual$ de $\O_K$ et permet de conclure.

\begin{defi}
L'anneau $\O_K$ s'appelle l'{\it anneau des entiers} de $K$ et
le corps $\O_K/{\goth m}$ le {\it corps résiduel} de $K$.
\end{defi}

\Subsection{Topologie associée à une norme}

Si $K$ est un corps muni d'une norme $|\ |$, et $x,y$ sont deux éléments
de $K$, on pose $d(x,y)=|x-y|$. La propriété (iii) des normes
assure que $d$ est une distance sur $K$ et donc définit une topologie
sur $K$

\begin{rema} Si $|\ |$ est ultramétrique, alors

(i) Tout triangle est isocèle.

(ii) Tout point d'une boule en est {\og le\fg} centre.

(iii) Deux boules sont soit disjointes soit l'une est contenue dans l'autre
(comme des billes de mercure).

(iv) Les boules sont à la fois ouvertes et fermées.

(v) La topologie est totalement discontinue.
\end{rema}

\demo Le point (i) est une conséquence immédiate du lem\-me \ref{ult1}.
Si $x_1\in B(x_0,r)$ et $y\in B(x_1,r)$, alors
\[
d(x_0,y)\leq\sup(d(x_0,x_1),
d(x_1,y))\leq r
\]
et donc $B(x_1,r)\subset B(x_0,r)$. L'inclusion
dans l'autre sens s'obtient en échangeant les rôles de $x_0$ et $x_1$,
ce qui permet de démontrer le~(ii).
D'après le (ii), si deux boules ont une intersection non vide, tout
élément de l'intersection est le centre des deux boules ce qui
démontre le (iii).
Le (v) est une conséquence immédiate du (iv) et si~$B$ est une boule ouverte de rayon $r$, le complémentaire
de $B$ contient la boule de rayon ${r/ 2}$ autour de chacun de
ses points d'après le (iii), ce qui montre que ce complémentaire
est ouvert et donc que $B$ est fermée.
Si $B$ est une boule fermée, alors $B$ est un voisinage de chacun de ses
points puisque ceux-ci en sont {\og le\fg} centre.

\begin{defi}
Deux normes sur un corps $K$ sont dites
{\it équivalentes} si elle définissent la même topologie.
\end{defi}

\begin{prop}\label{ult20}
Deux normes $|\ |_1$ et $|\ |_2$ sont équivalentes si
et seulement si il existe $s\in\R_+^\dual$ tel que l'on ait
$|x|_1=|x|_2^s$ quel que soit $x\in K^\dual$.
\end{prop}

\demo Si $x$ est une norme sur un corps $K$, alors
$|x|<1$ si et seulement si la suite de terme général $x^n$ tend
vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. On en déduit le fait que si
$|\ |_1$ et $|\ |_2$ sont équivalentes, alors
$$\{x\in K\ |\ |x|_1<1\}=\{x\in K\ |\ |x|_2<1\}.$$ Si ce dernier ensemble
est réduit à $\{0\}$, on a $|x|_1=|x|_2=1$ quel que soit $x\in K^\dual$.
Sinon, soit $x\in K^\dual$ vérifiant $|x|_1<1$. Si $y\in K^\dual$, $a\in\Z$ et
$b\in\N$, alors
$$|y^bx^{-a}|_1<1\Longleftrightarrow|y^bx^{-a}|_2<1.$$
On en déduit le fait que
$$\Big\{r\in\Q\ |\ r<{{\log|y|_1}\over{\log|x|_1}}\Big\}=\Big\{r\in\Q\ |\ r<{{\log|y|_2}\over{\log|x|_2}}\Big\}$$ et
donc que les réels
${{\log|y|_1}/{\log|x|_1}}$ et ${{\log|y|_2}/{\log|x|_2}}$
définissent la même coupure de Dedekind et sont donc égaux,
ce qui montre que la fonction \hbox{$y\mto{{\log|y|_1}/{\log|y|_2}}$}
est constante sur $K^\dual$ et permet de conclure.

\Subsection{Complétion}

Si $K$ est un corps normé, on note $\widetilde K$ l'ensemble
des suites de Cauchy à valeurs dans $K$, c'est-à-dire l'ensemble des
suites $(a_n)_{n\in\N}$ telles que
$$\forall\, \epsilon>0,\ \ \exists\, N\in\N,\ \ \forall\, n\geq N\ {\rm et}\
k\in\N,\quad |a_n-a_{n+k}|<\epsilon.$$
Soit $I\subset\widetilde K$ l'ensemble des suites tendant vers $0$.

\skpt
\begin{lemm}\label{ult4}
{\rm (i)} Si $(a_n)_{n\in\N}\in\widetilde K$, alors la suite
$(|a_n|)_{n\in\N}$ converge dans $\R_+$.

{\rm (ii)} Si on suppose de plus que $|\ |$ est ultramétrique et que
$a\notin I$, alors la suite $(|a_n|)_{n\in\N}$ est
constante à partir d'un certain rang.

{\rm (iii)} Si $a=(a_n)_{n\in\N}$ et $b=(b_n)_{n\in\N}$ sont deux éléments
de $\widetilde K$ différant par un élément de $I$, alors
$\lim\limits_{n\to +\infty}|a_n|=
\lim\limits_{n\to +\infty}|b_n|$.
\end{lemm}

\Demo (i) L'inégalité triangulaire implique
$||a_{n+k}|-|a_n||\leq|a_{n+k}-a_n|$ quels que soient $n$ et $k$ et
la suite de terme général $|a_n|$ est de Cauchy, ce qui
permet de conclure.

(ii) Si $a=(a_n)_{n\in\N}\in \widetilde K-I$,
il existe $\delta>0$ tel que l'on ait $|a_n|\geq \delta$ pour
une infinité de $n$ et la limite de la suite $|a_n|$ est donc supérieure
ou égale à~$\delta$. Il existe donc $N\in\N$ tel que si $n\geq N$,
alors $|a_n|>{2\over 3}\delta$ et $|a_{n+k}-a_n|<{\delta/2}$ quel
que soit $k\in\N$. Ceci implique $|a_{n+k}-a_n|<|a_n|$ et donc,
comme $|\ |$ est supposée ultramétrique,
$|a_{n+k}|=|a_n|$ quel que soit $k\in\N$; d'où le résultat.

(iii) On a $||a_n|-|b_n||\leq |a_n-b_n|$ et l'hypothèse implique que cette
dernière suite tend vers~$0$ d'où le résultat.

\begin{lemm}
$\widetilde K$ est un anneau et $I$ est un idéal maximal de
$\widetilde K$.
\end{lemm}

\demo Le fait que $\widetilde K$ est un anneau et
$I$ un idéal est immédiat. L'élément unité de $\widetilde K$ est
la suite constante $1$ dont tous les termes sont égaux à $1$.
Si $a=(a_n)_{n\in\N}\in\widetilde K-I$, d'après
ce qui précède, il existe $\delta>0$ et $N\in\N$ tels que l'on ait
$|a_n|\geq \delta$ si $n\geq N$. La suite $b=(b_n)_{n\in\N}$ définie par
$b_n=0$ si $n<N$ et $b_n=a_n^{-1}$ si $n\geq N$ est de Cauchy
et $ab-1$ est élément de $I$, ce qui montre que $a$ est inversible
dans $\widetilde K/I$ et permet de conclure au fait que $I$ est maximal.

\medskip
Il résulte du lemme précédent que $\widehat K=\widetilde K/I$ est
un corps et du lemme~\ref{ult4}, que $|\ |$ s'étend à $\widehat K$.

\begin{prop}
$|\ |$ est une norme sur $\widehat K$ et $\widehat K$ est
complet pour cette norme et contient $K$ comme sous-corps dense.
\end{prop}

\demo La multiplicativité de la norme et l'inégalité
triangulaire (\resp ultramétrique) passent à la limite.
D'autre part, $|a|=0\Leftrightarrow \lim_{n\to +\infty}|a_n|=0
\Leftrightarrow a\in I$ et donc $|\ |$ est une norme sur $\widehat K$
qui est ultramétrique si $|\ |$ est ultramétrique sur $K$.
Il est clair que,
si $a=(a_n)_{n\in\N}\in\widetilde K$,
alors $a=\lim_{n\to +\infty} a_n$
dans $\widehat K$ et donc que $K$ est dense dans $\widetilde K$.
Finalement, si $(a_n)_{n\in\N}$ est une suite de Cauchy dans~$\widehat K$,
comme $K$ est dense dans $\widehat K$, on peut trouver pour chaque $n$
un élément $b_n$ de $K$ tel que l'on ait $|a_n-b_n|\leq 2^{-n}$ et
la suite $b_n$ est de Cauchy dans $K$ donc converge dans $\widehat K$ vers
une limite qui est aussi celle de la suite $(a_n)_{n\in\N}$; ce qui
prouve que $\widehat K$ est complet.


\skpt
\begin{rema} (i) Si $K$ est ultramétrique, il résulte du (ii) du lemme~\ref{ult4}
que $|\widehat K^\dual|=|K^\dual|$ et donc que $|\widehat K^\dual|$ est un sous-groupe de
$\R_+^\dual$ qui n'a aucune raison d'être complet.

(ii) L'inégalité ultramétrique montre qu'une suite $(u_n)_{n\in\N}$
est de
Cauchy si et seulement si $|u_{n+1}-u_n|$ tend vers $0$. Ceci implique que, si
$K$ est un corps ultramétrique complet, une suite $(u_n)_{n\in\N}$
converge dans $K$ si et
seulement si $u_{n+1}-u_n$ tend vers $0$. De même, une série
converge si et seulement si son terme général tend vers $0$.
\end{rema}

\begin{defi}
Le corps $\widehat K$ {\rm(}muni de la norme $|\ |${\rm)} s'appelle le
{\it complété} de~$K$ pour la norme $|\ |$.
\end{defi}

\Subsection{Le lemme de Hensel}
Soit $K$ un corps complet pour une norme ultramétrique. La proposition
suivante (lemme de Hensel) est très utile pour localiser les
zéros des polynômes à coefficients dans $K$.

\begin{prop}\label{newton1}
Si $f\in \O_K[X]$ et $\alpha\in \O_K$ vérifie $|f(\alpha)|<|f'(\alpha)|^2$,
alors il existe $\tilde\alpha\in \O_K$ unique vérifiant les conditions
$|\tilde\alpha-\alpha|<|\sfrac{f(\alpha)}{f'(\alpha)}|$ et $f(\tilde\alpha)=0$.
\end{prop}


\demo Soit $\varphi:K\to K$ la fonction définie par
$\varphi(x)=x-\sfrac{f(x)}{f'(\alpha)}$ et soit $\delta=|\sfrac{f(\alpha)}{f'(\alpha)}|$.
Nous allons montrer que $\varphi$ est une application contractante
de la boule fermée $B(\alpha,\delta)$ dans elle-même, ce qui
permet de conclure car, cette boule étant complète, l'unique point
fixe de $\varphi$ est le $\tilde\alpha$ que l'on cherche.
Commençons par remarquer que, si $g\in\O_K[X]$ et $x,y\in\O_K$,
alors $$\Big|g(y)-\sum_{i=0}^k\frac{g^{(i)}(x)}{i!}(y-x)^i\Big|\leq |y-x|^{k+1}$$
d'après la formule de Taylor pour les polynômes
car le polynôme $\sfrac{g^{(i)}(x)}{i!}$ est à coefficients dans $\O_K$
quel que soit $i\in\N$ et sa valeur absolue est donc $\leq 1$ en un point
de $\O_K$. En particulier, on a
$$|f(x)-f(\alpha)|\leq\sup( |f'(\alpha)|\cdot|x-\alpha|,|x-\alpha|^2)\leq
|f'(\alpha)|\cdot|x-\alpha|,$$
si $|x-\alpha|\leq\delta<|f'(\alpha)|$;
ceci permet de montrer que $\varphi$ laisse stable $B(\alpha,\delta)$.
De plus, on a
\begin{align*}
|f'&(\alpha)(\varphi(x)-\varphi(y))|\\
&=
|f(y)-f(x)-f'(x)(y-x)+(f'(x)-f'(\alpha))(y-x)| \\
&\leq\sup(|f(y)-f(x)-f'(x)(y-x)|,
|(f'(x)-f'(\alpha))(y-x)|)\\
&\leq  \sup(|y-x|^2,|x-\alpha|\cdot |y-x|)\leq \delta\cdot |y-x|,
\end{align*}
si $x,y\in B(\alpha,\delta)$; comme $\delta<|f'(\alpha)|$, cela permet
de conclure.

\begin{rema}
La démonstration ci-dessus est la version ultramétrique de
l'algorithme de Newton.
\end{rema}

\begin{coro}\label{newton3}
Soit $f\in \O_K[X]$ un polynôme unitaire et soit $\overline f$ la réduction
de $f$ modulo~${\goth m}$. Si $\overline \alpha$ est une racine simple
de $\overline f$ dans $k$, alors il existe $\tilde\alpha\in \O_K$ unique,
dont la réduction modulo~${\goth m}$ est $\overline \alpha$
et qui vérifie $f(\tilde\alpha)=0$
\end{coro}

\demo Soit $\alpha\in \O_K$ dont la réduction modulo~${\goth m}$
est $\overline \alpha$. L'hypothèse selon laquelle $\overline\alpha$
est racine simple de $\overline f$ se traduit par
$|f(\alpha)|<1$ et
$|f'(\alpha)|=1$, ce qui permet d'utiliser la proposition \ref{newton1}
pour conclure.

\section{Construction du corps \texorpdfstring{$\C_p$}{Cp}}
\Subsection{Normes sur~\texorpdfstring{$\Q$}{Q}}
Si $p$ est un nombre premier, on note $v_p:\Q^\dual\to \Z$ la valuation
$p$\nobreakdash-adi\-que : si $a$ est un entier, $v_p(a)$ est le plus grand
entier $n$ tel que $p^n$ divise $a$, et $v_p(b^{-1}a)=v_p(a)-v_p(b)$
si $a$ et $b$ sont des entiers. Il n'est pas difficile de vérifier
que $v_p$ est bien définie et est une valuation sur~$\Q$ (en posant
$v_p(0)=+\infty$). On définit la norme $p$-adique $|\ |_p$
sur~$\Q$ par la formule $|x|_p=p^{-v_p(x)}$.

\begin{theo}[Ostrowski] Une norme non triviale sur~$\Q$ est équivalente
à la norme usuelle $|\ |_\infty$ ou à la norme $p$-adique pour un nombre
premier $p$.
\end{theo}


\demo Commençons par supposer qu'il existe $k\in\N$
tel que $\Vert k\Vert>1$. Comme $\Vert 1\Vert=1$, l'inégalité
triangulaire implique $\Vert k\Vert\leq k$ et il existe
$\alpha\in{}]0,1]$ tel que l'on ait $\Vert k\Vert=k^\alpha$.
Soit $m\in\N$. On peut écrire $m$ en base $k$ sous la forme
$m=\sum_{i=0}^n a_ik^i$ avec $a_i\in\{0,1,\dots,k-1\}$ et
$a_n\neq 0$ de telle sorte que l'on a
$m\geq k^n$. Comme $\Vert a_i\Vert\leq a_i\leq k-1$ et $\Vert k^i\Vert=
\Vert k\Vert^i$, on obtient la majoration
$$\Vert m\Vert\leq(k-1)\sum_{i=1}^n k^{i\alpha}={{k-1}\over{k^\alpha-1}}
(k^{(n+1)\alpha}-1)\leq {{k^\alpha(k-1)}\over{k^\alpha-1}}k^{n\alpha}
\leq Cm^\alpha,$$
où $C={{k^\alpha(k-1)}/{(k^\alpha-1)}}$ est indépendant de $m$.
On peut appliquer cette inégalité à $m^n$, ce qui nous donne
$\Vert m\Vert^n\leq Cm^{n\alpha}$ et, prenant la racine $n$-ième
de cette égalité et passant à la limite, l'inégalité
$\Vert m\Vert\leq m^\alpha$. On a donc
$${{\log\Vert m\Vert}\over{\log m}}\leq
{{\log\Vert k\Vert}\over{\log k}}$$ quel que soit $m\in\N$. Par
symétrie, on en déduit le fait que si $\Vert m\Vert>1$, alors
cette inégalité est une égalité. 

Maintenant, si $m\in\N-\{0\}$ est quelconque,
il existe $n\in\N$ tel que l'on ait $\Vert k^nm\Vert>1$.
On a alors $\Vert m\Vert=\Vert k^n\Vert^{-1}\Vert k^nm\Vert=
k^{-\alpha n}(k^nm)^\alpha=m^\alpha$,
ce qui montre que l'on a égalité quel que soit $m\in\N$
puis, utilisant la multiplicativité de la norme et le
fait que $\Vert -1\Vert=1$, que $\Vert x\Vert=|x|_\infty^\alpha$ quel que
soit $x\in\Q$.  On en déduit que s'il existe $k\in\N$
tel que $\Vert k\Vert>1$, alors $\Vert\ \Vert$ est équivalente
à la norme usuelle.


Dans le cas contraire, on a $\Vert \ell\Vert\leq 1$ pour tout nombre
premier $\ell$. Comme on a supposé $\Vert\ \Vert$ non triviale, il
existe au moins un nombre premier
$p$ tel que $\Vert p\Vert<1$. Si il en existe un autre $q$, alors
quel que soit $n\in\N$, on
peut, d'après le théorème de Bézout, trouver $u_n,v_n\in\Z$
tels que l'on ait $u_np^n+v_nq^n=1$.
On obtient donc
$$1=\Vert 1\Vert=\Vert u_np^n+v_nq^n\Vert\leq
\Vert u_n\Vert\cdot\Vert p\Vert^n+\Vert v_n\Vert\cdot\Vert q\Vert^n\leq
\Vert p\Vert^n+\Vert q\Vert^n,$$
ce qui est impossible pour
$n$ assez grand. Il existe donc un et un seul nombre premier
$p$ tel que $\Vert p\Vert<1$ et $\Vert\ \Vert$ est équivalente
à la norme $p$-adique. Ceci termine la démonstration.

\medskip
Le résultat suivant est trivial (c'est une conséquence immédiate
de l'unicité de
la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers), mais très
important; c'est ce qui justifie la normalisation utilisée
pour $|\ |_p$

\begin{theo}[Formule du produit]
Si $x\in\Q^\dual$, alors $$|x|_\infty\cdot\prod_{p\ {\rm premier}}|x|_p=1.$$
\end{theo}

\Subsection{Le corps \texorpdfstring{$\Q_p$ et l'anneau $\Z_p$}{QZ}}
On note $\Q_p$ le complété de $\Q$ pour la norme $p$-adique et
$\Z_p$ l'anneau de ses entiers. Son idéal maximal est
$p\Z_p$ car $|\Q_p^\dual|_p=|\Q^\dual|_p=p^\Z$ et donc, si
$|x|_p<1$, alors $|x|_p\leq p^{-1}$.
Il ressort de la discussion générale que $\Q_p$ est un corps
ultramétrique complet et qu'une série converge dans $\Q_p$ si et seulement
si son terme général tend vers $0$.

\begin{lemm}
L'application naturelle de $\Z/p^n\Z$ dans $\Z_p/p^n\Z_p$
est un isomorphisme.
\end{lemm}

\demo Si $x$ est un élément de $\Z\cap p^n\Z_p$,
on a $|x|_p\leq p^{-n}$, ce qui signifie que $v_p(x)\geq n$ et donc que
$x$ est divisible par $p^n$ dans $\Z$. On en déduit
l'injectivité. Prouvons sa surjectivité.
Soit $\overline x\in\Z_p/p^n\Z_p$ et $x\in\Z_p$ ayant pour image $\overline x$
modulo~$p^n$. Comme $\Q$ est dense dans $\Q_p$, il existe $r\in\Q$
vérifiant $|x-r|_p\leq p^{-n}$; en particulier $|r|_p\leq 1$.
Écrivons $r$ sous la forme ${a/ b}$ avec $a,b\in\Z$.
Comme $|r|_p\leq 1$, on a
$v_p(b)\leq v_p(a)$ et quitte à tout diviser par $p^{v_p(b)}$, on
peut supposer $(b,p)=1$.
Soit $\overline c$ l'inverse de $b$ dans $\Z/p^n\Z$ et $c\in\Z$ dont la réduction
modulo~$p^n$ est $\overline c$. On a alors $|r-ac|_p=|a|_p|1-bc|_p\leq
p^{-n}$ et donc $|x-ac|_p\leq p^{-n}$, ce qui prouve que $ac$ a pour
image $\overline x$ dans $\Z_p/p^n\Z_p$ et permet de conclure.

\medskip
On déduit de ce lemme une autre description, plus algébrique,
de l'anneau~$\Z_p$. On aurait d'ailleurs pu partir de cette construction,
et inverser~$p$ pour obtenir $\Q_p$; les deux approches ont leurs avantages.

\begin{coro}
L'application qui à $x\in\Z_p$ associe la suite $(x_n)_{n\in\N}$ de ses
images modulo~$p^n$, $n\in\N$ induit un isomorphisme d'anneaux
topologiques de $\Z_p$ sur la limite projective des $\Z/p^n\Z$
{\rm(l'ensemble des suites $(x_n)_{n\in\N}$, où $x_n\in\Z/p^n\Z$
et $x_{n+1}$ a pour image $x_n$ par l'application naturelle (de réduction
modulo~$p^n$)
de $\Z/p^{n+1}\Z$ dans $\Z/p^n\Z$)}.
\end{coro}

\skpt
\begin{theo}
{\rm (i)} $\Z_p$ est compact et
$\Q_p$ est localement compact.

{\rm (ii)} Tout élément de $\Z_p$ peut s'écrire de manière
unique sous la forme $\sum_{n=0}^{+\infty}p^na_n$ où $a_n\in
\{0,1,\dots,p-1\}$.

{\rm (iii)} $\N$ est dense dans $\Z_p$;
plus généralement, si $b\in\Z$ est premier à $p$ et
$a\in\Z$, $a+b\N$ est dense dans $\Z_p$.
\end{theo}

\demo Le (i) suit du corollaire précédent:
$\Z_p$ est un fermé d'un produit de
compacts (et même d'ensembles finis); il est donc compact et les
boules de $\Q_p$ sont isomorphes à $\Z_p$, donc compactes.

Il n'est pas difficile de voir que, si $x\in\Z_p$, et si $x_n$
est l'unique élément
de $\{0,\dots,p^n-1\}$ ayant même image que $x$ dans $\Z/p^n\Z$, alors
$\sum_{i=0}^na_ip^i$ est le développement de $x_n$ en base $p$ (écrit
dans le sens opposé à celui dont on a l'habitude\dots); on en déduit
le (ii).

Le (iii) est une conséquence du (ii)
($x$ est la limite de la suite de terme
général $\sum_{i=0}^np^ia_i$ dont tous les termes sont dans $\N$)
et du fait que $x\to bx+a$ est une isométrie
de $\Z_p$ si $(b,p)=1$.

