\documentclass[XUPS,XML,SOM,Unicode,francais,NoFloatCountersInSection,ThmDefs]{cedram}
\OneNumberAllTheorems
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\begin{document}
\frontmatter
\title{Sur quelques groupes simples sporadiques}
\author[\initial{M.} \lastname{Broué}]{\firstname{Michel} \lastname{Broué}}
\address{Institut Henri-Poincaré,
11 rue Pierre et Marie Curie,
F-75231 Paris Cedex 05,
France}
\email{broue@math.univ-paris-diderot.fr}
\urladdr{https://webusers.imj-prg.fr/~michel.broue/}

\thanks{Journées X-UPS 2000. Groupes finis. Éditions de l'École polytechnique, 2000}

\maketitle
\tableofcontents
\mainmatter

\setcounter{section}{-1}
\vspace*{-1cm}
\section{Introduction}

Il semble que la liste des groupes finis simples (à isomorphisme
près) soit connue.
Elle se compose(rait) des séries suivantes:

\smallskip
\itembull
pour tout nombre premier $p$, le groupe cyclique $\BZ/p\BZ$,

\smallskip
\itembull
pour tout entier $n\geq 5$, le groupe alterné $\fA_n$,

\smallskip
\itembull
pour tout diagramme de Dynkin $\CCD_n$ et toute puissance
$q$ d'un nombre premier (hormis quelques petites valeurs de
$n$ et de $q$), un groupe $G(\CCD_n,q)$ donné par la table \ref{table:1}.
\begin{table}[htb]
\caption{\label{table:1}}
$$
\begin{matrix}
&\text{Type A}_r: \quad &\diagguur \quad &----\to \;\, &
\text{PSL}_{r+1}(q) \\
&\text{Type B}_r: \quad &\diagBr \quad &----\to \;\, &
\text{PSO}_{2r+1}(q) \\
&\text{Type C}_r: \quad &\diagBr \quad &----\to \;\, &
\text{PSp}_{2r}(q) \\
&\text{Type D}_r: \quad &\diagDr \quad &----\to \;\, &
\text{PSO}_{2r}(q) \\
&\text{Type E}_6: \quad &\diagg{35}\quad &----\to \;\, &
\text{E}_6(q) \\
&\text{Type E}_7: \quad &\diagg{36}\quad &----\to \;\, &
\text{E}_7(q) \\
&\text{Type E}_8: \quad &\diagg{37}\quad &----\to \;\, &
\text{E}_8(q) \\
&\text{Type F}_4: \quad &\diagg{28}\quad &----\to \;\, &
\text{F}_4(q) \\
&\text{Type G}_2: \quad &\diagG2 \quad &----\to \;\, &
\text{G}_2(q) \\
\end{matrix}
$$
\end{table}

\itembull
pour toute version \og tordue\fg d'un diagramme de Dynkin
$\lexp{t}\CCD_n$ et toute puissance
$q$ d'un nombre premier (hormis quelques petites valeurs de
$n$ et de $q$), un groupe $G(\lexp{t}\CCD_n,q)$:
$$
\begin{matrix}
&\text{Type $\lexp{2}{}$A}_r: \qquad & &----\to \quad &
\text{PSU}_{r+1}(q) \\
&\text{Type $\lexp{2}{}$D}_r: \qquad & &----\to \quad &
\text{PSO}^-_{2r}(q) \\
&\text{Type $\lexp{3}{}$D}_4: \qquad & &----\to \quad &
\text{$\lexp{3}{}$D}_4(q), \\
\end{matrix}
$$
et pour toute version \og très tordue\fg (combinant un automorphisme
de l'espace vectoriel
réel des racines avec un automorphisme de corps), un groupe
$\lexp{t}G(\CCD_n,q)$:
$$
\begin{matrix}
&\text{Type B}_2: \qquad &q=2^{2n+1}\quad &----\to \quad &
\lexp{2}{}\text{B}_2(q) \\
&\text{Type F}_4: \qquad &q=2^{2n+1}\quad &----\to \quad &
\lexp{2}{}\text{F}_4(q) \\
&\text{Type G}_2: \qquad &q=3^{2n+1}\quad &----\to \quad &
\lexp{2}{}\text{G}_2(q) \\
\end{matrix}
$$

\itembull
26 autres groupes, appelés les \og groupes simples sporadiques\fg.

\begin{itemize}
\item
Le plus grand d'entre eux, appelé \og le Monstre\fg, est d'ordre
$$
2^{46}3^{20}\cdot 5^9\cdot 7^6\cdot 11^2\cdot 13^3\cdot 17\cdot
19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 41\cdot 47\cdot 59\cdot 71.
$$

\item
Les plus anciennement connus d'entre eux sont les cinq \og groupes
de Mathieu\fg
$\OM_{11}$, $\OM_{12}$, $\OM_{22}$, $\OM_{23}$, $\OM_{24}$ (\cf \cite{Ma}).
\end{itemize}

\section{Un peu d'algèbre linéaire et multilinéaire sur \texorpdfstring{$\BF_2$}{BF}}

\subsubsection*{Notation}

Si $n$ est un entier naturel, on note
$
n = \sum_{k\geq 0} b_k(n) 2^k
$
son développement binaire (ainsi$,b_k(n) \in \{0,1\}$). On vérifie alors que
$
b_k(n) \equiv {n \choose 2^k} \mod 2$.
On considère dorénavant $b_k$ comme une application
de $\BN$ sur $\BZ/2\BZ$.

Si $E$ est un ensemble, on note $|E|$ son cardinal.

\subsubsection*{L'espace $\CP(\Om)$ et les formes invariantes par $\fS(\Om)$}

Soit $\Om$ un ensemble fini de cardinal $n$. L'ensemble
des parties de $\Om$, muni de l'opération
{\sl différence symétrique\/}
(définie par
$
x+y :=(x\cup y)-(x\cap y)
$)
est un espace vectoriel sur $\BF_2$, naturellement isomorphe
à $\BF_2^\Om$. On le note $\CP(\Om)$.

On peut vérifier les propriétés suivantes.

\smallskip
(1)
Il existe une et une seule forme linéaire non triviale sur
$\CP(\Om)$ invariante par l'action du groupe symétrique
$\fS(\Om)$, à savoir la forme
$$
\tau \: \CP(\Om) \to \BF_2,\quad
x \mto b_0(|x|).
$$
Le noyau de $\tau$ est l'hyperplan $\CH(\Om)$, ensemble des
parties de cardinal pair de~$\Om$.

\smallskip
(2)
L'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur $\CP(\Om)$
invariantes par $\fS(\Om)$ est un espace vectoriel de dimension
2 sur $\BF_2$. Il est constitué de la forme nulle et des trois
formes suivantes:
\begin{itemize}
\itebul
$(x,y) \mto \tau(x\cap y)$,
\itebul
$(x,y) \mto \tau(x)\tau(y)$,
\itebul
$(x,y) \mto \tau(x\cap y) +\tau(x)\tau(y)$.
\end{itemize}
On pose
$
\scal{x}{y} := \tau(x\cap y)$.
La forme $\scal{-}{-}$ est non dégénérée. Pour $x \subseteq \Om$,
on note $x^0$ l'orthogonal de $x$ pour cette forme.
Soit $\CCD(\Om) := \CH(\Om)^0$. On a
$
\CCD(\Om) = \{\emptyset,\Om\}$,
et si $n$ est pair on a $\CCD(\Om) \subseteq \CH(\Om)$.

\smallskip
(3)
Une forme quadratique sur $\CP(\Om)$ invariante par $\fS(\Om)$
est une application
$
\vp \: \CP(\Om) \to \BF_2
$
telle que l'application
$
(x,y) \mto \vp(x+y)-\vp(x)-\vp(y)
$
est une forme bilinéaire sur $\CP(\Om)$ invariante par $\fS(\Om)$.

