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\begin{document}
\frontmatter
\title{Pavages aléatoires par dimères}
\author[\initial{R.} \lastname{Kenyon}]{\firstname{Richard} \lastname{Kenyon}}
\address{Laboratoire de Mathématiques,
UMR 8628 du CNRS, Bât 425, Université Paris-Sud,
91405 Orsay, France}
\email{richard.kenyon@yale.edu}
\urladdr{https://gauss.math.yale.edu/~rwk25/}

\thanks{Journées X-UPS 2001. Pavages. Éditions de l'École polytechnique, 2001}

\maketitle
\tableofcontents
\mainmatter

\section{Introduction}
Le problème fondamental de la physique statistique
est d'étudier les systèmes d'un grand nombre d'atomes.
Si le système est suffisamment grand, on peut espérer
utiliser les méthodes probabilistes pour son étude.
Les questions de base sont le comportement d'un tel système
quand on fait varier les paramètres qui définissent le système,
par exemple la température et l'énergie d'interaction.

Ces problèmes sont bien sûr très difficiles, et on a souvent affaire
à un phénomène très mystérieux: les \og transitions de phase\fg.
Par exemple la formation abrupte
d'un cristal quand on baisse la température
dans un bassin d'eau est un phénomène loin d'être
compris de fa\c con mathématique.

Pour certains modèles simplifiés de tels systèmes, pourtant,
on sait faire les calculs exacts. C'est en étudiant ces cas simples
qu'on cherche à comprendre au moins de fa\c con qualitative
les systèmes naturels.

Le \og modèle d'Ising\fg est un modèle très simple d'un système de spins
sur un réseau.
Le cas en dimension $d=2$ est le premier système exactement résolu
dans lequel on trouve une \og transition de phase\fg, c'est-à-dire
que quand on
baisse la température
on a un abrupt changement dans la configuration.
Il a été \og résolu\fg
dans le cas de la dimension $d=2$ en 1944 par Onsager.
(Le cas $d\geq 3$ est encore ouvert.)

Un modèle très proche du modèle d'Ising, et
qu'on propose d'expliciter ici, est le
modèle des {\em dimères sur un réseau}. On va seulement étudier
le cas de dimension $2$. En 1961
Kasteleyn (et indépendamment, Temperley et Fisher) ont fait des
premiers calculs exacts sur ce modèle. On parlera de leurs résultats.

Il s'agit d'un système de molécules diatomiques
(\og dimères\fg) placées sur les
sites d'un réseau dans $\R^2$. On suppose que:
\begin{enumerate}
\item les deux atomes d'une même
molécule occupent deux sites adjacents du réseau,
\item tous les sites du réseau sont occupés.
\end{enumerate}

On peut penser
à des molécules adsorbés sur la surface d'un cristal, par exemple.
On va imposer l'hypothèse que
l'énergie d'interaction est nulle, et l'énergie
d'une configuration ne dépend que de l'orientation des dimères.

L'outil de base de la physique statistique, et
qu'on va calculer pour ce système, est la {\em fonction de partition}
$Z$,
qui est une somme, sur tous les états possible du système,
de l'exponentielle de l'énergie de l'état.
La fonction $Z$ contient une grande quantité d'information
décrivant le comportement du système. D'ailleurs les physiciens
disent qu'un modèle est \og résolu\fg quand ils arrivent
à calculer l'asymptotique de~$Z$ quand la taille du système devient grande.

Dans la section \ref{definition} on définit le
réseau qu'on va étudier, et on explicite le problème
mathématique qu'on
va résoudre. Ensuite on décrit la méthode de résolution
du problème pour les régions planes (section~\ref{planaire})
et sur le tore (section~\ref{tore}), \cad une région planaire avec
des conditions périodiques au bord.
Dans la section \ref{enum} on calcule la fonction de partition
explicitement dans le cas d'un graphe sur le tore.
Ensuite on calcule la limite des $Z$ pour les tores, qui est la fonction
souhaitée.
On trouvera ses transitions de phase et d'autres propriétés
dans la section \ref{phases}.

