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\begin{document}
\frontmatter
\title[Un peu d'histoire des groupes finis]{Un peu d'histoire des groupes finis\\ et quelques exemples simples}
\author[\initial{A.-M.} \lastname{Aubert}]{\firstname{Anne-Marie} \lastname{Aubert}}
\address{Département de Mathématiques et applications (UMR 8553 du CNRS), École Normale Supérieure, 45 rue d'Ulm, 75005 Paris}
\email{anne-marie.aubert@imj-prg.fr}
\urladdr{https://perso.imj-prg.fr/annemarie-aubert/}

\thanks{Journées X-UPS 2000. Groupes finis. Éditions de l'École polytechnique, 2000}

\maketitle
{\let\linebreak \relax\tableofcontents}
\mainmatter

\section{Introduction}

Un angle d'approche de la théorie des groupes finis est fournie par l'analogie
entre cette théorie et la théorie des nombres élémentaire.
Afin d'illustrer cette
analogie, considérons la division des entiers naturels. On dit qu'un
entier naturel $m$ divise un entier naturel~$n$ s'il existe un entier
naturel $q$ tel que $n=mq$. On dit alors que~$q$ est le quotient de $n$
par $m$. Les entiers naturels les plus simples de ce point de vue sont
les nombres $p\ne 1$ dont les seuls diviseurs sont $1$ et $p$ lui-même:
on les appelle les nombres premiers.
Un fait central est le résultat suivant: tout entier naturel $n\ne 1$
s'écrit $n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$ pour des nombres premiers
distincts $p_1,p_2,\ldots,p_k$ et des entiers naturels $e_1,e_2,\ldots,e_k$, où chaque couple $(p_i,e_i)$ est
uniquement déterminé à permutation des indices près.
Afin de mieux montrer l'analogie en vue, nous énonçons ce fait sous
la forme équivalente suivante:
pour tout entier naturel $n\ne 1$ il existe une suite $n=n_0\ge n_1\ge
n_2\ge\cdots
\ge n_{r-1}\ge n_r=1$ telle que chaque $n_i/n_{i+1}$ est premier, et la
suite de nombres premiers ainsi obtenue et ses multiplicités sont
uniquement déterminée par $n$ à l'ordre près. Il n'y a clairement
pas unicité des entiers $n_i$ eux-mêmes.
Ce résultat est fondamental car il montre que les nombres premiers ne
sont pas seulement simples du point de vue de la divisibilité mais
qu'ils sont aussi les blocs fondamentaux permettant d'obtenir tout entier
naturel par multiplications de nombres premiers.\enlargethispage{1.5\baselineskip}

Quelle est l'analogie avec la théorie des groupes finis? L'analogue de
la divisibilité est constitué par la notion de \og distinction\fg: si $H$
est un sous-groupe d'un groupe fini $G$, le quotient $G/H$ de $G$ par $H$ est
formé des classes à gauche de $H$ dans $G$. Celles-ci sont
précisément les classes d'équivalence pour la relation de congruence
modulo $H$, définie par $g\equiv g' \pmod{H}$ si $g^{-1}g'\in H$.
Le quotient $G/H$ est un groupe pour loi de multiplication des classes
$gHg'H=gg'H$ si et seulement si $H$ est {\sl
distingué} (ou {\sl normal}) dans $G$, \ie si $gH=Hg$ pour tout élément
de $g$ de $G$.

\begin{enonce*}[remark]{Exemple} Prenons pour $G$ le groupe symétrique $\Sym_n$ des
permutations d'un ensemble à $n$ éléments et pour $H$ l'ensemble
$\Alt_n$ des permutations paires qui est un sous-groupe normal de $G$ tel
que $G/H\simeq Z_2$, le groupe cyclique à $2$ éléments.
\end{enonce*}

Quel est, dans ce contexte, l'analogue d'un nombre premier?
Un groupe $G$ dont les seuls sous-groupes distingués sont $\{1\}$ et $G$
lui-même (où $1$ désigne l'élément neutre de $G$). Un tel groupe
$G$ est appelé un groupe {\sl simple}.

Quel est l'analogue du résultat arithmétique énoncé ci-dessus?
Nous devons ici nous restreindre aux groupes finis, le théorème
\hbox{suivant} n'étant pas vrai pour un groupe infini arbitraire. Traduisant le
résultat sous la seconde forme évoquée ci-dessus, nous obtenons le
{\sl théorème de Jordan-Hölder\footnote{
Otto Ludwig Hölder s'est intéressé à la théorie des groupes à
cause des travaux de
Kronecker et de Klein. Il démontra l'unicité à permutation près
des facteurs de
composition dans une suite de composition d'un groupe fini.
En 1892, en utilisant les théorèmes de Sylow, il montra
que tous les groupes finis simples d'ordre inférieur à 200 étaient
connus. Il étudia aussi les groupes d'ordre
$p^3$, $pq^2$, $pqr$ et $p^4$ pour $p$, $q$, $r$ premiers.
Il introduisit les notions d'automorphisme intérieur et extérieur,
et
écrivit en 1895 un long article sur les extensions de groupes.}
pour les groupes finis}:
étant donné un groupe fini $G$, il existe une suite
$$G=G_0\supset G_1\supset G_2\supset\cdots\supset G_{r-2}\supset
G_{r-1}\supset G_r=\{1\}$$
de sous-groupes $G_i$ de $G$ telle que le sous-groupe $G_{i+1}$ est distingué
dans
$G_i$ et $G_i/G_{i+1}$ est un groupe simple pour tout $i\in\{0,1,\ldots,r\}$ et
la famille de groupes simples ainsi obtenue est unique à permutation
près.
Une telle suite est appelée une {\sl suite de composition} de $G$.

Cette analogie présente toutefois quelques imperfections: par exemple,
chacun des $n_i$ divise $n$, alors que $G_i$ n'est pas nécessairement
distingué dans $G$, et l'on peut se demander si les groupes simples
constituent les \og blocs fondamentaux\fg des groupes finis.

Supposons que nous connaissions tous les groupes finis simples. Comment
pourrions nous alors déterminer tous les groupes finis? Tout d'abord,
nous aimerions écrire une liste $S_1,S_2,\ldots,S_r$ de
facteurs de composition simples. Nous essayerions alors de dresser une
liste de tous les groupes $G_i$ possibles tels que $G_i/G_{i+1}\simeq
S_{i+1}$. La première étape est facile: puisque $G_r=\{1\}$,
nous obtenons $G_{r-1}=G_{r-1}/G_r=S_r$. La deuxième étape
consisterait à à déterminer, connaissant $G_{r-2}/G_{r-1}\simeq
S_{r-1}$ et $G_{r-1}$, les possibilités pour $G_{r-2}$. C'est un
exemple du {\sl problème d'extension de Hölder}, qui peut s'énoncer
sous la forme générale suivante:
étant donnés deux groupes $K$ et $Q$, déterminer tous les groupes
$G$ possibles tels que $K$ est distingué dans $G$ et $G/K\simeq Q$. De
tels groupes $G$ sont appelés des {\sl extensions} de $K$ par $Q$.
Remarquons que si un groupe simple~$G$ est une extension de $K$ par $Q$,
alors $G\simeq K$ ou bien $G\simeq Q$. Le~groupe n'est pas uniquement
déterminé par la donnée de $K$ et de~$Q$: par exemple, les groupes
$\Sym_3$ et $Z_6$ (le groupe cyclique d'ordre~$6$) sont tous deux
extensions de $Z_3$ par $Z_2$. La question est: toutes les extensions
possibles $G$ peuvent-elles être construites de manière
systématique? La réponse est oui, bien que peu économique. Schreier,
dans les années vingt, a développé une technique pour construire
toutes les tables de
multiplication pour $G$, mais jusqu'à présent, à ma connaissance,
il n'existe pas de
méthode générale permettant d'identifier quelles tables de
multiplication sont celles de groupes isomorphes (voir \cite[chap.\,7]{R}
ou \cite[chap.\,9]{Sco} pour plus de détails). La liste des tables de
multiplication possibles comprendrait donc des répétitions inutiles,
néanmoins toutes les extensions $G$ de~$K$ par $Q$ peuvent être
construites.

Maintenant que nous avons vu comment déterminer tous les groupes
possibles $G_{r-2}$, nous pouvons continuer d'appliquer la méthode de
Schreier afin de construire toutes les possibilités pour les groupes
$G_{r-3}$, $G_{r-4}$,... Les groupes finis simples apparaissent donc comme les blocs
fondamentaux de la théorie des groupes finis.

\section{Les groupes finis simples}

Un exercice facile consiste à prouver que les groupes cycliques $Z_p$
d'ordre premier $p$ sont simples. Ce sont les seuls groupes finis simple
abéliens.
Évariste~Galois avait essentiellement montré que les groupes alternés
$\Alt_n$,
pour $n\ge 5$, constituent une famille infinie de groupes finis simples
non abéliens (pour une preuve élémentaire de la simplicité on
pourra se référer, par exemple, à \cite[Vol.\,I, p.\,139]{Jac1}).

Les familles infinies suivantes de groupes finis simples furent
découvertes parmi les {\sl groupes classiques}, terminologie introduite
par Hermann~Weyl dans son livre \cite{Wey}, publié en 1939.
Ce sont les groupes de matrices qui furent introduits pour la première
fois par Camille~Jordan \cite{Jo} et dont la structure fut étudiée de
manière intensive par Leonard Dickson \cite{Dic1, Dic2}.
Dickson fut élève de Eliakim~Moore à Chicago \cite{Par1}.
Son livre \cite{Dic1} constitue non seulement la première étude
systématique des groupes linéaires classiques mais il contient un
travail profond et original sur ces groupes et les familles de groupes
simples (pour une biographie de Dickson, voir \cite{Par2}).
Cependant ses méthodes étaient pour la plupart {\it ad hoc} et
très calculatoires. Une approche plus élégante et plus lisible fut
obtenue plusieurs années après grâce aux travaux d'Emil~Artin \cite{Art1,
Art2, Art3}, Jean~Dieudonné \cite{Dieu}, Bertram~Huppert \cite[chap.\,2]{Hu} et
Nathan~Jacobson \cite{Jac2}.

La première famille de groupes classiques est la famille des {\sl
groupes linéaires généraux} $\GL(V)$ formés des automorphismes
(\ie des transformations linéaires inversibles) d'un espace vectoriel
$V$ sur un corps commutatif $k$. Le groupe $\GL(V)$ est isomorphe au groupe
$\GL_N(k)$ des matrices carrées d'ordre $N$ inversibles à coefficients
dans le corps~$k$, où $N$ est la dimension de $V$ sur $k$. Les {\sl
groupes spéciaux linéaires} $\SL(V)$ (\resp $\SL_N(k)$) formés des
automorphismes de $V$ (\resp matrices matrices carrées d'ordre $N$
à coefficient dans $k$) de déterminant égal à $1$. Le groupe
$\SL_N(k)$ est égal au groupe des commutateurs\footnote{Le {\sl groupe des
commutateurs} $G'=[G,G]$ d'un groupe $G$ est le sous-groupe de~$G$ engendré
par
les {\sl commutateurs} $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$ avec $g_1$, $g_2$
éléments de $G$. Si~$N$ est un sous-groupe distingué de $G$, le
groupe quotient $G/N$ est abélien si et seulement si $N$ contient
$G'$.} de $\GL_N(k)$, excepté dans le cas $N=2$ et $k=\bbF_2$ (le corps
à deux éléments).

Les autres groupes classiques sont les groupes d'automorphismes de formes
non dégénérées sur $V$ (espace vectoriel sur un corps commutatif
$k$).
Une {\sl forme} sur $V$ est une application $f\colon V\times V\to
k$ telle que $f(v_1+v_2,v')=f(v_1,v')+f(v_2,v')$ et
$f(v,v_1'+v_2')=f(v,v_1')+f(v,v_2')$ pour tous $v$, $v_1$, $v_2$, $v'$,
$v_1'$, $v'_2$ dans $V$. La forme $f$ est {\sl non dégénérée} si
ses noyaux gauche et droit
\begin{align*}
&\left\{v\in V\mid f(v,v')=0\;\text{ pour tout $v'\in V$}\right\},
\\
&\left\{v'\in V\mid f(v,v')=0\;\text{ pour tout $v\in V$}\right\}
\end{align*}
sont tous deux réduits à $\{0\}$. Le {\sl groupe d'automorphismes}
de la forme~$f$ est l'ensemble des automorphismes $u$ de $V$ qui
préservent~$f$ au sens suivant: $f(uv,uv')=f(v,v')$ pour tout $(v,v')\in
V\times V$.

Une forme $F$ est {\sl bilinéaire symétrique} si $f(v,v')=f(v',v)$ et
$f(\lambda v,v')=\lambda f(v,v')$ pour tout $(v,v')\in
V\times V$ et tout $\lambda\in k$.
Le~groupe d'automorphismes d'une telle forme est appelé un {\sl groupe
orthogonal} et sera noté $\OO_N(k,f)$. Une forme $f$ est {\sl
bilinéaire antisymétrique} si $f(v',v)=-f(v,v')$ et $f(\lambda
v,v')=\lambda f(v,v')$ pour tout $(v,v')\in
V\times V$ et tout $\lambda\in k$. Le groupe d'automorphismes d'une telle
forme est appelé un {\sl groupe
symplectique} et sera noté $\SP_N(k,f)$.

Si la caractéristique du corps $k$ est égale à $2$, les
définitions ci-dessus des groupes orthogonaux et symplectiques coïncident. Les groupes usuellement appelés groupes orthogonaux doivent
préserver une forme quadratique en sus de la forme bilinéaire
symétrique. C'est pourquoi certains des énoncés ci-après
concernant les groupes orthogonaux doivent être raffinés lorsque la
caractéristique de $k$ est~$2$ (pour plus de détails, on pourra se
référer à \cite[chap.\,1]{Che1}).

Les autres formes qui nous intéressent ici sont les formes
sesquilinéaires hermitiennes. Ici $k$ est une extension quadratique
séparable d'un corps $k_0$ telle qu'il existe un automorphisme
$\lambda\mto\overline\lambda$ de~$k$ sur~$k_0$ d'ordre $2$. Une forme
$f$ est {\sl sesquilinéaire hermitienne} si $f(v',v)=\overline{f(v,v')}$
et $f(\lambda v,v')=\lambda f(v,v')$ pour tout $(v,v')\in
V\times V$ et tout $\lambda\in k$.
Le groupe d'automorphismes d'une telle forme est appelé un {\sl groupe
unitaire} et sera noté $\U_N(k,f)$.

Les groupes classiques restant (\ie autres que $\GL_n(k)$ et $\SL_n(k)$)
sont les groupes d'automorphismes de formes non dégénérées de l'un
des trois types ci-dessus.\enlargethispage{\baselineskip}

Les formes antisymétriques sont non dégénérées seulement si $N$
est pair \cite{Art1}. Nous poserons alors $m:=N/2$.
D'autre part, deux formes non dégénérées antisymétriques sur $V$
définissent des groupes symplectiques isomorphes. Nous écrirons donc
simplement $\SP_{2m}(k)$ pour $\SP_{2m}(k,f)$.
Les éléments de $\SP_{2m}(k)$ ont leur déterminant égal à $1$ et
$\SP_{2m}(k)$ coïncide avec son groupe des commutateurs, excepté
lorsque $m=1$ et $k$ a deux ou trois éléments, et lorsque $m=2$
et~$k$ a deux éléments.
Lorsque $k$ est fini, deux formes bilinéaires symétriques
non dégénérées sur $V$ définissent des groupes orthogonaux
isomorphes lorsque $N$ est impair (nous écrirons alors simplement
$\OO_N(k)$ pour $\OO_N(k,f)$), et il y a exactement deux classes
d'isomorphismes de groupes orthogonaux si $N$ est pair, elles
correspondent au cas où l'indice de Witt de la forme $f$ est maximal ou
non \cite{Art1}. Nous écrirons $\OO^+_N(k)$ et $\OO_N^-(k)$ pour
$\OO_N(k,f)$ res\-pectivement dans le premier et le second cas.
Le groupe des commutateurs de $\OO_N(k,f)$, noté
$\Omega_N(k,f)$, est en général un sous-groupe propre du groupe de
rotations $\SO_N(k,f)$ formé des éléments de $\OO_N(k,f)$ de
déterminant égal à $1$. Toujours sous l'hypothèse $k$ fini, deux
formes sesquilinéaires hermitiennes non dégénérées sur $V$
définissent des groupes unitaires isomorphes, et nous écrirons
$\U_N(k)$ pour $\U_N(k,f)$. Lorsque $N\ge 3$, excepté
le cas $N=3$ et $|k|=4$, le groupe des commutateurs de $\U_N(k)$ coïncide avec le sous-groupes $\SU_N(k)$ des éléments de $\U_N(k)$ de
déterminant égal à $1$.
Lorsque $N=2$, le groupe $\SU_2(k)$ est isomorphe au groupe $\SL_2(k)$.

Il existe une procédure uniforme permettant d'associer un groupe simple
à un groupe classique $G$ arbitraire. On considère le groupe
des commutateurs $G'$ de $G$ et l'on forme le groupe quotient $G'/\Z(G')$
de $G'$ par son centre $\Z(G')$. Le groupe $\Z(G')$ est formé de
multiples scalaires de l'identité et n'est pas un groupe compliqué.
Lorsque $k$ est fini, $\Z(G')$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif
(cyclique) de $k$. La plupart du temps, $G'/\Z(G')$ est un groupe simple
\cite{Art1}, \cite{Dieu}.
Il y a quelques exceptions en petites dimensions et sur de petits corps,
et d'autres exceptions dans le cas unitaire lorsque la forme $f$ est
anisotrope\footnote{Une forme $f$ est {\sl anisotrope} si $f(v,v)\ne 0$ pour
tout $v\ne 0$ dans $V$.}.
L'on obtient ainsi six familles de groupes dont les membres sont le plus
souvent simples:
\begin{align*}
\PSL_n(k)&:=\SL_n(k)/\Centre,\\
\PSp_{2m}(k)&:=\SP_{2m}(k)/\Centre,\\
\PSU_n(K)&:=\SU_n(K)/\Centre,
\end{align*}
et trois familles de groupes orthogonaux
\[
\Omega_{2m+1}(k)/\Centre, \quad\Omega_{2m}^+(k)/\Centre \qqbox{et}
\Omega_{2m}^-(k)/\Centre.
\]
Lorsque $k$ est fini, malgré quelques cas d'isomorphismes entre des groupes
appartenant à des familles différentes, on obtient six familles
doublement infinies.

Dickson découvrit aussi des familles de groupes simples associés aux
algèbres de Lie simples de type $G_2$ et $E_6$ sur le corps $\CC$ des
nombres complexes dans trois articles \cite{Dic3}, \cite{Dic4},
\cite{Dic5}.