L'ensemble des formes quadratiques sur $\CP(\Om)$ invariantes par
$\fS(\Om)$ est un espace vectoriel de dimension 2 sur $\BF_2$.
Il est constitué de la forme nulle et des trois formes quadratiques
suivantes:
\begin{itemize}
\itebul
$x \mto \vp(x) := b_1(|x|)$,
\itebul
$x \mto \tau(x)$,
\itebul
$x \mto \psi(x) := \tau(x) + q(x)$.
\end{itemize}
On a
$
\vp(x+y)-\vp(x)-\vp(y)
= \psi(x+y)-\psi(x)-\psi(y)
= \scal{x}{y} + \tau(x)\tau(y)
$.
Les formes $\vp$ et $\psi$ ont même restriction, notée $q$,
à l'hyperplan $\CH(\Om)$, telle que
$$
q(x) = \dfrac{|x|}{2} \mod 2
\quad\text{pour tout }
x \in \CH(\Om),$$
et
$$
q(x+y)-q(x)-q(y) = \scal{x}{y}
\quad\text{pour tous }
x,y\in\CH(\Om).
$$

\subsubsection*{Classification}

Lluis Puig a classifié les espaces quadratiques
$$(\CP(\Om),\vp), \quad (\CP(\Om),\psi) \quad\text{et}\quad (\CH(\Om),q).$$

Pour énoncer son résultat, on introduit les notations
suivantes.

\begin{itemize}
\itebul
Pour tout entier pair $n = 2k$, on note $H_n$
l'espace $\BF_2^n$ muni de la forme quadratique
définie ainsi: si $(e_i)_{1\leq i\leq n}$ est
la base canonique de~$\BF_2^n$, les espaces
engendrés par $(e_i)_{1\leq i\leq k}$ et
$(e_i)_{k+1\leq i\leq n}$ sont totalement singuliers
et pour tout $i\leq k$, le produit scalaire de $e_i$
avec $e_{k+j}$ est~$\de_{i,j}$.
\itebul
On note $N_1$ l'espace de dimension 1 sur $\BF_2$
muni de la forme quadratique nulle.
\itebul
On note $I_1$ l'espace de dimension 1 sur $\BF_2$
muni de la forme quadratique non nulle.
\itebul
On note $I_2$ l'espace de dimension 2 sur $\BF_2$
muni de la forme quadratique définie par
$
(\la,\mu) \mto \la + \mu +\la\mu$.
\end{itemize}

\begin{enonce}{Théorème}\label{puig}
Les types d'isomorphismes des espaces quadratiques
$(\CP(\Om),\vp)$, $(\CP(\Om),\psi)$ et $(\CH(\Om),q)$
ne dépendent que de la valeur de $n \mod 8$, et sont
donnés par le tableau \ref{table:2}.
\begin{table}[htb]
\caption{\label{table:2}}
$$\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\arraycolsep4pt
\begin{array}{||c||c|c|c||}
\hline
n\bmod 8& (\CP(\Om),\vp)& (\CP(\Om),\psi) &
(\CH(\Om),q) \cr
\hline
0&H_n &H_n &N_1\perp
H_{n-2} \cr
1&N_1\perp H_{n-1} &I_1\perp H_{n-1} &H_{n-1}
\cr
2&H_n &I_2\perp H_{n-2} &I_1\perp
H_{n-2} \cr
3&I_1\perp H_{n-1} &N_1\perp I_2\perp H_{n-3}&I_2\perp
H_{n-3} \cr
4&I_2\perp H_{n-2} &I_2\perp H_{n-2} &N_1\perp
I_2\perp H_{n-4}\cr
5&N_1\perp I_2\perp H_{n-3}&I_1\perp H_{n-1} &I_2\perp
H_{n-3} \cr
6&I_2\perp H_{n-2} &H_n &I_1\perp
H_{n-2} \cr
7&I_1\perp H_{n-1} &N_1\perp H_{n-1} &H_{n-1}\\
\hline
\end{array}
$$
\end{table}
\end{enonce}

\subsubsection*{Codes autoduaux pairs}

Introduisons quelques définitions.

\smallskip
\itembull
Un {\sl code correcteur d'erreurs\/} (ou simplement \og code\fg)
est un sous-espace vectoriel $\CE$ de $\CP(\Om)$.

\smallskip
\itembull
Un code $\CE$ est dit {\sl entier\/} s'il est contenu dans son
orthogonal $\CE^0$.
Un code $\CE$ est dit {\sl auto-orthogonal\/} s'il est égal son
orthogonal $\CE^0$.

\smallskip
\begin{small}
Ainsi, un code $\CE$ est entier si et seulement si, pour tous
$x,y \in \CE$, $|x\cap y|$ est pair.
En particulier, on a $\CE \subseteq \CH(\Om)$.
\end{small}

\smallskip
\itembull
Un code $\CE$ est dit {\sl pair\/} si, pour tout $x\in \CE$, $|x|$ est
divisible par 4.

\smallskip
\begin{small}
Un code pair est contenu dans $\CH(\Om)$ et totalement singulier pour
la forme quadratique $q$, donc il est entier.
\end{small}

\smallskip
Le résultat suivant est alors facile à déduire du théorème
\ref{puig}.

\begin{enonce}{Théorème}\label{codepairauto}
Il existe un code auto-orthogonal et pair dans $\CP(\Om)$ si et
seulement si $\,\,n \equiv 0 \mod{8}$.
\end{enonce}

\begin{enonce*}[remark]{Exercice}
Supposons $n=2m$, et posons
\[
\Om := \{\al_1,\al_2,\dots,\al_m,\be_1,\be_2,\dots,\be_m\}.
\]
Alors le code engendré par tous les éléments de la forme
\[
x_{i,j} := \{\al_i,\al_j,\be_i,\be_j\}
\]
où $1\leq i,j \leq m$ et $i\neq j$, et par $\{\al_1,\al_2,\dots,\al_m\}$,
est de dimension $m$. Il est entier, donc auto-orthogonal si $m$ est pair.
Il est pair (et~auto-orthogonal) si $m$ est multiple de 4.
\end{enonce*}

Le paragraphe suivant nous fournira des exemples intéressants de
codes autoduaux pairs.

\subsubsection*{Polynôme des poids d'un code}

Le {\sl polynôme des poids\/} d'un code $\CE$ est par définition
$$
P_\CE(X,Y) := \sum_{x\in\CE} X^{|x|} Y^{n-|x|}.
$$

Le résultat suivant, qui permet de calculer le polynôme des poids
du code orthogonal $\CE^0$ en fonction du polynôme des poids de $\CE$,
est connu sous le nom de {\sl formule de MacWilliams\/}.

\begin{enonce}{Théorème}\label{macwilliams}
Pour tout code $\CE$ dans $\CP(\Om)$, on a
$$
P_{\CE^0}(X,Y) = 2^{(n/2)-\dim\CE} \,
\dfrac{1}{\sqrt{2}}
P_\CE(-X+Y,X+Y).
$$
\end{enonce}

Si $P(X,Y) \in \BC[X,Y]$ et si $g :=\begin{smallpmatrix} a&b\\c&d \end{smallpmatrix}$ est
une matrice à coefficients complexes, on note $P\cdot g$ le
polynôme défini par
$$
(P\cdot g)(X,Y) := P(aX+bY,cX+dY).
$$

\begin{enonce}{Corollaire}\label{coromac}
Si $\CE$ est un code auto-orthogonal pair, alors son polynôme des poids
est invariant par l'action (à droite) du sous-groupe de $\GL_2(\BC)$
engendré par les deux matrices
$$
\rho := \begin{pmatrix} i&0\\0&1 \end{pmatrix}
\quad\text{et}\quad
\tau := \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1&1\\1&1 \end{pmatrix}.
$$
\end{enonce}

Or les deux matrices $\rho$ et $\tau$ représentent des
{\sl pseudo-réflexions\/} (\ie des automorphismes d'ordre
fini dont l'espace des points fixes est un hyperplan), et
le groupe $W$ qu'elles engendrent est un groupe {\sl fini\/}:
c'est un {\sl groupe de réflections complexes\/}
d'ordre $192$, note $G_9$ dans la
classification de Shephard et Todd.