La preuve comporte quelques passages techniques; nous avons
essayé de donner seulement une esquisse de preuve dans ces endroits.\enlargethispage{\baselineskip}

\section{Le problème}\label{definition}
Soit $T$ le pavage régulier du plan par des triangles
équilatéraux.
Nous allons considérer les pavages par losanges
d'une région finie $R\subset T$.
Une {\it losange} est par définition la réunion
de deux triangles adjacents de $T$ (voir le texte de François Labourie \cite{Labourie01}).
On colorie les triangles de $T$ en noir et blanc,
les triangles ayant leur pointe en haut en noir, les autres en blanc.
Ainsi chaque losange recouvre un triangle noir et un triangle blanc;
une région finie $R$ est pavable seulement si elle contient
autant de triangles noirs que de triangles blancs.
(Cette condition n'est pas pourtant suffisante pour l'existence
d'un pavage: voir \cite{Thu}).

Une autre fa\c con de regarder un pavage, que les informaticiens
et physiciens aiment bien, et qui laisse voir le lien avec les
dimères,
est la suivante.
À une région $R\subset T$ on associe un graphe $\hat R$, dont les
sommets sont les triangles de $T\cap R$, et tel que
deux sommets sont reliés par une
arête si et seulement si les deux triangles
correspondants ont un coté en commun. Voir la figure \ref{hex}.
Le graphe $\hat R$ est une partie du graphe \og nid d'abeille\fg, graphe
périodique dont les faces sont des hexagones.

Ainsi à un pavage de $R$ correspond un ensemble d'arêtes de $\hat
R$,
qui a la propriété que chaque sommet est contenu dans exactement
une arête. Un tel ensemble d'arêtes s'appelle {\em couplage
parfait},
car on a \og couplé\fg chaque sommet avec l'un de ses voisins.
C'est également appelé \og recouvrement par dimères\fg,
chaque dimère étant un lien.

Notez que si on tient compte du coloriage des triangles de $T$,
on~peut colorier les sommets de $\hat R$ en noir et blancs selon
la couleur du triangle correspondant. Ainsi un couplage
parfait associe à chaque sommet noir un sommet adjacent blanc.

Appelons $e_1,e_2$ et $e_3$ les trois directions d'arêtes de $\hat R$.
On associe aux arêtes des énergies $E_1,E_2,E_3$, qui en physique
sont les énergies associées à une molécule adsorbée sur
l'arête. Pour nous ces énergies seront simplement des nombres réels
associés aux arêtes.
On définit $z_j=e^{-E_j/kT}$,
où $k$ est une constante (la constante de Boltzmann)
et~$T$ est la température.
Les quantités $z_i$ sont appelées les \og activités\fg.

\begin{figure}[htbp]
\centerline{\includegraphics[scale=.7]{hex}}
\caption{\label{hex}La région $R$, un pavage, le couplage de $\hat R$
correspondant.}
\end{figure}

Pour tout système physique ne prenant qu'un nombre fini d'états
on peut définir une mesure de probabilité (sur
l'espace des états du système), la {\it mesure de Boltzmann}.
Pour cette mesure, la probabilité de trouver le système dans l'état
$C$ est proportionnelle à $e^{-E(C)/(kT)}$, ou $E(C)$
est l'énergie de la configuration $C$.

Pour un graphe fini $\hat R$, on définit
la mesure de de Boltzmann $\mu$
sur l'ensemble (fini) des couplages parfaits de $\hat R$:
la probabilité d'une configuration $C$ contenant
$n_i$ arêtes de type $e_i$ est
\begin{equation}\label{probE}
\Prob(C)=\frac1Ze^{-E(C)/kT}=\frac{1}Zz_1^{n_1}z_2^{n_2}z_3^{n_3},
\end{equation}
ou $Z$ est une constante
qu'on appelle {\em fonction de partition}.
Dans cette formule $E(C)$ est l'énergie totale de la configuration
$C$,
\cad la somme des énergies des arêtes dans le couplage.

La fonction de partition $Z$ s'écrit:
$$Z(z_1,z_2,z_3) = \sum_{\rm couplages} z_1^{n_1}z_2^{n_2}z_3^{n_3},$$
où la somme porte sur tous les couplages parfaits, et pour un
couplage donné, $n_j$ est le nombre de dimères
dans la $j$-ième direction.
Notez que~$Z$ est un polynôme en $z_1,z_2,z_3$ avec des coefficients
entiers positifs.