\Subsection{Le corps \texorpdfstring{$\C_p$}{Cp}}

\begin{prop}\label{norme10}
Si $F$ est une extension finie de degré $d$ de $\Q_p$,
alors il existe une unique norme $|\ |$ sur $F$ dont la restriction
à $\Q_p$ est la norme $p$-adique et on a
$|x|=\big|N_{F/\Q_p}(x)\big|^{1/d}$, si $x\in F$.
\end{prop}

\demo
Commençons par prouver l'unicité d'une telle norme.
Supposons que l'on en ait deux $|\ |_1$ et $|\ |_2$.
Comme $\Q_p$ est localement compact et $F$ est un $\Q_p$-espace
vectoriel de dimension finie, les normes $|\ |_1$ et
$|\ |_2$ sont équivalentes. D'après la proposition~\ref{ult20},
il existe $s\in\R_+$ tel que l'on ait $|x|_2=|x|_1^s$
quel que soit $x\in F$ et, prenant $x=p$, on obtient $s=1$ et
donc $|\ |_1=|\ |_2$.

\smallskip
Pour démontrer l'existence de $|\ |$, choisissons une base $(e_1,\dots,e_d)$
de $F$ sur~$\Q_p$. Si $u\in{\rm End}_{\Q_p}F$ est un endomorphisme
$\Q_p$-linéaire du $\Q_p$-espace vectoriel~$F$, notons $\Vert u\Vert$
le maximum des normes $p$-adiques des coefficients de la matrice de $u$
dans la base $(e_1,\dots,e_d)$. On a \hbox{$\Vert u\Vert=0$} si et seulement si
$u=0$ et, la norme $p$-adique étant ultramétrique,
$$\Vert u+v\Vert\leq
\sup(\Vert u\Vert,\Vert v\Vert)\quad {\rm et}\quad
\Vert uv\Vert\leq\Vert u\Vert\cdot\Vert v\Vert\quad
{\rm si}\ u,v\in{\rm End}_{\Q_p}F.$$ La suite de terme général
$\Vert u^n\Vert^{1/n}$ converge vers sa limite inf. que l'on appelle
la norme spectrale $\Vert u\Vert_{\rm sp}$ de $u$ (c'est bien connu,
et cela résulte facilement de l'inégalité
$\alpha_{n+m}\leq\alpha_n^{\sdpfrac{n}{n+m}}\alpha_m^{\sdpfrac{m}{n+m}}$
si $\alpha_n=\Vert u^n\Vert^{1/n}$).

On peut considérer $x\in F$ comme un élément de ${\rm End}_{\Q_p}(F)$
en associant à~$x$ la multiplication par $x$. Nous allons vérifier
que l'on peut poser $|x|=\Vert x\Vert_{\rm sp}$.

--- Si $x\in\Q_p$, on a $\Vert x\Vert=|x|_p$ car la matrice de la multiplication
par $x$ est la matrice diagonale avec des $x$ sur la diagonale; ceci permet
de montrer que $|\ |$ coïncide avec $|\ |_p$ sur $\Q_p$.

--- Comme $x$ et $y$ commutent, on a $\Vert(xy)^n\Vert=\Vert x^ny^n\Vert
\leq\Vert x^n\Vert\cdot \Vert y^n\Vert$; on en déduit l'inégalité
$|xy|\leq|x|\cdot|y|$.

--- De même (grâce à l'ultramétricité de $|\ |_p$), on a
$$\Vert(x+y)^n\Vert\leq\sup_{0\leq i\leq n}\Vert x^i\Vert\cdot\Vert y^{n-i}\Vert\,;$$
on en déduit l'inégalité
$|x+y|\leq\sup(|x|,|y|)$.

--- L'ensemble $S$ des $x\in F$ tel que $\Vert x\Vert=1$ est borné dans $F$
(considérer par exemple l'action de $x$ sur $1$) et donc est compact.
L'application $(x,y)\mto\Vert xy\Vert$ de $S\times S$ dans $\R$
est continue; elle atteint donc son minimum $C$ qui est strictement positif
car $\Vert u\Vert=0$ si et seulement si $u=0$.
Comme par ailleurs, on a $\Vert\lambda x\Vert=|\lambda|_p\cdot\Vert x\Vert$
si $\lambda\in\Q_p$ et $x\in F$, on en déduit l'inégalité
$\Vert xy\Vert\geq C\cdot\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert$ quels que soient $x,y\in F$.
En particulier, quel que soit $n\in\N$, on a
$\Vert (xy)^n\Vert\geq C\cdot\Vert x^n\Vert\cdot\Vert y^n\Vert$, ce qui,
élevant le tout à la puissance $\sfrac{1}{n}$, nous fournit
l'inégalité $|xy|\geq |x|\cdot|y|$.

--- Finalement, l'équivalence {\og $|x|=0\Leftrightarrow x=0$\fg}
est une conséquence des égalités $|xy|=|x|\cdot|y|$ et $|1|=1$.

\smallskip
Il reste à vérifier que l'on a $|x|=\big|N_{F/\Q_p}(x)\big|_p^{1/d}$.
Pour cela, commençons par supposer que $F$ est une extension galoisienne
de $\Q_p$. Soit $\sigma\in{\rm Gal}(F/\Q_p)$.
L'application $x\mto|\sigma(x)|$ est une norme sur $F$ dont
la restriction à $\Q_p$ est la norme $p$-adique; elle coïncide donc
avec la norme $|\ |$ par unicité d'une telle norme. On obtient
donc
$$ \big|N_{F/\Q_p}(x)\big|_p=\big|N_{F/\Q_p}(x)\big|=
\prod_{\sigma\in{\rm Gal}(F/\Q_p)}|\sigma(x)|=|x|^d\,;$$
d'où le résultat dans le cas galoisien.
Si $F$ n'est pas galoisienne sur $\Q_p$, il suffit alors de choisir
une extension finie galoisienne $K$ de $\Q_p$ contenant $F$
et de remarquer que la norme sur $F$ est la restriction de la norme sur
$K$ par unicité et que l'on a $N_{K/\Q_p}(x)=N_{F/\Q_p}(x)^{[K:F]}$,
si $x\in F$.

\begin{coro}
Si $\Qbar_p$ est une clôture algébrique de
$\Q_p$, Il existe une unique manière de prolonger $|\ |_p$
à $\Qbar_p$. Si $x\neq 0$, alors $|x|_p\in p^{\Q}$.
\end{coro}
\begin{exem}\label{cyclo}
Le polynôme
$P_n(X)={{(X+1)^{p^n}-1}\over {(1+X)^{p^{n-1}}-1}}$
est irréductible sur $\Q_p$; ses racines sont les
$\epsilon-1$, $\epsilon$ parcourant les racines primitives
$p^n$-ièmes de l'unité et on a
$v_p(\epsilon-1)={{1/{(p-1)p^{n-1}}}}$.
\end{exem}


\demo
On a $P_n(X)= X^{(p-1)p^{n-1}}$ modulo~$p$ et $P_n(0)$ est le quotient
des dérivées de $(X+1)^{p^n}-1$ et $(1+X)^{p^{n-1}}-1$ en $X=0$.
On a donc $P_n(0)=p$
et $P_n$ vérifie le critère d'Eisenstein.

\begin{defi}
On note $\C_p$ le complété de $\Qbar_p$ pour
la norme $|\ |_p$. Si $x\in\C_p$, on note
$v_p(x)$ l'élément de $\Q\cup\{+\infty\}$ tel que l'on ait
$|x|_p=p^{-v_p(x)}$.
\end{defi}

\begin{theo} Si $K$ est un corps ultramétrique algébriquement
clos de caractéristique~$0$,
son complété $\widehat K$ est algébriquement clos.
\end{theo}

\demo Soit $P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+
\cdots+a_0$ un polynôme
unitaire irréductible de $\widehat K[X]$. Quitte
à
changer $X$ en ${Y/\alpha}$, ce
qui multiplie $a_i$ par $\alpha^{n-i}$, on peut, en prenant
$\alpha\in\widehat K$ de norme
assez petite, supposer que $P$ est à coefficients entiers.
Comme $K$ est de caractéristique $0$, les polynômes $P$ et~$P'$ sont premiers entre eux
et il existe
des polynômes $U$ et $V$ tels que l'on ait
$UP+VP'=1$.

Si $Q\in K[X]$, notons $|Q|_G$ la norme de Gauss de $Q$, c'est-à-dire
le maximum des valeurs absolues de ses coefficients.
Soit $\epsilon <\inf (1,{1/{|U|_G}},{1/{|V|_G^2}})$
et, si \hbox{$0\leq i\leq n-1$}, soit $b_i\in K$ tels que l'on ait
$|b_i-a_i|\leq\epsilon$.
Soit $x_0\in K$ une racine du polynôme $Q(X)=X^n+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots
+b_0$. On a $|x_0|\leq 1$ à cause de l'inégalité ultramétrique
car $|b_i|\leq 1$ quel que soit $i$.
D'autre part, on a
$|U(x_0)P(x_0)|\leq \epsilon|U|_G<1$ et donc $|P'(x_0)||V(x_0)|=1$,
ce qui implique $|P'(x_0)|\geq{1/{|V|_G}}$, et donc
$|P(x_0)|\leq\epsilon<|P'(x_0)|^2$. Le lemme de
Hensel permet de conclure au fait que l'équation
$P(x)=0$ a une solution dans $\widehat K$.

\begin{coro}
$\C_p$ est algébriquement clos.
\end{coro}

Le corps $\C_p$ est donc un corps complet algébriquement clos
qui jouera le rôle de $\C$ en $p$-adique.
$\C$ et $\C_p$ sont deux corps algébriquement clos de même
degré de transcendance sur~$\Q$; ils sont donc abstraitement
isomorphes en tant que corps (mais pas en tant que corps topologiques).
Ce corps n'est pas encore assez gros (il est pourtant de dimension
non dénombrable sur $\Q_p$): Tate a démontré
qu'il ne contenait pas d'analogue naturel de $2i\pi$.
(Une indication de cette non existence de $2i\pi$ dans $\C_p$ est fournie
par le corollaire~\ref{tate1}.)

\Subsection{Représentants de Teichmüller}

\begin{lemm}
Soient $K$ un corps ultramétrique complet et
$L$ une extension finie de $K$, alors $k_L$ est une extension
algébrique de $k_K$ de degré $\leq[L:K]$.
\end{lemm}

\demo On a $\O_K\cap{\goth m}_L={\goth m}_K$ et donc
$k_K$ s'injecte dans $k_L$.
Soient $\overline\alpha_1,\dots,\overline\alpha_d$ des éléments
de $k_L$ formant une famille libre sur~$k_K$. Choisissons pour
chaque $i\in\{1,\dots,d\}$ un élément $\alpha_i$ de $\O_L$
dont l'image dans $k_L$ est $\overline \alpha_i$.
Supposons que les $\alpha_i$ forment une famille liée sur $K$ et
soit $(\lambda_1,\dots,\lambda_d)$ une famille d'éléments non tous nuls de $K$
tels que l'on ait $\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_d\alpha_d=0$.
Quitte à diviser tous les $\lambda_i$ par celui qui a la plus grande
norme, on peut supposer qu'ils sont tous éléments de $\O_K$ et
que l'un d'entre eux est égal à $1$, ce qui conduit à une
contradiction quand on réduit modulo~${\goth m}_L$.
Ceci permet de conclure.

\begin{lemm}
Si $K$ est un corps
ultramétrique algébriquement clos, alors $k_K$ est algébriquement
clos.
\end{lemm}

\demo Soit $\overline P(X)\in k_K[X]$ unitaire de degré
$n\geq 1$ et soit $P(X)\in\O_K[X]$ unitaire de degré $n$ relevant
$\overline P$. Soit $\alpha\in K$ une racine de $P$. On a
$|\alpha|\leq 1$ à cause de l'inégalité ultramétrique
et donc $\alpha\in\O_K$ et l'image de $\alpha$ dans $k_K$ est
une racine de $\overline P$, ce qui permet de conclure.

\begin{lemm}
Si $K$ est un corps ultramétrique et $\widehat K$ dénote
son complété, alors $k_K=k_{\widehat K}$.
\end{lemm}

\demo $\O_K\cap{\goth m}_{\widehat K}=\{x\in\O_K\ |\ |x|<1\}=
{\goth m}_K$ et donc l'application naturelle de $k_K$ dans
$k_{\widehat K}$ est injective. D'autre part, comme $\O_K$ est dense
dans~$\O_{\widehat K}$, cette application est surjective, ce qui
permet de conclure.

\begin{coro}
Le corps résiduel de $\C_p$ est $\overline{\bf F}_p$
une clôture algébrique de~${\bf F}_p$.
\end{coro}

\demo Les trois lemmes précédents montrent
que ce corps résiduel est le même que celui de $\Qbar_p$
et donc est algébriquement clos et algébrique sur~${\bf F}_p$,
ce qui permet de conclure.

\begin{prop}
Si $x\in\overline{\bf F}_p^\dual$, il existe
dans $\O_{\C_p}$ une unique racine
de l'unité~$[x]$ d'ordre premier à $p$ dont l'image
dans $\overline{\bf F}_p$ est $x$.
\end{prop}

\demo Il existe $n$ tel que $x$ appartienne à
${\bf F}_{p^n}$. Les éléments de~${\bf F}_{p^n}^\dual$ sont
solutions de l'équation $P(X)=X^{p^n-1}-1=0$. Or le polynôme
$X^{p^n-1}-1$ a un discriminant premier à $p$
[son discriminant est au signe près
$\prod_{\eta^{p^n-1}=1}P'(\eta)=\pm
(p^n-1)^{p^n-1}$], ce qui signifie que toutes les images de ses
racines sont distinctes modulo ${\goth m}_{\C_p}$; on a donc
une injection d'un ensemble à $p^n-1$ éléments dans un ensemble
à $p^n-1$ éléments et donc la réduction modulo ${\goth m}_{\C_p}$
est une bijection, ce qui permet de conclure.

\begin{rema} L'unicité de $[x]$ implique que $[xy]=
[x]\cdot[y]$. En posant $[0]=0$, on a fabriqué un système
multiplicatif de représentants, appelés
{\it représentants de Teichmüller}, de $\overline{\bf F}_p$ dans
$\O_{\C_p}$.
\end{rema}

Choisissons un morphisme de groupes de $\Q$ dans $\C_p^\dual$
envoyant $1$ sur $p$. On notera $p^r$ l'image de $r$ par ce morphisme.
Si $x\in\O_{\C_p}^\dual$, on note $\omega(x)$ l'unique racine de
l'unité d'ordre premier à $p$ telle que $|x-\omega(x)|_p<1$.
Si $\overline x$ désigne l'image de $x$ dans $\overline{\bf F}_p$,
on a $\omega(x)=[\overline x]$.

\begin{prop}
Les applications
\begin{gather*}
x\mto p^{v_p(x)},\quad
x\mto \tilde \omega(x)=\omega(xp^{-v_p(x)})\\
\tag*{et}
 x\mto \langle x\rangle=xp^{-v_p(x)}\tilde\omega(x)^{-1}
\end{gather*}
sont des morphismes de groupes de
$\C_p^\dual$ dans
$p^\Q$, le groupe des racines de l'unité d'ordre premier à $p$
et $B(1,1^-)$ respectivement,
et on a $x=p^{v_p(x)}\tilde\omega(x)\langle x\rangle$.
\end{prop}

\demo Évident.

\Subsection{La fonction logarithme}

On définit la fonction logarithme dans la boule $B(1,1^-)$
par la formule $\log(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}{{(-1)^{n-1}}\over n}
(x-1)^n$.

\begin{lemm}
Si $|x|_p<1$ et $|y|_p<1$, alors $$\log((1+x)(1+y))=\log(1+x)+\log(1+y).$$
\end{lemm}

\demo En tant que série formelle,
$$\log((1+X)(1+Y))=\log(1+X)+\log(1+Y)$$ (il suffit de dériver).
D'autre part, la série triple
$$\sum_{i_1+i_2+i_3\geq 1}{{(-1)^{i_1+i_2+i_3}(i_1+i_2+i_3)!}
\over{(i_1+i_2+i_3)i_1!i_2!i_3!}}x^{i_1+i_3}y^{i_2+i_3}$$
converge car le terme général tend vers $0$
quand $i_1+i_2+i_3$ tend vers $+\infty$
et on peut réordonner les termes comme on veut, ce qui permet de conclure.

\begin{coro}\label{tate1}
Si $\epsilon$ est une racine de l'unité d'ordre
une puissance de $p$, alors $\log(\epsilon)\!=\!0$. Réciproquement,
si $x\!\in\! B(1,1^-)$ vérifie $\log x\!=\!0$, alors $x$ est une racine
de l'unité d'ordre une puissance de $p$.
\end{coro}

\demo On a $\log x=0\Leftrightarrow x=1$ si $|x-1|_p<p^{-{1/{(p-1)}}}$ car
alors le seul terme de valuation maximale est le premier.
D'autre part, si $x\in B(1,1^-)$, la fonction
$s\to x^s=\sum_{n=0}^{+\infty}{s\choose n}(x-1)^n$
est continue. On en déduit le fait que $x^{p^n}$ tend vers $1$ quand
$n$ tend vers $+\infty$, ce qui permet de conclure.

\begin{prop}
La fonction $\log$ a un unique prolongement
noté $\log_p$ {\rm(et appelé logarithme d'Iwasawa)} à $\C_p^\dual$
vérifiant les trois conditions suivantes.

{\rm(i)} $\log_p(xy)=\log_p(x)+\log_p(y)${\rm;}

{\rm (ii)} $\log_p$ est donné par la série sur $B(1,1^-)${\rm;}

{\rm (iii)} $\log_p p=0$.
\end{prop}

\demo On a vu que si l'on se fixe un morphisme $r\to p^r$
de $\Q$ dans $\C_p^\dual$, l'on pouvait écrire tout élément
de $\C_p^\dual$ de manière unique sous la forme
$p^{v_p(x)}\omega u$, où $\omega$ est une racine de l'unité
d'ordre premier à $p$
et $u\in B(1,1^-)$; on doit donc avoir $\log x=\log u$, ce qui prouve l'unicité.
L'existence résulte du fait que $x\to u$ est un morphisme de groupes.

\begin{rema} La condition $\log_p p=0$ est naturelle d'un point de vue
arithmétique à cause de la formule du produit, mais on pourrait
fixer arbitrairement la valeur de $\log p$. (on dit que
l'on fixe une branche du logarithme).
\end{rema}

\Subsection{La fonction exponentielle}
Notons $[x]$ la partie entière de $x$ si $x\in\R$ (ne pas confondre avec un
représentant de Teichmüller!).

\begin{prop}\label{exp0}
Si $n\in\N$, alors
$$v_p(n!)=\sum_{k=1}^{+\infty}\Big[\frac{n}{p^k}\Big]=
\frac{n-S_p(n)}{p-1},$$
où $S_p(n)$ désigne la somme des chiffres de l'écriture de $n$
en base $p$.
\end{prop}

\demo
Soit $a_k$ (\resp $b_k$) le cardinal de l'ensemble des entiers~$i$
vérifiant $1\leq i\leq n$ et $v_p(i)=k$ (\resp $v_p(i)\geq k$).
On~a $b_k=\sum_{\ell\geq k}a_\ell$ et
$$v_p(n!)=\sum_{k=1}^{+\infty}ka_k=\sum_{k=1}^{+\infty}b_k=
\sum_{k=1}^{+\infty}\Big[\frac{n}{p^k}\Big],$$
ce qui nous fournit la première égalité. La seconde
est laissée en exercice.

\begin{prop}\label{exp1}
La série $\exp x=\sum_{n=0}^{+\infty}\sfrac{x^n}{n!}$ converge si et
seulement si $|x|_p<p^{-1/(p-1)}$ et induit un isomorphisme de groupes
de la boule ouverte $B(0,p^{-1/(p-1)})$ munie de l'addition
sur la boule ouverte $B(1,p^{-1/(p-1)})$ munie de la multiplication,
inverse de l'application $\log$.
\end{prop}

\demo
La détermination du rayon de convergence vient de ce qu'il y a
une infinité de $n$ tels que $S_p(n)=1$ (à savoir, les puissances
de $p$). Le reste de la proposition est laissé en exercice.

\chapter
{Fonctions d'une variable \texorpdfstring{$p$}{p}-adique}
\section{Espaces de Banach \texorpdfstring{$p$}{p}-adiques}

\begin{defi}\label{I1.1}
Un espace de Banach $p$-adique est un $\Q_p$-espace
vectoriel $E$ muni d'une norme ultramétrique
$\Vert\ \Vert$ pour laquelle il est complet.
\end{defi}
\begin{hypo}
On dit que $E$ vérifie l'hypothèse
(N) si quel que soit $x\in E$, il existe $\lambda\in\Q_p$ tel que
$\Vert x\Vert=|\lambda|_p$.
\end{hypo}

\begin{lemm}\label{I1.2}
Si $(E,\Vert\ \Vert)$ est un espace de Banach $p$-adique,
alors on peut trouver une norme $\Vert\ \Vert_1$ sur $E$ qui est
équivalente à $\Vert\ \Vert$ et qui vérifie l'hypothèse~{\rm (N)}.
\end{lemm}

\demo Si $x\in E$, soit $v_p(x)$ l'élément
de ${\bf R}\cup\{+\infty\}$ défini par \hbox{$\Vert x\Vert=p^{-v_p(x)}$}.
et soit $\Vert x\Vert_1=p^{-[v_p(x)]}$, où, si $v\in\R$, $[v]$
désigne la partie entière de $v$. Alors $\Vert\ \Vert_1$
est une norme ultramétrique sur $E$ et on a de plus
\hbox{${1\over p}\Vert x\Vert_1\leq\Vert x\Vert\leq\Vert x\Vert_1$}.