\noindent
-----------

\begin{footnotesize}
%\narrower
\bf\noindent
gap$>$ r2:=(E(8)+E(8)\^{}7)/2;
\par
1/2$*$E(8)-1/2$*$E(8)\^{}3
\par\smallskip\noindent
gap$>$ rho:=[[E(4),0],[0,1]];
\par
[ [ E(4), 0 ], [ 0, 1 ] ]
\par\smallskip\noindent
gap$>$ tau:=r2$*$[[-1,1],[1,1]];
\par
[ [ -1/2$*$E(8)+1/2$*$E(8)\^{}3, 1/2$*$E(8)-1/2$*$E(8)\^{}3 ],\par
\hspace*{2mm}[ 1/2$*$E(8)-1/2$*$E(8)\^{}3, 1/2$*$E(8)-1/2$*$E(8)\^{}3 ] ]
\par\smallskip\noindent
gap$>$ Size(Group(rho,tau));
\par
192
\end{footnotesize}
\par\noindent
-----------

\begin{enonce*}[remark]{Exercice}
Le groupe $W$ est représenté par le diagramme
$$
\diagg{9},$$
\ie est défini par deux générateurs $s$ et $t$ satisfaisant
les relations
$$
s^4 = t^2 = 1
\quad\text{et}\quad
ststst = tstststs.
$$
\end{enonce*}

Les {\sl degrés\/} du groupe $W$ (\cf \cite{Bou}, \S\,5) sont $8$ et $24$,
\ie l'algèbre $\BC[X,Y]^W$ des polynômes invariants par l'action de
$W$ est engendrée par deux éléments algébriquement indépendants,
homogènes et de degrés respectifs $8$ et 24. On en déduit:

\begin{enonce}{Proposition}\label{dimensioncode}
La dimension de l'espace vectoriel
% $\BC[X,Y]_n ^W$
des polynômes
homogènes de degré $n$ invariants par $W$ est $1+[n/24]$.
\end{enonce}

Plus précisément, on peut démontrer que l'algèbre $\BZ[X,Y]^W$
de polynômes à coefficients {\sl entiers\/} et invariants par
$W$ est engendrée par les deux polynômes
$$
\left\{
\aligned
&A(X,Y) := \dfrac{1}{2}
\left[
(X^2+Y^2)^4+(X^2-Y^2)^4+(2XY)^4
\right], \\
&D(X,Y) := X^4Y^4(X^4-Y^4)^4 .
\endaligned
\right.
$$

\skippointrait
\begin{enonce}{Corollaire}\label{code8et24}
\begin{enumerate}
\item
Il y a un seul polynôme qui peut être le polynôme des poids d'un
code auto-orthogonal et pair en dimension $8$, à savoir le polynôme
$$
A(X,Y) = X^8+14X^4Y^4+Y^8.
$$
\item
Il y a un seul polynôme qui peut être le polynôme des poids d'un
code auto-orthogonal et pair en dimension $24$ ne contenant aucun
vecteur de poids $4$, à savoir le polynôme
$$
B(X,Y) = X^{24}+759X^{16}Y^8+2576X^{12}Y^{12}+759X^8Y^{16}+Y^{24}.
$$
\end{enumerate}
\end{enonce}

Nous allons voir au paragraphe suivant qu'il existe effectivement
un code auto-orthogonal pair en dimension $24$ ne contenant aucun
vecteur de poids 4. Ce code a pour groupe d'automor\-phismes le
groupe de Mathieu $\OM_{24}$.

\section{Systèmes de Steiner et groupes de Mathieu}

\begin{enonce*}[remark]{Définition}
Soient $x,c,n$ trois entiers tels que $1\leq x\leq c \leq n$.
Un système de Steiner de type $\St(x,c,n)$ est la donnée\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{itemize}
\itebul
d'un ensemble $\Om$ de cardinal $n$,
\itebul
d'un ensemble $\CC$ de parties de $\Om$, toutes de cardinal $c$,
appelées les cellules,
\end{itemize}
telle que, pour tout sous-ensemble $X$ de cardinal $x$ de $\Om$,
il existe une et une seule cellule contenant $X$.

\noindent
Le groupe des automorphismes d'un système de Steiner $(\Om,\CC)$
est le sous-groupe du groupe symétrique $\fS_\Om$ de $\Om$ formé
des permutations qui stabilisent (globalement) $\CC$.
\end{enonce*}

\skippointrait
\begin{enonce*}[remark]{Exemples faciles}
\begin{enumerate}
\item[(a)]
La famille $\Om_c$ de toutes les parties de $\Om$ de cardinal
$c$ définit un système de Steiner $\St(c,c,n)$.
\item[(b)]
Si $q$ est une puissance d'un nombre premier, les droites de
l'espace affine de dimension $n$ sur $\BF_q$ définissent un
système de Steiner $\St(2,q,q^n)$.
\end{enumerate}
\end{enonce*}

La proposition suivante fournit des conditions arithmétiques
sur les entiers ($x,c,n$) nécessai\-res pour l'existence d'un
système de Steiner de type $\St(x,c,n)$: on les obtient en écrivant
que les quotients de coefficients du binômes considérés sont
des entiers.

\begin{enonce}{Proposition}\label{arithsteiner}
Supposons qu'il existe un système de Steiner $(\Om,\CC)$
de type $\St(x,c,n)$.
\begin{enumerate}
\item
On a\vspace*{-5pt}
$$
|\CC| ={\dpl{n \choose x}}\Bigm/{\dpl{c\choose x}}.
$$
\item
Plus généralement, pour tout entier $y \leq x$,
le nombre $|\CC_Y|$ d'éléments de $\CC$ qui contiennent
un sous-ensemble donné $Y$ de cardinal $y$ est\vspace*{-8pt}
$$
|\CC_Y| ={\dpl{n-y \choose x-y}}\Bigm/{\dpl{c-y\choose x-y}}.
$$
\end{enumerate}
\end{enonce}

\subsubsection*{Le système de Steiner de type $\St(3,4,8)$}

Les plans de l'espace affine de dimension 3 sur le corps $\BF_2$
peuvent être vus comme tous les sous-ensembles des sommets d'un
cube formés de l'union des sommets de deux côtés parallèles.
$$
\xymatrixrowsep{0.6pc} \xymatrixcolsep{0,6pc}
\xymatrix{
& &\bullet\ar@{-}[rr]&
&\bullet\ar@{-}[dd] \\
&\bullet\ar@{-}[ur]\ar@{-}[rr]&
&\bullet\ar@{-}[ur]& \\
& &\bullet\ar@{--}[rr]\ar@{--}[uu]
&
&\bullet\ar@{-}[uu] \\
&\bullet\ar@{-}[ur]\ar@{-}[rr]
\ar@{-}[uu]& &\bullet\ar@{-}[ur]
\ar@{-}[uu]&
\\
}
$$
Il y 14 tels plans. Il est clair qu'ils forment un système de
Steiner de type
$\St(3,4,8)$.

Désignons par $\Om$ l'ensemble sous-jacent à $\BF_2^3$. On voit que les
cellules de ce système de Steiner engendrent un code auto-orthogonal pair
dans $\CP(\Om)$.

\smallskip
Réciproquement, si $\CE$ est un code auto-orthogonal pair dans $\CP(\Om)$
où $\Om$ est un ensemble de cardinal $8$, l'ensemble $\CC$ des
éléments de
poids $4$ de $\CE$ forme un système de Steiner de type $\St(3,4,8)$.

\smallskip
\begin{small}
\noindent
[En effet, par trois points de $\Om$ passe au plus un élément de $\CC$
(la somme
de deux éléments de cardinal $4$ ayant trois points en commun est de
cardinal 2). Or on sait (\cf \ref{code8et24}, (1)) que $|\CC| = 14$.
Comme $14= {8 \choose 3}/{4 \choose 3}$, on voit
qu'en fait il passe un élément de $\CC$ par tout triplet.]
\end{small}

\smallskip
Les propriétés suivantes sont laissées à titre d'exercice.

\smallskip
\itembull
Un système de Steiner de type $\St(3,4,8)$ est unique à isomorphisme
près: si $(\Om,\CC)$ et $(\Om',\CC')$ sont deux systèmes de Steiner
de type $\St(3,4,8)$, il existe une bijection de $\Om$ sur $\Om'$
qui induit une bijection de $\CC$ sur $\CC'$.

\smallskip
\itembull
Si $(\Om,\CC)$ est un système de Steiner de type $\St(3,4,8)$,
son groupe d'automorphismes est isomorphe au groupe affine de dimension
3 sur le corps à deux éléments, \ie isomorphe à
$
(\BZ/2\BZ)^3 \rtimes \GL_3(\BF_2)$,
groupe d'ordre $2^6\cdot 3\cdot 7$.

\subsubsection*{Une construction du groupe de Mathieu $\OM_{12}$}

Considérons les deux battages de 12 cartes suivant:

\smallskip
\itembull
On tient le paquet dans la main gauche, faces dessus.
On passe la première carte du paquet dans la main droite,
toujours face vers le haut.
On pose la deuxième carte du paquet sur la carte de droite,
puis la troisième sous le paquet de droite, la quatrième
dessus, la cinquième dessous, etc. Quand toutes les cartes
sont passées de gauche à droite, on reprend le paquet dans
la main gauche.

Le passage du paquet originel au paquet
final définit la permutation suivante\enlargethispage{\baselineskip}
$$
\left(\begin{array}{cccccccccccc}
1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
12&10&8&6&4&2&1&3&5&7&9&11
\end{array}\right),$$
\ie le produit de cycles
$$
(1,\,12,\,11,\,9,\,5,\,4,\,6,\,2,\,10,\,7)(3,\,8),$$
une permutation d'ordre 10.