La figure \ref{tri} montre un pavage aléatoire d'une région
triangulaire (avec poids égaux).
\begin{figure}[htbp]
\centerline{\includegraphics[scale=.6]{loz}}
\caption{\label{tri}Pavage aléatoire d'une région triangulaire.}
\end{figure}

Comme on l'a dit dans l'introduction, la quantité $Z$ contient
beaucoup d'information sur le système. Par exemple $\bar n_i$, le
nombre moyen
de dimères de type~$z_i$ dans une configuration aléatoire, est
donné par
l'expression $$\bar n_i = \frac{z_i}{Z}\frac{\partial Z}{\partial z_i}.$$
Ceci suit immédiatement de l'expression (\ref{probE}).
De même, la variance $\sigma^2(n_i)$ du nombre de dimères de type
$z_i$ est donnée
par
$$\sigma^2(n_i) = \Bigl(z_i\frac{\partial}{\partial z_i}\Bigr)^2\log Z
=
\frac{z_i}{Z}\frac{\partial}{\partial
z_i}z_i\frac{\partial Z}{\partial
z_i}-\Bigl(\frac{z_i}{Z}\frac{\partial Z}{
\partial z_i}\Bigr)^2.
$$

Une autre quantité physique intéressante à connaître
est {\it l'entropie} $S(\mu)$ de la mesure $\mu$.
L'entropie est la somme
$$S(\mu) = \sum_{\text{configurations }C}-\mu(C)\log\mu(C).$$
C'est une mesure de l'information contenue dans le système.
Si on voulait communiquer (sur une ligne informatique par exemple)
l'état exact d'une configuration aléatoire,
il faudrait envoyer $S(\mu)$ bits en moyenne (en supposant que le
logarithme
dans la définition est le logarithme en base $2$).

L'entropie se calcule à partir de $Z$ et ses dérivées. On a:
\begin{align*}
S(\mu) &= \sum_C -\mu(C)\log\mu(C)=\sum_C
-\frac{z_1^{n_1}z_2^{n_2}z_3^{n_3}}{Z}
\log\Bigl(\frac{z_1^{n_1}z_2^{n_2}z_3^{n_3}}{Z}\Bigr)\\
&= \log Z\sum_C \frac{z_1^{n_1}z_2^{n_2}z_3^{n_3}}{Z}\\
&\hspace*{1cm} - \sum_C
\frac{z_1^{n_1}z_2^{n_2}z_3^{n_3}}{Z}
(n_1\log z_1+n_2\log n_2+n_3\log n_3)\\
&=\log Z -\bar n_1\log z_1 - \bar n_2\log z_2 - \bar n_3\log z_3.
\end{align*}

Pour des systèmes infinis on s'intéresse à calculer des versions
normalisées de ces quantités. Au lieu de calculer
le nombre moyen de dimères de type $z_i$ on calcule
la probabilité qu'un dimère soit présent. C'est le nombre moyen
\og par site\fg. De même l'entropie par site est
l'entropie divisée par le nombre de sites.
La quantité $Z$ est une fonction \og multiplicative\fg du nombre de sites,
donc pour normaliser~$Z$ on calcule $Z^{1/N}$,
où $N$ est le nombre total de sites; c'est la fonction de partition
\og par site\fg.

Quand la taille du système tend vers l'infini (on parle de
la \og limite thermodynamique\fg), on peut espérer que ces
quantités normalisées convergent.
La limite thermodynamique de la fonction de partition par site est
bien sûr la quantité la plus importante. On l'appelle de nouveau
$Z$.
C'est habituellement une fonction analytique de ses paramètres,
mais il se peut que ce soit seulement analytique par morceaux.

Certains auteurs définissent un {\it changement de phase} comme
étant une température où la limite thermodynamique de la fonction
de partition par site
n'est pas analytique (en fonction de $T$). Le changement de phase est
dite de premier ordre si
$Z$ n'est pas continue en ce point. C'est de second ordre si $Z$
est continue mais pas différentiable, et ainsi de suite.

Attention, il n'est pas toujours facile de montrer que la convergence
de la fonction de partition vers sa limite thermodynamique est lisse.
Il~se peut que les limites des dérivées ne convergent pas vers les
dérivées de la limite. Dans le cas présent c'est un passage
technique qu'on ne discutera pas.