Jusqu'en 1955, on ne découvrit pas d'autre groupe fini simple excepté
cinq groupes apparemment isolés qui avaient été découverts par
Émile~Mathieu en 1861 et 1873 \cite{Ma1}, \cite{Ma2}.
Avant de décrire les groupes de Mathieu, il est nécessaire
d'introduire quelques éléments de terminologie des groupes de
permutations. Une {\sl représentation de permutation} d'un groupe fini
$G$ est un homomorphisme $\rho\colon G\to \Sym(X)$ de $G$ dans le
groupe symétrique $\Sym(X)$ des permutations d'un ensemble $X$. La
représentation $\rho$ est {\sl fidèle} si son noyau est réduit à
$\{1\}$, où $1$ désigne l'élément neutre de $G$. L'image d'une
représentation de permutation, ou sous-groupe quelconque de $\Sym(X)$, est
un {\sl groupe de permutations} sur l'ensemble $X$. Si $H$ est un groupe de
permutation sur $X$, et $x$ un élément de $X$, le {\sl stabilisateur}
$H_x$ de~$x$ est l'ensemble $\left\{h\in H\,\mid\,hx=x\right\}$. Il est
facile de vérifier que $H_x$ est un sous-groupe de $H$.
Étant donné un groupe de permutation~$H$ sur~$X$, on définit une
relation d'équivalence $\sim$ sur $X$ par $x\sim x'$ s'il existe $h\in
H$ tel que $x'=hx$. Les classes d'équivalence de $\sim$ sont les {\sl
orbites} de $H$ sur $X$ ou simplement les $H$-orbites. Si $X$ est
lui-même une $H$-orbite, on dit que~$H$ est un {\sl groupe de
permutations transitif}. Si~$x$ et~$x'$ appartiennent à une même
$H$-orbite, leurs stabilisateurs~$H_x$ et~$H_{x'}$ sont des sous-groupes
conjugués de $H$. En particulier, tous les stabilisateurs sont
conjugués lorsque $H$ est un groupe de permutations transitif sur $X$.
Un groupe de permutation $G$ sur un ensemble~$X$ est dit
{\sl $m$-transitif} si tout $m$-uplet d'éléments distincts de $X$ peut
être envoyé sur n'importe quel $m$-uplet d'éléments distincts de
$X$ par une permutation appartenant à $G$. Un groupe est $1$-transitif
si et seulement s'il est transitif.

\begin{enonce*}[remark]{Exemples} Le groupe symétrique $\Sym_n$ des permutations d'un
ensemble à $n$ éléments est $m$-transitif pour tout entier $m\le
n$. Le groupe alterné~$\Alt_n$ est $m$-transitif pour tout entier $m\le
n-2$. Les groupes symétriques~$\Sym_n$ (pour $n\ge 6$) et les groupes
alternés $\Alt_n$ (pour $n\ge 8$) sont les seuls groupes de permutations
connus qui sont $m$-transitifs pour tout entier entier $m\ge 6$. Par
ailleurs, il existe une infinité d'exemples de groupes de permutations
$2$-transitifs ou même $3$-transitifs autres que les groupes
symétriques et alternés. Les groupes d'automorphismes
des géométries projectives sur les corps finis sont toujours
$2$-transitifs sur les points et, dans le cas des droites projectives, ils
sont même $3$-transitifs sur les points \cite[chap.\,12]{Carm}.
\end{enonce*}

À côté des groupes symétriques et alternés, il y a seulement
quatre groupes de permutations connus qui sont $4$-transitifs ou
$5$-transitifs sur un ensemble fini. Ce sont les {\sl groupes
de Mathieu} découverts par Mathieu en 1861 et 1873. Le groupe de Mathieu
$M_{12}$ est un groupe d'ordre $95040=2^63^35\cdot 11$ qui est $5$-transitif
sur un ensemble de cardinal $12$.
Le groupe de Mathieu $M_{24}$ est un groupe d'ordre $244\, 823\,040=2^{10}3^3
5\cdot 7 \cdot 11\cdot 23$ qui est $5$-transitif
sur un ensemble de cardinal $24$.
Le stabilisateur d'un point quelconque dans $M_{12}$ (\resp $M_{24}$) est
le groupe de Mathieu $M_{11}$ (\resp $M_{23}$): c'est un groupe d'ordre
$7920=2^43^55\cdot 11$ (\resp $10\, 200\, 960=2^73^25\cdot 7\cdot 11\cdot
23$) qui est $4$-transitif sur un ensemble de cardinal $11$ (\resp $23$).
Le stabilisateur d'un point quelconque dans $M_{23}$ est le groupe de
Mathieu $M_{22}$: c'est un groupe d'ordre $443\, 520=2^73^55\cdot 7
\cdot 11$. Les cinq groupes de Mathieu $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{22}$, $M_{23}$ et
$M_{24}$ sont simples et ne sont isomorphes ni à un groupe alterné ni
à un groupe fini de type de Lie. Puisqu'ils ne figurent dans aucune
famille infinie de groupes simples, William~Burnside \cite{Wag}, dans son
livre \cite[Note\,N, p.\,504]{Bur}, les appela
{\sl groupes
simples sporadiques} et le terme {\sl sporadique} est maintenant utilisé
pour tout groupe fini simple qui n'appartient à aucune famille infinie de
groupes simples.

Dans son célèbre article \cite{Che2}, Claude Chevalley développa une
procédure de construction de familles infinies de groupes simples
(appelés {\sl groupes de Chevalley}) associés aux diverses {\sl algèbres
de Lie simples}\footnote{
Une {\sl algèbre de Lie} complexe $L$ est une
algèbre (un espace vectoriel muni d'un produit bilinéaire noté
$[,\;]$) telle que les identités $[x,x]=0$ et
$[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$ sont satisfaites. Un idéal $I$ de $L$
est sous-espace vectoriel tel que $[x,I]\subset I$ pour tout $x\in L$. Une
algèbre de Lie $L$ est {\sl simple} si $[L,L]\ne 0$ et si les seuls
idéaux de $L$ sont $\{0\}$ et $L$.} complexes de dimension finie.
La classification des algèbres
de Lie simples complexes de dimension finie, commencée par Wilhelm~Killing,
fut
complétée en 1894 par Élie Cartan.
Les groupes classiques sur $k=\CC$ sont des {\sl groupes de Lie} et leurs
sous-groupes simples correspondent canoniquement aux algèbres de Lie
simples complexes. Il y a donc plus qu'une analogie entre groupes
simples et algèbres de Lie simples.
Chevalley a montré que les familles infinies de groupes finis
simples associées aux algèbres de Lie simples de type
$F_4$, $E_7$ et $E_8$ étaient nouvelles. Des variations sur la méthode
de Chevalley permirent à Robert~Steinberg et Jacques~Tits de construire de
nouvelles
familles infinies de groupes simples. Enfin Rimhak~Ree montra qu'une famille
construite de manière différente par Michio~Suzuki \cite{ABFS} dans
\cite{Su} pouvait
s'interpréter à l'aide d'un automorphisme du diagramme d'une algèbre
de Lie de type $B_2$, et construisit des groupes analogues dans les cas
$G_2$ et $F_4$, voir \cite{Car}.

\section{Groupes extra-spéciaux, groupes de Heisenberg,\break groupe métaplectique}

\Subsection*{Préliminaires}

\subsubsection*{Groupe de Frattini \cite{Em}}
Soit $G$ un groupe fini. Nous notons $\Z(G)$ et $\g$ respectivement
son centre et son
groupe dérivé.

\begin{enonce}{Définition \label{Frat}}
Le {\rm groupe de Frattini} d'un groupe fini $G$, noté $\Phi (G)$,
est l'intersection des sous-groupes propres maximaux de $G$.
\end{enonce}

\begin{enonce}{Proposition \label{FratII}}
Soient $p$ un nombre premier et $P$ un $p$-groupe fini
(\ie un groupe fini dont le cardinal est une
puissance de $p$).
\begin{enumerate}
\item
Le groupe de Frattini de $P$ est le plus petit des sous-groupes
distingués $H$ de
$P$ tels que le groupe quotient $P/H$ soit abélien élémentaire.
\item
Le groupe $P/\Phi (P)$ a une structure naturelle d'espace vectoriel sur le
corps $\bbF_p$
à $p$ éléments. Cet espace vectoriel est appelé l'{\rm espace de
Frattini}
de $P$.
La dimension de l'espace de Frattini est le nombre minimum de
générateurs de $P$.
\item
Si $P$ est d'exposant $p$, on a $\Phi(P)=P'$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{enonce*}[remark]{Remarque} Si $G$ est un groupe fini, alors $G'$ est le plus
petit des sous-groupes distingués $H$ de $G$ tels que $G/H$ est abélien.
Si $P$ est un $p$-groupe, on a donc $P' \subset \Phi (P)$.
\end{enonce*}

\Subsubsection*{Un résultat sur les groupes de classe $2$}

\begin{enonce}{Proposition \label{classtwo}}
Soit $G$ un groupe de classe $2$, (\ie tel que $\g \subset \Z(G)$).
Alors:

\begin{enumerate}
\item
pour tout élément $g$ de $G$, l'application $x \mto [g,x]$ est un
morphisme de groupes de $G$ dans $\g$;
\item
pour tout entier $k\ge 1$, et tout couple $(g_1,g_2)$ d'éléments de $G$, on
a
$$(g_1g_2)^k=[g_2,g_1]^{\Sigma (k)}\, g_1^k\, g_2^k, \;\;\text{ avec
$\Sigma(k)\,:=\,1+2+ \cdots + (k-1)$.}$$
\end{enumerate}
\end{enonce}

\Subsubsection*{Définition et exemples de groupes extra-spéciaux
généralisés }

\skippointrait
\begin{enonce}{Proposition \label{rappels}}
\begin{enumerate}
\item
Le centre d'un $p$-groupe est non trivial.
\item
Tout groupe fini $G$ qui possède un sous-groupe $Z$ central (\ie contenu
dans $\Z(G)$) et tel que le quotient $G/Z$ est cyclique, est abélien.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{enonce}{Définition \label{extras}}
Un $p$-groupe est dit {\rm extra-spécial généralisé}
(respectivement {\rm extra-spécial})
s'il possède un sous-groupe $Z$ d'ordre $p$ tel que
\hbox{$\Phi (E) \subset Z \subset \Z(E)$} (\resp si $\Phi (E)$
est d'ordre $p$ et égal à $\Z(E)$).
\end{enonce}

\begin{enonce}{Proposition \label{desextras}}
Tout $p$-groupe extra-spécial généralisé
$E$ est de l'un des types suivants:
\begin{enumerate}
\item si $E$ est abélien, il est
\begin{itemize}
\item
abélien élémentaire (de type $(p,\ldots,p)$),
\item
ou du type $\ZZ/p^2\ZZ\times\ZZ/p\ZZ\times\cdots\times\ZZ/p\ZZ$;
\end{itemize}
\item
si $E$ est non abélien,
alors son groupe de
Frattini est central d'ordre $p$ (et dans ce
cas $Z=\e=\Phi (E)$).
\end{enumerate}
En particulier, tout $p$-groupe extra-spécial généralisé non
abélien est de classe $2$.
\end{enonce}

\begin{enonce*}[remark]{Remarque}
Soit $E$ un groupe d'ordre $p^3$ non abélien. Le centre $\Z(E)$ de~$E$
n'est pas trivial,
et n'est pas d'indice $p$, donc est d'ordre~$p$. Le~quotient $E/\Z(E)$
n'est pas
cyclique, donc est un groupe de type~$(p,p)$. Donc, $\Z(E)$ contient
$\Phi(E)$.
Comme ce dernier groupe n'est pas trivial, (sinon, $E$ serait de type
$(p,p,p)$),
on voit que $\Phi(E)=\Z(E)$. Enfin, le groupe dérivé $\e$ est contenu dans
$\Phi (E)$ et n'est pas trivial, donc est égal à $\Phi(E)$.

Tout groupe non cyclique d'ordre $p^3$ est extra-spécial
généralisé.
\end{enonce*}

Rappelons qu'un sous-groupe d'un groupe fini $G$ est dit {\sl
caractéristique} s'il est stable par toute automorphisme de $G$ (en
particulier, tout sous-groupe caractéristique de $G$ est distingué dans $G$).

Si $E$ est un $p$-groupe extra-spécial généralisé non abélien,
le
groupe de Frattini de $E$ et le groupe dérivé de $E$ sont cycliques et
centraux
dans $E$. Ceci nous amène à donner la définition suivante.

\begin{enonce}{Définition \label{CC}}
Un {\rm $CC$-groupe} est un groupe fini résoluble non abélien~$E$ dont
tout
sous-groupe caractéristique propre est cyclique et central dans $E$.
\end{enonce}

\begin{enonce}{Proposition \label{Puig}}
Le groupe dérivé $E'$ d'un $CC$-groupe est d'ordre premier $p$
et $E/\e$ est abélien $p$-élémentaire.
\end{enonce}
Les $CC$-groupes apparaissent comme un cas particulier des groupes du type
suivant. Soit $E$ un groupe fini non abélien possédant un sous-groupe central
$Z$ d'ordre $p$, pour lequel on suppose choisi une fois pour toutes un
isomorphisme avec le groupe additif de $\ZZ/p\ZZ$.

Si le groupe $E/Z$ est abélien élémentaire, ce groupe est muni d'une
structure naturelle d'espace vectoriel sur $\bbF_p$; on note $V$ cet espace
vectoriel. Un
tel groupe $E$ est appelé une {\sl extension centrale} de $V$ par $\ZZ/p\ZZ$.
On a alors $1\neq\e\subset\Phi(E)\subset Z$.
Donc, $\e=\Phi (E) =Z$, et $E$ est un groupe extra-spécial généralisé
non abélien.
En particulier, un $CC$-groupe est un $p$-groupe extra-spécial
généralisé non abélien.

Réciproquement, soit $E$ un $p$-groupe extra-spécial généralisé non
abélien. De la relation $\e=\Phi (E)$, il résulte que $E/\e$ est un
$p$-groupe abélien élémentaire: c'est donc un espace vectoriel sur $\bbF_p$, que
l'on
note $V$ et dont la loi est notée additivement.
On a la suite exacte
$$1 \to \ZZ / p\ZZ \to E \to V \to 1.$$
Puisque $E' \subset \Z(E)$, le groupe $E$ est de classe $2$.

\Subsubsection*{Structure des groupes extra-spéciaux
généralisés}

Soit $E$ un $p$-groupe extra-spécial généralisé non abélien.
Soit $z$ un élément qui engendre
$\e$, choisi une fois pour toutes. Soit $\zeta$ l'application
$\zeta\colon\e\to\bbF_p$ définie par $\zeta(z):=1$.
En d'autres termes, on a $\zeta([x,y])=\alpha$,
si $[x,y]=z^\alpha$.

\begin{enonce}{Proposition \label{prop:struc}}
Soit $E$ un $p$-groupe extra-spécial généralisé non abélien.
\begin{enumerate}
\item
L'application $E\times E \to \bbF_p$
$$(x,y) \mto \zeta ([x,y])$$
induit par passage au quotient une forme bilinéaire
$a_E\colon V \times V \to \bbF_p$, qui est alternée.
\item \mbox{ }
\begin{itemize}
\item
Si $p\neq 2$, l'application
$E \to \bbF_p$
$$x \mto \zeta (x^p)$$
induit par passage au quotient une forme linéaire
$f_E \colon V \to \bbF_p$. Alors $G$ est d'exposant
$p$ si et seulement si $f_E$ est la forme nulle.
\item
Si $p=2$, l'application
$E \to \bbF_2$
$$x \mto \zeta (x^2)$$
induit par passage au quotient une forme quadratique~\hbox{$q_E{:}\, V\!\to\! \bbF_2$}, de forme bilinéaire
associée $a_E$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enonce}
\begin{proof}
Soit $\pi \colon E \to E/\e$ la projection
canonique. Nous définissons $a_E$ par
$$a_E(\pi(x),\pi(y))\,:=\,\zeta ([x,y])$$
Puisque $\e \subset \Z(E)$, $a_E$ est bien définie. C'est une forme
bilinéaire alternée (puisque $[x,x]=1$).
L'application $E \to \bbF_p$,
$x \mto \zeta(x^p)$, définit bien une
application $f_E$ de $V$ dans $\bbF_p$. On a
$\Sigma (2) =1$ et, pour $p \neq 2$, $\Sigma (p) \equiv 0
\pmod p$.
Si $p \neq 2$ $(xy)^p=x^py^p$, donc
$f_E(\pi(x)+\pi(y))=f_E(\pi(x)) + f_E(\pi(y))$, $f_E$
est une forme linéaire.
Le groupe~$E$ est d'exposant $p$ si tout élément $x \neq 1$
de $E$ est d'ordre $p$, \ie si $f_E=0$.
Si $p=2$, on a $(xy)^2=x^2y^2[x,y]$, puisque $[y,x]$ est
d'ordre au plus $2$. Donc $q_E$ est une forme quadratique
de forme bilinéaire associée $a_E$.
\end{proof}

\begin{enonce}{Corollaire \label{cor}}
Soit $E$ un $p$-groupe extra-spécial ou un $CC$-groupe. Alors la
forme $a_E$ est non dégénérée, et:
\begin{enumerate}
\item
si $E$ est un $p$-groupe extra-spécial,
il existe un entier $n$ tel que $|E|=p^{2n+1}$.
\item
si $E$ est un $CC$-groupe et $p \neq 2$, il est d'exposant $p$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Nous supposons que $E$ est un $p$-groupe extra-spécial:
Si $\pi(x)$ appartient au noyau de $a_E$, par définition,
pour tout $y$ dans $E$, on a $[x,y]=1$, donc $x \in \Z(E)$, et
par conséquent $\pi (x)=\pi (1)$, et $a_E$ est non
dégénérée.
La théorie des formes alternées montre que $V$ est de
dimension paire sur $\bbF_p$, soit $2n$ cette dimension.
On a donc $|V|=p^{2n}$ et $|E|=p^{2n+1}$.
\item
Supposons maintenant que $E$ est un $CC$-groupe et que $p \neq 2$.
Les éléments d'ordre au plus $p$ de $E$ forment un sous-groupe
caractéristique d'indice au plus $p$, et par conséquent,
$E$ est d'exposant~$p$.
L'image réciproque dans $E$ du radical de la forme $a_E$ est un
sous-groupe
caractéristique abélien $p$-élémentaire, et donc la forme est
non dégénérée.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\Subsubsection*{$CC$-groupes et groupes de Heisenberg}

\begin{enonce}{Définition \label{Hei}}
Soit $F$
un corps de caractéristique différente de $2$.
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $2n$ sur $F$. Soit $\Crochet$ une
forme alternée non dégénérée sur $V$.
On associe à $V$ un groupe, noté
$H(V)$, appelé {\rm groupe de Heisenberg} de $(V,\Crochet)$ et
défini de la façon suivante:
$H(V)$ est l'ensemble $V \times F$, (muni de la topologie produit
lorsque $F$ est un corps topologique), et de
la loi de groupe $$(v,t)(v',t')=(v+v',t+t'+ \tfrac{1}{2}\langle v,v'\rangle ).$$
\end{enonce}

Nous verrons à la proposition~\ref{autom} que, lorsque $F$ est un corps
premier $\bbF_p$ à $p$ éléments ($p$ impair), le groupe $H(V)$ est un
$p$-groupe extra-spécial.

\begin{enonce}{Définition \label{deux}}
Soit F le corps à $2$ éléments.
Soit $X$ un espace vectoriel sur $F$ de dimension finie, $X^{\ast}$ le
dual de $X$. Soit
$\Gamma$ l'un des groupes $\ZZ/2\ZZ$, $\ZZ/4\ZZ$ ou $Q_8$
(le groupe des quaternions),
muni d'un monomorphisme du groupe additif de
$F$ dans $\Gamma$; si $t \in F$, on note $\overline{t}$ son image
dans $\Gamma$. Soit $E(X,\Gamma)$ le groupe défini sur $X \times
X^\ast\times \Gamma$
par
$$(x,\phi,\gamma)(x',\phi ',\gamma ')=(x + x',
\phi + \phi ',\gamma \gamma ' \overline{\phi (x')}).$$
\end{enonce}

\skippointrait
\begin{enonce*}[remark]{Remarques}
\begin{enumerate}
\item
Si $p \neq 2$, en prenant
$\Gamma =\ZZ/p\ZZ$, on peut définir un groupe $E(X;\Gamma)$ de façon analogue au cas (I-4-b); soit alors
$V=X+Y$ un espace vectoriel symplectique sur $F$, $X$ et $Y$ des
sous-espaces totalement isotropes maximaux de $V$, $Y$ est
isomorphe au dual de $X$, et les groupes $H(V)$ et
$E(X,\Gamma)$ sont isomorphes.
\item
Si $\Gamma$ est égal au corps à $p$ éléments, alors le groupe $E(X,\Gamma)$ correspond à la construction donnée par André
Weil \cite{Se2} (voir \cite{Wei}).
\end{enumerate}
\end{enonce*}

\begin{enonce}{Proposition \label{LLuis}}
Un groupe $E$ est un $CC$-groupe s'il est isomorphe à l'un des groupes
$E(X,\Gamma)$ ci-dessus.
\end{enonce}

\Subsubsection*{Groupes de Heisenberg sur un corps fini}

\begin{enonce}{Définition \label{special}}
Un $p$-groupe $P$ est {\rm spécial} si $P$ est abélien
élémentaire, ou si $P$ est de classe $2$ et
$\p =\Z(P)=\Phi (P)$ est abélien élémentaire.
\end{enonce}

Les $p$-groupes extra-spéciaux sont donc les $p$-groupes spéciaux de
classe $2$ et de centre de cardinal $p$.