\smallskip
\itembull
On tient le paquet dans la main gauche, faces dessus.
On passe la première carte du paquet dans la main droite,
toujours face vers le haut.
On pose la deuxième carte du paquet sous la carte de droite,
puis la troisième sur le paquet de droite, la quatrième
dessous, la cinquième dessus, etc. Quand toutes les cartes
sont passées de gauche à droite, on reprend le paquet dans
la main gauche.

Le passage du paquet originel au paquet
final définit la permutation suivante
$$
\left(\begin{array}{cccccccccccc}
1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
11&9&7&5&3&1&2&4&6&8&10&12
\end{array}\right),$$
\ie le cycle
$$
(1,\,11,\,10,\,8,\,4,\,5,\,3,\,7,\,2,\,9,\,6),$$
une permutation d'ordre 11.
\medskip

Les deux permutations précédentes engendrent le groupe de Mathieu
$\OM_{12}$, qui est 5 fois transitif sur 12 lettres:
\medskip

\noindent
-----------

\smallskip
\begin{footnotesize}
\bf
gap$>$
M:=Group([(1,12,11,9,5,4,6,2,10,7)(3,8),(1,11,10,8,4,5,3,7,2,9,6)],());
\par\hskip1cm
Group( ( 1,12,11, 9, 5, 4, 6, 2,10, 7)( 3, 8), ( 1,11,10, 8, 4, 5,
3, 7, 2, 9,
6) )
\par
gap$>$ Size(M);
\par\hskip1cm
95040
\par
gap$>$ 12*11*10*9*8;
\par\hskip1cm
95040

\smallskip\sl\noindent
On aurait aussi pu demander

\smallskip\bf
gap$>$ NrArrangements([1..12],5);
\par\hskip1cm
95040
\smallskip
gap$>$ Length(Orbits(M,[[1,2,3,4,5]],OnTuples));
\par\hskip1cm
1

\smallskip\sl\noindent
Le calcul du nombre d'orbites a été effectué en trois heures sur un
Mac G4 -- 450 MHz avec le logiciel (gratuit) GAP. Il est beaucoup plus
économique de demander

\smallskip\bf
gap$>$

Size(Intersection(Stabilizer(M,1),Stabilizer(M,2),Stabilizer(M,3),
\par\hskip0,5cm
Stabilizer(M,4), Stabilizer(M,5)));

\smallskip\sl\noindent
ou plus simplement

\smallskip\bf
gap$>$
Size(Stabilizer(M,[1..5],OnTuples));
\par\hskip1cm
1

\end{footnotesize}

\smallskip
\noindent
-----------

\smallskip
On peut démontrer que
le groupe de Mathieu $\OM_{12}$ est le groupe des automorphismes
d'un système de Steiner de type $\St(5,6,12)$.
\medskip

Le groupe de Mathieu $\OM_{11}$ est par définition le stabilisateur
d'un point dans $\OM_{12}$.

\begin{small}
Le stabilisateur de deux points (stabilisateur d'un point dans la
représentation $4$ fois transitive de $\OM_{11}$ sur 11 points),
noté $\OM_{10}$,
opère naturellement sur 10 points. Il est de même ordre que le groupe
projectif PGL$_2(\BF_9)$ (qui opère naturellement sur la
droite projective $\BP^1(\BF_9)$)... mais ne lui est pas isomorphe.
Cependant, les groupes dérivés $\OM'_{10}$ et PSL$_2(9)$ sont
isomorphes, et isomorphes à $\fA_6$:
les groupes $\fS_6$, $\OM_{10}$ et PGL$_2(\BF_9)$ sont
les trois sous-groupes d'indice 2 du groupe $\Aut(\fA_6)$ des
automorphismes de $\fA_6$. Ils sont mutuellement non isomorphes.
\end{small}

\Subsubsection*{Le groupe de Mathieu $\OM_{24}$ et le système de Steiner de type
$\St(5,8,24)$}

\smallskip
{\bf 1.}
Le groupe de Mathieu $\OM_{24}$
est un groupe 5 fois transitif sur $24$ lettres (\cf \cite{Ma},
d'ordre
$$
|\OM_{24}| = 2^{10}\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23
= 48\cdot(24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20).
$$
On peut le construire de la manière suivante.

Soit
$
\Om := \BP^1(\BF_{23}) = \BF_{23} \cup \{\infty\}$.

\begin{itemize}
\itebul
Soit $c$ un générateur du groupe des carrés de $\BF_{23}^\times$.
Alors les trois permutations suivantes de $\Om$
$$
\al \mto \al+1
,\quad
\al \mto c\al
,\quad
\al \mto -\al\inv
$$
engendrent le groupe PSL$_2(23)$ dans son opération sur la
droite projective.

\itebul
On leur adjoint la permutation de $\Om$ définie par
$$
\al \mto
\begin{cases}
\al^3/9 &\text{si } \al
\text{ est un carré dans }\BF_{23}^\times, \\
9\al^3 &\text{sinon.}
\end{cases}
$$
\end{itemize}

On définit alors $\OM_{24}$ comme le sous-groupe de $\fS(\Om)$
engendré par
les quatre permutations ci-dessus.

\begin{enonce*}[remark]{Exercice}
Utiliser GAP pour calculer l'ordre du groupe engendré par les quatre
permutations précédentes.
\end{enonce*}

\medskip
{\bf 2.}
On construit un code $\CE$ auto-orthogonal et pair dans $\CP(\Om)$
invariant par le groupe $\OM_{24}$ de la façon suivante.

Soit $N$ l'ensemble des 11 non-carrés de $\BF_{23}$. Pour tout
$\al\in \BF_{23}$, on pose
$$
N_\al := \{\be-\al\mid (\be\in N)\}.
$$
On définit 23 sous-ensembles de cardinal 12 de $\Om$ en posant:
$$
D_\al := \{\infty\} \cup N_\al.
$$
Enfin, on note $\CE$ le sous-espace de $\CP(\Om)$ engendré par
le système
$$
\{\Om\} \cup \{D_\al\mid (\al\in\BF_{23})\}.
$$
Posant $D_\infty :=\Om$, et pour tout $x\subseteq \Om$, on note
$
D_x := \sum_{\al\in x} D_\al$.

\skippointrait
\begin{enonce}{Théorème}\label{golaysteiner}
\begin{enumerate}
\item
L'application linéaire
$
\CP(\Om) \to \CE
\,, \,\,
x \mto D_x
$
a pour noyau $\CE$ et définit un isomorphisme
$
\CP(\Om)/\CE \iso \CE$.

\item
L'espace $\CE$ est un code auto-orthogonal pair stable par $\OM_{24}$.

\item
Il n'y a pas de vecteur de poids $4$ dans $\CE$, et les vecteurs de poids
$8$ sont les cellules d'un système de Steiner $\St(5,8,24)$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}[Indications succinctes sur la démonstration]
On laisse au lecteur la tâche de démontrer les deux
premières assertions. Démontrons la troisième.

Comme $\OM_{24}$ est 5 fois transitif, si $\CE$ contenait un vecteur
de poids~$4$ il contiendrait tous les vecteurs de poids $4$, donc ceux
de poids $2$, et il ne pourrait pas être auto-orthogonal.

On sait alors (\cf \ref{code8et24}) que le polynôme des poids de $\CE$
est
$$
B(X,Y) = X^{24}+759X^{16}Y^8+2576X^{12}Y^{12}+759X^8Y^{16}+Y^{24}.
$$
Ainsi il y a 759 vecteurs de poids $8$ dans $\CE$. Deux tels vecteurs
distincts ne peuvent s'intersecter en plus de $4$ points (sinon leur
somme serait de poids strictement inférieur à 6). Donc par 5 points
il passe exactement un vecteur de poids $8$ de $\CE$.
\end{proof}

De plus, on peut démontrer:

\smallskip
\itembull
Un système de Steiner de type $\St(5,8,24)$ est unique à isomorphisme
près: si $(\Om,\CC)$ et $(\Om',\CC')$ sont deux systèmes de Steiner
de type $\St(5,8,24)$, il existe une bijection de $\Om$ sur $\Om'$
qui induit une bijection de $\CC$ sur $\CC'$.

\smallskip
\itembull
Si $(\Om,\CC)$ est un système de Steiner de type $\St(5,8,24)$,
son groupe d'automorphismes est isomorphe au groupe $\OM_{24}$
et l'ensemble de ses cellules engendre un code auto-orthogonal
pair.
\medskip

\begin{enonce*}[remark]{Remarque}
En remplaçant le nombre 23 par un autre nombre premier~$p$
congru à $-1$ modulo $8$, on peut construire comme ci-dessus
un code~$\CE$ auto-orthogonal et pair dans $\CP(\BP^1(\BF_p))$.
Mais si $p \neq 23$, le groupe des automorphismes de $\CE$
est égal à PSL$_2(p)$. Le cas où $p=23$, cas où le groupe
des automorphismes de $\CE$ est strictement plus grand que
PSL$_2(p)$, est \og exceptionnel\fg.
\end{enonce*}

\subsubsection*{Appendice: le triangle de Conway d'un système de Steiner}

Supposons qu'il existe un système de Steiner $(\Om,\CC)$
de type $\St(x,c,n)$.