Le lecteur a peut-être remarqué que pour une région finie \hbox{$R\!\subset\!T$},
chaque pavage de $R$ a le même nombre de pavés dans chaque orientation,
c'est-à-dire les nombres $n_1,n_2,n_3$ sont indépendants du pavage.
Ceci rend le calcul de $Z$ moins intéressant pour des régions planes.
Si~en revanche on impose des conditions \og périodiques\fg au bord (\cad on pave
une région torique),
ou bien des conditions \og libres\fg au bord
(on permet aux dimères de dépasser le bord) alors le nombre de dimères
de chaque type va varier selon le pavage. C'est en ces cas là que
la fonction $Z$ est intéressante à calculer.
Nous allons (dans la section \ref{tore})
imposer des conditions périodiques au bord, ce qui permettra
de faire des calculs exacts. De plus on conjecture que toute mesure limite
avec des conditions au bords quelconques est déjà exprimée
par une limite de régions avec des conditions périodiques au bord.
On montrera qu'avec des conditions périodique au bord
il y a un changement de phase de seconde ordre à une certaine
température critique.

\section{Calcul de \texorpdfstring{$Z$}{Z}, cas planaire}\label{planaire}
Supposons maintenant que $R\subset T$
est une région finie, pavable par losanges,
et sans trou,
c'est-à-dire borné par une seule courbe simple de $T$.
Soit $\hat R$ le graphe associé.
Soit $2n$ le nombre total de sommets de $\hat R$, donc on a $n$
sommets noirs et $n$ blancs.
Soit $K$ la matrice d'adjacence de $\hat R$, \cad la matrice $2n\times 2n$
indexée par les sommets de $\hat R$,
définie par
$K=(k_{v_1v_2})$
où $k_{v_1v_2}=z_j$ si $v_1$ et $v_2$ sont liés par une arête
dans la direction $e_j$, et $k_{v_1v_2}=0$ si $v_1$ et $v_2$ ne sont pas
reliés. La matrice $K$ est symétrique.

Si on ordonne les sommets en mettant d'abord tous les sommets noirs,
ensuite les sommets blancs, la matrice $K$ a une forme en blocs:
\begin{equation}\label{A}
K=\left(\begin{array}{cc}0&A\\A^t&0\end{array}\right),
\end{equation}
où $A$ est une matrice $n\times n$
et $0$ représente la matrice $n\times n$ nulle.

Soit $Z(z_1,z_2,z_3)$ la fonction de partition de $\hat R$.
\begin{thm}[\cite{Kast}]\label{1} On a
$Z(z_1,z_2,z_3)=|{\det A}|$.
\end{thm}

\begin{proof}
Appelons $N_1,\ldots,N_n$ les sommets noirs de $\hat R$
et $B_1,\ldots,B_n$ les sommets blancs.

Par définition, le déterminant de $A$ vaut
\begin{equation} \label{pf}
\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sign}(\sigma)
k_{1\sigma(1)}k_{2\sigma(2)}\cdots k_{n\sigma(n)}.
\end{equation}

Il est clair que chaque terme
$k_{1\sigma(1)}k_{2\sigma(2)}\cdots k_{n\sigma(n)}$ dans la somme vaut $0$,
sauf ceux tels que les sommets $N_k$ et $B_{\sigma(k)}$
sont adjacents pour tout $k\in[1,n]$.
Donc la somme a exactement un terme pour chaque couplage parfait de $\hat R$.
Ce terme, en valeur absolue, vaut $z_1^{n_1}z_2^{n_2}z_3^{n_3}$,
comme souhaité. Il suffit de voir que le signe $\mathrm{sign}(\sigma)$ est
constant.

Supposons par exemple qu'on a deux couplages parfaits
qui diffèrent seulement autour d'une hexagone, comme
dans la figure \ref{hexmove}.
\begin{figure}[htbp]
\centerline{\includegraphics[scale=.8]{hexmove}}
\caption{\label{hexmove}Rotation \og hexagonale\fg d'un couplage.}
\end{figure}
Comment comparer les signes des termes correspondantes?
Appelons les sommets noirs de l'hexagone $N_1,N_2,N_3$ et les sommets
blancs $B_1,B_2,B_3$. Dans le premier couplage, $N_i$ est couplé
avec $B_i$. Dans le deuxième, $N_i$ est couplé avec $B_{i-1\bmod 3}$.
Donc la permutation $\sigma$ dans le deuxième terme diffère de
celle de la première par la permutation cyclique $(B_1\;\; B_2\;\; B_3)$,
qui est une permutation de signature $+1$. Donc ces
deux termes ont le même signe dans la somme.
Il suffit maintenant de montrer que deux couplages quelconques
peuvent être relié par une suite d'opérations de ce type
(rotations autour d'une hexagone).