La proposition suivante sera utilisée lors de l'étude du groupe des automorphismes d'un $p$-groupe extra-spécial.

\begin{enonce}{Proposition \label{autom}}
Soit $(V,\Crochet)$ un espace vectoriel symplectique sur le corps fini $\bbF_q$
à $q$ éléments
($q=p^m$, avec $p$ impair), et $H=H(V)$ le groupe de Heisenberg qui lui est
associé. Le
groupe $H$ est un $p$-groupe spécial d'exposant $p$ et $[H,H]=(\bbF_q,+)$. En
particulier, si $p=q$, $H$ est extra-spécial.
\end{enonce}

\pagebreak[2]\skippointrait
\begin{proof}
\begin{itemize} \item
Centre de $H$:
Soit $h_0 \in \Z(H)$, $h_0=(v_0,t_0)$, pour tout $h \in H$, $h=(v,t)$, on
a $h_0h=hh_0$, donc
$\langle v_0,v\rangle =\langle v,v_0\rangle =-\langle v_0,v\rangle =0$.
La forme $\Crochet$ étant non dégénérée, $v_0=0$. Ainsi
$\Z(H)=(\bbF_q,+)$.
\item
Groupe dérivé:
Soient $h=(v,t)$, $h'=(v',t')$ deux éléments de~$H$, puisque
$[h,h']=\langle v,v'\rangle $, on a $[H,H]=\bbF_q$.
\item
Groupe de Frattini:
Pour tout $k \in \ZZ$, on a:
$(v,t)^k=(kv,kt)$, donc $(v,t)^p=(0,0)$, et $H$ est d'exposant $p$.
On en déduit $\Phi(H)=[H,H]$.\qedhere
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{enonce*}[remark]{Remarque} On définit aussi des groupes de Heisenberg sur un
corps fini,
de caractéristique éventuellement égale à $2$, à partir d'un
espace~$V$, muni d'une forme $\Crochet$ dégénérée \cite{Ger}.
\end{enonce*}

\Subsection*{Classification des \texorpdfstring{$p$}{p}-groupes extra-spéciaux}

\begin{enonce}{Théorème \label{classi}}
Soit $E$ un $p$-groupe extra-spécial d'ordre $p^{2n+1}\!$.~Alors $E$ est de
l'un des types suivants.\enlargethispage{1\baselineskip}

\begin{enumerate}
\item
Si $p \neq 2$:
\begin{enumerate}\itemindent-11pt
\item
Si $E$ est d'exposant $p$, il a comme présentation
$x_i$, $y_i$, \hbox{$(1\!\leq\! i\!\leq\! n)$}\vspace*{-3pt}
$$
x_i^p=y_i^p=[x_i,x_j]=[y_i,y_j]=[x_i,y_j]=1 \;\; (1 \leq i\neq j \leq n)
$$
$$[x_i,y_i]=z , [z,x_i]=[z,y_i]=1 \;\; (1\!\leq\! i\!\leq\! n).
$$
On dit alors que $E$ est {\rm de type $p_+^{2n+1}$}.
\item
Si $E$ est d'exposant $p^2\!$, il a comme présentation
$x_i$,~$y_i$,~\hbox{$(1\!\leq\! i\!\leq\! n)$}\vspace*{-3pt}
$$x_i^p=y_i^p=1\;\; (1 \leq i \leq n-1)
$$
$$ [x_i,x_j]=[y_i,y_j]=[x_i,y_j]=1 \;\; (1 \leq i\neq j \leq n)$$
$$[x_i,y_i]=z ,\; [z,x_i]=[z,y_i]=1\; \; (1\!\leq\! i\!\leq\! n),\;\;x_n^p=1 ,\;\; y_n^p=z.
$$
On dit alors que $E$ est {\rm de type $p_-^{2n+1}$.}
\end{enumerate}
\item
Si $p=2$:
\begin{enumerate}\itemindent-11pt
\item
Si $q_E$ est d'indice de Witt $n$, $E$ a comme présentation
$x_i$,~$y_i$, \hbox{$(1\!\leq\! i\!\leq\! n)$}\vspace*{-3pt}
\begin{gather*}
x_i^2=y_i^2=[x_i,x_j]=[y_i,y_j]=[x_i,y_j]=1\; \; (1 \leq i\neq j \leq
n),\\
[x_i,y_i]=z ,\; [z,x_i]=[z,y_i]=1 \;\; (1\!\leq\! i\!\leq\! n)
\end{gather*}
On dit alors que $E$ est {\rm de type $2_+^{2n+1}$.}
\item
Si $q_E$ d'indice de Witt $n-1$, $E$ a comme présentation
$x_i$, $y_i$, $(1\!\leq\! i\!\leq\! n)$
\begin{gather*}
x_i^2=y_i^2=1\;\; (1 \leq i \leq n-1)\\
[x_i,x_j]=[y_i,y_j]=[x_i,y_j]=1 \;\; (1 \leq i\neq j \leq n)\\
[x_i,y_i]=z , [z,x_i]=[z,y_i]=1 \;\; (1\!\leq\! i\!\leq\! n)
,\;\;x_n^2=z, \;\; y_n^2=z.
\end{gather*}
On dit alors que $E$ est {\rm de type
$2_-^{2n+1}$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enonce}
%\newpage
\skippointrait
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
Supposons d'abord $p \neq 2$. Distinguons deux cas suivant que
la forme $f_E$ est nulle ou non.
\begin{itemize}
\item
Si $f_E=0$, le groupe $E$ est d'exposant $p$.
Soient
\[
e_1,\ldots,e_n,\eps_1,\ldots,\eps_n
\]
des vecteurs de $V$, formant une
base symplectique, \ie tels que
$$a_E(e_i,e_j)=a_E(\eps_i,\eps_j)=0,$$
$$a_E(e_i,\eps_j)=\delta_{i,j}.$$
Soient $x_i$, $y_i$, ($1 \leq i \leq n$), des éléments
de $E$ vérifiant $\pi(x_i)=e_i$ et $\pi(y_i)=\eps_i$.
On a $$E=\langle x_i,y_i\mid 1 \leq i \leq n\rangle ,$$
et les relations du théorème~\ref{classi}~(a)~(i) sont satisfaites.
On vérifie qu'un groupe engendré par
$x_i$, $y_i$, pour $1 \leq i \leq n$, satisfaisant à ces relations
est d'ordre $p^{2n+1}$ et extra-spécial.
\item
Si $f_E \neq 0$
notons $H$ le noyau de $f_E$, c'est donc un hyperplan de $V$.
On a \hbox{$H^\perp \subset H$} et ${\dim }H^\perp=1$. On écrit:
$$H=W \oplus H^\perp,$$
$W$ est un sous-espace non dégénéré de dimension $2n-2$. On a
$V=W\oplus W^\perp$, avec $W^\perp=H^\perp \oplus D$;
$W^\perp$ est un plan hyperbolique.
Soient $e_1,\ldots,e_n,\eps_1,\ldots,\eps_n$, des vecteurs
de $V$, formant une base symplectique, tels que la sous-famille
$e_1,\ldots,e_{n-1},\eps_1,\ldots,\eps_{n-1}$ soit une base
de $W$, $e_n$ engendre $H^\perp$ et $\eps _n$ engendre $D$.
On a:
$$a_E(e_i,e_j)=a_E(\eps_i,\eps_j)=a_E(e_i,\eps_j)=0,$$
si $1\leq i\leq n$, $1\leq j\leq n$, avec $i \neq j$, et
$a_E(e_i,\eps_i)=1$
si $1\leq i\leq n$.
Soient $x_i$, $y_i$, ($1 \leq i \leq n-1$), des éléments
de $E$ vérifiant $\pi(x_i)=e_i$, $ \pi(y_i)=\eps_i$.
On a les relations
$$x_i^p=y_i^p=[x_i,x_j]=[y_i,y_j]=[x_i,y_j]=1 \;\; (1 \leq i\neq j \leq
n-1)$$
$$[x_i,y_i]=z ,\; [z,x_i]=[z,y_i]=1 \;\; (1 \leq i \leq n-1).$$
Enfin, soient $x'_n$, $y'_n$ des éléments de $E$ tels que
$\pi(x_n')=e_n$, $\pi(y_n')=\eps_n$.
On a
$$(x_n')^p=1,\;(y_n')^p \in \e \smallsetminus \{1\},\; [x_n',y_n']=z.$$
On écrit: $(y_n')^p =z^\alpha$, où $\alpha \in \bbF_p$.
Posons:
$$x_n=(x_n')^\alpha,\; y_n=(y_n')^{\alpha^{-1}},$$
on obtient alors
$$\pi(x_n)=\alpha e_n,\; \pi(y_n)=\alpha^{-1}\eps_n.$$
Puisque $W^\perp=\langle \pi(x_n),\pi(y_n)\rangle $, on a:
$$E=\langle x_i,y_i\mid 1 \leq i \leq n\rangle ,$$ et les relations du
théorème~\ref{classi}~(a)~(ii).
On vérifie qu'un groupe engendré par
$x_i$, $y_i$, $1 \leq i \leq n$ satisfaisant à ces relations
est d'ordre $p^{2n+1}$ et extra-spécial.
Donc, si $E$ est extra-spécial d'ordre
$p^{2n+1}$ avec $p>2$, alors $E$ est de l'un des deux types
précédents.
\end{itemize}

\item
On suppose maintenant que $p=2$.
Il y a deux types de formes quadratiques sur $\bbF_2$: celles d'indice de
Witt
$n$ pour lesquelles les sous-espaces totalement isotropes
maximaux sont de dimension $n$, et celles d'indice $n-1$,
pour lesquelles les sous-espaces totalement isotropes
maximaux sont de dimension $n-1$.
\begin{itemize}
\item
Supposons $q_E$ d'indice de Witt $n$.
Soient $X$ et $Y$ des sous-espaces totalement isotropes
maximaux de $V$ tels que $V=X \oplus Y$.
Soient $e_1,\ldots,e_n$, $\eps_1,\ldots,\eps_n$, des vecteurs
de
$V$, formant une base symplectique, tels que $e_1,\ldots,e_{n}$ soit
une
base de $X$ et $\eps_1,\ldots,\eps_{n}$ une base de $Y$.
Soient $x_i$, $y_i$, ($1 \leq i \leq n$), des éléments de $E$
vérifiant
$\pi(x_i)=e_i$, $\pi(y_i)=\eps_i$.
Alors $$E=\langle x_i,y_i\mid 1 \leq i \leq n\rangle ,$$ et les relations du
théorème~\ref{classi}~(b)~(i) sont satisfaites.
On vérifie qu'un groupe engendré par
$x_i$, $y_i$, $1 \leq i \leq n$ satisfaisant à ces relations
est d'ordre $2^{2n+1}$ et extra-spécial.
\item
Supposons $q_E$ d'indice de Witt $n-1$.
Soient $X$ et $Y$ des sous-espaces totalement isotropes maximaux de $V$
tels
que $X \cap Y =0$. Alors $X \oplus Y$ est un sous-espace non
dégénéré
de $V$, et $$V=(X \oplus Y)\perp V^0,$$
avec $V^0$ plan hyperbolique pour $a_E$ tel que $q_E(v) \neq 0$,
pour tout $v \in V^0$, $v \neq 0$.
Soient $x_i$, $y_i$, des éléments de $E$ vérifiant $\pi(x_i)=e_i$,
$\pi(y_i)=\eps_i$, pour $1 \leq i \leq n-1$, tels que $\pi(x_n)$,
$\pi(y_n)$
soit une base de $V^0$, et $a_E(\pi(x_i),\pi(y_j))=\delta_{i,j}$, pour
$1 \leq i,j \leq n$.
Alors $$E=\langle x_i,y_i\mid 1 \leq i \leq n\rangle ,$$ et les relations
du théorème~\ref{classi}~(b)~(ii) sont satisfaites.
On vérifie qu'un groupe engendré par $x_i$, $y_i$, $1 \leq i \leq n$
satisfaisant à ces relations est d'ordre $2^{2n+1}$ et extra-spécial.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{proof}

Le résultat suivant se déduit du théorème précédent et de la
structure de l'espace $V$ dans chaque cas.

\begin{enonce}{Corollaire \label{desc}}
Soit $E$ un groupe non abélien d'ordre $p^3$. Alors,
\begin{enumerate}
\item
si $p=2$,
$E$ est isomorphe au groupe $Q_8$ des quaternions ou au groupe diédral $D_4$;
\item
si $p\neq 2$,
$E$ est de l'un des deux types suivants:
\begin{itemize}
\item
$E$ est d'exposant $p$, noté $M(p)$, avec la présentation:
$$M(p)=\langle x,y \mid x^p=y^p=[x,[x,y]]=[y,[x,y]]=1\rangle $$
\item
$E$ est d'exposant $p^2$, noté $M_3(p)$, avec la présentation:
$$M_3(p)=\langle x,y \mid x^{p^2}=y^p=1 , \; yxy^{-1}=x^{1+p}\rangle .$$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enonce}

\Subsubsection*{Produits centraux de groupes d'ordre $p^3$}

\begin{enonce}{Définition \label{pc}}
Un groupe $G$ est {\rm produit central} des sous-groupes $H_i$, pour
$1\leq i \leq n$, si $G=H_1 \cdot H_2\cdots H_n$, et si, pour tout couple
d'entiers
$(i,j)$ tels que $1\leq i\neq j \leq n$, on a $[H_i,H_j]=\{1\}$.
\end{enonce}

\skippointrait
\begin{enonce*}[remark]{Remarques}
\begin{enumerate}
\item
$H_i$ est distingué dans $G$;
\item
si $i \neq j$, on a $(H_i \cap H_j) \subset \Z(G)$;
\item
tout produit central $H_1 \cdots H_n$ est une image du produit
$H_1 \times \cdots \times H_n$ par l'application naturelle:
$$(h_1, \ldots, h_n) \mto h_1 \cdots h_n.$$
\end{enumerate}
\end{enonce*}

\skippointrait
\begin{enonce}{Proposition \label{Zara}}
Soient $E_1,\ldots,E_n$ des $p$-groupes extra-spéciaux d'ordre
$p^3$.
Alors il n'y a, à isomorphisme près, qu'un unique produit central de
\hbox{$E_1,\ldots,E_n$} qui a un centre d'ordre $p$.
C'est un $p$-groupe extra-spécial,
de cardinal $p^{2n+1}$, noté
\hbox{$E_1 \cdots E_n$,} appelé \emph{le} produit central de
\hbox{$E_1,\ldots,E_n$.}

Ce groupe est le quotient de $E_1\times \cdots \times E_n$ par l'hyperplan
de $\bbF_p^n$ défini par exemple par
$\sum_{i=1}^{n}x_i=0$.
\end{enonce}

\begin{enonce}{Corollaire \label{cor:struc}}
Tout $p$-groupe extra-spécial est produit central de $p$-groupes non
commutatifs d'ordre $p^3$.
\end{enonce}

\Subsection*{Automorphismes des \texorpdfstring{$p$}{p}-groupes extra-spéciaux}

\subsubsection*{Premières propriétés}
Pour tout groupe $G$, on note $\Int(G)$
l'ensemble des automorphismes intérieurs de $G$. On a
$\Int(G)\simeq G/\Z(G)$.

\begin{enonce}{Proposition \label{Int}}
Soit $E$ un $p$-groupe extra-spécial. Alors $\Int(E)$
est constitué par les automorphismes de $E$ qui opèrent
trivialement sur~$E/\e$.
\end{enonce}
\begin{proof}
Soit $X$ l'ensemble des les automorphismes de $E$ qui opèrent
trivialement
sur $E/\e$. Il est immédiat que $\Int(E)\subset X$.
Puisque $|\Int(E)|=p^{2n}$, $p^{2n}$ divise $|X|$.
D'autre part, soient
\[
(x_i,y_i,\;1\leq i\leq n)
\]
des éléments
qui
relèvent une base de $V$. Tout élément $\sigma$ de $X$ vérifie
$\sigma (x_i)=x_i z^{\alpha_i}$ et $\sigma (y_i)=y_i z^{\beta_i}$, où
$\alpha_i,\beta_i \in \bbF_p$, puisque $\e=\Z(E)$.
La donnée des $\alpha_i,\beta_i$ déterminant $\sigma$, on obtient
$|X| \leq p^{2n}$.
Il s'ensuit que $|X|=p^{2n}$, et $\Int(E)=X$.
\end{proof}

\begin{enonce}{Proposition \label{next}}
Soit $W$ un espace vectoriel de dimension finie $2n$ sur le
corps $\bbF_q$, $(q=p^m)$, muni d'une forme bilinéaire $\Crochet$ alternée
non dégénérée.
Soient $f\colon W \to \bbF_q$ une forme linéaire non nulle
et
$$G\,:=\,\biggl\{g \in \SP(W) \biggm| f\circ g=f\biggr\}.$$
Alors $G=HS$, avec $H$ distingué dans $G$ et $H\cap S=\{1\}$, où
\begin{enumerate}
\item
si $p=2$, $H$ est un $2$-groupe abélien élémentaire d'ordre
$q^{2n-1}$;
\item
si $p\neq 2$,
\begin{itemize}
\item
si $n>1$, $H$ est un groupe de Heisenberg;
\item
Si $n=1$, $H$ est un $p$-groupe abélien élémentaire d'ordre $q$;

Si $n=1$, on a $S=\{1\}$ et si $n \neq 1$ on a $S\simeq\SP(2n-2,q)$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enonce}