Soient $z$ et $y$ deux entiers tels que $z\leq y \leq c$.
Soient $Y$ et $Z$ deux sous-ensembles d'une cellule,
de cardinaux
respectifs $y$ et $z$, et tels que $Z \subseteq Y$. Alors
le nombre de cellules dont l'intersection avec $Y$ est
égale à $Z$ ne dépend que du couple $(y,z)$ (et pas du
choix de $Y$ et~$Z$). On note $\iota(y,z)$ ce nombre.

Pour tous $y$ et $z$ tels que $0\leq z < y < c$, on a
$$
\iota(y,z) = \iota(z+1,y) + \iota(z+1,y+1).
$$

Cette formule permet de calculer par itération tous les
nombres $\iota(y,z)$ à partir des nombres $\iota(y,y)$
qui, eux, sont donnés par la formule
$$
\iota(y,y) =
\begin{cases}
{\dpl{n-y \choose x-y}}\Bigm/{\dpl{c-y\choose x-y}}
&\text{si }\,y\leq x,\\
1 &\text{si }\,x\leq y \leq c.
\end{cases}
$$

\itembull
Pour un système de Steiner de type
$\St(3,4,8)$, le tableau suivant fournit les valeurs
de $\iota(y,z)$.
$$
\xymatrixrowsep{0.3pc} \xymatrixcolsep{0.3pc}
\def\objectstyle{\scriptstyle}
\def\labelstyle{\scriptscriptstyle}
\xymatrix{
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\
&y=0\ar[rr] & & & & & &
&{\bold{14}}\ar@{<-}[ur]^{z=0}&&&&&&&&&\\
&y=1\ar[rr] & & & & & &7& &{\bold{7}}\ar@{<-}[ur]^{1}&&&&&&&&\\
&y=2\ar[rr] & & & & &3& &4& &{\bold{3}}\ar@{<-}[ur]^{2}&&&&&&&\\
&y=3\ar[rr] & & & &1& &2& &2& &{\bold{1}}\ar@{<-}[ur]^{3}&&&&&&\\
&y=4\ar[rr] & & &1& &0 & &2 & &0&
&{\bold{1}}\ar@{<-}[ur]^{4}&&&&&\\
}
$$

\itembull
Pour un système de Steiner de type
$\St(5,8,24)$, le tableau suivant fournit les valeurs
de $\iota(y,z)$.
$$
\xymatrixrowsep{0.15pc} \xymatrixcolsep{0.15pc}
\def\objectstyle{\scriptstyle}
\def\labelstyle{\scriptscriptstyle}
\hspace*{-4mm}\xymatrix{
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\
&y=0\ar[rr]&& & & & & & & &
&{\bold{759}}\ar@{<-}[ur]^{z=0}&&&&&&&&&\\
&y=1\ar[rr]&& & & & & & & &506&
&{\bold{253}}\ar@{<-}[ur]^{1}&&&&&&&&\\
&y=2\ar[rr]&& & & & & & &330& &176&
&{\bold{77}}\ar@{<-}[ur]^{2}&&&&&&&\\
&y=3\ar[rr]&& & & & & &210& &120& &56&
&{\bold{21}}\ar@{<-}[ur]^{3}&&&&&&\\
&y=4\ar[rr]&& & & & &130& &80 & &40 & &16&
&{\bold{5}}\ar@{<-}[ur]^{4}&&&&&\\
&y=5\ar[rr]&& & & &78& &52 & &28 & &12& &4&
&{\bold{1}}\ar@{<-}[ur]^{5}&&&&\\
&y=6\ar[rr]&& & &46& &32 & &20 & &8 & &4 & &0&
&{\bold{1}}\ar@{<-}[ur]^{6}&&&\\
&y=7\ar[rr]&& &30& &16& &16 & &4 & &4 & &0& &0&
&{\bold{1}}\ar@{<-}[ur]^{7}&&\\
&y=8\ar[rr]&&30& &0 & &16 & &0 & &4 & &0 & &0&
&0&&{\bold{1}}\ar@{<-}[ur]^{8}&
}
$$

\section{Réseaux unimodulaires pairs}

\subsubsection*{Quelques définitions}

On suppose $\BQ^n$ muni de son produit scalaire naturel,
noté $(x,y) \mto \scal{x}{y}$. On note
$x^2 := \scal{x}{x}$.

Un réseau de $\BQ^n$ est un sous-groupe additif de $\BQ^n$
engendré par une base de $\BQ^n$.

Soit $L$ un réseau de $\BQ^n$.
\begin{itemize}
\itebul
Le dual $L^0$ de $L$ est par définition l'ensemble des
éléments $y \in \BQ^n$ tels que $\scal{x}{y} \in \BZ$
pour tout $x \in L$.

\smallskip
\begin{small}\noindent
Le groupe $L^0$ est un réseau dans $\BQ^n$: si $L$
a pour base $(v_1,v_2,\dots,v_n)$, $L^0$~a pour base
la base duale, \ie la base $(v^0_1,v^0_2,\dots,v^0_n)$
de $\BQ^n$ définie par les conditions
$
\scal{v_i}{v^0_j} = \de_{i,j}$.
L'application
$L^0 \to \Hom(L,\BZ)$$,y \mto (x\mto\scal{x}{y})$
est un isomorphisme.
On a $L^{00} = L$.
\end{small}
\smallskip

\itebul
Le volume $\Vol(L)$ de $L$ est la valeur absolue du
déterminant d'une base de $L$ par rapport à une base
orthonormale de $\BQ^n$. On a
$$
\Vol(L)\Vol(L^0) = 1.
$$

\smallskip
\itebul
Si $l$ et $L'$ sont des réseaux de $\BQ^n$, il en est
de même de $L\cap L'$ et $L+L'$. De plus on a
$
(L \cap L')^0 = L^0 + {L'}^0
\text{ et }
(L+L')^0 = L^0 \cap {L'}^0$.

\smallskip
\begin{small}\noindent
Si $L \subseteq L'$ alors ${L'}^0 \subseteq L^0$,
et $L'/L = \Hom(L^0/{L'}^0,\BQ/\BZ)$, donc $L'/L$
et $L^0/{L'}^0$ sont des groupes abéliens isomorphes,
d'ordre $\Vol(L)$.
\end{small}
\smallskip

\itebul
Le réseau $L$ est dit {\sl entier\/} si $L \subseteq L^0$,
et {\sl unimodulaire\/} si $L = L^0$.
Il est dit {\sl pair\/} si $x^2 \in 2\BZ$ pour tout $x\in L$
(un réseau pair est entier).

\itebul
Si $r \in \BQ$, le réseau $L$ est dit
{\sl $r$-modulaire trivial\/} s'il admet une base
$(v_1,v_2,\dots,v_n)$ orthogonale et telle que
$v_i^2 = 1/r$. On a alors $L^0 = rL$.
\end{itemize}

Le {\sl groupe des automorphismes\/} d'un réseau $L$,
noté $\Aut(L)$, est l'ensemble des isométries de $\BQ^n$
dans lui-même qui envoient $L$ sur lui-même.

\skippointrait
\begin{enonce*}[remark]{Exemples}
\begin{itemize}
\itebul
Si $n = 2m$ ($m$ entier), pour tout entier $k$, il existe un
réseau $2^k$-modulaire trivial.

\smallskip
\begin{small}\noindent
En effet, soit $(e_1,e_2,\dots,e_n)$ la base canonique de
$\BQ^n$.

--
Si $k=2j$, le réseau de base
$(2^{-j}e_1,2^{-j}e_2,\dots,2^{-j}e_n)$ est $2^k$-modulaire
trivial.