\skpt
\begin{exem}\label{I1.3}
(i) $\C_p$ muni de la norme $p$-adique.
\vskip.1cm

(ii) Si $I$ est un ensemble et $E$ est un espace
de Banach $p$-adique, soit $l_\infty(I,E)$ l'ensemble des suites
bornées $(a_i)_{i\in I}$ d'éléments de $E$. On munit
$l_\infty(I,E)$ de la norme $\Vert\ \Vert_\infty$ définie par
$\Vert (a_i)_{i\in I}\Vert_\infty=\sup_{i\in I}\Vert a_i\Vert$, ce qui en fait
un espace de Banach $p$-adique.
\vskip.1cm

(iii)
Soit $l^0_\infty(I,E)$ le sous-espace
de $l_\infty(I,E)$ des suites
$(a_i)_{i\in I}$ d'éléments de~$E$ tendant vers
$0$ suivant le filtre complémentaire des parties finies.
C'est un espace de Banach $p$-adique comme sous-espace fermé
d'un espace de Banach $p$-adique. C'est aussi l'adhérence
dans $l_\infty(I,E)$ de l'espace des suites n'ayant qu'un nombre
fini de termes non nuls. On note $\delta_i$ la suite dont tous
les termes sont nuls sauf celui d'indice~$i$ qui est égal à $1$.
\vskip.1cm
(iv) Si $X$ est un espace topologique compact et $E$ est un espace
de Banach $p$-adique, l'espace ${\cal C}(X,E)$ des applications
continues de $X$ dans $E$ muni de la norme du sup.~est un espace
de Banach $p$-adique.
\end{exem}

La théorie des espaces de Banach $p$-adiques est très loin
d'être aussi riche que son homologue archimédienne;
elle se rapproche plutôt de
celle des espaces de Hilbert réels.
En particulier, la notion suivante remplace celle
de base hilbertienne dans un espace de Hilbert.

\begin{defi}\label{I1.5}
Soit $E$ un espace de Banach $p$-adique. On
dit qu'une famille bornée $(e_i)_{i\in I}$ est une {\it base de Banach}
de $E$ si l'application de $l_\infty^0(I,\Q_p)$ dans $E$ qui à
$(a_i)_{i\in I}$ associe $\sum_{i\in I}a_ie_i$ est
une isométrie.
On dit que c'est une {\it pseudo-base de Banach} si cette application est
seulement
un isomorphisme
d'espaces de Banach $p$-adiques.
\end{defi}
Autrement dit, une famille $(e_i)_{i\in I}$ est une base de Banach de
$E$ si et seulement si

\quad (i) tout élément $x$ de $E$ peut
s'écrire de manière unique sous la forme d'une série
convergente $x=\sum_{i\in I}a_ie_i$, où les $a_i$ sont des éléments
de $\Q_p$ tendant vers~$0$ suivant le filtre complémentaire
des parties finies,

\quad (ii) $\Vert x\Vert=\sup_{i\in I}|a_i|$

C'est une pseudo-base de Banach si elle est bornée et
vérifie la condition
(i), ce qui implique, d'après le théorème de l'image ouverte,
la propriété suivante.

\quad (ii') il existe une constante $C\geq 1$ telle que l'on
ait $$C^{-1}\sup_{i\in I}|a_i|\leq\Vert x\Vert\leq C\sup_{i\in I}|a_i|.$$
\begin{exem}
Par définition, ou presque, les $\delta_i$, pour $i\in I$, forment
une base de Banach de $l_\infty^0(I,\Q_p)$.
\end{exem}


\skpt
\begin{prop}\label{I1.6}
{\rm (i)} Tout espace de Banach $p$-adique possède
des pseudo-bases de Banach.

{\rm (ii)} Un espace de Banach $p$-adique possède des bases de Banach
si et
seulement si il vérifie l'hypothèse {\rm (N)}.
De plus, sous cette hypothèse, si on note $E^0=\{x\in E\ |\ \Vert x\Vert\leq 1\}$, alors $(e_i)_{i\in I}$ est une base de Banach de $E$ si et seulement
si $(\overline e_i)_{i\in I}$ est une base algébrique du ${\bf F}_p$-espace
vectoriel $\overline E=E^0/pE^0$.
\end{prop}

\demo
Le lemme \ref{I1.2} implique que le (i) est une conséquence du (ii).
Supposons donc que
$E$ vérifie l'hypothèse (N) et montrons que
$(e_i)_{i\in I}$ est une base de Banach de $E$ si et seulement
si $(\overline e_i)_{i\in I}$ est une base algébrique du ${\bf F}_p$-espace
vectoriel $\overline E$.

Soit $(e_i)_{i\in I}$ une famille d'éléments
de $E^0$ telle que la famille $(\overline e_i)_{i\in I}$ soit une base
du ${\bf F}_p$-espace
vectoriel $\overline E$. Soient
$S$ un système de représentants de ${\bf F}_p$
dans $\Z_p$ contenant $0$
et $s:{\bf F}_p\to S$ l'inverse de la réduction
modulo~$p$. Si $x\in E^0$, on peut écrire $\overline x$ comme une
somme finie $\sum_{i\in I}a_i\overline e_i$, où les
$a_i$ sont des éléments de ${\bf F}_p$ presque tous nuls.
Soit $s(x)=\sum_{i\in I}s(a_i)e_i$. Par construction, on a
$x-s(x)\in pE^0$.

Si $x\in E^0$, définissons par récurrence une suite $x_n$ d'éléments
de $E_0$ par $x_0=x$ et $x_{n+1}={1\over p}(x_n-s(x_n))$.
On a alors $x=\sum_{n=0}^k p^n s(x_n)+p^{k+1}x_{k+1}$
quel que soit $k\in\N$.
On peut écrire $s(x_n)=\sum_{i\in I}s_{n,i}e_i$, où les $s_{n,i}$
sont des éléments de $S$ presque tous nuls, ce qui montre
que si on pose $a_i=\sum_{n=0}^{+\infty}p^ns_{n,i}$, alors la suite
des $a_i$ tend vers $0$ suivant le filtre complémentaire
des parties finies. Ceci montre que l'application de $l_\infty^0(I,\Q_p)$
dans $E$ qui à $(a_i)_{i\in I}$ associe $\sum_{i\in I}a_ie_i$
est surjective. Si $(a_i)_{i\in I}$ est un élément non nul de
$l_\infty^0(I,\Q_p)$, alors
quitte à multiplier $a$ par une puissance de $p$, on peut
supposer $\Vert a\Vert_\infty=1$ et
le fait que les $(\overline e_i)_{i\in I}$ forment une base
de $\overline E$ implique que
$\sum_{i\in I}a_ie_i\neq 0$ modulo~$p$ et donc que $1\geq\Vert
\sum_{i\in I}a_ie_i\Vert>p^{-1}$. Comme on a supposé
que $E$ vérifie~$(N)$, ceci implique
$\Vert
\sum_{i\in I}a_ie_i\Vert=1$ et on en tire le fait que l'application
qui à $(a_i)_{i\in I}$ associe $\sum_{i\in I}a_ie_i$ est une isométrie
de $l_\infty^0(I,\Q_p)$ sur $E$.

La réciproque est immédiate.
\section{Mesures sur \texorpdfstring{$\Z_p$}{Zp}}
\Subsection{Fonctions continues sur \texorpdfstring{$\Z_p$}{Zp}}
Soit $E$ un espace de Banach $p$-adique et ${\cal C}^0(\Z_p,E)$
l'ensemble des fonctions continues de $\Z_p$ dans $E$.
Comme $\Z_p$ est compact, une fonction
continue sur~$\Z_p$ est bornée. Ceci permet de munir
${\cal C}^0(\Z_p,E)$ de la norme $\Vert\ \Vert_\infty$ définie par
$\Vert f\Vert_\infty=\sup_{x\in\Z_p}|f(x)|_p$, ce qui en fait un espace de
Banach $p$-adique.

\medskip
Si $n\in\N$, soit ${x\choose n}$ le polynôme défini par
$${x\choose n}=
\begin{cases}
1 & {\text {si $n=0$}}\\
\dfrac{x(x-1)\dots(x-n+1)}{n!} & {\text {si $n\geq 1$}}.
\end{cases}$$

\begin{prop}\label{I2.2}
$\Vert{x\choose n}\Vert_{\infty}=1$.
\end{prop}

\demo On a ${n\choose n}=1$ et donc $\Vert{x\choose n}\Vert_{\infty}
\geq 1$. D'autre part, ${{n+k}\choose n}$ est le nombre de manière
de choisir $n$ objets parmi $n+k$ et est donc entier. On en déduit le
fait que $|{{n+k}\choose n}|_p\leq1$ quel que soit $k\in\N$ et comme
$n+\N$ est dense dans $\Z_p$, cela implique que $|{x\choose n}|_p\leq 1$
quel que soit $x\in\Z_p$ et permet de conclure.

\medskip
On définit la $n$-ième dérivée discrète
$f^{[n]}$ d'une fonction $f$ par récurrence à partir des formules
$f^{[0]}=f$ et $f^{[n+1]}(x)=f^{[n]}(x+1)-f^{[n]}(x)$, et on pose
$a_n(f)=f^{[n]}(0)$. On a aussi
\begin{align*}
f^{[n]}(x)&=\sum_{i=0}^n(-1)^i{n\choose i}f(x+n-i)\\
\tag*{et}
a_n(f)&=\sum_{i=0}^n(-1)^i{n\choose i}f(n-i).
\end{align*}
\skpt
\begin{theo}[Mahler]\label{I2.5}
{\rm (i)} Si $f\in{\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$, alors

\qquad {\rm a)} $\lim_{n\to+\infty}a_n(f)=0$,

\qquad {\rm b)} $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(f){ x\choose n}=f(x)$ quel que soit
$x\in\Z_p$.

{\rm (ii)} L'application $f\mto a(f)=(a_n(f))_{n\in\N}$ est une isométrie de
${\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$ sur $l^0_\infty(\N,\C_p)$.
\end{theo}

\begin{coro}
Les ${x\choose n}$ pour $n\in\N$ forment une base
de Banach de ${\cal C}^0(\Z_p,\Q_p)$.
\end{coro}

\demo Le corollaire est immédiat. Pour démontrer le théorème~\ref{I2.5},
commençons par remarquer que l'on a $\Vert a(f)\Vert_\infty\leq
\sup_{k\in\N}|f(k)|_p\leq\Vert f\Vert_\infty$, et que l'application
$f\mto a(f)$ est injective, car $a(f)=0$ implique $f(k)=0$
quel que soit $k\in\N$, et $\N$ est dense dans $\Z_p$.

Si $a=(a_n)_{n\in\N}\in l^0_\infty(\N,\C_p)$,
la série $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{x\choose n}$ converge normalement
dans ${\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$
en vertu de la proposition~\ref{I2.2} et de l'ultramétricité
de la norme $p$-adique; on note $f_a$ la somme de cette série
et on a $\Vert f_a\Vert_\infty\leq \Vert a\Vert_\infty$.
D'autre part, comme ${{x+1}\choose {n+1}}-{x\choose {n+1}}=
{x\choose{n}}$, une récurrence immédiate nous fournit
la formule
$f_a^{[k]}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+k}{x\choose n}$ et
donc $a(f_a)=a$.
Il ressort de la discussion précédente
que $a\to f_a$ est une isométrie de
$l_\infty^0(\N,\C_p)$ sur le sous-espace $B$ de ${\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$
des fonctions continues $f$ vérifiant $\lim_{n\to+\infty}a_n(f)=0$.
Pour démontrer le théorème, il suffit donc de prouver le (i) a) ou,
autrement dit, $B={\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$. Nous allons donner
deux démonstrations de ce fait.

\subsubsection*{Première démonstration}
Nous aurons besoin du lemme suivant.

\begin{lemm}\label{mah1}
Si $k$ est un entier $\geq 1$, alors
${{p^k}\choose i}$ est divisible par $p$ si $1\leq i\leq p^k-1$.
\end{lemm}

\demo
Dériver $(1+X)^{p^k}$.

\begin{lemm}\label{mah2}
Si $f\in {\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$, il existe $k\in\N$ tel que
$\Vert f^{[p^k]}\Vert_\infty\leq p^{-1}\Vert f\Vert_\infty$.
\end{lemm}

\demo Comme $\Z_p$ est compact, $f$ est uniformément continue et il existe
$k\in\N$ tel que l'on ait $|f(x+p^k)-f(x)|_p\leq p^{-1}\Vert f\Vert_\infty$
quel que soit $x\in\Z_p$.
Maintenant, on a
\begin{multline*}
f^{[p^k]}(x)=f(x+p^k)-f(x)+\Big(\sum_{i=1}^{p^k-1}(-1)^i
{{p^k}\choose i}f(x+p^k-i)\Big)\\[-3pt]
+(1+(-1)^{p^k})f(x).
\end{multline*}
D'après le lemme~\ref{mah1}, tous les termes de la somme
$\sum_{i=1}^{p^k-1}$ ont une norme $\leq\nobreak p^{-1}\Vert f\Vert_\infty$
et $(1+(-1)^{p^k})f(x)$ est nul si $p\neq 2$ et de norme $\leq
p^{-1}\Vert f\Vert_\infty$ si $p=2$.
Comme on a choisi $k$ de telle sorte que
$|f(x+p^k)-f(x)|_p\leq p^{-1}\Vert f\Vert_\infty$
quel que soit $x\in\Z_p$, on a
$\Vert f^{[p^k]}\Vert_\infty\leq p^{-1}\Vert f\Vert_\infty$, ce qui
permet de conclure.

\medskip
Une utilisation répétée du lemme précédent
permet de montrer que, si $\epsilon>0$ et si $f\in {\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$,
alors il existe $k\in\N$ tel que
$\Vert f^{[p^k]}\Vert_\infty\leq\epsilon$. Comme
$|a_n(f)|\leq \Vert f^{[p^k]}\Vert_\infty$ si $n\geq p^k$, cela montre
que $a_n(f)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

\subsubsection*{Deuxième démonstration}
Si $x\in\C_p$ vérifie $|x-1|_p<1$,
la série $f_x(s)=\sum_{n=0}^{+\infty}
{s\choose n}(x-1)^n$ converge normalement d'après la proposition~\ref{I2.2}
et définit donc une fonction continue $f_x(s)$ de $s\in\Z_p$.
D'autre part, si $k\in\N$, on a $f_x(k)=x^k$ comme on le constate
facilement, ce qui nous permet de noter de manière plus parlante
$s\mto x^s$ la fonction $s\mto f_x(s)$.
On a $x^{s+t}=x^sx^t$ quels que soient $s,t\in\Z_p$
car cette formule est vraie si $s,t\in \N$ et $\N^2$ est dense dans
$\Z_p^2$. Si on regarde ce que donne cette formule sur les coefficients
binomiaux (en écrivant $x^s$, $x^t$ et $x^{s+t}$ comme
des séries en $x-1$), on obtient la formule
${{s+t}\choose n}=\sum_{i=0}^n{s\choose i}{t\choose{n-i}}$, formule que l'on
peut aussi démontrer directement.
\begin{exem}\label{I2.3}
On a $(\sum_{n=0}^{+\infty}{{1/2}\choose n}x^n)^2=1+x$
si $|x|_p<1$ et $p\neq 2$. Par exemple, si $x={7/9}$, la
série ci-dessus converge dans $\R$ et dans $\Q_7$, mais
dans~$\R$ la limite est la racine positive de ${{16}/ 9}$
soit ${4/3}$ alors que dans $\Q_7$, c'est la racine de
${{16}/9}$ congrue à $1$ modulo~$7$, à savoir~$-{4/3}$.
\end{exem}
Un cas particulièrement utile est celui où $x$ est une racine de
l'unité d'ordre une puissance $p$. Si $x^{p^n}=1$, on a
$x^{s+p^nk}=x^s$ quel que soit $k\in\N$ et donc
$x^s=x^t$ si $t\in s+p^n\Z_p$, ce qui fait que la fonction
$x^s$ est localement constante.
D'autre part, on
a $\sum_{\epsilon^{p^m}=1}\epsilon^x=
\begin{cases}
p^m & {\text {si $x\in p^n\Z_p$}}\\ 0 & {\text{sinon}}
\end{cases}$
et la fonction caractéristique de ${a+p^m\Z_p}$
est donc $${1\over {p^m}}\sum_{\epsilon^{p^m}=1}\epsilon^{x-a}=
\sum_{n=0}^{+\infty}\Bigl(
{1\over {p^m}}\sum_{\epsilon^{p^m}=1}\epsilon^{-a}(\epsilon-1)^n\Bigr){x\choose n}
$$

\begin{lemm}\label{I2.4}
Si $f$ est localement constante, alors $f\in B$.
\end{lemm}

\demo Si $f$ est localement constante, cela signifie que quel
que soit $a\in\Z_p$, il existe $n_a\in\N$ tel que $f$ soit
constante sur $a+p^{n_a}\Z_p$. Comme $\Z_p$ est compact, on peut
extraire du recouvrement de $\Z_p$ par les $a+p^{n_a}\Z_p$ un sous-recouvrement
fini et il existe donc $m\in\N$ tel que $f$ soit constante
sur $a+p^m\Z_p$ quel que soit $a\in\Z_p$. On a donc
$f(x)=\sum_{i=0}^{p^m-1}f(i){\bf 1}_{i+p^m\Z_p}$ et on peut se ramener
par linéarité au cas où $f$ est la fonction caractéristique
de $i+p^m\Z_p$. La formule ci-dessus nous donne
$a_n({\bf 1}_{i+p^m\Z_p})=
{1\over{p^m}}\sum_{\epsilon^{p^m}=1}\epsilon^{-i}(\epsilon-1)^n$
et comme $|\epsilon-1|_p<1$ si $\epsilon^{p^m}=1$,
on en déduit le fait que
$a_n({\bf 1}_{i+p^m\Z_p})$
tend vers~$0$ quand~$n$ tend vers $+\infty$, ce qui permet
de conclure.

\begin{lemm}\label{I2.1}
Les fonctions localement constantes sont denses dans
${\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$.
\end{lemm}

\demo $\Z_p$ étant compact, une fonction continue sur $\Z_p$
est uniformément continue. Soient $f\in
{\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$ et $\eta>0$. Il existe
$m\in\N$ tel que si $|x-y|_p\leq p^{-m}$ , alors $|f(x)-f(y)|_p\leq \eta$.
Soit $f_m$ la fonction localement constante définie par
$f_m(x)=\sum_{i=0}^{p^m-1}f(i){\bf 1}_{i+p^m\Z_p}$. Si $x\in\Z_p$, il
existe $i\in\{0,\dots,p^m-1\}$ tel que $x\in i+p^m\Z_p$
et $|f(x)-f_m(x)|_p=|f(x)-f(i)|_p\leq\eta$ par construction de $m$; on
a donc $\Vert f-f_m\Vert_\infty\leq\eta$, ce qui permet de conclure.

\medskip
L'application $f\mto a(f)$ étant continue, $B$ est fermé dans l'espace
${\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$. Par ailleurs, $B$ contient l'espace
des fonctions localement constantes d'après le lemme~\ref{I2.4}
et comme cet espace est dense dans ${\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$
d'après le lemme~\ref{I2.1}, on en déduit l'égalité
$B={\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$ que l'on cherchait à établir.

\Subsection{Mesures sur \texorpdfstring{$\Z_p$}{Zp}}

\begin{defi}\label{I3.1}
Une mesure sur $\Z_p$ à valeurs dans
$\C_p$ est une forme linéaire
continue $\mu$ sur ${\cal C}^0(\Z_p,\C_p)$.
On écrira $\mu(f)$ sous la forme plus parlante
$\int_{\Z_p}f(x)\mu(x)$ ou simplement sous la forme $\int_{\Z_p}f\mu$.
Si $\mu$ est une mesure, on note $\Vert\mu\Vert_\infty$ la norme
de $\mu$ en tant qu'opérateur, c'est-à-dire le sup.~de
$|\int_{\Z_p}f\mu|_p$, avec $\Vert f\Vert_\infty\leq 1$.
\end{defi}
A une mesure, on associe deux séries formelles
$${\cal A}_\mu(T)=\sum_{n=0}^{+\infty}T^n\int_{\Z_p}{x\choose n}\mu(x)
\quad{\rm et}\quad
{\cal L}_\mu(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}{{t^n}\over{n!}}\int_{\Z_p}x^n\mu(x)
$$
appelées respectivement {\it transformée d'Amice} et {\it transformée de Laplace}
de $\mu$.
On a ${\cal L}_\mu(t)={\cal A}_\mu(e^t-1)$ et formellement
$${\cal A}_\mu(T)=\int_{\Z_p}(1+T)^x\mu(x)\quad{\rm et}\quad
{\cal L}_\mu(t)=\int_{\Z_p}e^{tx}\mu(x).$$

\begin{lemm}\label{I3.2}
Si $|z|_p<1$, alors $\int_{\Z_p}(1+z)^x\mu(x)={\cal A}_\mu(z)$
\end{lemm}

\demo La suite de fonctions $\sum_{n=0}^N{x\choose n}z^n$
converge uniformément sur $\Z_p$ vers $(1+z)^x$ (le reste est plus petit
en norme $\Vert\ \Vert_\infty$ que $|z|_p^{n+1}$); on peut
donc échanger intégration et somme, d'où le résultat.

\begin{theo}\label{I3.3}
L'application qui à une mesure $\mu$ associe sa transformée
d'Amice est une isométrie de l'espace des mesures muni de la norme
ci-dessus sur l'espace des séries formelles à coefficients bornés
muni de la norme du sup. des normes des coefficients.
\end{theo}

\demo
Si $\mu$ est une mesure, alors ${\cal A}_\mu(T)$ est à coefficients bornés
car $|\int_{\Z_p}{x\choose n}\mu(x)|
\leq\Vert\mu\Vert_\infty\Vert{x\choose n}\Vert_\infty\leq\Vert\mu\Vert_\infty$
et la réciproque
est une conséquence immédiate du théorème
de Mahler:
à une suite $(b_n)_{n\in\N}$
bornée, on associe la mesure $\mu$ définie par
$\mu(f)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_na_n(f)$ si $f$ est une fonction continue
sur~$\Z_p$.

\begin{rema}\label{I3.4}
Le théorème précédent permet de construire une mesure
à partir d'une série entière dont les coefficients sont
bornés. On peut aussi utiliser le fait que les fonctions localement
constantes sont denses dans les fonctions continues, ce qui
permet de définir une mesure en ne connaissant que
les intégrales $\int_{\Z_p}{\bf 1}_{a+p^n\Z_p}\mu(x)$ pour $a\in\Z_p$ et
$n\in\N$. L'intégrale $\int_{\Z_p}{\bf 1}_{a+p^n\Z_p}\mu(x)$ sera
notée
$\mu(a+p^n\Z_p)$ et appelée la mesure de $a+p^n\Z_p$.
Comme $a+p^n\Z_p$ est la réunion disjointe des $a+jp^n+p^{n+1}\Z_p$
pour $0\leq j\leq p-1$, on a $\mu(a+p^n\Z_p)=\sum_{j=0}^{p-1}
\mu(a+jp^n+p^{n+1}\Z_p)$. De plus, comme $\Vert {\bf 1}_{a+p^n\Z_p}\Vert_\infty=1$,
les $\mu(a+p^n\Z_p)$ sont bornés.
Si $f$ est une fonction continue sur $\Z_p$, alors $\int_{\Z_p}f(x)\mu(x)$
est donné par la formule
$$\int_{\Z_p}f(x)\mu(x)=\lim_{n\to +\infty}\sum_{a=0}^{p^n-1}
f(a)\mu(a+p^n\Z_p),$$
formule qui ressemble beaucoup à une somme de Riemann.
\end{rema}

\begin{rema}\label{I3.5}
Il y a 2 topologies naturelles que l'on peut mettre
sur $\Z_p[\![T]\!]$:

--- la topologie donnée par le sup. des normes des coefficients,

--- la topologie de la limite projective $\Z_p[\![T]\!]=\lim\limits_\leftarrow
\Z_p[T]/(p,T)^n$ qui en fait un anneau compact, limite projective d'anneaux
finis.
\end{rema}

\begin{prop}\label{I3.6}
La première correspond à la topologie de la convergence forte
sur les mesures et la seconde à la topologie de la convergence faible.
{\rm (\ie une suite $(\mu_n)_{n\in\N}$ de mesures converge si pour toute
fonction continue $f$,
la suite $\int_{\Z_p}f(x)\mu_n(x)$ converge)}.
\end{prop}

\demo Exercice.