\skippointrait
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
Notons $V_0$ le noyau de $f$, c'est un hyperplan de $W$. La forme
bilinéaire alternée $\Crochet$ étant non dégénérée, l'orthogonal
$V_0^\perp$ de $V_0$ est une droite, que l'on note $D$, et l'on a
$D \subset V_0$.
Choisissons un générateur $a$ de $D$ de telle sorte que $f(w)=\langle a,w\rangle $,
pour tout $w \in W$. C'est possible, car l'ensemble $\sL$ des formes
linéaires \hbox{$\phi:\;W \to \bbF_q$,} dont le noyau contient
$V_0$,
est un espace vectoriel de dimension $1$ sur $\bbF_q$, et l'on a
$$\sL=\biggl\{w \mto \langle \lambda a,w\rangle \;\biggm|\; \lambda \in \bbF_q
\biggr\}.$$
Soit $b \in W$, tel que $f(b)=1$. Le plan engendré par les vecteurs
$a$ et $b$ est donc un plan hyperbolique.
Soit $V_1$ un supplémentaire orthogonal de ce plan dans $W$
$$W=V_1 \oplus V_1^\perp, \; V_1^\perp=\langle a,b\rangle .$$
Soit $g \in G$, on a $g(V_0)=V_0$ et $g(V_0^\perp)=V_0^\perp$.
Il est clair que $G$ est l'ensemble des éléments de $\SP (W)$ qui
opèrent trivialement sur $W/V_0$.
On a $g(a)=\lambda a$, avec $\lambda \in \bbF_q$.
D'autre part,
$g(b)=b +\; v_0$, avec $v_0 \in V_0$, car $G$ opère trivialement sur
$W/V_0$. On en déduit
$$1=\langle a,b\rangle =\langle g(a),g(b)\rangle =\langle \lambda a, b+ v_0\rangle =\lambda.$$
Ainsi, si $g\in G$, il existe $v \in V_1$ et $t\in \bbF_q$, tels que
$g(b)=ta+v+b$, et l'on a $g(a)=a$.
\item
Soit $H$ l'ensemble des éléments de $\SP (W)$ qui opèrent
trivialement
sur $V_0/D$ et sur $W/V_0$.
On a $H \subset G$ d'après la caractérisation de $G$. Soit $h \in H$,
puisque $h \in G$, il existe $(v,t) \in V_1 \times \bbF_p$ tel que
$h(b)=ta+v+b$, et l'on a $h(a)=a$.
De plus, puisque $h$ opère trivialement sur $V_0/D$, on a, pour tout
$v_0 \in V_0$, $(h(v_0)-v_0) \in D$.
On va montrer que le couple $(v,t)$ détermine $h$ de manière unique.
Il reste à calculer les valeurs de $h$ sur $V_1$: soit $v_1 \in V_1$,
$h(v_1) \in V_0$, il existe donc $t_1 \in \bbF_q$ tel que
$h(v_1)=t_1a+v_1$, car $h$ opère trivialement sur $W/V_0$, et
l'on a
$(hv_1-v_1)\in D$.
On obtient
$$\langle h(b),h(v_1)\rangle =\langle ta+v+b,t_1a+v_1\rangle =-t_1+\langle v,v_1\rangle .$$
Donc, $t_1=\langle v,v_1\rangle $, et $h(v_1)=\langle v,v_1\rangle a+v_1$.
Comme $a$, $b$ et $V_1$ engendrent $W$, l'élément $h$ est uniquement
déterminé par le couple $(v,t)$ de $V_1 \times \bbF_q$.
On pose donc $h=h_{(v,t)}$.
Soit $\Phi$ l'application suivante:
\begin{align*}
\Phi:H &\to H(V_1,2\Crochet_1)\\
h_{(v,t)} &\mto (v,t).
\end{align*}
On vérifie facilement que $\Phi$ est un isomorphisme de $H$ sur le groupe de
Heisenberg de l'espace symplectique $(V_1,2\Crochet_1)$, où $\Crochet_1$ est la
restriction à $V_1$ de la forme $\Crochet$.
On peut noter que si $n=1$ on a $V_1=0$ et $H=\bbF_q$.
\begin{itemize}
\item
Détermination de $S$. Soit $g_1 \in \SP(V_1,\Crochet_1)$. Alors,
l'application linéaire
$g:W\to W$,
qui vérifie
$g_{|V_1}=g_1$ et $g_{|V_1^\perp}=\Id_{V_1^\perp}$ est
dans $\SP (W,\Crochet)$.
De plus, soit $w \in W$, $w=v_1+v_1'$, avec $v_1 \in V_1$,
$v_1' \in V_1^\perp$,
alors
$$g(w)=g(v_1)+v_1'$$
et donc
$$g(w)-w=g_1(v_1)-v_1 \; \in V_1.$$
D'après la caractérisation de $G$, on a $g\in G$.
\item
Soit $$S=\biggl\{g\in \SP(W,\Crochet) \biggm| g_{|V_1} \in \SP (V_1,\Crochet_1),\;
g_{|V_1^\perp} =\Id_{V_1^\perp}\biggr\}.$$
L'ensemble $S$ est donc un sous-groupe de $G$ et $S= \SP (V_1,\Crochet_1)$. Donc
si $n>1$ on obtient $S \simeq \SP (2n-2,q)$ et si $n=1$ on a $S=\{1\}$.
De plus $H \cap S =\{1\}$.
D'autre part, soit $g \in G$, pour tout $v_1 \in V_1$, on a
$g(v_1)=t_1a+w_1$, avec $t_1\in\bbF_q$, et
$w_1 \in V_1$. On vérifie facilement que l'application de $V_1$
dans
$V_1$ qui à $v_1$ associe $w_1$ appartient à $ \SP (V_1,\Crochet_1)$. On a
ainsi un morphisme surjectif de noyau $H$, donc $G=HS$ et $H$ est
distingué dans $G$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{enonce}{Proposition \label{suitexacte}}
Soit $E$ un $p$-groupe extra-spécial.
Notons $B$ le stabilisateur de $z$ dans $\Aut(E)$.

On a la suite exacte:
$$1\to B\to \Aut(E) \To\theta\bbF_p^\times \to 1.$$
En particulier, si $p=2$, on a $B=\Aut(E)$.
\end{enonce}
\begin{proof}
Seule la surjectivité de $\theta$ nécessite
une démonstration. Rappelons que $[x^k,y]=[x,y]^k$ dans un groupe de
classe $2$. Soit $k\in \bbF_p^\times$, on définit $\sigma \in \Aut(E)$
par $\sigma(x_i)=x_i^k$ et $\sigma(y_i)=y_i$. Alors $\sigma(z)=z^k$,
puisque $z=[x_i,y_i]$.
\end{proof}

\begin{enonce}{Théorème \label{main}}
Soit $E$ un $p$-groupe extra-spécial d'ordre $p^{2n+1}$.
\begin{enumerate}
\item
Si $p=2$, soit $\eps \in \{+,-\}$, on a $\Aut(E)/\Int(E)
\simeq \OO_\eps(2n,2)$,
si $E$ est de type $2_\eps^{2n+1}$, où $\OO_+(2n,2)$,
(\resp $\OO_-(2n,2)$, désigne le groupe orthogonal de dimension
$2n$
sur $\bbF_2$ d'une forme quadratique d'indice $n$, (\resp $n-1$).
\item
Si $p\neq 2$, on a
\begin{itemize}
\item
si $E$ est d'exposant $p$:
$$B/\Int(E)\simeq \SP(2n,p),$$
\item
si $E$ est d'exposant $p^2$:
$$B/\Int(E) \simeq HS,$$
où $H$ est distingué dans $B/\Int(E)$ avec $H\cap S =\{1\}$, et
si $n=1$, $S =\{1\}$ et $H$ est cyclique d'ordre $p$,
si $n>1$, $S \simeq \SP(2n-2,p)$ et $H$ est extra-spécial de type
$p_+^{2n-1}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
Soit $\sigma \in B$, alors $\sigma$ induit un automorphisme
$\overline{\sigma}$ de l'espace vectoriel $V=E/E'$, associé
à $E$, tel que $\overline{\sigma}\pi=\pi\sigma$, où $\pi$ est la
projection canonique de $E$ sur $V$.
Puisque, $\sigma \in B$, on a
$$[x,y]=\sigma([x,y])=[\sigma(x),\sigma(y)].$$
On en déduit
\begin{align*}
a_E(\overline{\sigma}(\pi x),\overline{\sigma}(\pi y))&=
a_E(\pi(\sigma x),\pi(\sigma y))\\
&=\zeta([\sigma(x),\sigma(y)])
=\zeta([x,y])=a_E(\pi x,\pi y),
\end{align*}
donc:
$$\overline{\sigma}\in \SP(V,a_E).$$
On a d'autre part:
$$x^p=\sigma(x^p)=(\sigma(x))^p.$$
On en déduit, si $p\neq 2$:
$$f_E(\overline{\sigma}\pi x)=f_E(\pi \sigma x)=\zeta(\sigma
x)^p=\zeta(x^p)=f_E(\pi x),$$
donc
$$f_E\circ \overline{\sigma}=f_E.$$
Si $p=2$, on a de même
$q_E\circ \overline{\sigma}=q_E$.
Il existe donc un morphisme $\lambda$ tel que
\begin{itemize}
\item
si $p>2$, $\lambda \colon B \to \SP (V,a_E)$;
\item
si $p=2$, $\lambda \colon B \to \OO (V,q_E)$,
\end{itemize}
défini par $\lambda (\sigma)=\overline{\sigma}$, pour tout $\sigma \in
B$. D'après la proposition~\ref{Int} que
le noyau de $\lambda$ est $\Int(E)$. Montrons la surjectivité de $\lambda$.
Supposons $p=2$. Soit $g \in \OO (V,q_E)$, et soit
$(x_i,y_i)$, $(1\leq i\leq n)$, un système
générateur de
$E$. Soient $x_i'$, $y_i'$ des éléments de $E$ tels que
$\pi(x_i')=g(\pi x_i)$, $\pi(y_i')=g(\pi y_i)$, pour
$1\leq i\leq n$.
On vérifie que les $x'_i$, $y'_i$ satisfont aux les mêmes relations que les
$x_i$, $y_i$.
Soit $\sigma$ l'application définie par $\sigma(x_i)=x_i'$,
$\sigma(y_i)=y_i'$, pour $1\leq i\leq n$.
Cette application se prolonge en un automorphisme de $E$, noté encore
$\sigma$, et l'on a $\lambda(\sigma)=g$. Donc $\lambda$ est
surjective.
Si $p\neq 2$ et $E$ d'exposant $p$, la démonstration est la même
que dans
le cas précédent.
Si $p\neq 2$ et $E$ d'exposant $p^2$,
on va montrer que $\lambda(B)=G$,
où
$$G=\biggl\{g \in \SP (V,a_E) \;\biggm|\;f_E\circ g=f_E\biggr\}.$$
Soit $\sigma \in B$, on a $f_E\circ \lambda(\sigma)=f_E$, donc
$\lambda(\sigma)\in G$.
Soit $g\in G$. On pose $V_0=\ker f_E$. On a $g(V_0)=V_0$, puisque
$f_E\circ g=f_E$ et $g(V_0^\perp)=V_0^\perp$. Soit $(x_i,y_i)$,
$(1\leq i\leq n)$, un système générateur de $E$ qui
vérifie les relations du théorème~\ref{classi}.
Comme $V_0^\perp=\langle \pi(x_n)\rangle $, on déduit de la démonstration de
la proposition~\ref{next}
que $g(\pi(x_n))=\pi(x_n)$.
Soient $x_i'$, $y_i'$ des éléments de $E$ tels que $\pi(x_i')=g(\pi
x_i)$,
$\pi(y_i')=g(\pi y_i)$, pour $1\leq i\leq n$.
On obtient
$$E=\langle x_i',y_i \mid 1\leq i\leq n\rangle ,$$
et les relations du théorème~\ref{classi}~(a)~(ii) sont satisfaites.
Il existe
donc un
élément $\sigma$ de $\Aut E$, tel que, pour tout $i\in
\{1,\ldots,n\}$,
$\sigma(x_i)=x_i'$, $\sigma(y_i)=y_i'$.
On vérifie que $\sigma \in B$ et $\lambda (\sigma)=g$. Ainsi,
$\lambda(B)=G$.
Et, puisque $\ker\lambda\simeq\Int(E)$, on a
$$B/\Int(E)\simeq G.$$
On applique alors les propositions~\ref{next} et \ref{suitexacte} pour
avoir la structure de $B/\Int(E)$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\Subsection*{Les représentations des \texorpdfstring{$p$}{p}-groupes extra-spéciaux}

Pour déterminer les représentations des $p$-groupes extra-spéciaux,
nous allons utiliser les résultats suivants, qui sont démontrés par
exemple dans \cite{Go}.

\begin{enonce}{Définition \label{neut}}
Un corps $K$ est un {\rm corps neutralisant} pour $G$, si
l'algèbre de groupe de $G$ sur $K$, notée $KG$, est isomorphe à une
somme directe d'algèbres de matrices sur $K$.
\end{enonce}

\begin{enonce}{Théorème \label{modules}}
Soit $G$ un groupe fini, $K$ un corps dont la
caractéristique ne divise pas l'ordre de $G$, et $r$ le nombre de
classes de conjugaison de $G$.

Il y a au plus $r$ classes de $KG$-modules simples. Si $K$ est un corps
neutralisant pour $G$, en particulier si $K$ est algébriquement clos,
il
y a exactement $r$ classes de $KG$-modules simples.

Soient alors $d_1,\ldots,d_r$ les degrés des représentations
simples
non isomorphes de $G$.
L'algèbre $KG$ est isomorphe à la somme directe des $r$ algèbres
simples
$\End_K\bigl(K^{d_i}\bigr)$, et l'on a:
$$|G|=d_1^2+d_2^2+\cdots+d_r^2.$$
\end{enonce}

\begin{enonce}{Théorème \label{modulesII}}
Soit $G=G_1\times\cdots\times G_n$ un groupe fini et $K$ un corps
neutralisant
pour chacun des $G_i$.

Si $V_i$ est un $KG_i$-module simple, $(1\leq i\leq n)$, alors
$V_1\otimes \cdots \otimes V_n$ est un $KG$-module simple.
Réciproquement, tout $KG$-module simple est de cette forme.
\end{enonce}

\begin{enonce}{Théorème \label{modulesIII}}
Soit $G=H_1\cdots H_n$ un produit central de groupes finis $H_1,\ldots$, $H_n$. Soient $G^\ast:=H_1\times\cdots\times H_n$, et $N$ le noyau du
morphisme
$\alpha\colon G^\ast\to G$.

Il y a alors une correspondance bijective entre l'ensemble des
représentations de $G$ sur un corps $K$ et l'ensemble des
représentations de $G^\ast$ sur $K$, qui ont $N$ dans leur noyau.
\end{enonce}

\begin{enonce}{Théorème \label{irrextras}}
Soit $E$ un $p$-groupe extra-spécial d'ordre $p^{2n+1}$. Soit $K$
un corps de caractéristique nulle ou première à $p$, qui
contient une racine
primitive $p^2$-ème de $1$.

Alors
\begin{enumerate}
\item
$K$ est un corps neutralisant pour $E$;
\item
$E$ a exactement $p^{2n}+p-1$ représentations
irréductibles
non équivalentes sur $K$, $p^{2n}$ sont de degré $1$ et $p-1$
de degré $p^n$.
\end{enumerate}
\end{enonce}
\begin{proof} La première étape consiste à déterminer les
classes de conjugaison de $E$.
Puisque le centre de $E$ est d'ordre $p$, il y a $p$ classes
de conjugaison de cardinal $1$.
Si $x \in E\smallsetminus \Z(E)$, la classe de $x$, notée $\cl(x)$, est
$\{xz^{\alpha} \mid \alpha \in \bbF_p \}$.
Donc $|\cl(x)| =p$, et $E\smallsetminus \Z(E)$ contient
$\sfrac{(p^{2n+1}-p)}{p}=p^{2n}-1$ classes de conjugaison.
Ainsi, $E$ contient $p^{2n}+p-1$ classes de conjugaison.

Soit $\overline{K}$ une clôture algébrique de $K$.
D'après \ref{modules}, $E$ a $p^{2n}+p-1$ représentations irréductibles
non
équivalentes sur $\overline{K}$, et $p^{2n}$ de celles-ci sont
de degré $1$ puisque $|E /E'|=p^{2n}$.
Il est clair que les représentations de degré $1$ de $E$ s'écrivent
dans $K$. On va maintenant construire $p-1$ représentations
inéquivalentes
de degré différent de $1$ de $E$.
Soit $\omega$ une racine primitive $p^2$-ème de~$1$.

\smallskip
-- Nous allons d'abord considérer le cas des groupe d'ordre $p^3$.

\quad$\bbullet$ Supposons $p=2$. Le groupe $E$ est de type $D_4$ ou $Q_8$.
Alors les matrices
$$\left(\begin{matrix}\omega&0\\
0&\omega^{-1}\end{matrix}\right)
\;\;\text{ et }\;\;
\left(\begin{matrix}
0&1\\
\eps&0
\end{matrix}\right)
$$
engendrent un sous-groupe de $\GL(2,K)$, isomorphe à $D_4$ si
$\eps=1$ et
à $Q_8$ si $\eps=-1$. Ainsi, $K^2$ est un $KE$-module simple.

\begin{enonce*}[remark]{Remarque} Dans le cas de $D_4$, on peut prendre les matrices
suivantes:
$$\left(\begin{matrix}
0&1\\
-1&0
\end{matrix}\right)
\;\;\text{ et }\;\;
\left(\begin{matrix}
0&1\\
1&0
\end{matrix}\right).$$
Ces matrices, étant écrites sur $\ZZ$, donnent des représentations
simples de $D_4$ pour n'importe quel corps premier différent de $\bbF_2$,
et
en particulier pour $\QQ$.
\end{enonce*}

\quad$\bbullet$ Supposons $p\!\ne\! 2$. Le groupe $E$ est de type $M_3(p)$ ou $M(p)$.~On~a
$$M_3(p)=\langle x,y\mid x^{p^2}=y^p=1,\;yxy^{-1}=x^{1+p}\rangle $$
Soient $\rho_i$, $(1\leq i\leq p-1)$, des homomorphismes
$$\rho_i \colon E\to \GL(p,K),$$
qui vérifient
\[
\rho_i(x)\!=\!
\begin{pmatrix}
\omega^i&\;&\;&\;&\;\cr
\;&\ddots&\;&\;&\;\cr
\;&\;&\omega^{i(1+kp)}&\;&\;\cr
\;&\;&\;&\ddots&\;\cr
\;&\;&\;&\;&\omega^{i(1+(p-1)p)}\end{pmatrix}\!,\
\rho_i(y)\!=\!
\begin{pmatrix}
0&\cdots&\cdots&0&1\cr
1&\ddots&\;&\;&0\cr
0&\ddots&\ddots&\;&\vdots\cr
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\cr
0&\cdots&0&1&0
\end{pmatrix}\!.
\]
On vérifie que $\rho_i$ établit un isomorphisme entre $E$ et un
sous-groupe
du groupe $\GL(p,K)$ qui ne stabilise aucun sous-espace propre de
$K^p$.
Donc, chaque $\rho_i$ est une représentation
irréductible de $E$.
Comme $\rho_i(x^p)=\omega^{ip}=\rho_i(z)$ est une matrice scalaire, les
représentations $\rho_i$ et $\rho_j$ sont non
équivalentes si
$i\neq j$.
Chaque $\rho_i$ donne ainsi une représentation
irréductible
de $E$ sur $\overline{K}$, de degré $p$. Nous avons donc obtenu $p-1$
représentations irréductibles de $E$ sur $\overline{K}$,
de degré différent de~$1$.

On a\vspace*{-3pt}
$$M(p)=\langle x,y\mid x^p=y^p=[x,[x,y]]=[y,[x,y]]=1\rangle.$$
Posons $\eta=\omega^p$. On remarque que, dans ce cas, la présence d'une
racine $p$-ème de l'unité suffit.
Soient $\rho_i$, $(1\leq i\leq p-1)$, des homomorphismes\vspace*{-3pt}
$$\rho_i \colon E\to \GL(p,K),$$
qui vérifient\vspace*{-3pt}
$$\rho_i(x)=
\begin{pmatrix}
1&\;&\;&\;&\;\cr
\;&\ddots&\;&\;&\;\cr
\;&\;&\eta^{ki}&\;&\;\cr
\;&\;&\;&\ddots&\;\cr
\;&\;&\;&\;&\eta^{(p-1)i)}\end{pmatrix},
\qquad\rho_i(y)=
\begin{pmatrix}
0&\cdots&\cdots&0&1\cr
1&\ddots&\;&\;&0\cr
0&\ddots&\ddots&\;&\vdots\cr
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\cr
0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}.$$
Et, $\rho_i(z)=\eta^i\; \Id$, car $z=[x,y]$. On conclut alors comme
précédemment.