--
Si $k=2j-1$, le réseau de base
$(2^{-j}v_1,\dots,2^{-j}v_m,2^{-j}v'_1,\dots,2^{-j}v'_m)$,
où $v_i := e_i+e_{m+i}$ et $v'_i := e_i-e_{m+i}$, est
$2^k$-modulaire trivial.
\end{small}

\itebul
Supposons $n \equiv 0 \bmod{4}$.
Soit $(v_1,v_2,\dots,v_n)$ une base orthogonale et telle que
$v_i^2 = 1/4$, et soit $R$ le réseau de base $(v_1,v_2,\dots,v_n)$
(ainsi, $R$ est 4-modulaire trivial).
On définit le sous-groupe $\La_n$ de $R$ par la formule
$$
\La_n :=
\biggl\{
\sum_{i=1}^{i=n} a_iv_i
\mid 
(\forall i,\,a_i\equiv a_1\bmod{2})
\text{ et }
\big(\textstyle\sum_i a_i \equiv 0\bmod{4}\big)
\biggr\}.
$$
Alors le réseau $\La_n$ est unimodulaire. Si de plus $n$ est
divisible par $8$,
le réseau $\La_n$ est pair.
\itebul
Le groupe des automorphismes d'un réseau $r$-modulaire trivial de
rang $n$ est isomorphe au groupe des matrices monomiales à
coefficients $\pm 1$, groupe isomorphe au produit semi-direct
$(\BZ/2\BZ)^n\rtimes\fS_n$.
\end{itemize}
\end{enonce*}

On peut démontrer (\cf \cite{Se}) (ceci est à rapprocher du
théorème \ref{codepairauto} ci-dessus):

\begin{enonce}{Théorème}\label{pairet8}
Il existe un réseau unimodulaire pair dans $\BQ^n$ si et seulement
si $n$ est multiple de $8$.
\end{enonce}

\subsubsection*{Réseaux unimodulaires et réseaux $2^k$-modulaire triviaux}

De la théorie des formes quadratiques entières et de leurs invariants
(\cf \cite{OMe} ou \cite{Se}, \cf aussi \cite{Br}, appendice A.2, pour
une liste des principaux résultats) on peut déduire le théorème
suivant.

\begin{enonce}{Théorème}\label{linr}
Supposons $n\geq 5$. Pour tout réseau entier $L$ de $\BQ^n$,
il existe un entier $k$ et un réseau $2^k$-modulaire trivial $R$
tel que
$$
2^kR \subseteq L \subseteq R.
$$
\end{enonce}

	Si $R$ est un réseau $2^k$-modulaire trivial, ses bases orthogonales
formées de vecteurs de carré $2^{-k}$ définissent toutes le même
ensemble de points, noté $\Om_R$ (ou plus simplement $\Om$) dans
$R/2R$. Ainsi, le $\BF_2$-espace vectoriel $R/2R$ s'identifie
naturellement à $\CP(\Om)$.

Supposons que $L$ est un réseau tel que
$
2^kR \subseteq L \subseteq R$.
Notons que l'on a aussi
$
2^kR \subseteq L^0 \subseteq R$.
La suite ordonnée de réseaux
$$
L \subset 2\inv L \subset 2^{-2}L \subset
\dots \subset 2^{k-1}L \subset 2^{-k}L
$$
donne, par intersection avec $R$, puis par réduction modulo $2R$,
une suite de codes dans $\CP(\Om)$:
$$
\CE_0(L) \subseteq \CE_1(L) \subseteq \CE_2(L)
\subseteq \dots \subseteq \CE_{k-1}(L) \subseteq \CP(\Om).
$$
La proposition suivante relie orthogonalité des codes et
duaux des réseaux. On y utilise
les notations qui précèdent.

\begin{enonce}{Proposition}\label{selfdual}
Pour tout entier $j$ ($1\leq j \leq k-1$), on a
$$
\CE_j(L)^0 = \CE_{k-1-j}(L^0).
$$
\end{enonce}

\pagebreak[2]
\skippointrait
\begin{enonce*}[remark]{Premier exemple}
\begin{itemize}
\itebul
On a défini, pour $n$ multiple de 4, le réseau
unimodulaire $\La_n$ dans~$\BQ^n$
comme sous-groupe d'un réseau 4-modulaire trivial $R$. Ainsi on~a
$
4R \subset \La_n \subset R$.
La suite de codes correspondante dans $\CP(\Om)$ est
$
\CCD(\Om) \subset \CH(\Om)$.

\smallskip
\itebul
Posons $n=2m$.
Si $(v_1,v_2,\dots,v_n)$ est une base orthogonale de $R$ avec
$v_i^2 = 1/4$, on note $T$ le réseau 2-modulaire trivial de
base $$(w_1,\dots,w_m,w'_1,\dots,w'_m),$$ où
$
w_i := v_i+v_{i+m}
\text{ et }
w'_i := v_i-v_{i+m}$.
On voit que
\hbox{$
2T \!\subset\! L \!\subset\! T
$}.
Comme~$L$ est unimodulaire, ceci définit un code auto-orthogonal
dans $\CP(\Om_T)$. C'est le code engendré par les éléments de
la forme
$
\{i,j,i+m,j+m\}
$
pour $1\leq i,j\leq m$ et $i\neq j$.
\end{itemize}
\end{enonce*}

\subsubsection*{Fonction thêta d'un réseau}

Soit $L$ un réseau de $\BQ^n$. Sa fonction thêta est par définition
la fonction définie sur le demi-plan de Poincaré
$\{\z\in\BC\mid (\im(z) > 0)\}$ par
$$
\Th_L(z) :=\sum_{x\in L} e^{\pi ix^2z}.
$$
En particulier, si $L$ est pair, on pose $q := e^{2\pi iz}$ et on a
$$
\Th_L(z) = \sum_{r\geq 0} |L_{2r}|\,q^r,$$
où on désigne par $L_{2r}$ l'ensemble de vecteurs de $L$ de carré $2r$.

\begin{enonce*}[remark]{Exemple}
On définit une fonction de $\BN$ dans $\BN$ par la formule
$$
\si_3(r) := \sum_{\{d\mid(d\mid r)\}} d^3.
$$
\par\noindent
La fonction thêta du réseau $\La_8$ défini ci-dessus, notée
$\Th_8(z)$,
est
$$
\Th_8(z) = 1 + 240 \sum_{r\geq 1} \si_3(r) q^r
= 1 + 240 q + 2160 q^2 + 6720 q^3 + \cdots.
$$
\end{enonce*}

La fonction thêta est l'analogue pour les réseaux du polynôme des
poids d'un code. On a par exemple l'analogue suivant de la formule
de Mac Williams, la {\sl formule de Poisson\/}.

\begin{enonce}{Théorème}\label{poisson}
Supposons $n = 2m$, où $m$ est un entier. Pour tout réseau $L$ de
$\BQ^n$, on a
$$
\Th_{L^0}(z) = (z/i)^m \Vol(L) \Th_L(-1/z).
$$
\end{enonce}

De même que pour les codes auto-orthogonaux pairs, on en déduit
une propriété d'invariance des fonctions thêta des réseaux
unimodulaires pairs, d'où leur appartenance à un espace
vectoriel de dimension finie.

\Subsubsection*{Formes modulaires}
Une {\sl forme modulaire de degré $n$\/} (\cf \cite{Se})
est une fonction $\th$ holomorphe
sur le demi-plan de Poincaré, vérifiant les propriétés suivantes.
\begin{enumerate}
\ite{m1} {\sl Invariance\/}:
$\quad
\th(z+1) = \th(z)
\,\text{ et }\,
\th(z) = z^n\th(-1/z)$.
\ite{m2} {\sl Holomorphie aux pointes\/}:\ \
Si $\th(z) = \sum_{r\geq 0} a_r q^r$ est le développement en
série de Fourier de $\th$, il existe un nombre réel $c>0$ tel
que $a_r = \OO(r^c)$.
\end{enumerate}
On dit que la forme $\th$ est {\sl à coefficients entiers\/} si
ses coefficients de Fourier $a_r$ sont entiers.

On définit une forme modulaire de poids 24
(la \og fonction de \hbox{Ramanujan}\fg) par la formule
$$
\De(z) := q\prod_{n\geq 1} (1-q^n)^{24}.
$$

On démontre alors que l'espace vectoriel des formes modulaires
est l'algèbre engendrée par les deux éléments $\Th_8$ et $\De$.
Il en résulte

\begin{enonce}{Proposition}\label{formemoduent}
La dimension de l'espace vectoriel des formes modulaires de degré
$n$ est
$
1+\left[\dfrac{n}{24}\right]$.
\end{enonce}

Plus précisément,
la $\BZ$-algèbre des formes modulaires à coefficients entiers est
engendrée par les deux fonctions $\Th_8$ et $\De$.
\medskip

\Subsubsection*{Application aux fonctions thêta}
La fonction thêta d'un réseau unimodulaire pair est une forme
modulaire de degré $n$ à coefficients entiers.
%
Comme le terme constant d'une fonction thêta est égal à 1, on
en déduit en particulier

\skippointrait
\begin{enonce}{Proposition}\label{uniquefonction}
\begin{enumerate}
\item
Il y a une seule fonction qui peut être la fonction thêta d'un
réseau unimodulaire pair en dimension $8$, à savoir la fonction
$\Th_8$.