C'est ici qu'il est important de regarder le pavage associé
à un couplage. On peut penser au pavage comme à une surface
dans $\Z^3$ composé de carrés unité $xy, yz,$ ou $zx$.
La surface est le bord d'un empilement de cubes; changer
le couplage autour d'une hexagone correspond à enlever ou
ajouter une cube. Il est facile à voir que, étant donné
deux surfaces, on peut passer de l'un à l'autre en enlevant et ajoutant
des cubes.

Ceci complète la preuve.
\end{proof}

\section{Calcul de \texorpdfstring{$Z$}{Z}: le cas du tore \texorpdfstring{$T^2$}{T2}}
\label{tore}
Il est possible d'utiliser
le même argument du Théorème \ref{1}
pour calculer $Z$ pour un graphe sur un tore $\T^2$,
sauf qu'il y a un problème avec les signes dans (\ref{pf}).
La preuve ne marche plus car il n'est pas vrai
que deux couplages diffèrent par une suite d'opérations
\og hexagonales\fg. Si on dessine deux couplages sur le même graphe,
leur réunion est une réunion de cycles et d'arêtes seules.
Si certains de ces cycles sont {\it non homologues à zéro}
sur le tore, \cad font le tour du tore,
alors les couplages correspondants ne sont pas reliés
par une suite d'opérations hexagonales.
Pour passer d'un couplage à l'autre il faut
faire une permutation le long de ces cycles.

L'astuce consiste a voir que
le signe de la permutation correspondant à une telle opération
ne dépend que de la classe d'homologie dans $H_1(\T^2,\Z/2\Z)$
(voir définition plus bas),
du cycle (ou réunion de cycles) le long duquel on fait l'échange.

Examinons un cas concret.
Soit $\hat x=\frac32-\frac{i\sqrt{3}}2$ et $\hat y=\frac32+\frac{i\sqrt{3}}2$.
Dans la graphe $H$ les sommets noirs sont $p\hat x+q\hat y$ où $p,q\in\Z$
et les sommets blancs sont de la forme $p\hat x+q\hat y+1$ où $p,q\in\Z$.
(Zut, il faut tourner le graphe dans la Figure \ref{hex} par $90^\circ$.)
Pour $p,q\in\Z$ et $t\in\{0,1\}$ on appelle le sommet $(p,q,t)$ le sommet
$p\hat x+q\hat y+t$. Voir la figure \ref{negs}.
Soit $m,n$ des entiers positifs pairs et $H_{m,n}$ le graphe toroïdal
$H/(m\hat{x}\Z+n\hat{y}\Z)$, \cad où on identifie $(p,q,t)$ avec
$(p+m,q,t)$ et $(p,q+n,t)$, voir la figure.

Soit $K_1=K_1(m,n)$ la matrice d'adjacence de $H_{m,n}$ avec des poids $z_1,z_2,z_3$
selon la direction.
Soit $K_2$ la matrice obtenue à partir de~$K_1$ en multipliant
par $-1$ les poids des arêtes entre les sommets
\hbox{$(m-1,k,1)$} et $(0,k,0)$, pour tout
$k\in[0,n-1]$ (ces arêtes sont étiquetées \og $P$\fg dans la Figure
\ref{negs}).

Soit $K_3$ la matrice obtenue à partir de $K_1$ en multipliant par $-1$
les poids des arêtes
entre $(k,n-1,1)$ et $(k,0,0)$,
pour tout $k$ (ces arêtes sont étiquetées \og $Q$\fg dans la figure
\ref{negs}).

\enlargethispage{.5cm}
Soit $K_4$ la matrice obtenue à
partir de $K_1$ en multipliant par $-1$
les poids des arêtes \og $P$\fg et \og $Q$\fg.
\begin{figure}[htbp]
\centerline{\includegraphics[scale=.6]{negs}}
\caption{\label{negs}Les signes pour $K_j$, dans un domaine
fondamental pour $H_{4,4}$.}
\end{figure}

Soient $A_1,A_2,A_3,A_4$ les matrices $mn/2\times mn/2$
obtenues à partir des $K_j$ comme dans (\ref{A}).