-- Cas général:
Pour déterminer toutes les représentations des $p$-groupes
extra-spéciaux, on utilise le fait que ces groupes sont des produits
centraux
de $p$-groupes extra-spéciaux d'ordre $p^3$ d'après la
proposition~\ref{prop:struc}, ainsi que
les théorèmes~\ref{modulesII} et \ref{modulesIII}. Comme la dimension
sur $K$ d'un produit tensoriel d'espaces vectoriels est le
produit de leurs dimensions, la conclusion résulte immédiatement de
l'étude des représentations des $p$-groupes extra-spéciaux d'ordre
$p^3$.
\end{proof}

\Subsubsection*{Modèles de représentations irréductibles de $p$-groupes
extra-spéciaux}

\begin{enonce}{Théorème \label{Ind}}
Soit $E$ un $p$-groupe extra-spécial. Soit $A$ un sous-groupe commutatif
maximal de $E$ et $\psi$ une représentation non triviale de $\Z(E)$
sur $\CC$.

Si $\alpha$ est une représentation linéaire de $A$ qui
vérifie $\alpha_{|\Z(E)}=\psi$, alors la représentation
induite de $A$ à $E$, notée $\alpha^E$, est irréductible.
\end{enonce}
\begin{proof}
On a $\Z(E)\subset A$ et $|A|=p^{n+1}$, puisqu'un sous-espace isotrope
maximal de $E$, pour $a_E$, est de dimension $n$. Soit $\alpha$ une
représentation linéaire de $A$, qui vérifie:
$$\alpha_{|\Z(E)}=\psi\;.$$
Soit $\alpha^E$ la représentation induite de $\alpha$ de $A$ à
$E$.
Elle est de degré $[E\;\colon A]=p^n$. Si $\alpha^E$ était
réductible,
alors $\alpha^E$ serait somme de représentations de degré $1$
de $E$,
et l'on aurait $z \in \ker (\alpha^E)$, car toutes les
représentations
de degré $1$ de $E$ ont $z$ dans leur noyau.
Or, puisque $\alpha (z)\neq 1$ (car $\psi$ n'est pas triviale), on a
$\alpha^E (z)\neq 1$, et $\alpha^E$ est irréductible.
\end{proof}

\begin{enonce}{Corollaire \label{CorInd}}
Les représentations irréductibles de degré $>1$ d'un
$p$-groupe extra-spécial $E$
sont fidèles et peuvent être obtenues comme induites de
représentations linéaires d'un sous-groupe commutatif maximal
de
$E$, dont la restriction à $\Z(E)$ est un caractère non trivial de
$\Z(E)$.
\end{enonce}

\skpt
\begin{proof}
Soit $A$ un sous-groupe maximal de $E$. Pour $i\in \{1,\ldots,p-1\}$, soit
$\alpha_i$ une représentation linéaire de $A$, dont la
restriction
à $\Z(E)$ est égale à un caractère $\psi_i$ non trivial de
$\Z(E)$.
(On obtient tous les caractères non triviaux de $\Z(E)$ de cette
manière.)

Soit $\alpha_i^E$ la représentation induite de $\alpha_i$ de $A$
à
$E$. Elle est de degré~$p^n$. Puisque le caractère $\psi_i$ n'est pas
trivial, on a $\Z(E)\cap \ker(\alpha_i^E)=\{1\}$.
On en déduit $\ker(\alpha_i^E)=\{1\}$, \ie $\alpha_i^E$ est fidèle.
D'après la proposition précédente, $\alpha_i^E$ est
irréductible.
Si $i\neq j$, les représentations $\alpha_i^E$ et $\alpha_i^E$
ne sont pas équivalentes.
Nous avons ainsi obtenu $p-1$ représentations
irréductibles
de $E$ de degré $1$ et non équivalentes.
Toutes les représentations irréductibles de degré
$1$
de $E$ sont donc de cette forme.
\end{proof}

\Subsection*{Les représentations des groupes de Heisenberg}

Les résultats précédemment obtenus pour les représentations des
$p$-groupes extra-spéciaux admettent des analogues dans le cas des
groupes de Heisenberg. Le théorème suivant est l'analogue sur les
corps finis du théorème de Stone von Neumann\footnote{Le théorème
de Stone von Neumann dit que le groupe de Heisenberg réel possède
une seule représentation unitaire continue irréductible qui est
l'identité sur le centre (la réalisation classique de cette
représentation est appelée la représentation de
Schrödinger). On obtient donc une représentation projective de
$\SP(2n,\RR)$ qui fournit une représentation (dite {\sl métaplectique})
unitaire continue du
revêtement à deux feuillets de
$\SP(2n,\RR)$, appelé {\sl groupe métaplectique} (voir \cite{Sh},
\cite[chap.\,5]{Wall},
\cite{LV}, \cite{Mac}, \cite{Neum} et \cite{KM}). Une
généralisation aux corps localement compacts non discrets a été
réalisée par André Weil dans \cite{Wei} (voir aussi \cite{MVW}).}.

\begin{enonce}{Théorème-Définition \label{SvN}}
Soient $F$ un corps fini de caractéristique impaire et
$\psi \colon F \to \CC^\times$ un caractère non trivial de
$F$
et $V$ un espace vectoriel de dimension finie sur $F$, muni d'une forme
alternée non dégénérée $\Crochet$.

Alors à isomorphisme près, il existe une unique représentation
irréductible
$(\rho,S)$ du groupe de Heisenberg $H:=H(V)$ (associé à $V$)
telle que:
$$\rho\bigl((0,t)\bigr)=\psi (t) \Id_S \;\;\;\;\forall t \in F.$$
La représentation $(\rho,S)$ est appelée la {\rm représentation de
Weil} de $H(V)$ associée à $\psi$.
\end{enonce}
\begin{proof}
Pour $t\in F$, nous notons $\Tr(t)$ la trace de $t$ sur $\bbF_p$,
\ie la trace de l'endomorphisme de $\bbF_p$-espaces vectoriels $a\mto
ta$. Comme le groupe de Galois $\Gal(F/\bbF_p)$ de $F$ sur $\bbF_p$
est engendré par l'automorphisme de Frobenius $t\mto t^p$, il
vient
$$\Tr(t)=\sum_{\sigma\in\Gal(F/\bbF_p)}\sigma(t)
=\sum_{i=0}^{[F:\bbF_p]-1}t^{p^i}.$$
Soit maintenant $\zeta$ une racine primitive $p$-ième de l'unité dans $\CC$.
On définit une représentation $\psi$ de degré $1$ (\ie un
caractère) de $F$ sur~$\CC$ par
$$\psi(t):=\zeta^{\Tr(t)}.$$
Comme l'application trace est non dégénérée (\ie $\Tr(ta)=0$ pour
tout $t\in F$ si et seulement si $a=0$), l'application $t\mto
(t'\mto\zeta^{\Tr(tt'})$ définit un isomorphisme de $F$ sur
$\Hom(F,\CC^\times)=:\hat F$.
Par conséquent, le caractère $\psi$ est de la forme
$\psi(t)=\zeta^{\Tr(at)}$ pour un certain $a\in F\backslash\{0\}$.

Nous notons $(\;|\;)$ le produit scalaire usuel sur $F^n$:
$$(x|y):=\sum_{i=1}^n x_iy_i.$$
La trace et le produit scalaire étant non dégénérés,
l'application \hbox{$z\mto\hat z$}, définie par
$$\hat z(y):=\zeta^{\Tr((x|y))},$$ est un isomorphisme de $F^n$ sur
$\Hom(F^n,\CC^\times)=:\widehat{F^n}$.

Nous identifions $V$ à $F^{2n}$.
La forme $\langle\,,\,\rangle$ définie par
$$\langle v,v'\rangle:=\sum_{i=1}^nv_iv_{n+i}'-v_{n+i}v_i'$$
est une forme alternée non dégénérée sur $V$. La loi de groupe
dans $H$ s'écrit alors:
$$(x,y,t)(x',y',t')=(x+x',y+y',t+t'+\tfrac12((x|y')-(y|x'))).$$
Nous désignons par $\CC^{F^n}$ l'espace des fonctions de $F^n$ dans
$\CC$.
Nous définissons une représentation $\rho=\rho_\psi$ de $H$ (d'espace
$\CC^{F^n}$) par
$$\rho(x,y,t)f(z)\,:=\,\psi\Bigl(t+(y|z)+\frac12(x,y)\Bigr)f(z+x),$$
pour tout $f\in\CC^{F^n}$.

Nous allons d'abord vérifier que le support du caractère de $\rho$ est le
centre de $H$.
Soit $(\delta_{u})_{u\in F^n}$ la base de $\CC^{F^n}$ définie par
$\delta_u(z):=\delta_{u,z}$, où $\delta_{u,z}$ est le symbole de
Kronecker. Nous obtenons
\begin{align*}
\rho(x,y,t)\delta_u(z)&=\psi(t+(y|z)+\frac12(x|y))\delta_u(z+x)\\
&=
\psi(t +(y|u-x)+\frac12(x|y)\delta_{u-x}(x).
\end{align*}
Il s'ensuit que le
caractère $\chi_\rho$ de $\rho$ est nul si $x\ne 0$.
D'autre part,
$$\chi_{\rho}(0,y,t)=\sum_{z\in F^n}\psi(t+(y|z))=\psi(t)
\sum_{\hat z\in\widehat{F^n}}\hat z(y)=|F^n|\psi(t)\delta_{y,0}.$$
Nous avons donc $\chi_{\rho}(0,y,t)=0$ si $y\ne 0$ et
$|\chi_{\rho}(0,0,t)|=|F^n|$.

D'autre part, puisque
$$\frac{1}{|H|}\sum_{(x,y,t)\in H}|\chi_\rho(x,y,t)|^2=\frac{1}{
|F^{2n+1}|}\sum_{t\in F}|F^n|^2=1,$$
la représentation $\rho$ est irréductible.

Nous sommes maintenant en mesure de décrire la classification des
représentations irréductibles de $H$. Parmi celles-ci, les
représentations de degré $1$ sont des morphismes à valeur dans le
groupe commutatif~$\CC^\times$, donc sont triviales sur le groupe
dérivé de $H$, lequel est l'ensemble des éléments de la forme
$(0,0,t)$ avec $t\in F$. Les représentations de $H$ de degré $1$ sont
donc les représentations $\eta_\chi$ définies par
$\eta_\chi(v):=\chi(v)$, avec $\chi\in\widehat {F^{2n}}$. Rappelons que
deux représentations irréductibles sont isomorphes si et seulement si
elles ont même caractère (voir \cite[I.2.3.\,Cor.\,2]{Se1}). Les représentations
$\rho_{\psi}$ et $\rho_{\psi'}$ (\resp $\eta_{\chi}$ et $\eta_{\chi'}$) ne
sont donc pas isomorphes si $\psi\ne\psi'$ (\resp $\chi\ne\chi'$).

On a
$$\sum_{\psi\in\hat F\backslash\{1\}}\deg(\rho_\psi)^2
+\sum_{\chi\in\widehat{F^{2n}}}\deg(\eta_\chi)^2=
(|F|-1)|F^n|^2+|F^{2n}|=|H|.$$
Comme la somme des carrés des degrés de toutes les représentations
irréductibles d'un groupe fini est égale au cardinal du groupe
(voir \cite[I.2.4.\,Cor.\,2]{Se1}), nous
en déduisons que les représentations irréductibles de $H$ sont les
$\eta_\chi$ pour $\chi$ parcourant $\widehat{F^{2n}}$ et les $\rho_\psi$,
pour $\psi$ parcourant $\hat F\backslash\{1\}$.
\end{proof}

Soit $A_0$ un sous-groupe de $V$. Nous posons
$$A_0^\perp=\Bigl\{\;v\in V \;\Bigm|\; \forall a \in A_0 \;\;\;
\psi\bigl(\langle v,a\rangle \bigr)=1\;\Bigr\}.$$
Nous supposons que $A_0=A_0^\perp$.
Soit alors
$$A:=A_0\times F \,\subset H.$$
L'image de $A$ dans $H/ \ker \psi$ est un sous-groupe abélien
maximal de $H/ \ker \psi$.

\subsubsection*{Modèle de Schrödinger}
Soit $V=X\;\oplus\;Y$ une {\sl polarisation complète} (\ie $X$ et $Y$
sont des sous-espaces totalement isotropes maximaux de $V$).
Posons $A_0=X$.
Nous étendons
le caractère $\psi$ en un caractère $\psi_X$ de $A=X+\Z(H)$, en
faisant agir $\psi_X$ trivialement sur $X$.
Alors~$\rho$ peut être réalisée comme la représentation induite
de
$\psi_X$ de $A$ à $H$.
L'espace $S$ de cette représentation induite est formé des fonctions
$f\colon H\to \CC$ telles que:
$$f(ah)=\psi(a)f(h)\;\;\;\;\forall a \in A,\;\forall h \in H,$$
et, l'action est donnée par la translation à droite
$\rho(h)f(h')=f(h'h)$.
Si $q=p$ on retrouve la situation du théorème~\ref{Ind}.

Nous allons déduire de $\rho_\psi$ une représentation projective
$\alpha$ de $\SP(V)$
$$\alpha \colon \SP(V) \to \PGL(S)\;.$$
En effet, le groupe symplectique $\SP(V)$ agit sur $H$ par:
$$g\cdot(v,t)=(gv,t),\;\;\text{
pour $g\in \SP(V)$, $v\in V$ et $t\in F$.}$$
Puisque l'action de $\SP(V)$ sur $H$ est triviale sur $\Z(H)$, elle
conserve chaque caractère du centre.
Pour $g\in \SP(V)$, l'application $h\mto \rho_\psi(gh)$, notée
$\rho_\psi\circ g$, est une représentation de $H$ dans $S$, de
caractère
central $\psi$, vérifiant les conditions du théorème~\ref{SvN}.
Elle est donc équivalente
à la représentation $\rho_\psi$, \ie il existe $M_g\in
\GL(S)$ tel que
\begin{equation}
M_g \;\rho_\psi \;M_g^{-1}=\rho_\psi\circ g.\label{*}
\end{equation}
La représentation $\rho_\psi$ étant irréductible, le lemme de Schur
montre que $M_g$ est bien déterminé, aux homothéties près. On en
déduit une représentation projective de $\SP(V)$.
Notons $\widetilde{\SP}_\psi$ le sous-groupe de
$\SP(V)\times\GL(S)$ formé des couples $(g,M_g)$ vérifiant
l'équation (\ref{*}).
À isomorphisme près, le groupe $\widetilde{\SP}_\psi$ est indépendant
de la
réalisation de $\rho_\psi$.
On a la suite exacte
\begin{equation}
1\to\CC^\times\to
\widetilde{\SP}_\psi\to
\SP(V)\to 1.\label{**}
\end{equation}
Le groupe $\widetilde{\SP}_\psi$ est appelé le {\sl groupe
métaplectique}.

Le choix des opérateurs $M_g$ détermine un $2$-cocycle sur
$\SP(V)$ à
valeurs dans $\CC^\times$. En fait cette extension est scindée: puis\-que
$$H^2(\SP(V),\CC^\times)=\{0\},$$ il existe un homomorphisme
$\SP(V)\to \widetilde{\SP}_\psi$ qui scinde la suite exacte
(\ref{**}).
De plus, à l'exception du cas $F=\bbF_3$, $\dim_F V=2$, cet
homomorphisme
est unique. En effet, sauf dans ce cas, le groupe symplectique est
engendré
par ces commutateurs, et n'a donc pas de caractère non trivial. On
exclut
provisoirement ce cas.
Le composé de l'homomorphisme de $\SP(V)$ dans
$\widetilde{\SP}_\psi$
qui scinde la suite exacte (\ref{**}) avec la projection de
$\widetilde{\SP}_\psi$ sur
$\GL(S)$ est une représentation de $\SP(V)$, appelée
{\rm représentation de
Weil} (voir \cite {Ger}, \cite {Ho}, \cite{PS}, \cite{AMR}),
notée $\omega_\psi$
\[
\begin{array}{rlclc}
\omega_\psi\colon \SP(V)&\dpl\to&
\widetilde{\SP}_\psi&\dpl\to&
\GL(S)\\
g &\dpl\mto& (g,M_g)&\dpl \mto& M_g.
\end{array}
\]
Dans le cas particulier où $F=\bbF_3$, $\dim_F V=2$, on doit choisir
l'homomorphisme de $\SP(V)$ dans $\widetilde{\SP}_\psi$. (On le
choisira
tel que la représentation $\omega_\psi$ qui s'en déduit soit
donnée
sur les éléments unipotents supérieurs par les formules usuelles
quand
on la réalise dans un modèle de Schrödinger).
Il existe une construction élémentaire de la représentation de Weil
(voir \cite{Neuh}).

\subsubsection*{Le cas d'un {$2$}-groupe extra-spécial de type
$2_+^{2n+1}$}

Nous allons voir que la situation pour un {$2$}-groupe
extra-spécial de type {$2_+^{2n+1}$} présente des analogies avec celle
d'un groupe de Heisenberg, que nous venons d'étudier.
Résumons dans le théorème suivant les résultats obtenus.

\begin{enonce}{Théorème \label{deuxdeux}}
Soit $E$ un $2$-groupe extra-spécial de type $2_+^{2n+1}$. Alors~$\QQ$
est un
corps neutralisant pour $E$ et il existe, à équivalence
près, une
unique représentation irréductible sur $\QQ$ et de
degré
différent de $1$. Cette représentation est fidèle.
\end{enonce}

En particulier, le théorème~\ref{deuxdeux} fournit un analogue dans la
situation considérée ici du théorème de Stone von Neumann.

Notons $\rho$ la représentation définie par le
théorème~\ref{deuxdeux} et $S$ le $\QQ E$-module qui lui correspond.
Nous allons, comme
ci-dessus, déduire de~$\rho$ une représentation projective de
$\Aut(E)$.
Pour tout $g\in \Aut(E)$, l'application $x\mto \rho(gx)$, notée
$\rho \circ g$, est une représentation irréductible de~$E$.
Puisque la représentation $\rho \circ g$ est équivalente
à la représentation~$\rho$, il existe $M_g\in \GL(S)$ tel que
$$
M_g \;\rho \;M_g^{-1}=\rho\circ g.$$
Comme $\rho$ est irréductible, le lemme de Schur
montre que $M_g$ est bien déterminé, aux homothéties près. On a
donc
un homomorphisme $$\alpha \colon \Aut(E) \to \PGL(S),$$
où $\PGL(S)$ désigne le quotient de $\GL(S)$ par son centre (le groupe
$\PGL(S)$ est appelé le {\sl groupe projectif linéaire}).