\Subsection{Exemples de mesures et opérations sur les mesures}
i) La mesure de Haar: On cherche une mesure invariante par translation
sur $\Z_p$, ce qui implique $\mu(a+p^n\Z_p)={1\over{p^n}}\mu(\Z_p)$
quels que soient $a\in\Z_p$ et $n\in\N$. Ceci n'est possible que si
$\mu(\Z_p)=0$ (et donc si $\mu=0$)
car les $\mu(a+p^n\Z_p)$ doivent être bornés en norme
par $\Vert\mu\Vert_\infty$. Il~n'y a donc pas de mesure de Haar
en $p$-adique et donc aucun moyen canonique d'associer une mesure
à une fonction.
\vskip.2cm
ii) Masses de Dirac:
si $a\in\Z_p$, soit $\delta_a$ la masse de Dirac
en $a$, c'est-à-dire la mesure qui à $f$ associe
$f(a)$. Sa transformée d'Amice est $(1+T)^a$ et sa transformée
de Laplace est $e^{at}$.
\vskip.2cm
iii) Multiplication d'une mesure par une fonction continue:
si $\mu$ est une mesure et $g\in{\cal C}^0(\Z_p,\Q_p)$, on définit
la mesure $g\mu$ par la formule $\int_{\Z_p}f(x)(g\mu(x))=\int_{\Z_p}
fg(x)\mu(x)$.

--- Multiplication par $x$. On a
\[
x\cdot{x\choose n}=
((x-n)+n){x\choose n}=(n+1){x\choose{n+1}}+n{x\choose n}.
\]
On en déduit la formule
$$
{\cal A}_{x\mu}(T)=(1+T){d\over{dT}}
{\cal A}_\mu(T).$$
--- Multiplication par $z^x$ si $|z-1|_p<1$. D'après le lemme \ref{I3.2},
si $|y-1|_p<1$, et si $\lambda$ est une mesure, alors
$\int_{\Z_p}y^x\lambda(x)={\cal A}_\lambda(y-1)$. Appliquant
ceci à
$\lambda=z^x\mu$, on obtient ${\cal A}_\lambda(y-1)=
{\cal A}_\mu(yz-1)$ quel que soit $y\in B(1,1^-)$. On en déduit
la formule
$${\cal A}_{z^x\mu}(T)=
{\cal A}_\mu((1+T)z-1).$$

iv) Restriction d'une mesure à un ouvert compact:
Si $X$ est un ouvert compact de $\Z_p$ (réunion finie d'ouvert
du type $a+p^n\Z_p$), la fonction
carac\-téristique $1_X$ de $X$ est continue sur $\Z_p$. Si $\mu$
est une mesure sur $\Z_p$, la mesure $1_X\mu$ est appelée la restriction
de $\mu$ à $X$ et est notée ${\rm Res}_X(\mu)$. On écrira
indifféremment $\int_{\Z_p}f{\rm Res}_X(\mu)$ ou
$\int_{\Z_p}1_X(x)f(x)\mu(x)$ ou en général $\int_X f(x)\mu(x)$.
Comme la fonction caractéristique de $a+p^n\Z_p$ est
${1\over {p^n}}\sum_{\epsilon^{p^n}=1}\epsilon^{x-a}$, on déduit
de la formule ci-dessus, l'identité
$${\cal A}_{{\rm Res}_{a+p^n\Z_p}(\mu)}(T)=
{1\over {p^n}}\sum_{\epsilon^{p^n}=1}\epsilon^{-a}{\cal A}_\mu((1+T)\epsilon-1).$$

v) Convolution des mesures:

\begin{lemm}\label{I4.1}
Si $f$ est une fonction continue sur $\Z_p$ et si $\mu$ est une mesure
sur $\Z_p$, la fonction $\mu*f$ définie par
$\int_{\Z_p}f(x+y)\mu(x)$ est une fonction continue de $y\in\Z_p$
et l'application $f\to \mu*f$ est une application
linéaire continue de ${\cal C}^0(\Z_p,\Q_p)$ dans lui-même.
\end{lemm}

\demo La continuité de $\mu*f$ est une conséquence de l'uniforme
continuité de $f$ et d'autre part, $\Vert\mu*f\Vert_\infty\leq\Vert\mu\Vert
\Vert f\Vert_\infty$ d'où la continuité de $f\to
\mu*f$.
\par\medskip
Ceci nous permet, si $\lambda$ et $\mu$ sont deux mesures
sur $\Z_p$ de définir leur convolée
$\lambda*\mu$ par la formule
$\lambda*\mu(f)=\lambda(\mu*f)$ ou encore
$$\int_{\Z_p}f(x)\lambda*\mu(x)=\int_{\Z_p}\Bigl(\int_{\Z_p}
f(x+y)\mu(x)\Bigr)\lambda(y).$$
Un calcul immédiat nous donne $\delta_a*\delta_b=\delta_{a+b}$.

D'autre part, si $|z|_p<1$, alors
$$\int_{\Z_p}\Bigl(\int_{\Z_p}(1+z)^{x+y}\mu(x)\Bigr)\lambda(y)
={\cal A}_\mu(z)\int_{\Z_p}(1+z)^y\lambda(y)={\cal A}_\mu(z)
{\cal A}_\lambda(z);$$
On en déduit la formule
$${\cal A}_{\lambda*\mu}(T)={\cal A}_\lambda(T){\cal A}_\mu(T)$$
ce qui prouve que les mesures munies de la convolution
forment une algèbre commutative et associative et que
$\mu\to {\cal A}_\mu$ est un isomorphisme d'algèbres
de l'espace des mesures sur celui des séries entières bornées.

\Subsection{Autre point de vue sur les mesures}
Soit $\Gamma$ un groupe commutatif
profini (c'est-à-dire que l'on peut trouver une suite de sous-groupes
ouverts $\Gamma_n\supset\Gamma_{n+1}$ de $\Gamma$ tels que $\Gamma/\Gamma_n$ soit un
groupe fini et l'application naturelle de $\Gamma$
dans la limite projective des $\Gamma/\Gamma_n$ soit un isomorphisme
de groupes topologiques. Le groupe $\Gamma$
est alors compact et les~$\Gamma_n$ forment une base
de voisinages de $0$).
Exemples de base $\Z_p=\linv\Z/p^n\Z$ ou $\Z_p^\dual=\linv(\Z/p^n\Z)^\dual$.

Comme $\Gamma_{n+1}\subset\Gamma_n$, on a une application naturelle
de l'algèbre de groupe $\Z_p[\Gamma/\Gamma_{n+1}]$ sur
$\Z_p[\Gamma/\Gamma_n]$ et on peut donc considérer
l'algèbre de groupe complétée
$\Z_p[\![\Gamma]\!]$ limite projective des $\Z_p[\Gamma/\Gamma_n]$.
Par construction, on dispose d'une application $\pi_n:\Z_p[\![\Gamma]\!]\to
\Z_p[\Gamma/\Gamma_n]$.

Soit $\mu\in\Z_p[\![\Gamma]\!]$.
Si $f$ est une fonction localement constante sur~$\Gamma$,
comme~$\Gamma$ est compact, il existe $n\in\N$ tel que
$f$ soit constante modulo~$\Gamma_n$.
On vérifie facilement que
si $\pi_n(\mu)=\sum_{g\in\Gamma/\Gamma_n}a_g\delta_g$
et si $f$ est constante modulo~$\Gamma_n$, alors
$\sum_{g\in\Gamma/\Gamma_n}a_gf(g)$ ne dépend pas du choix
de $n$, ce qui nous permet de voir $\mu$ comme une forme
linéaire sur l'espace des fonctions localement constantes
à valeurs dans~$\Q_p$. Comme
$\pi_n(\mu)\in\Z_p[\Gamma/\Gamma_n]$, on a $|\mu(f)|_p\leq
\Vert f\Vert_\infty$ et donc $\mu$ peut se prolonger au complété
de l'espace des fonctions localement constantes sur~$\Gamma$ pour la
norme $\Vert\ \Vert_{\infty}$, et comme les fonctions localement
constantes sont continues et $\Gamma$ est compact, ce complété
est l'espace des fonctions continues sur $\Gamma$ à valeurs dans
$\Q_p$ et $\mu$ peut donc être vu comme une mesure sur $\Gamma$.

Réciproquement, si $\mu$ est une mesure sur $\Gamma$ de
norme $1$, on voit
$\mu$ comme un élément de $\Z_p[\![\Gamma]\!]$ en posant
\[
\pi_n(\mu)=\sum_{g\in\Gamma/\Gamma_n}\biggl(\int_{g+\Gamma_n}\mu\biggr)\delta_g
\in\Z_p[\Gamma/\Gamma_n].
\]
La convolution des mesures correspondant au produit dans l'algèbre
de groupe complétée.

Par exemple, dans le cas $\Gamma=\Z_p$ et $\Gamma_n=p^n\Z_p$,
la transformée d'Amice induit un isomorphisme de $\Z_p[\![\Gamma]\!]$
sur $\Z_p[\![T]\!]$ et elle envoie~$\delta_a$ sur $(1+T)^a$
et donc
\[
\Z_p[\Gamma/\Gamma_n]=\Z_p[\![\Gamma]\!]/(\delta_{p^n}-\delta_0)
\cong \Z_p[\![T]\!]/((1+T)^{p^n}-1).
\]

\def\lah{{{\rm LA}_h}}

\section{Distributions sur \texorpdfstring{$\Z_p$}{Zp}}

\Subsection{Fonctions localement analytiques sur \texorpdfstring{$\Z_p$}{Zp}}

Si $h\in\N$, soit $\lah$ l'espace des fonctions de $\Z_p$ dans
$\Q_p$ analytiques sur $a+p^h\Z_p$ quel que soit $a\in\Z_p$.
Si $f\in\lah$, alors, quel que soit $x_0\in\Z_p$, on peut
développer $f$ sous la forme
$$f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(x_0)\bigl({{x-x_0}\over{p^h}}\bigr)^k,$$
où $a_k(x_0)$ est une suite d'éléments de $\Q_p$
tendant vers $0$ quand $k$ tend vers $+\infty$.
Si $f\in\lah$ et $x_0\in\Z_p$, on pose
$\Vert f\Vert_{h,x_0}=\max_k(|a_k(x_0)|_p)$ et $\Vert f\Vert_\lah=
\sup_{x_0\in\Z_p}\Vert f\Vert_{h,x_0}$.
Il résulte de la théorie des séries formelles que l'on a aussi
$$\Vert f\Vert_{h,x_0}=\sup_{z\in\O_{\C_p}}|f(x_0+p^h z)|_p$$
et donc que $\Vert f\Vert_{h,x_0}=\Vert f\Vert_{h,x_1}$ si
$x_1-x_0\in p^h\Z_p$ et que, si $S$ est un système de représentants
de $\Z_p$ modulo $p^h\Z_p$, alors $\Vert f\Vert_\lah=\sup_{x\in S}
\Vert f\Vert_{h,x}$.

\begin{lemm}\label{I6.1}
Si $f\in\lah$, alors la dérivée $n$-ième de
$f$ appartient à $\lah$ et de plus,
$\Vert {{p^{nh}f^{(n)}}/{n!}}\Vert_\lah\leq\Vert f\Vert_\lah$
quel que soit $n\in\N$ et la suite de terme général
$\Vert{{p^{nh}f^{(n)}}/{n!}}\Vert_\lah$ tend vers $0$ quand
$n$ tend vers $+\infty$.
\end{lemm}

\demo Soit $S$ un système de représentants de $\Z_p$
modulo $p^h\Z_p$. Si $x_0\in\Z_p$, alors
${{p^{nh}f^{(n)}(x)}/{n!}}=\sum_{k=0}^{+\infty}{{n+k}\choose n}
a_{n+k}(x_0)({{x-x_0}\over{p^h}})^k$.
Comme ${{n+k}\choose n}$ est entier, on en déduit l'inégalité
$$\Big\Vert {{p^{nh}f^{(n)}}\over{n!}}\Big\Vert_{h,x_0}\leq\sup_{k\geq n}
|a_k(x_0)|_p\leq \sup_{k\geq 0}
|a_k(x_0)|_p\leq \Vert f\Vert_{h,x_0}.$$
On en déduit la majoration que l'on cherche et le fait que la suite de terme
général $\Vert{{p^{nh}f^{(n)}}/{n!}}\Vert_\lah$ tend vers $0$
est une conséquence du fait que la suite $a_k(x_0)$ tend vers $0$.
\par\medskip
On peut écrire tout entier $n$ de manière unique sous la forme
$n=mp^h-i$ avec $1\leq i\leq p^h$ et
$m\geq 1$. Soit alors $e_n(x)$ la fonction
${\bf 1}_{-i+p^h\Z_p}(x)({{x+i}\over{p^h}})^{m-1}$

\begin{lemm}\label{I6.2}
Les $e_n$ pour $n\in\N$ forment une base de Banach de $\lah$.
\end{lemm}

\demo Il suffit de revenir à la définition de
la norme sur $\lah$ et d'utiliser le fait que $\{-i,\ 1\leq i\leq p^h\}$
est un système de représentants de $\Z_p$ modulo $p^h\Z_p$.

\begin{theo}\label{I6.3}
Les $[{n\over{p^h}}]!{x\choose n}$ pour $n\in\N$ forment
une base de Banach de $\lah$.
\end{theo}

\demo
Posons $g_n(x)=[{n\over{p^h}}]!{x\choose n}$.
Si $j\in\{1,\dots,p^h\}$, soit $g_{n,j}(x)=g_n(-j+p^hx)$.
Par définition, on a
$$g_{n,j}(x)=[{n\over{p^h}}]!{1\over{n!}}\prod_{k=0}^{n-1}
(-j-k+p^hx).$$
Pour simplifier les formules (transformer des produits de $p^x$ en som\-mes),
on définit $v_p(g_{n,j})$ comme étant l'inf.\ des valuations
$p$\nobreakdash-adi\-ques des coefficients
de $g_{n,j}$, ce qui fait que l'on a
\[
\Vert g_n\Vert_{h,-j}=
p^{-v_p(g_{n,j})},
\]
comme on le voit en revenant à la définition.
On a aussi $v_p(g_{n,j})=\inf_{x\in\O_{\C_p}}v_p(g_{i,j}(x))$.
Si $v_p(j+k)<h$, alors $v_p(-j-k+p^hx)=v_p(j+k)$
quel que soit $x\in \O_{\C_p}$ et si
$v_p(j+k)\geq h$, alors $v_p(-j-k+p^hx)\geq h$
quel que soit $x\in \O_{\C_p}$ avec égalité si l'image de $x$
dans $\overline{\bf F}_p$ n'appartient pas à ${\bf F}_p$.
On en déduit la formule
\begin{align*}
v_p(g_{n,j})&=v_p([{n\over{p^h}}]!)-v_p(n!)+
\sum_{k=0}^{n-1}\inf(v_p(j+k), h)\\
&=\sum_{\ell=1}^h \Bigl([{{n+j-1}\over{p^\ell}}]-[{{j-1}\over{p^\ell}}]-[{n\over{p^\ell}}]\Bigr).
\end{align*}
Comme $[x+y]\geq[x]+[y]$, chacun des termes de la somme est positif ou nul
et donc
$\Vert g_{n}\Vert_\lah\leq 1$ et d'autre part, le cas $j=1$
implique $\Vert g_{n}\Vert_\lah=1$.
Pour continuer la démonstration, nous aurons besoin du lemme suivant.

\begin{lemm}\label{I6.4}
Soit $n=mp^h-i$ avec $1\leq i\leq p^h$ et, si
$j\in\{1,\dots,p^h\}$, soit $\overline g_{n,j}$ la réduction
de $g_{n,j}$ modulo~$p$. Alors

{\rm (i)} $\overline g_{n,j}=0$ si $j>i$

{\rm (ii)} $\deg (\overline g_{n,i})=m-1$

{\rm (iii)} $\deg (\overline g_{n,j})\leq m-1$ si $j<i$.
\end{lemm}

\demo
Développons $g_{n,j}$ sous la forme $\sum_{k=0}^na_kx^k$.
D'après la discussion
précédente, on a $a_k\in\Z_p$.
D'autre part,
les zéros de $g_{n,j}$ sont les ${{j+k}\over{p^h}}$ pour $k\in
\{0,1,\dots,n-1\}$. Le nombre de zéros de $g_{n,j}$ dans $\O_{\C_p}$
est donc égal au nombre d'éléments de $\{0,1,\dots,n-1\}$
tels que $v_p(j+k)\geq h$; on en déduit le fait que
$g_{n,j}$ a $[{{n+j-1}\over{p^h}}]-
[{{j-1}\over{p^h}}]=[{{n+j-1}\over{p^h}}]$ zéros dans $\O_{\C_p}$.
Si on utilise alors la relation entre les coefficients d'un polynôme
et les fonctions symétriques de ses racines, on montre que
$v_p(a_k)$ atteint son minimum pour $k=k_0=[{{n+j-1}\over{p^h}}]$
et que l'on a $v_p(a_k)>v_p(a_{k_0})$ si $k>k_0$.
Le degré de $\overline g_{n,j}$ est donc
inférieur ou égal à $[{{n+j-1}\over{p^h}}]$, l'égalité
se produisant si et seulement si $v_p(g_{n,j})=0$ (autrement,
$\overline g_{n,j}=0$). On en tire le (iii) et le (i) car si
$j>i$, alors $[{{n+j-1}\over{p^h}}]-[{{j-1}\over{p^h}}]-[{n\over{p^h}}]=1$
et $v_p(g_{n,j})\geq 1$.

Si $x\in\R$, soit $\{x\}=x-[x]$.
On a $\{{{n+i-1}\over{p^k}}\}=1-{1\over{p^k}}$ si $k\leq h$
et, comme de plus $\{{{i-1}\over{p^k}}\}\leq 1-{1\over{p^k}}$ et
$\{{{n}\over{p^k}}\}\leq 1-{1\over{p^k}}$, on en déduit l'inégalité
\begin{multline*}
0\leq \Bigl[{{n+i-1}\over{p^k}}\Bigr]-\Bigl[{{i-1}\over{p^k}}\Bigr]-\Bigl[{{n}\over{p^k}}\Bigr]\\
=
\Bigl\{{{i-1}\over{p^k}}\Bigr\}+\Bigl\{{{n}\over{p^k}}\Bigr\}-\Bigl\{{{n+i-1}\over{p^k}}\Bigr\}
\leq 1-{1\over{p^k}}<1.
\end{multline*}
On en déduit $v_p(g_{n,i})=0$ et $\deg(\overline g_{n,i})=
[{{n+i-1}\over{p^h}}]=[{{mp^h-1}\over{p^h}}]=m-1$, ce qui permet de conclure.

\begin{coro}\label{I6.5}
La matrice exprimant les $\overline g_n$ dans la base des $\overline e_n$
est triangulaire supérieure et ses coefficients diagonaux sont inversibles.
\end{coro}

Ce corollaire
permet de terminer la démonstration du théorème~\ref{I6.3} en vertu
de la proposition \ref{I1.6}.

\begin{coro}\label{I6.6}
Soit ${\rm LA}$ l'espace des fonctions localement analytiques sur $\Z_p$.
Alors
$f\in{\rm LA}$ si et seulement
si $\liminf {1\over n}v_p(a_n(f))>0$.
\end{coro}

\demo $\Z_p$ étant compact, si $f$ est localement analytique
sur $\Z_p$, alors elle appartient à $\lah$ pour un certain $h$
et alors $\liminf {1\over n}v_p(a_n(f))\geq {1\over{(p-1)p^h}}$
d'après le théorème~\ref{I6.3}. Réciproquement, si
$\liminf {1\over n}v_p(a_n(f))> {1\over{(p-1)p^h}}$, alors
$([{n\over{p^h}}]!)^{-1}a_n(f)$ tend vers~$0$ et $f\in\lah$.

\Subsection{Fonctions \texorpdfstring{$k$}{k}-fois uniformément dérivables}
On dit qu'une fonction $f$ sur $\Z_p$ est de classe ${\cal C}^k_u$
si les fonctions
$f^{[i]}(x,h_1,\dots,h_i)$ définies pour $0\leq i\leq k$ sur
$\Z_p\times(\Z_p-\{0\})^{i}$
par récurrence grâce à la formule
$f^{[0]}(x)=f(x)$ et
\begin{multline*}
f^{[i]}(x,h_1,\dots,h_i)\\
={1\over h_i}(f^{[i-1]}
(x+h_i,h_1,\dots ,h_{i-1})-f^{[i-1]}(x,h_1,\dots,h_{i-1}))
\end{multline*}
se prolongent en des fonctions continues sur $\Z_p^{i+1}$.

\medskip
Sur $\R$, les notions de classe ${\cal C}^k_u$ et de classe ${\cal C}^k$
coïncident car on a
$$f^{[i]}(x,h_1,\dots,h_i)=\int_{[0,1]^i}f^{(i)}(x+t_1h_1+\cdots+t_ih_i)\,
dt_1\dots dt_i.$$
Sur $\Z_p$, l'exemple suivant montre qu'il n'en est rien.
Comme on l'a vu, tout élément $x$ de $\Z_p$ peut s'écrire
de manière unique sous la forme $\sum_{n=0}^{+\infty}p^na_n(x)$, avec
$a_n(x)\in\{0,\dots,p-1\}$, ce qui permet de définir une fonction
$f:\Z_p\to\Z_p$ grâce à la formule
$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}p^{2n}a_n(x)$.
On a alors $|f(x)-f(y)|_p\leq |x-y|_p^2$ quels que soient $x,y\in\Z_p$,
ce qui montre que $f$ est dérivable, de dérivée nulle, en tout point
(elle est donc aussi de classe ${\cal C}^\infty$)
bien que $f$ ne soit localement constante au voisinage d'aucun point.
D'autre part, si $(x,h_1,h_2)=(0,p^n,p^n)$ (\resp $(x,h_1,h_2)\!=\!((p-1)p^n,p^n,p^n)$),
on a $f^{[2]}(x,h_1,h_2)\!=\!0$ (\resp $f^{[2]}(x,h_1,h_2)=p-p^2$), ce qui montre
que $f^{[2]}$ ne peut se prolonger par continuité en $(0,0,0)$.

La fonction $f$ est aussi un contre-exemple à un autre énoncé
naturel puisqu'elle est de classe ${\cal C}^\infty$ mais n'a
de développement limité d'ordre~$2$ en aucun point.