\begin{Prop}\label{AAAA}
La fonction de partition du graphe $H_{m,n}$ est:
$$Z_{m,n}=
\frac12\bigl(-|{\det(A_1)}|+|{\det(A_2)}|+|{\det(A_3)}|+|{\det(A_4)}|\bigr).$$
\end{Prop}

\begin{proof}[Idée de la preuve]
Appelons {\em couplage standard} $M$ le couplage qui joint le sommet
$(k,\ell,0)$
au sommet $(k,\ell,1)$ pour tout $k,\ell$.
Pour calculer les signes dans l'expression (\ref{pf}),
on va comparer chaque couplage avec $M$: le signe est fonction
des cycles qu'il faut \og échanger\fg pour passer de $M$ au couplage donné.
On prétend que le déterminant de la matrice
$A_1$ compte positivement les couplages obtenus à partir de $M$
en faisant des \og échanges\fg le long d'une réunion de cycles qui
contiennent un nombre pair d'arêtes \og $P$\fg et un nombre pair
d'arêtes \og $Q$\fg.
(\cad dont la classe d'homologie vaut $(0,0)$ dans $H_1(\T^2,\Z/2\Z)$).
De plus, le déterminant de $A_1$ compte les autres
couplages avec le signe $-1$.

Pour voir cela, notons que les cycles dans la réunion d'un couplage avec $M$
sont \og monotones\fg
dans la direction $e_1$, donc on peut vérifier que
leur longueur modulo $4$
est déterminée par la parité du nombre d'arêtes $P$ et $Q$
qu'ils contiennent.

Par les mêmes idées, la matrice $A_2$ compte positivement tous les
couplages, sauf ceux dont le nombre de $P$ est pair et le nombre de~$Q$
est impair;
la matrice $A_3$ compte positivement tous les
couplages sauf ceux dont le nombre de $P$ est impair et le nombre de $Q$
est pair; et
la matrice $A_4$ compte positivement tous les
couplages sauf ceux dont le nombre de $P$ est impair et le nombre de
$Q$ est impair.

On laisse au lecteur le soin de vérifier ces faits, qui impliquent
que la somme (\ref{AAAA}) compte chaque couplage
exactement une fois.
\end{proof}

\section{Calcul des déterminants}
\label{enum}
Nous allons calculer les déterminants des $K_j$, $j=1,2,3,4$.
Vu~la périodicité du tore, on peut espérer trouver
des vecteurs propres pério\-diques.

Un vecteur propre de $K_j$ est une fonction définie sur les sommets de $H_{m,n}$.
On définit le vecteur $f$ qui a valeur au sommet $(r,s,t)$ donnée par:
$$f(r,s,t)=c_t a^rb^s,$$
où $a,b,c_t$ sont constants.
On voit que la coordonné $(r,s,0)$ du vecteur $K_1f$ satisfait:
\begin{eqnarray*}
(K_1f)(r,s,0) &=& z_1c_1a^rb^s+z_2c_1a^{r-1}b^s+z_3c_1a^rb^{s-1}\\
&=&c_1a^rb^s(z_1+z_2a^{-1}+z_3b^{-1})\\
&=&(z_1+z_2a^{-1}+z_3b^{-1})\frac{c_1}{c_0}f(r,s,0),
\end{eqnarray*}
et au sommet $(r,s,1)$ on a de même
\begin{eqnarray*}
(K_1f)(r,s,1) &=& z_1c_0a^rb^s+z_2c_0a^{r+1}b^s+z_3c_0a^rb^{s+1}\\
&=&c_0a^rb^s(z_1+z_2a+z_3b)\\
&=&(z_1+z_2a+z_3b)\frac{c_0}{c_1}f(r,s,1).
\end{eqnarray*}

Notons que ces équations sont valides même pour $r=m-1$ et $s=n-1$
à condition que $a^m=b^n=1$.

Si on pose
\begin{align*}
c_0&=\sqrt{z_1+z_2a^{-1}+z_3b^{-1}}&
c'_{0}&=c_{0}\\
c_{1}&=\sqrt{z_1+z_2a+z_3b}&
c'_{1}&=-c_{1}\\
\lambda&=c_0c_1&
\lambda'&=-c_0c_1
\end{align*}
alors $f(r,s,t)=c_ta^rb^s$ et $f'(r,s,t)=c'_ta^rb^s$ sont vecteurs
propres de $K_1$, avec valeurs propres $\lambda$ et $\lambda'$.
Ceci nous donne $2mn$ vecteurs propres pour $K_1$ (on a $m$
choix pour $a$ et $n$ choix pour $b$), et on peut vérifier
qu'ils sont indépendants. Donc on a trouvé tous les vecteurs propres.