\item
Il y a une seule fonction qui peut être la fonction thêta d'un
réseau unimodulaire pair en dimension $24$ ne contenant aucun
vecteur de carré $2$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

Notons $\Th_{24}$ la fonction définie dans l'assertion (2) de la
proposition précédente. On a
$$
\Th_{24} = 1 + 196560\,q^2 + 16773120\,q^3 + 398034000\,q^4 + \cdots.
$$

Nous allons voir qu'il existe effectivement un réseau unimodulaire
pair en dimension $24$ ne contenant aucun vecteur de carré 2, le
{\sl réseau de Leech\/}. il est construit à l'aide du code
orthogonal pair en dimension $24$ invariant par $\OM_{24}$ et son
groupe d'automorphismes est le {\sl groupe de Conway\/}.

\section{Le réseau \texorpdfstring{$\La_8$}{La} et le réseau de Leech}

\Subsubsection*{Sur le réseau de Leech et son groupe d'automorphismes}

Soit $(v_1,v_2,\dots,v_{24})$ une base orthogonale de $\BQ^{24}$
faite de vecteurs de carré $1/8$. Soit $R$ le réseau engendré par
cette base, et soit $\Om$ l'image de la base dans $R/2R$;
on identifie $\Om$ à $\{1,2,\dots,24\}$.
%
Pour $X\subseteq\Om$, on pose
$
v_X := \sum_{i\in X} v_i$,
et on note $\e_X$ l'automorphisme de~$R$ défini
par
$$
\e_X(v_i) = 
\begin{cases}
-v_i&\text{si } i\in X,\\
\hphantom{-{}}v_i &\text{si } i\in X .
\end{cases}
$$

On note $\CE$ le code auto-orthogonal pair dans $\CP(\Om)$
engendré par les cellules d'un système de Steiner de type
$\St(5,8,24)$, qui constituent l'ensemble $\CE_8$ des éléments
de poids $8$ de $\CE$.

\begin{enonce*}[remark]{Définition}
On appelle {\sl réseau de Leech\/} et on note $\La_{24}$
l'ensemble des vecteurs
$
x = \sum_{1\leq i\leq 24} x_i\,v_i$,
où
\begin{itemize}
\itebul
les $x_i$ sont entiers et tous de même parité,
\itebul
pour tout $a \in \BZ/4\BZ$$,\{i\mid (x_i\equiv a\bmod{4})\} \in \CE$,
\itebul
$\sum_{1\leq i\leq 24} x_i \equiv 4x_1 \bmod{8}$.
\end{itemize}
\end{enonce*}

Il n'est pas difficile de voir que l'inclusion
$
8R \subset \La_{24} \subset R
$
fournit dans $\CP(\Om)$ la suite de codes
$$
\CE_0(\La_{24}) = \CCD(\Om)
\subset \CE_1(\La_{24}) = \CE
\subset \CE_2(\La_{24}) = \CH(\Om),$$
et que $\La_{24}$ est engendré par le système de vecteurs suivants:
$$
\{
8v_i,\,
4v_i - 4v_j,\,
2v_C,\,
v_\Om-4v_i
\}_{(1\leq i,j\leq 24), (C\in \CE_8)}.
$$
Le réseau de Leech est unimodulaire pair, et il ne contient pas de
vecteur de carré 2. Sa fonction thêta est donc la fonction $\Th_{24}$
définie au paragraphe précédent.

\smallskip
L'ensemble des vecteurs de $\La_{24}$ de carré $4$ est constitué de
l'union des ensembles de vecteurs suivants:
$$
\left\{
\aligned
&\{ \pm 4v_i\pm 4v_j \}_{i\neq j},\\
&\{ 2\e_X(v_C) \mid (\scal{X}{C}=0)(C\in\CE_8) \},\\
&\{ \e_E(v_\Om-4v_i) \mid (E\in\CE) \} .
\endaligned
\right.
$$

On démontre que le groupe des automorphismes de $\La_{24}$ est
transitif sur l'ensemble des vecteurs de carré 4. On l'appelle
{\sl le groupe de Conway\/}, il est d'ordre
$$
2^{22}\cdot 3^9\cdot 5^4\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot 23,$$
et son quotient par son centre $\{\pm 1\}$ est un groupe simple
sporadique.

\begin{small}
\begin{enonce*}[remark]{Remarque}
Après avoir constaté que le plus grand nombre premier qui divise
l'ordre du groupe de Conway est 23,
on se reportera à l'appendice
ci-dessous sur les éléments d'ordre fini dans $\GL_n(\BQ)$.
\end{enonce*}
\end{small}

\smallskip
Afin de donner au lecteur une première idée
des méthodes nécessaires pour démontrer les résultats précédents,
nous présentons ci-dessous une esquisse d'étude du groupe des
automorphismes du réseau $\La_8$ qui, par bien des aspects, est une
\og version simplifiée\fg du réseau de Leech.

\Subsubsection*{Le réseau $\La_8$ et son groupe d'automorphismes}

\Subsubsection*{Premières propriétés}

Soit $(v_1,v_2,\dots,v_8)$ une base orthogonale de $\BQ^8$
faite de vecteurs de carré $1/4$. Soit $R$ le réseau engendré par
cette base, et soit $\Om$ l'image de la base dans $R/2R$;
on identifie $\Om$ à $\{1,2,\dots,8\}$.
%
Pour $X\subseteq\Om$, on pose
$
v_X := \sum_{i\in X} v_i$,
et on note $\e_X$ l'automorphisme de $R$ défini
par
$$
\e_X(v_i) = \left\{
\aligned
-&v_i\,\text{ si } i\notin X,\\
&v_i \,\text{ si } i\in X .
\endaligned
\right.
$$

\smallskip
Rappelons que le réseau $\La_8$ (dorénavant noté $\La$)
est le réseau unimodulaire pair constitué des vecteurs
$
x = \sum_{1\leq i\leq 8} x_i\,v_i$,
tels que
\begin{itemize}
\itebul
les $x_i$ sont entiers et tous de même parité,
\itebul
$\sum_{1\leq i\leq 8} x_i \equiv 0 \bmod{4}$.
\end{itemize}

On sait que les inclusions
$
4R \subset \La \subset R
$
fournissent dans $\CP(\Om)$ la suite de codes\vspace*{-3pt}
$$
\CE_0(\La) = \CCD(\Om)
\subset \CE_1(\La) = \CH(\Om).
$$
D'autre part, il est facile de voir que $\La$ est engendré
par le système de vecteurs suivants:\vspace*{-3pt}
$$
\{
4v_i,\,
2v_i- 2v_j,\,
v_\Om
\}_{(1\leq i,j\leq 8)},$$
et que l'ensemble $\La(2)$ des \og petits vecteurs\fg de $\La$
(\ie l'ensemble des vecteurs de carré 2) est\vspace*{-3pt}
$$
\La(2) = \left\{
\pm 2v_i\pm 2v_j\mid (i\neq j)
\right\}
\,\,\cup\,\,
\left\{
\e_H(v_\Om)\mid (H\in\CH(\Om))
\right\}.
$$

\Subsubsection*{Sur les automorphismes}
L'application
$
\CP(\Om) \to \GL_8(\BQ)\,,\,\,X \mto \e_X
$
est un morphisme injectif de groupes. On note $\fE$
l'image de $\CP(\Om)$ par ce morphisme.
Plus généralement, pour tout sous-espace $\CE$ de
$\CP(\Om)$, on note $\fE_\CE$ l'image de $\fE$.

Pour $g\in\fS_\Om$, on note encore $g$ l'automorphisme
de $\BQ^n$ défini par
$
g(v_i) := v_{g(i)}$.

Pour $X\subseteq\Om$ et $g\in\fS_\Om$, on a
$
g\e_X g\inv = \e_{g(X)}$,
et le groupe $\Aut(R)$ des automorphismes de $R$ est isomorphe
au produit semi-direct
\hbox{$
\fE \rtimes \fS_\Om$}.

On pose $N := \Aut(\La) \cap \Aut(R)$.

\skippointrait
\begin{enonce}{Lemme}\label{plusquen}
\begin{enumerate}
\item
On a
$
N = \fE_{\CH(\Om)} \rtimes \fS_\Om$.