%\enlargethispage{\baselineskip}%
On munit ${\cal C}^k_u(\Z_p,\Q_p)$ de la norme naturelle
$\Vert\ \Vert$ définie par
$$\Vert f\Vert=\sup_{0\leq i\leq k}\sup_{(x,h_1,\dots,h_i)\in\Z_p^{i+1}}
|f^{[i]}(x,h_1,\dots,h_i)|_p$$
qui en fait un espace de Banach $p$-adique. Soit
\[
L(n,k)=\max\{v_p(n_1)+\cdots+v_p(n_i)\ |\ i\leq k,\
n_1+\cdots+n_i=n,\ n_j\geq 1\}.
\]

\begin{theo}\label{I7.1}
Les $p^{L(n,k)}{x\choose n}$ forment une base de
Banach de ${\cal C}^k_u(\Z_p,\Q_p)$.
\end{theo}


\demo
Soit $g_T(x)=(1+T)^x$. On a $$g_T^{[i]}(x,h_1,\dots,h_k)=
(1+T)^x\prod_{j=1}^i{{(1+T)^{h_j}-1}\over{h_j}},$$ ce qui nous donne,
notant $P_n$ le polynôme ${x\choose n}$,
identifiant les termes de degré~$n$ de chaque coté,
et utilisant l'identité ${1\over x}{x\choose n}={1\over n}{{x-1}\choose{n-1}}$,
la formule
\begin{multline*}
P_n^{[i]}(x,h_1,\dots,h_i)\\[-5pt]
=\sum_{\substack{{n_0+n_1+\dots+n_i=n}\\
{n_1,\dots,n_i\geq 1}}}{1\over{n_1\cdots n_i}}{x\choose n_0}
{{h_1-1}\choose{n_1-1}}\dots{{h_i-1}\choose{n_i-1}}.
\end{multline*}
Si $y$ est une variable, soit $\partial^{[1]}_y$ l'opérateur qui à
$f(z,y)$ associe $\partial^{[1]}_y(z,y)=f(z,y+1)-f(z,y)$ et, si $k\in\N$,
soit $\partial^{[k]}_y$ l'itéré $k$-ième de $\partial_y^{[1]}$.
Soit $g_i(x,h_1,\dots,h_i)=f^{[i]}(x,h_1+1,\dots,h_i+1)$.
On déduit de la formule précédente, l'identité
$$\partial_x^{[n_0]}\partial_{h_1}^{[n_1-1]}\dots\partial_{h_i}^{[n_i-1]}
g_i(0,0,\dots,0)={{a_{n_0+\cdots+n_i}(f)}\over{n_1\cdots n_i}}$$
et donc, utilisant le théorème de Mahler à $i+1$ variables,
que si $g_i$ (et donc~$f^{[i]}$) est continue, alors la suite
de terme général ${{a_{n_0+\cdots+n_i}(f)}\over{n_1\cdots n_i}}$
tend vers $0$ quand $n_0+\cdots +n_i$ tend vers $+\infty$ et que,
réciproquement, si cette suite tend vers $0$, alors la série
$$\sum_{n_0=0}^{+\infty}\sum_{n_1=1}^{+\infty}\dots\sum_{n_i=1}^{+\infty}
{{a_{n_0+\cdots+ n_i}(f)}\over{n_1\cdots n_i}}{x\choose n_0}
{{h_1-1}\choose{n_1-1}}\dots{{h_i-1}\choose{n_i-1}}
$$
définit une fonction continue sur $\Z_p^{i+1}$ qui coïncide
avec $f^{[i]}$ sur $\N\times (\N-\{0\})^i$ et donc sur
$\Z_p\times(\Z_p-\{0\})^i$, et que l'on a de plus
$$\Vert f^{[i]}\Vert_\infty=\Vert g_i\Vert_\infty=
\sup_{n_0,\dots,n_i}{1\over{|n_1 \cdots n_i|_p}}|a_{n_0+\cdots+ n_i}(f)|_p\,;$$
d'où le résultat.

\begin{lemm}\label{I7.2}
Il existe $C_k>0$ tel que l'on ait
$k{{\log n}\over{\log p}}-C_k\leq L(n,k)\leq k{{\log n}\over{\log p}}$.
\end{lemm}

\demo Si $n_i\leq n$, alors $v_p(n_i)\leq {{\log n}\over{\log p}}$.
D'autre part, si $k\leq p^r$ et $u=[{{\log n}\over{\log p}}]$, on peut
prendre $(n_1,\dots,n_k)=(p^{u-r},\dots,p^{u-r})$ ce qui implique
$L(n,k)\geq k({{\log n}\over{\log p}}-1-r)$ et permet de conclure.

\begin{coro}\label{I7.3}
$f\in{\cal C}_u^k$ si et seulement si la suite de terme
général $n^k|a_n(f)|_p$ tend vers $0$ et la norme
$\Vert f\Vert_{{\cal C}^k_u}=\sup_n(n+1)^k|a_n(f)|_p$ est
équivalente à la norme naturelle sur ${\cal C}_u^k$.
\end{coro}

\Subsection{Distributions continues}
On appelle distribution continue sur $\Z_p$ une forme linéaire
continue sur ${\rm LA}$, c'est-à-dire une forme linéaire sur
${\rm LA}$ dont la restriction à chaque $\lah$ est continue.
On note ${\cal D}_{\rm cont}$ l'ensemble de ces distributions.

Si $h\in\N$, on pose $\rho_h=p^{-{1/{(p-1)p^h}}}$. On a aussi
$\rho_h=|\epsilon-1|_p$ si $\epsilon$ est une racine primitive $p^{h+1}$-ième
de l'unité (\cf exemple~\ref{cyclo}).

\medskip
Transformées d'Amice et Laplace:
\begin{align*}
{\cal A}_\mu(T)&=\int_{\Z_p}(1+T)^x\mu(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}T^n\int_{\Z_p}
{x\choose n}\mu(x)\\
{\cal L}_\mu(t)&=\int_{\Z_p}e^{tx}\mu(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}t^n\int_{\Z_p}
{x\over {n!}}\mu(x).
\end{align*}

\begin{lemm}\label{I8.1}
Si $z\in B(0,1^-)$, alors $\int_{\Z_p}(1+z)^x\mu(x)={\cal A}_\mu(z)$.
\end{lemm}

\demo Si $|z|_p<\rho_h$, alors la série
$\sum_{n=0}^{+\infty}{x\choose n}z^n$ converge vers $(1+z)^x$ dans
$\lah(\Z_p,\C_p)$ car ${{z^n}/{[{n/{p^h}}]!}}$ tend vers $0$.

\medskip
Si $F(T)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nT^n$ est de rayon de convergence $\geq 1$ et si
$\rho<1$, on note $\Vert F\Vert_\rho$ le maximum de
$|a_n|_p\rho^n$ pour $n\in\N$. C'est aussi le maximum de
$|F(x)|_p$ pour $x\in\C_p$ vérifiant $|x|_p\leq\rho$.
On a $\Vert F\Vert_{\rho_1}\leq \Vert F\Vert_{\rho_2}$
si $\rho_1\leq \rho_2$ et une adaptation de la démonstration
du lemme de Gauss montre que l'on a
$\Vert FG\Vert_\rho\leq\Vert F\Vert_\rho\Vert G\Vert_\rho$
si $F$ et $G$ sont de rayon de convergence $\geq 1$ et $\rho<1$.

\begin{theo}\label{I8.2}
L'application qui à une distribution associe sa transformée
d'Amice est un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques de
${\cal D}_{\rm cont}$ sur l'espace des séries formelles
convergeant sur $B(0,1^-)$.
De plus, on a
$$\Vert{\cal A}_\mu\Vert_{\rho_h}\leq\Vert\mu\Vert_\lah\leq p\Vert
{\cal A}_\mu\Vert_{\rho_{h+1}}.$$
\end{theo}

\demo
Soit $\mu$ une distribution et
\[
{\cal A}_\mu(T)=\sum_{n=0}^{+\infty}
b_nT^n
\]
sa transformée d'Amice. D'après le théorème \ref{I6.3},
quel que soit $h\in\N$, la suite de terme général
$[{n/{p^h}}]!b_n$ est bornée et
\[
\Vert\mu\Vert_\lah=
\sup_n|[{n/{p^h}}]!b_n|_p.
\]
On en déduit le fait
que ${\cal A}_\mu$ converge sur $B(0,\rho_h^-)$
quel que soit~$h$ (et donc converge
sur $B(0,1^-)$)
et que de plus,
\[
\Vert{\cal A}_\mu(T)\Vert_{\rho_h}=\sup_n|b_n|_p\rho_h^n\leq
\Vert\mu\Vert_{\lah}
\]
car $\rho_h^n\leq|[{n/{p^h}}]!|_p$.

Réciproquement, si $F$ converge sur $B(0,1^-)$, alors la suite
de terme général $[{n/{p^h}}]!b_n$ tend vers 0 et
$\sup_n|[{n/{p^h}}]!b_n|_p\leq p
\Vert F(T)\Vert_{p^{-{{1/{p^{h+1}}}}}}$ (car $v_p([{n/{p^h}}]!)
\geq {n/{p^{h+1}}}-1$) et comme $\rho_{h+1}\geq p^{-{{1/{p^{h+1}}}}}$,
on en déduit la majoration du théorème, ce qui termine la démonstration.

\begin{rema}\label{I8.3}
On montre plus généralement que quel que soit $\epsilon>0$, il existe
$C_{h,\epsilon}>0$ tel que l'on ait
$\Vert\mu\Vert_\lah\leq C_{h,\epsilon}\Vert{\cal A}_\mu\Vert_{\rho_h+\epsilon}$.
\end{rema}

\Subsection {Opérations sur les distributions}
Les opérations sur les distributions sont en gros les mêmes que celles
que nous avons définies sur les mesures et les démonstrations sont
très semblables.
\vskip.2cm
i) Dérivée d'une distribution: Si $\mu$ est une distribution,
on définit sa dérivée ${d\over dx}\mu$ par la formule
$$\int_{\Z_p}f(x){d\over {dx}}\mu(x)=\int_{\Z_p}f'(x)\mu(x).$$
La transformée d'Amice de ${d\over{dx}}\mu$ s'obtient
à partir de celle de $\mu$ par multiplication par
$\log(1+T)$; sa transformée de Laplace par multiplication par $t$.
Contrairement au cas réel, on ne peut en général pas
définir la primitive d'une distribution puisque cela revient au niveau
des transformées d'Amice à diviser par la série entière
$\log(1+T)$ qui a beaucoup
de zéros dans $B(0,1^-)$.

\smallskip
ii) Multiplication par une fonction localement analytique:
$$\int_{\Z_p}f(x)(g(x)\mu(x))=\int_{\Z_p}(f(x)g(x))\mu(x).$$

-- Multiplication par $x$: ${\cal A}_{x\mu}(T)=(1+T){d\over{dT}}{\cal A}_{\mu}(T)$ et
${\cal L}_{x\mu}(t)={d\over{dt}}{\cal L}_{\mu}(t)$.

-- Multiplication par $z^x$ avec $|z-1|_p<1$. Le lemme \ref{I8.1} montre que l'on~a
$${\cal A}_{z^x\mu}(T)={\cal A}_\mu(z(1+T)-1).$$

\smallskip
iii) Division par $x$. Si $\mu$ est une distribution, l'équation $x\lambda=\mu$
a une infinité de solutions différant $2$ à $2$ par un multiple
de la masse de Dirac en $0$. En effet, on peut écrire n'importe quel
élément de ${\rm LA}$ sous la forme $f=f(0){\bf 1}_{\Z_p}+xg$, où
$g\in{\rm LA}$ et les solutions de l'équation $x\lambda=\mu$ sont donc
de la forme $$\int_{\Z_p}f(x)\lambda(x)=af(0)+\int_{\Z_p}g(x)\mu(x).$$

La transformée d'Amice de $x^{-1}\mu$ est une primitive (déterminée
à constante près, ce qui correspond à l'indétermination de
$ x^{-1}\mu$ à un multiple près de la masse de Dirac)
de $(1+T)^{-1}{\cal A}_\mu(T)$.

\smallskip
iv) Restriction à $a+p^n\Z_p$:
$${\cal A}_{{\rm Res}_{a+p^n\Z_p}(\mu)}(T)=
\frac{1}{p^n}\sum_{\epsilon^{p^n}=1}\epsilon^{-a}
{\cal A}_\mu((1+T)\epsilon-1).$$

\smallskip
v) Convolution:
Si $f\in\lah$ et $\mu\in{\cal D}_{\rm cont}$, alors
$$\mu*f\in\lah\quad\text{et}\quad \Vert\mu*f\Vert_\lah\leq\Vert\mu\Vert_\lah\Vert f\Vert_\lah.$$
En effet, si $|y-y_0|_p\leq p^{-h}$, alors
$$f(x+y)=\sum_{n=0}^{+\infty}{{p^{nh}f^{(n)}(x+y_0)}\over{n!}}\Big({{y-y_0}\over
{p^h}}\Big)^n$$ et le lemme \ref{I6.1} montre que
$$\Big\Vert{{p^{nh}f^{(n)}(x+y_0)}\over{n!}}\Big\Vert_\lah\leq\Vert f\Vert_\lah$$
quel que soit $n\in\N$, et la suite de terme général
${{p^{nh}f^{(n)}(x+y_0)}/{n!}}$ tend vers~$0$ dans $\lah$.

Ceci permet de définir la convolution de deux distributions continues
et on~a
$${\cal A}_{\lambda*\mu}(T)={\cal A}_\lambda(T){\cal A}_\mu(T).$$

\Subsection{Distributions tempérées}
\def\rbar{{{\bf R}}}

\begin{defi}\label{I10.2}
Soit $r\in\rbar$. Une distribution continue $\mu$ sur $\Z_p$ est dite d'ordre $r$ si
la suite de terme général $p^{-nr}\Vert\mu\Vert_{{\rm LA}_n}$ est
bornée.
On note
${\cal D}_r$ l'ensemble des distributions d'ordre $r$ que l'on munit
de la norme $\Vert\ \Vert_r$ définie par $\Vert\mu\Vert_r=\sup_{n\in\N}
p^{-nr}\Vert\mu\Vert_{{\rm LA}_n}$.
Une distribution est dite tempérée s'il existe $r\in\rbar_+$ telle qu'elle soit
d'ordre $r$. On note ${\cal D}_{\rm temp}$ l'espace des distributions
tempérées.
\end{defi}

\skpt
\begin{rema}\label{I10.3}
{\rm (i)} Comme on a $\Vert f\Vert_{{\rm LA}_{n+1}}\leq
\Vert f\Vert_{{\rm LA}_n}$ si $f\in{\rm LA}_n$,
la suite $\Vert\mu\Vert_{{\rm LA}_n}$
est une suite croissante de $n$;
une distribution d'ordre $<0$ est donc nulle.

{\rm (ii)} Si $f$ est constante
modulo $p^n\Z_p$, alors $\Vert f\Vert_{{\rm LA}_n}=\Vert f\Vert_\infty$.
On en déduit le fait qu'une distribution d'ordre $0$ est continue sur l'espace
des fonctions localement constantes
muni de la norme du
$\sup$
et donc est une mesure.

{\rm (iii)} Si $r$ et $r'$ sont deux éléments de $\rbar$ vérifiant
$r\leq r'$, toute distribution d'ordre $r$ est aussi d'ordre $r'$.

{\rm (iv)} si $\mu$ est d'ordre $r$, alors la suite de terme général
$$\sup\limits_{a\in X}\sup_{j\in\N}p^{-nr}\Big\Vert
\int_{a+p^n\Z_p}({{x-a}\over{p^n}})^j\mu\Big\Vert=p^{-nr}\Vert\mu\Vert_{{\rm LA}_n}\leq
p^{-rn}\Vert{\cal A}_\mu\Vert_{\rho_n}$$ est bornée.
\end{rema}

Nous allons maintenant caractériser les distributions d'ordre $r$ en termes
de leur transformée d'Amice.

\begin{defi}\label{I10.4}
Une série entière $F$ de rayon de convergence $1$
sera dite d'ordre $r$ si la suite de terme général
$p^{-nr}\Vert F\Vert_{\rho_n}$ est bornée.
L'espace des séries entières d'ordre $r$ muni de la
norme $\sup_n
p^{-nr}\Vert F\Vert_{\rho_n}$ est un espace de Banach.
\end{defi}


\skpt
\begin{rema}\label{I10.5}
{\rm (i)} Comme la suite $\Vert F\Vert_{\rho_n}$ est croissante, une
série entière d'ordre~$r$ pour $r<0$, est identiquement nulle.

{\rm (ii)} Une série entière d'ordre $0$ est à coefficients bornés.

{\rm (iii)} Comme $\Vert FG\Vert_\rho=\Vert F\Vert_\rho\Vert G\Vert_\rho$, on
en déduit le fait que si $F$ est d'ordre $r$ et $G$ est d'ordre $s$,
alors $FG$ est d'ordre $r+s$.
\end{rema}

\begin{lemm}\label{I10.6}
Si $F\log(1+T)$ est d'ordre $r$, alors $F$ est d'ordre
$r-1$.
\end{lemm}

\demo $\Vert\log(1+T)\Vert_{\rho_n}=p^np^{{-{1/{(p-1)}}}}$.
(Le maximum de $|{1/k}|_p\rho_n^k$ est atteint pour $k=p^n$ et
$k=p^{n+1}$.)

\begin{prop}\label{I10.7}
L'application qui à une distribution associe sa
transformée d'Amice induit un isomorphisme d'espaces de Banach de
l'espace des distributions d'ordre $r$ sur celui des séries entières
d'ordre $r$.
\end{prop}

\demo On a $\Vert{\cal A}_\mu\Vert_{\rho_n}\leq
\Vert\mu\Vert_{{\rm LA}_n}\leq p\Vert{\cal A}_\mu\Vert_{\rho_{n+1}}$
d'après le théorème \ref{I8.2}. On en déduit le résultat.
\par\medskip
Le lemme suivant nous fournira une caractérisation plus commode
des séries d'ordre $r$ et donc des distributions d'ordre $r$.

\begin{lemm}\label{I10.8}
Soit $F(T)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nT^n$ une série convergeant sur $B(0,1^-)$
et $r\in\rbar_+$. Les deux conditions suivantes sont équivalentes:

{\rm (i)} la suite de terme général $p^{-nr}\Vert F\Vert_{\rho_n}$ est bornée,

{\rm (ii)} la suite de terme général $n^{-r}|a_n|_p$ est bornée.
\end{lemm}

\Demo 
(i)$\Rightarrow$(ii) Soit $u_m=\sup_{n\geq
m}p^{-nr}\Vert F\Vert_{\rho_n}$. Quel que soit $k\in\N$, on a
$|a_k|_p\rho_n^k \leq u_mp^{nr}$ si $n\geq m$.
En particulier, si $k\geq p^{m+1}$, on peut appliquer cette
inégalité à $n=[{{\log k}\over{\log p}}]$ de telle sorte
que l'on a ${{\log k}\over{\log p}}-1\leq n\leq
{{\log k}\over{\log p}}$, ce qui nous donne
$$|a_k|_p\leq u_mp^{nr}\rho_n^{-k}\leq u_mk^rp^{-k{{\log\rho_n}\over{\log p}}}$$
et comme 
$$-\log\rho_n={{\log p}\over{(p-1)p^{n}}}\leq
{{\log p}\over{(p-1)p^{{{\log k}\over{\log p}}-1}}},$$
on obtient finalement
$|a_k|_p\leq p^{{{p}/{(p-1)}}}u_m k^r$ si $k\geq p^{m+1}$, ce qui permet
de montrer que si la suite de terme général $u_m$
est bornée, alors celle de terme général
$n^{-r}|a_n|_p$ est bornée, et permet de
conclure.

\smallskip
(ii)$\Rightarrow$(i) Soit $v_m=\sup_{k\geq m}k^{-r}|a_k|_p$. Un petit
calcul montre que si $r>0$ et $a<1$, alors la fonction
$x^ra^x$ atteint son maximum sur $\R_+$ en $-{r/{\log a}}$ et
que ce maximum vaut $e^{-r}({-r/{\log a}})^r$.
On en déduit la majoration
$$\Vert F\Vert_{\rho_n}=\sup_k|a_k|_p\rho_n^k\leq
\max\Bigl(\sup_{k\leq m}|a_k|_p\rho_n^k, v_me^{-r}\Big({-r\over{\log \rho_n}}\Big)^r
\Bigr)$$
et comme $\rho_n$ tend vers $1$, le terme
$\sup_{k\leq m}|a_k|_p\rho_n^k$ est majoré par une constante
ne dépendant pas de $n$ et comme
$${-1\over{\log\rho_n}}={{(p-1)p^n}\over{\log p}},$$ on obtient la majoration
$$p^{-nr}\Vert F\Vert_{\rho_n}\leq e^{-r}r^r\Big({{p-1}\over\log p}\Big)^rv_m $$ si $n$
est assez grand. On en déduit le fait que si la suite de terme général
$v_m$ est bornée, alors celle de terme général
$p^{-nr}\Vert F\Vert_{\rho_n}$ est bornée,
ce qui permet de conclure.

\begin{coro}\label{I10.9}
Si $r\in\rbar_+$, on peut munir ${\cal D}_r$
des trois normes suivantes qui sont équivalentes.

{\rm (i)} $\Vert\mu\Vert_r=\sup_{n\in\N}p^{-nr}\Vert\mu\Vert_{{\rm LA}_n}$.

{\rm (ii)} $\Vert\mu\Vert_{r,1}=\sup_{n\in\N}p^{-nr}\Vert{\cal A}_\mu\Vert_{\rho_n}$

{\rm (iii)} $\Vert\mu\Vert_{r,2}=\sup_{n\in\N}(1+n)^{-r}|\int_{\Z_p}{x\choose n}\mu(x)|_p$.
\end{coro}

\begin{coro}\label{I10.10}
Si $k$ est un entier, ${\cal D}_k$
est le dual de ${\cal C}^k_u(\Z_p,\Q_p)$.
\end{coro}

\demo Cela suit immédiatement de l'équivalence entre les normes
$\Vert\ \Vert$ et $\Vert\ \Vert_{r,2}$ et de la caractérisation
de ${\cal C}^k_u(\Z_p,\Q_p)$ donnée au corollaire \ref{I7.3}.

\begin{rema}\label{I10.11}
C'est ce corollaire qui justifie le nom de distribution
tempérée pour les distributions d'ordre fini.
\end{rema}

\Subsection{Une autre caractérisation des distributions tempérées}
Dans le paragraphe précédent, on a caractérisé
les distributions tempérées en termes de leurs transformées
d'Amice
ce qui permet de construire une distribution tempérée
à partir d'une série entière de rayon de convergence $1$
vérifiant des conditions de croissance. La~connaissance de la transformée
d'Amice d'une distribution est équivalente à la connaissance des
$\int_{\Z_p}x^i\mu(x)$ pour $i\in\N$. Dans ce paragraphe,
nous montrons comment construire (théorème \ref{I11.1} et
corollaire \ref{I11.2}) une distribution d'ordre
fini en ne connaissant que les intégrales du type
$\int_{a+p^n\Z_p}x^i\mu(x)$ pour $a\in\Z_p$, $n\in\N$ et
$0\leq i\leq N$. Cette construction généralise celle des mesures
donnée dans la remarque \ref{I3.4} et est très importante pour
les applications arithmétiques.
\par\medskip
Si $I$ est une partie de $\N$, notons $LP^I$
le $\Q_p$-espace vectoriel des fonctions localement polynomiales sur $\Z_p$
dont les degrés appartiennent à $I$, c'est-à-dire les fonctions
qui s'écrivent localement sous
la forme $\sum_{i\in I}a_ix^i$, où les $a_i$ sont des éléments de $\Q_p$
presque tous nuls.
\par\medskip
On note ${\cal D}_{\rm alg}^I$ l'ensemble des distributions
algébriques sur $\Z_p$ (de degré $\in I$), c'est-à-dire l'ensemble
des formes linéaires sur ${\rm LP}^I$. Un élément $\mu$ de
${\cal D}_{\rm alg}^I$ est donc équivalent à la donnée
des valeurs $\int_{a+p^n\Z_p}x^i\mu(x)$ pour $i\in I$,
$a\in\Z_p$ et $n\in \N$ avec les relations de compatibilité
évidentes
$$\int_{a+p^n\Z_p}x^i\mu(x)=\sum_{k=0}^{p-1}\int_{a+kp^n+p^{n+1}\Z_p}
x^i\mu(x).$$
On a une application naturelle de ${\cal D}_{\rm cont}$ dans
${\cal D}_{\rm alg}^I$ quel que soit $I\subset\N$.