Pour $K_2$ on a des vecteurs propres et valeurs propres
de même forme, sauf qu'il faut $a^m=-1$ et $b^n=1$.
Pour $K_3$ il faut $a^m=1$, $b^n=-1$,
et pour $K_4$ il faut $a^m=b^n=-1$.

Finalement on trouve
\begin{align}\label{Z'}
\det(K_1)&=\det(A_1)^2=
\prod_{k=0}^{m-1}\prod_{\ell=0}^{n-1}
\big|z_1+z_2e^{-2\pi ik/m}+z_3e^{-2\pi i\ell/n}\big|^2 \\
\det(K_2)&=
\prod_{k=0}^{m-1}\prod_{\ell=0}^{n-1}
\big|z_1+z_2e^{-\pi i(2k+1)/m}+z_3e^{-2\pi i\ell/n}\big|^2 \\
\det(K_3)&=
\prod_{k=0}^{m-1}\prod_{\ell=0}^{n-1}
\big|z_1+z_2e^{-2\pi ik/m}+z_3e^{-\pi i(2\ell+1)/n}\big|^2 \\
\det(K_4)&=
\prod_{k=0}^{m-1}\prod_{\ell=0}^{n-1}
\big|z_1+z_2e^{-\pi i(2k+1)/m}+z_3e^{-2\pi i(2\ell+1)/n}\big|^2.
\end{align}

Maple donne les valeurs\vspace*{-3pt}
\begin{eqnarray*}
Z_{2,2}(z_1,z_2,z_3)&=&
z_1^4+z_2^4+z_3^4+2z_1^2z_2^2+2z_1^2z_3^2+2z_2^2z_3^2\\
Z_{4,4}(1,1,1)&=&417\\
Z_{6,6}(1,1,1)&=&263640
\end{eqnarray*}

\section{Limites \texorpdfstring{$n,m\to\infty$}{nm}}
On s'intéresse à la limite, quand la taille du système $2mn$ tend
vers l'infini, de la fonction de partition \og par site\fg $Z_{m,n}^{1/(2mn)}$.
On définit\vspace*{-3pt}
$$Z\stackrel{\mathrm{d\acute{e}f}}{=}\lim_{m,n\to\infty}(Z_{m,n})^{1/(2mn)}.$$
On montre dans \cite{CKP} que cette limite existe.

Quand $n,m\to\infty$ les quatre quantités $|\det A_i|$ sont généralement
à peu près de la même taille. En fait on a envie de dire que
les quantités $\frac1{2mn}\log\det A_i$ tendent chacune vers
la même intégrale\vspace*{-3pt}
$$\frac1{4\pi^2}\int_{0}^{2\pi}\int_0^{2\pi}
\log|z_1+z_2e^{i\theta}+z_3e^{i\phi}|d\theta d\phi,$$
mais ceci est vrai seulement sur une sous-suite de $m,n$, car la quantité
$z_1+z_2e^{i\theta}+z_3e^{i\phi}$ s'annule pour certains choix d'angles
$\theta,\phi$.
Néanmoins on peut montrer (voir \cite{CKP})
que la quantité $\frac{1}{2mn}\log Z_{m,n}$
tend bien vers cette intégrale, et de fa\c con assez régulière.

\section{Transition de phase}\label{phases}

Rappelons que $z_i=e^{-E_i/kT}$. Supposons que les trois énergies sont
différentes, par exemple $E_3<E_2<E_1$.
Alors pour une température~$T$ suffisamment petite, on a $z_3>z_1+z_2$.
En revanche si $T$ est grande, les $z_i$ sont presque égaux.
Il y a une unique température $T_c$ où $z_3=z_1+z_2$.
On verra que c'est la température critique où l'on a une
transition de phase.

Utilisons les identités (pour $m$ pair):\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
\prod_{k=0}^{m-1}(u+e^{2\pi i k/m}) &= u^m-1,\\[-3pt]
\prod_{k=0}^{m-1}(u+e^{\pi i(2k+1)/m}) &=-(ue^{\pi i/m})^m+1 = u^m+1.
\end{align*}
Pour (\ref{Z'}) par exemple on trouve
$$\det(A_1)^2=\prod_{k=0}^{m-1} z_3^{2n}\left|\Big(\frac{z_1+z_2e^{-2\pi ik/m}}{z_3}\Big)^n-1 \right|^2.$$
Si $z_3>z_1+z_2$, quand $n$ est grand le terme entre parenthèses
est minuscule et on a $\det A_1= z_3^{mn}$ a une petite erreur près.
De même pour les autres $A_i$; on conclut que
$Z_{m,n}\approx z_3^{mn}$ et $Z=z_3^{1/2}$.