De plus $\alpha$ est injectif, puisque $\rho$ est fidèle. Notons $A$
l'image de l'algèbre $\QQ E$
dans $\End_\QQ(S)$. On identifie $E$ à son image dans $A$.
Il~existe un sous-groupe $M$ du
normalisateur de $E$ dans $A^\ast$, tel
que:
$M/\Z(E)\sim \Aut(E)$.
Par analogie avec le cas du groupe de Heisenberg, le groupe $M$ est
appelé {\sl groupe métaplectique}.
On en déduit la suite exacte
$$1\to E \to M \to \Aut(E)/\Int(E)
\to 1.$$
Puisque le quotient
$\Aut(E)/\Int(E)$ est isomorphe au groupe orthogonal~$\OO_+(2n,2)$,
on a la suite exacte
$$1\to E \to M \to \OO_+(2n,2)
\to 1.$$
Cette suite exacte n'est pas scindée.

\begin{enonce*}[remark]{Application au groupe de Conway} En 1967, John~Leech a
construit dans \cite{L} un réseau $\Lambda$ ({\sl le réseau de
Leech}) de $\RR^{24}$ euclidien en liaison avec le problème d'empilement
de sphères. Le réseau $\Lambda$ est entier, pair (\ie le carré de la
distance entre deux points de $\Lambda$ est toujours un entier pair)
et unimodulaire. En étudiant le groupe des automorphismes de
$\Lambda$, John Conway découvrit l'année suivante trois nouveaux
groupes finis simples (voir \cite{Co1} et \cite{Co2}). Le groupe des automorphismes de
$\Lambda$, noté $.\OO$ n'est pas un groupe simple, mais son centre est
$\{-1,+1\}$, et
le groupe quotient $.1:=.\OO/\{-1,+1\}$ est un groupe simple d'ordre
$2^{21}3^95^47^211\cdot 13\cdot 23$. Parmi les facteurs de composition des
stabilisateurs de sous-réseaux, John Conway découvrit deux autres
groupes finis simples: le groupe noté $.2$ d'ordre $2^{18}3^65^37\cdot 11\cdot 23$
et le groupe noté $.3$ d'ordre $2^{10}3^75^37\cdot 11\cdot 23$.

Posons $V:=\Lambda/2\Lambda=\Lambda\otimes_{\ZZ}\ZZ/2\ZZ$.
C'est un $\bbF_2$-espace vectoriel de dimension $24$. Il est
naturellement muni d'une forme quadratique $q$ donnée
par
$q(\overline{\lambda}):=\frac{1}{2}\overline{(\lambda,\lambda)}$.
La forme alternée associée est non dégénérée.
Soit $E$ l'extension centrale de $V$ par $\ZZ/2\ZZ$, associée à $q$. On
a vu qu'un tel groupe est extra-spécial.
On a la suite exacte:
$$1 \to V \to \Aut(E) \buildrel \dpl\Phi \over
\to \OO(q) \to 1.$$
\end{enonce*}

\section{Les représentations complexes du groupe symétrique}

La théorie des représentations complexes du groupe symétrique
a été initiée par Young, Schur et Frobenius
et de nombreuses notions leur sont donc attribuées.
Il y a une littérature abondante sur le groupe
symétrique et ses représentations complexes. Citons les livres
\cite{F}, \cite{FH}, \cite{J}, \cite{JK}, \cite[\S\,16.2]{K}, \cite{Sa},
\cite{Z}. Pour les énoncés non démontrés ci-dessous, nous nous
référerons à \cite{F}.

\Subsection*{Diagrammes, sous-groupes et représentations de Young }

Nous appelons {\sl partition} d'un entier $n$ toute suite décroissante
d'entiers positifs ou nuls
$$\nu=(n_1\ge n_2\ge\cdots\ge n_k\ge 0)\;
\text{ telle que}\;\sum_{i=1}^k n_i=n;$$
deux suites qui diffèrent seulement par leur nombre de zéros sont
identifiées. Le nombre de $n_i$ non nuls est appelé la {\sl
longueur} de la partition $\nu$.
Nous noterons $\sP(n)$ l'ensemble des partitions de l'entier~$n$.

Un {\sl diagramme de Young} est une collection de boîtes disposées
en rangées alignées à gauche avec un nombre décroissant de boîtes dans chaque rangée. Le nombre total $n$ de boîtes est appelé la {\sl
taille} du diagramme. La liste des nombres de boîtes dans chaque
rangée fournit une partition de l'entier $n$.

Réciproquement, à toute partition de $n$ est associé un diagramme de
Young de la manière suivante.
Soit $\nu$ une partition de $n$. Le diagramme de Young $D^\nu$ associé
à $\nu$ est défini par:
$$D^\nu:=
\{(i,j)\in \NN^*\times\NN^*\;:\;j\le n_i\},$$
où $\NN^*$ désigne l'ensemble des nombres entiers strictement
positifs.
Lorsque nous dessinons les diagrammes de Young, nous supposons donc que l'axe
des $i$ est dirigé vers le bas et l'axe des $j$ est dirigé vers la
droite.
Soit $i_0$ une entier fixé. L'ensemble des points $(i_0,j)\in D^\nu$
est appelé la $i_0$-ème ligne de $D^\nu$.

L'intérêt de considérer un diagramme de Young plutôt qu'une simple
partition est de pouvoir mettre quelque chose dans les boîtes. Toute
manière de mettre un nombre entier positif dans chacune des boîtes
d'un diagramme de Young sera appelée un {\sl remplissage} de celui-ci;
si les nombres mis dans les boîtes sont tous distincts, nous parlerons
de {\sl numérotation} du diagramme de Young.
Le diagramme sera appelé la {\sl forme} du remplissage ou de la
numérotation.
Une numérotation d'un diagramme de Young de taille $n$ comprenant les
nombres $1,2,\ldots,n$, sera appelée une {\sl numérotation
standard}.

Nous appellerons {\sl tableau de Young} tout remplissage d'un diagramme de Young
tel que les nombres mis
\begin{itemize}
\item croissent dans chaque ligne;
\item croissent strictement dans chaque colonne.
\end{itemize}
Nous appellerons
{\sl tableau standard} tout tableau de Young dans lequel les entrées
sont les nombres $1,2,\ldots,n$, chacun apparaissant exactement
une fois.

Le {\sl groupe symétrique} $\Sym_n$ est le groupe des permutations de
l'ensemble
$\left\{1,2,\ldots,n\right\}$. Soit $\sT_n$ l'ensemble des numérotations des
diagramme de Young de taille $n$.
Le groupe symétrique $\Sym_n$ agit sur l'ensemble $\sT_n$: pour une
numérotation $T\in\sT_n$ et une permutation $\sigma\in\Sym_n$, on
définit $\sigma\cdot T$ comme la numérotation consistant à mettre le
nombre
$\sigma(i)$ dans la boîte contenant le nombre $i$ dans la numérotation~$T$.
Pour $T\in\sT_n$, soit $L(T)$ le sous-groupe de $\Sym_n$ formé des
permutations qui permutent entre elles les entrées de chacune des
lignes. Si $\nu=(\nu_1\ge\nu_2\ge\cdots\ge\nu_k>0)$ est la partition de
$n$ définissant la forme de $T$, alors $L(T)$ est le produit direct des
groupes symétriques $\Sym_{\nu_i}$ pour $i\in\{1,2,\ldots,k\}$,
c'est-à-dire,
$L(T)=\Sym_{\nu_1}\times\Sym_{\nu_2}\cdots\times\Sym_{\nu_k}$.
Ces sous-groupes sont appelés les {\sl sous-groupes de Young}.

De manière analogue, nous noterons $C(T)$ le groupe des permutations
permutant entre elles les entrées de chacune des colonnes.
Ces sous-groupes sont compatible à l'action:
$$L(\sigma\cdot T)=\sigma\cdot L(T)\cdot \sigma^{-1}\;\;\text{ et }\;\;
C(\sigma\cdot T)=\sigma\cdot C(T)\cdot \sigma^{-1}.$$

Nous dirons que deux numérotations standard d'un diagramme de Young de taille
$n$ sont équivalentes si les lignes correspondantes possèdent les
mêmes entrées. Nous appellerons {\sl tabloïde} une classe
d'équivalence de numérotations standard. Le tabloïde défini par
une numérotation $T$ sera noté $\{T\}$. Il est clair que
$\{T\}=\{T'\}$ si et seulement s'il existe $\sigma\in L(T)$ telle que
$T'=\sigma\cdot T$. Le groupe symétrique $\Sym_n$ agit sur l'ensemble
des tabloïdes par
$$\sigma\cdot\{T\}:=\{\sigma\cdot T\}.$$
Soit $A:=\CC\Sym_n$ l'anneau de groupe de $\Sym_n$, formé des
combinaisons linéaires complexes $\sum x_\sigma\sigma$, la
multiplication étant définie par la composition dans $\Sym_n$. Une
représentation de $\Sym_n$ est un $A$-module à gauche. Étant
donné une numérotation standard $T$ d'un diagramme de Young de taille $n$,
nous définissons
les deux éléments suivants de~$A$:
$$a_T:=\sum_{\sigma'\in L(T)}\sigma' \;\;\text{ et }\;\;b_T:=\sum_{\sigma''\in
C(T)}\sgn(\sigma'')\,\sigma''.$$
Les éléments $a_T$, $b_T$ et leur produit $c_T:=a_T\cdot b_T$ sont
appelés les {\sl symétriseurs de Young}.

\skippointrait
\begin{enonce}[remark]{Remarques} \label{rema}
\begin{enumerate}
\item On a $\sigma'\cdot a_T=a_T\cdot\sigma'$ et $\sigma''\cdot
b_T=b_T\cdot\sigma''=\sgn(\sigma'')b_T$, pour tout $\sigma'\in L(T)$ et
tout $\sigma''\in C(T)$ (on utilise le fait que $L(T)$ et $C(T)$ sont des
sous-groupes de $\Sym_n$ et que
$\sgn(\sigma''_1\cdot\sigma_2'')=\sgn(\sigma_1'')\sgn(\sigma_2'')$).
\item
On a $a_T\cdot a_T=|L(T)|\,a_T$ et $b_T\cdot b_T=|C(T)|\, b_T$ (on utilise
le fait que tout élément d'un sous-groupe $S$ de $\Sym_n$ peut
s'écrire de $|S|$ manières différentes comme un produit de deux
éléments de $S$).
\end{enumerate}
\end{enonce}

Nous associons à toute partition $\nu$ de $n$, l'espace vectoriel
complexe $M^\nu$ de base les tabloïdes $\{T\}$ de forme $\nu$. Puisque
le groupe $\Sym_n$ agit sur l'ensemble des tabloïdes, il agit sur
$M^\nu$, lequel est donc un $A$\nobreakdash-module à gauche. Nous associons à
toute numérotation standard~$T$ de $\nu$ l'élément $v_T$ de $M^\nu$
défini
par
$$v_T:=b_T\cdot\{T\}=\sum_{\sigma''\in C(T)}\sgn(\sigma'')\,\{\sigma''\cdot
T\}.$$

Le sous-espace $S^\nu$ de $M^\nu$ engendré par les élément $v_T$
lorsque $T$ décrit toutes les numérotations standard de $\nu$ est
appelé le {\sl module de Specht} associé à $\nu$.
Puisque $C(\sigma\cdot T)=\sigma\cdot C(T)\cdot \sigma^{-1}$ et
$\sgn(\sigma\cdot\sigma''\cdot\sigma^{-1})=\sgn(\sigma'')$, on a
$$v_{\sigma\cdot T}=\sum_{\sigma'\in
C(T)}\sgn(\sigma'')\{\sigma\cdot\sigma''\cdot T\}=\sigma\cdot v_T.$$
On a donc $\sigma\cdot v_T=v_{\sigma\cdot T}$ pour toute numérotation
standard $T$ de $\nu$ et tout $\sigma\in \Sym_n$.

Le module de Specht $S^\nu$ est donc stable par $\Sym_n$, autrement dit,
$S^\nu$~est un sous-$A$-module de $M^\nu$. Il s'ensuit que $S^\nu=A\cdot
v_T$, avec $T$ une numérotation standard de $\nu$.

\begin{enonce*}[remark]{Exemples}
Le module de Specht $S^{(n)}$ est la {\sl représentation triviale}
de $\Sym_n$, c'est-à-dire, l'espace vectoriel $\CC$ muni de l'action
$\sigma\cdot z:=z$, pour tout $\sigma\in\Sym_n$ et tout $z\in\CC$.

Le module de Specht $S^{(1^n)}$ est la {\sl représentation alternée}
(de dimension un) de $\Sym_n$, c'est-à-dire, l'espace vectoriel $\CC$
muni de l'action
$\sigma\cdot z:=\sgn(\sigma)\,z$, pour tout $\sigma\in\Sym_n$ et tout $z\in\CC$.
\end{enonce*}

Aucun des modules $S^\nu$ n'est nul (car les $v_T$ sont tous non nuls).
Si $\nu$ et $\nu'$ sont deux partitions distinctes de $n$, alors les
modules de Specht $S^\nu$ et $S^{\nu'}$ sont non isomorphes.

Les $S^\nu$ sont des modules irréductibles et nous avons ainsi
associé une représentation irréductible à chaque partition de
l'entier $n$. Puisque l'ensemble des classes de conjugaison d'un groupe
fini $G$ et celui de ses représentations irréductibles complexes ont
même nombre d'éléments, et que le nombre de classes de conjugaison
dans $\Sym_n$ est égal au nombre de partitions de l'entier $n$, nous
avons obtenu toutes les représentations irréductibles de $\Sym_n$.
En particulier, les représentations irréductibles de $\Sym_n$ sont
paramétrées par les diagrammes de Young, exactement comme le sont les
classes de conjugaison.

\subsubsection*{Ordre partiel sur les partitions}
Nous définissons un ordre partiel $\triangleleft$ sur les
partitions de la manière suivante.
Soient $\nu=(n_1\ge n_2\ge\cdots\ge n_k)$ et
$\nu'=(n_1'\ge n_2'\ge\cdots\ge n_{k'}')$ deux partitions de $n$.
Quitte à ajouter des zéros, nous pouvons supposer que $k$ et $k'$ sont
égaux.

Nous écrirons $\nu'\triangleleft\nu$ (nous dirons alors que la partition
$\nu$ {\sl domine} la partition $\nu'$) si
$$\left\{
\begin{matrix}
n'_1\le n_1\\
n'_1+n'_2\le n_1+n_2\\
n'_1+n'_2+n'_3\le n_1+n_2+n_3\\
\vdots\\
n'_1+n'_2+\cdots+n'_{k-1}\le
n_1+n_2+\cdots+n_{k-1}.
\end{matrix}
\right.
$$

\subsubsection*{Diagramme de Young gauche }
Soit $\nu'$ une partition de $n'$.
Si $D^\nu\supset D^{\nu'}$ nous noterons $D^{\nu\backslash\nu'}$
la différence $D^\nu\backslash D^{\nu'}$; le diagramme
$D^{\nu\backslash\nu'}$ est appelé un {\sl diagramme de Young gauche}.

\subsubsection*{Poids d'un tableau de Young}\hspace*{3mm}
Nous dirons qu'un tableau $T$ est de {\sl poids}
$\mu=(m_1,m_2,\ldots,m_l)$ si ses entrées sont constituées de
$m_1$ nombres $1$, $m_2$ nombres $2,\dots,$ $m_\ell$ nombres $\ell$.

\subsubsection*{Nombres de Kostka}
Pour toute partition $\nu$ et toute suite $\mu=(m_1,m_2,\ldots,m_l)$
d'entiers positifs ou nuls, nous noterons $K_{\nu,\mu}$ le nombre de
tableaux de forme $\nu$ et de poids $\mu$. De manière équivalente,
$K_{\nu,\mu}$ est le nombre de suites de partitions
$\nu^{(1)}\subset\nu^{(2)}\subset\cdots\nu^{(l)}=\nu$ telles que le
diagramme de Young gauche $\nu^{(i)}/\nu^{(i-1)}$ possède $m_i$ boîtes,
avec au plus une boîte dans chaque colonne.
Lorsque $\mu$ est aussi une partition, le nombre $K_{\nu,\mu}$ est
appelé le {\sl nombre de Kostka} associé à la paire de partitions
$(\nu,\mu)$.

Si $\nu$ et $\mu$ sont deux partitions d'un même entier, on a
$K_{\nu,\mu}\ne 0$ si et seulement si $\mu\triangleleft\nu$.

\subsubsection*{Partition duale }

Nous associons à toute partition $\nu=(n_1\ge n_2\ge\cdots\ge n_k)$ de $n$
la partition $\nu^*$ de $n$, dite {\sl partition duale} de $\nu$, définie par
$$\nu^*:=(k^{n_k},(k-1)^{n_{k-1}-n_k},\ldots,(1)^{n_1-n_2}).$$
On a $(\nu^*)^*=\nu$. On vérifie facilement que $
\mu\triangleleft\nu$ si et seulement si $\nu^*\triangleleft\mu^*$.

\begin{enonce*}[remark]{Exemple}
Les partitions $(n)$ et $(1^n)$ sont duales l'une de l'autre.
\end{enonce*}

\begin{enonce}{Lemme \label{first}}
Soient $\nu$ et $\nu'$ deux partitions de $n$ telles que $\nu$ ne domine
pas strictement $\nu'$, et soient $T$ et $T'$ deux numérotations de formes
$\nu$ et $\nu'$ respectivement.

Alors,
\begin{enumerate}
\item
ou bien il existe deux entiers distincts apparaissant dans une même
ligne de $T'$ et dans une même colonne de $T$, ou bien $\nu'=\nu$ et
il existe $\sigma'\in L(T')$ et $\sigma''\in C(T)$ telles que
$\sigma'\cdot T'=\sigma''\cdot T$;
\item
s'il existe une paire d'entiers figurant dans une même ligne de~$T'$
et dans une même colonne de $T$, alors $b_T\cdot\{T'\}=0$; dans le cas
contraire, on a $b_T\cdot\{T'\}=\pm v_T$.
\end{enumerate}
\end{enonce}
\begin{proof} Nous allons prouver l'assertion (a) par l'absurde.
Supposons que les entrées de la dernière ligne de $T'$ apparaissent
dans des colonnes différentes de $T$. Il existe alors $\sigma_1''\in
C(T)$ telle que ces entrées apparaissent dans la dernière ligne de
$\sigma_1''\cdot T$. Les entrées figurant dans l'avant-dernière ligne de
$T'$ apparaissant dans différentes colonnes de $T$, il en est de même
de celles de $\sigma_1''\cdot T$, il existe donc $\sigma_2''\in
C(\sigma_1''\cdot T)=C(T)$, qui ne bouge pas les entrées égales à
celles de la dernière ligne de $T'$, de sorte que ces entrées
apparaissent toutes dans les deux dernières lignes de
$\sigma_2''\cdot\sigma_1''\cdot T$. Continuant ainsi, nous obtenons
$\sigma''_1,\sigma_2'',\ldots,\sigma_m$ dans $C(T)$ telles que
les entrées des $m$ dernières lignes de $T'$ figurent dans les $m$
dernières lignes de
$\sigma_m''\cdot\sigma_{m-1}''\cdots\sigma_1''\cdot T$.
En particulier, puisque $T$ et
$\sigma_m''\cdot\sigma_{m-1}''\cdots\sigma_1''\cdot T$ ont la
même forme, il en résulte que $\nu_1'+n_2'+\cdots+\nu_m'\le
\nu_1+n_2+\cdots+\nu_m$. Comme ceci est vrai pour tout $m$, il
en résulte que $\nu'\triangleleft\nu$.

Puisque nous avons supposé que $\nu$ ne domine pas strictement $\nu'$,
nous obtenons $\nu'=\nu$. Prenant $m$ égal au nombre de lignes de
$\nu$, et posant
$\sigma'':=\sigma_m''\cdot\sigma_{m-1}''\cdots\sigma_1''$, nous
voyons que $\sigma''\cdot T$ et $T'$ ont les mêmes entrées dans chaque
ligne. Il existe donc $\sigma'\in L(T')$ telle que $\sigma'\cdot
T'=\sigma''\cdot T$.