\medskip
Si $r\in\rbar$,on note ${\cal D}_r^{[0,N]}$ le sous-espace
des $\mu\in{\cal D}_{\rm alg}^{[0,N]}$
tels que
la suite de terme
général
$\sup\limits_{a\in \Z_p}\sup\limits_{0\leq i\leq N}p^{-nr}
\Vert \int_{a+p^n\Z_p}({{x-a}\over{p^n}})^i\mu \Vert$
est bornée et on munit ${\cal D}_r^{[0,N]}$
de la norme $\Vert\ \Vert_{r,[0,N]}$ définie par
$$\Vert \mu\Vert_{r,[0,N]}=\sup_{n\in\N}\Bigl(
\sup\limits_{a\in \Z_p}\sup\limits_{0\leq i\leq N}p^{-nr}
\Vert \int_{a+p^n\Z_p}({{x-a}\over{p^n}})^i\mu \Vert\Bigr).$$
On note $E(r)$ la partie entière de $r$.

\begin{theo}\label{I11.1}
Si $r\in\rbar$ et $N\geq E(r)$, l'application naturelle
de ${\cal D}_r$ dans ${\cal D}_{\rm alg}^{[0,N]}$
induit un isomorphisme d'espaces de Banach $p$-adiques de
${\cal D}_r$ sur ${\cal D}_r^{[0,N]}$.
\end{theo}

\begin{coro}\label{I11.2}
Si $N\geq E(r)$, la norme $\Vert\ \Vert_{r,[0,N]}$
est une norme sur ${\cal D}_r$
équivalente à la norme $\Vert\ \Vert_r$.
\end{coro}


\demo
Le fait que l'image de ${\cal D}_r$ dans ${\cal D}_{\rm alg}^{[0,N]}$
soit incluse dans ${\cal D}_r^{[0,N]}$ est une conséquence
de l'inégalité
$$\sup\limits_{a\in \Z_p}\sup\limits_{0\leq i\leq N}p^{-nr}
\Big\Vert \int_{a+p^n\Z_p}\Big({{x-a}\over{p^n}}\Big)^i\mu \Big\Vert
\leq p^{-nr}\Vert\mu\Vert_{{\rm LA}_n}$$
qui implique de plus que l'application en question est continue.
Il~suffit donc, d'après le théorème de l'image ouverte, de
prouver que c'est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

\medskip
Commençons par prouver la surjectivité. Nous allons construire
une forme linéaire continue sur ${\rm LA}$, en approximant $f\in{\rm LA}$
par une suite d'éléments de ${\rm LP}^{[0,N]}$. Les suites
de fonctions que l'on va considérer vont être obtenues en remplaçant $f$
par sa série de Taylor tronquée à l'ordre $N$
au voisinage d'un système de
représentants modulo $p^n\Z_p$ et en faisant tendre $n$ vers $+\infty$.
La vérification que le procédé converge repose sur le lemme \ref{I11.4} dont
le rôle est de montrer que $\int_{\Z_p}f_n\mu(x)$ ne dépend pas trop
du choix du système de représentants modulo $p^n\Z_p$.

\medskip
Si $h\in\N$ et $\mu\in{\cal D}_r^{[0,N]}$,
posons
$$\Vert\mu\Vert_{r,h}=\sup_{n\geq h}\biggl(\sup_{a\in\Z_p}\sup_{0\leq j\leq N}
p^{-nr}\Big|\int_{a+p^n\Z_p}
\Big({{x-a}\over{p^n}}\Big)^j\mu(x)\Big|_p\biggr)$$

\skpt
\begin{rema}\label{I11.3}
(i) La suite $\Vert\mu\Vert_{r,h}$ est décroissante.

(ii)
Si $g\in {\rm LP}^{[0,N]}\cap\lah$, alors
$\Big|\dpl\int_{\Z_p}g(x)\mu(x)\Big|_p\leq p^{rh}\Vert\mu\Vert_{r,h}\Vert g\Vert_\lah$.
\end{rema}

Soit $f\in\lah$. Si $a\in\Z_p$, il existe une suite
$c_k(a)$ tendant vers $0$ telle que l'on ait
$f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}c_k(a) ({{x-a}\over{p^h}})^k$ si $x\in a+p^h\Z_p$.
Si $a\in \Z_p$ et $X$ est un ouvert compact de $\Z_p$ contenu dans
$a+p^h\Z_p$, soit $f_{X,a}$ la fonction définie par la
formule $f_{X,a}(x)={\bf 1}_{X}(x)\Bigl(\sum_{n=0}^N
c_k(a)({{x-a}\over{p^h}})^k\Bigr).$
Nous aurons besoin du lemme suivant.

\begin{lemm}\label{I11.4}
Soient $f\in \lah$, $n\geq h$, $a\in\Z_p$ et $X=a+p^{n+1}\Z_p$.
Alors, quel que soit $b\in a+p^n\Z_p$, on a la majoration
$$\Vert f_{X,a}-f_{X,b}\Vert_{{\rm LA}_{n+1}}\leq
p^{-(n-h)(N+1)}\Vert f\Vert_\lah.$$
\end{lemm}


\demo Si on écrit $f_{X,a}(x)-f_{X,b}(x)$ sous la forme
$${\bf 1}_{X}(x)\Bigl(\sum_{i=0}^N
b_i\Big({{x-a}\over{p^{n+1}}}\Big)^i\Bigr),$$ on a
$\Vert f_{X,a}-f_{X,b}\Vert_{{\rm LA}_{n+1}}=\sup_{0\leq i\leq N}|b_i|_p$.
D'autre part,
$$f_{X,a}(x)-f_{X,b}(x)={\bf 1}_X(x)\Bigl(
\sum_{n=N+1}^{+\infty}\Bigl(c_k(b)\bigl({{x-b}\over{p^h}}\bigr)^k-
c_k(a)\bigl({{x-a}\over{p^h}}\bigr)^k\Bigr)\Bigr),$$
ce qui, remplaçant $x-b$ par $(x-a)+(a-b)$ et développant,
nous donne, pour $i\leq N$, l'identité
$$p^{-(n+1)i}b_i=p^{-ih}
\sum_{k=N+1}^{+\infty}{k\choose i}c_k(b)({{a-b}\over{p^h}})^{k-i}.$$
D'où, utilisant la majoration
$|c_k(b)|_p\leq\Vert f\Vert_\lah$ valable quel que soit $k\in\N$ par
définition de $\Vert f\Vert_\lah$, on tire
la majoration
$$|b_i|_p\leq \Vert f\Vert_\lah p^{-(n+1-h)i}p^{-(n-h)(N+1-i)}\leq
\Vert f\Vert_\lah p^{-(n-h)(N+1)}$$
et le résultat.

\medskip
Revenons à la démonstration du théorème \ref{I11.1}.
Fixons pour chaque $n\in\N$ un système $R_n$ de représentants de $\Z_p$
modulo $p^n\Z_p$. Si $f\in\lah$ et $n\geq h$, soit
$f_n\in {\rm LP}^{[0,N]}$ la fonction définie par
$$f_n(x)=\sum_{a\in R_n}f_{a+p^n\Z_p,a}(x).$$
Si $a\in R_{n+1}$, soit $\pi(a)\in R_n$ le
représentant de $a$ modulo $p^n\Z_p$.
On a $$f_{n+1}-f_n=\sum_{a\in R_{n+1}}f_{a+p^{n+1}\Z_p,a}-f_{a+p^{n+1}\Z_p,
\pi(a)}$$ et donc
$$\Vert f_{n+1}-f_n\Vert_{{\rm LA}_{n+1}}\leq p^{-(n-h)(N+1)}
\Vert f\Vert_\lah$$
On en déduit la majoration
\begin{multline*}
\Big|\int_{\Z_p}(f_{n+1}(x)-f_n(x))\mu(x)\Big|_p\leq p^{r(n+1)}\Vert\mu\Vert_{r,n+1}
p^{-(n-h)(N+1)}
\Vert f\Vert_\lah\\
=(p^{-(N+1-r)(n+1)}\Vert\mu\Vert_{r,n+1})
(p^{(h+1)(N+1)}\Vert f\Vert_\lah),
\end{multline*}
et comme la suite de terme général $p^{-(N+1-r)(n+1)}\Vert\mu\Vert_{r,n+1}$
est décroissante et tend vers $0$ par hypothèse car
$N+1-r>0$,
on en tire la convergence
de la suite de terme général $\int_{\Z_p}f_n(x)\mu(x)$.
La limite est indépendante du choix des~$R_n$ car si
on a deux choix $R_{1,n}$ et $R_{2,n}$, on en fabrique un troisième
en posant $R_{2n}=R_{1,2n}$ et $R_{2n+1}=R_{2,2n+1}$, ce qui prouve
que les trois limites coïncident.
On a donc défini de cette manière une forme linéaire sur ${\rm LA}$.

Finalement, on a $\Vert f_h\Vert_\lah\leq\Vert f\Vert_\lah$ et
\begin{align*}
\Big|\int_{\Z_p}f(x)\mu(x)\Big|_p&\leq \sup\Big(\Big|\int_{\Z_p}f_h(x)\mu(x)\Big|_p,
\sup_{n\geq h}\Big|\int_{\Z_p}(f_{n+1}-f_n)\mu\Big|_p\Big)\\
&\leq \sup(p^{rh}\Vert\mu\Vert_{r,h}\Vert f\Vert_\lah,
p^{r(h+1)}\Vert\mu\Vert_{r,h}\Vert f\Vert_\lah)\\
&=p^{r(h+1)}\Vert\mu\Vert_{r,h}\Vert f\Vert_\lah,
\end{align*}
ce qui permet de montrer que $\mu$ est continue sur ${\rm LA}$
et que si $h\in\N$, alors $\Vert\mu\Vert_\lah\leq p^{r(h+1)}\Vert\mu\Vert_
{r,h}$. On en déduit le fait que la suite de terme général
$p^{-nh}\Vert\mu\Vert_\lah$ est bornée et donc que $\mu$ est d'ordre $r$.

\par\medskip
On vient donc de montrer que l'application naturelle de ${\cal D}_r$
dans ${\cal D}_r^{[0,N]}$ est surjective. Passons à la démonstration
de son injectivité.
Nous aurons besoin du lemme suivant

\begin{lemm}\label{I11.5}
Soit $\mu$ une distribution continue sur $\Z_p$ telle que
\hbox{$\dpl\int_{a+p^n\Z_p}\hspace*{-3mm}\mu(x)=0$} quels que soient $a\in\Z_p$ et $n\in\N$.
Il existe alors une unique distribution $\lambda$ dont $\mu$ est
la dérivée.
De plus, si $\mu$ est d'ordre~$r$, alors $\lambda$ est d'ordre $r-1$.
\end{lemm}

\demo Soit $f\in\lah\subset{\rm LA}_{h+1}$. Soit $R_{h+1}$
un système de représentants de $\Z_p$ modulo $p^{h+1}\Z_p$ et
soit $f^{(-1)}$ l'élément de ${\rm LA}_{h+1}$ dont la dérivée
est $f$ et qui s'annule aux points de $R_{h+1}$. L'hypothèse
implique que $\int_{\Z_p}f^{(-1)}(x)\mu(x)$ ne dépend ni du choix
de $R_{h+1}$ ni du choix de $h$ tel que $f\in\lah$ car deux choix
différents aboutissent à deux fonctions $f^{(-1)}$ différant
d'une fonction localement constante. Ceci permet de définir
une forme linéaire $\lambda$ sur ${\rm LA}$ en posant $\int_{\Z_p}f(x)\lambda=
\int_{\Z_p}f^{(-1)}(x)\mu(x)$. Un calcul immédiat montre que l'on a
de plus $\Vert f^{(-1)}\Vert_{{\rm LA}_{h+1}}\leq\Vert f\Vert_\lah$
et donc
\[
\biggl|\int_{\Z_p}f(x)\lambda(x)\biggr|_p\leq \Vert\mu\Vert_{{\rm LA}_{h+1}}
\Vert f\Vert_\lah,
\]
ce qui prouve que $\lambda$ est continue. D'autre
part, on a ${d\over{dx}}\lambda=\mu$ par construction.

Finalement, on a ${\cal A}_\lambda(T)\log(1+T)={\cal A}_\mu(T)$, ce
qui, utilisant le lemme~\ref{I10.6}, permet de prouver que $\lambda$ est
d'ordre $r-1$ si $\mu$ est d'ordre $r$ et termine la démonstration
du lemme.

\begin{rema}\label{I11.6}
Traduit en termes de séries formelles, ce lemme dit que
si $F$ est une série de rayon de convergence $1$ s'annulant
en les $\epsilon-1$, où $\epsilon$ parcourt l'ensemble des
racines de l'unité d'ordre une puissance de $p$, alors $F$ est
divisible par $\log(1+T)$.
\end{rema}
Revenons à la démonstration de l'injectivité. Soit $\mu$ un
élément du noyau, c'est-à-dire une distribution d'ordre
$r$ vérifiant $\int_{a+p^n\Z_p}x^i\mu(x)=0$ quels que soient
$0\leq i\leq N$, $a\in\Z_p$ et $n\in\N$. D'après le lemme
précédent, on peut écrire $\mu$ sous la forme ${d\over{dx}}\mu_1$,
où $\mu_1$ est d'ordre $r-1$ et vérifie
\[
\int_{a+p^n\Z_p}x^i\mu(x)=i\int_{a+p^n\Z_p}x^{i-1}\mu_1(x)=0
\]
quel que soit $1\leq i\leq N$. On en déduit par récurrence le fait
que $\mu=({d\over{dx}})^{N+1}\mu_{N+1}$, où $\mu_{N+1}$ est d'ordre $r-
N-1<0$
et donc nulle, ce qui permet de conclure.

\addtocontents{toc}{\protect\enlargethispage{\protect\baselineskip}}
\chapter{La fonction zêta \texorpdfstring{$p$}{p}-adique}
\section{Les congruences de Kummer}\label{kum0}
Comme nous l'avons mentionné dans l'introduction,
Kummer a découvert des congruences modulo~$p^k$ entre
les valeurs aux entiers négatifs de la fonction zêta.
La théorie des mesures sur $\Z_p$ permet de les
redémontrer sans douleur et d'aller plus loin en construisant
une fonction zêta $p$-adique.

\medskip
Si $a\in \R_+^\dual$, on peut
appliquer la proposition~\ref{1.2} à la fonction
$$f_a(t)={1\over{e^t-1}}-{a\over{e^{at}-1}}$$ qui est ${\cal C}^\infty$ sur
$\R_+$ (on s'est débrouillé pour supprimer le pôle en $0$)
et à décroissance rapide à l'infini.

\begin{coro}\label{5.1}
Si $a\in\R_+^\dual$, la fonction
$(1-a^{1-s})\zeta(s)=L(f_a,s)$ a un prolongement analytique à $\C$
tout entier et, si $n\in\N$, alors
$(1-a^{1+n})\zeta(-n)=(-1)^nf_a^{(n)}(0)$. En particulier, si
$a\in\Q$, alors $(1-a^{1+n})\zeta(-n)\in\Q$.
\end{coro}

\begin{prop}\label{5.3}
Si $a\in\Z_p^\dual$, il existe une mesure $\mu_a$ dont la
transformée de Laplace est $f_a(t)$.
De plus, $\Vert\mu_a\Vert_\infty\leq 1$ et,
si $n\in\N$, alors
$\int_{\Z_p}x^n\mu_a=(-1)^n(1-a^{1+n})\zeta(-n)$.
\end{prop}

\demo
Pour démontrer l'existence de $\mu_a$, il suffit de vérifier
que la série obtenue en remplaçant $e^t$ par $1+T$ est à coefficients
bornés; ce sera alors la transformée d'Amice de $\mu_a$. Or
on peut écrire $(1+T)^a-1$ sous la forme
$aT(1+Tg(T))$ avec
$g(T)=\sum_{n=2}^{+\infty}{1\over a}{a\choose n}T^{n-2}\in\Z_p[\![T]\!]$
et donc $${1\over T}-{a\over{(1+T)^a-1}}=\sum_{n=1}^{+\infty}
(-T)^{n-1}g^n\in\Z_p[\![T]\!].$$
Comme on a obtenu une série à coefficients entiers, on obtient
en prime la majoration $\Vert\mu_a\Vert_\infty\leq 1$.
Finalement, on a
\[
\int_{\Z_p}x^n\mu_a={\cal L}_{\mu_a}^{(n)}(0)=f_a^{(n)}(0).
\]

\begin{prop}[congruences de Kummer]\label{kum1}
Soit $a\in\N-\{1\}$ premier à~$p$. Soit $k\geq 1$. Si $n_1$ et $n_2$
sont deux entiers $\geq k$ vérifiant
$n_1\equiv n_2$ \hbox{mod.\,$(p-1)p^{k-1}$}, alors
$$v_p\big((1-a^{1+n_1})\zeta(-n_1)-(1-a^{1+n_2})\zeta(-n_2)\big)\geq k.$$
\end{prop}

\demo
Comme on a supposé $n_1\geq k$ et $n_2\geq k$, on a
$|x^{n_1}|_p\leq p^{-k}$ et $|x^{n_2}|_p\leq p^{-k}$ si $x\in p\Z_p$.
D'autre part, comme $(\Z/p^k\Z)^\dual$ est de cardinal $(p-1)p^{k-1}$,
et que l'on a supposé $n_1\equiv n_2$ mod.\,$(p-1)p^{k-1}$,
on a $x^{n_1}-x^{n_2}\in p^k\Z_p$ si $x\in\Z_p^\dual$.
En résumé, $|x^{n_1}-x^{n_2}|_p\leq p^{-k}$ quel que soit $x\in\Z_p$.
Comme $\Vert\mu_a\Vert_\infty\leq 1$,
ceci implique
\begin{multline*}
\big|(1-a^{1+n_1})\zeta(-n_1)-(1-a^{1+n_2})\zeta(-n_2)\big|_p\\
=
\Big|\int_{\Z_p}(x^{n_1}-x^{n_2})\,\mu_a(x)\Big|_p\leq p^{-k}
\end{multline*}
et
permet de conclure.

\section{Interpolation \texorpdfstring{$p$}{p}-adique}
Comme $\Q\subset\Q_p$, on peut voir $n\to\zeta(n)$ comme
une application de $-\N$ dans~$\Q_p$.
On peut se demander s'il est possible de construire une
fonction continue sur $\Z_p$ coïncidant avec $\zeta$ sur $-\N$.
Ce n'est pas possible sous cette forme, mais on a le théorème suivant
dont nous donnerons plusieurs démonstrations et quelques généralisations.

\begin{theo}\label{1.4}
Si $i\in\Z/(p-1)\Z$, {\rm(}$i\in\Z/2\Z$ si $p=2${\rm)}
il existe une unique fonction
$\zeta_{p,i}$ continue sur $\Z_p$ {\rm(}\resp $\Z_p-\{1\}${\rm)} si $i\neq 1$
{\rm(}\resp si $i=1${\rm)} telle que la fonction $(s-1)\zeta_{p,i}(s)$ soit
analytique sur $\Z_p$ et que l'on ait $\zeta_{p,i}(-n)=(1-p^n)\zeta(-n)$
si $n\in\N$ vérifie $-n\equiv i$ modulo $p-1$.
\end{theo}

\skpt
\begin{rema}\label{1.5}
(i) La continuité $p$-adique de la fonction $\zeta_{p,i}$
se traduit par des congruences du type de celles de la proposition~\ref{kum1}.

(ii) Le théorème ci-dessus est dû à Kubota et Leopoldt
et la fonction $\zeta_{p,i}$ est appelée la $i$-ème branche de la
fonction zêta de Kubota-Leopoldt. Si $i$ est pair, alors
$\zeta_{p,i}$ est identiquement nulle car $\zeta(-n)=0$
si $n\geq 2$ est pair.

(iii) On voit que pour rendre la fonction $n\to \zeta(-n)$
$p$-adiquement continue, on a été forcé de se restreindre
à une classe de congruence modulo $p-1$ et surtout de multiplier
$\zeta(-n)$ par le facteur $(1-p^n)$ qui est le facteur d'Euler en
$p$ de la fonction $\zeta$. L'explication folklorique de ce phénomène
est en général la suivante. On a $\zeta(s)=\prod_{\ell}{1\over{1-\ell^{-s}}}$.
Si $\ell\neq p$, on peut, en se restreignant à une classe de congruence
modulo $p-1$ (\cf \no suivant),
prolonger la fonction $n\to \ell^n$ en une fonction
continue sur $\Z_p$; par contre, il n'y a rien à faire avec le facteur
$(1-p^n)$ qui tend $p$-adiquement vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Il semble donc normal d'être forcé de retirer ce dernier facteur
si on veut que le produit soit $p$-adiquement continu. Malheureusement,
cette explication séduisante est un petit peu trop simpliste pour
être juste.
\end{rema}

\Subsection{Interpolation \texorpdfstring{$p$}{p}-adique de la fonction \texorpdfstring{$x\mto x^n$}{x}}
De manière générale,
étant donnée une suite $(a_n)_{n\in\N}$ d'éléments de
$\C_p$, on peut
essayer de les interpoler $p$-adiquement, c'est-à-dire
construire une fonction continue $f:\Z_p\to\C_p$
telle que l'on ait $f(n)=a_n$ quel que soit $n\in\N$. Comme
$\N$ est dense dans $\Z_p$, une telle fonction, si elle existe,
est unique.

Considérons pour commencer l'exemple simple de la suite $a_n=x^n$,
où $x\in\Z_p$. Si $x\in 1+p\Z_p$, la fonction
$f_x(s)=\sum_{n=0}^{+\infty}{s\choose n}(x-1)^n$ est une fonction continue
de $s\in\Z_p$ et on a $f_x(n)=x^n$, ce qui fait que dans ce cas, la suite
de terme général $x^n$ est $p$-adiquement interpolable par
la fonction $f_x(s)$ que nous noterons plutôt $s\to x^s$.