\item
Si $\eta$ est la symétrie par rapport à $v_\Om$,
on a $\eta \in G\text{--}N$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
Démontrons la deuxième assertion. On a
$
\eta(v_i) = v_i -(1/4)v_\Om$.
On voit donc que
$$
\left\{
\aligned
&\eta(4v_i) = 4v_i-v_\Om, \\
&\eta(2v_i-2v_j) = 2v_i-2v_j, \\
&\eta(v_\Om) = -v_\Om,
\endaligned
\right.
$$
donc que $\eta$ stabilise $\La$.
\end{proof}

% Notons $\Aut(\La)^+$ le sous-groupe d'indice 2 de $\Aut(\La)$
% des éléments de déterminant 1.
Soit $H$ un sous-groupe
de $\Aut(\La)$ qui contient strictement $N$.

\smallskip
\noindent
{\bf 1.}\label{1}
Le groupe $H$ est transitif sur $\La(2)$.

\smallskip
\begin{small}
Le groupe $N$ a deux orbites sur l'ensemble des
petits vecteurs de $\La$, à savoir les ensembles
$$
\Ga_1 := \{\e_H(v_\Om)\}_{H\in\CH(\Om)}
\,\,\text{ et }\,\,
\Ga_2 := \{\pm 2v_i\pm 2v_j\}_{i\neq j}.
$$
Il n'est pas difficile de vérifier que si un élément du
groupe orthogonal de~$\BQ^n$ stabilise l'ensemble $\Ga_2$,
il appartient à $\Aut(R)$. Il en résulte bien que~$H$ est transitif sur $\La(2)$.
\end{small}

\smallskip
\noindent
{\bf 2.}\label{2}
Pour tout $v\in\La(2)$, le stabilisateur $H_v$ de $v$ est
transitif sur l'ensemble $\La(2,v)$ des petits
vecteurs de $\La$ qui sont orthogonaux à $v$.

\smallskip
\begin{small}
Soit $v := 2v_1+2v_2$. Alors
les orbites du stabilisateur $N_v$ de $v$ dans $\La(2,v)$
sont les ensembles
$$
\left\{
\aligned
&P_0 := \{\pm(2v_1-2v_2)\},\text{ de cardinal }2,\\
&P_1 := \{\e_H(\Om)\mid (H\cap\{1,2\}=\emptyset)\},
\text{ de cardinal }2^6\equiv 1\bmod{7},\\
&P_2 := \{\pm 2v_i\pm 2v_j
\mid (\{i,j\}\cap\{1,2\}=\emptyset)) \},
\text{ de cardinal }2^2{6\choose{4}}\equiv 4\bmod{7}.\\
\endaligned
\right.
$$
Il suffit de démontrer que toutes les orbites de $H_v$
sur $\La(2,v)$ sont de cardinal divisible par 7, car alors on voit
qu'il ne peut y avoir qu'une seule orbite.
Comme $H$ est transitif sur $\La(2)$, on peut remplacer $v$
par l'unique point fixe dans $\La(2)$ d'un élément $\al$ d'ordre 7
de $N$, à savoir $v_\Om$. Dans ce cas, comme $\al$ n'a pas de
point fixe, toutes ses orbites non réduites à $\{v_\Om\}$ sont
de cardinal divisible par 7, et il en est de même pour les orbites
de $H_{v_\Om}$.
\end{small}

\smallskip
\noindent
{\bf 3.}\label{3}
Les seuls vecteurs de $\La$ de carré $\leq 4$
qui sont équivalents à $4v_i$ (\resp $2v_1-2v_2$) modulo $2\La$
sont les $\pm 4v_i$ (\resp $\pm(2v_1-2v_2)$).

\smallskip
\begin{small}
En effet, un calcul facile montre que si deux vecteurs de
carré $\leq 4$, distincts et non opposés, sont équivalents modulo
$2\La$, alors ils sont orthogonaux et tous deux de carré 4.
\end{small}

\smallskip
\noindent
{\bf 4.}\label{4}
Le sous-groupe $N$ est maximal dans $\Aut(\La)$ et on a
$
|\Aut(\La)| = 2^{14}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7$.

\smallskip
\begin{small}
Il suffit de démontrer que $H$ est d'ordre
$2^{14}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7$.
Soient $v := 2v_1+2v_2$ et $v':=2v_1-2v_2$. Le stabilisateur
$H_{v,v'} = H_v\cap H_{v'}$ du couple $(v_,v')$ dans $H$
fixe $4v_1$. D'après \ref{3}, on voit que $H_{v,v'}$ est
contenu dans $N$, ce que nous notons $H_{v,v'}=N_{v,v'}$.

Par les propriétés de transitivité démontrées ci-dessus
(\cf \ref{1} et \ref{2}), on voit donc que\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$
|H| = |\La(2)|\cdot|\La(2,v)|\cdot|N_{v,v'}|,$$
d'où le résultat annoncé.
\end{small}

\smallskip
\noindent
{\bf 5.}\label{5}... Nous renvoyons le lecteur à la littérature pour
démontrer que le groupe $\Aut(\La)/\{\pm 1\}$ a un
sous-groupe simple d'indice 2.

\smallskip
\begin{small}
On peut d'ailleurs démontrer que le groupe $\Aut(\La)/\{\pm 1\}$
opère fidèlement sur le $\BF_2$-espace vectoriel $\La/2\La$
en y préservant la forme quadratique qui y est définie par
la réduction modulo 2 de $x^2/2$, et en déduire que
$\Aut(\La)/\{\pm 1\}$ est isomorphe au groupe orthogonal
$\OO_8(\BF_2)$.
\end{small}

\smallskip

\begin{small}
\Subsubsection*{Appendice: Éléments d'ordre fini de $\GL_n(\BQ)$}

\skippointrait
\begin{enonce}{Proposition}\label{glnq}
\begin{enumerate}
\item\label{glnq1}
Supposons que l'entier $m$ est l'ordre d'un élément
de $\GL_n(\BQ)$.
Il~exis\-te un entier $s$ et $s$ entiers
distincts $d_1,d_2,\dots,d_s$ tels que
\begin{itemize}
\itebul
$m = \ppcm\{d_1,d_2,\dots,d_s\}$,
\itebul
$\vp(d_1)+\vp(d_2)+\dots+\vp(d_s) \leq n$.
\end{itemize}

\item\label{glnq2}
Soient $p_1,p_2,\dots,p_r$ des nombres premiers distincts.
Si $\GL_n(\BQ)$ a un élément d'ordre
$p_1 p_2 \cdots p_r$, on a
$
p_1+p_2+ \cdots+p_r \leq n+r$.

\item\label{glnq3}
Si $p$ est un nombre premier qui divise l'ordre d'un sous-groupe
fini de $\GL_n(\BQ)$, on a $p \leq n+1$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}[Démonstration de \ref{glnq}]\mbox{}
\begin{enumerate}
\item
Pour tout entier $d$, on note $\Phi_d(X)$ le $d$-ième
polynôme cyclotomique.

Soit $g$ un élément de $\GL_n(\BQ)$ d'ordre $m$ et
soit $\mu(X)$ le polynôme \hbox{minimal} de $g$. Comme $\mu(X)$
divise $X^m-1$ et que $\mu(X) = \prod_{d\mid m} \Phi_d(X)$,
il existe une famille $d_1,d_2,\dots,d_s$ de diviseurs distincts
de $m$ tels que
$
\mu(X) = \Phi_{d_1}(X)\Phi_{d_2}(X)\cdots\Phi_{d_s}(X)$.

Soit $m' := \ppcm\{d_1,d_2,\dots,d_s\}$. Comme
$\mu(X)$ divise $X^{m'}-1$, on voit que $m' = m$.

Comme $\deg\mu(X) \leq n$ on voit que
$\vp(d_1)+\vp(d_2)+\dots+\vp(d_s) \leq n$.

\item
Posons $m = p_1 p_2 \cdots p_r$.
Si $d_1,d_2,\dots,d_s$ sont
tels que
\[
m = \ppcm\{d_1,d_2,\dots,d_s\},
\]
chaque $d_j$ est produit d'un certain nombre des $p_i$, et tout
$p_i$ divise au moins l'un des $d_j$, d'où il résulte que
$$
\vp(p_1)+\vp(p_2)+\dots+\vp(p_r)
\leq
\vp(d_1)+\vp(d_2)+\dots+\vp(d_s),$$
et grâce à l'assertion \eqref{glnq1} on voit que
$
\vp(p_1)+\vp(p_2)+\dots+\vp(p_r)
\leq n$,
d'où~\eqref{glnq2}.

\item
est une conséquence immédiate de \eqref{glnq2} et du fait que
si $p$ divise l'ordre d'un groupe fini, ce groupe
fini contient un élément d'ordre $p$.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{small}

\backmatter
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepalpha+eid}
\bibliography{xups00-02}
\end{document}