Prouvons maintenant l'assertion (b). Supposons qu'il existe une paire
d'entiers dans une même ligne de $T'$ et dans une même colonne de
$T$. Soit alors $t$ la transposition qui les permute. On a $b_T\cdot
t=-b_T$, puisque $t$ appartient à $C(T)$, mais $t\cdot\{T'\}=\{T'\}$
puisque $t\in L(T')$. Il s'ensuit que
$$b_T\cdot\{T'\}=b_T\cdot(t\cdot\{T'\})=(b_T\cdot
t)\cdot\{T'\}=-b_T\cdot\{T'\},$$
d'où $b_T\cdot\{T'\}=0$. S'il n'existe pas de telle paire, soient
$\sigma'$ et $\sigma''$ comme ci-dessus. Il s'ensuit
\begin{align*}
b_T\cdot\{T'\}&=b_T\cdot\{\sigma'\cdot T'\}=b_T\cdot\{\sigma\cdot T\}\\
&=b_T\cdot
\sigma''\cdot\{T\}=\sgn(\sigma'')\,b_T\cdot\{T\}=\sgn(\sigma'')\cdot
v_T.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

Nous associons à toute partition $\nu$ l'entier $z(\nu)$ défini par
\begin{equation}
z(\nu):=\prod_i i^{c_i(\nu)}\,c_i(\nu)!\label{z}
\end{equation}
où $c_i(\nu)$ est le nombre de fois que l'entier $i$ apparaît dans
$\nu$, \ie $c_i(\nu)$ est égal au nombre d'entiers $j$ tels que $\nu_j=i$.

D'autre part, les classes de conjugaison dans $\Sym_n$ sont en bijection
avec les partitions de $n$. La classe de conjugaison $C(\nu)$
correspondant à la partition $\nu$ de $n$ est formée des permutations
dont la décomposition en cycles est composée de cycle de longueurs
$\nu_1,\nu_2,\ldots,\nu_k$. Le nombre d'éléments de $C(\nu)$
est $\sfrac{n!}{z(\nu)}$ (en effet, le nombre
de manières de disposer $n$
entiers en $c_i$ sous-ensemble de $i$ éléments chacun est
$\sfrac{n!}{\prod(i!)^{c_i}\cdot\prod c_i!}$ et choisir un cycle pour
une
partie de $i$ éléments multiplie par $\sfrac{i!}{i}$).

Le lemme suivant est alors une conséquence facile des remar\-ques~\ref{rema}.

\begin{enonce}{Lemme \label{prop}}
Pour toute numérotation standard $T$ de $\nu$, on a
\begin{enumerate}
\item $b_T\cdot M^\nu=b_T\cdot S^\nu=\CC\cdot v_T\ne 0$;
\item $b_T\cdot M^{\nu'}=b_T\cdot S^{\nu'}=0$ si $\nu'>\nu$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

La proposition suivante est une conséquence facile du lemme~\ref{prop}.
\begin{enonce}{Proposition \label{irr}} Pour toute partition $\nu$ de $n$,
$S^\nu$ est une représentation irréductible de $\Sym_n$. Toute
représentation irréductible de $\Sym_n$ est isomorphe à exactement
l'un des $S^\nu$.
\end{enonce}

\begin{enonce}{Lemme \label{encore}}
Soit $\vartheta\colon M^\nu\to M^{\nu'}$ un homomorphisme de
représentations de $\Sym_n$. Si $S^\nu$ n'est pas contenu dans le noyau
de $\vartheta$ alors $\nu'\triangleleft\nu$.\end{enonce}
\begin{proof} Soit $T$ une numérotation de $\nu$. Puisque $v_T$
n'est pas dans le noyau de $\vartheta$, on a
$b_T\cdot\vartheta(\{T\})=\vartheta(v_T)\ne 0$. Il existe donc une
numérotation $T'$ de $\nu'$ telle que $b_T\cdot\{T'\}\ne 0$.
Si $\nu\ne\nu'$ et si $\nu$ ne domine pas $\nu'$, nous nous trouvons dans
le premier cas de l'assertion~(a) du lemme~\ref{first} et
cela contredit l'assertion~(b) du lemme~\ref{first}. \end{proof}

La proposition suivante est démontrée dans \cite[\S\,7.2 Cor.]{F}.
Nous en verrons une forme plus précise au corollaire~\ref{rY}.

\begin{enonce}{Proposition \label{Kfaible}}
Il existe des entiers positifs ou nuls $k_{\mu,\nu}$ pour
$\mu\triangleright\nu$, tels que
$$M^\nu\simeq S^\nu\oplus\textstyle\bigoplus_{\mu\triangleright\nu}(S^\mu)^{\oplus
k_{\mu,\nu}}.$$
\end{enonce}

La proposition suivante est démontrée dans \cite[\S\,7.2 Prop.\,2]{F}.

\begin{enonce}{Proposition \label{vT}} Les éléments $v_T$, lorsque $T$ décrit
l'ensemble des tableaux standard sur $\nu$, forment une base de
$S^\nu$.\end{enonce}

\begin{enonce}{Corollaire \label{dim}}
La dimension de $S^\nu$ est égale au nombre de tableaux standard de
forme $\nu$.
\end{enonce}

\subsubsection*{Opérations sur les partitions}
Soit $\nu=(n_1\ge n_2\ge\cdots\ge n_k)$ une
partition de $n$, et, pour chaque $j\in\{1,2,\ldots,k\}$, soit
$\nu^{(j)}:=(n^{(j)}_1\ge n_2^{(j)}\ge\cdots\ge n_{k_j}^{(j)})$
une partition de l'entier $n_j$. Quitte à ajouter des zéros, nous
pouvons supposer que les $k_j$ sont tous égaux, soit $r$ leur valeur
commune. Nous notons alors
\begin{equation}
\nu^{(1)}\cup
\nu^{(2)}\cup\cdots\cup\nu^{(k)}\label{union}
\end{equation}
l'unique partition de l'entier $n$ telle que
\begin{equation}
c_i(\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)}\cup\cdots\cup\nu^{(k)})=
c_i(\nu^{(1)})+c_i(\nu^{(2)})+\cdots+c_i(\nu^{(k)}),\label{c_i}
\end{equation}
pour tout entier $i\ge 1$, et
\begin{equation}
\nu^{(1)}+\nu^{(2)}+\cdots+\nu^{(k)}\label{addition}
\end{equation}
la partition de $n$
définie par
\begin{multline*}
\nu^{(1)}+\nu^{(2)}+\cdots+\nu^{(k)}\,:=\,
(n_1^{(1)}+n_1^{(2)}+\cdots+n_1^{(k)}\\
\ge n_2^{(1)}+n_2^{(2)}+\cdots+n_2^{(k)}\ge\cdots\ge
n_r^{(1)}+n_r^{(2)}+\cdots+n_r^{(k)}).
\end{multline*}

Pour chaque partition $\nu=(n_1\ge n_2\ge\cdots\ge n_k)$ de l'entier $n$,
nous définissons des applications $\alpha_{\nu}$, $\beta_{\nu}$ et
$\tau_{\nu}$ de
$\sP(n_1)\times\sP(n_2)\times\cdots\times\sP(n_k)$ dans
$\sP(n_1+n_2+\cdots+n_k)$ par
\begin{gather}
\alpha_\nu(\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)})\,:=
\,\nu^{(1)}+\nu^{(2)}+\cdots+\nu^{(k)},\label{alpha}\\
\beta_\nu(\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)})\,:=\,
\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)}\cup\cdots\cup\nu^{(k)}\label{beta}
\end{gather}
et
\begin{multline}
\tau_\nu(\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}):=
((\nu^{(1)})^*,(\nu^{(2)})^*,\ldots,(\nu^{(k)})^*),\\
\nu^{(j)}\in\sP(n_j).\label{tau}
\end{multline}

\skippointrait
\begin{enonce*}[remark]{Exemples}
\begin{enumerate}
\item
Considérons les partitions $\nu^{(1)}:=(2,1)$ de l'entier $n_1:=3$ et
$\nu^{(2)}:=(4,2,2,2,2,1)$ de l'entier $n_2:=13$, donc $\nu:=(n_1,n_2)$
est une partition de $16$.
Nous obtenons

$\bbullet$
$\alpha_\nu(\nu^{(1)}+\nu^{(2)})=(6,3,2,2,2,1)$ et donc
$\tau_\nu\circ\alpha_\nu(\nu^{(1)},\nu^{(2)})=
(6,5,2,1,1,1)$;

$\bbullet$
$(\nu^{(1)})^*=(2,1)$ et
$(\nu^{(2)})^*=(6,5,1,1)$, il s'ensuit
$$c_1((\nu^{(1)})^*)=c_2((\nu^{(2)})^*)=1, \quad c_i((\nu^{(1)})^*)=0 \qbox{si } i\ne 1,2,$$
et
\begin{align*}
c_1((\nu^{(2)})^*)&=2, \quad c_5((\nu^{(2)})^*)=
c_6((\nu^{(2)})^*))=1,\\
c_i((\nu^{(2)})^*))&=0\qbox{si }i\ne
1,5,6,
\end{align*}
d'où
\begin{align*}
c_1(\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)})&=3,\\ c_2(\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)})&=1,\\
c_5(\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)})&=c_6(\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)})=1,\\
c_i(\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)})&=0
\end{align*}
si $i\ne1,2,5,6$, et donc
$$\beta_\nu\circ\tau_\nu(\nu^{(1)},n^{(2)})=(6,5,2,1,1,1)=
\tau_\nu\circ\alpha_\nu(\nu^{(1)},n^{(2)}).$$

\item
Il est clair que $$(n_1)+(n_2)+\cdots+(n_k)=(n_1+n_2+\cdots+n_k)$$
et
$$
(n_1)\cup(n_2)\cup\cdots\cup(n_k)=(n_1,n_2,\ldots,n_k)
$$
D'autre part,
\begin{equation}
(1^{n_1})+(1^{n_2})+\cdots+(1^{n_k})=(k^{n_k},(k-1)^{n_{k-1}-n_k},\ldots,
1^{n_1-n_2}).\label{f1}
\end{equation}
et
\begin{equation}
(1^{n_1})\cup(1^{n_2})\cup\cdots\cup(1^{n_k})=(1^{n_1+n_2+\cdots+n_k}).
\label{f2}
\end{equation}
On remarque sur ces formules que
\begin{equation}
(1^{n_1})^*+(1^{n_2})^*+\cdots+
(1^{n_k})^*=
(1^{n_1})\cup(1^{n_2})\cup\cdots\cup(1^{n_k})^*\label{f3}
\end{equation}
et
\begin{equation}
(n_1)^*\cup(n_2)^*\cup\cdots\cup(n_k)^*=(n_1+n_2+\cdots+n_k)^*,\label{f4}
\end{equation}
\ie
\begin{equation}
(\alpha_\nu\circ\tau_\nu)((1^{n_1}),(1^{n_2}),\ldots,(1^{n_k}))=
(\tau_\nu\circ\beta_\nu)((1^{n_1}),(1^{n_2}),\ldots,(1^{n_k}))\label{f5}
\end{equation}
et
\begin{equation}
(\beta_\nu\circ\tau_\nu)((n_1),(n_2),\ldots,(n_k))=
(\tau_\nu\circ\alpha_\nu)((n_1),(n_2),\ldots,(n_k)).\label{f6}
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{enonce*}

La proposition suivante est une conséquence immédiate de l'exem\-ple~(b)
ci-dessus.

\begin{enonce}{Proposition \label{utile}}
Les applications $\alpha_\nu$, $\beta_\nu$ et $\tau_\nu$ sont
reliées par les formules suivantes:
$$\tau_\nu\,\circ\,\alpha_\nu=\beta_\nu\,\circ\,\tau_\nu\;\;\text{ et }\;\;
\alpha_\nu\,\circ\tau_\nu=\tau_\nu\,\circ\,\beta_\nu.$$
\end{enonce}

\begin{enonce*}[remark]{Remarque}
Les deux égalités de la proposition sont équivalentes,
puisque $\tau_\nu$ est une involution.
\end{enonce*}

\subsection*{Polynômes de Schur et formule de Frobenius}

À toute partition $\nu$ de $n$ de longueur au plus $k$ est est associé
un polynôme symétrique important $s_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k)$, appelé
le {\sl polynôme de Schur} de~$\nu$. Ce polynôme est défini de la
manière suivante à l'aide des tableaux. Nous associons à toute
numérotation $T$ du diagramme de Young $D^\nu$ le monôme, noté
$x^T$, défini comme étant le produit sur les variables~$x_i$
correspondants aux entiers $i$ qui figurent dans $T$, \ie
$$x^T=\prod_{i=1}^k(x_i)^{\text{nombre de fois que $i$ apparaît dans
$T$}}.$$
Le polynôme de Schur $s_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k)$ est alors la somme
$$s_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k):=\sum x^T$$
sur tous les monômes $x^T$ associés aux tableaux de forme $\nu$ comprenant les nombres $1,2,\ldots,k$.

Bien que cela ne soit pas évident sur la définition, ces polynômes
sont symétriques et forment une base additive de l'anneau des
polynômes symétriques.

\begin{enonce*}[remark]{Exemples} Le diagramme de Young $D^{(n)}$ est composé d'une
unique ligne de $n$ boîtes; le polynôme de Schur
$s_{(n)}(x_1,x_2,\ldots,x_k)$ est le $n$\nobreakdash-ème {\sl polynôme symétrique
complet}, lequel est la somme de tous les monômes distincts de degré
$n$ en les $k$ variables $x_1,x_2,\ldots,x_k$. Nous le noterons
$h_n(x_1,x_2,\ldots,x_k)$.

Le diagramme de Young $D^{(1^n)}$ est composé de $n$
lignes d'une boîte chacune; le polynôme de Schur
$s_{(1^n)}(x_1,x_2,\ldots,x_k)$ est le $n$-ème {\sl polynôme
symétrique
élémentaire}, lequel est la somme de tous les monômes de la forme
$x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_n}$ avec $1\le i_1<i_2<\cdots<i_n\le k$.
Nous le noterons $e_n(x_1,x_2,\ldots,x_k)$.
\end{enonce*}

Les polynômes $s_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k)$, lorsque $\nu$ décrit
l'ensemble des partitions de $n$ de longueur au plus $k$,
forment une base (sur $\ZZ$) de l'espace des polynômes symétriques
homogènes de degré $n$ en les variables $x_1,x_2,\ldots,x_k$.

\begin{enonce*}[remark]{Remarque} Les polynômes
\begin{multline*}
h_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k):=h_{n_1}(x_1,x_2,\ldots,x_k)\cdot{}\\
{}\cdot h_{n_2}(x_1,x_2,\ldots,x_k)\cdots h_{n_k}(x_1,x_2,\ldots,x_k),
\end{multline*}
(\resp les polynômes
\begin{multline*}
e_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k):=e_{n_1}(x_1,x_2,\ldots,x_k)\cdot{}\\
{}\cdot e_{n_2}(x_1,x_2,\ldots,x_k)\cdots e_{n_k}(x_1,x_2,\ldots,x_k))
\end{multline*}
lorsque $\nu$ décrit l'ensemble des partitions de $n$ d'au plus $k$
colonnes
forment une base (sur $\ZZ$) de l'espace des polynômes symétriques
homogènes de degré $n$ en les variables $x_1,x_2,\ldots,x_k$.
\end{enonce*}

Nous posons $$p_r(x_1,x_2,\ldots,x_k):=x_1^r+x_2^r+\cdots+x_k^r,$$
et
\begin{multline*}
p_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k):=p_{n_1}(x_1,x_2,\ldots,x_k)\cdot{}\\
{}\cdot p_{n_2}(x_1,x_2,\ldots,x_k)\cdots p_{n_k}(x_1,x_2,\ldots,x_k).
\end{multline*}
Les polynômes $p_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k)$ sont appelés les {\sl sommes
de Newton}.
Les polynômes $p_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k)$ forment une base (sur $\QQ$) de
l'espace des polynômes symétriques
homogènes de degré $n$ en les variables $x_1,x_2,\ldots,x_k$.

Les polynômes
\begin{gather*}
s_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k),\quad h_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k),\\
e_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k),\quad p_\nu(x_1,x_2,\ldots,x_k)
\end{gather*}
vérifient
tous la propriété suivante:
$$
p(x_1,x_2,\ldots,x_\ell,0,0,\ldots,0)=p(x_1,x_2,\ldots,x_\ell).\leqno(*)
$$
Nous appelons {\sl fonction symétrique de degré $n$} une famille de
polynômes symétriques $p(x_1,x_2,\ldots,x_k)$ de degré $n$, un pour
chaque entier~$k$, satisfaisant à l'identité $(*)$ pour tout $\ell<k$. Nous
notons $\Lambda_n$ le $\ZZ$-module de toutes ces fonctions avec
coefficients entiers. Pour toute partition $\nu$ de $n$, nous notons
$s_\nu$, $h_\nu$ et $e_\nu$ et $p_\nu$ les fonctions symétriques
correspondantes. Les trois premiers de ces ensembles forment des
$\ZZ$-bases de $\Lambda_n$, lorsque $\nu$ parcourt l'ensemble des
partitions de $n$,
alors que le quatrième forme une $\QQ$-base de $\Lambda_n\otimes\QQ$.
Nous notons
$$\Lambda:=\bigoplus_{n=0}^\infty\Lambda_n$$
l'anneau gradué des fonctions symétriques. L'anneau $\Lambda$
s'identifie en l'anneau des polynômes en les variables $h_1,h_2,\ldots$, ou en l'anneau des polynômes en les variables $e_1,e_2,\ldots$.
On a
$$h_\mu=\sum_\nu K_{\nu,\mu}\,s_\nu,\;\;\;
\text{ et }\;\;
e_\mu=\sum_\nu K_{\nu^*,\mu}\,s_\nu=\sum_\nu K_{\nu,\mu}\,s_{\nu^*}.$$

Nous définissons un produit scalaire $\langle\,,\,\rangle$ sur
$\Lambda_n$ en demandant que les fonctions de Schur $s_\lambda$ forment
une base orthonormale, \ie que
$\langle s_\nu,s_\nu\rangle=1$ et $\langle s_\nu,s_\mu\rangle=0$ si
$\mu\ne\nu$.

Nous définissons une involution $\tau$ sur $\Lambda$ comme
l'homomorphisme additif qui envoie $s_\nu$ sur $s_{\nu^*}$. En
particulier, on a $\tau(h_n)=e_n$.

La proposition suivante est démontrée dans \cite[\S\,6.2, Cor.\,1]{F}.