Si $x\in p\Z_p$, la suite de terme général
$x^n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et n'est donc pas interpolable
car si $s\in\Z_p$, on devrait avoir $x^s=\lim_{n\to s}x^n=0$
quel que soit $s\in\Z_p$, ce qui est absurde si $s\in\N$.

Supposons $p\neq 2$.
Si $x\in\Z_p^\dual$, la situation est un peu meilleure car, si $\omega
(x)$ est la racine $(p-1)$-ième de l'unité vérifiant
$x-\omega(x)\in p\Z_p$, on peut
écrire $x$ sous la forme $\omega(x)\langle x\rangle$ et
$x^n$ sous la forme $\omega(x)^n\langle x\rangle^n$.
Comme $\langle x\rangle\in 1+p\Z_p$, la fonction $n\to
\langle x\rangle^n$ se prolonge par continuité et $\omega(x)$
étant une racine $p-1$-ième de l'unité, la fonction
$n\to \omega(x)^n$ est périodique de période $p-1$.
Ceci fait que, si on fixe $i\in\Z/(p-1)\Z$ et si $x\in\Z_p^\dual$,
la fonction $x\to x^n$ de $i+(p-1)\N$ dans $\Z_p$ se
prolonge par continuité en une fonction continue sur $\Z_p$,
ce qui permet de voir $x\to x^s$ comme une fonction
continue sur $(\Z/(p-1)\Z)\times \Z_p$ ou comme une fonction
multivaluée sur $\Z_p$.

Ce qui précède marche encore pour $p=2$, mais
on préfère en général modifier un peu les choses
pour tenir compte du fait que $\Z_2^\dual$ contient $2$ racines de l'unité
($1$ et $-1$) même si celles-ci ont même réduction modulo~$2$.
On a $\Z_2^\dual=\{\pm 1\}\times(1+4\Z_2)$ et on note $\omega$ le
caractère de $\Z_2^\dual$ défini par $\omega(x)=1$
si $x\in 1+4\Z_2$ et $\omega(x)= -1$ si $x\in -1+4\Z_2$.

Pour avoir des formules uniformes, on pose $q=4$ si $p=2$
et $q=p$ si $p\neq 2$,
et on note $\Delta$ le groupe des racines de l'unité
contenues dans $\Q_p^\dual$, ce qui fait que si $\phi$ désigne
la fonction indicatrice d'Euler (\ie $\phi(n)={\rm card}((\Z/n\Z)^\dual)$),
alors $\Delta$ est le groupe (cyclique) des racines $\phi(q)$-ième
de l'unité et
$\Z_p^\dual$ est la réunion disjointe des $\epsilon+q\Z_p$ pour
$\epsilon\in\Delta$.
Finalement, on note encore $\omega$ la fonction sur $\Z_p$
obtenue en prolongeant $\omega$ sur $\Z_p^\dual$ par $0$ sur $p\Z_p$.

\begin{prop}\label{2.1}
Si $i\in\Z/\phi(q)\Z$,
la fonction $\omega(x)^i\langle x\rangle^s$ est une fonction
localement analytique de $x\in\Z_p$ et
de plus,
\begin{align*}
\omega(x)^i\langle x\rangle^n&=x^n\ {\rm si}\ n\equiv i\ [\phi(q)]
\ {\rm et}\ x\in\Z_p^\dual,\\
\omega(x)^i\langle x\rangle^s&=\lim_{\substack{{n\to s}\\{n\equiv i
\ [\phi(q)]}}}x^n {\rm quel}\ {\rm que}\ {\rm soit}\ x\in\Z_p.
\end{align*}
\end{prop}

\Demo
L'analyticité locale vient de ce que l'on a
$\omega(x)^i
\langle x\rangle^s=0$ sur $p\Z_p$ et $$\omega(x)^i
\langle x\rangle^s=\epsilon^i\Big({x\over\epsilon}\Big)^s=
\sum_{n=0}^{+\infty}{s\choose n}\epsilon^{i-n}(x-\epsilon)^n$$
si $x\in\epsilon+q\Z_p$ et $\epsilon\in\Delta$. Le reste de la proposition
suit de ce que $\Delta$ étant d'ordre $\phi(q)$, on a
$\omega(x)^n=\omega(x)^i$ si $n\equiv i$ $[\phi(q)]$.

\Subsection{Transformée de Mellin \texorpdfstring{$p$}{p}-adique et transformée
\texorpdfstring{$\Gamma$}{G} de Leopoldt}

Si $i\in\Z/\phi(q)\Z$, on définit la $i$-ème branche ${\rm Mel}_{i,\mu}$
de la
transformée de Mellin d'une distribution
continue $\mu$ par la formule
$${\rm Mel}_{i,\mu}(s)=\int_{\Z_p}\omega(x)^i\langle x\rangle^s\,\mu(x)=
\int_{\Z_p^\dual}\omega(x)^i\langle x\rangle^s\,\mu(x),$$
la seconde égalité résultant du fait que $\omega(x)=0$ si
$x\in p\Z_p$.
D'autre part, on~a
${\rm Mel}_{i,\mu}(n)=\int_{\Z_p^\dual}x^n\,\mu$ si $n\equiv i$ $[\phi(q)]$.

On préfère souvent définir la transformée de Mellin d'une
distribution $\mu$ sur $\Z_p^\dual$ comme la fonction qui à un caractère
localement analytique $\psi$ de $\Z_p^\dual$ à valeurs dans $\C_p^\dual$
associe l'intégrale
$${\rm Mel}_\mu(\psi)=\int_{\Z_p^\dual}\psi(x)\,\mu(x).$$
On retrouve l'autre définition de la transformée de Mellin en
évaluant cette transformée de Mellin en le caractère
$\omega(x)^i\langle x\rangle^s$ et on a donc la formule
$${\rm Mel}_{i,\mu}(s)={\rm Mel}_\mu(\omega(x)^i\langle x\rangle^s).$$

Soit $\varphi:1+q\Z_p\to \Z_p$ le morphisme de groupes
qui à $x$ associe ${{\log_p x}\over q}$. Ce morphisme est analytique
et son inverse aussi, ce qui fait que si $f$ est une fonction localement
analytique (\resp continue)
sur $\Z_p$, la fonction $\varphi^\dual f$ définie par
$\varphi^\dual f(x)=f(\varphi(x))$ est localement analytique sur $1+q\Z_p$
(\resp continue).

Si $\mu$ est une distribution à support dans $1+q\Z_p$, on définit
la distribution $\varphi_*\mu$ sur $\Z_p$ par la formule
$$\int_{\Z_p}f(x)\,\varphi_*\mu(x)=\int_{1+q\Z_p}\varphi^\dual f(y)\,\mu(y).$$
Et comme $\varphi^\dual$ transforme une fonction continue sur $\Z_p$
en une fonction continue sur $1+q\Z_p$, l'image d'une
mesure par $\varphi_*$ est encore une mesure. (On montre plus
généralement que l'image d'une distribution d'ordre $r$
par $\varphi_*$ est une distribution d'ordre $r$.)
\par\medskip
Si $\mu$ est une distribution et $\alpha\in\Z_p^\dual$, on définit
la distribution $\delta_\alpha\star\mu$ par la formule
$$\int_{\Z_p}f(x)\,\delta_\alpha\star\mu(x)=\int_{\Z_p}f(\alpha x)\,\mu(x).$$

\begin{lemm}\label{Z3.1}
Si $X$ est un ouvert compact de $\Z_p$, $\alpha\in\Z_p^\dual$ et $\mu$ est une
distribution continue sur $\Z_p$, alors
$${\rm Res}_{X}(\delta_\alpha\star\mu)=\delta_\alpha\star
{\rm Res}_{\alpha^{-1}X}(\mu).$$
\end{lemm}

\demo
Comme on a ${\bf 1}_X(\alpha x)={\bf 1}_{\alpha^{-1}X}(x)$ si $X\subset\Z_p$,
on en déduit la formule
\begin{align*}
\int_{\Z_p}f(x)\,{\rm Res}_{X}&(\delta_\alpha\star\mu)=
\int_{\Z_p}{\bf 1}_X(x)f(x)\,\delta_\alpha\star\mu \\
&=\int_{\Z_p}{\bf 1}_X(\alpha X)f(\alpha x)\,\mu(x)=
\int_{\Z_p}f(\alpha x)(1_{\alpha^{-1}X}(x)\,\mu(x))\\
& =\int_{\Z_p}f(\alpha x)\,{\rm Res}_{\alpha^{-1}X}(\mu)
=\int_{\Z_p}f(x)\,\delta_\alpha\star
{\rm Res}_{\alpha^{-1}X}(\mu),
\end{align*}
ce qui permet de conclure.

\begin{defi}\label{Z3.2}
Si $\mu$ est une distribution sur $\Z_p^\dual$ et $
i\in\Z/\phi(q)\Z$, on définit la $i$-ième
branche $\Gamma_\mu^{(i)}$ de la transformée $\Gamma$ de $\mu$ par la
formule
$$\Gamma_\mu^{(i)}=\varphi_*{\rm Res}_{1+q\Z_p}\Bigl(\sum_{\epsilon\in
\Delta}\epsilon^{-i}\delta_\epsilon\star\mu\Bigr)=
\varphi_*\Bigl(\sum_{\epsilon\in
\Delta}\epsilon^{-i}\delta_{\epsilon}\star{\rm Res}_{\epsilon^{-1}+q\Z_p}(\mu)\Bigr),$$
l'égalité entre les deux définitions résultant du lemme
précédent.
\end{defi}

\begin{prop}\label{Z3.3}
Soit $u=e^q\in 1+q\Z_p$.
Si $\mu$ est une distribution continue et
$i\in\Z/\phi(q)\Z$, alors
$${\rm Mel}_{i,\mu}(s)=\int_{\Z_p^\dual}\omega(x)^i\langle x\rangle^s\,\mu(x)=
\int_{\Z_p}u^{sy}\,\Gamma_\mu^{(i)}(y)=
{\cal A}_{{\Gamma_\mu^{(i)}}}(u^s-1).$$
\end{prop}


\demo La première (\resp dernière)
égalité est une conséquence de la définition
de la transformée de Mellin (\resp d'Amice) d'une distribution continue.
Si $y=\varphi(x)={{\log_px}\over q}$, on a $u^{sy}=
\exp (s\log_p x)=\langle x\rangle^s$ et donc
$$
\int_{\Z_p}u^{sy}\,\Gamma_\mu^{(i)}(y)=
\int_{1+q\Z_p}\langle x\rangle^s\,\sum_{\epsilon\in\Delta}
\epsilon^{-i}\delta_{\epsilon}\star{\rm Res}_{\epsilon^{-1}+q\Z_p}(\mu).$$
Utilisant le fait
que $\omega(x)=\epsilon^{-1}$ si $x\in\epsilon^{-1}+q\Z_p$ et
que $\langle \epsilon x\rangle=\langle x\rangle$, on obtient
$$
\int_{\Z_p}u^{sy}\,\Gamma_\mu^{(i)}(y)=
\sum_{\epsilon\in\Delta}\int_{\epsilon^{-1}+q\Z_p}\omega(x)^i\langle x\rangle^s\,\mu(x)
,$$ et le résultat suit de ce que $\Z_p^\dual$ est la réunion disjointe
des $\epsilon+q\Z_p$ pour $\epsilon\in\Delta$.

\begin{coro}\label{Z3.4}
Si $\mu$ est une distribution continue et
$i\in\Z/\phi(q)\Z$, la fonction ${\rm Mel}_{i,\mu}(s)$
est une fonction analytique de $s$ et même de $u^s-1$.
\end{coro}

\section{Construction de
la fonction zêta de Kubota-Leopoldt}
\Subsection{Première construction}
La série formelle ${{\log(1+T)}\over T}$ convergeant sur $B(0,1^-)$,
il existe une distribution $\mu_{\rm K-L}$ dont c'est la transformée d'Amice.
La transformée de Laplace de $\mu_{\rm K-L}$ est ${t\over{e^t}-1}=f_0(t)$ et
$$\int_{\Z_p}x^n\,\mu_{\rm K-L}=f_0^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}n\zeta(1-n),$$
Comme on le constate en utilisant le théorème~\ref{1.3}.
Cette distribution ressemble beaucoup à la mesure de Haar (mais n'est
pas invariante par translation).
On a en effet le lemme suivant.

\begin{lemm}\label{4.1}
\quad$\dpl\int_{a+p^n\Z_p}\mu_{\rm K-L}(x)={1\over {p^n}}$.
\end{lemm}

\demo $\int_{a+p^n\Z_p}\mu_{\rm K-L}(x)={1\over{p^n}}\sum_{\epsilon^{p^n}=1}
\epsilon^{-a}{\cal A}_{\mu_{\rm K-L}}(\epsilon-1)$ et comme $\log(\epsilon)=0$ si $\epsilon$ est une
racine de l'unité d'ordre une puissance de $p$, tous les termes
de la somme sont nuls sauf celui correspondant à $\epsilon=1$, ce qui donne
le résultat.
\par\medskip
On a ${\bf 1}_{\Z_p^\dual}(x)=1-{\bf 1}_{p\Z_p}(x)=
1-{1\over p}\sum_{\epsilon^p=1}\epsilon^x$ et donc, si $\lambda$ est une distribution
continue
sur $\Z_p$, alors
\begin{align*}
{\cal A}_{{\rm Res}_{\Z_p^\dual}(\lambda)}(T)&= \int_{\Z_p^\dual}(1+T)^x\,\lambda(x)\\
&=\int_{\Z_p}(1+T)^x\lambda(x)-{1\over p}\sum_{\epsilon^p=1}\int_{\Z_p}((1+T)\epsilon)^x
\lambda(x)\\
&= {\cal A}_\lambda(T)-{1\over p}\sum_{\epsilon^p=1}{\cal A}_\lambda((1+T)\epsilon-1),
\end{align*}

\begin{lemm}\label{4.2}
\quad$\dpl{1\over p}\sum_{\epsilon^p=1}{1\over{\epsilon z-1}}={1\over {z^p-1}}$.
\end{lemm}

\demo
Les deux membres sont des fractions rationnelles en~$z$ et, si $|z|_p<1$,
on a
$${1\over p}\sum_{\epsilon^p=1}{1\over{\epsilon z-1}}=-{1\over p}\sum_{\epsilon^p=1}
\sum_{n=0}^{+\infty}(\epsilon z)^n=-\sum_{n\equiv 0\ [p]}z^n={1\over {z^p-1}},$$
d'où le résultat.
\par\medskip
La transformée d'Amice de ${\rm Res}_{\Z_p^\dual}(\mu_{\rm K-L})$ est donc
\begin{align*}
{{\log(1+T)}\over T}-{1\over p}\sum_{\epsilon^p=1}{{\log ((1+T)\epsilon)}\over
{(1+T)\epsilon-1}}&= {{\log(1+T)}\over T}-{{\log(1+T)}\over {(1+T)^p-1}}
\\ &\hspace*{-1cm}={\cal A}_{\mu_{\rm K-L}}(T)-{1\over p}{\cal A}_{\mu_{\rm K-L}}((1+T)^p-1).
\end{align*}
On en tire les formules
\begin{align*}
{\cal L}_{{\rm Res}_{\Z_p^\dual}(\mu_{\rm K-L})}(t)&=
{\cal L}_{\mu_{\rm K-L}}(t)-
{\cal L}_{\mu_{\rm K-L}}(pt)=f_0(t)-{1\over p}f_0(pt)\\
\int_{\Z_p^\dual}x^n\mu_{\rm K-L}(x)&= (1-p^{n-1})f_0^{(n)}(0)=
(-1)^{n-1}n(1-p^{n-1})\zeta(1-n).
\end{align*}

Pour définir la fonction zêta de Kubota-Leopoldt, il suffit alors
de poser,
si $i\in\Z/\phi(q)\Z$,
\begin{align*}
\zeta_{p,i}(s)&={{(-1)^{i-1}}\over{s-1}}
{\rm Mel}_{1-i,\mu_{\rm K-L}}(1-s)\\
&={{(-1)^{i-1}}\over{s-1}}\int
_{\Z_p^\dual}\omega(x)^{1-i}\langle x\rangle^{1-s}\mu_{\rm K-L}(x).
\end{align*}
Par construction, on a $\zeta_{p,i}(-n)=(1-p^n)\zeta(-n)$ si $n\in\N$
vérifie $-n\equiv i$ $[p-1]$.
D'autre part, la fonction ${\rm Mel}_{1-i,\mu_{\rm K-L}}(1-s)$
étant analytique sur $\Z_p$, la fonction $(s-1)\zeta_{p,i}(s)$ est
analytique
sur $\Z_p$ et
\begin{align*}
\lim\limits_{s\to 1}(s&-1)\zeta_{p,i}(s)=
\int_{\Z_p^\dual}\omega(x)^{1-i}\mu_{\rm K-L}(x)\\ &=\sum_{\alpha\in\Z_p^\dual/(1+p\Z_p)}\hspace*{-2mm}
\omega(\alpha)^{1-i}\int_{\alpha+p\Z_p}\hspace*{-2mm}\mu_{\rm K-L}(x)
=\begin{cases}
1-{1/p} & \text{si $i=1$,}\\
0 & \text{sinon.}
\end{cases}
\end{align*}
On en déduit le fait que si $i\neq 1$, la fonction $\zeta_{p,i}$ peut se
prolonger par continuité en $s=1$ en une fonction analytique sur
$\Z_p$.

\begin{rema}\label{4.3}
La formule $\lim\limits_{s\to 1}(s-1)\zeta_{p,1}(s)=
{1-{1/p}}$ est à rapprocher de la formule analogue pour la fonction
zêta de Riemann. La différence entre les deux formules est encore
une fois donnée par un facteur d'Euler en $p$.
\end{rema}
\Subsection{Deuxième construction}
On peut aussi partir de la mesure $\mu_a$ introduite au \S~\ref{kum0}.

\begin{lemm}\label{5.4}
Les transformées d'Amice et Laplace de la restriction de $\mu_a$
à $\Z_p^\dual$ sont données par les formules
\begin{align*}
{\cal A}_{{\rm Res}_{\Z_p^\dual}(\mu_a)}(T)&=
{\cal A}_{\mu_a}(T)-{\cal A}_{\mu_a}((1+T)^p-1)\\
{\cal L}_{{\rm Res}_{\Z_p^\dual}(\mu_a)}(t)&=
{\cal L}_{\mu_a}(t)-{\cal L}_{\mu_a}(pt)=f_a(t)-f_a(pt).
\end{align*}
\end{lemm}

\demo C'est le même calcul que celui effectué
pour calculer les transformées d'Amice et Laplace de la restriction
de $\mu_{{\rm K-L}}$ à $\Z_p^\dual$.

\medskip
On en déduit la formule
$$\int_{\Z_p^\dual}x^n\mu_a(x)=(1-p^n)f_a^{(n)}(0)=
(-1)^n(1-a^{1+n})(1-p^n)\zeta(-n)$$
qui montre que restreindre à $\Z_p^\dual$ fait apparaître un facteur d'Euler
en~$p$.

\medskip
Si $i\in\Z/\phi(q)\Z$, et si $a\in\Z_p^\dual$ vérifie $\langle a\rangle
\neq 1$, définissons une fonction $g_{a,i}$ sur $\Z_p$ par la formule
\begin{align*}
g_{a,i}(s)&={1\over{1-\omega(a)^{1-i}\langle a\rangle^{1-s}}}
{\rm Mel}_{-i,\mu_a}(-s)\\
&={1\over{1-\omega(a)^{1-i}\langle a\rangle^{1-s}}}
\int_{\Z_p^\dual}\omega(x)^{-i}\langle x\rangle^{-s}\mu_a(x).
\end{align*}
D'après le corollaire~\ref{Z3.4}, ${\rm Mel}_{-i,\mu_a}(-s)$ est une fonction
analytique de $s$. D'autre part, si
$\omega(a)^{1-i}\neq 1$, la fonction $s\to
1-\omega(a)^{1-i}\langle a\rangle^{1-s}$ est une fonction analytique
de $s$ ne s'annulant pas sur $\Z_p$ car $\langle a\rangle^s\in
1+q\Z_p$ et $\omega(a)^{1-i}\in\Delta-\{1\}$ et donc
$\omega(a)^{i-1}\notin 1+q\Z_p$; si $\omega(a)^{1-i}=1$, la fonction
$1-\langle a\rangle^{1-s}$ ne s'annule que pour $s=1$.
On en déduit le fait que $g_{a,i}$ est une fonction continue sur
$\Z_p-\{1\}$ et même sur $\Z_p$ si $\omega(a)^{1-i}\neq 1$.

De plus, si $-n\equiv i$ $[\phi(q)]$, on a $\omega(a)^{1-i}=
\omega(a)^{1+n}$ et $\omega(x)^{-i}=\omega(x)^n$ si $x\in\Z_p^\dual$
et donc
\begin{align*}
g_{a,i}(-n)&={1\over{1-\omega(a)^{1+n}\langle a\rangle^{1+n}}}
\int_{\Z_p^\dual}\omega(x)^{n}\langle x\rangle^{n}\mu_a(x)\\
&={1\over{1-a^{1+n}}}
\int_{\Z_p^\dual}x^n\mu_a(x)= (-1)^n(1-p^n)\zeta(-n)
\end{align*}
ne dépend pas du choix de $a$. Si $a$ et $a'$ sont $2$ éléments de
$\Z_p^\dual$, la fonction $g_{a,i}-g_{a',i}$ est donc un quotient de fonctions
analytiques sur $\Z_p$ s'annulant en un nombre infini de points, ce
qui implique qu'elle est identiquement nulle et
que la fonction
$g_{a,i}$ est indépendante du choix de $a$. Il suffit
donc de poser
$\zeta_{p,i}=g_{a,i}$ pour n'importe quel choix de $a$ vérifiant
$\langle a\rangle\neq 1$ et $\omega(a)^{1-i}\neq 1$ si $i\neq 1$
pour avoir une construction de la fonction zêta de Kubota-Leopoldt.

\begin{rema}\label{5.6}
Si $p\!\neq\! 2$, on peut aussi conclure au fait que
\hbox{$g_{a,i}\!-\!g_{a',i}$} est identiquement nulle en utilisant le fait que
c'est une fonction continue sur $\Z_p-\{1\}$ s'annulant
en tous les éléments de $i-(p-1)\N$ qui est un sous-ensemble
dense de $\Z_p$.
\end{rema}
\section{Les zéros de la fonction zêta \texorpdfstring{$p$}{p}-adique}
Comme nous l'avons signalé dans l'introduction, la fonction
zêta $p$-adique est étroitement reliée aux groupes
de classes d'idéaux des corps $\Q(e^{\sfrac{2i\pi}{p^n}})$, pour $n\in\N$.
Le théorème~\ref{MW1} ci-dessous est une conséquence d'un
théorème plus précis de Mazur et Wiles et donne une bonne
illustration de ce lien.