Ceci équivaut à dire que pour $H_{m,n}$, avec une probabilité qui
tend vers $1$ quand $m,n\to\infty$,
{\em toutes les arêtes du couplage sont
dans la direction $e_3$}. Donc on a la formation d'un \og cristal\fg.
(Notez que ceci est seulement vrai dans la limite $m,n\to\infty$. Pour $m,n$
fini on a toujours une probabilité non nulle d'avoir chaque
type d'arête.)

Par symétrie on a un cristal chaque fois que
$z_1,z_2,z_3$ ne satisfont pas l'inégalité triangulaire.
La région complémentaire,
où $z_1,z_2,z_3$ satisfont l'inégalité triangulaire,
est appelée la {\em zone liquide}.
Dans la zone liquide toutes les types d'arêtes sont présents.

La figure \ref{prob} montre la probabilité, en fonction
de $z_1,z_2,z_3$, que l'arête entre
$(0,0,0)$ et $(0,0,1)$ se trouve dans un couplage aléatoire
(on a normalisé $z_1+z_2+z_3=1$).
On peut calculer la valeur exacte de cette
probabilité à partir de~$Z$: c'est
$$\Prob(e_1)=\frac{z_1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial z_1}.$$
Cette formule suit du fait que $Z_{m,n}$ est un polynôme
en $z_1,z_2,z_3$ et donc $\Psfrac{z_1}{Z_{m,n}}\Psfrac{\partial Z_{m,n}}{\partial z_1}$ est l'espérance du nombre d'arêtes de type $e_1$.
Mais attention, il est moins facile de montrer que la limite des dérivées
vaut la dérivé de la limite: voir \cite{CKP}.

Dans la zone liquide, cette valeur est:
$$\Prob(e_1)=
\frac1\pi\, \mathrm{Cos}^{-1}\Big(\frac{z_2^2+z_3^2-z_1^2}{2z_2z_3}\Big)$$
ce qui est précisément $\sfrac1\pi$ fois l'angle opposé au coté $z_1$
dans un triangle de cotés $z_1,z_2,z_3$.
Pourquoi a-t-on cette interprétation géométrique? Je ne sais pas.

\begin{figure}[htbp]
\centerline{\includegraphics[scale=.7]{prob}}
\caption{\label{prob}La probabilité d'une arête \og$e_3$\fg,
en fonction de $z_1$ et $z_2$ avec $z_3=1-z_1-z_2$.}
\end{figure}

Cette probabilité est continue partout sauf aux trois points
$$(\sfrac12,\sfrac12,0),\ (0,\sfrac12,\sfrac12),\ (\sfrac12,0,\sfrac12).$$

Le calcul de $Z$ sur le segment critique
$z_3=z_1+z_2$ est assez non trivial mais peut se faire avec les
équations (\ref{Z'}); on trouve des comportements
intéressants qui dépendent fortement de la valeur $m/n$.
C'est le seul cas où $Z$ dépend de la forme géométrique de la domaine
(et non seulement de son aire).

Dans \cite{Ken}, il est expliqué comment calculer la probabilité
de trouver, dans une configuration aléatoire, un ensemble
donné d'arêtes.
Ces résultats permettent d'avoir une idée précise du comportement local d'une
configuration aléatoire.

\section{Conclusions et problèmes ouverts}
Des variantes des méthodes de Kasteleyn expliquées ici marchent
pour tout graphe planaire ou graphe sur un tore.

Dans certains cas, on a d'autres types de transition de phase.
Par exemple le modèle d'Ising peut être résolu de cette manière.

Compter le nombre de couplages parfaits dans un graphe général
est un problème difficile (\og \#P-complet\fg pour les informaticiens:
il n'y a pas d'algorithme en temps polynomial à moins que $P=NP$).
Comment compter les couplages dans un réseau dans $\R^3$?
Ceci est un problème ouvert important en physique statistique.
Comment compter les trimères sur un réseau?
Comment compter les mélanges de dimères et monomères sur un réseau?

Toutes ces questions, faciles à énoncer, restent au-dessus
des techniques combinatoires connues à présent.

\backmatter
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{smfjournalnames,xups01-03}
\end{document}