\skippointrait
\begin{enonce}{Proposition \label{proptau}}
\begin{enumerate}\item L'involution $\tau$ est un homomorphisme d'anneau et
une isométrie.
\item
On a
$\tau(h_\nu)=e_\nu$ et $\tau(p_\mu)=(-1)^{\Sigma(\mu_i-1)}p_\mu$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

Si $\nu$ et $\mu$ sont des partitions du même entier $n$, nous
définissons des entiers $\chi^\nu_\mu$ par la formule:
$$p_\mu=\sum_\nu\chi^\nu_\mu\,s_\nu.$$
On a $\langle p_\nu,p_\nu\rangle=z(\nu)$ et $\langle p_\nu,p_\mu\rangle=0$ si
$\mu\ne \nu$. Il s'ensuit que
$$
s_\nu=\sum_\mu \frac{\chi_\mu^\nu}{z(\mu)}\,p_\mu.$$

\begin{enonce}{Proposition}[Formule de Frobenius]\label{Frob}
La valeur du caractère de $S^\nu$ sur la classe de
conjugaison $C(\mu)$ est l'entier $\chi_\mu^\nu$.
\end{enonce}

\Subsection*{L'anneau des représentations et les fonctions
symétriques}
Soit $\fR_n$ le groupe abélien libre sur les classes d'isomorphisme
de représentations irréductibles de $\Sym_n$. Une représentation $V$
de $\Sym_n$ détermine la classe $[V]$ dans $\fR_n$ définie
par $$[V]=\sum_\nu\, m_\nu\, [S^\nu],$$ si
$V\,\simeq\,\bigoplus\,(S^\nu)^{\oplus m_\nu}$. De manière équivalente,
$\fR_n$
est le groupe de Grothendieck de la catégorie des représentations de
$\Sym_n$, \ie le groupe abélien libre sur l'ensemble des classes
d'isomorphisme de représentations de $\Sym_n$, modulo le sous-groupe
engendré par les $[V\oplus W]-[V]-[W]$. Nous posons
$\fR:=\bigoplus\fR_n$, où $\fR_0:=\ZZ$. Nous définissons un produit
$\fR_{n_1}\times\fR_{n_2}\to \fR_{n_1+n_2}$, noté $\times$ par
la formule:
$$[V_1]\times[V_2]:=
\left[\Ind_{\Sym_{n_1}\times\Sym_{n_2}}^{\Sym_{n_1+n_2}}(V_1\otimes_\CC
V_2)\right].$$
Ici le produit tensoriel $V_1\otimes_\CC V_2$ est vu comme une
représentation du groupe $\Sym_{n_1}\times\Sym_{n_2}$ de la manière
évidente:
$(\sigma_1\times \sigma_2)\cdot(v_1\otimes
v_2):=\sigma_1(v_1)\otimes\sigma_2(v_2)$; et $\Sym_{n_1}\times\Sym_{n_2}$ est
considéré comme un sous-groupe de $\Sym_{n_1+n_2}$ de la manière
évidente suivante; $\Sym_{n_1}$ agit sur les $n_1$ premiers entiers et
$\Sym_{n_2}$ agit sur les $n_2$ derniers.
La représentation induite est définie par
$$\Ind_{\Sym_{n_1}\times\Sym_{n_2}}^{\Sym_{n_1+n_2}}(V_1\otimes_\CC
V_2)\,:=\,\CC[\Sym_{n_1+n_2}]\otimes_{\CC[\Sym_{n_1}\times\Sym_{n_2}]}
(V_1\otimes_\CC V_2).$$

\begin{enonce*}[remark]{Exemple de représentation induite}
Pour toute numérotation $T$ de forme $\nu$, nous avons le sous-groupe
$L(T)$ de $\Sym_n$. Le fait que $M^\nu$ a pour base les éléments de la
forme $\sigma\cdot\{T\}$ lorsque $\sigma$ parcourt les représentations
de $\Sym_n/L(T)$, signifie que $M^\nu$ est isomorphe à la
représentation induite\vspace*{-3pt}
$$\Ind_{L(T)}^{\Sym_n}(1)=\CC[\Sym_n]\otimes_{\CC[L(T)]}\CC$$ de la
représentation triviale de $L(T)$.
\end{enonce*}

Il est facile de vérifier que le produit $\times$ sur $\fR$ est bien
défini et qu'il fait de $\fR$ un anneau gradué avec unité,
associatif et commutatif.

Nous définissons un produit scalaire
symétrique $\langle\,,\,\rangle$ sur $\fR_n$ en demandant que les
$[S^\nu]$ en forment une base orthonormale.
On montre que\vspace*{-3pt}
$$\langle [V_1],[V_2]\rangle=
\sum_\mu \frac{1}{ z(\mu)}\,\chi_{V_1}(C(\mu))\,\chi_{V_2}(C(\mu)),$$
où $\chi_1$ et $\chi_2$ désignent les caractères respectifs de $V_1$
et $V_2$.

Nous définissons une involution additive $\tau$ sur $\fR_n$ par\vspace*{-3pt}
$$\tau([V]):=[V\otimes S^{(1^n)}].$$

Puisque les polynômes $h_\nu$ forment une base de l'anneau
$\Lambda$ des fonctions symétriques, nous pouvons définir un
homomorphisme additif $\varphi\colon\Lambda\to\fR$ par la formule\vspace*{-3pt}\enlargethispage{.5\baselineskip}
$$\varphi(h_\nu):=[M^\nu].$$

Le théorème suivant est démontré dans \cite[\S\,7.3, Th.\,et\,Prop.\,3]{F}.

\skippointrait
\begin{enonce}{Théorème \label{Ful}}
\begin{enumerate}
\item
L'homomorphisme $\varphi$ est un homomorphisme
d'anneaux gradués et est un isomorphisme isométrique de $\Lambda$ sur
$\fR$.
\item
On a $\varphi(s_\nu)=[S^\nu]$.
\item
L'isomorphisme $\varphi$ et l'involution $\tau$ commutent:
$\varphi\circ\tau=\tau\circ\varphi$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

L'homomorphisme $\varphi$ nous permet donc de transporter aux
représentations les résultats obtenus sur les fonctions symétriques.

\begin{enonce}{Corollaire \label{rY}}[règle de Young]
Pour tout $\nu\in\sP(n)$:\vspace*{-3pt}
$$M^\nu\,\simeq\,S^\nu\,\oplus\,\bigoplus_{\mu\triangleright\nu}(S^\mu)^{\oplus
K_{\mu,\nu}},$$ où $K_{\mu,\nu}$ est le nombre de Kostka.
\end{enonce}

Nous notons $K=(K_{\mu,\nu})_{\mu,\nu\in\sP(n)}$ la matrice à coefficients
complexes dont les entrées sont les nombres de Kostka. Nous avons vu
que
\begin{enumerate}
\item pour tout $\nu\in\sP(n)$ et tout $\mu\in\sP(n)$, si
$K_{\mu,\nu}\ne 0$, alors $\nu\triangleleft\mu$;
\item pour tout $\nu\in\sP(n)$, on a $K_{\nu,\nu}=1$.
\end{enumerate}

Il s'ensuit
$$M^\nu\,\simeq\,\bigoplus_{\mu\in\sP(n)}(S^\mu)^{\oplus
K_{\mu,\nu}}.$$

La matrice $K$ est inversible et nous notons
$\tilde K=(\tilde K_{\mu,\nu})_{\mu,\nu\in\sP(n)}$ son
inverse. La matrice $\tilde K$ possède les propriétés suivantes:
\begin{enumerate}
\item pour tout $\nu\in\sP(n)$ et tout $\mu\in\sP(n)$, si
$\tilde K_{\mu,\nu}\ne 0$, alors $\nu\triangleleft\mu$;
\item pour tout $\nu\in\sP(n)$, on a $\tilde K_{\nu,\nu}=1$.
\end{enumerate}

Il résulte de la règle de Young que, pour tout $\nu\in\sP(n)$:
\begin{equation}
S^\nu\,\simeq\,M^\nu\,\oplus\,
\bigoplus_{\nu\triangleleft\mu}(M^\mu)^{\oplus
\tilde K_{\mu,\nu}}\,
\simeq\,
\bigoplus_{\mu\in\sP(n)}(M^\mu)^{\oplus
\tilde K_{\mu,\nu}}.\label{invrY}
\end{equation}

Nous associons à tout
$(\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)},\mu)\in
\sP(n_1)\times\sP(n_2)\times\cdots
\times\sP(n_k)\times\sP(n)$, avec $n=n_1+n_2+\cdots+n_k$, le nombre complexe
$a_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}^\mu$ défini
par:
\begin{equation}\label{nombrea}
a_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}^\mu
:=\hspace*{-5mm}
\sum_{\substack{(\lambda^{(1)},\lambda^{(2)},\ldots,\lambda^{(k)})
\in\\ \sP(n_1)\times\sP(n_2)\times\cdots
\times\sP(n_k)}}
\hspace*{-10mm}K_{\mu,\lambda^{(1)}\cup\lambda^{(2)}\cup\cdots\cup\lambda^{(k)}}\,\prod_{j=1}^k
\tilde K_{\lambda^{(j)},\nu^{(j)}},
\end{equation}
où $\nu^\cup$ est la partition de $n$ définie en (\ref{union}).

Nous notons $\sP^\cup_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}$ le
sous-ensemble de
$\sP(n)$ formé des partitions $\mu$ qui vérifient les deux
propriétés suivantes:
\begin{itemize}
\item
$\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)}\cup\cdots\cup\nu^{(k)}
\triangleleft\mu$,
\item
$\mu\ne\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)}\cup\cdots\cup\nu^{(k)}$;
\end{itemize}
et $\sP^+_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}$ le
sous-ensemble de
$\sP(n)$ formé des partitions $\mu$ qui vérifient les deux
propriétés suivantes:
\begin{itemize}
\item
$\mu\triangleleft \nu^{(1)}+\nu^{(2)}+\cdots+\nu^{(k)}$,
\item
$\mu\ne\nu^{(1)}+\nu^{(2)}+\cdots+\nu^{(k)}$,
\end{itemize}
où $\nu^{(1)}+\nu^{(2)}+\cdots+\nu^{(k)}$ et
$\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)}\cup\cdots\cup\nu^{(k)}$
sont les partitions de $n$ définies
respectivement en (\ref{addition}) et en (\ref{union}).
Nous posons
$$\sP^{\cup,+}_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}\,:=\,
\sP^\cup_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}\cap
\sP^+_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}.$$

La règle de Young admet alors la généralisation suivante, où l'on
induit une représentation irréductible arbitraire d'un sous-groupe de
Young alors que pour la
règle de Young on induit seulement la représentation triviale.

\begin{enonce}{Théorème \label{nouveau}}
Pour tout entier $n\in\NN^*$, toute partition $\nu=(n_1\ge n_2\ge \cdots\ge
n_k)$ de $n$, et tout $k$-uplet
$(\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)})\in\sP(n_1)\times\sP(n_2)\times\cdots
\times\sP(n_k)$, dans le groupe de Grothendieck $\fR_n$,
$$[S^{\nu^{(1)}}]\times[S^{\nu^{(2)}}]\times\cdots\times[S^{\nu^{(k)}}]$$
est égal à
\begin{multline*}
[S^{\nu^{(1)}+\nu^{(2)}+\cdots+\nu^{(k)}}]+
[S^{\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)}\cup\cdots\cup\nu^{(k)}}]\\
+
\sum_{\mu\in\sP^{\cup,+}_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}}
a_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}^\mu
\,[S^\mu].
\end{multline*}
\end{enonce}

\begin{enonce*}[remark]{Remarque} Le résultat ci-dessus est nouveau.
Des cas particuliers sont
démontrés dans \cite[VIII.2]{Wald} et \cite[Prop.\,3.1]{Au}. La preuve
donnée ici s'inspire de celle de \cite{Wald}.
\end{enonce*}

%\skippointrait
\begin{enonce*}[remark]{Exemple}
Supposons $\nu^{(j)}=(n_j)$ pour tout $j\in \{1,2,\ldots,k\}$.
Puisque $\tilde K_{\lambda^{(j)},\nu^{(j)}}\ne 0$ implique
$\nu^{(j)}\triangleleft
\lambda^{(j)}$,
le seul des termes $\tilde K_{\lambda^{(j)},\nu^{(j)}}$ de
$a_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}^\mu$ qui est non nul, est
$\tilde K_{\nu^{(j)},\nu^{(j)}}$, qui vaut $1$.
Comme
\[
(n_1)\cup(n_2)\cup\cdots\cup(n_k)=(n_1,n_2,\ldots,n_k)=\nu,
\]
nous obtenons
$$a_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}^\mu=
K_{\mu,\nu}.$$ Nous retrouvons donc la règle de Littlewood-Richardson.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Par définition du produit $\times$ dans $\fR_n$:
\begin{multline*}
[S^{\nu^{(1)}}]\times[S^{\nu^{(2)}}]\times\cdots\times[S^{\nu^{(k)}}]=\\
\left[
\Ind_{\Sym_{n_1}\times\Sym_{n_2}\times\cdots\times\Sym_{n_k}}^{\Sym_n}(
S^{\nu^{(1)}}\otimes S^{\nu^{(2)}}\otimes\cdots\otimes S^{\nu^{(k)}})\right].
\end{multline*}
En appliquant (\ref{invrY}) à chacun des $S^{\nu^{(j)}}$, nous voyons
que
$$\left[S^{\nu^{(1)}}\otimes S^{\nu^{(2)}}\otimes\cdots\otimes S^{\nu^{(k)}}
\right]$$ est égal à\vspace*{-3pt}
$$
\sum_{\substack{(\lambda^{(1)},\lambda^{(2)},\ldots,\lambda^{(k)})\in\\
\sP(n_1)\times\sP(n_2)\times\cdots
\times\sP(n_k)}}
\textstyle\prod_{j=1}^k
\tilde K_{\lambda^{(j)},\nu^{(j)}}\,
\,\,\left[M^{\lambda^{(1)}}\otimes M^{\lambda^{(2)}}\otimes\cdots\otimes
M^{\lambda^{(k)}}
\right].
$$
Par construction, pour\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\[
(\lambda^{(1)},\lambda^{(2)},\ldots,\lambda^{(k)})
\in\sP(n_1)\times\sP(n_2)\times\cdots
\times\sP(n_k),
\]
on a
l'égalité\vspace*{-3pt}
$$\Ind_{\Sym_{n_1}\times\Sym_{n_2}\times\cdots\times\Sym_{n_k}}^{\Sym_n}(
M^{\lambda^{(1)}}\otimes M^{\lambda^{(2)}}\otimes\cdots\otimes
M^{\lambda^{(k)}})=
M^{\lambda^{(1)}\cup\lambda^{(2)}\cup\cdots\cup\lambda^{(k)}}.$$
Il s'ensuit que\vspace*{-3pt}
$$\left[\Ind_{\Sym_{n_1}\times\Sym_{n_2}\times\cdots\times\Sym_{n_k}}^{\Sym_n}(
S^{\nu^{(1)}}\otimes S^{\nu^{(2)}}\otimes\cdots\otimes S^{\nu^{(k)}})
\right]$$ est égal à\vspace*{-3pt}
$$
\sum_{\substack{(\lambda^{(1)},\lambda^{(2)},\ldots,\lambda^{(k)})
\in\\\sP(n_1)\times\sP(n_2)\times\cdots
\times\sP(n_k)}}
\,\prod_{j=1}^k
\tilde
K_{\lambda^{(j)},\nu^{(j)}}\,\left[M^{\lambda^{(1)}\cup\lambda^{(2)}\cup\cdots\cup\lambda^{(k)}}\right],$$
\ie (en appliquant la règle de Young au terme
$M^{\lambda^{(1)}\cup\lambda^{(2)}\cup\cdots\cup\lambda^{(k)}}$) est égal à\vspace*{-3pt}
$$
\sum_{\mu\in\sP(n)}\,
\sum_{\substack{(\lambda^{(1)},\lambda^{(2)},\ldots,\lambda^{(k)})
\in\\\sP(n_1)\times\sP(n_2)\times\cdots
\times\sP(n_k)}}
\,\prod_{j=1}^k
\tilde K_{\lambda^{(j)},\nu^{(j)}}\,
K_{\mu,\lambda^{(1)}\cup\lambda^{(2)}\cup\cdots\cup\lambda^{(k)}}[S^\mu].$$
En utilisant les propriétés des matrices
$\tilde K$ et $K$ citées
précédemment, et le fait évident que si
$\nu^{(j)}\triangleleft\lambda^{(j)}$ pour tout $j\in\{1,2,\ldots,k\}$,
alors
$$\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)}\cup\cdots\cup\nu^{(k)}\triangleleft
\lambda^{(1)}\cup\lambda^{(2)}\cup\cdots\cup\lambda^{(k)},$$ avec
égalité si et seulement si $\nu^{(j)}=\lambda^{(j)}$ pour tout
$j\in\{1,2,\ldots,k\}$, nous obtenons l'égalité\vspace*{-3pt}
\begin{multline*}
[S^{\nu^{(1)}}]\times[S^{\nu^{(2)}}]\times\cdots\times[S^{\nu^{(k)}}]\\
=
[S^{\nu^{(1)}\cup\nu^{(2)}\cup\cdots\cup\nu^{(k)}}]
+
\sum_{\mu\in\sP^{\cup}_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}}
\hspace*{-10mm}a_{\nu^{(1)},\nu^{(2)},\ldots,\nu^{(k)}}^\mu
\,[S^\mu].
\end{multline*}
L'assertion du théorème s'obtient alors \og par dualité\fg en
appliquant l'involution $\tau$ à l'égalité ci-dessus,
en remarquant que $\tau$ commute à l'induction (\ie en utilisant le fait
que, de part sa définition, $\tau$ est un homomorphisme de l'anneau $\fR_n$)
et la proposition~\ref{utile}.
\end{proof}

\Subsubsection*{La règle de Littlewood-Richardson}
\begin{enonce}{Mot associé à un tableau}
On lit les entrées d'un tableau $T$ de gauche à droite et de bas en
haut. Le mot ainsi obtenu est appelé le mot associé au tableau $T$.
\end{enonce}

\begin{enonce*}[remark]{Remarque} Le mot permet de retrouver le tableau correspondant: on
lit le mot de gauche à droite et l'on coupe dès que l'on rencontre une
entrée strictement supérieure à la suivante.
Le mot associé au tableau~$T$ sera noté $m(T)$.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{Exemple}
Le mot $5644623551223$ correspond au tableau\enlargethispage{\baselineskip}
$$\begin{matrix}
1&2&2&3\cr
2&3&5&5\cr
&4&4&6\cr
&&5&6
\end{matrix}$$
\end{enonce*}

Un $x_1x_2\cdots x_s$ qui,
lorsqu'on le lit en partant de la fin jusqu'à une lettre arbitraire
$x_i$, la suite $x_sx_{s-1}\cdots x_{i+1}x_i$ contient au moins autant de
$1$ que de $2$, au moins autant de $2$ que de $3$, et ainsi de suite, est
appelé un {\sl mot de Yamanouchi}.

\begin{enonce*}[remark]{Exemples} Le mot $2132121$ est
de Yamanouchi, alors que le mot $1232121$
n'est pas de Yamanouchi.
\end{enonce*}

\begin{enonce}{Définition} Un tableau gauche $T$ est dit de
Littlewood-Richardson si le mot $m(T)$ associé à $T$ est de
Yamanouchi.
\end{enonce}

\begin{enonce}{Notation} Nous notons $c_{\nu^{(1)},\nu^{(2)}}^\mu$ le nombre de
tableaux
gauches de Littlewood-Richardson de forme $\mu/\nu^{(1)}$ et de poids
$\nu^{(2)}$.
\end{enonce}

La formule $$s_{\nu^{(1)}}\cdot s_{\nu^{(2)}}=
\sum_{\mu\in\sP(n)} c_{\nu^{(1)},\nu^{(2)}}^\mu
\, s_\mu$$ (démontrée par exemple en \cite[\S\,5.2, Cor.\,3]{F})
a pour conséquence le résultat suivant.

\begin{enonce}{Corollaire}[Règle de Littlewood-Richardson]\label{rLR}
Soient $n_1$ et $n_2$ deux entiers strictement positifs.
Pour toute paire $(\nu^{(1)},\nu^{(2)})\in\sP(n_1)\times\sP(n_2)$, on a\vspace*{-3pt}
$$S^{\nu^{(1)}}\times S^{\nu^{(2)}}\,\simeq\,
\bigoplus_{\mu\in\sP(n_1+n_2)} \,(S^\mu)^{\oplus
c_{\nu^{(1)},\nu^{(2)}}^\mu}.$$
\end{enonce}

\begin{enonce}{Corollaire}
Pour tout triplet $(\nu^{(1)},\nu^{(2)},\mu)\in\sP(n_1)\times\sP(n_2)
\times\sP(n_1+n_2)$, on a\vspace*{-3pt}
$$a_{\nu^{(1)},\nu^{(2)}}^\mu=c_{\nu^{(1)},\nu^{(2)}}^\mu.$$
\end{enonce}

\backmatter
\bibliographystyle{jepalpha+eid}
\bibliography{xups00-01}
\end{document}