\medskip
L'énoncé de ce théorème va demander un peu de préparation.
Tout d'abord, si $K/F$ est une extension finie de corps de nombres,
et si ${\goth a}$ est un idéal non nul de l'anneau des entiers
$\O_K$ de $K$, on définit l'idéal ${\rm N}_{K/F}({\goth a})$
comme l'idéal de $\O_F$ engendré par les ${\rm N}_{K/F}(\alpha)$,
pour $\alpha\in{\goth a}$. On a ${\rm N}_{K/F}({\goth a}{\goth b})=
{\rm N}_{K/F}({\goth a}){\rm N}_{K/F}({\goth b})$ et
${\rm N}_{K/F}((\alpha))=({\rm N}_{K/F}(\alpha))$, ce qui montre que
${\rm N}_{K/F}$ induit, par passage aux quotients, un morphisme
de groupes
du groupe des classes d'idéaux de $K$ dans celui des classes
d'idéaux de $F$. Ce morphisme envoie le $p$-Sylow dans le $p$-Sylow
puisque le $p$-Sylow d'un groupe abélien fini n'est autre
que l'ensemble des éléments d'ordre une puissance de $p$.

\medskip
Dans tout ce qui suit, on suppose $p\neq 2$.
Si $n\geq 1$, on note $F_n$ le corps cyclotomique $\Q(e^{\sfrac{2i\pi}{p^n}})$
et
$X_n$ le $p$-Sylow du groupe des classes d'idéaux de
$F_n$. D'après la discussion précédente, l'application
${\rm N}_{F_{n+1}/F_n}$ induit un morphisme de groupes de
$X_{n+1}$ dans $X_n$. On note $X$ la limite projective des
$X_n$ relativement aux applications ${\rm N}_{F_{n+1}/F_n}$.
Un élément $c$ de $X$ est donc une suite $(c_n)_{n\geq 1}$,
avec $c_n\in X_n$ et $c_n={\rm N}_{F_{n+1}/F_n}(c_{n+1})$
quel que soit $n\geq 1$.
Comme chaque $X_n$ est un $p$-groupe abélien fini et donc un $\Z_p$-module,
$X$ est un $\Z_p$-module compact.

\medskip
On note $F_\infty$ la réunion des $F_n$. C'est une extension galoisienne
de~$\Q$ et son groupe de Galois est canoniquement isomorphe à $\Z_p^\dual$
via le caractère cyclotomique $\chi_{\rm cycl}$: en effet, si
$\epsilon$ est une racine primitive $p^n$-ième de l'unité,
alors tout conjugué de $\epsilon$ est de la forme $\epsilon^a$,
avec $a\in(\Z/p^n\Z)^\dual$, et si $\sigma\in{\rm Gal}(F_\infty/\Q)$,
alors $\chi_{\rm cycl}(\sigma)$ est l'unique élément
$a\in\Z_p^\dual$ (rappelons que $\Z_p^\dual$ est la limite projective
des $(\Z/p^n\Z)^\dual$) tel que l'on ait $\sigma(\epsilon)=\epsilon^a$
pour toute racine de l'unité d'ordre une puissance de $p$.

Le groupe ${\rm Gal}(F_\infty/\Q)$ laisse stable chaque $F_n$,
respecte l'anneau des entiers, et donc transforme un idéal
en un idéal et un idéal principal en un idéal
principal et, par suite, agit sur $X_n$. Comme cette action commute
aux applications ${\rm N}_{F_{n+1}/F_n}$, on obtient une action
de ${\rm Gal}(F_\infty/\Q)$ sur $X$.

\begin{theo}\label{MW1}
Si $i\in(\Z/(p-1)\Z)^\dual$ est impair et si $s\in\Z_p$, alors
les deux conditions suivantes sont équivalentes{\rm:}

{\rm (i)} $\zeta_{p,i}(s)=0${\rm;}

{\rm (ii)} il existe un élément $c$ de $X$ qui n'est pas tué par
une puissance de $p$ et sur lequel $\sigma\in{\rm Gal}(F_\infty/\Q)$
agit via la formule
$$\sigma(c)=\omega(\chi_{\rm cycl}(\sigma))^i\langle\chi_{\rm cycl}(\sigma)\rangle^s
\cdot c.$$
\end{theo}

Le théorème précédent caractérise les zéros de la
fonction zêta $p$-adique mais n'est pas très explicite :
on ne sait, par exemple, pas démontrer
l'énoncé suivant qui reste le principal problème ouvert
concernant la fonction zêta $p$-adique.
\begin{conj}
Si $i\in(\Z/(p-1)\Z)^\dual$ est impair, et si $k$ est un entier $\geq 1$,
alors $\zeta_{p,i}(k)\neq 0$.
\end{conj}
On sait démontrer ce résultat pour $k=1$, mais cela résulte
d'un théorème profond sur les formes linéaires de logarithmes
de nombres algébriques (\cf \no\ref{diri4} du
\S~\ref{diri3}). Pour traiter le cas général, il faudrait
disposer d'un résultat analogue pour les polylogarithmes.

\section{Fonctions \texorpdfstring{$L$ $p$}{LP}-adiques attachées aux caractères de Dirichlet}\label{diri3}
Ce que l'on vient de faire pour la fonction zêta de Riemann s'étend
sans douleur aux fonctions~$L$ de Dirichlet (à l'exception du théorème
de Mazur-Wiles qui s'étend, mais pas sans douleur).

\Subsection{Construction}
Soit $\chi$ un caractère de Dirichlet de conducteur $d>1$ premier à $p$.
On note~$\epsilon_d$ la racine de l'unité $\epsilon_d=e^{\sfrac{2i\pi}{d}}$.
Si $\chi^{-1}(b)\neq 0$, alors
$\epsilon_d^b$ est une racine de l'unité d'ordre premier
à $p$ et distincte de $1$, ce qui implique
$|\epsilon_d^b-1|_p=1$.
On en déduit le fait que la série entière
\begin{align*}
F_\chi(T)&={{-1}\over{G(\chi^{-1})}}\sum_{b\bmod d}
{{\chi^{-1}(b)}\over{(1+T)\epsilon_d^b-1}}\\[-3pt]
&={1\over{G(\chi^{-1})}}\sum_{b\bmod d}\chi^{-1}(b)
\sum_{n=0}^{+\infty}{{\epsilon_d^{nb}}\over
{(\epsilon_d^b-1)^{n+1}}}T^n
\end{align*}
est à coefficients bornés
et donc est la transformée d'Amice d'une mesure
$\mu_\chi$ sur $\Z_p$ dont la transformée de Laplace est $F_\chi(e^t-1)=
{\cal L}_\chi(t)$. On a donc
$$\int_{\Z_p}x^n\mu_\chi={\cal L}_\chi^{(n)}(0)=L(\chi,-n)$$
d'après le \no\ref{diri} du \S~\ref{diri0}.

\begin{defi}\label{7.3} On définit la fonction-$L$ $p$-adique associée à $\chi$
comme étant la transformée de Mellin de $\mu_\chi$ et on note
cette fonction $\psi\to L_p(\chi\otimes\psi)$. Si $\psi$
est un caractère localement analytique sur $\Z_p^\dual$, on a
donc $$L_p(\chi\otimes\psi)=\int_{\Z_p^\dual}\psi(x)\mu_\chi(x).$$
D'autre part, si $i\in\Z/\phi(q)\Z$, on pose
$$L_{p,i}(\chi,s)=L_p(\chi\otimes(\omega^{-i}(x)\langle x\rangle^{-s}))=
\int_{\Z_p^\dual}\omega^{-i}(x)\langle x\rangle^{-s}\mu_\chi(x).$$
\end{defi}

\begin{prop}\label{7.4}
Si $i\in\Z/\phi(q)\Z$, la fonction
$L_{p,i}(\chi,s)$ est une fonction analytique sur $\Z_p$ et
on a $L_{p,i}(\chi,-n)=(1-\chi(p)p^n)L(\chi,-n)$ si $n\in\N$
vérifie $-n\equiv i$ $[\phi(q)]$.
\end{prop}

\demo Le fait que $L_{p,i}(\chi,s)$ soit une fonction
analytique sur $\Z_p$ suit des propriétés générales
de la transformée de Mellin d'une mesure (corol\-laire~\ref{Z3.4}).
D'autre part, d'après le lemme~\ref{4.2}, on~a
\[
\sum_{\eta^p=1}{1\over{(1+T)\epsilon_d^b\eta-1}}=
p\,{1\over{(1+T)^p\epsilon_d^{pb}-1}}
\]
on en déduit le fait que la transformée d'Amice de
la restriction à $\Z_p^\dual$ de $\mu_\chi$ est
\[
{{-1}\over{G(\chi^{-1})}}\sum_{b\bmod d}
{{\chi^{-1}(b)}\over{(1+T)\epsilon_d^b-1}}-
{{\chi^{-1}(b)}\over{(1+T)^p\epsilon_d^{pb}-1}},
\]
ce qui, mettant $\chi^{-1}(b)$ sous la forme
$\chi(p)\chi^{-1}(pb)$ et utilisant le fait que $b\to
pb$ est une bijection modulo~$d$, peut se réécrire
sous la forme ${\cal A}_{\mu_\chi}(T)-\chi(p)
{\cal A}_{\mu_\chi}((1+T)^p-1)$.
On en déduit les formules
\begin{align*}
{\cal L}_{{\rm Res}_{\Z_p^\dual}(\mu_\chi)}(t)&=
{\cal L}_{\mu_\chi}(t)-\chi(p){\cal L}_{\mu_\chi}(pt)\\
\tag*{et}
\int_{\Z_p^\dual}x^n\mu_\chi&=(1-\chi(p)p^n)L(\chi,-n),
\end{align*}
si $n\in\N$, et le résultat.

\Subsection{Comportement en \texorpdfstring{$s=1$ des fonctions~$L$}{sL} de Dirichlet}\label{diri4}
En reprenant la formule pour $L(\chi,s)$ donnée
au \no\ref{diri} du \S~\ref{diri0},
on obtient
\begin{align*}
L(\chi,1)&={1\over{G(\chi^{-1})}}\sum_{b\bmod d}\chi^{-1}(b)
\sum_{n=0}^{+\infty}{{\epsilon_d^{nb}}\over{n}}
\\&={{-1}\over{G(\chi^{-1})}}\sum_{b\bmod d}\chi^{-1}(b)
\log(1-{\epsilon_d^b}).
\end{align*}
On peut obtenir de plus jolies formules en regroupant
les contributions de $b$ et $-b$ et en séparant le cas
$\chi$ pair ($\chi(-1)=1$) du cas $\chi$ impair $(\chi(-1)=-1)$.
\par\medskip

Nous allons établir l'analogue $p$-adique
de cette formule. Il s'agit de calculer $\int_{\Z_p^\dual}x^{-1}\mu_\chi$.
Pour ce faire, nous allons calculer la transformée d'Amice
de $x^{-1}\mu_\chi$ (qui n'est déterminée qu'à constante
près) puis restreindre à $\Z_p^\dual$, ce qui tue l'indétermination
qui correspond à un multiple de la masse de Dirac en $0$.

\begin{prop}\label{8.2}
La transformée d'Amice de
$x^{-1}\mu_\chi$ est {\rm(à constante près)} 
donnée par la formule
$${\cal A}_{x^{-1}\mu_\chi}(T)=\frac{-1}{G(\chi^{-1})}
\sum_{b\bmod d}\chi^{-1}(b)\log_p((1+T)\epsilon_d^b-1)$$
\end{prop}

\demo
Si $\mu$ est une distribution, les transformées d'Amice de
$\mu$ et $x^{-1}\mu$ sont reliées par la formule
$$(1+T){d\over{dT}}{\cal A}_{x^{-1}\mu}(T)={\cal A}_\mu(T).$$
Appliquons l'opérateur $(1+T){d\over{dT}}$ au membre
de droite de l'identité à vérifier; on obtient
\begin{multline*}
\frac{-1}{G(\chi^{-1})}
\sum_{b\bmod d}\hspace*{-2.5mm}\chi^{-1}(b){{(1+T)\epsilon_d^b}\over{(1+T)\epsilon_d^b-1}}\\
=\frac{-1}{G(\chi^{-1})}
\sum_{b\bmod d}\hspace*{-2.5mm}\chi^{-1}(b)\Bigl({{1}\over{(1+T)\epsilon_d^b-
1}}+1\Bigr)
\end{multline*}
et cette dernière expression est égale à ${\cal A}_{\mu_\chi}(T)$
comme on le voit en utilisant le fait que
$\sum_{b\bmod d}\chi^{-1}(b)=0$.
On en déduit le fait que les deux membres ont même image par
$(1+T){d\over{dT}}$ et donc qu'ils diffèrent par une fonction localement
constante.
Pour conclure, il faut encore vérifier que le second membre est bien
donné par une série de rayon de convergence $1$; mais on a
\begin{align*}
\log_p((1+T)\epsilon_d^b-1)&=\log_p(\epsilon_d^b-1)+\log_p
(1+{{\epsilon_d^bT}\over{\epsilon_d^b-1}})\\
&=\log_p(\epsilon_d^b-1)+\sum_{n=1}^{+\infty}{(-1)^{n-1}\over n} \Bigl({{\epsilon_d^bT}\over{\epsilon_d^b-1}}
\Bigr)^n
\end{align*}
et comme on a supposé $(d,p)=1$, on a $|\epsilon_d^b-1|_p=1$ et la
série est bien de rayon de convergence 1. Ceci permet de conclure.

\begin{lemm}\label{8.3}
La transformée d'Amice de la restriction de $x^{-1}\mu_\chi$
à $\Z_p^\dual$ est donnée par la formule
\begin{align*}
{\cal A}_{{\rm Res}_{\Z_p^\dual}(x^{-1}\mu_\chi)}(T)
&=\frac{-1}{G(\chi^{-1})}
\sum_{b\bmod d} \chi^{-1}(b)\\
&\times\Bigl(\log_p((1+T)\epsilon_d^b-1)
-{1\over p}\log_p((1+T)^p\epsilon_d^{pb}-1)\Bigr)\\
&= {\cal A}_{x^{-1}\mu_\chi}(T)-{{\chi(p)}\over p}
{\cal A}_{x^{-1}\mu_\chi}((1+T)^p-1).
\end{align*}
\end{lemm}

\demo On utilise la formule générale donnant la transformé
d'Amice de la restriction à $\Z_p^\dual$ d'une mesure en fonction de celle
de la mesure et l'identité

$$\sum_{\eta^p=1}\log_p((1+T)\epsilon_d^b\eta-1)
=\log_p((1+T)^p\epsilon_d^{pb}-1),$$
ce qui permet de montrer la première des deux égalités; la seconde
se démontre en écrivant $\chi^{-1}(b)$ sous la forme $\chi(p)
\chi^{-1}(bp)$ et en utilisant le fait que $b\to pb$ est une bijection
modulo~$d$ comme nous l'avons déjà fait.
\par\medskip
En posant $T=0$ dans la formule précédente, on obtient
$$\int_{\Z_p^\dual}x^{-1}\mu_\chi={{-1}\over{G(\chi^{-1})}}
\Big(1-{{\chi(p)}\over p}\Big)\sum_{b\bmod d}\chi^{-1}(b)
\log_p(\epsilon_d^b-1),$$
formule qui ne diffère de la formule complexe que par un facteur d'Euler
et le remplacement du logarithme usuel par le logarithme $p$-adique.
Il s'agit d'une illustration d'un phénomène surprenant au premier
abord qui fait que les formules $p$-adiques et les formules complexes
continuent à se ressembler beaucoup même en des points où
elles n'ont aucune raison de le faire a priori.
\Subsection{Torsion par un caractère de conducteur
une puissance de~\texorpdfstring{$p$}{p}}
Notre but dans ce paragraphe est d'étendre les résultats des deux
paragraphes
précédents pour calculer la fonction~$L$ $p$-adique de $\chi$
évaluée en un caractère de la forme $\psi(x)x^n$, où $\psi$ est
un caractère de Dirichlet de conducteur une puissance de $p$ (vu
comme caractère localement constant de $\Z_p^\dual$) et $n$ un entier
$\geq -1$.
Nous utiliserons la notation $\chi\otimes\psi$ pour désigner le caractère
de Dirichlet modulo~$dp^k$ défini par $(\chi\otimes\psi)(a)=\chi(a)\psi(a)$,
où $\chi$ et $\psi$ sont vus comme des caractères mod $dp^k$ grâce
aux projections respectives de $(\Z/dp^k\Z)^\dual$ sur $(\Z/d\Z)^\dual$ et
$(\Z/p^k\Z)^\dual$.

\begin{lemm}\label{9.1}
Soit $k\geq 1$, $\psi$ un caractère de Dirichlet de conducteur~$p^k$ et $\mu$ une distribution continue sur $\Z_p$. Alors on a
$$\int_{\Z_p}\psi(x)(1+T)^x\mu(x)={1\over{G(\psi^{-1})}}
\sum_{c\bmod p^k}\psi^{-1}(c){\cal A}_\mu((1+T)
\epsilon_{p^k}^c-1).$$
\end{lemm}

\demo On a
\begin{align*}
\int_{\Z_p}\psi(x)(1+T)^x\mu(x)&= \sum_{a\bmod p^k}
\psi(a)\int_{a+p^k\Z_p}(1+T)^x\mu_\chi\\
&= \sum_{a\bmod p^k}\hspace*{-6pt}\psi(a)\Bigl(
{1\over{p^k}}\sum_{\eta^{p^k}=1}\eta^{-a}{\cal A}_\mu((1+T)\eta-1)\Bigr)\\
&= \sum_{\eta^{p^k}=1}\hspace*{-4pt}{\cal A}_\mu((1+T)\eta-1)\Bigl(
{1\over{p^k}} \hspace*{-3pt}\sum_{a\bmod p^k}\hspace*{-3pt}
\psi(a)\eta^{-a}\Bigr).
\end{align*}
Si on écrit $\eta$ sous la forme $\epsilon_{p^k}^c=e^{2i\pi{c/{p^k}}}$,
on reconnaît dans le terme entre parenthèses une somme de Gauss tordue
(divisée par $p^k$)
dont la valeur est donnée par le lemme~\ref{6.1} et ce terme vaut donc\vspace*{-3pt}
$${1\over{p^k}}\psi^{-1}(-c)G(\psi)={{\psi^{-1}(c)}\over{G(\psi^{-1})}},$$
la dernière égalité provenant de la formule $G(\psi)G(\psi^{-1})=
\psi(-1)p^k$ (lemme~\ref{6.1}). On en tire le résultat.

\begin{prop}\label{9.2}
Si $\mu$ est une mesure sur $\Z_p$ dont la transformée
d'Amice est de la forme\vspace*{-3pt}
$${\cal A}_\mu(T)={{-1}\over{G(\chi^{-1})}}
\sum_{b\bmod d}\chi^{-1}(b)F((1+T)\epsilon_d^b-1)$$
et si $\psi$ est un caractère de Dirichlet
de conducteur $p^k$ avec $k\geq 1$,
alors\vspace*{-3pt}
\begin{multline*}
\int_{\Z_p}\psi(x)(1+T)^x\mu(x)\\[-7pt]
={{-1}\over{G((\chi\otimes
\psi)^{-1})}}
\sum_{a\bmod dp^k}(\chi\otimes\psi)^{-1}(a)F((1+T)\epsilon_{dp^k}^a-1).
\end{multline*}
\end{prop}

\demo D'après le lemme précédent, on a\vspace*{-3pt}
\begin{multline*}
\int_{\Z_p}\psi(x)(1+T)^x\mu(x)\\[-5pt]
={{-1}\over{G(\chi^{-1}) G(\psi^{-1})}}\sum_{b\bmod d}
\sum_{c\bmod p^k}
\chi^{-1}(b)\psi^{-1}(c)F((1+T)\epsilon_{d}^b\epsilon_{p^k}^c-1).
\end{multline*}
Pour mettre cette expression sous une forme un peu plus sympathique, on
peut
utiliser le fait que tout élément $a$ de $
\Z/dp^k\Z$ peut s'écrire de manière unique sous la
forme $dc+p^kb$, avec
$b\in\Z/d\Z$ et $c\in\Z/p^k\Z$, ce qui donne les formules\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
\epsilon_{dp^k}^a&= \epsilon_d^b\epsilon_{p^k}^c\\
(\chi\otimes\psi)^{-1}(a)&= \chi^{-1}(p^k)\psi^{-1}(d)\chi^{-1}(b)\psi^{-1}(c)\\
G((\chi\otimes\psi)^{-1})&=\sum_{a\bmod dp^k}(\chi\otimes\psi)^{-1}(a)
\epsilon_{dp^k}^a\\[-3pt]
&=
\chi^{-1}(p^k)\psi^{-1}(d)\Bigl(\sum_{b\bmod d}\hspace*{-3pt}\chi^{-1}(b)\epsilon_d^b
\Bigr)
\Bigl(\sum_{c\bmod p^k}\hspace*{-3pt}\psi^{-1}(c)\epsilon_{p^k}^c\Bigr)
\\ &= \chi^{-1}(p^k)\psi^{-1}(d)G(\chi^{-1})G(\psi^{-1})
\end{align*}
et permet de conclure.

\medskip

On peut appliquer la proposition précédente à la distribution
$x^{-1}\mu_\chi$ et à la fonction $F(T)=\log_p(T)$. On obtient,
en évaluant le résultat en $T=0$,
\begin{align*}
L_p(\chi\otimes(x^{-1}\psi))&=\int_{\Z_p^\dual}\psi(x)x^{-1}\mu_\chi\\
&={{-1}\over{G((\chi\otimes\psi)^{-1})}}\sum_{x\bmod d p^k}\hspace*{-3pt}
(\chi\otimes\psi)^{-1}(x)
\log_p(\epsilon_{dp^k}^x-1),
\end{align*}
formule qui est à rapprocher de la formule correspondante
sur les complexes.

\begin{prop}\label{9.3}
Si $\psi$ est un caractère de Dirichlet non trivial
de conducteur
une puissance de $p$ et $n\in\N$, alors
$L_p(\chi\otimes(x^n\psi))=L(\chi\otimes\psi,-n)$.
\end{prop}

\demo
On tire de la proposition précédente et de la formule
donnant la transformée d'Amice de $\mu_\chi$, le fait que la transformée
d'Amice de
$\psi(x)\mu_\chi(x)$ est
$${{-1}\over{G((\chi\otimes\psi)^{-1})}}\sum_{x\bmod d p^k}
{{(\chi\otimes\psi)^{-1}(x)}\over{
(1+T)\epsilon_{dp^k}^x-1}}$$
et donc que sa transformée de Laplace est la fonction ${\cal L}_{\chi
\otimes\psi}(t)$. Le résultat s'en déduit.

\begin{rema}\label{9.4}
Il n'y a pas de facteur d'Euler apparaissant dans les deux
formules précédentes; c'est dû au fait que $p$ n'est pas premier
au conducteur de $\chi\otimes\psi$ et donc $\chi\otimes\psi(p)=0$.
\end{rema}
\end{document}
